Per semplificare i metodi per risolvere problemi di analisi di rete, i segnali sono presentati come la somma di determinate funzioni.
Questo processo è corroborato dal concetto di serie di Fourier generalizzata. In matematica, è stato dimostrato che qualsiasi funzione che soddisfi le condizioni di Dirichlet può essere rappresentata come una serie:
Per determinare, moltiplichiamo i lati sinistro e destro della serie per e prendiamo l'integrale dei lati sinistro e destro:
per l'intervallo in cui sono soddisfatte le condizioni di ortogonalità.
Si può vedere che Ha ricevuto un'espressione per la serie di Fourier generalizzata:
Selezioniamo un tipo specifico di funzione per l'espansione in serie del segnale. Come tale funzione, scegliamo il sistema ortogonale di funzioni:
Per determinare la serie, calcoliamo il valore:
Quindi, otteniamo:
Graficamente, questa serie si presenta sotto forma di due grafici delle componenti armoniche di ampiezza.
L'espressione risultante può essere rappresentata come:
Ha ricevuto la seconda forma di registrazione della serie trigonometrica di Fourier. Graficamente, questa serie è presentata sotto forma di due grafici: spettri di ampiezza e di fase.
Troviamo la forma complessa della serie di Fourier, per questo usiamo le formule di Eulero:
Lo spettro in questa forma è rappresentato graficamente sull'asse delle frequenze nell'intervallo.
È ovvio che lo spettro di un segnale periodico, espresso in forma complessa o di ampiezza, è discreto. Ciò significa che lo spettro contiene componenti con frequenze
Caratteristiche spettrali di un segnale non periodico
Poiché un singolo segnale è considerato un segnale non periodico nell'ingegneria radiofonica, per trovare il suo spettro, rappresentiamo il segnale come periodico con un periodo. Usiamo la trasformazione della serie di Fourier per questo periodo. Otteniamo per:
L'analisi dell'espressione ottenuta mostra che alle ampiezze delle componenti diventano infinitesimali e si trovano continuamente sull'asse delle frequenze. Quindi, per uscire da questa situazione, usiamo il concetto di densità spettrale:
Sostituendo l'espressione risultante nella serie complessa di Fourier, otteniamo:
Otteniamo infine:
Ecco la densità spettrale e l'espressione stessa è la trasformata di Fourier diretta. Per determinare il segnale dal suo spettro, viene utilizzata la trasformata di Fourier inversa:
Proprietà della trasformata di Fourier
Dalle formule delle trasformate di Fourier diretta e inversa, è ovvio che se il segnale cambia, cambierà anche il suo spettro. Le seguenti proprietà stabiliscono la dipendenza dello spettro del segnale alterato, dallo spettro del segnale prima dei cambiamenti.
1) La proprietà di linearità della trasformata di Fourier
Abbiamo ottenuto che lo spettro della somma dei segnali è uguale alla somma dei loro spettri.
2) Spettro del segnale sfasato nel tempo
Abbiamo scoperto che quando il segnale viene spostato, lo spettro di ampiezza non cambia, ma solo lo spettro di fase cambia di una quantità
3) Modificare la scala temporale
cioè, quando si espande (restringe) il segnale più volte, lo spettro di questo segnale si restringe (si espande).
4) Spettro di spostamento
5) Lo spettro della derivata del segnale
Prendi la derivata dei lati sinistro e destro della trasformata di Fourier inversa.
Vediamo che lo spettro della derivata del segnale è uguale allo spettro del segnale originale moltiplicato per, cioè cambia lo spettro di ampiezza e cambia lo spettro di fase.
6) Spettro integrale del segnale
Prendi l'integrale dei lati sinistro e destro della trasformata di Fourier inversa.
Vediamo che lo spettro della derivata del segnale è uguale allo spettro del segnale originale diviso per,
7) Spettro del prodotto di due segnali
Pertanto, lo spettro del prodotto di due segnali è uguale alla convoluzione dei loro spettri moltiplicata per il coefficiente
8) Proprietà della dualità
Quindi, se uno spettro corrisponde a un segnale, allora un segnale di forma che coincide con lo spettro di cui sopra corrisponde a uno spettro di forma che coincide con il segnale di cui sopra.
