Математические пакеты. Информационные технологии для математических вычислений на примере пакета Maple

В настоящее время программные средства, ориентированные на решение математических задач (при этом, под математической понимается любая задача, алгоритм которой может быть описан в терминах того или иного раздела математики), весьма обширны и условно могут быть дифференцированы на пять уровней:

1. встроенные средства различной степени развития той или иной системы программирования; (системы программирования, как Basic, С, Pascal)

2. специальные языки программирования; (Fortran, Prolog)

3. узкоспециальные.(пакеты MacMath, Phaser, Eureka)

4. специальные (пакеты StatGraf, Macsyma, Dynamics, Derive)

5. общие пакеты. (MathCAD, REDUCE, MatLab )

Наконец, современное развитие компьютерных технологий, ориентированных на создание интегрированных пакетов multimedia- технологии привело к появлению но­вого уровня математических пакетов, из которых наиболее известными являются па­кеты MAPLE V фирмы Maple Software Inc. и Mathematica фирмы Wolfram Research Inc.

Пакет MATHCAD как средство решения математических задач.

Общая характеристика пакета

Пакет имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты их набора типа предлагаемых в Microsoft Equation

Mathcad оборудован текстовым процессором, позволяющим, например, оформить статью без помощи специализированных средств.

Особенности ввода:

· Мнимая единица записывается как i или j сразу после числового множителя.

· Углы по умолчанию задаются в радианах.

· Латинские буквы, цифры и знаки операций, включая возведение в степень

· указывающие прядок действий круглые скобки

Набираются непосредственно с клавиатуры.

Нажатие вслед за набором латинской буквы преобразует ее в греческую.

Умножение набирается как *, деление - посредством /. В процессе ввода, знак умножения автоматически заменяется точкой, а делимое и делитель представляются как числитель и знаменатель дроби. Знак возведения в степень переводит последующее выражение в показатель степени, а открывающая квадратная скобка - в индекс. Возврат на основной уровень строки, (а также переход к набору знаменателя) выполняется нажатием .

Набор \ вызывает шаблон для квадратного корня, апострофа - появление круглых скобок вокруг выделенного подвыражения, вертикальной черты - шаблон для вычисления абсолютной величины или определителя матрицы.

Присваивание переменным; числовых значений производится набором кон­струкции <имя>:<число> (двоеточие будет заменено знаком присваивания).

Например x:6 получаем на экране x:=6.<

Вывод результатов выполняется по нажатию клавиши [=]. Знаки равенства в условиях и уравнениях набираются только по . Набор завершается нажатием или щелчком мышью вне поля набора.

Интерфейс пакета MATHCAD

MathCAD работает с документами . С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.

Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение - слева направо и сверху вниз. Точка ввода на рабочем листе отмечается красным крестиком он называется «визир »

Математические выражения

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

Операторы - элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.

К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы)

Функции

Функция - выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.

Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок.

Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции.

Главным признаком функции является возврат значения , т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные. Способы вставки встроенной функции

· Выбрать пункт меню Вставка / Функция.

· Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

· Щелкнуть на кнопке

Текстовые области

Текстовая область предназначена для небольших кусков текста - подписей, комментариев и т. п. Вставляется с помощью команды Вставка / Текстовая область или комбинации клавиш Shift + " (двойная кавычка).

Графические области

Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика :

1. Установить визир в пустом месте рабочего документа.

2. Выбрать команду Вставка / График / Х-У график, или нажать комбинацию клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку

Графики. Появится шаблон декартового графика.

3. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую - вторую и так до 10, например х1, х2, …

4. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую - вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.

5. Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y).

Пример:

Решение математических задач с помощью MATHCAD

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f (x ) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

root(f (х 1, x 2, … ), х 1, a, b )

Возвращает значение х 1 , принадлежащее отрезку [a, b ] , при котором выражение или функция f (х ) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы

f (х 1, x 2, … ) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х 1 - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b .

Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть:

1. Известны из физического смысла задачи.

2. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f (x ) = 0 - это точки пересечения графика функции f (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x ) и отметить точки пересечения f (x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

Пример решения нелинейного уравнения:

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

nx n + ... + v2x 2 + v 1x + v 0,

лучше использовать функцию polyroots , нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v )

возвращает корни полинома степени n . Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n +1. Возвращает вектор длины n , состоящий из корней полинома.

Аргументы: v - вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Вектор v удобно создавать использую команду Символы Þ Коэффициенты полинома.

Пример нахождения корней полинома:

Решение систем уравнений

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

1. Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

2. Напечатать ключевое слово Given . Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

3. Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте = для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,

тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение), аналитическое решение уравнений и систем;

дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;

решение дифференциальных уравнений;

проведение серий расчетов с разными значениями начальных условий и других параметров.

При этом спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:

• проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;
• разработка и анализ алгоритмов;
• математическое моделирование и компьютерный эксперимент;
• анализ и обработка данных;
• визуализация, научная и инженерная графика;
• разработка графических и расчетных приложений.

Принципы построения математических моделей. Основные этапы моделирования.

Математическое моделирование –создание математического описания реального объекта и изучение этого описания.

Принципы построения математических моделей

Основные этапы моделирования

Весь процесс моделирования можно подразделить на следующие этапы:

постановка задачи моделирования;

построение схемы модели, выделение основных частей и процессов;

определение критерия оптимизации или значения, которое надо рассчитать;

выделение основных изменяемых параметров;

математическое описание основных частей и процессов;

построение решения, связывающего изменяемые параметры и критерий оптимизации или рассчитываемое значение;

исследование решения на экстремум или расчет искомого параметра.

Постановка задачи моделирования

Постановка задачи обычно формулируется в виде словесного описания. На этапе постановки должен быть описан объект моделирования, цели построения модели и критерии оптимизации.

Построение схемы модели, выделение основных частей и процессов

На этом этапе, на базе постановки задачи, объект моделирования делится на основные части и определяется перечень процессов взаимодействия этих частей.

Здесь пакеты общего назначения также ничем помочь не могут. Специализированные пакеты, обычно, уже содержат элементы деления модели на части для своей предметной области.

Должен быть сформулирован поддающийся количественной оценке критерий оптимизации или искомый количественный параметр.

Должен быть сформулирован перечень всех изменяемых параметров и их характерное количественное выражение.

Математическое описание основных частей и процессов

Взаимодействие частей модели должно быть выражено математическими формулами. Раздел математики, который будет использован для описания, выбирается из соображений удобства. Т.е. прежде всего, этот раздел должен иметь возможность количественного описания данного типа взаимодействий.

Результатом этого этапа является система уравнений или иных математических выражений формально описывающая взаимодействие частей и допускающая решение, т.е. получение зависимости: критерий оптимизации как функция изменяемых параметров.

В частности, желательна замкнутость системы уравнений и наличие формального доказательства существования решения.

Здесь пакетам общего назначения предоставляют только аппарат. Специализированные пакеты, обычно, имеют предопределенный математический аппарат и опираются на готовое математическое описание задачи.

Построение решения, связывающего изменяемые параметры и критерий оптимизации

Строится РЕШЕНИЕ, т.е. определяется явная функциональная связь: критерий оптимизации или расчетный параметр как функция изменяемых параметров.

Именно этот этап и есть основное поле приложения сил прикладных пакетов математического моделирования. Это связано с тем, что аналитические решения для математического описания сложных объектов обычно невозможны. И построение решения сводится к построению «численного решателя», который по заданным значениям изменяемых параметров может вычислить значение критерия оптимизации.

В редких случаях существования аналитического решения модели, роль прикладных пакетов математического моделирования низводится до определения функции-решения.

