Applicazione di filtri adattativi nell'identificazione dei sistemi. Filtri adattivi

15.05.2019 Consigli

La proprietà principale di un sistema adattivo è il funzionamento che varia nel tempo e si autoregola. La necessità di tale funzionamento risulta evidente dal seguente ragionamento. Se uno sviluppatore progetta un sistema "immutabile" che considera ottimale, ciò significa che lo sviluppatore anticipa tutte le possibili condizioni al suo input, almeno in senso statistico, e si aspetta che il sistema funzioni in ciascuna di queste condizioni. Successivamente, il progettista sceglie il criterio con cui valutare la prestazione, ad esempio il numero medio di errori tra l'output di un sistema reale e l'output di un modello o sistema "ideale" scelto. Infine, il progettista sceglie il sistema che risulta essere il migliore secondo il criterio prestazionale stabilito, solitamente da qualche classe limitata a priori (ad esempio, dalla classe dei sistemi lineari).

Tuttavia, in molti casi, l'intera gamma di condizioni di input potrebbe non essere nota esattamente anche in senso statistico, oppure le condizioni potrebbero cambiare di volta in volta. Quindi un sistema adattativo, che, usando un normale processo di ricerca, cerca costantemente l'ottimo all'interno di una classe ammissibile di possibilità, presenta vantaggi rispetto a un sistema immutabile.

I sistemi adattivi, per loro natura, devono essere tempo-varianti e non lineari. Le loro proprietà dipendono, tra l'altro, dai segnali di ingresso. Se un segnale x 1 viene applicato all'ingresso, il sistema adattivo si sintonizzerà su di esso e genererà un segnale di uscita - chiamiamolo y 1. Se un altro segnale x 2 viene applicato all'ingresso, il sistema si sintonizzerà su questo segnale e genererà un segnale di uscita - chiamiamolo y 2. In generale, la struttura ei processi di correzione del sistema adattativo saranno diversi per due diversi segnali di ingresso.

Per ottenere una soluzione ottimale, esistono molti metodi per regolare i valori dei pesi dei filtri. Sono stati applicati metodi di disturbi casuali, che hanno cambiato i pesi del filtro; inoltre, il segnale in ingresso è stato analizzato per stabilire se la sua perturbazione casuale si avvicina alla soluzione desiderata o se ne allontana. Attualmente, l'algoritmo adattativo basato sul metodo dei minimi quadrati (OLS) è ampiamente utilizzato per calcolare i pesi dei filtri adattativi, poiché utilizza metodi a gradiente che sono molto più efficienti di altri nel fornire convergenza a una soluzione ottimale. Si può dimostrare che il metodo dei minimi quadrati del gradiente è molto simile al metodo di massimizzazione del rapporto segnale-rumore, che è stato sviluppato con l'obiettivo di applicare nei casi in cui è necessario ottenere pesi ottimali di array di antenne adattative. È stato anche dimostrato che il filtro di equalizzazione Lucky è una semplificazione del metodo più generale dei minimi quadrati del gradiente.

Pertanto, un filtro adattativo è un filtro la cui funzione di trasferimento (o risposta in frequenza) è adattabile, ad es. cambia in modo da far passare componenti di segnale utili senza distorsioni e attenuare segnali indesiderati o interferenze. Il circuito del filtro adattativo è mostrato nella Figura 5.5.

ELABORAZIONE DEL SEGNALE DIGITALE

Elaborazione dei segnali digitali

Argomento 11. FILTRO ADATTIVO DEI DATI DIGITALI

Lascia che provino a subordinare le circostanze a se stessi e non obbediscano loro stessi.

Orazio. Messaggi. Poeta romano, I secolo a.C.

Se non trovi alcun senso in questa teoria, tanto meglio. Puoi saltare le spiegazioni e iniziare subito ad usarlo nella pratica.

Valentino Rovinskij. La teoria dei giochi di carte.

Geofisico di Kiev della scuola degli Urali, XX secolo.
Contenuto

Introduzione.

1. Informazioni generali sull'adattabilità. Principali aree di applicazione. Squelch adattivo. Filtro Wiener adattivo. Algoritmo dei minimi quadrati adattivo di Widrow-Hopf. Schemi ricorsivi dei minimi quadrati.

2. Nozioni di base sul raggruppamento statistico delle informazioni. Prerequisiti del metodo. Il problema del raggruppamento statistico. Utilizzo di dati a priori. L'efficacia del metodo.

Regolarizzazione dei dati statistici. Verifica delle disposizioni teoriche del metodo. Valutazione del mantenimento della risoluzione. Valutazione statistica della regolarizzazione dei dati. Risultati della simulazione. Rappresentazione della frequenza. Un esempio di utilizzo pratico.

4. Raggruppamento statistico di informazioni utili. L'essenza dell'implementazione hardware. Caratteristiche dell'implementazione hardware. Implementazione di sistemi di raggruppamento delle informazioni. Un esempio dell'esecuzione del sistema di raggruppamento delle informazioni.

introduzione

Nei metodi tradizionali di elaborazione dei dati, le informazioni vengono estratte dai segnali di ingresso da sistemi lineari con parametri costanti di algoritmi di conversione dei dati. I sistemi possono avere una risposta all'impulso sia finita che infinita, ma la funzione di trasferimento dei sistemi non dipende dai parametri dei segnali di ingresso e dalle loro variazioni nel tempo.

I dispositivi di elaborazione dati adattativi si distinguono per la presenza di una certa connessione tra i parametri della funzione di trasferimento con i parametri di input, output, previsto, previsto e altri segnali aggiuntivi o con i parametri dei loro rapporti statistici, che consente l'autotuning per elaborazione ottimale del segnale. Nel caso più semplice, il dispositivo adattivo contiene un filtro di elaborazione dati programmabile e un blocco di adattamento (algoritmo) che, sulla base di un determinato programma per l'analisi di input, output e altri dati aggiuntivi, genera un segnale per il controllo dei parametri di un filtro programmabile . La risposta all'impulso dei sistemi adattativi può anche essere sia finita che infinita.

Di norma, i dispositivi adattivi sono realizzati con uno scopo funzionale ristretto per determinati tipi di segnali. La struttura interna dei sistemi adattativi e l'algoritmo di adattamento sono quasi completamente regolati dallo scopo funzionale e da una certa quantità minima di informazioni iniziali a priori sulla natura dei dati di input e sui loro parametri statistici e informativi. Ciò dà origine a una varietà di approcci allo sviluppo dei sistemi, complica notevolmente la loro classificazione e lo sviluppo di disposizioni teoriche generali / l38 /. Ma si può notare che la maggiore applicazione nello sviluppo di sistemi per l'elaborazione adattiva del segnale si trova in due approcci: basato sullo schema dei minimi quadrati (LSC) e lo schema ricorsivo dei minimi quadrati (RSL).

^ 11.1. INFORMAZIONI GENERALI SULLA FILTRAZIONE DIGITALE ADATTIVA.

Principali aree di applicazione filtraggio adattivo - pulizia dei dati da segnali interferenti instabili e rumore che si sovrappongono nello spettro con lo spettro dei segnali utili, oppure quando la banda di frequenza interferente è sconosciuta, variabile e non impostabile a priori per il calcolo dei filtri parametrici. Quindi, ad esempio, nella comunicazione digitale, una forte interferenza attiva può interferire con il segnale utile e quando le informazioni digitali vengono trasmesse su canali con caratteristiche di frequenza scadenti, si può osservare un'interferenza intersimbolica dei codici digitali. Una soluzione efficace a questi problemi è possibile solo con i filtri adattivi.

La risposta in frequenza dei filtri adattativi viene regolata o modificata automaticamente secondo un criterio specifico, consentendo al filtro di adattarsi alle variazioni delle caratteristiche del segnale di ingresso. Sono ampiamente utilizzati in radio e sonar, nei sistemi di navigazione, nell'estrazione di segnali biomedici e in molti altri rami della tecnologia. Ad esempio, si considerino gli schemi di filtraggio del segnale adattivo più comuni.

Squelch adattivo ... Lo schema a blocchi del filtro è mostrato in Fig. 11.1.1.

Riso. 11.1.1.
Il filtro è costituito da un blocco filtro digitale con coefficienti regolabili e un algoritmo adattativo per la regolazione e la modifica dei coefficienti del filtro. I segnali di ingresso y (k) e x (k) vengono applicati contemporaneamente al filtro. Il segnale y (k) contiene un segnale utile s (k) e un segnale contaminante non correlato g (k). Il segnale x (k) di una sorgente di rumore è correlato con g (k) e viene utilizzato per formare una stima del segnale (k). Il segnale utile è stimato dalla differenza:

š (k) = y (k) - (k) = s (k) + g (k) - (k). (11.1.1)

Quadriamo l'equazione e otteniamo:

š 2 (k) = s 2 (k) + (g (k) - ğ (k)) 2 + 2.s (k) (g (k) - (k)). (11.1.2)

Calcoliamo l'aspettativa matematica dei lati sinistro e destro di questa equazione:

M [š 2 (k)] = M + M [(g (k) - ğ (k)) 2] + 2M. (11.1.3)

L'ultimo termine dell'espressione è uguale a zero, poiché il segnale s (k) non è correlato ai segnali g (k) e ğ (k).

M [š 2 (k)] = M + M [(g (k) - (k)) 2]. (11.1.4)

In questa espressione, M = W (s (k)) è la potenza del segnale s (k), M [š 2 (k)] = W (š (k)) è la stima della potenza del segnale s (k) e la potenza totale di uscita, M [(g (k) - ğ (k)) 2] = W ( g) è la potenza residua del rumore che può essere contenuta nel segnale di uscita. Quando si regola il filtro adattativo nella posizione ottimale, la potenza del rumore residuo viene ridotta al minimo e, di conseguenza, la potenza del segnale di uscita:

Min W (š (k)) = W (s (k)) + min W ( g). (11.1.5)

L'impostazione non influisce sulla potenza del segnale utile, poiché il segnale non è correlato al rumore. L'effetto di ridurre al minimo la potenza di uscita complessiva si tradurrà nella massimizzazione del rapporto segnale/rumore in uscita. Se l'impostazione del filtro garantisce l'uguaglianza ğ (k) = g (k), allora š (k) = s (k). Se il segnale non contiene rumore, l'algoritmo adattativo dovrebbe impostare tutti i coefficienti del filtro digitale a zero.