Istruzioni metodiche per il lavoro di laboratorio
Disciplina"Elementi di teoria generale dei segnali »
CONCORDATO SVILUPPATO
Ingegnere della Sicurezza sul Lavoro Professore Associato del Dipartimento di EAPP
G.V. Mangutkina ________ A.S. Khismatullin
2014 _____________2014
studente gr. BAT-11-21
E. I. Bulankin
Le istruzioni metodiche sono destinate agli studenti della direzione di formazione 220700 "Automazione dei processi tecnologici e della produzione", profilo "Automazione dei processi tecnologici e della produzione nella petrolchimica e nella raffinazione del petrolio"
Discusso in una riunione del Dipartimento di EAPP
Verbale n. ______ del ___________________2014
ã Filiale di FGBOU VPO USPTU a Salavat, 2014
CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI
Obbiettivo: studiare le caratteristiche dei segnali deterministici
nel programma Mathcad.
Brevi informazioni teoriche
Caratteristiche spettrali dei segnali periodici
La condizione di periodicità è X(T)= x(t + mT), dove T- periodo, m- numero naturale, m= 1, 2, .... Qualsiasi segnale periodico X(T) può essere rappresentato da una serie trigonometrica di Fourier.
X(T)= a 0 + ∑(un k cos kw 1 t + b k peccato kw 1 t)= a 0 + ∑ A k cos ( kw 1 t +φ K), (1.1)
dove ω 1 = 2π / T- frequenza angolare della prima armonica o fondamentale; a 0 e k, e b a coefficienti di dilatazione calcolati dalle formule:
uno 0 = un k = 
b k = 
dove un k- l'ampiezza della k-esima armonica; ? K- fase della k-esima armonica; uno 0- il valore medio del segnale (componente costante); Kω 1 = ω K- frequenza angolare K th armonico; t n- il momento temporale corrispondente all'inizio del periodo.
dipendenze un k e K in frequenza K Sono rispettivamente gli spettri delle ampiezze e delle fasi.
In alcuni casi, la forma complessa della serie di Fourier è più conveniente
(1.2)
I coefficienti della serie (1.2) sono calcolati dalla formula
(1.3)
Le formule (1.2) e (1.3) sono una coppia di trasformate di Fourier. Insieme di coefficienti 
spettro complesso del segnale periodico x (t). L'insieme dei valori reali a seconda della frequenza - lo spettro delle ampiezze. L'insieme delle quantità K a seconda della frequenza - lo spettro delle fasi.
È conveniente rappresentare la serie (1.2) nella forma
(1.4)
(1.5)
Esempio 1.1
Costruire gli spettri delle ampiezze e delle fasi del segnale x (t), la cui espressione analitica con il dato iniziale V m: = 4volt ∙ sec -1, T: = 2 sec et 0: = 2 sec ha la forma
.
Grafico del segnale per l'intervallo di variazione temporale t: = - 1,5 ∙ T, 
mostrato in Figura 1.
Figura 1 - Grafico del segnale
Soluzione
Poiché questo segnale è una funzione periodica del tempo, per la sua rappresentazione spettrale dovrebbero essere utilizzate serie trigonometriche o complesse di Fourier. Troviamo gli spettri delle ampiezze e delle fasi basati sulla serie trigonometrica di Fourier.
Determiniamo i coefficienti di scomposizione del segnale nell'intervallo t: = 0..T alla frequenza angolare dell'armonica fondamentale ω 1: = e il numero di armoniche k: = 1..5.
1) Componente costante
2) Coefficiente del coseno
La sostituzione dei valori numerici V m, T e 1 dà
Come risultato dell'integrazione, otteniamo
Ad esempio, un 1 = 0 volt; a 2 = 0 volt; a 3 = 0 volt; a 4 = 0 volt.
Un'altra forma di determinazione dei coefficienti di espansione è più conveniente.
quindi esprimendo t 0 e ω 1 in termini di T, abbiamo
Ne segue che per k> 0 i coefficienti a k sono uguali a zero.
3) Coefficiente seno
Esprimendo t 0 e ω 1 in termini di T, si ottiene
Quindi, dopo le semplificazioni, segue
Ampiezza della k-esima armonica
per k> 1 sarà
Quindi, tenendo conto della componente costante, lo spettro di ampiezza
Spettro di fase
Poiché i coefficienti a k = 0 e b k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.
I grafici di questi spettri sotto forma di grafici a barre sono mostrati in Figura 2.
Caratteristiche spettrali dei segnali non periodici
La rappresentazione spettrale può essere generalizzata al caso in cui la funzione X(T) Non è periodico, vale a dire T→ . In questo caso si applica la trasformata integrale di Fourier
Qui Ф e Ф -1 sono la notazione per gli operatori di Fourier diretto e inverso.
