Filtro abbinato. Filtro di linea abbinato

19.04.2019 Ferro

Un filtro abbinato è un dispositivo lineare progettato per fornire il più alto rapporto segnale-rumore possibile per un dato segnale trasmesso. Supponiamo che un segnale noto sia applicato all'ingresso di un filtro lineare tempo-invariante (ricezione) seguito da un dispositivo di campionamento s (t) più rumore AWGN n (t). In un momento nel tempo T= T segnale di uscita del campionatore z (T)è costituito da una componente di segnale e da una componente di rumore . La variazione del rumore di uscita (potenza di rumore media) è scritta come. Il rapporto tra la potenza di rumore istantanea e la potenza di rumore media, (S/N) T, nel momento t = T fuori dal campionatore nella fase 1 è uguale a quanto segue:

(8.1)

Dobbiamo trovare la funzione di trasferimento del filtro Con massimo atteggiamento (SIN) T. Il segnale all'uscita del filtro può essere espresso in termini di funzione di trasferimento del filtro HF)(prima dell'ottimizzazione) e trasformata di Fourier del segnale in ingresso

(8.2)

dove S (f)- Trasformata di Fourier del segnale in ingresso, s (t). Se la densità spettrale della potenza del rumore in ingresso su due lati è , quindi utilizzando le formule (1.19) e (1.53) la potenza del rumore in uscita può essere scritta come segue:

(8.3)

Combinando le formule (3,45) e (3,47), si ottiene l'espressione per (S/N):

(8.4)

Riso. 8.1. Interferenza intersimbolica durante il rilevamento:

a) un tipico sistema digitale a bassa frequenza; b) modello equivalente

Qui caratterizza il filtro trasmittente, - filtraggio nel canale, e - filtro di ricezione/equalizzazione. La caratteristica rappresenta quindi la funzione di trasferimento dell'intero sistema, che è responsabile di tutte le fasi di filtraggio in vari punti della catena trasmettitore-canale-ricevitore. In un sistema binario che utilizza una codifica PCM comune, come NRZ-L, il rivelatore decide il valore del simbolo confrontando un campione dell'impulso ricevuto con una soglia.

Ad esempio, il rivelatore mostrato in Fig. 3.15, decide che è stato inviato uno binario se l'impulso ricevuto è positivo, altrimenti uno zero binario. A causa del filtraggio del sistema, gli impulsi ricevuti possono sovrapporsi, come mostrato in Fig. 3.15, b. La coda dell'impulso può "sfocarsi" sull'intervallo di simbolo adiacente, interferendo così con il processo di rilevamento e aumentando la probabilità che si verifichi un errore; questo processo è chiamato interferenza intersimbolica (ISI). Anche in assenza di rumore, gli effetti di filtraggio e la distorsione indotta dal canale determinano IS1. A volte la funzione è dato, e il compito è quello di determinare e minimizzando ISI in uscita .

Filtri abbinati e regolari

I filtri convenzionali tagliano le componenti spettrali indesiderate del segnale ricevuto mantenendo una certa fedeltà del segnale in una regione selezionata dello spettro, chiamata banda passante. In generale, questi filtri sono progettati per fornire approssimativamente lo stesso guadagno, fase lineare rispetto alla frequenza all'interno della banda passante e un assorbimento minimo nel resto dello spettro, indicato come banda di arresto. Il filtro abbinato ha "priorità di progettazione" leggermente diverse per massimizzare il rapporto segnale-rumore del segnale noto con rumore AWGN. I filtri convenzionali utilizzano segnali casuali e il risultato del filtraggio è determinato solo dalle bande di segnale, mentre i filtri abbinati sono progettati per segnali noti che hanno parametri casuali (come ampiezza e tempo). Un filtro abbinato può essere pensato come un modello che abbina il segnale in elaborazione a una forma nota. Un filtro convenzionale preserva la struttura temporale o spettrale del segnale. Al contrario, un filtro adattato modifica in larga misura la struttura temporale raccogliendo energia di segnale che corrisponde al suo andamento e alla fine di ogni intervallo di simbolo presenta il risultato del filtraggio come valore di ampiezza massima. In generale, nelle comunicazioni digitali, il ricevitore elabora i segnali in ingresso con entrambi i tipi di filtri. Il compito di un filtro convenzionale è isolare ed estrarre un'approssimazione del segnale altamente accurata e quindi passare il risultato a un filtro adattato. Il filtro adattato accumula l'energia del segnale ricevuto e, al momento del campionamento (t = T), viene applicata una tensione proporzionale a questa energia all'uscita del filtro, seguita dal rilevamento e dall'ulteriore elaborazione del segnale.

