Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1.
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство
(x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))" = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).
Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)
Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.
Методы интегрирования
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где
\(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство
F"(x ) = f (x ) .
Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как
F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄
Основное свойство первообразной
Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.
Например. Функция F(x) = х 2 + 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 3 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x) ; любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x ) = 2х . ◄ |
Правила вычисления первообразных
- Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
- Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F(k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .
Неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:
∫ f(x) dx = F(x) + С ,
f(x) — называют подынтегральной функцией ;
f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;
x — называют переменной интегрирования ;
F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;
С — произвольная постоянная.
Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄
Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Основные свойства неопределённого интеграла
- Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
- Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:
- Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
- Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F(k x + b ) + С .
Таблица первообразных и неопределённых интегралов
f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + С
|
|
I.
| $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
II.
| $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
III.
| $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ | $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ |
IV.
| $$\frac{1}{x}$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$ |
V.
| $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
VI.
| $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
VII.
| $$\frac{1}{\cos^2x}$$ | $$\textrm{tg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$ |
VIII.
| $$\frac{1}{\sin^2x}$$ | $$-\textrm{ctg} ~x+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$ |
IX.
| $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
X.
| $$a^x$$ | $$\frac{a^x}{\ln a}+C$$ | $$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ |
XI.
| $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$ |
XII.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$ | $$\arcsin \frac{x}{a}+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$ |
XIII.
| $$\frac{1}{1+x^2}$$ | $$\textrm{arctg} ~x+C$$ | $$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$ |
XIV.
| $$\frac{1}{a^2+x^2}$$ | $$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ | $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$ |
XV.
| $$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$ | $$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ | $$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$ |
XVI.
| $$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$ | $$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ | $$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$ |
XVII.
| $$\textrm{tg} ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
XVIII.
| $$\textrm{ctg} ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
XIX.
| $$ \frac{1}{\sin x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$ |
XX.
| $$ \frac{1}{\cos x} $$ | $$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ | $$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$ |
Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными
и табличными интегралами
. |
Определённый интеграл
Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Основные правила вычисления определённого интеграла
1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);
2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);
3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;
4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);
5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);
6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;
7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.
Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.
Геометрический и физический смысл определённого интеграла
Геометрический смысл определённого интеграла | Физический смысл
определённого интеграла |
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$ | Путь s
, который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t)
, за промежуток времени a
;
b
]
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a
, x = b
, вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$ |
Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$ |
|
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄ |
Объём тела вращения
Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
|
Например. Вычислим объём конуса с радиусом r
и высотой h
. Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox
, а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB
определяет конус. Так как уравнение AB
$$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$ |
|
и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄ |