Cuvinte cheie:
- notaţie
- număr
- alfabet
- sistem de numere poziționale
- baza
- formă extinsă de scriere a unui număr
- formă prăbușită de a scrie un număr
- sistem de numere binar
- sistem de numere octale
- sistem de numere hexazecimale
1.1.1. Informații generale despre sistemele numerice
Orez. 1.1.
Semne folosite pentru a scrie numere în diferite sisteme de numere
În orice sistem numeric, cifrele sunt folosite pentru a desemna numere numite numere de noduri; numerele rămase (algoritmice) se obţin în urma unor operaţii din numerele nodurilor.
Exemplul 1. Printre babilonieni, numerele cheie erau 1, 10, 60; în sistemul numeric roman, numerele cheie sunt 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 1000, notate I, V, X, L, C, D, M, respectiv.
Sistemele numerice diferă în alegerea numerelor nodale și în metodele de generare a numerelor algoritmice. Se pot distinge următoarele tipuri de sisteme numerice:
- sisteme unare;
- sisteme non-poziționale;
- sisteme poziționale.
Cel mai simplu și mai vechi sistem este așa-numitul sistem unar de numere. Folosește un singur simbol pentru a scrie orice numere - un băț, un nod, o crestătură, o pietricică. Lungimea unui număr din această codificare este direct legată de valoarea acestuia, ceea ce face ca această metodă să fie similară cu reprezentarea geometrică a numerelor sub formă de segmente. Este sistemul unar care stă la baza aritmeticii și acesta este cel care îi introduce încă pe elevii de clasa întâi în lumea numărării. Sistemele unare sunt numite și sisteme de etichete.
În sistemele numerice non-poziționale, numerele sunt formate prin adăugarea numerelor de noduri.
Exemplul 2. În sistemul de numere egiptean antic, numerele 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 au fost desemnate, respectiv, după cum urmează:
Aceleași numere din sistemul numeric roman sunt desemnate după cum urmează: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Aici, numerele algoritmice se obțin prin adunarea și scăderea numerelor cheie, ținând cont de următoarea regulă: fiecare semn mai mic plasat la dreapta unuia mai mare se adaugă la valoarea sa, iar fiecare semn mai mic plasat în stânga unuia mai mare este scazut din ea.
Sistemul de numere zecimale, pe care suntem obișnuiți să îl folosim în viața de zi cu zi, cu care suntem familiarizați din copilărie, în care ne efectuam toate calculele, este un exemplu de sistem de numere poziționale. În ea, numerele algoritmice sunt formate după cum urmează: valorile cifrelor sunt înmulțite cu „greutățile” cifrelor corespunzătoare și se adaugă toate valorile rezultate. Acest lucru poate fi văzut în mod clar în cifrele limbii ruse, de exemplu: „trei sute cinci-zece șapte”.
Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.
Alfabetul sistemului zecimal este format din numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alfabetul unui sistem de numere pozițional arbitrar cu baza q este numerele 0, 1, .. ., q-1, fiecare dintre acestea putând fi scris folosind un caracter unic; Cea mai mică cifră este întotdeauna O.
Principalele avantaje ale oricărui sistem de numere poziționale sunt ușurința de a efectua operații aritmetice și numărul limitat de simboluri necesare pentru a scrie orice numere.
a 1 - numere aparținând alfabetului unui sistem de numere dat;
q 1 - „greutatea” cifrei i-a.
Scrierea unui număr folosind formula (1) se numește formă extinsă de scriere. Forma restrânsă a scrierii unui număr este reprezentarea acestuia sub forma ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1
- 1 În cele ce urmează, vor fi luate în considerare numai numerele întregi pozitive.
Exemplul 3. Luați în considerare numărul zecimal 14351.1. Forma sa restrânsă de notație este atât de familiară încât nu observăm cum în mintea noastră trecem la o notație extinsă, înmulțind cifrele numărului cu „greutățile” cifrelor și adăugând produsele rezultate:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .
1.1.2. Sistem de numere binar
Sistemul de numere binare este un sistem de numere pozițional cu baza 2. Pentru a scrie numere în sistemul de numere binar, sunt folosite doar două cifre: 0 și 1.
Pe baza formulei (1) pentru numere întregi binare putem scrie:
De exemplu:
10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .
Această formă de scriere „sugerează” regula pentru conversia numerelor binare naturale în sistemul numeric zecimal: este necesar să se calculeze suma puterilor a doi corespunzătoare unităților în forma restrânsă de scriere a unui număr binar.