Существуют особые подсистемы прикладных пакетов математического моделирования - системы аналитических (символьных) вычислений - эти подсистемы могут использоваться для максимизации аналитичности решения, т.е. замены численных методов на поиск функционального выражения решений. Аналитические решения практически всегда «лучше» численных, ибо позволяют выразить искомые закономерности через известные функции, что сильно ускоряет расчеты и повышает точность вычислений.

Исследование решения на экстремум

Сложность исследования решения на экстремум чаще всего связана с значительными затратами времени на вычисление критерия оптимизации по заданным значениям изменяемых параметров и/или многочисленностью допустимых сочетаний изменяемых параметров, приводящему к огромному количеству вычислений и, опять же, значительным затратам времени.

Этот этап - еще одно поле приложения сил пакетам. Методы исследования функций на экстремумы хорошо разработаны в математике и могут быть формально применены к любой заданной функции.

Parametric Surface Creator

Surfer

пакет Simulink

gnuplot ImageMagick

Parametric Surface Creator

Программа предназначена для наглядного представления геометрических объектов, описываемых параметрически задаваемыми поверхностями, таких как сфера, тор, лента Мёбиуса и прочие. Для описания объектов используется Паскаль-подобный язык с поддержкой всех стандартных математических функций языка Паскаль и нескольких дополнительных. Полученный объект отображается в векторной форме с использованием оригинального алгоритма растеризации векторов, позволяющим получить плавное и естественное изображение даже на низком разрешении монитора и не требующим никакой аппаратной поддержки. Возможен экспорт изображения в BMP файл.

Surfer - программа для создания трехмерных поверхностей. Коммерческие программы-симуляторы для задач с преобладанием "логических аспектов": AutoMod, Process Model, SIMFACTORY и др.

пакет Simulink , ориентированный именно на задачи имитационного моделирования.

gnuplot 1 – популярная программа для создания двух- и трёхмерных графиков. gnuplot имеет собственную систему команд, может работать интерактивно (в режиме командной строки) и выполнять скрипты, читаемые из файлов. Используется gnuplot в качестве системы вывода изображений в различных математических пакетах: GNU Octave, Maxima и многих других. ImageMagick – кроссплатформенный пакет программ для пакетной обработки графических файлов. Поддерживает огромное количество графических форматов. Может использоваться с языками Perl, C, C++, Python, Ruby, PHP, Pascal, Java, в скриптах командной оболочки или самостоятельно.

Использование компонентов

В документах-программах Mathcad есть возможность вставки модулей (component

) других приложений для расширения возможностей визуализации, анализа данных, выполнение специфических вычислений.

Для расширенной визуализации данных предназначен компонент Axum Graph. Для работы с табличными данными - Microsoft Excel .

Компоненты Data Acquisition, ODBC Input позволяют пользоваться внешними базами данных .

Предлагаются также бесплатные модули (add-in) для интеграции Mathcad с программами Excel, AutoCAD .

Для статистического анализа предназначен компонент Axum S-PLUS Script.

Значительное расширение возможностей пакета достигается при интеграции со сверхмощным приложением MATLAB.

Комплектации

Версии Mathcad могут отличатся комплектацией и лицензией пользователя. В разное время поставлялись версии Mathcad Professional , Mathcad Premium , Mathcad Enterprise Edition (отличаются комплектацией). Для академических пользователей предназначена версия Mathcad Academic Professor (обладает полной функциональностью, но отличается лицензией пользователя и имеет в несколько раз меньшую стоимость).

Некоторое время выпускались также упрощенные и заметно «урезанные» студенческие версии программы.

Однако пока математические возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MatLab и даже малютке Derive. Однако по программе MathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе у нас в России. Сегодня эта система стала буквально международным стандартом для технических вычислений и даже многие школьники осваивают и используют MathCad. Для небольшого объема вычислений MathCad идеален - здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде (MathCad предоставляет широкие возможности для оформления результатов, вплоть до публикации в Интернете). Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа.

В общем, MathCad - это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.

В качестве более дешевых, простых, но идеологически близких альтернатив программе MathCad можно отметить такие пакеты, как уже упомянутый YaCaS, коммерческую систему MuPAD (http://www.mupad.de/ ) и бесплатную программу KmPlot

Математический пакет Mupad

Что касается программы MuPAD (Рисунок 2.6), то она представляет собой современную интегрированную систему математических вычислений, при помощи которой можно производить численные и символьные преобразования, а также чертить двумерные и трехмерные графики геометрических объектов. Однако по своим возможностям MuPAD значительно уступает своим маститым конкурентам и является, скорее, системой начального уровня, предназначенной для обучения.

MuPAD Pro 3 – это сравнительно новая система компьютерной алгебры с обширным набором инструментов, включающая математические алгоритмы для символьных и численных расчётов, и инструментарий для визуализации, анимации и интерактивных манипуляций с двумерными и трёхмерными графиками и другими математическими объектами.

Ключевые возможности Matlab

· Платформонезависимый высокоуровневый язык программирования ориентированный на матричные вычисления и разработку алгоритмов

· Интерактивная среда для разработки кода, управления файлами и данными

· Функции линейной алгебры, статистики, анализ Фурье, решение дифференциальных уравнений и др.

· Богатые средства визуализации, 2-D и 3-D графика.

· Встроенные средства разработки пользовательского интерфейса для создания законченных приложений на MATLAB

· Средства интеграции с C/C++, наследование кода, ActiveX технологии

В базовый набор MatLab входят арифметические, алгебраические, тригонометрические и некоторые специальные функции, функции быстрого прямого и обратного преобразования Фурье и цифровой фильтрации, векторные и матричные функции. MatLab «умеет» выполнять операции с полиномами и комплексными числами, строить графики в декартовой и полярой системах координат, формировать изображения трехмерных поверхностей. MatLab имеет средства для расчета и проектирования аналоговых и цифровых фильтров, построения их частотных, импульсных и переходных характеристик и таких же характеристик для линейных электрических цепей, средства для спектрального анализа и синтеза.

Библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самой MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения).

Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:

· операции с матрицами;.

· сравнение матриц;

· решение линейных уравнений;

· разложение операторов и поиск собственных значений;

· нахождение обратной матрицы;

· поиск определителя;

· вычисление матричного экспоненциала;

· элементарная математика;

· функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;

· основы статистики и анализа данных;

· поиск корней полиномов;

· фильтрация, свертка;

· быстрое преобразование Фурье (FFT);

· интерполяция;

· операции со строками;

· операции ввода-вывода файлов и т.д.

При этом все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системе MatLab, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. Поэтому MatLab давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики.

Математический пакет Maple.

Maple (http://www.maplesoft.com/ )

Процессор Pentium III 650 МГц;

400 Мбайт дискового пространства;

Операционные системы: Windows NT 4 (SP5)/98/ME/2000/2003 Server/XP Pro/XP Home.

Программа Maple (последняя версия 10.02) - своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. (Рисунок 2.15,2.16) Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде.

Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word. Пакет Maple - совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария).

Для его продажи была создана специальная компания - Waterloo Maple, Inc., которая, к сожалению, больше прославилась математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В результате система Maple ранее была доступна преимущественно узкому кругу профессионалов. Сейчас эта компания работает совместно с более преуспевающей в коммерции и в проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. - создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов MathCad, ставших международным стандартом для технических вычислений.

Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты.

Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно - пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.

Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд - процедур, выполняемых в режиме интерпретации.

Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику (Рисунок 2.17).

Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат - строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.

Вычисления в Maple

Систему Maple можно использовать и на самом элементарном уровне ее возможностей - как очень мощный калькулятор для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством является способность выполнять арифметические действия в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении.

Для работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется специальная команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также знает много специальных функций и математических констант (таких, например, как «е» и «пи»). Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники.

Программирование в Maple.