Filtri abbinati

Supponiamo che il segnale di elaborazione dell'informazione S (t) agisca sul dispositivo di elaborazione dell'informazione per qualche tempo. Inoltre, agisce sul dispositivo arr. interferenza informativa n (t), che è rumore bianco con una normale distribuzione di densità di probabilità. Il segnale risultante x (t), che viene ricevuto, può essere rappresentato come una funzione implicita dipendente da 2 variabili x (t) = F (S (t), n (t)).

Un filtro lineare, all'uscita del quale si forma un rapporto segnale-rumore ottimale quando si riceve un segnale deterministico su uno sfondo di rumore bianco, è chiamato filtro adattato. Il guadagno in frequenza del filtro adattato (W (ω) = const = W0) può essere calcolato:, dove. Va notato che il filtro abbinato può essere utilizzato quando si riceve un segnale completamente noto sullo sfondo dell'interferenza con uno spettro di potenza arbitrario. Per fare ciò, è sufficiente far passare il segnale in esame attraverso uno speciale filtro lineare, che converte l'interferenza con uno spettro di potenza arbitrario in rumore bianco. Tale filtro è chiamato sbiancamento. Guadagno di frequenza del filtro sbiancante:

dove A- inviare. coefficiente; Win(ω ) - spettro di potenza dell'interferenza all'ingresso del filtro.
(cioè è rumore bianco).

L'inclusione di un filtro sbiancante in un percorso di elaborazione del segnale modifica il coefficiente di trasmissione della frequenza di quel percorso.
Supponiamo che la conversione dei segnali sia stata effettuata da un percorso che ha un coefficiente di trasmissione di frequenza K (jω)... Questo percorso è integrato con un filtro sbiancante. Di conseguenza, il rumore all'uscita del percorso si è rivelato bianco, ma il coefficiente di trasmissione della frequenza totale di questo percorso è cambiato:

Metodi ottimali di sintesi del filtro. Sintesi di un filtro adattato per un impulso video rettangolare con il metodo spettrale

Esistono vari approcci alla sintesi di filtri ottimali. Il metodo di sintesi più efficace è il metodo spettrale, che si basa sull'utilizzo dell'espressione per il guadagno in frequenza del filtro:
.
Per i filtri abbinati vengono utilizzati metodi di sintesi sia spettrali che temporali. Il metodo di temporizzazione si basa sull'uso della relazione tra la risposta all'impulso del filtro e la forma del segnale filtrato. In questo caso, la sintesi di un filtro adattato consiste nella costruzione di un tale dispositivo lineare, la cui risposta all'impulso, con una precisione ad un coefficiente costante, riprodurrebbe con un certo ritardo la funzione di riflessione speculare del segnale. Questo metodo è particolarmente utile per le forme d'onda bilanciate. La riflessione speculare del segnale corrisponde al segnale stesso, il che facilita notevolmente la sintesi del filtro abbinato.
Consideriamo la sintesi del filtro con il metodo spettrale usando l'esempio di un impulso video rettangolare.

