День знаний 1 сентября в 5 классе. Сценарий
Первый классный час, посвященный Дню знаний, проводится 1 сентября. К этому мероприятию классному руководителю 5 класса следует тщательно подготовиться. Ведь это его первая встреча с классом, которая дает возможность установить контакт с детьми, создать атмосферу доверия, непринужденности и искренности.
Важно, чтобы в этот день у детей было праздничное, приподнятое настроение. Хорошо, если дети принесут домой маленькие подарки.
Цели: познакомить с классным руководителем, с новыми предметами; определить мотивации к учебе; адаптировать пятиклассников к новой системе обучения; создать благоприятную атмосферу в классе.
Оборудование:
а) бэйджики с именами и фамилиями детей;
б) на парту каждому ученику положить листок из школьной тетради (на этом листке каждый ученик напишет поздравление своему классу);
в) на большом листе ватмана нарисовать схематического человечка (лицо будет нарисовано в процессе классного часа); слева в столбик записать пункты характеристики, которые будут заполняться в процессе урока; отдельно заготовить две рожицы из бумаги: веселую и грустную; одну из них учитель потом прикрепит к фигурке человечка;
.jpg)
г) написать записки с загадками о школьных предметах (из текста сценария) и положить их в коробку;
д) приготовить микрофон (можно игрушечный);
е) приготовить простые призы для участников игр (блокнотики, медали, флажки), чтобы каждый ученик получил какую-нибудь награду.
Музыкальное оформление
Детские песни: «Улыбка», «Вместе весело шагать по просторам», «Все мы делим пополам», «Настоящий друг» и т. п.
Оформление класса
На перемене перед классным часом подготовить доску:
а) нарисовать карту «Планета знаний 5-А класса»; на карте в произвольном порядке написать названия школьных дисциплин, изучаемых в 5 классе: русский язык, литература, риторика, иностранный язык, математика, информатика, история, граждано- ведение, природоведение, музыка, изобразительное искусство, физическая культура, трудовое обучение;
План классного часа
1. Вступительное слово.
2. Пресс-конференция классного руководителя.
3. Создание автопортрета класса.
4. Игра «Путешествие по Планете знаний».
5. Игра «Микрофон».
6. Сочинение-миниатюра «Поздравление».
7. Подведение итогов (рефлексия).
8. Экскурсия по школе. Знакомство со школьными кабинетами.
Ход классного часа
I. Вступительное слово
Классный руководитель. Дорогие ребята! Сегодня вся наша страна отмечает День знаний. Для вас - это необычный день, потому что сегодня вы впервые переступили порог средней школы. Пятый класс - это самая первая ее ступенька, но постепенно, поднимаясь со ступеньки на ступеньку, вы станете выпускниками, будете такими же красивыми и умными, как и сегодняшние наши выпускники. Знания, полученные в школе, помогут вам выбрать профессию, стать уважаемыми людьми, принести пользу нашей стране.
5 класс принесет много нового и необычного в вашу жизнь: это и новые предметы, и новые учителя, и новые проблемы, но я надеюсь, что все проблемы мы с вами преодолеем, потому что будем решать их сообща, помогать друг другу. Попытаемся сделать так, чтобы всем в нашем классе было хорошо, как в большой и дружной семье.
II. Пресс-конференция классного руководителя
Классный руководитель. А теперь разрешите представиться: я ваш классный руководитель (фамилия, имя, отчество). И я начинаю свою пресс-конференцию. В роли журналистов будете выступать вы, ребята. Вы можете задать мне свои вопросы, если хотите узнать обо мне побольше. Только, прежде чем задать мне свой вопрос, назовите, пожалуйста, свои имя и фамилию.
Примерные вопросы детей:
Сколько вам лет?
Какой предмет вы ведете?
Есть ли у вас дети?
Есть ли у вас домашние животные?
Чем вы увлекаетесь?
III. Создание автопортрета класса
Классный руководитель. На этом моя пресс-конференция закончена. Спасибо за вопросы.
Впереди у нас много трудных и интересных дел, и я надеюсь, мы с вами познакомимся поближе. Но теперь мне хотелось бы немного узнать о таинственном незнакомце по имени 5-А класс. (Показывает на лист ватмана, прикрепленный к стене.)
Помогите мне, ребята, разузнать что-нибудь об этом загадочном 5-А. Какие у него рост, вес, физическая форма? Чем увлекается наш 5-А? Какая у него дисциплина? Как он относится к учебе? Какой у него характер? Ну и, наконец, какое у него лицо? Все это мы будем сейчас выяснять и записывать рядом с этим портретом. А поможет мне тот, у кого самый красивый и разборчивый почерк. Есть среди вас такие?
К доске выходит один из учеников, берет фломастер.