Obținem din formula (1") regula de conversie a numerelor zecimale întregi în sistemul numeric binar.
Să împărțim
a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 cu 2.
Coeficientul va fi egal cu
a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,
iar restul va fi egal cu 0.
Să împărțim din nou câtul rezultat la 2, restul împărțirii va fi egal cu 1.
Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci la al n-lea pas obținem un set de numere:
a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1
care sunt incluse în reprezentarea binară a numărului inițial și coincid cu resturile atunci când acesta este împărțit secvențial la 2. La scrierea numărului inițial în sistemul de numere binar, trebuie avut în vedere că resturile le-am obținut din împărțirea la 2. în ordinea inversă a dispunerii cifrelor corespunzătoare în reprezentarea binară a numărului original .
Exemplul 4. Să convertim numărul zecimal 11 în sistemul numeric binar. Secvența de acțiuni discutată mai sus (algoritm de traducere) poate fi descrisă după cum urmează:
Scriind resturile de împărțire în direcția indicată de săgeată, obținem: 11 10 = 1011 2.
Exemplul 5. Dacă numărul zecimal este suficient de mare, atunci este mai convenabil următorul mod de a scrie algoritmul discutat mai sus:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Sistem de numere octale
Sistemul de numere octale este un sistem de numere pozițional cu baza 8. Pentru a scrie numere în sistemul de numere octale, se folosesc următoarele numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Pe baza formulei (1) pentru un număr întreg octal putem scrie:
De exemplu: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10
Astfel, pentru a converti un număr octal întreg în sistemul numeric zecimal, ar trebui să mergeți la forma sa extinsă și să calculați valoarea expresiei rezultate.
Pentru a converti un număr zecimal întreg în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii întregi rezultați la 8 până când obțineți un coeficient egal cu zero. Numărul inițial în noul sistem de numere este compilat prin înregistrarea secvenţială a soldurilor rezultate, începând cu ultimul.
Exemplul 6. Să transformăm numărul zecimal 103 în sistemul de numere octale.
1.1.4. Sistemul numeric hexazecimal
Baza: q = 16.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Aici, doar zece din cele șaisprezece cifre au denumirea general acceptată 0,..., 9. Pentru a scrie numere cu echivalente cantitative zecimale 10, 11, 12, 13, 14, 15, primele cinci litere ale alfabetului latin sunt de obicei folosit.
Astfel, intrarea 3AF16 înseamnă:
3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Exemplul 7. Să convertim numărul zecimal 154 în sistemul numeric hexazecimal.
1.1.5. Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi în sistemul numeric cu baza q
Pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu baza q:
- împărțiți secvențial numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient egal cu zero;
- soldurile rezultate, care sunt cifre ale unui număr din noul sistem de numere, trebuie aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
- compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul rest primit.
Să facem un tabel de corespondență între numere zecimale, binare, octale și hexazecimale de la 0 la 20.
Colecția unificată de resurse educaționale digitale (http://school-collection.edu.ru/) conține o animație interactivă „Conversia unui număr zecimal într-un alt sistem numeric”. Cu ajutorul acestuia, puteți observa traducerea unui număr întreg arbitrar de la 0 la 512 într-un sistem de numere pozițional, a cărui bază nu depășește 16.
În laboratorul virtual „Scalare digitale” situat acolo, puteți învăța o altă modalitate de a converti numere zecimale întregi în alte sisteme de numere - metoda diferențelor.
1.1.6. Aritmetică binară
Aritmetica sistemului de numere binare se bazează pe utilizarea următoarelor tabele de adunare și înmulțire:
Exemplul 8. Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Deoarece 1 + 1 = 10, atunci 0 rămâne în această cifră și 1 este transferat la următoarea cifră.
Exemplul 9. Operația de înmulțire se efectuează după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal, cu înmulțirea secvențială a multiplicandului cu următoarea cifră a multiplicatorului.
Astfel, în sistemul binar, înmulțirea se reduce la deplasări ale multiplicandului și adunări.
1.1.7. Sisteme de numere „calculatoare”.
Tehnologia computerizată utilizează un sistem de numere binar, care oferă o serie de avantaje față de alte sisteme:
- numerele binare sunt reprezentate într-un calculator folosind elemente tehnice destul de simple cu două stări stabile;
- prezentarea informațiilor prin doar două stări este fiabilă și rezistentă la zgomot;
- aritmetica binară este cea mai simplă;
- Există un aparat matematic care oferă transformări logice ale datelor binare.