Con matematica tzr. il modello del segnale nel dominio del tempo è il seguente:

Troviamo la densità spettrale del segnale dato. Per fare ciò, usiamo la trasformata di Fourier diretta:

Usiamo l'espressione per il guadagno in frequenza del filtro abbinato:

Sostituiamo il valore del componente complesso-coniugato della densità spettrale del segnale nella formula indicata, otteniamo:

L'espressione risultante è la base per la sintesi del filtro ottimale. Supponiamo che il massimo rapporto segnale-rumore si formi al momento della fine dell'impulso all'ingresso, ad es. t 0 = e. Tenendo conto di questa ipotesi, si ottiene che il coefficiente di trasmissione della frequenza K(jω) il filtro futuro è:

Una costante K indica che il segnale viene amplificato. Operatore 1/ jωè detto operatore di integrazione ideale del segnale armonico. L'operatore mostra il ritardo del segnale per un tempo T 0 .

I principi di base del filtraggio abbinato sono stati formulati a seguito di ricerche volte all'ottimizzazione del funzionamento dei sistemi radar. Questi concetti teorici avanzati richiedevano lo sviluppo di circuiti che potessero essere implementati da ingegneri pratici. Il metodo di filtraggio abbinato fornisce prestazioni ottimali

elaborazione lineare dei segnali radar. Con tale elaborazione, le informazioni radar iniziali che arrivano all'ingresso del ricevitore e distorte secondo l'assunzione dal rumore gaussiano bianco vengono convertite in una forma conveniente per prendere una decisione ottimale sulla rilevazione (presenza o assenza di un bersaglio) o per stimare il bersaglio parametri (portata, velocità, ecc.) ) con un errore quadratico medio minimo, o per garantire la massima risoluzione possibile di un gruppo di bersagli.

Le caratteristiche dei filtri abbinati possono essere descritte. utilizzando una funzione di risposta in frequenza o tempo, che sono legate dalla trasformata di Fourier. Nello spazio delle frequenze, la funzione transitoria del filtro adattato è la complessa funzione coniugata dello spettro del segnale, che deve essere elaborata in modo ottimale. Quindi, in forma generale

dove lo spettro del segnale in ingresso è il ritardo costante richiesto per l'implementazione fisica del filtro. Il fattore di normalizzazione e il ritardo costante, di regola, vengono omessi quando si scrivono le relazioni di base della teoria del filtraggio adattato, che di solito sono formulate come

La corrispondente relazione nel dominio del tempo tra il segnale da elaborare e la risposta del filtro adattato è ottenuta dalla trasformata di Fourier inversa, che fa sì che la risposta all'impulso del filtro sia una copia invertita nel tempo della funzione tempo nota che descrive il segnale. Quindi, se la risposta all'impulso del filtro abbinato è la relazione di base equivalente all'uguaglianza (1.2), ha la forma

Come nel caso precedente, si può omettere un ritardo arbitrario nella registrazione del rapporto di base:

Si ritiene che le proprietà del ricevitore ottimale in base ai parametri dello spettro del segnale per il caso del rumore gaussiano bianco [equazione (1.2)] siano state determinate per la prima volta da Hoore 151. Pertanto, i filtri abbinati sono anche chiamati filtri norvegesi; tuttavia Van Vleck e

Apparentemente Middleton è stato il primo a usare il termine "filtro abbinato" in relazione ai filtri che ottimizzano il rapporto segnale-rumore per i segnali a impulsi. La derivazione dei requisiti che un filtro abbinato deve soddisfare è discussa nel Cap. 2 per completezza, e anche per aiutare il lettore interessato a comprendere meglio l'essenza dei sistemi con filtri abbinati. Nella fig. 1.2 illustra le relazioni definite dalle uguaglianze (1.3) e (1.5).

Riso. 1.2. Relazione tra le caratteristiche del segnale e il filtro abbinato.

Le considerazioni iniziali per derivare le condizioni che determinano il rilevamento ottimale del segnale sono illustrate in Fig. 1.3, dove è riportato uno schema semplificato del sistema ricevente. Il segnale di uscita in un punto è un misto di segnale e rumore. L'obiettivo del progettista del sistema è ottimizzare la probabilità di rilevamento del segnale a un certo intervallo di osservazione, che può essere un raggio stroboscopico. In altri casi, questo intervallo non è esplicitamente indicato, fissiamo semplicemente il fatto che l'attenzione dell'osservatore dovrebbe essere diretta a qualche punto particolare per caso o per la presenza di dati a priori. La soglia di osservazione può essere chiaramente fissata, ad esempio, negli allarmi automatici, oppure impostata inconsciamente da un operatore umano, che, per le sue proprietà fisiologiche, è in grado di non tenere conto di emissioni di rumore anche relativamente grandi che non sono veri segnali. Le statistiche utilizzate nel processo di rilevamento dipenderanno da molti fattori, come il livello della soglia e la disponibilità di informazioni a priori sulla posizione del segnale.