Le formule (1.6) e (1.7) sono una coppia di trasformate integrali di Fourier. Funzione F(J) è detta funzione spettrale o spettro complesso del segnale non periodico. È determinato a frequenze positive e negative.
La funzione spettrale può essere rappresentata come
dove è lo spettro delle ampiezze,
- spettro delle fasi.
Esempio 1.2
Trova lo spettro della funzione x (t) dato sull'intervallo -τ / 2 Espressione della funzione analitica Figura 3 - Frequenza di ripetizione Soluzione Poiché la funzione è una funzione non periodica del tempo, troviamo la sua funzione spettrale (spettro complesso) basata sulla trasformata integrale di Fourier (1.7). Quando si opera con quantità adimensionali, va ricordato che la funzione spettrale caratterizza la densità spettrale delle ampiezze e delle fasi delle oscillazioni armoniche complesse elementari. Ha la dimensione di volt × secondo per un segnale sotto forma di tensione. Frequenza angolare ω
ha unità di radianti/secondo. Le caratteristiche spettrali vengono utilizzate per stimare la composizione interna (spettro) del segnale. Per questo, il segnale x (t) rappresentare sotto forma di una serie di Fourier generalizzata, espandendola nei termini del sistema di funzioni di base T k (t) dove da C a - coefficienti costanti che riflettono il contributo della funzione H ^ (?) alla formazione dei valori del segnale nell'intervallo di tempo considerato. La capacità di rappresentare un segnale complesso x (t) sotto forma di somma di semplici segnali "RDO risulta essere particolarmente importante per i sistemi dinamici lineari. In tali sistemi, principio di sovrapposizione, cioè. la loro reazione alla somma delle influenze (segnali) è uguale alla somma delle reazioni a ciascuna delle influenze separatamente. Pertanto, conoscendo la reazione di un sistema lineare ad un segnale semplice, è possibile, sommando i risultati, determinare la sua reazione a qualsiasi altro segnale complesso. Selezione delle funzioni Y k (t) soggetto ai requisiti di massima precisione di approssimazione del segnale x (t) serie (7.21) con il numero minimo di termini di questa serie e, se possibile, riducendo le difficoltà di calcolo che si presentano nella determinazione dei coefficienti della serie C. Come funzioni di base, le più utilizzate sono le funzioni trigonometriche reali e funzioni esponenziali complesse Su di essi si basa l'analisi spettrale classica dei segnali. Allo stesso tempo, è possibile utilizzare altri sistemi di funzioni di base (funzioni di Taylor, Walsh, Laguerre, Hermite, Legendre, Chebyshev, Kotelnikov, ecc. 121), che in alcuni casi consentono, tenendo conto delle specificità della funzione approssimata x(t), ridurre il numero di termini in serie (7.21) mantenendo l'errore di approssimazione specificato. Negli ultimi anni è apparso un nuovo, molto promettente sistema di funzioni di base, chiamato ondine. A differenza delle funzioni armoniche, sono in grado, modificando la loro forma e proprietà, di adattarsi alle caratteristiche locali del segnale in avvicinamento. Di conseguenza, diventa possibile rappresentare semplicemente segnali complessi (compresi quelli con salti e discontinuità locali) mediante insiemi di wavelet di un tipo o dell'altro. Quando si utilizzano le funzioni di base trigonometriche (7.22), la serie (7.21) assume la forma della classica serie trigonometrica di Fourier dove Q = 2p / T è la frequenza dell'armonica fondamentale della serie (G è il periodo del segnale); k = 1, 2, 3, ... è un numero intero; ak, bk sono numeri reali (coefficienti di Fourier) calcolati secondo le formule In queste formule, come prima (vedi (7.20)), t 0 - un numero arbitrario che può essere scelto per comodità nel calcolo degli integrali (7.25), poiché i valori di questi integrali della quantità t 0 non dipendere; x T (t) - segnale di base impulso (vedi fig. 7.3, v). Coefficiente uno 0 determina il valore del segnale medio raddoppiato (sul periodo), i coefficienti rimanenti a k> b k (k= 1, 2, 3, ...) - contributo a-esima armonica della serie di Fourier (7.24) nella formazione dei valori di segnale istantanei X(?). La serie trigonometrica di Fourier (7.24) può essere scritta in altre due forme: sotto forma di sviluppo in seno e sotto forma di espansione in coseni dove Un 0/2 = un 0/2 - componente costante