Система Maple использует процедурный язык 4-го поколения (4GL). Этот язык специально предназначен для быстрой разработки математических подпрограмм и пользовательских приложений. Синтаксис данного языка аналогичен синтаксису универсальных языков высокого уровня: C, Fortran, Basic и Pascal.

Maple может генерировать код, совместимый с такими языками программирования, как Fortran или C, и с языком набора текста LaTeX, который пользуется большой популярностью в научном мире и применяется для оформления публикаций. Одно из преимуществ этого свойства - способность обеспечивать доступ к специализированным числовым программам, максимально ускоряющим решение сложных задач. Например, используя систему Maple, можно разработать определенную математическую модель, а затем с ее помощью сгенерировать код на языке C, соответствующий этой модели. Язык 4GL, специально оптимизированный для разработки математических приложений, позволяет сократить процесс разработки, а настроить пользовательский интерфейс помогают элементы Maplets или документы Maple со встроенными графическими компонентами.

Одновременно в среде Maple можно подготовить и документацию к приложению, так как средства пакета позволяют создавать технические документы профессионального вида, содержащие текст, интерактивные математические вычисления, графики, рисунки и даже звук. Вы также можете создавать интерактивные документы и презентации, добавляя кнопки, бегунки и другие компоненты, и, наконец, публиковать документы в Интернете и развертывать интерактивные вычисления в Сети, используя сервер MapleNet.

Пакет Mathematica.

Mathematica (http://www.wolfram.com/ )

Минимальные требования к системе:

процессор Pentium II или выше;

400-550 Мбайт дискового пространства;

операционные системы: Windows 98/Me/ NT 4.0/2000/2003 Server/2003x64/XP/XP x64.

Компания Wolfram Reseach, Inc., разработавшая систему компьютерной математики Mathematica (Рисунок 2.27,2.28), по праву считается старейшим и наиболее солидным игроком в этой области. Пакет Mathematica (текущая версия 5.2) повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде. Можно даже сказать, что Mathematica обладает значительной функциональной избыточностью (там, в частности, есть даже возможность для синтеза звука).

Mathematica объединяет в единое целое числовое и символьное вычислительное ядро, графическую систему, язык программирования, систему документации и возможность взаимодействия с другими приложениями. Для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения дл набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям.
Однако вряд ли эта мощная математическая система, претендующая на мировое лидерство, нужна секретарше или даже директору небольшой коммерческой фирмы, не говоря уже о рядовых пользователях. Но, несомненно, любая серьезная научная лаборатория или кафедра вуза должна иметь подобную программу, если там всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей - студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в подобной системе многочисленные полезные возможности для применения.

При этом широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов. Программа Mathematica из всех рассматриваемых систем наиболее полна и универсальна, однако у каждой программы есть как свои достоинства, так и недостатки. А главное - у них есть свои приверженцы, которых бесполезно убеждать в превосходстве другой системы. Но те, кто серьезно работает с системами компьютерной математики, должны пользоваться несколькими программами, ибо только это гарантирует высокий уровень надежности сложных вычислений.

Отметим, что в разработках различных версий системы Mathematica, наряду с головной фирмой Wolfram Research, Inc., принимали участие другие фирмы и сотни специалистов высокой квалификации, в том числе математики и программисты. Есть среди них и представители пользующейся уважением и спросом за рубежом математической школы России. Система Mathematica является одной из самых крупных программных систем и реализует наиболее эффективные алгоритмы вычислений. К их числу, например, относится механизм контекстов, исключающий появление в программах побочных эффектов.

Система Mathematica сегодня рассматривается как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений.

Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:

1. Работа с символьными комплексными вычислениями, использующими сотни тысяч или миллионы членов.
агрузка, анализ и визуализация данных.

2. Решение обычных и дифференциальных уравнений, а также задач численной или символьной минимизации.

3. Численное моделирование и имитация, построение систем управления, начиная от простейших и заканчивая столкновениями галактик, финансовыми убытками, сложными биологическими системами, химическими реакциями, изучением влияния на окружающую среду и магнитными полями в ускорителях элементарных частиц.

4. Простая и быстрая разработка приложений (RAD) для технических компаний и финансовых учреждений.

5. Создание профессиональных, интерактивных, технических отчетов и документов для распространения в электронном виде или на бумаге.

6. Подробная техническая документация, например, для патентов США.

7. Проведение специальных презентаций и семинаров.

8. Иллюстрирование математических или научных концепций для учащихся, начиная от колледжа и заканчивая аспирантурой.

Версии системы под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks (записных книжек). Они объединяют исходные данные, описания алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, таблицы и графики).

Mathematica была задумана как система, максимально автоматизирующая труд научных работников и математиков-аналитиков, поэтому она заслуживает изучения даже в качестве типичного представителя элитных и высокоинтеллектуальных программных продуктов высшей степени сложности. Однако куда больший интерес она представляет как мощный и гибкий математический инструментарий, который может оказать неоценимую помощь большинству научных работников, преподавателей университетов и вузов, студентов, инженеров и даже школьников.

С самого начала большое внимание уделялось графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа - воспроизведению динамической анимации и синтезу звуков. Набор функций графики и изменяющих их действие опций очень широк. Графика всегда была сильной стороной различных версий системы Mathematica и обеспечивала им лидерство среди систем компьютерной математики.

В результате Mathematica быстро заняла ведущие позиции на рынке символьных математических систем. Особенно привлекательны обширные графические возможности системы и реализация интерфейса типа Notebook. При этом система обеспечивала динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц даже при решении символьных задач, что принципиально и выгодно отличало ее от других подобных систем.

Кстати, центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций, которое позволяет переносить систему на различные компьютерные платформы. Для переноса системы на другую компьютерную платформу используется программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы, то есть интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут обладать своими нюансами. Ядро сделано достаточно компактным для того, чтобы можно было очень быстро вызвать из него любую функцию. Для расширения набора функций служат библиотека (Library) и набор пакетов расширения (Add-on Packages). Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования систем Mathematica и являются главным средством для развития возможностей системы и их адаптации к решению конкретных классов задач пользователя. Кроме того, системы имеют встроенную электронную справочную систему - Help, которая содержит электронные книги с реальными примерами.

Таким образом, Mathematica - это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемноориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой - интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Таким образом, Mathematica как система программирования имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения (Add-ons) появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя, (хотя рядовому пользователю эти средства программирования могут и не понадобиться - он вполне обойдется встроенными математическими функциями системы, поражающими своим обилием и многообразием даже опытных математиков).

К недостаткам системы Mathematica следует отнести разве что весьма необычный язык программирования, обращение к которому, впрочем, облегчает подробная система помощи.

FlatGraph - программа для построения графиков функций (обычных и параметрических) с расширенными возможностями (Рисунок 2.33). Дифференцирование любого порядка (с упрощением). Построение касательных к графику. Программа рассчитана как на неопытного, так и на профессионального пользователя, т.к она совмещает в себе интуитивный интерфейс с профессиональными функциями.

FlatGraph позволяет:

Вводить одно или несколько функциональных выражений любой сложности для отображения и (или) их дифференцирования;

Выполнять символьное дифференцирование для указанного порядка производной, а также выполнять упрощение полученной производной;

Исследовать "живое" изменение различных параметров функций с одновременным отображением новых графиков, что позволяет определить влияние параметров функций на их вид;

Использовать автоматическое или ручное масштабирование графиков функций для линейных шкал;

Задавать и выводить графически параметрические функции, отображающие, например, эллипсоиды, кардиоиды, лемнискаты Бернулли и другие подобные графики (где абсцисса и ордината зависят от одного параметра "t");

Решать уравнений, системы уравнений и неравенств графическим способом;

Получать и отображать касательную к графику функции в точке x0(задается пользователем).