Tuttavia, anche senza tener conto dei fattori essenziali derivanti dalla considerazione della Fig. 1.3 possiamo notare che per. Quando si ottimizza la procedura di rilevamento, come suggerisce la logica, si dovrebbe cercare di massimizzare il valore del segnale di picco in relazione al rumore. Poiché il segnale, con ogni probabilità, è raramente presente (un segnale continuo, per definizione, non può portare informazioni utili), quando osserviamo continuamente fluttuazioni casuali del segnale di rumore, ci concentreremo sulle deviazioni a breve termine dalla media a lungo termine o valore efficace del rumore.

Riso. 1.3. Criterio di rilevamento del segnale.

Da questo punto di vista, è logico concludere che ottenere il valore massimo del segnale di picco in relazione al valore efficace del rumore porterà all'ottimizzazione di cui abbiamo bisogno, cioè

Il lettore interessato a determinare le condizioni per massimizzare il rapporto dato dall'uguaglianza (1.6) può trovare questa conclusione nel Cap. 2, che considera anche un approccio statistico per ottimizzare le prestazioni dei sistemi di rilevamento. Entrambi questi approcci portano all'opportunità di utilizzare un filtraggio coerente, caratterizzato da uguaglianze (1.3) e (1.5). Si è riscontrato che nel caso di utilizzo di un filtro adattato, che è specificato da queste espressioni, il valore massimo del rapporto segnale-rumore all'uscita del filtro in presenza di rumore gaussiano bianco è determinato dal rapporto

L'uguaglianza (1.7) per un semplice segnale radar a impulsi può essere ottenuta euristicamente per

considerando i parametri mostrati in Fig. 1.4. L'energia del segnale ricevuto è

Questo risultato significa per il progettista del radar che "poiché un filtro abbinato viene utilizzato nel pre-rilevatore

cascate del sistema ricevente, la sua capacità di rilevamento dipende solo dall'energia contenuta nel segnale e non è in alcun modo correlata alla forma d'onda con cui arriva all'ingresso del ricevitore. Per ottenere un rapporto segnale/rumore ottimale in uscita, il filtro deve essere adattato al segnale. Tuttavia, la teoria mostra che se la costruzione di un filtro strettamente abbinato risulta essere praticamente non redditizia o impossibile, di solito può essere utilizzata un'approssimazione ragionevole, e questo avrà un effetto molto limitato sulla capacità del sistema radar di rilevare un segnale.

Le espressioni precedentemente ottenute che determinano le caratteristiche di frequenza e di impulso del filtro abbinato consentono di trovare la struttura fisica del dispositivo per il filtraggio ottimale di un segnale di forma nota. Di seguito, con esempi specifici, verranno mostrate alcune tecniche di tale sintesi.

Filtro corrispondente per impulsi video rettangolari.

Consideriamo un segnale di impulso che è un impulso video rettangolare con una durata nota e un'ampiezza arbitraria.Per trovare la struttura di un filtro abbinato a tale segnale, usiamo il metodo spettrale. Innanzitutto calcoliamo la densità spettrale del segnale utile:

(16.31)

Da qui, in base all'espressione (16.25), troviamo il coefficiente di trasferimento in frequenza del filtro abbinato, impostando per concretezza, cioè che la risposta del filtro è massima alla fine dell'impulso:

Il risultato ottenuto permette di sintetizzare un filtro abbinato. Infatti, secondo l'espressione (16.32), tale filtro dovrebbe essere un collegamento in cascata di tre collegamenti lineari: a) un amplificatore di scala con guadagno k; b) un integratore ideale; c) dispositivi con coefficiente di trasmissione. Quest'ultimo dispositivo è implementato utilizzando un'unità di ritardo del segnale per il tempo dell'inverter, che cambia il segno del segnale, e un sommatore. Lo schema a blocchi del filtro è mostrato in Fig. 16.3.