del segnale; un k- ampiezza k-e armoniche della serie, calcolate dalla formula Le fasi iniziali di queste armoniche sono calcolate dalle relazioni L'insieme delle ampiezze delle componenti armoniche di un segnale periodico (A a) °? = ( chiamato spettro di ampiezza questo segnale. L'insieme delle fasi iniziali di questi componenti (φ / ^) ^ = 1 - spettro di fase segnale. Utilizzando la funzione 5-Dirac 8 (?), entrambi gli spettri possono essere rappresentati funzioni reticolari frequenza tp gli spettri di ampiezza e di fase del segnale periodico sono discreto spettri. Questo distingue il segnale periodico da altri segnali a spettro continuo. Pertanto, un segnale periodico può essere rappresentato come somma di armoniche (7.24). In questo caso, la frequenza di ciascuna componente armonica della serie di Fourier è un multiplo della frequenza fondamentale λ2, che dipende dal periodo del segnale T. Più tali armoniche, minore è l'errore nell'approssimazione della funzione x (t) la somma finita della serie di Fourier (7.24). Fanno eccezione i punti di discontinuità della funzione x(i). In prossimità di tali punti, il cosiddetto Fenomeno di Gibbs| 2 |. Secondo questo fenomeno, in prossimità dei punti di discontinuità, le somme finite della serie di Fourier formano "code" oscillanti, la cui altezza non diminuisce con l'aumento del numero di armoniche prese in considerazione della serie di Fourier N -è circa il 9% del valore del salto della funzione x (t) al punto di rottura. Per calcolare l'ampiezza e la fase iniziale della k-esima armonica di un segnale periodico, invece delle formule (7.28) e (7.29), si possono usare le formule dove X t = X t (p) = L (x T (t)) indice T variabile X - Immagine di Laplace dell'impulso del segnale di base, determinato dalla formula (vedi Appendice 2) io - unità immaginaria; & = 0,1,2, ... è un numero intero positivo. L'uso di queste formule elimina la necessità di calcolare gli integrali (7.25), il che semplifica notevolmente i calcoli. Mostriamo un esempio di tale calcolo. Esempio 7.1 Determinare lo spettro di ampiezza di un segnale periodico Soluzione Nella fig. 7.3, un, viene mostrato un grafico di tale segnale. Si vede che il segnale ha un periodo T= io. Di conseguenza, la frequenza dell'armonica fondamentale della corrispondente serie di Fourier (7.24) è uguale a Q = 2p / T = 2 secondi -1. Prendendo t 0 = 0, x T (t) = peccato? (per 0 t Riso. 73. un - forma d'onda; B - spettro di ampiezza del segnale Quindi, A 0/2 = 2 / n, A k= 4 / i (4 & 2 - 1), SCH= l, dove K= 1,2,3, cioè espansione della funzione | sin (?) | nella serie trigonometrica di Fourier ha la forma Nota: qui abbiamo preso f / = l (a ns yk = 0) per l'uso del segno meno davanti alla somma delle armoniche della serie. Nella fig. 7.3, B mostra lo spettro di ampiezza del segnale in esame. Il valore dell'ampiezza della? -Th armonica della serie e per rappresentato da un segmento verticale della lunghezza corrispondente, alla base del quale è indicato il numero armonico. Va tenuto presente che le ampiezze e per alcune armoniche della serie di Fourier possono essere zero. Inoltre, una diminuzione monotona delle ampiezze di queste armoniche con un aumento del numero armonico è facoltativa, come nel caso della Fig. 7.3, B. Tuttavia, in tutti i casi la condizione lim e per= 0, che segue dal requisito convergenza della serie di Fourier. Risolviamo il problema usando le formule (7.32). Per fare ciò, troviamo prima l'immagine di Laplace dell'impulso del segnale di base x T (t) Sostituendo qui p = ikQ = 2ik(dove io- unità immaginaria, K= 1, 2, 3, ...), otteniamo che coincide con i risultati precedenti. Nelle applicazioni tecniche viene spesso utilizzata una forma complessa di notazione della serie di Fourier In questo caso, le funzioni esponenziali complesse (7.23) vengono utilizzate come funzioni di base. Pertanto, i coefficienti C n le righe (7.36) diventano complesso... Sono calcolati dalla formula dove, come nella formula (7.6), la variabile indice P può essere un numero intero positivo o negativo. Quando si usa la forma complessa della serie di Fourier (7.36) spettro di ampiezza segnale periodico x (t) chiamare l'insieme dei valori assoluti dei coefficienti di Fourier complessi C n un spettro di fasi- molti argomenti principali di questi