FlatGraph имеет простой и понятный интерфейс, снабжен подробнейшей документацией по использованию и примерами работы.

Математические пакеты. Моделирование. Перечислить возможности и основные задачи, решаемые пакетами.

Математические пакеты являются составной частью мира CAE-систем.(Computer Aided Engeneering) В настоящее время в математических пакетах применяется принцип конструирования модели, а не традиционное «искусство программирования». То есть пользователь ставит задачу, а методы и алгоритмы решения система находит сама. Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, а также как генератор графики или даже звука! В настоящее время практически все современные математические имеют встроенные функции символьных вычислений. Однако наиболее известными и приспособленными для математических символьных вычислений считаются Maple, MathCad, Mathematica и MatLab. Математическое моделирование – создание математического описания реального объекта и изучение этого описания.

Первоначально любые расчеты по моделям производились вручную. По мере развития вычислительных устройств, эти устройства применялись для ускорения расчетов.

Компьютер позволяет использовать его как средство автоматизации научной работы и для решения сложных расчетных задач используют различные специализированные программы.

В то же время, в научной работе встречается широкий спектр несложных математических задач, для решения которых можно использовать универсальные профессиональные средства.

К таким несложным задачам относятся, например, следующие:

подготовка научно-технических документов, содержащих текст и формулы, записанные в привычной для специалистов форме;

вычисление результатов математических операций, в которых участвуют числовые константы, переменные и размерные физические величины;

операции с векторами и матрицами;

решение уравнений и систем уравнений (неравенств);

статистические расчеты и анализ данных;

построение двумерных и трехмерных графиков;

тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение), аналитическо

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Сегодня компьютеры берут на себя огромную долю вычислительной и аналитической нагрузки современного математика. Поэтому перед сегодняшними исследователями стоят и, главное, представляются разрешимыми совсем другие задачи, нежели пол столетия назад.

Благодаря огромной мощи компьютеров становится возможным моделирование и изучение сложных и динамичных систем, которые возникают при изучении космоса, поиске новых источников энергии, создании новых технических изобретений и многих других проблем, затрагивающих сферу научно-технического прогресса. Решение любой задачи подобного рода можно свести к выполнению следующей совокупности действий:

· математическое моделирование системы;

· построение вычислительного алгоритма;

· проведение расчетов;

· сбор и анализ полученных результатов.

Ведущие математические пакеты сейчас при минимальном знакомстве легко проводят очень сложные аналитические преобразования математических выражений, берут производные, интегралы, вычисляют пределы, разлагают и упрощают выражения, рисуют графики. Причем теперь не нужно долго изучать языки программирования для освоения математических возможностей компьютера. Сейчас в математических пакетах реализовано практически всё, необходимое инженеру, экономисту, социологу, статистику. Такие всемирно известные пакеты, как Mathematica, Mathcad, MatLAB, Maple, стали не только удобной вычислительной, но и поразительно плодотворной, гибкой образовательной средой. На мой взгляд, вместе с Интернетом эти пакеты могут объединить усилия многих и многих людей, обеспечивая мощные образовательные инициативы. Ведь в компьютерных учебниках и лекциях в текст теперь вставлены не обычные, а непосредственно исполняемые формулы, с помощью которых наглядно демонстрируется суть явлений. Их можно видоизменять под собственные задачи, дополнять и расширять, получив в результате не только числа, но и новые аналитические выражения, графики, таблицы.

Использование компьютерных математических пакетов позволяет:

· расширить диапазон реальных приложений;

· для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения ОДУ, что существенно облегчает их анализ;

· сочетать профессиональную направленность, научность, системность, наглядность, интерактивность, межпредметные связи при решении ОДУ;

· мгновенно обмениваться информацией с человеком, физический контакт с которым невозможен, или трудно осуществим;

· рассматривать больше задач, благодаря сокращению количества рутинных преобразований;

· исследовать более сложные модели, так как громоздкие вычисления можно осуществить с помощью соответствующих компьютерных систем;

· уделять больше внимания качественным аспектам своей задачи.

Целью данной работы является использование информационных технологий для математических вычислений на примере пакета Maple.

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Провести сравнительный анализ современных математических пакетов: Mathematica, Maple V, MatLAB, Derive, Mathcad.

3. Применить пакет Maple на уроках математики.

4. Сделать заключение по проделанной работе.

1. Современные математические пакеты в образовании

1.1 Понятие и использование математических пакетов в образовании

Методы и формы применения компьютерных технологий в учебном процессе - актуальная методическая и организационная задача каждого преподавателя, каждого администратора школы, вуза.

При организации компьютерной поддержки образования можно выделить два направления:

· разработка компьютерных программ учебного назначения, программ, специально предназначенных для изучения определенной дисциплины;

· использование программного обеспечения, разработанного для профессиональной деятельности в соответствующей области знания; для большинства естественно научных дисциплин - это профессиональные математические пакеты.

Математическими пакетами здесь называются системы, среды, языки типа Mathematica, Maple V, MatLAB, Derive, Mathcad, а также семейство систем статистического анализа данных - таких как SPSS, Statistica, Statgraphics, Stadia и др. Современные математические пакеты - это программы (пакеты программ), обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов, от простых арифметических вычислений, до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов. Все они имеют развитые средства научной графики, удобную справочную систему, а также средства оформления отчетов. Название "профессиональный" или "универсальный" используется как альтернатива названию "учебный пакет".

Многие годы преподаватели математики, довольно четко разделялись на приверженцев использования компьютерных программ учебного назначения ("учебных пакетов", обучающих программ) и тех, кто предпочитал использовать универсальные пакеты.

Можно выделить несколько ключевых моментов, определивших коренное изменение отношения преподавателей и студентов к использованию универсальных математических пакетов.

Компьютер стал элементом "бытовой техники". Современное представление о качественном образовании включает в качестве необходимого элемента свободное владение компьютерными технологиями и, как следствие, компьютер воспринимается как предмет если не первой, то уж второй необходимости. Большинство родителей не мыслят себе воспитание собственных детей-школьников без компьютера. Все большее число студентов имеют компьютеры дома и все чаще именно студенты выступают инициаторами использования компьютерных технологий в учебном процессе. Ими движет не "игровой" интерес, как мы говорили и видели раньше, а стремление "облегчить себе жизнь", желание приобрести полезные для будущей карьеры профессиональные навыки, готовность учиться работе на компьютере не только на специальных занятиях по информатике. Можно смело утверждать, что "домашний компьютер" - самый мощный фактор, изменивший отношение преподавателей к использованию компьютера в профессиональной деятельности. Их позиция меняется под влиянием общественного мнения, под влиянием позиции студентов, а также потому, что у многих преподавателей тоже появились дома компьютеры. Отсюда понятен интерес к универсальным пакетам - научиться работать с готовым программным обеспечением значительно проще, чем самому писать программы.

В современном мире сформировались и закрепились стандарты в организации интерфейса компьютерных программ. Одна из проблем, возникающих при использовании универсальных пакетов, - затраты учебного времени на изучение правил работы с программой (на изучение интерфейса). Однако, поскольку разработчики научного математического обеспечения и разработчики пакетов "массового потребления" придерживаются одних стандартов. Благодаря этому время на изучение интерфейса конкретного научного пакета сокращается за счет использования навыков работы с программами конторского назначения.

Борьба за потребителя, стремление расширить круг пользователей, привели к тому, что сохраняя индивидуальные особенности, пакеты сближаются, становятся настолько похожими, что навыки работы с одним из них, позволяют очень быстро освоиться с работой в любом другом. Разработчики математических пакетов очень быстро оснащают свои программы всеми технологическими новшествами, быстро выпускают версии для новых платформ и операционных систем, совершенствуют командные языки, включая в них последние достижения алгоритмических языков, и т.п. Развиваются интеллектуальные возможности пакетов: добавляются новые библиотеки, модули, круг доступных исследованию задач расширяется в соответствии с модой, с появлением новых приложений, новых методов исследования и пр.