Riso. 16.3. Schema a blocchi di un filtro adattato per un impulso video rettangolare

Filtro abbinato per una raffica di impulsi video identici.

Nei radar, spesso, nel tentativo di aumentare l'energia del segnale utile, gli impulsi vengono elaborati in burst separati. Supponiamo che all'uscita del rivelatore di ampiezza del ricevitore ci sia un burst di N impulsi video identici con una durata di ciascuno; l'intervallo tra gli impulsi è T. Se è la densità spettrale di un singolo impulso, allora la densità spettrale di un burst di impulsi

Quando si sintetizza la struttura di un filtro abbinato per un burst di impulsi, si richiede che la risposta massima si verifichi alla fine dell'ultimo impulso del burst, da cui, applicando la formula (16.25), si trova il coefficiente di trasmissione in frequenza del corrispondente filtro:

(16.34)

dove è il coefficiente di trasmissione del filtro adattato per un singolo impulso video.

Riso. 16.4. Schema a blocchi di un filtro adattato per un burst di impulsi video

La formula (16.34) definisce direttamente lo schema strutturale del filtro abbinato mostrato in Fig. 16.4.

All'ingresso viene posizionato un filtro adattato per un singolo impulso video. Il dispositivo si basa su una linea di ritardo multi-tap, che fornisce un ritardo temporale dei segnali. I segnali da tutti i rubinetti vanno al sommatore. È facile vedere che la risposta massima all'uscita del sommatore sarà osservata quando segnali utili da tutti gli impulsi del burst sono simultaneamente a tutti i suoi ingressi. Più lungo è il pacco, maggiore è l'efficienza del dispositivo.

I rilevatori di segnali radar implementati nella pratica contengono anche uno speciale elemento di soglia non lineare, il cui ingresso è collegato all'uscita del sommatore di filtri abbinato.

Il livello di soglia è leggermente superiore al valore di rumore al quadrato in assenza di un segnale utile. Se il burst del segnale di uscita del filtro raggiunge il livello di soglia, viene inviato un segnale di controllo al dispositivo di visualizzazione, che indica la presenza di un impulso riflesso dal bersaglio.

Filtro abbinato per impulsi RF rettangolari.

Lascia che il segnale selezionato sia un impulso radio della forma

(16.35)

Progettiamo un filtro adattato per tale segnale utilizzando le informazioni sulla risposta all'impulso del filtro.

Come mostrato, la risposta all'impulso del filtro abbinato Sia e supponiamo per semplicità che la durata dell'impulso sia un multiplo del periodo di riempimento ad alta frequenza, in modo che Allora

Riso. 16.5. Schema a blocchi di un filtro adattato per un impulso radio rettangolare

cioè, la risposta all'impulso del filtro adattato ripete il segnale di ingresso accurato al fattore di ampiezza.

Tale risposta all'impulso può essere approssimativamente realizzata utilizzando un sistema il cui schema strutturale è mostrato in Fig. 16.5.

Un collegamento oscillatorio (ad esempio, un circuito oscillatorio ad alto Q) con una risposta all'impulso è posto all'ingresso del filtro

dove b è una costante.

Affinché la risposta all'impulso del filtro adattato sia uguale a zero quando viene fornito un sommatore, a uno degli ingressi di cui viene inviato direttamente il segnale dall'uscita del collegamento oscillatorio e all'altro tramite un collegamento di ritardo per secondi, e uno sfasatore che cambia la fase del segnale di 180°. Con questa inclusione di elementi, a partire dall'istante di tempo, vengono applicate agli ingressi del sommatore due oscillazioni armoniche con le stesse ampiezze e fasi opposte, che azzerano il segnale all'uscita del sommatore.