coefficienti Molte quantità (CON%) ^> = _ si chiama spettro di potenza segnale periodico e l'insieme dei numeri complessi (C n - sequenza spettrale segnale periodico. Sono queste tre caratteristiche (spettro di ampiezza, spettro di fase e spettro di potenza) che si riferiscono alle principali caratteristiche spettrali di un segnale periodico. A differenza degli spettri di ampiezza e di fase di un segnale periodico, rappresentato sotto forma di una serie trigonometrica di Fourier (7.24), gli spettri dello stesso segnale costruiti utilizzando coefficienti di Fourier complessi (7.37) risultano essere doppia faccia. Questa è una conseguenza della presenza in (7.36) di "frequenze negative" in poi.(per valori negativi P). Questi ultimi, ovviamente, non esistono nella realtà. Riflettono solo la rappresentazione della funzione armonica esponenziale utilizzata nella formazione della complessa serie di Fourier f ~ t sotto forma di vettore unitario rotante in senso orario con velocità angolare ω. Se c'è un'immagine di Laplace dell'impulso di base di un segnale periodico X T (p) = L (x T (t)), quindi lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale periodico possono essere calcolati con le formule Algoritmi del cosiddetto trasformata di Fourier veloce, grazie al quale è possibile ridurre il tempo di calcolo dei coefficienti di Fourier tanto da ottenere gli spettri dei segnali durante la loro elaborazione praticamente in tempo reale. In conclusione, notiamo le tre proprietà più importanti delle caratteristiche spettrali di un segnale periodico. Nota: se la funzione vale x (€) alle estremità + D) dell'impulso di base x T (t) non sono uguali tra loro, quindi con una continuazione periodica dell'impulso, questi punti diventano punti di discontinuità del primo tipo. 3. Le potenze del segnale periodico nei domini del tempo e della frequenza sono uguali tra loro, ad es. Questo rapporto esprime Teorema di Parseval. La presenza nella formula (7.36) di "frequenze negative" nQ.(per yy Revisione generale Tra i vari sistemi di funzioni ortogonali che possono essere utilizzati come basi per la presentazione di segnali di ingegneria radiofonica, un posto eccezionale è occupato dalle funzioni armoniche (sinusoidale e coseno). L'importanza dei segnali armonici per l'ingegneria radiofonica è dovuta a una serie di ragioni. Nell'ingegneria radiofonica, si ha a che fare con segnali elettrici che sono associati ai messaggi trasmessi mediante il metodo di codifica adottato. Possiamo dire che un segnale elettrico è un processo fisico (elettrico) che trasporta informazioni. La quantità di informazioni che può essere trasmessa utilizzando un determinato segnale dipende dai suoi parametri principali: durata, banda di frequenza, potenza e alcune altre caratteristiche. Anche il livello di interferenza nel canale di comunicazione è importante: più basso è questo livello, più informazioni possono essere trasmesse utilizzando un segnale con una data potenza. Prima di parlare delle capacità informative del segnale, è necessario familiarizzare con le sue caratteristiche principali. È consigliabile considerare separatamente segnali deterministici e casuali. Qualsiasi segnale è chiamato deterministico, il cui valore istantaneo può essere previsto in qualsiasi momento con una probabilità di uno. Esempi di segnali deterministici sono impulsi o raffiche di impulsi, la cui forma, grandezza e posizione nel tempo sono note, nonché un segnale continuo con ampiezza specificata e relazioni di fase all'interno del suo spettro. I segnali deterministici possono essere suddivisi in periodici e non periodici. Ogni segnale per il quale la condizione è soddisfatta è detto periodico dove il periodo T è un segmento finito e k è un qualsiasi intero. Il segnale periodico deterministico più semplice è un'oscillazione armonica. La vibrazione strettamente armonica è detta monocromatica. Questo termine mutuato dall'ottica sottolinea che lo spettro di una vibrazione armonica è costituito da una riga spettrale. Per i segnali reali con un inizio e una fine, lo spettro è inevitabilmente sfocato. Pertanto, non esiste in natura una vibrazione strettamente monocromatica. In quanto segue, un segnale armonico e monocromatico significherà convenzionalmente oscillazione. Qualsiasi segnale