Первый вопрос, самый легкий - это рост 5-А. Средний рост пятиклассника обычно 145-150 см. Что мы запишем в эту графу? Какой рост у нашего класса? Высокий или низкий, а может быть, средний?
Дети (хором). Низкий, средний, высокий.
Ученик записывает.
Классный руководитель. Теперь вес - нормальный, недостаточный, а может быть, излишний?
Дети (хором). Нормальный.
Ученик фломастером записывает.
Классный руководитель. Физическое развитие - занимается ли наш 5-А спортом? И каким?
Дети поднимают руки, по очереди называют виды спорта, которым они занимаются.
Ну, что ж, запишем, что физическая форма - отличная! А вот что касается увлечений, опять вопрос. Какие у 5-А увлечения?
Дети по очереди рассказывают о своих увлечениях. Ученик записывает.
Ну что ж, так и запишем: увлечения разносторонние.
А как у нашего 5-А с дисциплиной - хорошо или плохо?
Дети (хором). Хорошо.
Ученик записывает напротив пункта «Дисциплина» слово «хорошая».
Классный руководитель. А вот что касается учебы, тут мы пока ничего не можем написать. Почему, ребята, как вы думаете?
Примерные ответы детей:
Потому что 5-А класс еще не показал себя в учебе.
Потому что у нас не было еще ни одного урока в 5 классе.
Потому что мы даже не знаем, какие уроки у нас будут в 5 классе.
Классный руководитель. Да, эту тайну 5-А откроет нам в конце I четверти. Надеемся, что ответом будет число...
Дети (хором). Пять! Четыре!
Классный руководитель. Осталось самое простое: записать качества характера нашего 5-А. Какой он? Добрый, веселый, дружный, послушный, активный, честный, надежный, умный, сильный, смелый, справедливый?
Дети по очереди с места отвечают. Ученик записывает.
Чтобы закончить портрет нашего класса, остается только нарисовать лицо. Как вы думаете, какое у него лицо?
Учитель показывает две рожицы, улыбающуюся и грустную. Дети выбирают одну из них. Учитель прикрепляет выбранную детьми рожицу к фигурке, нарисованной на ватмане.
Вот и получился портрет 5-А класса. Спасибо всем, кто помог составить этот портрет. Теперь мы его повесим на видное место и будем внимательно наблюдать, как наш 5-А растет, становится умнее, сильнее, лучше. А вместе с ним будем расти и мы с вами.
Но мы будем не просто расти, а путешествовать по Планете знаний. Чтобы не заблудиться на этой планете, я нарисовала вам ее карту. (Показывает на доску.)
На доске в произвольном порядке написаны названия предметов, которые будут изучаться в 5 классе.
IV. Игра «Путешествие по Планете знаний»
Классный руководитель. Перед вами - карта Планеты знаний 5 класса. На этой карте есть страны и континенты, которые вам уже знакомы, а есть и неизведанные территории, о которых вам только предстоит узнать. Сейчас мы проведем путешествие по всем континентам Планеты знаний. Но названия континентов, на которые мы отправимся, зашифрованы в загадках. Загадки лежат вот в этом сундучке (Показывает коробку, куда сложены записки с загадками.)
В путешествие отправятся 3 команды, которые я назову по именам первых советских космических ракет (по рядам): «Союз», «Буран» и «Восток».
Представители команд должны выйти к доске, достать из коробки записки с загадками, громко прочитать загадку, отгадать ее с помощью своих товарищей и зачеркнуть название того континента, на котором они побывали.
За правильные ответы все получат призы!
К доске по очереди выходят ученики, вытаскивают из коробки записки с загадками, читают, дети хором отгадывают названия школьных предметов. Классный руководитель вручает призы участникам, которые читали загадки и давали ответы.
Загадки о школьных предметах (для карточек):
1. Нужная наука, для ума гимнастика,
Нас научит думать... (математика).
2. Грамотным будет любой ученик,
Если он знает... (русский язык).
3. Хочешь ездить по разным странам,
Нужно знать язык... (иностранный).
4. Книжки полюбим, повысим культуру
Мы на уроках... (литературы).
5. Укрепит мускулатуру всем детишкам... (физкультура).
6. Чтоб найти таланты у детей вокальные,
Им нужны уроки... (музыкальные).
7. Картины, краски, высокие чувства -
Этому учит... (изобразительное искусство).
8. Мастерить, работать с увлечением -
Для этого нужно... (трудовое обучение).
9. Далекое прошлое, древние территории -
Это изучает наука... (история).
10. Знать и любить природу научит... (природоведение),
Быть гражданином России научит... (граждановедение).
11. В мир компьютерной грамматики
Нас ведут уроки... (информатики).
12. Красиво говорить умеют политики и историки,
А этому учит наука... (риторика).