Filtro abbinato per il segnale Barker.

Pollice. 3 ha sottolineato il vantaggio dei segnali di Barker: l'alto valore del lobo principale della funzione di autocorrelazione e il livello estremamente basso dei lobi laterali.

Riso. 16.6. Schema a blocchi del filtro abbinato per il segnale Barker

Nella fig. 16.6 mostra uno schema a blocchi di un filtro adattato per rilevare un segnale di giunzione M Barker codificato in fase. Tale segnale ha la forma di una sequenza di segmenti di oscillazioni armoniche con sfasamenti pari a 0 o 180 ° (vedi Fig. 3.7).

La sintesi parte dal presupposto che la risposta all'impulso del filtro abbinato dovrebbe essere una copia "specchio" del segnale estratto con un ordine inverso nel tempo delle singole posizioni.

All'ingresso del dispositivo è presente un filtro ausiliario abbinato rispetto ad una posizione di un segnale complesso calettato a sfasamento, cioè ad un impulso radio rettangolare. All'uscita di questo filtro, sotto l'influenza dell'impulso delta in ingresso, appare un impulso radio con un inviluppo rettangolare. Questo impulso viene applicato a una linea di ritardo sfruttata, che di solito è un sistema a onde (distribuito). Il ritardo tra le prese è pari alla durata T di ciascuna posizione del segnale.

Affinché il dispositivo funzioni correttamente, è necessario che la sequenza degli sfasamenti (vedi Fig. 16.6) corrisponda ai valori di fase nelle singole posizioni del segnale Barker quando si conta dalla fine del segnale all'inizio.

Un impulso radio rettangolare, spostandosi lungo la linea di ritardo, eccita alternativamente gli ingressi del sommatore, all'uscita del quale appare una copia "specchio" del segnale estratto.

Filtro abbinato per l'impulso chirp.

In pratica, di solito è necessario non solo rilevare un segnale, ma misurare contemporaneamente alcuni dei suoi parametri, ad esempio la posizione nel tempo o la frequenza istantanea. In questo caso, viene data preferenza ai segnali con un massimo pronunciato della funzione di autocorrelazione.

Tra gli altri segnali con questa proprietà, sono ampiamente utilizzati gli impulsi radio chirp. La teoria di tali segnali è stata presentata nel cap. 4. È stato mostrato, in particolare, che se un impulso cinguettante della forma

è caratterizzato da una grande base, quindi la sua densità spettrale all'interno di una banda di frequenza con una larghezza ha un modulo pressoché costante

e un argomento che dipende quadraticamente dalla frequenza:

Ciò implica il requisito della risposta in frequenza del filtro abbinata al segnale chirp: per garantire la massima risposta in uscita in un determinato momento, il filtro deve avere una risposta in frequenza costante nella banda di frequenza e risposta in fase, descritta da la formula

Il primo termine sul lato destro dell'espressione (16.38) determina il ritardo del segnale di uscita nel suo insieme per il valore del secondo, il termine quadratico compensa gli sfasamenti tra le singole componenti spettrali del segnale e, quindi, fornisce la condizione per la loro aggiunta coerente in uscita.

L'ortogonalità della risposta di fase del filtro adattato per il segnale chirp può essere derivata dalle seguenti considerazioni qualitative. Nel processo di modulazione intraimpulso, la frequenza istantanea del segnale cambia linearmente in un periodo di tempo

Ogni istante t all'interno della durata dell'impulso ha un proprio segnale a banda stretta (quasi armonico), che viene ritardato nel filtro per un intervallo di tempo pari al tempo di ritardo di gruppo (vedi Cap. 9):

Per trovare il momento di comparsa delle singole componenti spettrali in uscita, a questo tempo deve essere aggiunto il valore di t, cioè il momento di comparsa delle componenti spettrali in ingresso. Quindi, arriviamo alla conclusione che tutte le componenti spettrali del segnale chirp appaiono all'uscita del filtro contemporaneamente al momento

Il segnale utile all'uscita del filtro adattato con una precisione di un fattore di ampiezza arbitrario k ripete la forma della funzione di autocorrelazione dell'impulso chirp [vedi. formule (4.54) e (16.22)]:

Il grafico corrispondente a tale segnale è stato mostrato in Fig. 4.10. È facile vedere che la larghezza del lobo principale di questo segnale, misurata da punti zero, è

Pertanto, il rapporto di compressione dell'impulso chirp fornito dal filtro abbinato: base del segnale

proporzionale alla base del segnale chirp.