Riso. 11.1.2.
Filtro Wiener adattivo ... Il segnale di ingresso y (k) del filtro mostrato in Fig. 11.1.2 include una componente correlata con il secondo segnale x (k) e una componente utile non correlata con x (k). Il filtro forma da x (t) il segnale (k) - la stima ottimale di quella parte di y (k), che è correlata con x (k), e la sottrae dal segnale y (k). Segnale di uscita:

E (k) = y (k) - (k) = y (k) - h T X k = y (k) - h (n) x (k-n),

Dove h T e X k - vettori dei coefficienti di peso del filtro e del suo segnale di ingresso.

Simile al metodo precedente, quadrando i lati sinistro e destro dell'equazione, troviamo le aspettative matematiche di entrambi i lati e otteniamo l'equazione di ottimizzazione del segnale di uscita:

   2 P T h + h T RH, (11.1.6)

Dove  2 = M è la varianza di y (k), P= M è il vettore di correlazione incrociata, R= M [ X K X k T] - matrice di autocorrelazione.

Riso. 11.1.3.
In un ambiente stazionario, il grafico della dipendenza di dai coefficienti hè a forma di ciotola superficie di adattamento(fig. 11.1.3). Gradiente di superficie:

d / d h = -2P + 2RH.

Ad ogni insieme di coefficienti h (n) su questa superficie corrisponde un certo punto. Al punto minimo, il gradiente è zero e il vettore dei pesi del filtro è ottimale:

h opt = R -1 P. (11.1.7)

Questa formula è chiamata equazione di Wiener-Hopf. Il compito dell'algoritmo di sintonizzazione automatica è selezionare tali pesi del filtro che garantiscano il funzionamento nel punto ottimale della superficie di adattamento.

Tuttavia, l'applicazione pratica del filtro è ostacolata dall'uso di matrici di correlazione R e P, che sono a priori sconosciute e che possono cambiare nel tempo per segnali non stazionari.

Algoritmo dei minimi quadrati adattivo Widrow-Hopf ... In sostanza, si tratta di una modifica del filtro di Wiener, in cui invece di calcolare i coefficienti (11.1.7) in un unico passaggio, viene utilizzato l'algoritmo di discesa sequenziale al punto ottimale per l'elaborazione di ciascun campione:

h k+1 = h k - e k X k, (11.1.8)

Ek = yk - h T X K. (11.1.9)

La condizione per la convergenza all'ottimo:

0 <  >1 / max, (11.1.10)

Dove è il parametro della velocità di discesa, m ax è l'autovalore massimo della matrice di covarianza dei dati. Lo schema a blocchi dell'algoritmo è mostrato in Fig. 11.1.4.

Riso. 11.1.4. Algoritmo di adattamento ai minimi quadrati.

In pratica, il punto di massima ottimalità oscilla intorno a quello teoricamente possibile. Se il segnale di ingresso non è stazionario, la modifica delle statistiche del segnale dovrebbe essere sufficientemente lenta da consentire ai coefficienti del filtro di tenere traccia di tali modifiche.

Minimi quadrati ricorsivi differiscono in quanto il calcolo di ciascun campione successivo dei coefficienti h (n) viene effettuato non solo dai coefficienti di un solo campione precedente, ma anche con una certa lunghezza di memoria gradualmente sbiadita per i campioni precedenti, il che rende possibile ridurre le fluttuazioni delle stime durante l'elaborazione di segnali stazionari.

^ 11.2. Nozioni di base sul raggruppamento statistico delle informazioni.

Nella realizzazione di sistemi per il filtraggio adattativo dei dati rivestono grande importanza le caratteristiche statistiche dei segnali e dei rumori elaborati, la loro stazionarietà, e la presenza di eventuali informazioni aggiuntive correlate a quella principale. Consideriamo la possibilità di utilizzare informazioni aggiuntive nella costruzione di sistemi adattativi utilizzando un esempio specifico: un sistema per la filtrazione adattativa di misurazioni geofisiche nucleari continue.

Prerequisiti del metodo. La grandezza fisica registrata nel processo di misurazioni di fisica nucleare in geofisica è solitamente la frequenza dei segnali pulsati all'uscita dei rivelatori di radiazioni ionizzanti nella modalità integrale o differenziale di selezione dell'ampiezza. I valori della grandezza misurata, così come distribuita statisticamente in natura, possono essere determinati solo facendo la media del numero di eventi di registrazione delle particelle ionizzanti negli intervalli di tempo. Il numero di impulsi registrato determina l'errore statistico di una singola misurazione e l'intervallo di tempo medio, che fornisce l'errore standard, ne determina le prestazioni. Per i metodi con registrazione continua delle informazioni nel tempo (o nello spazio), la finestra temporale delle misurazioni determina anche la risoluzione temporale (o spaziale, tenendo conto della velocità di movimento del rivelatore) dell'interpretazione dei risultati della misurazione, mentre l'efficienza di registrazione delle informazioni è solitamente limitato dalle condizioni di misurazione e/o dai loro mezzi tecnici di esecuzione. Un tipico esempio è il well logging, dove le possibilità di aumentare l'intensità dei flussi informativi sono limitate dai parametri dell'efficienza di registrazione e della sensibilità dei rivelatori di radiazioni, che dipendono dalla loro tipologia e dimensione. Le dimensioni dei rivelatori, ovviamente, dipendono in modo significativo dalle dimensioni degli strumenti di fondo pozzo, che, a loro volta, sono limitate dai diametri dei pozzi.

Di seguito consideriamo la possibilità di aumentare l'accuratezza e la produttività delle misurazioni nucleari-fisiche continue, per chiarezza, in relazione alle condizioni di misurazione nella versione del campionamento gamma downhole, sebbene possa essere utilizzato nella stessa misura nel gamma auto e aereo rilevamento, per la concentrazione di minerali radiometrici, in radiometria a raggi X e altri metodi di geofisica nucleare. Si presume che i dati vengano registrati in forma digitale con l'accumulo di letture a intervalli costanti di campionamento dei dati (nel tempo e nello spazio, a condizione che il rilevatore si muova a velocità costante).

Nel caso generale, informazioni utili (target) possono essere presenti in diversi intervalli di energia dello spettro di radiazione. Gli intervalli di lavoro delle misurazioni sono generalmente considerati parti dello spettro in cui le informazioni utili sono presenti in forma "pura" o mescolate con rumore (sfondo), il cui valore può essere preso in considerazione durante l'elaborazione dei risultati della misurazione. Ad esempio, durante il campionamento gamma delle rocce per il contenuto di radionuclidi naturali (RNN), si registra una radiazione con un'energia superiore a 250-300 keV, rappresentata principalmente da quanti primari e singolarmente diffusi, la cui densità di flusso è proporzionale alla frazione di massa di NRN nelle rocce. La densità del flusso di radiazione nell'intervallo spettrale a bassa energia (20-250 keV, principalmente radiazione diffusa moltiplicata) dipende anche dalla frazione di massa del NER, ma questa dipendenza è parametricamente correlata al numero atomico effettivo del mezzo emettitore-assorbente in la regione del rivelatore, le cui variazioni sono lungo il pozzo può portare a un grande errore nell'interpretazione dei risultati della misurazione. Nel frattempo, la densità del flusso di informazioni (relativa alla frazione di massa di NER) nell'intervallo 20-250 keV è molto più alta che nell'intervallo superiore a 250 keV, specialmente quando si registrano radiazioni con rivelatori a scintillazione di piccoli volumi, che sono aumentati sensibilità alla parte a bassa energia dello spettro di radiazione. ...

Problema di raggruppamento statistico le informazioni nei flussi di segnale in una forma generale e più semplice possono essere formulate come segue. Informazioni utili sono presenti in due flussi di segnale statisticamente indipendenti (in due intervalli non sovrapposti dello spettro di radiazione). Nel primo flusso di segnali, convenzionalmente di base, le informazioni utili sono presenti in forma "pura": la densità del flusso di segnali è proporzionale alla quantità fisica determinata. Nel secondo flusso, condizionalmente aggiuntivo, l'influenza di fattori destabilizzanti, il cui significato è sconosciuto, si sovrappone alle informazioni utili. In assenza di fattori destabilizzanti, il coefficiente di correlazione delle densità medie di flusso in questi due flussi di segnale è costante e prossimo a 1. Per ridurre l'errore di misura statistica, è necessario estrarre informazioni utili dal flusso di segnale aggiuntivo e aggiungerlo a il flusso principale.

Indichiamo i flussi, così come le frequenze dei flussi di segnale principali e aggiuntivi dagli indici n e m (impulsi al secondo), la relazione dei flussi per frequenze dall'indice x = m / n. La frequenza del flusso n deve essere determinata. Il valore di x può cambiare per l'influenza di fattori destabilizzanti sul flusso m e, nel caso generale, è una variabile casuale distribuita secondo una certa legge con la densità di probabilità P (x), l'aspettativa matematica e la varianza Dx.

In base al teorema di Bayes, la densità di probabilità della distribuzione di frequenza n sul numero di campioni di segnale N misurati su un intervallo unitario t è determinata dall'espressione:

P N (n) = P (n) P n (N) P (N), (11.2.1)

P n (N) = (nТ) N e -n  N! , (11.2.2)

P (N) = P n (N) P (n) dn, (11.2.3)

Dove: P (n) - densità di probabilità a priori della frequenza n, P n (N) - distribuzione di probabilità a posteriori di campioni numerici N (legge di Poisson). Prendendo ulteriormente come valore cercato i valori campionari z = n ad intervalli  (esposizione di campioni digitali o finestra temporale scorrevole di dati analogici) e sostituendo (11.2.2, 11.2.3) in (11.2.1), si ottenere:

P N (z) = P (z) z N e -z  P (z) z N e -z dz. (11.2.4)

Per una distribuzione sconosciuta di valori z, si assume che la densità di distribuzione precedente P (z) sia uniforme da 0 a  e le espressioni ben note seguono dall'espressione (11.2.4):

Z = D z = N + 1  N, (11.2.5)

 z 2 = D z z 2 = 1  (N + 1)  1N. (11.2.6)

Trascuriamo i valori delle unità nelle espressioni, che non solo è corretto nelle condizioni di statistica "buona", ma è anche necessario nella modalità di misurazioni continue sequenziali per escludere la distorsione dei valori medi.