Классный руководитель. Ну вот и закончилось наше путешествие. Среди команд нет проигравших, а значит, на Планете знаний совсем не осталось белых пятен. А чтобы глубоко исследовать каждый континент, у нас впереди целый учебный год!
V. Игра «Микрофон»
Классный руководитель (смотрит на доску). Ой, как много разных сложных предметов и наук! А зачем их нужно учить? Я предлагаю вам сейчас подумать и в одном предложении ответить на этот вопрос: «Зачем нужно изучать школьные предметы?»
Я приглашаю к микрофону по три представителя от каждой команды. Как они у нас называются? Запомнили? Как первые советские космические корабли.
Дети (хором). «Восток», «Союз», Буран». Классный руководитель. Правильно. Пожалуйста, вы можете выходить к микрофону и отвечать на вопрос: «Зачем нужно изучать школьные предметы?»
Дети по очереди берут микрофон, произносят по 1 предложению.
Примерные ответы детей:
Чтобы получить знания и принести пользу своей стране.
Чтобы развивать свои способности и таланты, о которых мы пока даже не знаем.
Чтобы знать, как вести себя в трудных ситуациях.
Чтобы знать, как жили люди в древние времена, и не повторять их ошибок сегодня.
Чтобы раскрыть тайны природы и использовать их с пользой для всего человечества.
Чтобы сделать умные машины, которые облегчат людям их труд.
Чтобы сделать научные открытия, стать Нобелевскими лауреатами и прославить свою страну.
Чтобы быть разумным, научиться рассуждать и не совершать глупых поступков.
Чтобы собрать все знания и передать их нашим потомкам. Классный руководитель. Мне кажется, что все команды
ответили кратко и убедительно. А значит, все их представители заслуживают поощрения.
Классный руководитель вручает подарки участникам.
VI. Сочинение-миниатюра «Поздравление»
Классный руководитель. Что-то наш 5-А заскучал на сцене. А ведь у него сегодня день рождения. А его никто до сих пор не поздравил. Что же мы будем делать?
Дети высказывают свои предложения.
Давайте сочиним нашему 5-А поздравление с началом учебного года и пожелания на весь год. У вас на партах лежат листочки. Всего за 5 минут, пока будет звучать музыка, попробуйте придумать несколько теплых и красивых слов в адрес 5-А. Потом вы можете подойти и прикрепить листки с поздравлениями к портрету нашего класса. А авторы лучших поздравлений тоже получат призы!
Включается веселая музыка. Дети сочиняют поздравления. Потом скотчем прикрепляют их к «портрету» 5-А.
Учитель вручает награды детям.
VII. Подведение итогов (рефлексия)
Классный руководитель. Итак, ребята, наш праздничный классный час, посвященный Дню знаний, закончен. Что вы узнали во время этого классного часа?
Примерные ответы детей:
Мы познакомились с классным руководителем.
Мы узнали, какие предметы будем изучать в 5 классе.
Мы узнали названия советских ракет.
Мы узнали, зачем нужно учить школьные науки.
Классный руководитель. А что вам запомнилось?
Примерные ответы детей:
Как мы составляли портрет нашего класса.
Как мы отгадывали названия школьных предметов.
Как мы писали поздравления нашему классу.
VIII. Экскурсия по школе. Знакомство со школьными кабинетами
Классный руководитель. Ребята, на доске вы видите расписание уроков на сегодня. Это значит, что наше путешествие по Планете знаний продолжается. Только уже по-настоящему. Каждый урок у вас будет проходить в специальном кабинете. Сейчас мы познакомимся с расположением этих кабинетов. Для этого мы выйдем из класса и пройдем по школе. Вы не забыли, что наш 5-А - послушный, культурный, вежливый. Поэтому он будет вести себя хорошо, не шуметь - ведь в школе идут уроки!
Учитель выводит детей из класса и проводит по школе, показывая, где находятся учебные кабинеты.
Нейтан юн, наивен и удивительно податлив. Он позволяет трахать себя везде и всегда. И Колин охотно повторяет это раз за разом после того, первого.
Нейтан ни капли не возмущается, когда на очередной неофициальной школьной вечеринке Колин вваливается за ним в туалет и без всяких прелюдий загибает его над раковиной, входя быстро и не заботясь о подготовке. Колин дышит часто-часто, не открывает совсем пьяные веки и вколачивается жадно и эгоистично. Утыкается в шею и втягивает запах, потом шумно выдыхает с блаженной улыбкой, будто выкурил последний в мире косяк отборной шмали.
Он почти удовлетворен. Почти. Пока не открывает глаза.
Почти физически ощутимое разочарование режет его. Иллюзия рассыпается быстро и неотвратимо, вновь закрытые глаза не помогут. И Колин уходит, ничего не объясняя.
