Moltiplicare una matrice per un numero reale. Moltiplicare una matrice per un numero

Questa guida ti aiuterà a imparare a farlo operazioni matriciali: addizione (sottrazione) di matrici, trasposizione di una matrice, moltiplicazione di matrici, trovare l'inversa di una matrice. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, vengono forniti esempi pertinenti, quindi anche una persona impreparata può imparare come eseguire azioni con le matrici. Per l'autocontrollo e l'autotest, puoi scaricare gratuitamente una calcolatrice a matrice >>>.

Cercherò di ridurre al minimo i calcoli teorici, in alcuni punti sono possibili spiegazioni "sulle dita" e l'uso di termini non scientifici. Amanti della teoria solida, vi prego di non impegnarvi in ​​critiche, il nostro compito è imparare a lavorare con le matrici.

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Una matrice è una tabella rettangolare di alcuni elementi. Come elementi considereremo i numeri, cioè le matrici numeriche. ELEMENTOè un termine. È opportuno ricordare il termine, si presenterà spesso, non a caso ho usato il grassetto per evidenziarlo.

Designazione: le matrici sono generalmente indicate con lettere latine maiuscole

Esempio: Consideriamo una matrice due per tre:

Questa matrice è composta da sei elementi:

Tutti i numeri (elementi) all'interno della matrice esistono da soli, cioè non si tratta di alcuna sottrazione:

È solo una tabella (insieme) di numeri!

Saremo anche d'accordo non riordinare numero, se non diversamente indicato nella spiegazione. Ogni numero ha la sua posizione e non puoi mescolarli!

La matrice in questione ha due righe:

e tre colonne:

STANDARD: quando si parla delle dimensioni della matrice, quindi primo indicare il numero di righe e solo allora il numero di colonne. Abbiamo appena scomposto la matrice due per tre.

Se il numero di righe e colonne di una matrice è lo stesso, viene chiamata la matrice quadrato, Per esempio: è una matrice tre per tre.

Se la matrice ha una colonna o una riga, vengono chiamate anche tali matrici vettori.

Conosciamo infatti il ​​concetto di matrice fin da scuola, si consideri, ad esempio, un punto con coordinate "x" e "y": . In sostanza, le coordinate di un punto sono scritte in una matrice uno per due. A proposito, ecco un esempio per te del perché l'ordine dei numeri è importante: e sono due punti completamente diversi del piano.

Passiamo ora allo studio. operazioni matriciali:

1) Azione uno. Rimuovere un meno da una matrice (Introdurre un meno in una matrice).

Torniamo alla nostra matrice . Come probabilmente avrai notato, ci sono troppi numeri negativi in ​​questa matrice. Questo è molto scomodo in termini di esecuzione di varie azioni con la matrice, è scomodo scrivere così tanti svantaggi e sembra semplicemente brutto nel design.

Spostiamo il meno fuori dalla matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:

A zero, come capisci, il segno non cambia, zero - è zero anche in Africa.

Esempio inverso: . Sembra brutto.

Introduciamo un meno nella matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:

Beh, è ​​molto più carino. E, soprattutto, sarà PIÙ FACILE eseguire qualsiasi azione con la matrice. Perché esiste un tale segno popolare matematico: più svantaggi, più confusione ed errori.

2) Azione due. Moltiplicare una matrice per un numero.

Esempio:

È semplice, per moltiplicare una matrice per un numero, è necessario a testa moltiplicare l'elemento della matrice per il numero dato. In questo caso, tre.

Un altro esempio utile:

– moltiplicazione di una matrice per una frazione

Diamo prima un'occhiata a cosa fare NON C'È BISOGNO:

NON È NECESSARIO inserire una frazione nella matrice, in primo luogo, rende difficili solo ulteriori azioni con la matrice e, in secondo luogo, rende difficile per l'insegnante controllare la soluzione (soprattutto se - la risposta finale del compito).

E specialmente, NON C'È BISOGNO dividi ogni elemento della matrice per meno sette:

Dall'articolo Matematica per manichini o da dove cominciare, ricordiamo che le frazioni decimali con una virgola in matematica superiore stanno cercando in tutti i modi di evitare.

L'unica cosa auspicabile da fare in questo esempio è inserire un meno nella matrice:

Ma se TUTTO gli elementi della matrice sono stati divisi per 7 senza traccia, allora sarebbe possibile (e necessario!) dividere.

Esempio:

In questo caso, puoi BISOGNO moltiplica tutti gli elementi della matrice per , poiché tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 2 senza traccia.

Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste un concetto scolastico di "divisione". Invece della frase "questo è diviso per questo", puoi sempre dire "questo è moltiplicato per una frazione". Cioè, la divisione è un caso speciale di moltiplicazione.

3) Azione tre. Trasposizione di matrice.

Per trasporre una matrice, devi scrivere le sue righe nelle colonne della matrice trasposta.

Esempio:

Matrice di trasposizione

C'è solo una riga qui e, secondo la regola, deve essere scritta in una colonna:

è la matrice trasposta.

La matrice trasposta è solitamente indicata da un apice o da un tratto in alto a destra.

Esempio passo passo:

Matrice di trasposizione

Innanzitutto, riscriviamo la prima riga nella prima colonna:

Quindi riscriviamo la seconda riga nella seconda colonna:

E infine, riscriviamo la terza riga nella terza colonna:

Pronto. In parole povere, trasporre significa girare la matrice su un lato.

4) Azione quattro. Somma (differenza) di matrici.

La somma delle matrici è un'operazione semplice.
NON TUTTE LE MATRICI POSSONO ESSERE PIEGATE. Per eseguire l'addizione (sottrazione) di matrici, è necessario che abbiano la STESSA DIMENSIONE.

Ad esempio, se viene fornita una matrice due per due, può essere aggiunta solo a una matrice due per due e nessun'altra!

Esempio:

Aggiungi matrici e

Per aggiungere matrici, devi aggiungere i loro elementi corrispondenti:

Per la differenza di matrici, la regola è simile, è necessario trovare la differenza degli elementi corrispondenti.

Esempio:

Trova la differenza di matrici ,

E come risolvere questo esempio più facilmente, per non confondersi? È consigliabile eliminare gli svantaggi inutili, per questo aggiungeremo un meno alla matrice:

Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste un concetto scolastico di "sottrazione". Invece della frase "sottrai questo da questo", puoi sempre dire "aggiungi un numero negativo a questo". Cioè, la sottrazione è un caso speciale di addizione.

5) Azione cinque. Moltiplicazione di matrici.

Quali matrici si possono moltiplicare?

Per moltiplicare una matrice per una matrice, in modo che il numero di colonne della matrice sia uguale al numero di righe della matrice.

Esempio:
È possibile moltiplicare una matrice per una matrice?

Quindi, puoi moltiplicare i dati della matrice.

Ma se le matrici vengono riorganizzate, allora, in questo caso, la moltiplicazione non è più possibile!

Pertanto, la moltiplicazione è impossibile:

Non è raro per compiti con un trucco, quando a uno studente viene chiesto di moltiplicare matrici, la cui moltiplicazione è ovviamente impossibile.

Va notato che in alcuni casi è possibile moltiplicare le matrici in entrambi i modi.
Ad esempio, per le matrici, sono possibili sia la moltiplicazione che la moltiplicazione

1° anno, matematica superiore, studio matrici e azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le principali operazioni che possono essere eseguite con le matrici. Come iniziare con le matrici? Naturalmente, dal più semplice: definizioni, concetti di base e operazioni più semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno capite da chiunque vi dedichi almeno un po' di tempo!

Definizione di matrice

Matriceè una tavola rettangolare di elementi. Bene, se in termini semplici - una tabella di numeri.

Le matrici sono generalmente indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate, ci sono anche matrici di righe e matrici di colonne dette vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensione m sul n , dove m è il numero di righe e n è il numero di colonne.

Elementi per cui io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono detti diagonali.

Cosa si può fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora su tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.

Operazioni di addizione e sottrazione di matrici

Ti avvertiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato è una matrice della stessa dimensione. L'addizione (o sottrazione) di matrici è facile − basta aggiungere i loro elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due per due.

La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.

Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per farlo, devi moltiplicare per questo numero ciascuno dei suoi elementi. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:

Operazione di moltiplicazione di matrici

Non tutte le matrici possono essere moltiplicate tra loro. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. Inoltre, ogni elemento della matrice risultante nella i-esima riga e nella j-esima colonna sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e della j-esima colonna del secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come si moltiplicano due matrici quadrate:

E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:

Operazione di trasposizione della matrice

La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:

Determinante della matrice

Il determinante, oh il determinante, è uno dei concetti base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di loro dovevano inventare un determinante. Alla fine, sta a te affrontare tutto questo, quindi l'ultima spinta!

Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale e secondaria.

Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè costituita da un elemento, è uguale a questo elemento.

