Dacă o funcție este continuă pe un anumit interval (interzis sau deschis), atunci aceasta, după cum știm deja, înseamnă că pentru orice punct din acest interval pentru un e> 0 predeterminat există un g> 0 astfel încât din inegalitatea
x 0 - x< д
urmează inegalitatea
f(x 0) - f(x)<
astfel încât numai punctele x sunt și ele în acest interval.
Deci, este clar că q depinde de e. În plus, pentru diferite puncte ale intervalului și la fel, numărul q se poate dovedi a fi diferit, adică. d depinde nu numai de e, ci și de x0. Apoi faptul că printre valorile pentru puncte diferite interval și în același timp este cea mai mică valoare a lui d, nu există așa ceva. În primul caz, pentru un dat e > 0, se poate găsi valoarea q comună pentru toate punctele intervalului și apoi se spune că funcția pe intervalul care este luat în considerare este uniform continuă.
Definiție. Se spune că o funcție este uniform continuă pe un interval dat dacă, în primul rând, este definită în toate punctele acestui interval și, în al doilea rând, dacă următoarea condiție este adevărată: pentru fiecare e> 0 arbitrar mic putem asocia un astfel de e> 0, din inegalitatea x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Definiția continuității uniforme a unei funcții implică faptul că funcția este uniform continuă pe un anumit interval și continuă în fiecare punct al acestui interval. Afirmația inversă, așa cum este arătată de exemplul unei funcții pe intervalul piv (0, 1], nu este întotdeauna adevărată.
Teorema lui Cantor (cu privire la continuitatea uniformă a unei funcții). Dacă o funcție este continuă pe un segment [a, b], atunci este uniform continuă pe acest segment.
Dovada. Să avem un număr arbitrar de mic e > 0. Să împărțim segmentul [a, b] într-un număr finit m de părți, astfel încât oscilațiile funcției continue date pe (a, b] pe fiecare dintre părțile obținute ale segmentele
[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [ci , c i+1 ], ……., [a, b],
a fost mai puțin de. Deoarece există un număr finit de segmente parțiale, atunci lungimile lor sunt numere finite și, prin urmare, printre ele se află cel mai mic, pe care îl notăm cu d. Acum luăm oricare două puncte x 1 și x 2 de pe segmentul [a, b]. astfel încât distanța dintre ele să fie mai mică:
x 2 - x 1< д (95)
Astfel de două puncte pot fi fie pe același segment privat, fie pe segmente private adiacente. In primul caz
f(x 2) - f(x 1)< , (96)
În al doilea caz, dacă notăm capătul comun al segmentelor private adiacente cu c i, obținem:
f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(cu i)+ f(cu i) - f(x 1)|?,
f(x 2) - f(x 1)< (97)
Deci, în primul caz, inegalitatea (96) rezultă din inegalitatea (95), iar în al doilea, inegalitatea (97) rezultă din inegalitatea (95). Teorema a fost demonstrată.
(Această proprietate este valabilă numai pentru segmente și nu pentru intervale și semiintervale.)
Funcția este continuă pe intervalul (0, a), dar nu este uniform continuă pe acesta, deoarece există un număr >0 astfel încât să existe valori x 1 și x 2 astfel încât f(x 1) - f(x 2)>, - orice număr cu condiția ca x 1 și x 2 să fie aproape de zero.
Se spune că o funcție $%f(x)$% este continuă în punctul $%x_0$% dacă $$\forall\varepsilon>0\\\exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\\forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
Și cu ce este diferită de continuitatea obișnuită?>
Continuitatea obișnuită (la punct) este proprietate locală funcții. Aceasta înseamnă că se realizează într-un anumit punct. Rețineți că definiția continuității unei funcții este dată exact într-un punct. Mai mult, știm că există funcții care sunt continue nu numai într-un punct, ci și pe o mulțime (de exemplu, $%f(x)=\sin x$% este continuă pe $%\mathbb(R )$% ). Acest lucru nu anulează natura locală a continuității, adică înseamnă pur și simplu că dacă verificăm $%\sin x$% pentru continuitate în fiecare punct individual $%\mathbb(R)$%, atunci funcția o va satisface în acest punct specific. Deoarece în fiecare punct $%x_0$% al mulțimii $%\mathbb(R)$% este îndeplinită condiția pentru continuitatea funcției $%\sin x$% în punctul $%x_0$%, funcția este numit continuu pe acest set. Mai mult, când am studiat continuitatea funcției în fiecare punct separat, noi (având în vedere $%\varepsilon$%) pentru acest punct am luat $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. Adică pentru diferite puncte ale mulțimii (în general vorbind) se vor obține delte diferite. Astfel, există o neuniformitate în proprietatea unei funcții „fiind continuă” în raport cu delta: aproximativ vorbind, în punctul $%x_1$% funcția este continuă cu un delta, iar în punctul $%x_2$% - cu o altă deltă.