Per l'implementazione hardware dei filtri in esame, viene spesso utilizzato il fenomeno fisico della dispersione delle onde ultrasoniche elastiche nei solidi, la dipendenza della velocità di propagazione dell'onda dalla frequenza. Scegliendo la legge di dispersione appropriata per le onde nella linea di ritardo ultrasonica, è possibile ottenere la caratteristica di fase richiesta della forma (16.38). Uno schizzo del design del filtro e delle caratteristiche di dispersione è mostrato in Fig. 16.7, a, b.

Il filtraggio abbinato degli impulsi chirp, in contrasto con l'elaborazione ottimale dei burst di impulsi video, viene eseguito, di regola, sulla portante principale alla frequenza intermedia del ricevitore, cioè prima del rilevatore di ampiezza.

Riso. 16.7. Filtro distribuito abbinato al segnale chirp: a - dispositivo schematico (1 - linea sonora, 2 - convertitori elettromeccanici); b - dipendenza dalla frequenza del ritardo di gruppo delle oscillazioni nel condotto acustico

Allo stesso tempo, è possibile evitare la soppressione indesiderata di un segnale debole mediante una forte interferenza, che inevitabilmente si verifica durante la trasformazione non lineare della somma del segnale e del rumore.

Filtri quasi ottimali.

In alcuni casi, è possibile ottenere risultati soddisfacenti utilizzando filtri dal design più semplice rispetto ai filtri ottimali. Tali dispositivi sono generalmente chiamati filtri quasi-ottimali.

Si consideri un tipo di integrazione a quattro porte, all'ingresso del quale rumore bianco con una densità di potenza spettrale WQ e un impulso video rettangolare con un'ampiezza (70 e durata

Riso. 16.8. Deterioramento del rapporto segnale-rumore per il filtro RC rispetto al filtro abbinato

In particolare, un filtro passa-banda con una risposta in frequenza gaussiana sintonizzata sulla frequenza portante può essere utilizzato per separare in modo quasi ottimale un impulso radio rettangolare con una durata. La larghezza di banda di un tale filtro dovrebbe essere scelta dal rapporto

(16.44)

Si può dimostrare che la perdita nel rapporto segnale-rumore rispetto al filtro ottimale sarà di circa 1 dB.

Indaghiamo più in dettaglio il filtro ottimale sotto la condizione

cioè quando lo spettro di interferenza è distribuito uniformemente sulla gamma di frequenze occupata dal segnale voluto. Tale interferenza è solitamente chiamata rumore bianco (cfr. § 7 e 12), e il corrispondente filtro ottimale K è un filtro adattato. La risposta in frequenza di questo filtro è

È interamente determinato dalla forma del segnale, "accoppiato" con esso. La formula (17.02) si ricava dall'espressione (16.14), in cui per semplicità poniamo

Consideriamo più in dettaglio l'effetto del filtro abbinato. Per la relazione (16.05) e per il fatto che la funzione è reale, si ha

Il segnale all'uscita del filtro abbinato secondo le formule (16.06) e (17.02) è

Cambiando l'ordine di integrazione, otteniamo

dove è sostituito da Tenendo conto della formula (16.04), si ottiene

Integrante

è detta funzione di autocorrelazione di un segnale di forma nota. La quantità differisce dalle funzioni di autocorrelazione, che abbiamo considerato in precedenza, perché al posto della media statistica della quantità viene eseguita una semplice integrazione over (cfr., comunque, la fine del § 1). Si vede dalla formula (17.08) che

quindi in questo caso il valore determina l'energia del segnale utile, mentre per un processo casuale stazionario il valore ne determina l'intensità (o potenza). Si noti che le quantità di energia sono spesso determinate dal valore solo fino a un certo fattore costante.