Come risulta dalla teoria della registrazione dei raggi gamma (GC) ed è abbastanza ben confermato dalla pratica del campionamento gamma, la risoluzione spaziale delle misurazioni dei raggi gamma quando si interpretano i risultati GC per il contenuto di elementi radioattivi naturali nelle rocce lungo il pozzo è in media di 10 cm e nei pozzi piccoli il diametro può anche aumentare fino a 5-7 cm, tuttavia l'implementazione di tale risoluzione è possibile solo in condizioni di statistiche sufficientemente "buone". Il guadagno della dispersione del rumore dei filtri di deconvoluzione digitali, che vengono utilizzati nell'interpretazione dei GC, è mediamente di circa 12 e varia da 4 a 25 a seconda della densità delle rocce, del diametro dei pozzi, del diametro del downhole strumenti, ecc. Ne consegue che per ottenere una risoluzione di 10 cm con un errore standard di interpretazione differenziale non superiore al 10-20%, l'errore di misurazione statistica non deve superare il 3-7%. E questo, a sua volta, determina il volume di conteggio per una singola esposizione di almeno 200-1000 impulsi. Con la registrazione dei raggi gamma, quest'ultimo è possibile solo per rocce con un contenuto di NER relativamente alto (più dello 0,001% di uranio equivalente), quando si utilizzano rivelatori di grandi dimensioni (con un'efficienza di registrazione superiore a 10 impulsi / sec per 1 μR / h ) e a bassa velocità di registrazione (non più di 100-300 m/h). In un modo o nell'altro, questo problema è tipico di tutti i metodi della geofisica nucleare ed è particolarmente acuto nelle modifiche spettrometriche delle misurazioni.

Allo stesso tempo, va notato che il processo di misurazioni continue ha una certa base fisica sia per applicare metodi di regolarizzazione dei risultati dell'interpretazione dei dati, sia per regolarizzare i dati statistici stessi (matrici di campioni N) durante la loro elaborazione.

Il modo più semplice per preparare i dati digitali per l'interpretazione è il loro filtraggio a bassa frequenza mediante minimi quadrati (OLS) o funzioni di peso (Laplace-Gauss, Kaiser-Bessel, ecc.). Tuttavia, eventuali metodi di filtraggio dei dati a bassa frequenza riducono la risoluzione spaziale dell'interpretazione, poiché, oltre a ridurre le fluttuazioni statistiche, portano a una certa deformazione delle componenti di frequenza della parte utile del segnale, il cui spettro, secondo le condizioni di deconvoluzione, dovrebbe avere valori reali fino alla frequenza di Nyquist. In una certa misura, questo fattore negativo può essere eliminato utilizzando il metodo di regolarizzazione adattativa dei dati (ADR).

Le espressioni (11.2.5-6) sono ottenute assumendo che la distribuzione precedente P (z) sia completamente sconosciuta per i campioni in ciascuna esposizione corrente . Nel frattempo, durante l'elaborazione di dati di misurazione continua, e ancor più di dati di registro, che di solito sono multivariabili, per ciascun campione corrente durante l'elaborazione dei dati, è possibile effettuare una certa stima della distribuzione P (z). Si possono distinguere almeno due modi di stimare la distribuzione P(z).

Metodo 1. Utilizzo di array di dati di misurazioni parallele di qualsiasi altro parametro informativo, i cui valori sono chiaramente correlati con l'array di dati elaborati nell'intero spazio di misurazione o in un certo intervallo scorrevole di confronto dei dati. Tali array includono, ad esempio, misurazioni preliminari di registrazione durante la perforazione di pozzi, misurazioni con un altro strumento, con una diversa velocità di registrazione, in un diverso intervallo spettrale di radiazione e persino con un altro metodo di registrazione. Nel campionamento gamma, la distribuzione P (z) può essere stimata da misurazioni parallele dell'intensità di flusso m nell'intervallo di bassa frequenza dello spettro delle rocce.

Metodo 2. Con un unico diagramma GK, è possibile stimare la distribuzione di P(z) in ogni punto corrente di elaborazione dei dati nelle immediate vicinanze di questo punto, coprendo un intervallo spaziale più ampio rispetto all'intervallo di campionamento.

Utilizzo di dati a priori. Supponiamo che oltre all'array di dati principale N , soggetto a elaborazione (preparazione per l'interpretazione), abbiamo un array di dati aggiuntivo M, i cui valori sono correlati in una certa misura con l'array N. In assenza di array aggiuntivi, il metodo 2 consente di ottenere l'array M elaborando array N con un filtro OLS digitale (o qualsiasi altro filtro di peso) con una finestra temporale scorrevole T  3 (M (k) = m (k) segnale livellato m (k) = n (k) ③ h, dove h è l'operatore di filtro digitale simmetrico). Si noti inoltre che il 2° metodo può sempre essere utilizzato per regolarizzare i dati, indipendentemente dalla disponibilità dei dati per il 1° metodo.

L'array M consente di stimare le caratteristiche statistiche della distribuzione P (z). Quindi, se per gli stessi intervalli di tempo nell'array M ci sono letture M = m k  (o letture di qualche altro parametro ridotto ad esse), allora possiamo scrivere:

P M (z) =
, (11.2.7)

Dove Р (х) è una densità a priori di distribuzione dei valori x k = m k / n k, che nel caso generale può anche essere casuale. Con una distribuzione uniforme di Р (х) da 0 a  per il riferimento М, qualsiasi valore di z è ugualmente probabile, cioè non vi è alcun effetto dalle misurazioni in portata m. Tuttavia, secondo le condizioni iniziali del problema, il flusso m deve contenere informazioni utili e, di conseguenza, l'esistenza di almeno certi limiti della distribuzione P (x) da x min> 0 a x max<< , и среднего значения по пространству измерений. При этом из выражения (11.2.7) следует, что наиболее вероятное значение z a , "априорное" для отсчетов z=n в потоке n по измерениям в потоке m (отсчетам М), должно быть равно:

Z a = (M + 1)   М. (11.2.8)

Con l'indipendenza statistica dei valori x e M, l'errore quadratico medio relativo alla determinazione dei valori di z a dalle letture nell'array M:

za 2 =  M 2 +  x 2. (11.2.9)

Da qui la varianza della distribuzione dei valori z a:

D za = (D M + M 2 x 2)  2 = D (M)  2, (11.2.10)

D (M) = D M + M 2 x 2 = D M + D xm, (11.2.11)

D M = M + 1  M, D xm = M 2  x 2,

Dove il valore della varianza DM è determinato dalle statistiche dei campioni nell'array M at x = const, il valore di D xm è la varianza dei valori di M dovuta alle fluttuazioni del valore di x, e il la somma D (M) determina la varianza totale dei campioni M.

L'influenza di Р (х) sulla forma di distribuzione Р М (z) si riflette nel suo "stiramento" lungo la coordinata z rispetto al valore modale, mentre la soluzione dell'integrale (11.2.7) in prima approssimazione può essere rappresentato nella seguente forma:

P M (z)  b
e-bz. (11.2.12)

Per una data distribuzione:

= z a = ab, (11.2.13)

D za = ab 2, (11.2.14)

Tenendo conto delle espressioni (11.2.8) e (11.2.10):

A = MD M  (D za 2) = MD M D (M), (11.2.15)

B = D M  (D za) = D M  D (M). (11.2.16)

Si presume che il valore "a" nell'espressione (11.2.15) sia un numero intero. L'espressione (11.2.12) può essere adottata per la distribuzione (11.2.4) come distribuzione di probabilità a priori P (z), mentre:

P N (z) = (b + 1)
e -z (b + 1). (11.2.17)

Quindi, l'aspettativa matematica e la varianza z:

Z = (N + a)  (b + 1), (11.2.18)

Dz = (N + a)  (b + 1) 2. (11.2.19)

Usando le espressioni (11.2.15-16):

Z = N + (1-) M, (11.2.20)

Dove e (1-) sono i fattori di ponderazione di confidenza nei campioni N e M:

 = D (M)  (D N 2 + D (M)). (11.2.21)

Dispersione e errore quadratico medio relativo dei campioni z:

Dz = D (M)
, (11.2.22)

z 2 = 1 (N + MD M D (M)). (11.2.23)

L'efficacia del metodo. Il confronto delle espressioni (11.2.20-23) e (11.2.5-6) consente di stimare l'effetto dell'utilizzo di informazioni aggiuntive da un flusso M statisticamente indipendente da N (informazioni aggiuntive arbitrarie).

1. Per  const,  х 2  0, D xm  0 ha luogo e la varianza dei campioni nell'array M è determinata solo dalle statistiche di flusso:

D (M)  D M = M, z = (N + M)  (+1),

z 2  1 (N + M)<  N 2 = 1N, (11.2.24)

 =  N 2  z 2 =  N  1 + MN,

Ciò corrisponde alla definizione di z su due dimensioni indipendenti e l'effetto dell'utilizzo di informazioni aggiuntive è massimo. Quindi, per M  N,   2 e l'errore di misura diminuisce di
1,4 volte.

2. Nel caso generale, D xm  0, mentre D (M)> D M e l'effetto positivo diminuisce. Al limite:  x  , D xm  , D (M)  ,   1, z  N,  z   N e l'effetto positivo degenera completamente. In tutti gli altri casi > 1 e  z<  N . Отсюда следует, что при наличии коррелированной информации в массиве М положительный эффект, в той или иной мере, всегда имеет место.

3. L'effetto positivo è maggiore, maggiore è il valore di x = m / n, minori fluttuazioni in x (valore  x) e minore del valore dei campioni N = n. L'effetto positivo aumenta proprio in quei casi in cui la mancanza di informazioni è particolarmente acuta: a bassi valori della densità del flusso di radiazione e/o dell'esposizione delle misurazioni.

Un effetto simile si verificherà durante la formazione dei campioni M in prossimità degli attuali punti di elaborazione dei dati determinandone il valore medio (livellamento a bassa frequenza dell'array n). Il livellamento preliminare a bassa frequenza può essere applicato anche per un array aggiuntivo m statisticamente indipendente, che aumenterà l'affidabilità delle letture previste e aumenterà la profondità della regolarizzazione, se questo livellamento durante la regolarizzazione secondo le formule (11.2.20 e 21) non lo fa influenzare il cambiamento nella forma del segnale principale. Quest'ultimo è determinato dal rapporto tra gli spettri di frequenza del segnale principale e l'operatore di livellamento.

Ci sono due modi possibili per implementare l'equazione (11.2.20): direttamente nel processo di misurazioni con il metodo del raggruppamento statistico delle informazioni utili (GSPI) in tempo reale, o con il metodo della regolarizzazione statistica dei dati (SDR) registrati in la forma di una distribuzione temporale (spaziale) in array paralleli di campioni.

^ 11.3. Regolarizzazione dei dati statistici.

Come segue dall'espressione (11.2.21), per l'uso pratico delle informazioni da flussi di dati aggiuntivi, è necessario impostare i valori e la varianza di D (M) e, in base alla specificazione di quest'ultimo mediante l'espressione ( 11.2.11), il valore  x - la relativa fluttuazione quadratica media del valore x.

Per quanto riguarda il DRS, la determinazione dei valori di e x dagli insiemi di dati registrati non presenta alcuna difficoltà sia nell'insieme sullo spazio di misurazione sia sotto forma di distribuzioni in una finestra scorrevole di media dei dati. Quest'ultimo equivale a ridurre D xm => 0 per il punto di elaborazione dati corrente in base alle informazioni provenienti dalle sue immediate vicinanze e consente la massima estrazione di informazioni utili da flussi di segnali aggiuntivi se lo spettro di frequenza della distribuzione della quantità x sulla misura lo spazio è molto inferiore allo spettro di frequenza del segnale utile. Si noti che le informazioni sulla distribuzione di x possono anche essere di importanza pratica (in particolare, nel campionamento gamma con un flusso di segnale aggiuntivo nell'intervallo di bassa energia dello spettro di radiazione - per stimare il numero atomico effettivo delle rocce).

Verifica delle disposizioni teoriche del metodo La SDS è stata realizzata mediante la modellazione statistica dei corrispondenti set di dati e la loro elaborazione con filtri digitali.

La tabella 1 mostra 4 gruppi di risultati di elaborazione secondo le formule (11.2.20-21) di due valori medi statisticamente indipendenti e costanti di array di dati n e m (modelli di campi costanti) a varie impostazioni del sistema di comunicazione sincrono lungo la finestra scorrevole K dal conto dei valori correnti = m i / n i e D i (M) sull'array m. Il punto di elaborazione corrente è al centro della finestra. Il numero di campioni in ogni array è 1000, la distribuzione dei valori dei campioni corrisponde alla legge di Poisson. La determinazione dei conteggi previsti M i dall'array m per l'uso nell'equazione (11.2.20) è stata effettuata con il livellamento dei conteggi nella finestra scorrevole K s di un filtro digitale a bassa frequenza (opzione senza livellamento a K s = 1) . Come filtro passa-basso nell'algoritmo SDS, viene utilizzata la finestra di peso di Laplace-Gauss (di seguito). Il valore teorico di D z.t. la varianza dei risultati z è stata determinata dall'espressione (11.2.22) con il calcolo della varianza D (M) dall'espressione D (M) =
... Quando si livellano le letture previste, il valore di D M nell'espressione (11.2.22) è stato considerato uguale a D M. = H s, dove H s è il guadagno del filtro di livellamento della dispersione del rumore (la somma dei quadrati dei coefficienti del filtro digitale). Inoltre, la tabella contiene i valori medi registrati del coefficiente di riduzione delle fluttuazioni statistiche  =  n 2 /  z 2.

Tabella 1. Statistiche dei risultati della simulazione del DRS.

(array principale = 9.9, D n = 9.7, array aggiuntivo = 9,9, D m = 9,9, 1000 conteggi.)

K c	K s	z	D z	Dz.t.		K c	K s	z	D z	Dz.t.	
3	1	9,7	5,7	6,19	1,7	11	3	9,6	3,6	3,80	2,8
5	1	9,7	5,4	5,78	1,8	11	5	9,6	3,3	3,55	3,0
11	1	9,6	5,1	5,36	1,9	11	11	9,6	3,1	3,22	3,2
21	1	9,6	5,0	5,18	2,0	11	21	9,6	3,0	3,11	3,3
51	1	9,6	5,0	5,05	2,0	11	51	9,6	3,0	2,99	3,3
3	3	9,7	4,1	4,71	2,4	3	11	9,8	4,5	4,26	2,2
5	5	9,7	3,6	4,01	2,8	5	11	9,7	3,5	3,78	2,8
11	11	9,6	3,1	3,22	3,2	11	11	9,6	3,1	3,22	3,2
21	21	9,6	2,9	2,91	3,4	21	11	9,6	3,1	3,12	3,2
51	51	9,6	2,7	2,66	3,7	51	11	9,6	3,1	2,99	3,2

Come si evince dai dati in tabella, i risultati pratici del filtraggio sono in buon accordo con quelli attesi dai calcoli teorici. Una certa diminuzione del valore medio di z rispetto al valore medio originale di n è determinata dall'asimmetria del tipo di Poisson del modello. Con piccoli valori medi dei conteggi del modello nell'array m, ciò porta a una certa asimmetria statistica nel funzionamento del SynRM, poiché per (+  m) 2> (- m) 2, la confidenza statistica media nelle informazioni aggiuntive con letture M i +  è inferiore a quella con letture M i -. Lo stesso fattore, a quanto pare, ha causato una maggiore discrepanza tra i valori teorici e reali di D z a piccoli valori della finestra K c. Si può anche notare che, in base al valore del coefficiente, la filtrazione raggiunge valori teorici ( 1 + MN) solo con una determinazione sufficientemente accurata dei valori di e D i (M), che richiede un aumento della finestra K dal calcolo di questi parametri per il pieno utilizzo di informazioni aggiuntive.

Tavolo 2.

L'effetto dell'utilizzo di informazioni aggiuntive, in pieno accordo con l'espressione (11.2.22), aumenta con il livellamento preliminare delle variazioni statistiche nei conteggi M i e con un aumento dei valori dei conteggi array aggiuntivi (materiali su quest'ultimo caso non sono indicati, poiché non hanno alcuna informazione aggiuntiva). In campi silenziosi dal punto di vista dinamico, si può ottenere una profondità di regolarizzazione ancora maggiore contando i valori di e D m utilizzando un array livellato M, che consente di aumentare il peso dei conteggi previsti M i. I risultati della modellazione di questa opzione nelle stesse condizioni della tabella 1 sono mostrati nella tabella 2. Lo stesso effetto, in linea di principio, può essere ottenuto introducendo direttamente un fattore di peso aggiuntivo nell'espressione (11.2.20) come fattore per il valore D (M ), che consente il controllo esterno della profondità di regolarizzazione.

Valutazione del mantenimento della risoluzione sono state fornite utili informazioni sul filtraggio dei segnali deterministici n ed m della forma limite - sotto forma di impulsi rettangolari. Sono stati valutati due fattori: conservazione della forma del segnale utile e soppressione del rumore statistico sovrapposto al segnale utile.

Quando si installa l'SDS senza calcolare la media dei dati sull'array M (K s = 1, prevedere M i in base ai valori correnti dell'array M), per qualsiasi valore della finestra K c, l'array di output Z si ripete l'array N senza alcuna modifica, ovvero non modifica il segnale utile e conserva completamente le sue caratteristiche di frequenza. Naturalmente, a condizione che l'array M sia proporzionale all'array N.

A K s> 1, la forma delle curve di output cambia leggermente ed è mostrata in Fig. 11.3.1. Gli indici delle curve di uscita z forniscono informazioni sulle impostazioni delle finestre SynRM: la prima cifra è la finestra per il conteggio della varianza DM e il valore corrente (nel numero di punti campione), la seconda cifra (tramite un flash) è la finestra per livellare i campioni M mediante la funzione peso di Laplace-Gauss e determinare i campioni previsti M i. Per confronto con i risultati del tipico filtraggio passa-basso, la figura mostra una curva di n25 campioni N, levigata dalla funzione di ponderazione di Laplace-Gauss con una finestra di 25 punti.

Riso. 11.3.1. SynRM di impulso rettangolare. Conta D m su un array non livellato M.

Nella fig. 11.3.1а mostra il risultato del SynRM di un impulso rettangolare con un valore di ampiezza di 10 su uno sfondo di 5 con un rapporto di m / n = 1 (valori uguali dei campioni N e M). La varianza D N nell'espressione (11.2.21) è stata assunta pari al valore dei campioni N (statistica di Poisson). Come si può vedere in figura, pur mantenendo i fronti della funzione segnale, il livellamento dei valori previsti di i porta alla comparsa di distorsione della forma del segnale su entrambi i lati del salto, il cui intervallo è il maggiore, maggiore è il valore di K s. Il valore dell'ampiezza delle distorsioni, come segue dall'espressione (11.2.21), dipende principalmente dal rapporto tra i valori correnti di DN e D (M) e, in misura minore, dalla profondità di livellamento delle letture previste .

La quantità massima di distorsione per i punti di salto in prima approssimazione può essere stimata dalle seguenti considerazioni. I valori di D (M) tra i punti di salto sono D (M) = А 2/4, dove è l'ampiezza del salto, mentre i valori del coefficiente  per i punti di salto inferiore e superiore sono determinati da le espressioni   А 2 / (4D N + A 2) , dove DN = N è il punto di salto (per le statistiche di Poisson). Quindi, con il valore previsto M  N + A / 2 per il punto inferiore del salto e M  NA / 2 per il punto superiore, l'entità relativa delle variazioni di N sarà determinata dall'espressione   1 / ( 2N / A + A), cioè sarà minore, maggiori saranno i valori di A e N e maggiore sarà il rapporto N/A, che si vede chiaramente in Fig. 11.3.1c. Da questa espressione segue anche che le massime distorsioni dei salti introdotte dal sistema SynRM saranno sempre parecchie volte inferiori alle fluttuazioni statistiche delle letture dirette  = 1 /
ai bordi dei salti.

Con un aumento della profondità della regolarizzazione introducendo il conteggio della varianza D (M) sull'array levigato M, lo schema delle distorsioni cambia leggermente ed è mostrato in Fig. 11.3.2. La risposta dell'SDS al livellamento della dispersione D(M) si manifesta in una sorta di compensazione degli scostamenti assoluti delle letture direttamente ai lati del salto da deviazioni di segno opposto nella zona più lontana dal salto. I valori massimi di distorsione rimangono approssimativamente allo stesso livello del lavoro sulla dispersione non livellata D (M), con una dipendenza leggermente inferiore dall'aumento dei valori di N e A.

Riso. 11.3.2. SynRM di impulso rettangolare. Conto D m su un array livellato M.

Negli esempi forniti, il valore della finestra di conteggio Kc è stato assunto uguale al valore della finestra di livellamento Ks dell'array aggiuntivo M. Con Kc> Ks, l'immagine di processo praticamente non cambia. Con il rapporto inverso delle dimensioni della finestra, entra in gioco il secondo fattore: la deviazione dai valori di conteggio effettivi dei valori correnti xi = m / n nella piccola finestra K s dall'array di campioni levigati con il ampia finestra K s. A distanze dalla funzione jump, maggiori di K s/2, il SynRM passa alla modalità di preferenza per i valori smussati dell'array M, poiché D (M)  0, che per К с< K s может приводить к появлению существенной погрешности – выбросов на расстояниях  К с /2 от скачков. Естественно, что при практических измерениях таких условий наблюдаться не будет и эффект резко уменьшится, но для полного его исключения вариант K c  K s можно считать предпочтительным.

Riso. 11.3.3. Segnale SynRM N su array M. Fig. 11.3.4. Coefficiente .

(Contando D m su un array non livellato M). (Media statistica su 50 cicli)

Nella fig. 11.3.3 mostra un esempio di registrazione di un segnale modello randomizzato sotto forma di un impulso rettangolare con un'ampiezza di 40 su uno sfondo di 10, su cui è visibile il principio di funzionamento del SynRM. Come previsto, il SynRM attenua le fluttuazioni statistiche dello sfondo e del segnale al di fuori della zona K s dal salto, dando la preferenza ai valori previsti livellati di i, e non cambia lo sfondo e i valori del segnale all'interno questa zona a causa di un forte aumento dei valori attuali di D ( M) nell'espressione (11.3.21). La variazione del coefficiente nella zona di salto che controlla la formazione dei conteggi di uscita è mostrata in Fig. 11.3.4 (media di oltre 50 cicli di randomizzazione per l'impulso del modello in Fig. 11.3.3) e mostra chiaramente il principio di adattamento del SynRM alla dinamica dei cambiamenti nei valori dei segnali elaborati.

Valutazione statistica della regolarizzazione dei dati da impulsi rettangolari, 50 cicli di randomizzazione degli array iniziali N e M. impulsi. I risultati dell'elaborazione per le stesse impostazioni di filtro sono mostrati nella Tabella 3.

Riso. 11.3.5. Statistiche del segnale N Fig. 11.3.6. Statistiche del segnale Z

(Misure oltre 50 cicli). (50 cicli. Contando D m su M non levigato)

Tabella 3.

Statistiche dei valori di fondo e dei picchi di impulso (50 cicli).

Risultati della simulazione confermare il vantaggio di SynRM rispetto ai semplici metodi di anti-aliasing. In forma numerica, ciò si manifesta chiaramente in una diminuzione della varianza dei campioni dell'array di uscita Z con la pratica conservazione dei valori medi dell'array N sia per i campioni di fondo che per i valori di ampiezza del segnale . Con il semplice livellamento, il "collasso" dei fronti di segnale (soppressione delle componenti ad alta frequenza dello spettro del segnale), come dovrebbe essere quando si utilizzano filtri passa-basso, provoca una diminuzione rispetto all'array originale di valori medi ai massimi e un aumento dei valori del segnale di fondo, che è tanto maggiore quanto maggiore è la funzione della finestra del peso. Questo effetto è particolarmente pronunciato nell'intervallo della finestra del filtro su entrambi i lati dei bruschi cambiamenti nel segnale.

In assenza di array aggiuntivi M, correlati con l'array regolarizzato N, la formazione dei valori previsti M i può essere effettuata nelle vicinanze dei valori correnti di N i nella finestra scorrevole K s. Con un approccio rigorosamente corretto, il punto attuale N i non dovrebbe essere incluso nel calcolo dei valori previsti di M i, ma, come mostrato dalla modellazione, questo praticamente non influisce sui risultati della regolarizzazione. Quando si prevede M i per tutti i punti della finestra K s, l'array M è formato da qualsiasi metodo di smoothing dall'array N e tutte le caratteristiche dell'operazione ARS su array smussati M, considerate sopra, rimangono invariate a condizione che D m i valori nella finestra K c sono calcolati utilizzando l'array M. Per escludere outlier su entrambi i lati dei salti di segnale utili, contando D m come varianza dei valori previsti M i deve essere eseguito direttamente sull'array N.

Caratteristica fondamentale del DRS è la possibilità di filtraggio multiplo sequenziale dei dati, in cui può essere effettuato un aumento preferenziale del grado di regolarizzazione dei dati con minima distorsione della forma utile del segnale. Per eseguire quest'ultimo, la dimensione della finestra K con i conteggi xi e D m è impostata al minimo (3-5 punti) e la profondità di regolarizzazione dei dati (il grado di soppressione del rumore) è impostata dal numero di filtri sequenziali operazioni (fino a 3-5 passaggi). Un esempio della regolarizzazione dell'array del modello N in tre passaggi è mostrato in Fig. 11.3.7.

Riso. 11.3.7. SDS single array N (3 passaggi. Conteggio D m su array n)

Per confronto, la linea tratteggiata nella figura mostra il livellamento dell'array da parte di un filtro Laplace-gaussiano a 5 punti, che ha un coefficiente di soppressione del rumore equivalente a un SynRM a 3 passaggi (vedi Fig. 11.3.9).

Le Figure 11.3.8 e 11.3.9 mostrano i risultati dell'elaborazione statistica di un SynRM a 3 passaggi per 25 cicli di simulazione rispetto al 1° passaggio e con un filtro Laplace-Gauss a 5 punti (curva n5).

Riso. 11.3.8. Statistiche medie Fig. 11.3.9. Statistiche della varianza

(25 cicli. Conteggio D m su array n) (25 cicli. Conteggio D m su array n)

Il numero di passaggi può essere limitato in modalità automatica, ad esempio, dal valore quadratico medio delle letture di correzione zi = N i - zi in ogni passaggio rispetto al passaggio precedente, che prima diminuisce bruscamente a causa delle fluttuazioni di livellamento , e quindi, a seconda della dinamica della funzione del segnale, si stabilizza o addirittura inizia ad aumentare a causa della distorsione del segnale stesso.

Rappresentazione della frequenza Il funzionamento di SynRM è chiaramente visibile in Fig. 10, che mostra i moduli degli spettri di un segnale randomizzato sotto forma di meandro (valori medi al minimo - 20, al massimo - 100, 25 periodi di 40 campioni, 1000 campioni in totale) e i risultati della sua elaborazione da parte del SynRM (finestra K c = 3, finestra K s = 3).

Riso. 11.3.10. Moduli di spettri di segnali modello. Figura 11.3.11. Parte dello spettro.

(1 - array di input N, 2 - array di output Z , un ciclo di SDP,

3– matrice di output Z , tre cicli del CDP), 4 è una matrice di meandro non randomizzati).

Il modulo spettrale del segnale utile principale (in questo caso un puro meandro) è una sequenza di singole armoniche di frequenza sull'intera gamma dello spettro. Nello spettro del meandro randomizzato, queste armoniche di frequenza sono riassunte con lo spettro del rumore, distribuito statisticamente uniformemente sull'intero intervallo di frequenza (lo spettro del rumore nella figura è levigato per chiarezza). SynRM sopprime le componenti di rumore del segnale, praticamente senza alterare le armoniche di frequenza del meandro e senza modificarle in ampiezza. Quest'ultimo può essere visto in Fig. 11.3.11, che mostra un segmento dello spettro del segnale nella parte ad alta frequenza della gamma principale nella regione di un'armonica del meandro (le componenti di frequenza del rumore non vengono livellate). Con un SynRM a 3 cicli, i componenti del rumore ad alta frequenza vengono soppressi di quasi un ordine di grandezza.

Esempio pratico Il SynRM è mostrato in Fig. 11.3.12 durante il test di una sezione di un pozzo che attraversa strati di salgemma per il contenuto di silvinite mediante radiazione gamma di potassio-40. Secondo i dati del campionamento geologico, gli strati di silvinite nelle rocce ospiti (halite) hanno confini piuttosto netti e sono omogenei nel contenuto di silvinite all'interno degli strati. Il diagramma GC iniziale (rivelatore CsJ (Tl) con un filtro al piombo spesso 2 mm) e i risultati del filtraggio dell'array di dati GC iniziale utilizzando il SynRM e un filtro a bassa frequenza con una finestra di peso di Laplace-Gauss sono mostrati in Fig. 11.3.12.

Riso. 11.3.12. Diagrammi contabili.

I risultati dell'interpretazione dei diagrammi GK da parte di un filtro digitale deconvoluzionale simmetrico (finestra di 13 punti) sono mostrati in Fig. 11.3.13. Come si può vedere nella figura, la deconvoluzione su un diagramma GK non livellato fornisce variazioni significative nel contenuto di silvinite all'interno del serbatoio. L'uso della filtrazione a bassa frequenza del diagramma GK rimuove le fluttuazioni del contenuto all'interno degli strati, ma attenua notevolmente i confini degli strati. L'uso di un SynRM elimina questo svantaggio.

Riso. 11.3.13. Risultati dell'interpretazione dei diagrammi contabili.

In conclusione, notiamo che il SynRM può essere utilizzato per regolarizzare non solo i dati di fisica nucleare, ma anche qualsiasi altro array numerico di misurazioni continue, se il raggio della loro correlazione è di almeno 3-5 conteggi. A titolo di esempio, Fig. 11.3.14 mostra un diagramma di registrazione acustica registrato con un passo di campionamento dei dati di 20 cm, il cui livellamento è stato eseguito dal SynRM senza perdita di risoluzione spaziale.

Riso. 11.3.14. Diagramma di registrazione acustica e risultato della sua elaborazione da parte del SynRM

(5 cicli, K c = K s = 3, finestra fisica 0,6 m).

Corsi 17-07. Modernizzazione del filtro adattativo per il livellamento di dati distribuiti statisticamente secondo la legge di Poisson.

^ 11.3. Raggruppamento statistico di informazioni utili.

Per quanto riguarda le modalità hardware per l'implementazione del GSPI, essa può essere eseguita in tempo reale se l'informazione è rappresentata da un flusso di impulsi e il principale parametro informativo è la frequenza di ripetizione degli impulsi.

L'essenza dell'implementazione hardware consiste in un campionamento statistico (prossimo a quello statistico) normalizzato degli impulsi dal flusso aggiuntivo m e dalla loro somma con il flusso principale n con l'impostazione delle condizioni di campionamento in relazione alla frequenza di ripetizione degli impulsi nei flussi. Assumendo per la modalità di misura continua M + 1 = M, riscriviamo l'espressione (5.2.20) con la sostituzione del valore  nella forma seguente:

Z = N + (M / -N) M / (M + D (M)). (11.3.1)

Moltiplichiamo i lati sinistro e destro dell'espressione per il fattore di moltiplicazione normalizzante del flusso di output K = l + R:

Z = K z = N + RN + (M / -N) KM / (M + D (M). (11.3.2)

Sostituiamo i campioni RN con un campione di segnali dal flusso m:

RN = P in M, (11.3.3)

Dove P in - la probabilità di campionare i segnali dal flusso m. Se la probabilità di campionamento del segnale è mantenuta uguale a

P in = R /, (11.3.4)

Allora questo avverrà

M / -N = P in M /R-N  0, (11.3.5)

E di conseguenza per l'espressione (11.3.2) abbiamo:

(M / -N) KM / (M + D (M)  0, (11.3.6)

Z = N + P in M  N + RN. (11.3.7)

Con l'indipendenza statistica del valore di x dalla frequenza dei flussi n e m, le espressioni di cui sopra sono valide per determinare il valore sia nell'intero spazio delle misurazioni che per finestre scorrevoli di valori correnti a determinati intervalli di misurazioni precedenti. Vale anche la conclusione opposta: se l'espressione (11.3.5) si annulla in un certo intervallo di misurazioni, allora la probabilità stabilita del campione corrisponde alla condizione (11.3.4). Questo principio può essere utilizzato per implementare l'implementazione hardware del GSPI con adattamento automatico alle condizioni di misura: controllare il processo di campionamento degli impulsi dal flusso m e indirizzarli alla sommatoria con il flusso n secondo segnali di feedback da un dispositivo che monitora il scomparsa dell'espressione (11.3.5).

Caratteristiche dell'implementazione hardware I GSPI con adattamento automatico alle condizioni di misurazione sono i seguenti.

Il valore della probabilità di campionamento P in non può essere maggiore di 1. Quindi dalla (11.3.3) segue che per qualsiasi intervallo di misura deve essere soddisfatta la condizione M ≥ RN e, di conseguenza, la condizione ≥ R deve essere soddisfatta per tutto il spazio di misura, che determina la scelta del coefficiente R Il valore del coefficiente R limita sostanzialmente il grado di effetto positivo del PSAI (k max  1 + R), a differenza del PSA, dove tale limitazione non esiste.

L'errore statistico relativo delle misurazioni del flusso in uscita dei conteggi Z corrisponde all'espressione (11.2.23) nella condizione di un valore costante di P in, cioè quando si imposta il valore di P nel valore medio del valore nel suo insieme nello spazio delle misurazioni. Con l'adattamento automatico alle condizioni di misurazione, il valore della probabilità P nell'attuale valore medio del rapporto n / m di un certo intervallo di misurazione precedente è anche un valore statisticamente fluttuante con la dispersione della distribuzione (senza tener conto delle variazioni di il valore effettivo di x):

D p = R 2 (n + m) n / (m 3 T), (11.3.8)

Dove T è l'intervallo di media delle informazioni durante la determinazione del valore corrente. Di conseguenza, la varianza e l'errore quadratico medio dei campioni correnti Z:

D z = D N + P in D M + M 2 D p = N + P in M + M 2 D p, (11.3.9)

 z 2 = (N + P in M + M 2 D p) / (N + P in M) 2. (11.3.10)

Con un'esposizione costante delle misurazioni , l'effetto positivo aumenta con un aumento del valore di T:

K = K 2 / (K + R 2 (n + m)  / mT). (11.3.11)

K max  1 + R,  z 2  1 / (N + P in M) a T  . (11.3.12)

Nel caso generale, tenendo conto dell'errore di previsione quadratica media  xi dei valori x i per i punti di misurazione correnti secondo i valori negli intervalli precedenti a T> :

D z = N + P in M + M 2 (D p + P in 2  xi 2). (11.3.13)

La formazione del valore di P in sulla base delle informazioni sui valori medi degli intervalli di misurazione precedenti a quello attuale, definisce il GSPI come un sistema dinamico con una corrispondente costante del tempo di reazione al cambiamento delle condizioni di misurazione. Considerando che, in primo luogo, la condizione m>nR deve essere soddisfatta per qualsiasi punto dello spazio di misura, e, in secondo luogo, un aumento dell'intervallo T comporta un aumento del tempo di risposta al cambiamento delle condizioni di misura, è consigliabile limitare il valore di T ad un valore dell'ordine dei (5-10) valori delle esposizioni attuali. Minore è la frequenza spaziale della distribuzione di x rispetto alla distribuzione di n, maggiore è il valore di T ammissibile.

Implementazione di sistemi SGPI notevolmente facilitato con una limitazione puramente pratica del compito obiettivo: ottenere il massimo effetto positivo in condizioni di misurazione estremamente sfavorevoli (a bassi valori della densità di flusso di radiazione registrata, ad alta velocità di misurazione) con la degenerazione dell'effetto positivo come l'errore statistico delle misurazioni diminuisce nel thread principale. Quindi, ad esempio, se durante il campionamento gamma downhole l'errore statistico delle misurazioni del flusso del segnale principale nelle zone con maggiore intensità di radiazione diminuisce al 2-3%, la sua ulteriore diminuzione non ha alcun significato pratico, poiché l'errore di base della registrazione delle apparecchiature radiometriche di solito non supera il 5%.

L'uso di questa restrizione target consente di applicare la formazione del parametro P non in una finestra scorrevole di media temporale o spaziale delle informazioni, ma secondo un certo volume registrato di informazioni precedenti, ad es. con variazione automatica dell'intervallo di media delle informazioni e regolazione costante P in, in funzione della frequenza dei flussi di segnale, mentre la quantità di informazioni per la formazione di P in può essere impostata tenendo conto della natura delle variazioni del valore e del valore ammissibile valore dell'errore di misura dinamica.

Per implementare tale possibilità, trasformiamo l'espressione (11.3.5) sull'intervallo di media t nella forma:

P a mt / R-nt + Q = q, (11.3.14)

P in = nR / m = q / , (11.3.15)

Q  Q per t  ,

Dove Q è il livello medio di spostamento dell'equivalente numerico del segnale di retroazione del sistema ARV - regolazione automatica della probabilità di campionamento P in, che garantisce il rispetto dell'uguaglianza (11.3.15), è il coefficiente di proporzionalità di conversione del segnale digitale dell'ARV nel segnale P in. Equazione differenziale per il sistema ARV:

Dq / dt = n-mq / R. (11.3.16)

Soluzione dell'equazione differenziale con condizioni iniziali t = 0 e q = O (funzione di transizione di ARV):

Q = R (n/m). (11.3.17)

P in = R (n/m) = R (n/m). (11.3.18)

Come si può vedere da queste espressioni, il valore del segnale di retroazione dell'ARV è proporzionale al rapporto (n/m) delle frequenze di flusso, e la costante di tempo dell'ARV R/m è direttamente proporzionale al valore di il coefficiente di conversione con proporzionalità inversa al valore della frequenza della portata aggiuntiva m, pari a as e, tenuto conto della (11.3.15), è direttamente proporzionale al valore attuale del segnale di retroazione q con proporzionalità inversa alla valore della frequenza del flusso principale n. Il primo è completamente equivalente al secondo a (n / m)  const eq = Rn / m  Q. In prima approssimazione, usando l'espressione (11.3.8) e l'equivalenza del valore delle fluttuazioni statistiche a T≈ 2 per finestre temporali rettangolari scorrevoli e finestre del ratemetro con funzione di transizione esponenziale, per le fluttuazioni relative del valore di P in si ottiene:

р р 2 = (n + m) / (2Rn) = (n + m) / (2qm). (11.3.19)

L'espressione è valida per la misurazione diretta del rapporto (n/m) con un misuratore di velocità 2 ed è la stima massima. Per una valutazione più accurata, va tenuto presente che in questo caso il ratemetro è un dispositivo con feedback negativo lungo il circuito ARV, che riduce leggermente il valore delle fluttuazioni. Una stima accurata può essere effettuata utilizzando la formula di Campbell per la varianza della variabile casuale x (t) formata sommando gli impulsi del flusso di Poisson, separatamente per flusso n at m = const e flusso m at n = const, seguito dall'aggiunta i quadrati del valore quadratico medio relativo della fluttuazione. Quindi, per lo schema seguente, il valore ottenuto è  р 2 ≈ (R + 1) m / (2nR 2).

Quando il valore del coefficiente R ≤ (m / n) min selezionato per lo spazio di misura, utilizzando l'espressione (11.3.19), i parametri del sistema ARV (coefficiente  e il valore medio di Q per il valore dello spazio medio del rapporto n / m) può essere impostato su un dato valore ammissibile fluttuazioni della probabilità di campionamento degli impulsi P in:

≤ (l + (m / n) max) / (2R p 2). (11.3.20)

Nel processo di misurazioni, ARV esegue un adattamento continuo alle condizioni di misurazione attuali (nq, m  mR, P in  q / ) con regolazione del valore attuale di P nella quantità di informazioni q = (n / m)  R = n dell'intervallo di misurazione precedente da una corrispondente variazione della costante di tempo di integrazione di questa informazione, a seconda della variazione delle frequenze dei flussi di segnale. Per n / m  const, quest'ultimo ha un carattere assoluto:  р  const,   (l / n + l / m) / (2 p 2).

Va notato che in molti metodi della geofisica ci sono condizioni abbastanza favorevoli per l'uso sia del GSPI che dell'SRD. Quindi, ad esempio, in relazione al campionamento gamma downhole con l'estrazione di informazioni aggiuntive dalla parte a bassa energia dello spettro di radiazione, le condizioni per una risposta sufficientemente accurata alle variazioni del parametro lungo il pozzo sono molto buone, poiché il fattore principale nella variazione dei valori x è il numero atomico effettivo del mezzo; cambia in un piccolo intervallo con una bassa frequenza spaziale delle variazioni, inoltre, nelle zone in cui si trovano le rocce attive, dove la massima accuratezza di interpretazione dei risultati di misurazione è richiesto e sono possibili cambiamenti significativi nel numero atomico delle rocce, a causa dell'aumento della densità dei flussi di radiazione, la costante di tempo dell'ARV diminuirà significativamente e la risoluzione spaziale delle misurazioni aumenterà di conseguenza. Condizioni simili sono tipiche, di regola, per altri metodi di geofisica nucleare.

Un esempio di esecuzione del sistema SGPI per due flussi di segnali a impulsi è mostrato in Fig. 11.3.1. Il diagramma funzionale dell'SGPI contiene un contatore di impulsi reversibile 1, all'ingresso della sommatoria di cui vengono alimentati gli impulsi del flusso principale n e all'ingresso della sottrazione - impulsi di un flusso aggiuntivo m, che passano preliminarmente attraverso il circuito di campionamento degli impulsi 3 e un contatore divisore della frequenza di ripetizione degli impulsi 4 con un ricalcolo del coefficiente R.

Riso. 11.3.1. Schema funzionale di base di SGPI.

1- contatore di impulsi reversibile, 2- blocco per la generazione del segnale per il campionamento degli impulsi, 3- circuito per il campionamento degli impulsi, 4- divisore di controfrequenza per R, 5- blocco per la somma dei flussi di impulsi.
Le informazioni sullo stato del contatore 1 (segnale q) dalle uscite del contatore vengono fornite al blocco per la generazione di un segnale per gli impulsi di campionamento 3. Nel caso più semplice, questo blocco può essere un dispositivo di soglia (dal codice del numero Q) che apre il circuito 3, ma il campione in questo caso ha carattere vicino a quello statistico, solo per differenze sufficientemente piccole nella frequenza dei flussi n e m / R (dell'ordine di n

Gli impulsi del flusso principale n e gli impulsi del campione del flusso m, la cui frequenza è uguale a P in m = R · n, vengono inviati all'ingresso del blocco 5 per la somma dei flussi di segnale. L'intensità del flusso di impulsi all'uscita del blocco 5 è pari a z = n + P in m = (1 + R) n. Il blocco 5 può contenere uno schema di ricalcolo con coefficiente K = (1 + R), mentre il flusso di uscita sarà ridotto alla scala del flusso principale n e diventa possibile commutare in modo sincrono i fattori di conversione degli schemi 4 e 5 per diversi condizioni di misura, mentre l'impianto il valore ottimale del coefficiente R può essere commutato in modalità automatica con controllo in base al valore corrente (in un certo intervallo) del codice informativo del circuito 1. Una soluzione alternativa è fornire l'ingresso di sommatoria del circuito 5 con un flusso di impulsi dall'uscita del circuito 4, mentre la frequenza del flusso z sarà sempre 2 volte il flusso n.

Lungo la strada, notiamo che quando si emettono informazioni q = R (n / m) in un codice digitale dal contatore 1, questo circuito può svolgere le funzioni di un ratemetro digitale universale: frequenza media degli impulsi (n-var, m-const da un generatore di frequenza di clock), l'intervallo di tempo medio tra gli impulsi (m-var, n-const) e il rapporto delle frequenze n/m di due flussi di impulsi statisticamente distribuiti.

letteratura

38. Filtri adattativi. / Ed. C.F.N. Cowan e P.M. Grant. - M.: Mir, 1988, 392 p.

43. Aificher E., Jervis B. Elaborazione del segnale digitale. Un approccio pratico. / M., "Williams", 2004, 992 p.

introduzione
Quando si cercano algoritmi di elaborazione del segnale ottimali, si deve inevitabilmente fare affidamento su alcuni modelli statistici di segnali e rumore. Molto spesso, quando si formano questi modelli, vengono utilizzati i concetti di linearità, stazionarietà e normalità. Tuttavia, i principi elencati non sono affatto sempre soddisfatti nella pratica e la qualità della ricezione del segnale dipende in gran parte dall'adeguatezza del modello scelto. Una possibile soluzione al problema è l'utilizzo di filtri adattativi, che consentono al sistema di adeguarsi ai parametri statistici del segnale in ingresso, senza richiedere la specifica di alcun modello. Introdotti alla fine degli anni '50, i filtri adattivi hanno fatto molta strada, evolvendosi da una tecnologia esotica utilizzata principalmente per scopi militari in un "bene di consumo", senza il quale modem, telefoni cellulari e molto altro non sarebbero oggi possibili.

L'idea alla base dell'elaborazione adattiva del segnale
La struttura generale del filtro adattativo è mostrata in Fig. uno.
Il segnale di ingresso discreto x (k) viene elaborato con un filtro discreto, risultando in un segnale di uscita y (k). Questo segnale di uscita viene confrontato con un segnale di riferimento d (k), la differenza tra loro forma un segnale di errore e (k). Lo scopo del filtro adattativo è minimizzare l'errore nella riproduzione del segnale di riferimento. A tal fine, il blocco di adattamento, dopo aver elaborato ciascun campione, analizza il segnale di errore e i dati aggiuntivi provenienti dal filtro, utilizzando i risultati di tale analisi per regolare i parametri del filtro. È anche possibile un'altra opzione di adattamento, in cui non viene utilizzato il segnale di riferimento. Questa modalità di funzionamento è chiamata adattamento cieco. Naturalmente, in questo caso, sono necessarie alcune informazioni sulla struttura del segnale utile in ingresso (ad esempio, conoscenza del tipo e dei parametri della modulazione utilizzata).
Applicazione di filtri adattivi
Identificazione del sistema
Tutti i modi di utilizzare i filtri adattativi, in un modo o nell'altro, si riducono alla risoluzione del problema dell'identificazione, cioè alla determinazione delle caratteristiche di un determinato sistema. Esistono due tipi di identificazione: avanti e indietro. Nel primo caso, il filtro adattativo viene acceso in parallelo con il sistema in esame (Fig. 3, a). Il segnale di ingresso è comune per il sistema in esame e il filtro adattativo e il segnale di uscita del sistema funge da segnale esemplare per il filtro adattativo. Nel processo di adattamento, le caratteristiche di tempo e frequenza del filtro tenderanno alle corrispondenti caratteristiche del sistema in esame. Nell'identificazione inversa, il filtro adattativo è collegato in serie al sistema in esame (Fig. 3, b). L'uscita del sistema va all'ingresso del filtro adattativo e l'ingresso del sistema è il riferimento per il filtro adattativo. Pertanto, il filtro cerca di compensare l'influenza del sistema e ripristinare il segnale originale, eliminando la distorsione introdotta dal sistema.

Riso. 3. Identificazione dei sistemi che utilizzano un filtro adattativo: a - avanti, b - indietro
Riduzione del rumore
Supponiamo che sia necessario dotare un pilota di un aeroplano o, diciamo, un conducente di un trattore di un sistema di comunicazione vocale. In questo caso, il segnale vocale percepito dal microfono sarà inevitabilmente molto rumoroso con i suoni di un motore acceso, ecc. È impossibile eliminare questi rumori, ma è possibile ottenere un campione del segnale acustico installando un secondo microfono nelle immediate vicinanze del motore (o altra fonte di rumore). Naturalmente, questo rumore non può essere semplicemente sottratto al segnale vocale, poiché il rumore segue percorsi diversi verso i due microfoni e, quindi, subisce distorsioni diverse (Fig. 4). Tuttavia, il rumore casuale rilevato dai due microfoni sarà correlato poiché proviene da una fonte comune. Allo stesso tempo, è ovvio che il segnale di rumore non è correlato con il segnale vocale utile.