Cum să înțelegeți δ>0, dacă funcția este continuă, atunci pentru orice epsilon trebuie să existe o deltă.>
Ai remarcat corect asta Dacă funcția este continuă, atunci pentru orice epsilon există o deltă. Cu toate acestea, în practică, situația este adesea așa - vi se oferă o funcție (de exemplu, $%y=3+x$%) și un punct (de exemplu, $%x_0=2$%). Întrebarea este, va fi funcția $%f$% continuă în punctul $%x_0$%? Cum să aflu? Cel mai metoda de baza- aceasta este pentru a verifica dacă definiția continuității unei funcții într-un punct este îndeplinită. Și anume, îți voi oferi epsilon diferit ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% și așa mai departe), iar tu vei selecta pentru mine o astfel de deltă în funcție de din acest epsilon și punctul x sunt zero, că definiția este îndeplinită. Dacă, după ce voi enumera toți epsilonii pozitivi pentru dvs. (acest lucru nu va fi ușor, dar totuși), se dovedește că ați găsit o astfel de deltă pentru fiecare epsilon, atunci vom fi de acord că funcția în acest moment este continuă. Dacă la un moment dat vă spun un astfel de epsilon (de exemplu, $%\varepsilon=1/1000$%), pentru care nu puteți găsi o deltă astfel încât definiția să fie satisfăcută, atunci funcția nu poate fi continuă în acest moment ( nu satisface definitia continuitatii).
Când condiția |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
În acest citat al tău l-am înlocuit continuitate uniformă la cea obișnuită (se simte că trebuie să te ocupi mai întâi de ea). Rețineți că pentru a recunoaște o funcție ca fiind discontinuă (nu continuă), este necesar ca definiția continuității(care se află la începutul mesajului) nu a fost executat. Și nu doar o parte din această definiție, ci întreaga chestie. În loc să se definească în acest caz, ar trebui să fie executat negație logică. Regula mnemonică pentru alcătuirea unei negații este următoarea: trebuie să înlocuiți toți cuantificatorii „există” (pictograma $%\exists$%) și „pentru orice” (pictograma $%\forall$%) cu contrariile lor (adică, $%\exists$% trebuie înlocuit cu $ %\forall$% și înlocuiți $%\forall$% cu $%\exists$%). De asemenea, trebuie să schimbați semnul ultimei inegalități cu cel opus (în în acest caz,$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funcția $%f(x)$% este discontinuă (adică, nu continuă) în punctul $%x_0$% dacă $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Din aceasta vedem că criteriul dumneavoastră pentru lipsa de continuitate (condiția $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Pentru a înțelege mai bine acest lucru, este util să analizați în mod independent câteva exemple de bază pe acest subiect (de exemplu, examinați o funcție foarte simplă pentru continuitate în punctul $%x_0$% și dacă este continuă acolo, atunci indicați în mod explicit $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, iar dacă este discontinuă, atunci indicați $%\varepsilon$% pentru care se efectuează negația etc.). După ce vă familiarizați cu definiția continuității și negația acesteia (în general și în limbajul $%\varepsilon$%-$%\delta$% în special), trecerea la continuitatea uniformă va fi mult mai ușoară. Și, desigur, trebuie să citiți despre continuitate și continuitate uniformă într-un manual de analiză. Linkul pe care l-ați furnizat conține câteva materiale care amintesc mai mult de un ghid de examen, în care continuitatea uniformă este explicată într-un singur rând. Cum se poate stăpâni acest lucru (și alte concepte) în matematică în acest format este complet neclar pentru mine.