Schimbul de informații între dispozitivele computerizate se realizează prin transmiterea de coduri binare. Este incomod pentru o persoană să folosească astfel de coduri din cauza lungimii lor mari și a uniformității vizuale. Prin urmare, specialiștii (programatori, ingineri) în unele etape de dezvoltare, creare și configurare a sistemelor informatice înlocuiesc codurile binare cu valori echivalente în sisteme de numere octale sau hexazecimale. Ca urmare, lungimea cuvântului original este redusă de trei, respectiv de patru ori. Acest lucru face ca informațiile să fie mai convenabile pentru revizuire și analiză.
Folosind resursa „Cartea interactivă de probleme, secțiunea „Sisteme numerice”” (http://school-collection.edu.ru/), puteți verifica cât de bine ați însuşit materialul studiat în acest paragraf.
Cel mai important
Un sistem numeric este un sistem de semne în care sunt adoptate anumite reguli de scriere a numerelor. Semnele cu care sunt scrise numerele se numesc cifre, iar combinația lor se numește alfabetul sistemului numeric.
Un sistem numeric se numește pozițional dacă echivalentul cantitativ al unei cifre dintr-un număr depinde de poziția sa în notația numărului. Baza unui sistem de numere poziționale este egală cu numărul de cifre care alcătuiesc alfabetul său.
Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.
Într-un sistem numeric pozițional cu baza q, orice număr poate fi reprezentat ca:
Un număr;
q - baza sistemului numeric;
și i sunt numere aparținând alfabetului unui sistem de numere dat;
n - numărul de cifre întregi;
m - numărul de cifre fracționale ale numărului;
q i - „greutatea” cifrei i-a.
Întrebări și sarcini
Cum se trece de la forma restrânsă de scriere a unui număr zecimal la forma sa extinsă?
Răspuns
Luați în considerare numărul zecimal 14351.1. Forma sa restrânsă de notație este atât de familiară încât nu observăm cum în mintea noastră trecem la o notație extinsă, înmulțind cifrele numărului cu „greutățile” cifrelor și adăugând produsele rezultate:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.
Trecerea de la o formă restrânsă la o formă extinsă
1. Privește numărul dat și stabilește numărul cifrelor acestuia.
Exemplu:
Scrieți 5827 în formă extinsă.
Citiți cu voce tare numărul: cinci mii opt sute douăzeci și șapte.
Vă rugăm să rețineți că acest număr are patru cifre. Ca rezultat, forma extinsă va conține patru termeni.
2. Rescrieți numărul ca sumă a cifrelor sale, lăsând un spațiu între ele pentru a înmulți fiecare cifră cu o anumită cifră (mai multe despre aceasta mai târziu).
Exemplu:
5827 rescrie-l astfel:
3. Cifrele unui număr sunt situate în anumite poziții care corespund (de la dreapta la stânga) unităților, zecilor, sutelor, miilor etc. Determinați numele poziției și semnificația acesteia pentru fiecare cifră (de la dreapta la stânga).
Exemplu:
Deoarece acest număr are patru cifre, trebuie să determinați numele celor patru poziții (de la dreapta la stânga).
7 corespunde celor (valoare = 1 = 10 0).
2 corespunde zecilor (valoare = 10 = 10 1).
8 corespunde sutelor (valoare = 100 = 10 2).
5 corespunde miilor (valoare = 1000 = 10 3).
4. Înmulțiți fiecare cifră a unui număr dat cu valoarea poziției sale corespunzătoare.
Exemplu:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0
SISTEME NUMERALE ŞI
TRADUCEREA NUMERELOR DIN UN SISTEM ÎN ALTUL
Sistemul de numere (SS) - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru a opera asupra lor.
Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale
Baza sistemului de numere- denumiți numărul de cifre folosite pentru a scrie numere
Alfabetul SS- numiți toate numerele (semnele) folosite pentru a scrie numere
Forma extinsă de scriere a unui număr
Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 +..a 1 q 1 + a 0 q 0
q - bază
a i - numere
n - numărul de cifre ale părții întregi
m - numărul de cifre ale părții fracționale
123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Tabelul echivalent numeric
| q=10 | q=16 | q=12 | q=8 | q=5 | q=4 | q=2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | A | A | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | ÎN | ÎN | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | CU | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Alfabetele din sistemele numerice corespunzătoare sunt evidențiate cu caractere aldine.
