Care este forma extinsă a scrierii unui număr. Care este forma extinsă de a scrie un număr?

16.03.2024 Erori

Baza sistemului numeric pozițional este întregul q, care este ridicat la o putere.

Baza unui sistem numeric pozițional este o succesiune de numere, fiecare dintre acestea determinând echivalentul cantitativ (greutatea) unui simbol în funcție de locul acestuia în codul numeric.

Baza zecimală: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Baza unui sistem de numere pozițional arbitrar: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Baza în orice sistem este reprezentată ca 10, dar are o valoare cantitativă diferită. Acesta arată de câte ori se modifică valoarea cantitativă a unei cifre atunci când este mutată într-o poziție adiacentă. Sunt posibile multe sisteme poziționale, deoarece orice număr nu mai mic de 2 poate fi luat ca bază a sistemului numeric.

Numele sistemului de numere corespunde bazei acestuia (zecimal, binar, quinar etc.).

Într-un sistem numeric cu o bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q, cu alte cuvinte, q unitățile din orice categorie formează o unitate din următoarea categorie.

Pentru a scrie numere în q este necesar un sistem de numere q diverse semne (cifre) reprezentând numerele 0, 1, ..., q – 1.

Prin urmare, baza unui sistem numeric pozițional este egală cu numărul de simboluri (semne) din alfabetul său. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.

Exemplul 1. Sistem de numere octale.

Baza: q = 8.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7.

Numere: de exemplu, 45023.152 8 ; 751.001 8 .

Exemplul 2. Sistem numeric în cinci ori .

Baza: q = 5.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3 și 4.

Numere: de exemplu, 20304 5 ; 324,03 5.

Exemplul 3. Sistem de numere hexazecimale.

Baza: q = 16.

Alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Aici, doar zece din cele șaisprezece cifre au denumirea general acceptată 0-9. Pentru a scrie restul caracterelor alfabetului (10, 11, 12, 13, 14 și 15), se folosesc de obicei primele cinci litere ale alfabetului latin.

Numere: de exemplu, В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8 .

În sistemul numeric pozițional, orice număr real poate fi reprezentat în următoarea formă:

A q = ±( un n–1 × qn –1 + un n–2 × qn –2 +…+ o 0 × q 0 + o–1 × q –1 + o–2 × q –2 +…+ o –m × q–m), (1) sau ±.

Aici A - numărul în sine; q- radix;
si eu- numerele aparținând alfabetului unui sistem de numere dat; p - numărul de cifre întregi; T - numărul de cifre fracționale ale unui număr.

Descompunerea unui număr după formula (1) se numește formular de intrare extins . În caz contrar, se numește această formă de înregistrare polinom sau potolit.

Exemplul 1. Număr zecimal O 10 = 5867,91 conform formulei (1) este reprezentat după cum urmează:

O 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Exemplul 2. Formula (1) pentru sistemul de numere octale are forma:

O 8 = ±( un n–1 × 8 n –1 + un n–2 × 8 n –2 +…+ o 0 × 8 0 + o–1 ×8 –1 + o–2 ×8 –2 +…+ a.m×8 – m),

Unde si eu- numerele 0–7.

Numărul octal A 8 = 7064,3 în forma (1) se va scrie după cum urmează:

O 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Exemplul 3. Număr cinci ori O 5 = 2430,21 conform formulei (1) se va scrie astfel:

O 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Prin calcularea acestei expresii, puteți obține echivalentul zecimal al numărului de cinci ori specificat: 365,44 10.

Exemplul 4.În sistemul numeric hexazecimal, intrarea este 3 A.F. 16 înseamnă:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Lasă Aq- numărul în sistemul de bază q, ai - cifre ale unui anumit sistem numeric prezente în înregistrarea de numere O, n+ 1 - numărul de cifre ale părții întregi a numărului, m- numărul de cifre ale părții fracționale a numărului:

Forma extinsă a numărului O se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt reprezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată este calculată conform regulilor aritmeticii zecimale, atunci se va obține un număr în sistemul zecimal egal cu cel dat. Acest principiu este folosit pentru a converti de la sistemul non-zecimal la sistemul zecimal. De exemplu, conversia numerelor scrise mai sus în sistemul zecimal se face astfel:

Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice

Conversie intreg

Număr zecimal întreg X trebuie convertit într-un sistem cu o bază q: X = (o n o n-1… o 1 o 0) q. Trebuie să găsiți cifrele semnificative ale numărului: Să prezentăm numărul în formă extinsă și să realizăm transformarea identică:

Din aceasta este clar că o 0 este restul la împărțirea unui număr X pe număr q. Expresia dintre paranteze este câtul întreg al acestei împărțiri. Să o notăm prin X 1. Efectuând transformări similare, obținem:

Prin urmare, o 1 este restul diviziunii X 1 per q. Continuând împărțirea cu restul, vom obține o succesiune de cifre a numărului dorit. Număr unîn acest lanț de diviziuni va fi ultimul coeficient, cu atât mai mic q.

Să formulăm regula rezultată: pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) exprimă baza noului sistem numeric în sistemul numeric zecimal și efectuează toate acțiunile ulterioare conform regulilor aritmeticii zecimale;

2) împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii incompleti rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet care este mai mic decât divizorul;

3) aduce soldurile rezultate, care sunt cifre ale unui număr în noul sistem de numere, în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;

4) compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul cât.

Exemplul 1. Convertiți numărul 37 10 în binar.

Pentru a desemna cifrele dintr-un număr folosim simbolismul: o 5 o 4 o 3 o 2 o 1 o 0

Prin urmare: 37 10 = l00l0l 2

Exemplul 2. Convertiți numărul zecimal 315 în sisteme octale și hexazecimale:

Urmează: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Amintiți-vă că 11 10 = B 16.

Fracție zecimală X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, o –1 o –2 … o–m+1 o–m) q Trebuie să găsiți cifrele semnificative ale numărului: o –1 ,o –2 , …, o–m .Prezentați numărul în formă extinsă și înmulțiți-l cu q:

Din aceasta este clar că o–1 există o întreagă parte a lucrării X pe număr q. Să notăm prin X 1 parte fracțională a produsului și înmulțiți-o cu q:

Prin urmare, o–2 este o parte întreagă a lucrării X 1 pe număr q. Continuând înmulțirea, vom obține o succesiune de numere. Acum să formulăm o regulă: pentru a converti o fracție zecimală într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) înmulțiți succesiv numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem numeric până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține precizia necesară de reprezentare a numărului în noul sistem numeric;

2) aduceți părțile întregi rezultate ale lucrărilor, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;

3) alcătuiți partea fracțională a numărului în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.

Exemplul 3. Convertiți fracția zecimală 0,1875 în sisteme binar, octal și hexazecimal.

Aici coloana din stânga conține partea întreagă a numerelor, iar coloana din dreapta conține partea fracțională.

Prin urmare: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Conversia numerelor mixte care conține părți întregi și fracționale se realizează în două etape. Părțile întregi și fracționale ale numărului original sunt traduse separat folosind algoritmi corespunzători. În înregistrarea finală a unui număr în noul sistem de numere, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).

Tema „Sisteme numerice” este direct legată de teoria matematică a numerelor. Cu toate acestea, de regulă, nu este studiat la cursurile de matematică din școală. Necesitatea studierii acestui subiect într-un curs de informatică este legată de faptul că numerele din memoria computerului sunt reprezentate în sistemul numeric binar, iar sistemele hexazecimale sau octale sunt folosite pentru a reprezenta extern conținutul memoriei și al adreselor de memorie. Acesta este unul dintre subiectele tradiționale ale unui curs de informatică sau programare. Fiind adiacent matematicii, această temă contribuie și la educația matematică fundamentală a școlarilor.

Pentru un curs de informatică, interesul principal este familiarizarea cu sistemul de numere binar. Utilizarea sistemului de numere binare într-un calculator poate fi considerată sub două aspecte: 1) numerotarea binară, 2) aritmetică binară, i.e. efectuarea de calcule aritmetice pe numere binare.

Numerotarea binară

Elevii întâlnesc numerotarea binară la subiectul „Reprezentarea textului în memoria computerului”. Când vorbește despre tabelul de codificare, profesorul ar trebui să le spună elevilor că codul binar intern al unui simbol este numărul său de serie în sistemul de numere binar. De exemplu, numărul literei S din tabelul ASCII este 83. Codul binar de opt biți al literei S este egal cu valoarea acestui număr în sistemul de numere binar: 01010011.