E se la matrice fosse tre per tre? Questo è più difficile, ma si può fare.

Per tale matrice, il valore del determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti su triangoli con una faccia parallela alla diagonale principale, da cui il prodotto degli elementi della diagonale secondaria e si sottrae il prodotto degli elementi che giacciono su triangoli con faccia parallela alla diagonale secondaria.

Fortunatamente, nella pratica è raramente necessario calcolare i determinanti di grandi matrici.

Qui abbiamo considerato le operazioni di base sulle matrici. Ovviamente, nella vita reale non puoi mai nemmeno imbatterti in un accenno di un sistema di equazioni a matrice, o viceversa, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esiste un servizio professionale per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il ​​successo scolastico e il tempo libero.

Questo argomento tratterà operazioni come addizione e sottrazione di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero, moltiplicazione di una matrice per una matrice, trasposizione di matrici. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.

Addizione e sottrazione di matrici.

La somma $A+B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline( 1,n) $.

Una definizione simile viene introdotta per la differenza di matrici:

La differenza $A-B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n)=( c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1, n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: show\hide

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ dice che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena notare che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, l'addizione e la sottrazione di matrici sono operazioni intuitivamente chiare, perché significano, di fatto, solo la somma o la sottrazione degli elementi corrispondenti.

Esempio 1

Si danno tre matrici:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

È possibile trovare la matrice $A+F$? Trova le matrici $C$ e $D$ se $C=A+B$ e $D=A-B$.

La matrice $A$ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $A$ è $2\x 3$) e la matrice $F$ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni della matrice $A$ e $F$ non corrispondono, quindi non possiamo sommarle, ad es. l'operazione $A+F$ per queste matrici non è definita.

Le dimensioni delle matrici $A$ e $B$ sono le stesse, cioè i dati della matrice contengono un numero uguale di righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile a loro.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Trova la matrice $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 e 23 e -97 \\ 2 e 9 e 6 \end(array) \right)$.

Moltiplicare una matrice per un numero.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

In poche parole, moltiplicare una matrice per un numero significa moltiplicare ogni elemento della matrice data per quel numero.

Esempio #2

Data una matrice: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trova le matrici $3\cdot A$, $-5\cdot A$ e $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) e 3\cdot(-2) e 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 e 3\cdot 9 e 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 e -2 e 7 \\ 4 e 9 e 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 e 10 e -35 \\ -20 e -45 e 0 \end(array) \right). $$

La notazione $-A$ è un'abbreviazione di $-1\cdot A$. Cioè, per trovare $-A$, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). Ciò significa infatti che il segno di tutti gli elementi della matrice $A$ cambierà in senso opposto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Risposta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Il prodotto di due matrici.

La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, incomprensibile. Pertanto, indicherò prima una definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.

Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e della matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k) )=(c_( ij))$, per cui ogni elemento di $c_(ij)$ è uguale alla somma dei prodotti dei corrispondenti elementi della i-esima riga della matrice $A$ e degli elementi della j-esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Passo dopo passo, analizzeremo la moltiplicazione delle matrici usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente prestare attenzione che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, allora prima dobbiamo assicurarci che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe della matrice $B$ (tali matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne di matrice $A $ non è uguale al numero di righe della matrice $F$, cioè $4\neq 9$. Ma è possibile moltiplicare la matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ è la matrice $C_(5\times 9)$, contenente 5 righe e 9 colonne:

Esempio #3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ e $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trova la matrice $C=A\cpunto B$.

Per cominciare, determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $C$. Poiché la matrice $A$ ha dimensione $3\volte 4$ e la matrice $B$ ha dimensione $4\volte 2$, la dimensione della matrice $C$ è $3\volte 2$:

Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $A$ e $B$, dovremmo ottenere la matrice $C$, composta da tre righe e due colonne: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Se le designazioni degli elementi sollevano domande, puoi guardare l'argomento precedente: "Matrici. Tipi di matrici. Termini di base", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo è trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $C$.