periodico complesso, come sai, può essere rappresentato come una somma di oscillazioni armoniche con frequenze multiple della frequenza fondamentale w = 2 * Pi / T. La caratteristica principale di un segnale periodico complesso è la sua funzione spettrale, che contiene informazioni sulle ampiezze e sulle fasi delle singole armoniche. Un segnale deterministico non periodico è qualsiasi segnale deterministico per il quale è soddisfatta la condizione s (t) s (t + kT). In genere, un segnale non periodico è limitato nel tempo. Esempi di tali segnali sono i già citati impulsi, raffiche di impulsi, "scarti" di oscillazioni armoniche, ecc. I segnali non periodici sono di principale interesse, poiché sono principalmente utilizzati nella pratica. La caratteristica principale di un segnale non periodico, come un segnale periodico, è la sua funzione spettrale; I segnali casuali includono segnali i cui valori non sono noti in anticipo e possono essere previsti solo con una certa probabilità inferiore a uno. Tali funzioni sono, ad esempio, la tensione elettrica corrispondente al parlato, la musica, la sequenza di caratteri del codice telegrafico durante la trasmissione di un testo non ripetitivo. I segnali casuali includono anche una sequenza di impulsi radio all'ingresso di un ricevitore radar, quando le ampiezze degli impulsi e le fasi del loro riempimento ad alta frequenza fluttuano a causa di cambiamenti nelle condizioni di propagazione, posizione del bersaglio e altri motivi. Si possono citare molti altri esempi di segnali casuali. In sostanza, qualsiasi segnale che trasporta informazioni dovrebbe essere considerato casuale. I segnali deterministici elencati, "pienamente conosciuti", non contengono più informazioni. Di seguito, tali segnali verranno spesso denominati "oscillazione". Un approccio statistico viene utilizzato per caratterizzare e analizzare i segnali casuali. Le principali caratteristiche dei segnali casuali sono: a) la legge della distribuzione di probabilità. b) distribuzione spettrale della potenza del segnale. Sulla base della prima caratteristica, è possibile trovare il tempo di permanenza relativo del valore del segnale in un certo intervallo di livelli, il rapporto tra i valori massimi e il valore efficace e una serie di altri importanti parametri del segnale. La seconda caratteristica fornisce solo la distribuzione in frequenza della potenza media del segnale. La caratteristica spettrale di un processo casuale non fornisce informazioni più dettagliate sui singoli componenti dello spettro - sulle loro ampiezze e fasi. Insieme a utili segnali casuali, in teoria e in pratica, si ha a che fare con l'interferenza casuale: il rumore. Come accennato in precedenza, il livello di rumore è il principale fattore che limita la velocità di trasferimento delle informazioni per un dato segnale. Immagini di Fourier - coefficienti complessi della serie di Fourier F(J w K) segnale periodico (1)
e densità spettrale F(J w) segnale non periodico (2)
- hanno una serie di proprietà comuni. 1. Linearità
.
integrali (1)
e (2)
eseguire una trasformazione lineare della funzione F(T). Pertanto, l'immagine di Fourier di una combinazione lineare di funzioni è uguale a una simile combinazione lineare delle loro immagini. Se F(T) = un 1 F 1 (T) + un 2 F 2 (T), poi F(J w) = un 1 F 1 (J w) + un 2 F 2 (J w), dove F 1 (J w) e F 2 (J w) - Immagini di Fourier dei segnali F 1 (T) e F 2 (T), rispettivamente. 2. Ritardo
(cambia il riferimento temporale per le funzioni periodiche) .
Considera il segnale F 2 (T), ritardato per un po' di tempo T 0 relativo al segnale F 1 (T), che ha la stessa forma: F 2 (T) = F 1 (T – T 0). Se il segnale F 1 ha un'immagine F 1 (J w), quindi l'immagine di Fourier del segnale F 2 uguale F 2 (J w) = = .
Dopo aver moltiplicato e diviso per, raggruppiamo i termini come segue: Poiché l'ultimo integrale è F 1 (J w), allora F 2 (J w) = e -J w T 0 F 1 (J w) .
Quindi, quando il segnale viene ritardato per un po' T 0 (cambiamento nell'origine del tempo), il modulo della sua densità spettrale non cambia e l'argomento diminuisce del valore w T 0 proporzionale al tempo di ritardo. Pertanto, le ampiezze dello spettro del segnale non dipendono dall'origine e le fasi iniziali con un ritardo di T 0 diminuire di w T 0 . 3. Simmetria
.