Internet - новая реалия жизни современного студента и специалиста. Благодаря глобальным компьютерным сетям, пользователь любого распространенного программного продукта получает возможность включиться в мировое сообщество потребителей этого же продукта. Он найдет в сети информацию о новинках, последние версии программы, сообщения об обнаруженных ошибках, получит консультацию специалиста, расскажет о своих находках и познакомится с хитростями других, узнает о литературе, о круге решаемых задач, часто просто найдет решение сходной задачи, и т.п.

Отдельное место занимают статистические пакеты. Сегодня математическая статистика - безусловно самый востребованный математический курс. Изученные здесь методы анализа данных широко используются в практике. Следовательно, владение приемами работы в среде универсального статистического пакета - это востребованный на рынке труда элемент качественного профессионального образования.

Математические пакеты - инструмент учебной деятельности. Студент вуза трудится, его труд - учеба. Чем совершеннее орудия труда, которые использует учащийся, тем более высоких результатов он добивается. Использование математических пакетов упрощает подготовку отчетов по лабораторным работам, помогает преодолеть технические математические трудности при решении инженерных задач, расширяет круг доступных для решения задач, помогает представить результаты вычислений в наглядной графической форме. Если уже на младших курсах, при изучении математики, физики, биологии, студент освоит приемы работы с достаточно мощным профессиональным пакетом, то он оказывается значительно лучше подготовлен к решению математических задач в различных приложениях. Он не будет бояться громоздких расчетов, будет готов решать сложные задачи, компенсируя недостаток собственных знаний использованием интеллектуальных возможностей пакета, владеет навыками представления результатов исследований в наглядной графической форме, умеет оформлять результаты исследований в форме аккуратных содержательных отчетов.

Доступность универсальных математических пакетов и их на рынке профессионального программного обеспечения. Существенным обстоятельством, которое до недавнего времени препятствовало широкому использованию профессиональных пакетов в стенах вузов, является дороговизна профессионального научного математического обеспечения. Однако в последнее время многие фирмы, разрабатывающие и распространяющие программы для науки, представляют для свободного использования (в том числе и через глобальные сети) предыдущие версии своих программ, широко используют систему скидок для учебных заведений, бесплатно распространяют демонстрационные или короткоживущие версии. Общедоступные, свободно распространяемые, версии пакетов содержат основные вычислительные и графические инструменты и, следовательно, вполне пригодны для использования в учебном процессе (модернизация математических пакетов производится, в основном, в направлении расширения круга задач, доступных для профессионального исследования, за счет добавления все более тонких вычислительных методов, расширения возможностей командных языков и адаптации к новейшим достижениям информационных технологий). С другой стороны, использование качественного программного обеспечения способствует активизации исследовательской деятельности, позволяет шире привлекать учащихся к научной работе, что, как известно, улучшает шансы научных групп при распределении грантов, и, следовательно, позволяет в последствии находить средства для приобретения более современного лицензионного программного обеспечения.

Доступность документации и справочной литературы по математическим пакетам. Если еще сравнительно недавно литературы по пакетам на русском языке практически не было, то сейчас новые версии, новые пакеты и различные руководства для пользователей по ним появляются почти одновременно. Трудно найти пакет, по которому бы не вышло на русском языке по две-три книги.

Следует заметить, что разработчики охотно предоставляют авторам для работы фирменную документацию и последние версии пакетов. Кроме того, практически все разработчики поддерживают серверы, на которых размещают описания последних новинок, информацию об обнаруженных ошибках, расширенные справочники по работе с пакетом, описания примеров решения типичных задач, и, практически всегда, информацию о пользователях в академической среде с адресами, описанием опыта и примерами использования в образовании. Можно констатировать, что сегодня справочная литература по математическим пакетам общедоступна - любой пользователь, желающий познакомиться с тем или иным пакетом и научиться работать с ним, имеет возможность получить помощь, соответствующую его личным запросам и квалификации.

1.2 Сравнительный анализ математических пакетов Au toCad, MatLab, Maple, М athematica

Анализ состоит из таблицы, в которой перечислены функциональные возможности программ. Она разделена на функциональные разделы математических, графических, функциональных возможностей и в среде программирования, раздел импорт/экспорт данных, возможности использования в различных операционных систем, сравнение скорости и информации в целом. Для упрощения анализа всех данных мы использовали простую систему оценок.

Оценка 1 ставилась для тех программ, в которых присутствуют автоматические функции, оценка 0.9 ставится тем приложениям, которые надо устанавливать отдельно. Программы в которых недоступны автоматические функции получают оценку 0 баллов. Сумма в каждом столбце является общим баллом.

В результате все оценки были оценены следующим образом:

Математические функции 38 %;

Графические функции 10 %;

Программирование обеспечение 9 %;

Импорт/экспорт данных 5 %;

Операционные системы 2 %;

Сравнение скорости 36 %.

Общие символы используемые в различных схемах

Функция встроена в программу

m - Функция поддерживается дополнительным модулем, которую можно скачать бесплатна.

$ - Функция поддерживается дополнительным модулем, которую можно скачать за отдельную плату.

Перечисленные функции все основаны на коммерческих продуктах (кроме Scilab), у которых есть гарантийное обслуживание и поддержка. Конечно есть огромное количество приложений бесплатного программного обеспечения, доступные модули, но без гарантии обслуживания или поддержки. Это - очень важный пункт для нескольких типов деятельности (то есть для использования в банке).

Сравнение математических функциональных возможностей

Фактически есть много различных математических и статистических программ на рынке, которые покрывают огромное количество функций.

Следующая таблица должна дать краткий обзор о функциональных возможностях для того, чтобы анализировать данные числовыми способами и должны обозначить, какие функции поддерживаются, какими программами, или эти функции уже осуществлены в основной программе или нуждаетесь вы в дополнительном модуле.

Алгебра и особенно линейная алгебра предлагают основные функциональные возможности для любого вида ориентируемой работы матрицы. То есть виды оптимизации, широко используемые в финансовом секторе, также очень полезны в сравнении скорости.

Следующее сравнение скорости было выполнено на Pentium-III с частотой процессора 550 МГц и RAM на 384 MB, запущеной под Windows ХР. Поскольку можно было ожидать, что современные компьютеры могли решить данные проблемы в пределах короткого времени, максимальная продолжительность для каждой функции была ограничена 10 минутами.

Сравнение скорости проверяет 18 функций, которые очень часто используются в математических моделях. Это необходимо, чтобы интерпретировать результаты выбора времени в содержании с целыми моделями как тогда, маленькие различия в timings единственных функций могли бы результаты в выборе времени различий минут до нескольких часов. Однако не возможно использовать полные модели для этих оценочных испытаний как работа для того, чтобы заставлять модель работать в каждом математическом пакете, и также продолжительность была бы очень высока.

Функции (версия)
Чтение данных от картотеки данных ASCII
Чтение данных от базы данных по интерфейсу ODBC
Извлечение описательной статистической величины
Тест петли 5000 x 5000
3800x3800 случайная матрица^1000
Сортировка 3000000 случайных ценностей
FFT более чем 1048576 (= 2^20) случайные ценности
Тройная интеграция
Детерминант 1000x1000 случайная матрица
Инверсия 1000x1000 случайная матрица
Собственные значения 600x600 случайная матрица
Разложение Cholesky 1000x1000 случайная матрица
1000x1000 crossproduct матрица
Вычисление 1000000 Чисел Фибоначчи
Основное составляющее разложение на множители по 500x500 матрица
Гамма функция на 1500x1500 случайная матрица
Гауссовская ошибочная функция на 1500x1500 случайная матрица
Линейный регресс по 1000x1000 случайная матрица
Полная работа

* - Максимальная продолжительность 10 минут была превышена.