Нет, он не чувствует вины. Он достаточно эгоистичен для этого. Но когда Нейтан приходит к нему и сам предлагает продолжать, Колин удивлен. Милый омега, младший брат его школьного приятеля Джеральда, совсем не злится и не закатывает истерик, лишь мягко берет его за руки и клянется, что не был против и вообще ему Колин давно нравится. Визиты в дом Кавана теперь предназначены не только Джеральду.
За полгода отношений с Нейтаном его брат всё больше обгоняет Колина в росте. И Колин всё чаще ловит себя на разглядывании ложбинки его ключиц. То и дело следит, как тот нервно сглатывает на контрольных. Впервые он замечает, что запах Джеральда его возбуждает, еще с год назад на лакроссе. Пялится, не веря, в затылок давно знакомому альфе в очереди на подачу мяча. А потом, не дождавшись своей очереди, сбегает в туалет и блюет, пока не звенит звонок, выпуская школьников из душных классов.
Альфе иметь связь с альфой не принято. А Колин привык быть как все, только чуточку круче. Ловить на себе вожделеющие взгляды омег и завистливые других альф.
И вот Колин находит решение. Нейтан пахнет удивительно похоже, пожалуй чуть мягче, но разница не особо значительна. Внешне они разные: волосы у Джеральда совсем не кудрявые, в отличие от Нейтана, да и темнее, даже черные почти, пухлых щек тоже не наблюдается, а Нейтан не носит очки. Но в темноте этого не видно. Нейтан младше на год, но уже активно познает прелести секса. Жаль только, он слишком щуплый, приходится закрывать глаза, вдыхать поглубже и как можно меньше гладить его тело. Разница сквозит по пальцам, и Колин думает, что Джеральд бы так не извивался.
На рождественском ужине в доме Кавана Нейтан подвигает свой стул как можно ближе и сжимает его руку. А когда семья увлекается обсуждением лимонного пирога, он скользит рукой по бедру Колина и, нащупывая бугорок выпирающих штанов, довольно улыбается. Вот только причина не в нем, а в его старшем брате, сидящем по другую сторону от Колина. Колин непроизвольно выдыхает, радуясь, что никто не может прочесть его мысли.
Нейтан стонет на кровати своего брата. Его собственная кровать стоит всего через два метра в той же самой комнате. Но Колин, как бы невзначай, подталкивает его именно к этой. Нейтан царапает ему спину, а Колин утыкается головой в подушку, наконец вдыхая именно тот запах. Сознание мутнеет, и он чуть не шепчет “Джеральд”, но вовремя возвращает контроль. Нейтана не жалко: он получает удовольствие, а вот палиться нельзя от слова совсем.
Колин вечерами запирается в спальне и раскладывает фото в произвольном порядке. Те, что с Джеральдом, неизменно оказываются первыми. Он блуждает по ним взглядом, пытаясь завершить цепочку перехода от Джеральда к Нейтану не только на глянцевой бумаге, но и в голове. Так будет лучше. Но пока не выходит.
Он трахает Нейтана в машине Джеральда, где его запах никогда не исчезает, теряясь в обивке и смешиваясь с освежителем, болтающимся на тонкой резинке, привязанной к зеркалу заднего вида. В машине тесно. И в Нейтане было тесно. К чему-то привыкаешь, а что-то растягивается, как эти чертовы дни, когда выкинуть ненавистные мысли из головы совсем невмоготу. Как час за часом на уроках, совсем рядом с Джеральдом, когда его брат вне досягаемости.
Колин молится богам, в которых раньше не верил, и благодарит их за то, что есть хоть какой-то способ сбрасывать напряжение.
Нейтан надевает свитер брата - красный и болтающийся на худеньком теле омеги. И Колину кажется, что он всё знает и провоцирует специально. Но глаза Нейтана светлые, спокойные, без малейшего признака ревности или злости. Колин подхватывает его подмышки, усаживая на подоконник, и опять приходит в норму, прижимаясь щекой к колючей шерсти. Всё в порядке.
На выпускной церемонии учеников вызывают в произвольном порядке, и Колин идет забирать аттестат после Джеральда, стараясь не вдохнуть воздух, проходя мимо него, но как на автомате втягивает разъедающий хладнокровие аромат. Поднимается на сцену бледный и с кислой миной. Одноклассники думают, что переживает из-за оценок или боится, что на пороге школы вся его крутость и останется. Некоторые даже злорадно надеются на второе. Нейтан машет, снимая церемонию на камеру, а Колин думает, что через пару минут зажмет его в подсобке. Да всё равно где, лишь бы вытрахать из головы эту чушь.
Теперь визиты в дом Кавана принадлежат практически одному Нейтану. Джеральд увлечен учебой в колледже, и даже когда Колин застает его дома, тот погружен в конспекты и лишь бросает быстрое приветствие.