Calcule binare

Conform principiului lui John von Neumann, un computer efectuează calcule în sistemul de numere binar. În cadrul cursului de bază, este suficient să ne limităm la calculele cu numere întregi binare. Pentru a efectua calcule cu numere cu mai multe cifre, trebuie să cunoașteți regulile de adunare și regulile de înmulțire a numerelor cu o singură cifră. Acestea sunt regulile:

Principiul comutabilității adunării și înmulțirii funcționează în toate sistemele de numere. Tehnicile de efectuare a calculelor cu numere cu mai multe cifre în sistemul binar sunt similare cu sistemul zecimal. Cu alte cuvinte, procedurile de adunare, scădere și înmulțire cu o „coloană” și împărțirea printr-un „colț” în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal.

Să ne uităm la regulile pentru scăderea și împărțirea numerelor binare. Operația de scădere este inversa adunării. Din tabelul de adunare de mai sus, urmează regulile de scădere:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Iată un exemplu de scădere a numerelor din mai multe cifre:

Rezultatul obținut poate fi verificat prin adăugarea diferenței cu subtraend. Rezultatul ar trebui să fie un număr în scădere.

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii.
În orice sistem numeric nu puteți împărți la 0. Rezultatul împărțirii la 1 este egal cu dividendul. Împărțirea unui număr binar la 10 2 mută zecimala cu un loc la stânga, similar împărțirii zecimale cu zece. De exemplu:

Împărțirea cu 100 mută virgulă zecimală cu 2 locuri la stânga etc. În cursul de bază, nu trebuie să luați în considerare exemple complexe de împărțire a numerelor binare cu mai multe cifre. Deși elevii capabili le pot face față, înțelegând principiile generale.

Reprezentarea informațiilor stocate în memoria computerului în adevărata sa formă binară este destul de greoaie din cauza numărului mare de cifre. Aceasta se referă la înregistrarea acestor informații pe hârtie sau la afișarea lor pe ecran. În aceste scopuri, se obișnuiește să se utilizeze sisteme mixte binar-octal sau binar-hexazecimal.

Există o relație simplă între reprezentarea binară și hexazecimală a unui număr. Când convertiți un număr dintr-un sistem în altul, o cifră hexazecimală corespunde unui cod binar de patru cifre. Această corespondență este reflectată în tabelul binar-hexazecimal:

Tabel binar hexazecimal

Această conexiune se bazează pe faptul că 16 = 2 4 și numărul diferitelor combinații de patru cifre ale numerelor 0 și 1 este 16: de la 0000 la 1111. Prin urmare conversia numerelor din hexazecimal în binar și invers se realizează prin conversie formală folosind tabelul binar-hexazecimal.

Iată un exemplu de conversie a binarului pe 32 de biți în hexazecimal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Dacă se oferă o reprezentare hexazecimală a informațiilor interne, atunci este ușor să o convertiți în cod binar. Avantajul reprezentării hexazecimale este că este de 4 ori mai scurtă decât cea binară. Este recomandabil ca elevii să memoreze tabelul binar-hexazecimal. Atunci într-adevăr pentru ei reprezentarea hexazecimală va deveni echivalentă cu cea binară.

În sistemul octal binar, fiecare cifră octală corespunde unei triade de cifre binare. Acest sistem vă permite să reduceți codul binar de 3 ori.

Notaţie

Notaţie - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea cu numere. Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în nepoziționalăŞi pozițional. Semne folosite la scrierea numerelor, sunt numite în cifre.

ÎN sisteme de numere non-poziționale semnificația unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Exemplul 1. Numărul CCXXXII este format din două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.

În cifre romane, cifrele sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor se adună. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și unul mai mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.

Exemplul 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Exemplul 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

ÎN sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o notație numerică depinde de poziția acesteia. Numărul de cifre utilizat se numește baza sistemului numeric pozițional.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este zece, pentru că Orice numere sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități.

Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o rază n trebuie să aibă alfabet din n numere De obicei pentru asta n < 10 используют n primele cifre arabe și când n> 10 litere sunt adăugate la zece cifre arabe. Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Dacă trebuie să indicați baza sistemului căreia îi aparține un număr, atunci i se atribuie un indice acestui număr. De exemplu:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Într-un sistem numeric cu o bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q. q unitățile din orice categorie formează o unitate din următoarea categorie. Pentru a scrie un număr în q este necesar un sistem de numere q diverse semne (cifre) reprezentând numerele 0, 1, ..., q– 1. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.

Forma extinsă de scriere a unui număr

Forma extinsă a numărului O se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Cum se trece de la forma restrânsă de scriere a unui număr zecimal la forma sa extinsă?

Răspuns

Luați în considerare numărul zecimal 14351.1. Forma sa restrânsă de notație este atât de familiară încât nu observăm cum în mintea noastră trecem la o notație extinsă, înmulțind cifrele numărului cu „greutățile” cifrelor și adăugând produsele rezultate:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

Trecerea de la o formă restrânsă la o formă extinsă

1. Privește numărul dat și stabilește numărul de cifre ale acestuia.

Exemplu:
Scrieți 5827 în formă extinsă.

Citiți cu voce tare numărul: cinci mii opt sute douăzeci și șapte.

Vă rugăm să rețineți că acest număr are patru cifre. Ca rezultat, forma extinsă va conține patru termeni.

2. Rescrieți numărul ca sumă a cifrelor sale, lăsând puțin spațiu între ele pentru a înmulți fiecare cifră cu o anumită cifră (mai multe despre asta mai târziu).

Exemplu:
5827 rescrie-l astfel:

3. Cifrele unui număr sunt situate în anumite poziții care corespund (de la dreapta la stânga) unităților, zecilor, sutelor, miilor etc. Determinați numele poziției și semnificația acesteia pentru fiecare cifră (de la dreapta la stânga).

Exemplu:
Deoarece acest număr are patru cifre, trebuie să determinați numele celor patru poziții (de la dreapta la stânga).

7 corespunde celor (valoare = 1 = 10 0).
2 corespunde zecilor (valoare = 10 = 10 1).
8 corespunde sutelor (valoare = 100 = 10 2).
5 corespunde miilor (valoare = 1000 = 10 3).

4. Înmulțiți fiecare cifră a unui număr dat cu valoarea poziției sale corespunzătoare.

Exemplu:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0

Cuvinte cheie:

notaţie
număr
alfabet
sistem de numere poziționale
baza
formă extinsă de scriere a unui număr
formă prăbușită de a scrie un număr
sistem de numere binar
sistem de numere octale
sistem de numere hexazecimale

1.1.1. Informații generale despre sistemele numerice

Orez. 1.1.
Semne folosite pentru a scrie numere în diverse sisteme de numere

În orice sistem de numere, cifrele sunt folosite pentru a desemna numere numite numere de noduri; numerele rămase (algoritmice) se obţin în urma unor operaţii din numerele nodurilor.

Exemplul 1. Printre babilonieni, numerele cheie erau 1, 10, 60; în sistemul numeric roman, numerele cheie sunt 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 1000, notate I, V, X, L, C, D, M, respectiv.

Sistemele numerice diferă în alegerea numerelor nodale și în metodele de generare a numerelor algoritmice. Se pot distinge următoarele tipuri de sisteme numerice:

sisteme unare;
sisteme non-poziționale;
sisteme poziționale.

Cel mai simplu și mai vechi sistem este așa-numitul sistem unar de numere. Folosește un singur simbol pentru a scrie orice numere - un băț, un nod, o crestătură, o pietricică. Lungimea unui număr din această codificare este direct legată de valoarea acestuia, ceea ce face ca această metodă să fie similară cu reprezentarea geometrică a numerelor sub formă de segmente. Este sistemul unar care stă la baza aritmeticii și tocmai acest sistem îi introduce încă pe elevii de clasa întâi în lumea numărării. Sistemele unare sunt numite și sisteme de etichete.

În sistemele de numere nepoziționale, numerele sunt formate prin adăugarea numerelor de noduri.

Exemplul 2. În sistemul de numere egiptean antic, numerele 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 au fost desemnate, respectiv, după cum urmează:

Aceleași numere din sistemul numeric roman sunt desemnate după cum urmează: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Aici, numerele algoritmice se obțin prin adunarea și scăderea numerelor cheie, ținând cont de următoarea regulă: fiecare semn mai mic plasat la dreapta unuia mai mare se adaugă la valoarea sa, iar fiecare semn mai mic plasat în stânga unuia mai mare este scazut din ea.