Iniziamo con l'elemento $c_(11)$. Per ottenere l'elemento $c_(11)$, devi trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

Per trovare l'elemento $c_(11)$ stesso, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice $B$, cioè il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:

$$ c_(11)=-1\cpunto (-9)+2\cpunto 6+(-3)\cpunto 7 + 0\cpunto 12=0. $$

Continuiamo la soluzione e troviamo $c_(12)$. Per fare ciò, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e della seconda colonna della matrice $B$:

Analogamente al precedente, abbiamo:

$$ c_(12)=-1\cpunto 3+2\cpunto 20+(-3)\cpunto 0 + 0\cpunto (-4)=37. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo alla seconda riga, che inizia con l'elemento $c_(21)$. Per trovarlo, devi moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cpunto (-9)+4\cpunto 6+(-2)\cpunto 7 + 1\cpunto 12=-23. $$

L'elemento successivo $c_(22)$ si trova moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cpunto 3+4\cpunto 20+(-2)\cpunto 0 + 1\cpunto (-4)=91. $$

Per trovare $c_(31)$ moltiplichiamo gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cpunto (-9)+11\cpunto 6+(-10)\cpunto 7 + (-5)\cpunto 12=8. $$

Infine, per trovare l'elemento $c_(32)$, devi moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cpunto 3+11\cpunto 20+(-10)\cpunto 0 + (-5)\cpunto (-4)=216. $$

Tutti gli elementi della matrice $C$ sono stati trovati, resta solo da scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \destra)$ . Oppure, per scriverlo per intero:

$$ C=A\cpunto B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Risposta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio la posizione di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per le matrici la cui dimensione è piccola, puoi fare quanto segue:

Vale anche la pena notare che la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Ciò significa che in generale $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, che si chiamano permutativo(o pendolarismo), l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ è vera. È sulla base della non commutatività della moltiplicazione che si richiede di indicare esattamente come moltiplichiamo l'espressione per l'una o l'altra matrice: a destra oa sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza $3E-F=Y$ per la matrice $A$ a destra" significa che vuoi ottenere la seguente uguaglianza: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Trasposta rispetto alla matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ è la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per elementi in cui $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

In poche parole, per ottenere la matrice trasposta $A^T$, è necessario sostituire le colonne della matrice originale $A$ con le righe corrispondenti secondo questo principio: c'era la prima riga - diventerà la prima colonna; c'era una seconda riga: la seconda colonna diventerà; c'era una terza riga - ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:

Di conseguenza, se la matrice originale aveva dimensione $ 3 \ x 5 $, la matrice trasposta ha dimensione $ 5 \ x 3 $.

Alcune proprietà delle operazioni su matrici.

Si assume qui che $\alpha$, $\beta$ siano alcuni numeri e $A$, $B$, $C$ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato i nomi, le altre possono essere nominate per analogia con le prime quattro.

1. $A+B=B+A$ (commutatività di addizione)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (addizione associativa)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributività della moltiplicazione per una matrice rispetto all'addizione di numeri)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributività della moltiplicazione per un numero rispetto all'addizione della matrice)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cpunto (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cpunto A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, dove $E$ è la matrice di identità dell'ordine corrispondente.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, dove $O$ è una matrice zero della dimensione appropriata.
10. $\sinistra(A^T \destra)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cpunto A^T$
13. $\sinistra(\alfa LA \destra)^T=\alfa LA^T$

Nella parte successiva verrà considerata l'operazione di elevare una matrice ad una potenza intera non negativa e verranno risolti esempi in cui saranno necessarie diverse operazioni sulle matrici.

Conferenza №1

MATRICE

Definizione e tipi di matrici

Definizione 1.1.Matrice taglia t Pè chiamato una tabella rettangolare di numeri (o altri oggetti) che contiene m linee e n colonne.

Le matrici sono indicate da lettere maiuscole (maiuscole) dell'alfabeto latino, ad esempio, A, B, C... Vengono chiamati i numeri (o altri oggetti) che compongono la matrice elementi matrici. Gli elementi della matrice possono essere funzioni. Per designare gli elementi della matrice vengono utilizzate lettere minuscole dell'alfabeto latino con doppia indicizzazione: aij, dove è il primo indice io(leggi - e) - numero di riga, secondo indice j(leggi - in diretta) – numero di colonna.

Definizione 1.2. La matrice è chiamata quadrato p- ordine se il numero delle sue righe è uguale al numero di colonne ed è uguale allo stesso numero P

Per una matrice quadrata, i concetti principale e laterale diagonali.

Definizione 1.3.Diagonale principale una matrice quadrata è costituita da elementi che hanno gli stessi indici, cioè . Questi gli elementi: un 11,un 22,…

Definizione 1.4. diagonale se tutti gli elementi tranne gli elementi della diagonale principale sono uguali a zero

Definizione 1.5. Si chiama matrice quadrata triangolare, se tutti i suoi elementi posti sotto (o sopra) la diagonale principale sono uguali a zero.