Полная работа была вычислена следующим образом:

Лучший результат быстродействия функции оценивается как 100 %; для того, чтобы вычислить результаты для каждой функции я возьму самое лучшее быстродействие и разделю это на выбор времени проверенной программы (формула будет смотреть МИНУТА (A1; A2; …)/A2), и это отображается в процентах. Чтобы сделать заключительную „Полную работу", я вычислю сумму процентов и разделю на количество программ, который снова отображается в процентах.

Функции, которые не поддерживаются программой, не будут оценены.

Общая информация о продукте.

Некоторое количество информации как оценка, поддержка, телеконференции, книги, и т.д. имеют существенное значение для пользователей математического или статистического программного обеспечения. Вследствие того, что этот тип информации не может быть характеризован объективно, можно только упомянуть их без суждения для заключительного резюме испытательного сообщения.

Функции (версия)
Операция / Программирующий обработку
Пользовательский интерфейс
Язык программирования (подобный)			(Basic, Fortran)
Онлайн помощь / Электрон. руководство
Доп. книги
Списки частых вопросов
Телеконференции / списки адресатов
Программа архивирует производителем программного обеспечения
Программа архивирует внешними учреждениями

Информация в этой таблице - оценивается оценками от 1 до 6 (1 - лучше всего, 6 - худший) и представляет мое собственное субъективное мнение. Оценка 6 обычно означают, что что-то не поддерживается, то есть эта функция поддерживается действительно ужасно. Оценка 1 дается той функции, которая поддерживается самым лучшим образом.

Разная информация: резюме должно установить результаты сравнения скорости, функциональные возможности программной окружающей среды, услуг импорта/экспорта данных и пригодности к различным платформам относительно результатов сравнения математических и графических функциональных возможностей. Отношение между этими четырьмя тестами 38:10:9:5:2:36.

Функции (версия)
Сравнение математических функциональных возможностей (38 %)
Сравнение графических функциональных возможностей (10 %)
Функциональные возможности программной окружающей среды (9 %)
Данные, обращающиеся (с 5 %)
Доступные платформы (2 %)
Сравнение скорости (36 %)
Полный результат

Резюме: полные результаты некоторых проверенных программ являются не лучшими из-за определенной надбавки этого испытательного сообщения.

2. Развития умений программирования у школьников в среде Maple

2.1 Понятие программной разработки библиотеки процедур в среде Maple

Пакет Maple состоит из быстрого ядра, написанного на Си и содержащего основные математические функции и команды, а также большого количества библиотек, расширяющих ее возможности в различных областях математики. Библиотеки скомпонованы из подпрограмм, написанных на собственном языке Maple, специально предназначенном для создания программ символьных вычислений. Наиболее интересные возможности системы Maple -- редактирование и изменение этих подпрограмм, а также пополнение библиотек подпрограммами, разработанными для решения конкретных задач. Они уже появились в большом количестве, а лучшие из них вошли в Share-библиотеку пользователей, распространяемую вместе с пакетом Maple.

Программа уже превратилась в мощную вычислительную систему, позволяющую выполнять сложные алгебраические преобразования, в том числе над полем комплексных чисел, вычислять конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы, находить корни многочленов, решать аналитически и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. В Maple включены специализированные пакеты подпрограмм для решения задач аналитической геометрии, линейной и тензорной алгебры, теории чисел, комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс-метод), финансовой математики, интегральных преобразований и т. п.

Создание новой библиотеки происходит следующим образом.

Прежде всего надо определить имя своей библиотеки, например mylib, и создать для нее на диске каталог (папку) с заданным именем. Процедуры в Maple ассоциируются с таблицами. Поэтому вначале надо задать таблицу-пустышку под будущие процедуры:

> mylib:=tab1e():

mylib:= table()

Теперь надо ввести свои библиотечные процедуры. Они задаются с двойным именем -- вначале указывается имя библиотеки, а затем в квадратных скобках имя процедуры. Для примера зададим три простые процедуры с именами fl, f2 и f3:

> mylib:=proc(x: Anything) sin(x)+cos(x) end:

> mylib:=proc(x:anything) sin(x)^2+cos(x)^2 end:

> mylib:=proc(x::anything) if x=0 then 1 else sin(x)/x fi end:

Можно построить графики введенных процедур-функций. Они представлены на С помощью функции with можно убедиться, что библиотека mylib действительно содержит только что введенные в нее процедуры. Их список должен появиться при обращении with (mylib):

> with(mylib);

Теперь надо записать эту библиотеку под своим именем на диск с помощью команды save:

> save(mylib,`c:/ mylib.m);

Обратите особое внимание на правильное задание полного имени файла. Обычно применяемый для указания пути знак \ в строках Maple-языка используется как знак продолжения строки. Поэтому надо использовать либо двойной знак \\, либо знак /. В этом примере файл записан в корень диска С. Лучше поместить библиотечный файл в другую папку (например, в библиотеку, уже имеющуюся в составе системы), указан полный путь до нее.

После всего этого надо убедиться в том, что библиотечный файл записан. После этого можно сразу и считать его. Для этого вначале следует командой restart устранить ранее введенные определения процедур:

С помощью команды with можно убедиться в том, что этих определений уже нет:

> with(mylib):

Error, (in pacman:-pexports) mylib is not a package

После этого командой read надо загрузить библиотечный файл:

> read("c:/mylib.m");

Имя файла надо указывать по правилам, указанным для команды save. Если все выполнено пунктуально, то команда with должна показать наличие в вашей библиотеке списка процедур fl, f2 и f3:

> with(mylib):

И наконец, можно вновь опробовать работу процедур, которые теперь введены из загруженной библиотеки:

sin(x) + cos(x) > simplify(f2(y});

Описанный выше способ создания своей библиотеки вполне устроит большинство пользователей. Однако есть более сложный и более "продвинутый" способ ввода своей библиотеки в состав уже имеющейся. Для реализации этого Maple имеет следующие операции записи в библиотеку процедур si, s2, ... и считывания их из файлов filel, file2, ...:

savelib(s1. s2, .... sn, filename)

readlib(f. file1. file2. ...)

С помощью специального оператора makehelp можно задать стандартное справочное описание новых процедур:

makehelp(n.f.b).

где n -- название темы, f -- имя текстового файла, содержащего текст справки (файл готовится как документ Maple) и b -- имя библиотеки. Системная переменная libname хранит имя директории библиотечных файлов. Для регистрации созданной справки надо исполнить команду вида:

libname:-libname. "/mylib":

С деталями применения этих операторов можно ознакомиться в справочной системе. математический программирование вычисление maple

К созданию своих библиотечных процедур надо относиться достаточно осторожно. Их применение лишает ваши Maple-программы совместимости со стандартной версией Maple. Если вы используете одну-две процедуры, проще поместить их в те документы, в которых они действительно нужны. Иначе вы будете вынуждены к каждой своей программе прикладывать еще и библиотеку процедур. Она нередко оказывается большей по размеру, чем файл самого документа. Не всегда практично прицеплять маленький файл документа к большой библиотеке, большинство процедур которой, скорее всего, для данного документа попросту не нужны. Особенно рискованно изменять стандартную библиотеку Maple.

Впрочем, идти на это или нет -- дело каждого пользователя. Разумеется, если создать серьезную библиотеку своих процедур, то ее надо записать и тщательно хранить. С Maple поставляется множество библиотек полезных процедур, составленных пользователями со всего мира, так что и вы можете пополнить ее своими творениями.

2.2 Программная разработка библиотеки процедур в среде Maple - как фактор развития умений программирования

Из опыта работы некоторых школ стало известно, что в последние годы происходило постоянное сокращение учебных часов по предметам физико-математического цикла с одновременным расширением списка изучаемых вопросов. В связи с этим возникла необходимость в дополнительном и эффективном изучении таких базовых предметов, как математика, физика и информатика, а также и других дисциплин естественнонаучного цикла. Идея интеграции этих дисциплин, несомненно, является весьма продуктивной, поскольку, с одной стороны, она дает базу для изучения этих предметов, а с другой стороны, позволяет развить информационно-математическую культуру в процессе обучения и привить навыки прикладных исследований. При этом информационные технологии могут дать необходимые инструменты для этой интеграции. В частности, в качестве одного из таких инструментов рассматривается система компьютерной математики Maple.

На практике в одной из школ была реализована программа "Интеграция физико-математического образования на основе информационных технологий и пакета символьной математики Maple".

В программе участвовали 10--11 классы информационно-технологического и физико-математического профилей. Изучение возможностей пакета символьной математики Maple и его последующего применения носило прикладной характер: учащиеся физико-математического класса расширили и углубили свои знания по математике, получили возможность наглядного представления различных математических ситуаций, а классы информационно-технологического профиля получили полезные профессиональные навыки как программисты и операторы ЭВМ. В период реализации концепции профильного образования на старшей ступени особо актуальным было внедрение в процесс обучения информатике и информационным технологиям таких систем и программ, которые дают возможность учащимся раскрыть свои умственные и творческие способности, получить основные профессиональные навыки и определить курс своей будущей карьеры. Также учащимся необходимо было привить умения и навыки компьютерного моделирования, которое было одним из приоритетных направлений в прикладных науках.

Опыт применения компьютерной математики как в ВУЗах, так и в школе, свидетельствует о том, что из известных математических пакетов Maple является оптимальным для образовательных целей. Ряд особенностей Maple выдвинул его на лидирующее место для реализации образовательных программ: сравнительно невысокая стоимость пакета, простой и понятный интерфейс, язык программирования наиболее близкий к языку математической логики, непревзойденные графические возможности. Все эти особенности позволяют представить математическую модель изучаемого объекта или явления в наглядной интерактивной графической форме, тем самым значительно повышая качество проектов по физико-математическим дисциплинам. При этом важно отметить, что полученные результаты, в том числе и анимационные модели объектов и процессов, легко экспортируются в Web-страницы и текстовые документы.

Внедрение Maple в систему образования осуществляется в виде ведения элективного курса "Изучение пакета символьной математики Maple" (11 кл.), главной задачей которого является создание необходимых условий для реализации программы эксперимента. Главная цель экспериментальной работы по внедрению Maple в процесс обучения -- это самореализация учащихся при внедрении в процесс обучения информатики и информационных технологий новых организационных форм использования компьютеров, основанных на современных пакетах символьной математики.

Обучение в рамках данного эксперимента позволяет достичь таких целей, как самореализация учащихся и получения ими профессиональных компетенций, развитие математического мышления и научного творчества школьников, улучшение качества и повышение эффективности учебного процесса, повышение интереса учащихся к учебной деятельности и заинтересованности в ее конечном результате, профессиональное ориентирование учащихся, профессиональный рост преподавательского состава, овладение методами информационных технологий, и создание компьютерных средств активизации учебного процесса.

В процессе изучения пакета символьной математики Maple учащиеся отрабатывают практические навыки по решению математических задач с помощью компьютера. Maple становится их помощником в учебе. Дети учатся работать на самоконтроле: решают задачи традиционными методами и проверяют результат с помощью Maple. Наиболее интересными и, по мнению учащихся, полезными в программе элективного курса стали такие темы, как "Двумерная графика", "Анимация", "Исследование функции". В процессе изучения приложения Maple учащиеся проявили высокий познавательный интерес и хорошие знания математики.

Занятия элективного курса проводятся в различных формах: фронтальная, индивидуальная, групповая. Контроль и мониторинг знаний, умений и навыков учащихся в изучении пакета символьной математики Maple осуществляется в виде системы зачетов. В течение учебного года учащимся необходимо сдать 4 зачета по основным разделам курса:

Решение уравнений, неравенств и их систем;

Двумерная графика;

Исследование функции и построение графика;

Решение геометрических задач.

Итоговым результатом является проектная работа каждого учащегося. Зачетные работы оформляются в виде Web-документов.

Заключение

Компьютерные математические пакеты играют весьма существенную роль в реформировании преподавания математических дисциплин в средней и высшей школах, помогают достичь таких целей как самореализация учащихся и получения ими профессиональных компетенций, развитие математического мышления и научного творчества школьников, улучшение качества и повышение эффективности учебного процесса, повышение интереса учащихся к учебной деятельности и заинтересованности в ее конечном результате, профессиональное ориентирование учащихся, профессиональный рост преподавательского состава, овладение методами информационных технологий, и создание компьютерных средств активизации учебного процесса.

Информационная поддержка учебного процесса призвана освободить учащегося от рутинной работы, позволить ему сосредоточиться на сути изучаемого в данный момент материала, рассмотреть большее количество примеров и решить больше задач, облегчить понимание материала за счет иных способов подачи материала.

Возможность компьютеризации учебного процесса возникает тогда, когда выполняемые человеком функции могут быть формализуемы и адекватно воспроизведены с помощью технических средств. Поэтому прежде, чем приступать к проектированию учебного процесса, преподаватель должен определить соотношение между частями, которые можно автоматизировать и какие нельзя.

Многофункциональный пакет Maple представляет собой один из наиболее мощных математических пакетов. Его возможности охватывают достаточно много разделов математики и могут с пользой применяться на разных уровнях, начиная от обучения старшеклассников до уровня серьезных научных исследований. Maple - система аналитических вычислений для математического моделирования.

Представленная в курсовой работе методика изучения некоторых тем алгебры и начала анализа с помощью пакета Maple позволила значительно повысить эффективность процесса обучения. Путем наглядного представления материала сложные математические формулы и преобразования становятся гораздо проще, и процесс усвоения материала учениками старших классов проходит намного эффективнее.

Возможности пакета Maple, как средства обучения в старших классах средней школы, весьма обширны и его использование в образовательном процессе является перспективным направлением в современном среднем образовании.

Список литературы

1. Божович, Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. [Текст] / Л.И. Божович. - СПб.: Питер, 2008.- 398 с.

2. Введение в Maple. Математический пакет для всех. В.Н.Говорухин, В.Г.Цибулин, Мир, 1997. - 260 с.

3. Ершов, А.П. Школьная информатика (концепции, состояние, перспективы) / А.П. Ершов, Г.А. Звенигородский, Ю.А. Первин // Информатика и образование.- 1995.- № 1.- C. 3-19.

4. Лапчик, М.П. Методика преподавания информатики [Текст] / М.П. Лапчик, И.Г. Семакин, Е.К. Хенер.- М.: Академия, 2007.- 622 с.

5. Левченко, И.В. Программа и справочно-методические материалы для педагогической практики по информатике: Учеб.-методич. пособие для студентов пед. вузов и ун-тов [Текст] / И.В. Левченко, О.Ю. Заславская, Л.М. Дергачева.- М.: МГПУ, 2006.- 123 с.

6. Сдвижков, О.А. Математика на компьютере Maple 8: Учеб. пособие для студентов и преподавателей вузов [Текст] / О.А. Сдвижков.- М.: СОЛОН-Пресс, 2003.- 176 с.

7. Семакин, И.Г. Информатика. 11 класс: учебник [Текст] / И.Г. Семакин.- М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005.- 139 с.: ил.

8. Семакин, И.Г. Информатика и ИКТ. Базовый курс: учебник для 9 класса [Электронный документ] / И.Г.Семакин.- (http:www.alleng.ru/edu/comp1.htm). 15.12.08.