Во втором семестре Джеральд приводит на знакомство с семьей омегу. Колин тоже приглашен и разглядывает его чуть более заинтересованно, чем хотелось. Омега в меру общительный, умный и любознательный - как раз то, что нужно Джеральду. И тот искренне радуется, что и родным его выбор пришелся по душе.
Колин не ревнует: он никогда не хотел отношений с альфой. Таких отношений. Размазать себе по лбу жирный крест, указывающий на неудачника, страдающего от однополой любви. Это не для него. Но этот запах зовет к себе, как сирены на скалах, о которые разбивались моряки. А разбиваться чертовски не хочется.
Колин ходит в качалку и упорно жмет штанги, отключая мысли, что изматывают его похуже силовых тренировок.
Это кажется тупым наваждением, которому он сам позволил окутать свою жизнь. И он кривится своему отражению, сам себя раздражает. Но опять приходит в дом Кавана.
Его уже не интересуют сплетни бывших школьных друзей, но он по-прежнему хочет оставаться таким, как все.
Вот мы оба и нашли то, что нам нужно, - улыбается Джеральд на одной из летних посиделок, когда Колин переворачивает кусок мяса на гриле. Внезапные эмоции на обычно холодном непроницаемом лице заставляют Колина непроизвольно засмотреться. Задевая раскаленную решетку, он матерится, жир капает на угли и шипит. Колин гортанно усмехается, а мышцы, выглядывающие из под майки с короткими рукавами, напрягаются от крепко сжатых кулаков. Нейтан наблюдает издалека, но опять ни о чем не спрашивает. А Колин прячет пальцы в волосах с всё так же, как и в школе, выбритыми висками, чтобы унять мелкую дрожь. Его бесит собственная реакция. Так бесит, что он напивается к вечеру в стельку, и Нейтану приходится тащить его домой.
Колин ни разу не извиняется, только продолжает трахать Нейтана на кровати его брата, которая постепенно начинает терять свою прелесть. Запах омеги Джеральда остается на постельном белье, въедается в обивку машины, в кожу на руле. Даже от освежителя на зеркале заднего вида, кажется, пахнет не альпийскими лугами, а этим вездесущим парнем. Этот запах везде, и Колин чувствует, что сам им пропитался.
Жизнь позволяет двигаться нам в произвольном порядке, выстраивая свою партию на шахматной доске, и финал не может быть предугадан.
Колин посылает удушающую одержимость к чертям. На удивление, Нейтан не плачет, не задает вопросов и не скребется по ночам к нему в окно. Становится совершенно ясно: он все-таки знал. Не просто догадывался, а точно знал и сознательно пошел на такие отношения. Но Колину по-прежнему плевать.
Он находит себе омегу: поразительно безвкусного. Стерильный, как стекло вазы на столе в их новом доме, он не будоражит рецепторы, не выворачивает наизнанку. Становится необходимой отдушиной. Рядом с ним просто тихо. Он никакой. Но Колину это нравится.
Выборы, осознанные и не совсем, сплетают паутину с красивыми узорами, липкую, завлекающую, но которая может не всем нравиться. Главное - не запутаться в ней, если не хочешь.
Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка?
Ответ: 4%.
Решение. Пусть ширина замка равна a , а ширина пристройки - b . Тогда первоначальный периметр равен 4a , а итоговый периметр равен 4a + 2b .
1, 1 · 4a = 4a + 2b ⇔ b = 0, 2a .
Отсюда площадь замка стала равна a 2 +(0, 2a ) 2 = 1, 04a 2 , то есть площадь увеличилась на 4%.
Критерии.
Верно найдена сторона пристройки, однако дальнейшее решение отсутствует или неверно: 4 балла.
Задание 2. (7 баллов)
Известно, что a 2 + b = b 2 + c = c 2 + a . Какие значения может принимать выражение a (a 2 — b 2) + b (b 2 — c 2) + c (c 2 — a 2)?
Ответ: 0.
Решение. Заметим, что равенство a 2 + b = b 2 + c можно записать в виде:
a 2 — b 2 = c — b . Аналогично имеем b 2 — c 2 = a — c , c 2 — a 2 = b — a . Подставляя эти равенства в искомые выражения, получаем, что
a (a 2 — b 2) + b (b 2 — c 2) + c (c 2 — a 2) = a (c — b ) + b (a — c ) + c (b — a ) = 0 .
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
Задание 3. (7 баллов)
На доске в произвольном порядке выписаны числа от 1 до 2017. Два числа можно поменять местами, если одно из них делится на другое. Докажите, что за несколько таких операций числа можно расположить в порядке возрастания.