Sistemul zecimal de înregistrare a numerelor, pe care suntem obișnuiți să îl folosim în viața de zi cu zi, cu care suntem familiarizați din copilărie, în care ne efectuăm toate calculele, este un exemplu de sistem de numere poziționale. În ea, numerele algoritmice sunt formate după cum urmează: valorile cifrelor sunt înmulțite cu „greutățile” cifrelor corespunzătoare și se adaugă toate valorile rezultate. Acest lucru poate fi văzut în mod clar în cifrele limbii ruse, de exemplu: „trei sute cinci-zece șapte”.

Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.

Alfabetul sistemului zecimal este format din numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alfabetul unui sistem de numere pozițional arbitrar cu baza q este numerele 0, 1, .. ., q-1, fiecare dintre acestea putând fi scris folosind un caracter unic; Cea mai mică cifră este întotdeauna O.

Principalele avantaje ale oricărui sistem de numere poziționale sunt ușurința de a efectua operații aritmetice și numărul limitat de simboluri necesare pentru a scrie orice numere.

a 1 - numere aparținând alfabetului unui sistem de numere dat;

q 1 - „greutatea” cifrei i-a.

Scrierea unui număr folosind formula (1) se numește o formă extinsă de scriere. Forma restrânsă a scrierii unui număr este reprezentarea acestuia sub forma ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 În cele ce urmează, vor fi luate în considerare numai numerele întregi pozitive.

Exemplul 3. Luați în considerare numărul zecimal 14351.1. Forma sa restrânsă de notație este atât de familiară încât nu observăm cum în mintea noastră trecem la o notație extinsă, înmulțind cifrele numărului cu „greutățile” cifrelor și adăugând produsele rezultate:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Sistem de numere binar

Sistemul de numere binare este un sistem de numere pozițional cu baza 2. Pentru a scrie numere în sistemul de numere binar, sunt folosite doar două cifre: 0 și 1.

Pe baza formulei (1) pentru numerele întregi binare putem scrie:

De exemplu:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Această formă de scriere „sugerează” regula pentru conversia numerelor binare naturale în sistemul numeric zecimal: este necesar să se calculeze suma puterilor a doi corespunzătoare unităților în forma restrânsă de scriere a unui număr binar.

Obținem din formula (1") regula de conversie a numerelor zecimale întregi în sistemul numeric binar.

Să împărțim

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 cu 2.

Coeficientul va fi egal cu

a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,

iar restul va fi egal cu 0.

Să împărțim din nou câtul rezultat la 2, restul împărțirii va fi egal cu 1.

Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci la al n-lea pas obținem un set de numere:

a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

care sunt incluse în reprezentarea binară a numărului inițial și coincid cu resturile atunci când acesta este împărțit secvențial la 2. La scrierea numărului inițial în sistemul de numere binar, trebuie avut în vedere că resturile le-am obținut din împărțirea la 2. în ordinea inversă a dispunerii cifrelor corespunzătoare în reprezentarea binară a numărului original .

Exemplul 4. Să convertim numărul zecimal 11 în sistemul numeric binar. Secvența de acțiuni discutată mai sus (algoritm de traducere) poate fi descrisă după cum urmează:

Scriind resturile de împărțire în direcția indicată de săgeată, obținem: 11 10 = 1011 2.

Exemplul 5. Dacă numărul zecimal este suficient de mare, atunci este mai convenabil următorul mod de a scrie algoritmul discutat mai sus:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistem de numere octale

Sistemul de numere octale este un sistem de numere pozițional cu baza 8. Pentru a scrie numere în sistemul de numere octale, se folosesc următoarele numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Pe baza formulei (1) pentru un număr întreg octal putem scrie:

De exemplu: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Astfel, pentru a converti un număr octal întreg în sistemul numeric zecimal, ar trebui să mergeți la forma sa extinsă și să calculați valoarea expresiei rezultate.

Pentru a converti un număr zecimal întreg în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii întregi rezultați la 8 până când obțineți un coeficient egal cu zero. Numărul inițial în noul sistem de numere este compilat prin înregistrarea secvenţială a soldurilor rezultate, începând cu ultimul.