9. Угринович, Н.Д. Информатика и информационные технологии: учебник 10-11 класс [Текст] / Н.Д. Угринович.- М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.- 512 с.

10. Угринович, Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям: учебник 10-11 класс [Текст] / Н.Д. Угринович.- М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.- 400 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Характеристика, свойства и возможности программного пакета Maple. Применение аналитических, численных, графических возможностей системы Maple для моделирования физических явлений. Использование графики и анимации в системе Maple в педагогическом процессе.

курсовая работа , добавлен 12.01.2016


Дискретная минимаксная задача с ограничениями на параметры. Применение решений минимаксных задач в экономике с помощью математического пакета Maple. Математические пакеты Maple и Matlab. Основные средства решения минимаксных задач в среде Марle-языка.

курсовая работа , добавлен 17.06.2015


Команды, используемые при вычислении обыкновенных и частных производных аналитического выражения по одной или нескольким переменным в системе вычислений Maple, при интегрировании аналитических выражений и при вычислении пределов, сумм, рядов функций.

лабораторная работа , добавлен 15.07.2009


Команды преобразования выражений, используемые в системе Maple, их назначение и принцип действия, отличия активной и пассивной формы. Команда simplify () для упрощения выражений, случаи ее применения. Разложение полинома на множители: factor ().

лабораторная работа , добавлен 15.07.2009


Общий вид и назначение интерактивной системы аналитических вычислений Maple, выполняемые ею операции и правила их оформления. Простейшие объекты, с которыми работает программа: числа, константы и строки, сферы и особенности их практического применения.

лабораторная работа , добавлен 15.07.2009


Информационные и коммуникационные технологии в школьном обучении, сравнительный анализ технических и программных средств; Maple - язык и его синтаксис. Создание библиотеки процедур с помощью программы Maple к уроку информатики по теме "Кодирование звука".

дипломная работа , добавлен 26.04.2011


Решение задачи спектрального анализа аналогового и дискретного периодического сигнала fs(t) и задачи интегрирования дифференциального уравнения (задача Коши) средствами математического пакета Maple. Создание соответствующего проекта в среде Delphi.

курсовая работа , добавлен 19.05.2013


Команды, используемые при решении уравнений и их систем, неравенств и их систем в системе аналитических вычислений Maple. Выражения, соединенные знаком равенства. Проверка типа переменной. Решение одного уравнения относительно заданной переменной.

лабораторная работа , добавлен 15.07.2009


Алгебраїчні перетворення в Maple за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику. Побудування графіку функції в пакеті Maple-8. Пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами.

контрольная работа , добавлен 18.07.2010


Вопросы программирования в Maple версий 6-11 и разработка приложений. Рассматривает эффективные приемы программирования и разработки приложений для многих разделов техники, математики, физики, для решения которых пакет не имеет стандартных средств.

Математические пакеты можно разделить
на 4 группы:
- программы численных расчетов;
- программы аналитических
вычислений;
- программы построения графиков;
- программы верстки математических
текстов.

Scilab
Scilab - пакет прикладных математических программ,
предоставляющий открытое окружение для инженерных
(технических) и научных расчётов.
Это самая полная общедоступная альтернатива MATLAB.

Возможности
2D и 3D графики, анимация
Линейная алгебра, разреженные
матрицы (sparse matrices)
Полиномиальные и рациональные
функции
Интерполяция, аппроксимация
Симуляция: решение ОДУ и ДУ
Scicos: гибрид системы моделирования
динамических систем и симуляции
Дифференциальные и не
дифференциальные оптимизации
Обработка сигналов
Параллельная работа
Статистика
Работа с компьютерной алгеброй
Интерфейс к
Fortran, Tcl/Tk, C, C++, Java, LabVIEW

Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд
средств и для численного решения дифференциальных уравнений и
нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами

MatLab –одна из старейших,
тщательно проработанных и апробированных
временем систем компьютерной математики,
построенная на расширенном представлении и
применении матричных операций. В настоящее
время MatLab вышла за пределы
специализированной матричной системы и является одним из наиболее мощных
математических пакетов, сочетающий в себе удобную оболочку, редактор,
вычислитель и графический программный процессор.

10.

Mathcad – является мощной системой компьютерной математики, сочетающей
в себе визуально ориентированный входной язык, удобный редактор текста и
формул, численный и символьный процессоры. Пакет достаточно прост в
изучении, а наличие большого числа электронных книг и «быстрых
шпаргалок» существенно упрощают его применение для решения конкретных
научно-инженерных задач.

11.

Программы
аналитических
вычислений

12.

Мaxima.
Программа ориентирована на проведение вычислений и
преобразования символьных и численных выражений, начиная от
упрощения алгебраических выражений до дифференцирования,
интегрирования, разложения в ряд, преобразования Лапласа,
решения дифференциальных уравнений, задач тензорной и
линейной алгебры

13.

Возможности
Maxima имеет широчайший набор
средств для проведения
аналитических
вычислений, численных
вычислений и построения
графиков. По набору возможностей
система близка к таким
коммерческим системам,
как Maple и Mathematica. В то же
время она обладает высочайшей
степенью переносимости: может
работать на всех основных
современных операционных
системах на компьютерах, начиная
от наладонных, и вплоть до самых
мощных.

14.

Программы
построения
графиков

15.

Advanced Grapher
Advanced Grapher - Мощная и простая в использовании программа для
построения графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков
функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных
параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций
(уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне.

16.

Возможности
Регрессионный анализ,
нахождение нулей и экстремумов
функций,
точек пересечения графиков,
нахождение производных,
уравнений касательных и
нормалей,
численное интегрирование.
Большое количество параметров
графиков и координатной плоскости.
Имеет возможности печати,
сохранения и копирования графиков
в виде рисунков, многодокументный
настраиваемый интерфейс.
Поддерживает интерфейс на
русском языке и при его выборе
может использоваться в
некоммерческих целях бесплатно.

17.

Graph
Программа с открытым кодом, предназначенная для построения
математических графиков. Это приложение поддерживает все
стандартные функции и позволяет выстраивать графики синусов,
косинусов, логарифмов и т.д.
MagicPlot
Простое приложение для анализа данных, построения графиков и
нелинейной аппроксимации, разрабатывающаяся в России
ZyukaGraphik
Программа ZyukaGraphik предназначена для построения и исследования
графиков, заданных табличным способом. Программа может быть полезна всем,
кому приходится работать с наборами данных, представленных в виде двумерных
числовых массивов, в частности для оформления результатов измерений,
оформления студентами лабораторных работ и т.п.

18.

Программы верстки
математических текстов.

19.

Латекс система подготовки документов для высококачественной верстки. Это
наиболее часто используется для средних и крупных технических или
научных документов, но он может быть использован для любого вида
издания

20.

Возможности
Алгоритмы расстановки переносов, определения
междусловных пробелов, балансировки текста
в абзацах;
автоматическая генерация содержания, списка
иллюстраций, таблиц и т. д.;
механизм работы с перекрёстными ссылками
на формулы, таблицы, иллюстрации, их номер
или страницу;
механизм цитирования библиографических источников, работы с
библиографическими картотеками;
размещение иллюстраций (иллюстрации, таблицы и подписи к ним автоматически
размещаются на странице и нумеруются);
оформление математических формул, возможность набирать многострочные
формулы, большой выбор математических символов;
оформление химических формул и структурных схем
молекул органической и неорганической химии;
оформление графов, схем, диаграмм, синтаксических графов;
оформление алгоритмов, исходных текстов программ (которые могут включаться в
текст непосредственно из своих файлов) с синтаксической подсветкой;
разбивка документа на отдельные части (тематические карты).