Torniamo alla formula del segnale utile all'uscita del filtro. Usando la definizione della funzione di correlazione, vediamo che

Questa formula dà un risultato notevole: un filtro abbinato non è altro che un correlatore che non produce un segnale utile, ma la sua funzione di autocorrelazione.

Quando il segnale utile all'uscita del filtro Matched assume il valore

È facile mostrare che le formule (3.12) e (3.13) sono applicabili alla funzione di correlazione (17.08). Così

esiste quindi un valore massimo del segnale utile in uscita, come già dimostrato nel § 16. Si vede che qualunque sia la forma del segnale utile, il valore massimo del segnale in uscita dal filtro abbinato è determinato solo da l'energia totale del segnale in ingresso. La formula (16.15) soggetta alla condizione (17.01) assume la forma:

Dalle formule (17.05) - (17.09) segue l'identità

ben noto nella teoria degli integrali di Fourier. Pertanto, la formula (17.13) assume la seguente forma semplice:

Vediamo che il rapporto segnale-rumore all'uscita del filtro adattato è determinato da due grandezze fisiche: l'energia totale del segnale utile e l'intensità spettrale dell'interferenza, cioè la potenza per larghezza di banda di 1 Hz (cfr. l'inizio della sezione 3). Pertanto, la rilevazione di un segnale completamente noto sullo sfondo di un "processo completamente casuale" - rumore bianco (cfr. § 12) - può essere migliorata solo aumentando l'energia del segnale utile, mentre con altre interferenze lo stesso risultato può essere ottenuto modificando lo spettro del segnale, cioè la sua forma (vedi § 16).

La risposta del filtro abbinato ad un impulso unitario secondo la formula (2.19) è

Pertanto, il filtro abbinato funziona secondo l'espressione della formula (1.11)]

sicché in relazione all'intero processo (16.01) forma una funzione di mutua correlazione del segnale utile e la funzione di ingresso della formula (1.19). Pertanto, il filtro abbinato può anche essere chiamato correlatore.

Se il segnale utile ha la forma (16.22), cioè contiene parametri sconosciuti, allora la risposta in frequenza secondo le formule (16.25) e (17.02) sarà uguale a

e la sua reazione a un singolo impulso

L'output del filtro abbinato è la funzione

cioè una funzione di cross-correlazione della forma (17.17), in vista della quale il filtro adattato può ancora essere chiamato correlatore. La differenza tra le formule (17.17) e (17.20) è che nel caso di un segnale completamente noto secondo la formula (17.17), è necessario formare un solo valore e nel caso di un segnale con un segnale sconosciuto occorrono valori calcolato secondo la formula (17.20) per tutti i possibili valori

Il segnale utile all'uscita del filtro abbinato sarà formato dalla formula

dov'è la funzione di autocorrelazione del segnale Secondo il segnale (17.21), è possibile determinare i parametri del segnale originale, e anche risolvere l'onda sulla sua presenza - con gli errori più piccoli, più grande è il parametro

In questo e nei paragrafi precedenti non sono state imposte restrizioni alle funzioni, quindi nel caso generale dovremmo ottenere un filtro di tipo I (secondo la classificazione del § 1). Se, invece, per un filtro abbinato prendiamo un parametro tale che

allora il filtro abbinato sarà un filtro di tipo II. Questo risultato è abbastanza ovvio: il filtro abbinato non può terminare il suo lavoro prima della fine del segnale utile più ritardato. L'inizio del filtro è determinato dal momento in cui appare il primo segnale.

Per valutare correttamente l'effetto di un filtro abbinato, bisogna tener conto che nell'ingegneria radio, la banda passante del ricevitore (cioè il corrispondente filtro ad alta frequenza nel ricevitore) è sempre coerente con la larghezza di banda occupata dal segnale utile . Considera un filtro rettangolare