P.S. Rugăm ceilalți participanți să verifice acest răspuns (pentru a vedea dacă am afirmat totul corect), deoarece este de natură metodologică.
cometariu
Alegerea lui δ în definiția continuității uniforme depinde de ε, dar nu de X 1 ,X 2 .
Proprietăți
- Funcția uniformă continuă pe platou M, continuu Pe el. Reversul, în general, nu este adevărat. De exemplu, funcția
este continuă pe întregul domeniu de definiție, dar nu este uniform continuu, deoarece pentru orice src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> puteți specifica segment de linie cât de mic vrei lungime astfel încât la capetele sale valorile funcției vor diferi mai mult decât la un alt exemplu: funcția
este continuă pe întreaga linie numerică, dar nu este uniform continuă, deoarece
Pentru orice src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> puteți alege un segment de lungime arbitrar mică, astfel încât diferența dintre valorile funcției f(X) = X 2 la capetele segmentului vor fi mai multe, în special pe segment, diferența de valori ale funcției
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
- Scară la fel de temperată
- Scară la fel de temperată
Vedeți ce este o „funcție uniformă continuă” în alte dicționare:
Funcție continuă- Acest articol este despre o funcție de număr continuu. Pentru mapări continue în diferite ramuri ale matematicii, consultați cartografierea continuă. O funcție continuă este o funcție fără „sărituri”, adică una care are mici modificări... ... Wikipedia
FUNCȚIE CONTINUĂ- unul dintre conceptele principale analiză matematică. Fie definită funcția reală f pe o anumită submulțime de E numere reale, adică . Se numește funcția f continuu intr-un punct (sau, mai detaliat, continuu intr-un punct peste multimea E), daca pentru... ... Enciclopedie matematică
Funcție absolut continuă- O funcție se numește funcție absolut continuă pe un interval finit sau infinit dacă, pentru orice set finit de intervale disjunse, domeniul de definiție al funcției ... Wikipedia
FUNCȚIE RECURENTA- o funcție care este un punct recurent de deplasări dinamice. sisteme. Definiție echivalentă: funcție în care S este metric. spațiu, numit recurent dacă are un set precompact de valori, este uniform continuu și pentru fiecare... ... Enciclopedie matematică
Funcție aproape periodică- o funcție ale cărei valori, atunci când sunt selectate corect numere constante (aproape puncte) sunt adăugate la argument, sunt aproximativ repetate. Mai precis: funcție continuă f (x), definit pentru toate valori reale X,… … Marea Enciclopedie Sovietică
FUNCȚIE SELECTIVĂ- funcţia argumentului t, corespunzătoare în mod unic fiecărei observaţii a unui proces aleatoriu; sunt multe evenimente elementare aici. Adesea se folosesc V. f. termeni implementare, traiectorie. Proces aleatoriu caracterul mâncărime...... Enciclopedie matematică
FUNCȚIA DE DISTRIBUȚIE- orice variabilă aleatoare X este o funcție a unei variabile reale x, luând pentru fiecare x o valoare egală cu probabilitatea inegalității X
FUNCȚIE ANALITICĂ GENERALIZĂ- o funcție care satisface un sistem cu coeficienți reali care sunt funcții ale variabilelor reale x y În notație, sistemul original se scrie sub forma Dacă coeficienții A și B ai sistemului (1) pe întregul plan Ecomplex... ... Enciclopedie matematică
FUNCȚIA ARMONICĂ- o funcție reală definită în domeniul spațiului euclidian care are derivate parțiale continue de ordinul 1 și 2 în D și este o soluție a ecuației Laplace unde sunt coordonatele dreptunghiulare carteziene ale punctului x. Uneori aceasta definitie...... Enciclopedie matematică
Funcția plurisubarmonică- Funcția plurisubarmonică este o funcție cu valoare reală a variabilelor complexe din domeniul spațiului complex, care îndeplinește următoarele condiții... Wikipedia