Regula pentru conversia unui număr din orice sistem numeric în zecimal
Pentru a converti un număr în sistemul numeric zecimal trebuie să:
1. scrieți numărul în formă extinsă
2. convertiți toate numerele în SS zecimal (pentru SS cu q>10)
3. se calculează valoarea expresiei rezultate
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10
1BE,84 16 =1∙16 2 + B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10
Rezolva exemple:
2) 150 6 = A 10
4) DF 18 = A 10
5) 1AB 16 = A 10
Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi în alte sisteme numerice:
1. Efectuați în mod consecvent împărțirea cu restul numărului dat și coeficientii incompleti rezultați după baza noului SS până când obținem un coeficient incomplet care este mai mic decât divizorul.
2. Aduceți resturile rezultate, care sunt cifrele numărului din noul SS, în conformitate cu alfabetul noului SS (pentru SS cu q>10)
3. Compuneți numărul din noul SS, notând toate resturile, începând cu ultimul coeficient
| 19 10 = 10011 2 |  |
| 19 10 = 13 16 | |
| 205 10 = CD 16 |  |
Rezolva exemple:
1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
Conversie rapidă în sistem de numere binar prin extinderea la puteri de doi
Este convenabil să convertiți un număr în SS binar pentru unele numere folosind a doua metodă: extinderea în puteri a doi. Desigur, pentru a face asta trebuie să cunoști aceste grade pe de rost ;-)
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2
Puteți sări peste forma extinsă de scriere a unui număr. Dacă există un grad, atunci punem unul, dacă nu există un grad în ordine (în exemplul nostru, 3 și 2), atunci punem 0 acolo.
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2
Această metodă este deosebit de convenabilă pentru numerele a căror valoare este aproape de o putere.
Rezolva exemple:
1) 161 10 = A 2
1) 321 10 = A 2
1) 600 10 = A 2
Regula pentru conversia unui număr binar în SS cu baza q=2 n
1. Împărțiți numărul binar dat începând de la virgulă (părți întregi și fracționale) în grupuri de n cifre fiecare
Baza sistemului numeric pozițional este întregul q, care este ridicat la o putere.
Baza unui sistem numeric pozițional este o succesiune de numere, fiecare dintre acestea determinând echivalentul cantitativ (greutatea) unui simbol în funcție de locul acestuia în codul numeric.
Baza zecimală: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Baza unui sistem de numere pozițional arbitrar: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza în orice sistem este reprezentată ca 10, dar are o valoare cantitativă diferită. Acesta arată de câte ori se modifică valoarea cantitativă a unei cifre atunci când este mutată într-o poziție adiacentă. Sunt posibile multe sisteme poziționale, deoarece orice număr nu mai mic de 2 poate fi luat ca bază a sistemului numeric.
Numele sistemului de numere corespunde bazei acestuia (zecimal, binar, quinar etc.).
Într-un sistem numeric cu o bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q, cu alte cuvinte, q unitățile din orice categorie formează o unitate din următoarea categorie.
Pentru a scrie numere în q este necesar un sistem de numere q diverse semne (cifre) reprezentând numerele 0, 1, ..., q – 1.
Prin urmare, baza unui sistem numeric pozițional este egală cu numărul de simboluri (semne) din alfabetul său. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.
Exemplul 1. Sistem de numere octale.
Baza: q = 8.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7.
Numere: de exemplu, 45023.152 8 ; 751.001 8 .
Exemplul 2. Sistem numeric în cinci ori .
Baza: q = 5.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3 și 4.
Numere: de exemplu, 20304 5 ; 324,03 5.
Exemplul 3. Sistemul numeric hexazecimal.
Baza: q = 16.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Aici, doar zece din cele șaisprezece cifre au denumirea general acceptată 0-9. Pentru a scrie restul caracterelor alfabetului (10, 11, 12, 13, 14 și 15), se folosesc de obicei primele cinci litere ale alfabetului latin.
Numere: de exemplu, В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8.
În sistemul numeric pozițional, orice număr real poate fi reprezentat în următoarea formă:
A q = ±( un n–1 × qn –1 + un n–2 × qn –2 +…+ A 0 × q 0 + A–1 × q –1 + A–2 × q –2 +…+ A –m × q–m), (1) sau ±.
Aici A - numărul în sine; q- radix;
și eu- numerele aparținând alfabetului unui sistem de numere dat; P - numărul de cifre întregi; T - numărul de cifre fracționale ale unui număr.