Решение. Покажем, как поставить число k ≠ 1 на k -ое место. Пусть на k -ом месте стоит число n . Поменяем сначала n с 1, затем поменяем k с 1. Тогда k действительно окажется на своём месте.
Последовательно ставя на свои места числа 2017, 2016, . . . , мы поставим все числа в порядке возрастания.
Критерии. Любой верный алгоритм действий: 7 баллов.
На примере маленького количества чисел (например, для трёх или четырёх) показано, как расставить числа в порядке возрастания: 0 баллов.
Задание 4. (7 баллов)
Сравните величины углов BAC и CED (см. рисунок). Свой ответ обоснуйте.
Ответ: эти углы равны.
Решение. Пусть K - основание перпендикуляра, опущенного из B на AC .
Рассмотрим треугольники ABK и EDC . Они оба прямоугольные, причем их катеты относятся как 1: 3. Значит, тангенсы отмеченных углов равны 1/3, то есть сами углы тоже равны.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
Задание 5. (7 баллов)
Лёша не поленился вычислить сумму
и выписать ее на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?
Ответ: 2013.
Решение. Преобразуем выражение:
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Показано, что исходная сумма равна
но дальнейшее решение отсутствует или в нём допускается арифметическая ошибка: 5 баллов.
Приведён только верный ответ: 1 балл.
Задание 6. (7 баллов)
Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих - не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?
Ответ: 15 мудрецов.
Решение. Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета.
Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие.
15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Доказано, что больше 15 мудрецов не может быть, но не приведён пример, как надеть колпаки на 15 мудрецов: 6 баллов.
Доказано, что на двух мудрецах, между которыми стоят 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета, однако дальнейшее рассуждение отсутствует или неверно: 2 балла.
Приведён пример расстановки 15 мудрецов, удовлетворяющей условию, но не доказано, что больше мудрецов поставить нельзя: 1 балл.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
В решениях задач о конечных последовательностях из целых чисел, букв, фишек, расстановках их по окружности или в таблице сочетаются различные соображения, связанные с делимостью, комбинаторикой, оценками, использующими индукцию.
Задачи с решениями
1. Сто разных фишек положены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?
Так как разрешается менять местами лишь фишки, стоящие через одну, то фишка, стоящая на чётном месте, может оказаться лишь на чётном месте, поэтому, например, сотая фишка не может стать первой.
Ответ: не удастся.
2. Дана таблица 4 на 4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
Ясно, что расположение семи звездочек, показанное на рисунке ниже, удовлетворяет условию задачи.
Если же звездочек шесть или меньше, то найдутся два столбца, в каждом из которых стоит не более одной звездочки. Вычеркнем оставшиеся два столбца. После этого останется не больше двух звездочек, которые можно вычеркнуть вместе со строками, в которых они стоят.
Замечание. Было бы интересно исследовать общую аналогичную задачу: какое наименьшее число звездочек можно расставить в таблице m на n, чтобы при вычеркивании любых k столбцов и t строк оставалась хотя бы одна звездочка. (Здесь k, t, m, n – натуральные числа, k
3. Дан правильный 45-угольник. Можно ли расставить в его вершинах цифры 0, 1, ... , 9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, концы которой занумерованы этими цифрами?
Цифра а образует 9 пар (с каждой из девяти остальных цифр). Чтобы для всех этих пар нашлась сторона 45-угольника, занумерованная соответствующими цифрами, необходимо поставить а по крайней мере в пяти его вершинах. Так как цифр всего десять, то для их размещения необходимо 50 мест. Поэтому требуемое в условии размещение цифр невозможно.
Замечание. С другой стороны, если n четно, то числа 0, 1, 2, ... , n можно так расставить в вершинах правильного (n+1)(n+2)/2-угольника, чтобы для каждой пары этих чисел нашлась сторона с соответствующими числами на концах.
Ответ: нельзя.
4. а) Можно ли выписать в строчку 25 чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел – отрицательна?
б) Один человек каждый месяц записывал свой доход и расход. Может ли быть так, что за любые пять идущих подряд месяцев его общий расход превышал доход, а в целом за год его доход превысил расход?
а) Приведём пример:
–9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9.
Здесь шестнадцать чисел равны 5 и девять чисел равны –9. Очевидно, что сумма любых трёх соседних чисел равна 1, а сумма всех 25 чисел равна –1.
Ответ: можно.
б) Приведем пример:
2, 2, 2, 2, –9, 2, 2, 2, 2, –9, 2, 2.
Здесь выписаны подряд (с учетом знака) разности между доходами и расходами человека (сальдо) за каждый месяц года. Мы видим, что сумма любых пяти последовательных чисел выписанной цепочки отрицательна, равна –1, а в целом за год сумма всех чисел положительна, равна 2.
Ответ: можно.