Per valido F(T) Immagine F(J w) ha simmetria coniugata: F(– J w) = .
Se F(T) è una funzione pari, allora Im F(J w) = 0; per una funzione dispari Re F(J w) = 0. Modulo | F(J w) | e la parte reale Re F(J w) - funzioni pari di frequenza, argomento arg F(J w) e Im F(J w) sono dispari. 4. Differenziazione
.
Dalla formula di trasformazione diretta, integrando per parti, si ottiene la connessione tra l'immagine della derivata del segnale F(T) con l'immagine del segnale stesso Per una funzione assolutamente integrabile F(T) al di fuori del termine integrale è uguale a zero, e, quindi, at, e l'ultimo integrale rappresenta l'immagine di Fourier del segnale originale F(J w) .
Pertanto, l'immagine di Fourier della derivata df/dtè associato all'immagine del segnale stesso dal rapporto J w F(J w)
- quando si differenzia il segnale, la sua immagine di Fourier viene moltiplicata per J w. La stessa relazione vale per i coefficienti F(J w K), che sono determinati dall'integrazione entro limiti finiti da - T/ da 2 a + T/2.
Infatti, il prodotto entro i limiti appropriati Poiché a causa della periodicità della funzione F(T/2) = F(– T/ 2), a = = = (- 1) K, allora in questo caso il termine fuori dall'integrale si annulla, e la formula dove la freccia indica simbolicamente l'operazione della trasformata diretta di Fourier. Questa relazione è generalizzata alla differenziazione multipla: per n-esima derivata abbiamo: d n f/dt n (J w) n F(J w). Le formule ottenute consentono di ricavare l'immagine di Fourier delle derivate di una funzione dal suo spettro noto. È anche conveniente applicare queste formule nei casi in cui, come risultato della differenziazione, arriviamo a una funzione, la cui immagine di Fourier è calcolata più semplicemente. Quindi se F(T) è una funzione lineare a tratti, quindi la sua derivata df/dt- costante a tratti, e per essa si trova elementare l'integrale della trasformazione diretta. Per ottenere le caratteristiche spettrali dell'integrale della funzione F(T) la sua immagine dovrebbe essere divisa per J w. 5. La dualità del tempo e della frequenza
.
Il confronto degli integrali delle trasformate di Fourier diretta e inversa porta alla conclusione sulla loro peculiare simmetria, che diventa più ovvia se si riscrive la formula di trasformazione inversa trasferendo il fattore 2p a sinistra dell'uguaglianza: Per il segnale F(T), che è una funzione pari del tempo F(– T) = F(T) quando la densità spettrale F(J w) è un valore reale F(J w) = F(w), entrambi gli integrali possono essere riscritti in forma trigonometrica dalla trasformata del coseno di Fourier: Quando intercambiabile T e w, gli integrali delle trasformazioni diretta e inversa si trasformano l'uno nell'altro. Quindi segue che se F(w) rappresenta la densità spettrale di una funzione pari del tempo F(T), quindi la funzione 2p F(w) è la densità spettrale del segnale F(T). Per funzioni dispari F(T) [F(T) = – F(T)] densità spettrale F(J w) puramente immaginario [ F(J w) = jF(w)]. In questo caso gli integrali di Fourier si riducono alla forma delle trasformate seno, da cui segue che se la densità spettrale jF(w) corrisponde a una funzione dispari F(T), quindi la quantità J 2p F(w) rappresenta la densità spettrale del segnale F(T). Pertanto, i grafici della dipendenza dal tempo dei segnali delle classi indicate e la sua densità spettrale sono duali tra loro. Integrante (1)
Integrante (2)
La rappresentazione spettrale e temporale dei segnali è ampiamente utilizzata nell'ingegneria radiofonica. Sebbene i segnali siano intrinsecamente processi casuali, tuttavia, le singole implementazioni di un processo casuale e alcuni segnali speciali (ad esempio, la misurazione) possono essere considerati funzioni deterministiche (cioè note). Questi ultimi sono solitamente divisi in periodici e non periodici, sebbene non esistano segnali strettamente periodici. Un segnale si dice periodico se soddisfa la condizione su un intervallo di tempo, dove T è una costante, chiamata periodo, e k è un numero intero. L'esempio più semplice di un segnale periodico è un'onda armonica (o armonica in breve). dove è l'ampiezza, = è la frequenza, è la frequenza angolare, è la fase iniziale dell'armonica. L'importanza del concetto di armoniche per la teoria e la pratica dell'ingegneria radiofonica è spiegata da una serie di ragioni: Un segnale non periodico è un segnale diverso da zero