Descompunerea unui număr după formula (1) se numește formular de intrare extins . În caz contrar, se numește această formă de înregistrare polinom sau potolit.
Exemplul 1. Numar decimal A 10 = 5867,91 conform formulei (1) este reprezentat după cum urmează:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Exemplul 2. Formula (1) pentru sistemul de numere octale are forma:
A 8 = ±( un n–1 × 8 n –1 + un n–2 × 8 n –2 +…+ A 0 × 8 0 + A–1 ×8 –1 + A–2 ×8 –2 +…+ a.m×8 – m),
Unde și eu- numerele 0–7.
Numărul octal A 8 = 7064,3 în forma (1) se va scrie după cum urmează:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Exemplul 3. Număr cinci ori A 5 = 2430,21 conform formulei (1) se va scrie astfel:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Prin calcularea acestei expresii, puteți obține echivalentul zecimal al numărului de cinci ori specificat: 365,44 10.
Exemplul 4.În sistemul numeric hexazecimal, intrarea este 3 A.F. 16 înseamnă:
3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Baza sistemului numeric pozițional este întregul q, care este ridicat la o putere.
Baza unui sistem numeric pozițional este o succesiune de numere, fiecare dintre acestea determinând echivalentul cantitativ (greutatea) unui simbol în funcție de locul acestuia în codul numeric.
Baza zecimală: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Baza unui sistem de numere pozițional arbitrar: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza în orice sistem este reprezentată ca 10, dar are o valoare cantitativă diferită. Acesta arată de câte ori se modifică valoarea cantitativă a unei cifre atunci când este mutată într-o poziție adiacentă. Sunt posibile multe sisteme poziționale, deoarece orice număr nu mai mic de 2 poate fi luat ca bază a sistemului numeric.
Numele sistemului de numere corespunde bazei acestuia (zecimal, binar, quinar etc.).
Într-un sistem numeric cu o bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q, cu alte cuvinte, q unitățile din orice categorie formează o unitate din următoarea categorie.
Pentru a scrie numere în q este necesar un sistem de numere q diverse semne (cifre) reprezentând numerele 0, 1, ..., q – 1.
Prin urmare, baza unui sistem numeric pozițional este egală cu numărul de simboluri (semne) din alfabetul său. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.
Exemplul 1. Sistem de numere octale.
Baza: q = 8.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7.
Numere: de exemplu, 45023.152 8 ; 751.001 8 .
Exemplul 2. Sistem numeric în cinci ori .
Baza: q = 5.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3 și 4.
Numere: de exemplu, 20304 5 ; 324,03 5.
Exemplul 3. Sistemul numeric hexazecimal.
Baza: q = 16.
Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Aici, doar zece din cele șaisprezece cifre au denumirea general acceptată 0-9. Pentru a scrie restul caracterelor alfabetului (10, 11, 12, 13, 14 și 15), se folosesc de obicei primele cinci litere ale alfabetului latin.
Numere: de exemplu, В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8.
În sistemul numeric pozițional, orice număr real poate fi reprezentat în următoarea formă:
A q = ±( un n–1 × qn –1 + un n–2 × qn –2 +…+ A 0 × q 0 + A–1 × q –1 + A–2 × q –2 +…+ A –m × q–m), (1) sau ±.
Aici A - numărul în sine; q- radix;
și eu- numerele aparținând alfabetului unui sistem de numere dat; P - numărul de cifre întregi; T - numărul de cifre fracționale ale unui număr.
Descompunerea unui număr după formula (1) se numește formular de intrare extins . În caz contrar, se numește această formă de înregistrare polinom sau potolit.
Exemplul 1. Numar decimal A 10 = 5867,91 conform formulei (1) este reprezentat după cum urmează:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Exemplul 2. Formula (1) pentru sistemul de numere octale are forma:
A 8 = ±( un n–1 × 8 n –1 + un n–2 × 8 n –2 +…+ A 0 × 8 0 + A–1 ×8 –1 + A–2 ×8 –2 +…+ a.m×8 – m),
Unde și eu- numerele 0–7.
Numărul octal A 8 = 7064,3 în forma (1) se va scrie după cum urmează:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Exemplul 3. Număr cinci ori A 5 = 2430,21 conform formulei (1) se va scrie astfel:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Prin calcularea acestei expresii, puteți obține echivalentul zecimal al numărului de cinci ori specificat: 365,44 10.
Exemplul 4.În sistemul numeric hexazecimal, intrarea este 3 A.F. 16 înseamnă:
3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