Exemplul 6. Să transformăm numărul zecimal 103 în sistemul de numere octale.

1.1.4. Sistemul numeric hexazecimal

Baza: q = 16.

Alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Aici, doar zece din cele șaisprezece cifre au denumirea general acceptată 0,..., 9. Pentru a scrie numere cu echivalente cantitative zecimale 10, 11, 12, 13, 14, 15, primele cinci litere ale alfabetului latin sunt de obicei folosit.

Astfel, intrarea 3AF16 înseamnă:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Exemplul 7. Să convertim numărul zecimal 154 în sistemul numeric hexazecimal.

1.1.5. Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi în sistemul numeric cu baza q

Pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu baza q:

împărțiți secvențial numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient egal cu zero;
soldurile rezultate, care sunt cifre ale unui număr din noul sistem de numere, trebuie aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul rest primit.

Să facem un tabel de corespondență între numere zecimale, binare, octale și hexazecimale de la 0 la 20.

Colecția unificată de resurse educaționale digitale (http://school-collection.edu.ru/) conține o animație interactivă „Conversia unui număr zecimal într-un alt sistem numeric”. Cu ajutorul acestuia, puteți observa traducerea unui număr întreg arbitrar de la 0 la 512 într-un sistem de numere pozițional, a cărui bază nu depășește 16.

În laboratorul virtual „Scalare digitale” situat acolo, puteți învăța o altă modalitate de a converti numere zecimale întregi în alte sisteme de numere - metoda diferențelor.

1.1.6. Aritmetică binară

Aritmetica sistemului de numere binare se bazează pe utilizarea următoarelor tabele de adunare și înmulțire:

Exemplul 8. Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Deoarece 1 + 1 = 10, atunci 0 rămâne în această cifră și 1 este transferat la următoarea cifră.

Exemplul 9. Operația de înmulțire se efectuează după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal, cu înmulțirea secvențială a multiplicandului cu următoarea cifră a multiplicatorului.

Astfel, în sistemul binar, înmulțirea se reduce la deplasări ale multiplicandului și adunări.

1.1.7. Sisteme de numere „calculatoare”.

Tehnologia computerizată utilizează un sistem de numere binar, care oferă o serie de avantaje față de alte sisteme:

numerele binare sunt reprezentate într-un calculator folosind elemente tehnice destul de simple cu două stări stabile;
prezentarea informațiilor prin doar două stări este fiabilă și rezistentă la zgomot;
aritmetica binară este cea mai simplă;
Există un aparat matematic care oferă transformări logice ale datelor binare.

Schimbul de informații între dispozitivele computerizate se realizează prin transmiterea de coduri binare. Este incomod pentru o persoană să folosească astfel de coduri din cauza lungimii lor mari și a uniformității vizuale. Prin urmare, specialiștii (programatori, ingineri) în unele etape de dezvoltare, creare și configurare a sistemelor informatice înlocuiesc codurile binare cu valori echivalente în sisteme de numere octale sau hexazecimale. Ca urmare, lungimea cuvântului original este redusă de trei, respectiv de patru ori. Acest lucru face ca informațiile să fie mai convenabile pentru revizuire și analiză.

Folosind resursa „Cartea interactivă de probleme, secțiunea „Sisteme de numere”” (http://school-collection.edu.ru/) puteți verifica cât de bine ați însușit materialul studiat în acest paragraf.

Cel mai important

Un sistem numeric este un sistem de semne în care sunt adoptate anumite reguli de scriere a numerelor. Semnele cu care sunt scrise numerele se numesc cifre, iar combinația lor se numește alfabetul sistemului de numere.

Un sistem numeric se numește pozițional dacă echivalentul cantitativ al unei cifre dintr-un număr depinde de poziția sa în notația numărului. Baza unui sistem de numere poziționale este egală cu numărul de cifre care alcătuiesc alfabetul său.

Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.

Într-un sistem numeric pozițional cu baza q, orice număr poate fi reprezentat ca:

A - număr;

q - baza sistemului de numere;

și i sunt numere aparținând alfabetului unui sistem de numere dat;

n - numărul de cifre întregi;

m - numărul de cifre fracționale ale numărului;

q i - „greutatea” cifrei i-a.