Definizione 1.6. matrice quadrata P- viene chiamato l'ordine, in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno e il resto è uguale a zero separare matrice n esimo ordine, ed è indicato dalla lettera e.

Definizione 1.7. Viene chiamata una matrice di qualsiasi dimensione nullo, o matrice nulla, se tutti i suoi elementi sono uguali a zero.

Definizione 1.8. Viene chiamata una matrice a riga singola matrice di righe.

Definizione 1.9. Viene chiamata una matrice con una colonna matrice di colonne.

A = (a 11 un 12 ... un 1n) - matrice-riga;

Definizione 1.10. Due matrici MA e A della stessa dimensione sono chiamati pari, se tutti gli elementi corrispondenti di queste matrici sono uguali, cioè aij = bij per ogni io= 1, 2, ..., t; j = 1, 2,…, n.

Operazioni di matrice

Sulle matrici, oltre che sui numeri, possono essere eseguite numerose operazioni. Le operazioni principali sulle matrici sono l'addizione (sottrazione) di matrici, la moltiplicazione di una matrice per un numero e la moltiplicazione di matrici. Queste operazioni sono simili alle operazioni sui numeri. Un'operazione specifica è la trasposizione di matrice.

Moltiplicare una matrice per un numero

Definizione 1.11.Il prodotto della matrice A per il numeroλ è chiamata matrice B = A, i cui elementi si ottengono moltiplicando gli elementi della matrice MA al numero λ .

Esempio 1.1. Trova il prodotto di una matrice A= al numero 5.

Soluzione. .◄ 5A=

Regola per moltiplicare una matrice per un numero: per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice per quel numero.

Conseguenza.

1. Il fattore comune di tutti gli elementi della matrice può essere estratto dal segno della matrice.

2. Prodotto a matrice MA il numero 0 ha una matrice zero: MA· 0 = 0 .

Aggiunta di matrice

Definizione 1.12.La somma di due matrici A e B Le stesse dimensioni t n chiamata matrice DA= MA+ A, i cui elementi si ottengono sommando i corrispondenti elementi della matrice MA e matrici A, cioè. cij = aij + bij per io = 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n(cioè le matrici vengono aggiunte elemento per elemento).

Conseguenza. Somma matrice MA con matrice zero è uguale alla matrice originale: A + O = A.

1.2.3. Sottrazione di matrice

Differenza di due matrici della stessa dimensione si determina attraverso le precedenti operazioni: A - B \u003d A + (- 1)A.

Definizione 1.13. Matrice –LA = (– 1)MA chiamato di fronte matrice MA.

Conseguenza. La somma delle matrici opposte è uguale alla matrice zero : A + (-A) \u003d O.

Moltiplicazione di matrici

Definizione 1.14.Moltiplicazione della matrice A per la matrice B definito quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Quindi prodotto matrice si chiama tale matrice , ogni elemento di cui cijè uguale alla somma dei prodotti degli elementi io-esima riga della matrice MA sugli elementi rilevanti j-esima colonna della matrice b.

Esempio 1.4. Calcola prodotto di matrici A B dove

A=

=

Esempio 1.5. Trova prodotti di matrici AB e VA, dove

Osservazioni. Dagli esempi 1.4–1.5 ne consegue che l'operazione di moltiplicazione di matrici presenta alcune differenze rispetto alla moltiplicazione di numeri:

1) se prodotto di matrici AB esiste, quindi, dopo aver riordinato i fattori, il prodotto delle matrici VA potrebbe non esistere. Infatti, nell'Esempio 1.4 esiste il prodotto matriciale AB, ma il prodotto BA non esiste;

2) anche se funziona AB e VA esistono, allora il risultato del prodotto può essere matrici di diverse dimensioni. Nel caso in cui entrambi funzionino AB e VA esistono ed entrambe sono matrici della stessa dimensione (questo è possibile solo quando si moltiplicano matrici quadrate dello stesso ordine), quindi la legge commutativa (spostamento) della moltiplicazione non vale ancora, quelli. A B In A, come nell'esempio 1.5;

3) invece, se moltiplichiamo la matrice quadrata MA alla matrice identitaria e lo stesso ordine, quindi AE = EA = A.

Pertanto, la matrice di identità gioca lo stesso ruolo nella moltiplicazione di matrici del numero 1 nella moltiplicazione di numeri;

4) il prodotto di due matrici diverse da zero può essere uguale alla matrice zero, cioè dal fatto che A B= 0, non segue quello A = 0 o B= 0.