Замечание. Обобщение рассмотренных задач: в строчку выписано n чисел, при этом сумма любых k соседних чисел положительна (отрицательна); может ли в такой ситуации сумма всех n чисел быть отрицательной (положительной)? Ответ здесь такой: если n кратно k, то этого быть не может, а если n не делится на k, то может. В задаче а) n = 25, k = 3, в задаче б) n = 12, k = 5.
5. Можно ли на окружности расположить числа
а) 0, 1, 2, ... , 9 так, чтобы любые два соседних отличались на 3, 4 или 5;
б) 1, 2, 3, ... , 13 так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
а) Заметим, что никакие два из чисел 0, 1, 7, 8, 9 не могут стоять рядом. Значит, они должны стоять через одно, а остальные пять чисел – между ними. Однако число 2 не может оказаться ни на одном из пяти оставшихся мест, ведь рядом с ним из выписанных чисел может стоять только 7.
Ответ: нельзя.
б) Никакие два из чисел 1, 2, 3, 11, 12, 13 не могут стоять рядом. Следовательно, в шесть промежутков между ними надо поставить остальные семь чисел. В одном из этих промежутков будут два числа из оставшихся, в остальных по одному. Рассмотрим теперь числа 4 и 10. Только 1 может стоять рядом с 4 и только 13 рядом с 10. Тогда 4 и 10 должны стоять рядом, но это противоречит условию.
Ответ: нельзя.
6. а) Докажите, что числа 1, 2, 3, ... , 32 можно расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними.
б) Можно ли числа 1, 2, 3, ... , 100 расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
а) Чтобы получить требуемую расстановку, в одной половине строки запишем четные числа, а в другой – нечетные. При этом полусумма любых двух чисел из разных половин будет не целой и поэтому не содержится между ними. Затем с первой и второй половинами проделаем аналогичную процедуру: каждую из них разобьем на две четверти и разместим в них числа вида 4k, 4k+2, 4k+1 и 4k+3 соответственно: при этом полусумма чисел из разных четвертей в левой половине будет нечетной, а в правой – четной и поэтому не содержится между ними, далее разобьем каждую четверть пополам, причем роль «четных» и «нечетных» чисел теперь будут играть числа с разными остатками от деления на 8 и так далее. В итоге получится такая расстановка:
8, 24, 16, 32, 4, 20, 12, 28, 6, 22, 14, 30, 2, 18, 10, 26,
7, 23, 15, 31, 3, 19, 11, 27, 5, 21, 13, 29, 1, 17, 9, 25.
Доказательство окончено.
б) Для того чтобы доказать это утверждение для любого количества N чисел, достаточно доказать его для N = 2 n (лишние числа можно выбросить; например, из расстановки 128 = 2 7 чисел можно выбросить числа большие 100 и получить нужную расстановку N = 100 чисел). Основная идея уже показана в решении а); более формально и коротко можно изложить доказательство как индукцию по n.
Для n = 1 и n = 2 утверждение очевидно: годятся расстановки (1, 2), (2, 4, 1, 3).
Если a 1 , a 2 , ... , a N – расстановка N = 2 n чисел 1, 2, ... , N, удовлетворяющая условию, то
2a 1 , 2a 2 , ... , 2a N , 2a 1 – 1, 2a 2 – 1, ... , 2a N – 1
будет расстановкой 2N = 2 n+1 чисел 1, 2, ... , 2N, также, как нетрудно убедиться, удовлетворяющей условию: для чисел из разных половин – по соображениям четности, для чисел из одной половины – по предположению индукции.
Ответ: можно.
7. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размером
а) 8 на 8 клеток,
б) n на n клеток,
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центры полей.)
Расположение такого количества фишек ясно из рисунков 1 и 2. Доказательство того, что меньшим числом обойтись нельзя, проще для четного n; на каждой прямой, параллельной одной диагонали, должно стоять по фишке, а на самой диагонали – две (в углах).
Другое доказательство: на каждой показанной на рисунках пунктиром прямой должно стоять по фишке. Именно это доказательство переделывается на случай нечетного n (рисунок 2): кроме 2n–2 пунктирных прямых (на каждой – по фишке), следует рассмотреть еще шесть прямых, соединяющих центры клеток A, B, C, D; на них нужно потратить еще не менее 3 фишек.
Ответ: а) 16 фишек при n = 8; б) 2n фишек при четном n, 2n+1 – при нечетном n.
8. В клетках шахматной доски в произвольном порядке записаны числа 1, 2, 3, ... , 63, 64, по одному в каждой клетке. За один вопрос, указав любую совокупность полей, можно узнать множество чисел, записанных на этих полях. Докажите, что за шесть таких вопросов можно узнать распределение чисел от 1 до 64 по клеткам шахматной доски.
Сформулируем шесть вопросов, ответы на которые позволяют узнать распределение чисел от 1 до 64 по клеткам шахматной доски.
Пусть М i , – множество всех чисел, записанных в клетках 1-й горизонтали доски, где i = 1, 2, ... , 8. Сначала укажем три вопроса, которые позволяют определить распределение чисел по горизонталям, то есть определить множества М 1 , М 2 , … , М 8 .
Первый вопрос: «Назовите множество А всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 3-й, 4-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 2 , М 3 , М 4 ».
Заметим, что после ответа на этот вопрос становится известным не только множество А, но и множество A’ всех чисел, записанных в клетках 5-й, 6-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М 5 , М 6 , М 7 , М 8 .
Второй вопрос: «Назовите множество В всех чисел, записанных в клетках 1-й, 2-й, 5-й, 6-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 2 , М 5 , М 6 ».
После ответа на этот вопрос становится известным и множество B’ всех чисел, записанных в клетках 3-й, 4-й, 7-й, 8-й горизонталей доски, – объединение множеств М 3 , М 4 , М 7 , М 8 .
Третий вопрос: «Назовите множество С всех чисел, записанных в клетках 1-й, 3-й, 5-й, 7-й горизонталей доски, – объединение множеств М 1 , М 3 , М 5 , М 7 ».
Если известно множество С, то, очевидно, известно и множество C’, являющееся объединением множеств М 2 , М 4 , М 6 , М 8 .
Зная множества А, В, С (а следовательно, и множества A’, B’, C’), можно найти любое из множеств М 1 , М 2 , … , М 8 . Действительно, множество М 1 –это общая часть множеств А, В, С; множество М 2 – это общая часть множеств А, В, C’; множество М 3 – это общая часть множеств А, B’, С; множество М 4 – это общая часть множеств A, B’, C’ и так далее.
Зная множества М 1 , М 2 , … , М 8 и множества N 1 , N 2 , … , N 8 , можно определить число в любой клетке шахматной доски. Действительно, в клетке на пересечении i-й горизонтали и j-й вертикали записано число, которое является общим для множеств М i и N j .
9. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них – точные квадраты?
Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x 1 , x 2 , ... , x 10 и S. Тогда
S – x 1 = n 1 2 ,
S – x 2 = n 2 2 ,
S – x 10 = n 10 2 ,
где n i – натуральное число. Следовательно, S = (n 1 2 + n 2 2 + … + n 10 2)/9. Пусть n k = 3k (k =1, ... , 10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа x i = S – n i 2 удовлетворяют требованиям задачи. Например,
x 1 + x 2 + ... + x 9 = 9S – (n 1 2 + n 2 2 + ... + n 9 2) = n 10 2 .
Ответ: да, существуют.
10. Правильный шестиугольник разбит на 24 треугольника. Во всех 19 узлах фигуры, показанной на рисунке
записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 треугольников, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания, если мы будем считать против часовой стрелки.
Пусть числа а и b (а
Если числа, записанные в вершинах некоторого треугольника, возрастают при обходе вершин против часовой стрелки, то внутри этого треугольника находятся ровно 2 стрелки, если по часовой стрелке – то ровно одна. Пусть n – количество треугольников первого типа, второго – m (n + m = 24). Общее количество N стрелок внутри шестиугольника равно
2n + m = 2n + 24 – n = n + 24.
Осталось доказать, что N > 31 (тогда n = N – (n + m) > 31 – 24 = 7).
Стрелки, отвечающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведомо лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутрь. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы все большее число.) Итак, N > 30.
Доказательство окончено.
Задачи без решений
1. Какое максимальное число дамок можно расставить на чёрных полях шахматной доски размером 8 на 8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?
2. Можно ли вершины куба занумеровать различными трёхзначными числами, составленными из цифр 1 и 2 так, чтобы номера любых двух соседних вершин различались не менее чем в двух разрядах?
3. Можно ли написать все 12 чисел 1, 2, … , 12 на окружности так, чтобы для любых трёх чисел a, b, c, стоящих подряд, число b 2 = a·c делилось на 13?
4. На листе клетчатой бумаги размером 50 на 50 клеток в каждой клетке записано число. Известно, что в каждых четырёх клетках, которые можно покрыть фигурой вида
сумма чисел равна 4. Докажите, что каждое число равно 1.
5. В концах диаметра окружности стоят единицы. Каждая из получившихся полуокружностей делится пополам, и в её середине пишется сумма чисел, стоящих в концах (первый шаг). Затем каждая из четырёх получившихся дуг делится пополам, и в её середине пишется число, равное сумме чисел, стоящих в концах дуги (второй шаг). Такая операция проделывается n раз. Найдите сумму всех записанных чисел.