in un intervallo di tempo finito. Un segnale non periodico può essere considerato periodico, ma con un periodo infinitamente grande. Una delle caratteristiche principali di un segnale non periodico è il suo spettro. Lo spettro del segnale è una funzione che mostra la dipendenza dell'intensità delle varie armoniche nel segnale, dalla frequenza di queste armoniche. Lo spettro di un segnale periodico è la dipendenza dei coefficienti della serie di Fourier dalla frequenza delle armoniche a cui questi coefficienti corrispondono. Per un segnale non periodico, lo spettro è la trasformata di Fourier diretta del segnale. Quindi, lo spettro di un segnale periodico è uno spettro discreto (funzione discreta della frequenza), mentre un segnale non periodico è caratterizzato da uno spettro continuo (continuo). Si noti che gli spettri discreti e continui hanno dimensioni diverse. Lo spettro discreto ha la stessa dimensione del segnale, mentre la dimensione dello spettro continuo è uguale al rapporto tra la dimensione del segnale e la dimensione della frequenza. Se, ad esempio, il segnale è rappresentato da una tensione elettrica, allora lo spettro discreto sarà misurato in volt [V] e lo spettro continuo in volt per hertz [V/Hz]. Pertanto, il termine "densità spettrale" viene utilizzato anche per lo spettro continuo. Consideriamo dapprima la rappresentazione spettrale dei segnali periodici. È noto dal corso di matematica che qualsiasi funzione periodica che soddisfi le condizioni di Dirichlet (una delle condizioni necessarie è che l'energia sia finita) può essere rappresentata da una serie di Fourier in forma trigonometrica: dove determina il valore medio del segnale nel periodo e prende il nome di componente costante. La frequenza è chiamata frequenza fondamentale del segnale (la frequenza della prima armonica) e i suoi multipli sono chiamati armoniche superiori. L'espressione (3) può essere rappresentata come: Le dipendenze inverse per i coefficienti aeb hanno la forma La figura 1 mostra un grafico tipico dello spettro delle ampiezze di un segnale periodico per la forma trigonometrica della serie (6): Usando un'espressione (formula di Eulero). invece di (6), possiamo scrivere la forma complessa della serie di Fourier: dove il coefficiente è chiamato le ampiezze complesse delle armoniche, i cui valori, come segue da (4) e dalla formula di Eulero, sono determinati dall'espressione: Confrontando (6) e (9), notiamo che quando si utilizza la forma complessa di scrittura della serie di Fourier, i valori negativi di k ci consentono di parlare di componenti con "frequenze negative". Tuttavia, la comparsa di frequenze negative ha un carattere formale ed è associata all'uso di una notazione complessa per rappresentare un segnale valido. Allora invece di (9) otteniamo: ha la dimensione [ampiezza/hertz] e mostra l'ampiezza del segnale per larghezza di banda di 1 Hertz. Pertanto, questa funzione continua della frequenza S (jw) è chiamata densità spettrale delle ampiezze complesse o semplicemente densità spettrale. Notiamo una circostanza importante. Confrontando le espressioni (10) e (11), notiamo che per w = kwo differiscono solo per un fattore costante, e quelli. le ampiezze complesse di una funzione periodica di periodo T possono essere determinate dalla caratteristica spettrale di una funzione non periodica della stessa forma, specificata nell'intervallo. Lo stesso vale per il modulo di densità spettrale: Da questa relazione segue che l'inviluppo dello spettro di ampiezza continua del segnale non periodico e l'inviluppo delle ampiezze dello spettro di riga del segnale periodico coincidono nella forma e differiscono solo per la scala. Calcoliamo ora l'energia del segnale non periodico. Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza (14) per s (t) e integrando in infiniti limiti, si ottiene: dove S (jw) e S (-jw) sono quantità coniugate complesse. Perché Questa espressione è chiamata uguaglianza di Parseval per un segnale non periodico. Determina l'energia totale del segnale. Ne consegue che non c'è altro che l'energia del segnale per 1 Hz della banda di frequenza attorno alla frequenza w. Pertanto, la funzione è talvolta chiamata densità di energia spettrale del segnale s (t). Presentiamo ora, senza dimostrazione, alcuni teoremi sugli spettri che esprimono le proprietà fondamentali della trasformata di Fourier.