Riso. 4. Soppressione del rumore utilizzando un filtro adattativo.
Allineare il canale di comunicazione
Quando si trasmette su un canale di comunicazione, il segnale informativo subisce inevitabilmente una distorsione. Nei sistemi di comunicazione digitale, queste distorsioni possono portare a errori durante la ricezione di dati digitali. Per ridurre la probabilità di errori, è necessario compensare l'influenza del canale di comunicazione, cioè risolvere il problema dell'identificazione inversa. Nel dominio della frequenza, la compensazione della distorsione introdotta da un canale significa equalizzare la sua risposta in frequenza, quindi i filtri che eseguono questa equalizzazione sono chiamati equalizzatori. Quando si utilizza un filtro adattativo come equalizzatore, sorge il problema di ottenere un segnale di riferimento. Questo problema viene risolto trasmettendo uno speciale segnale di sintonia prima di iniziare la trasmissione dei dati. Dopo la fine del segnale di sintonizzazione, inizia il trasferimento effettivo dei dati. Il ricevitore passa quindi a un'altra modalità, chiamata modalità di stima. Dopo aver ricevuto la fascia oraria successiva, si cerca il valore ammissibile più vicino al segnale ricevuto. Viene utilizzato come segnale di riferimento e la differenza tra questo valore e il segnale ricevuto fornisce un segnale di errore che viene utilizzato per l'adattamento.

Eliminazione dell'eco
Questa tecnologia, così come l'equalizzazione del canale di comunicazione, è ampiamente utilizzata nei moderni modem. I modem ad alta velocità per linee telefoniche funzionano in modalità full duplex, ovvero trasmettono e ricevono dati contemporaneamente, utilizzando la stessa banda di frequenza per la trasmissione e la ricezione. Tuttavia, il segnale del proprio trasmettitore in questo caso si perde inevitabilmente nel ricevitore, interferendo con il funzionamento di quest'ultimo. Il segnale trapelato può propagarsi in diversi modi, acquisendo distorsioni sconosciute a priori. L'eco può essere soppresso utilizzando un filtro adattivo. Questo risolve il problema dell'identificazione diretta del percorso di propagazione dell'eco. L'ingresso del filtro adattativo riceve il segnale dal trasmettitore del modem e il segnale ricevuto contenente l'eco viene utilizzato come segnale di riferimento. Il filtro adattativo forma la stima dell'eco e il segnale di errore è il segnale ricevuto privo di eco. Affinché il sistema di cancellazione dell'eco funzioni correttamente, i segnali trasmessi e ricevuti devono essere non correlati. Pertanto, i dati in ingresso in ingresso al modem per la trasmissione vengono prima di tutto soggetti a scrambling, cioè convertiti in un flusso di bit pseudo-casuale. In questo caso, due modem interagenti utilizzano diversi scrambler, il che garantisce l'incorrelazione.

Figura 5.5. Filtro adattivo

Tale filtro opera secondo il principio della stima dei parametri statistici del segnale e dell'adeguamento della propria funzione di trasferimento in modo da minimizzare una certa funzione obiettivo. Questa funzione viene solitamente realizzata utilizzando un segnale di "riferimento" all'ingresso principale. Questo segnale di riferimento può essere visto come il segnale di uscita del filtro desiderato. Il compito dell'unità di adattamento è di regolare i coefficienti del filtro digitale in modo tale da minimizzare la differenza n = n - n, che determina l'errore nel funzionamento del filtro.

La funzione più importante svolta da un filtro adattivo è la modellazione del sistema. Questo è illustrato nella figura. 5.6, dove il segnale primario con una densità spettrale uniforme è alimentato direttamente o all'ingresso S, o all'ingresso sì filtro adattativo. Il segnale primario entra nell'ingresso del sistema di risposta all'impulso H (n), l'uscita del sistema è collegata al secondo ingresso del filtro adattativo. Per ottenere i vettori di peso ottimali H opt del filtro adattativo, possono essere applicati due diversi approcci, che porteranno a risultati completamente diversi. Questo è il caso nei seguenti casi:

1. Sistema sconosciuto H (n) collegato all'ingresso sì filtro adattativo (fig. 5.6, un). In questo caso, la risposta all'impulso ottimale del filtro adattativo è un modello accurato della corrispondente risposta del sistema H (n).

2. Sistema sconosciuto H (n) collegato all'ingresso s del filtro adattativo (Fig. 5.6, b). In questo caso, la risposta all'impulso ottimale del filtro adattativo è la funzione inversa corrispondente alla risposta del sistema sconosciuto.

Riso. 5.6. Applicazione di un filtro adattivo per la modellazione diretta del sistema: H opt = H (n) (un) e modellazione inversa del sistema: H opt = H -1 (n) (B).

Un esempio pratico che illustra il funzionamento di un filtro adattativo del primo tipo (cioè simulazione diretta del sistema) è la cancellazione dell'eco in una linea telefonica ibrida.

Un esempio che può essere utilizzato per illustrare il principio di un filtro adattativo che simula la risposta inversa di un sistema è la correzione della distorsione per la trasmissione di dati su linee telefoniche. In questo caso l'ingresso della linea telefonica è eccitato da un segnale noto, e il segnale distorto dall'uscita della linea va all'ingresso s (n) filtro adattativo. Il filtro viene quindi ricostruito utilizzando un feed all'input s (n) una serie sequenziale di segnali primari noti (non distorti). Un filtro adattativo simula la risposta all'impulso inverso della linea per produrre dati filtrati (senza distorsioni) in uscita.

La prossima area di applicazione per i filtri adattivi è la soppressione del rumore. In questo schema, un segnale primario contenente le informazioni desiderate insieme al segnale di interferenza viene applicato all'ingresso s (n)... Quindi da un'altra sorgente, che non contiene alcun componente del segnale originale, arriva un segnale correlato indipendente - un campione del segnale interferente. Se questo segnale correlato va direttamente all'ingresso s (n) filtro adattativo, il filtro forma una risposta all'impulso che fornisce un segnale di uscita s (n) che coerentemente sottrae da s (n) componente indesiderato, lasciando in uscita e (n) solo il segnale desiderato.

Un esempio dell'uso di questo metodo è la registrazione del battito cardiaco fetale. Il segnale primario proviene da un trasduttore situato sulla superficie dell'addome della madre. Questo trasduttore genera un segnale contenente gli impulsi della frequenza cardiaca fetale, che però sono sostanzialmente mascherati dal battito cardiaco della madre. Quindi, dal secondo trasduttore situato sul torace della madre, viene ricevuto un segnale secondario, che registra solo il battito cardiaco della madre. Il filtro adattativo simula ulteriormente il percorso di distorsione dal trasduttore posto sul torace al trasduttore posto sull'addome per ottenere un segnale che viene coerentemente sottratto al segnale dalla superficie dell'addome. I filtri adattivi vengono utilizzati anche in altri casi, ad esempio per eliminare il rumore del motore nel microfono pilota nell'abitacolo o per sopprimere il rumore acustico dall'ambiente, ad esempio nelle grandi centrali elettriche.

Un altro uso dei filtri adattativi consiste nell'implementare un filtro autoregolante utilizzato per estrarre una sinusoide mascherata da rumore a banda larga. Questa applicazione in un amplificatore lineare adattivo (ALU) viene eseguita inviando un segnale direttamente all'ingresso del filtro. s (n) e inviando una modifica del segnale con un ritardo all'ingresso del filtro s (n)... Se il ritardo supera il reciproco della larghezza di banda del filtro, le componenti di rumore ai due ingressi non saranno correlate. Il filtro adattativo produce un'onda sinusoidale con un rapporto segnale-rumore aumentato in uscita, mentre all'uscita del segnale di errore, le componenti sinusoidali sono ridotte.

I filtri adattativi di tipo IIR sono stati utilizzati principalmente per risolvere problemi come la mitigazione degli effetti della propagazione multipercorso nei sistemi di comunicazione radar e radio. In questo caso, il segnale ricevuto contiene il segnale trasmesso originale contorto con una risposta all'impulso del canale che contiene solo zeri in multipath. Quindi, per eliminare l'interferenza di interferenza, il ricevitore adattivo simula una risposta opposta a quella del canale (Fig.5.6, B). Ciò si ottiene in modo più efficace utilizzando un modello di filtro adattivo con una risposta solo polare, con le posizioni dei poli regolate in modo che corrispondano agli zeri nella risposta del canale.

Quando si progetta un filtro FIR adattivo, è possibile prendere in considerazione anche questo modello, ma è più economico utilizzare una struttura ricorsiva, poiché implementa la struttura del filtro inversa al suo ordine inferiore e con pesi inferiori. Quindi, possiamo dire con buone ragioni che una tale struttura fornirà una convergenza più rapida rispetto al suo analogo trasversale. Tuttavia, per garantire la robustezza del filtro ricorsivo adattivo, è necessario un alto grado di precisione durante il calcolo del circuito digitale. Il metodo di elaborazione del segnale adattivo basato su filtri di tipo IIR viene utilizzato nei ricevitori di misurazione radar elettronici per estrarre gli impulsi. I filtri adattativi di Kalman sono di interesse per identificare i tipi di oscillazioni radar generate da alcuni tipi di emettitori. Trovano anche applicazione nel filtraggio e nella mitigazione del multipath nei canali di comunicazione digitale ad alta frequenza (da 3 a 30 MHz), dove l'alto tasso di convergenza inerente a questi filtri è di primaria importanza.

La maggior parte dei filtri FIR è costruita con presupposti abbastanza semplici e generalmente accettati. Queste ipotesi portano a semplici algoritmi di adattamento ben noti (ad esempio, OLS), la cui implementazione è dettagliata in termini di tasso di convergenza, errore residuo, ecc. Questo approccio è più ampiamente utilizzato quando i filtri adattativi vengono utilizzati nei sistemi di comunicazione a lunga distanza, ad esempio, per l'equalizzazione e la soppressione del segnale riflesso.

Nel 1971, Chang ha dato un contributo significativo alla classificazione dei tipi di filtro: ha tentato di combinare tutti gli approcci e creare una struttura generalizzata dell'equalizzatore, o filtro di equalizzazione (Fig. 5.7.). Questa struttura contiene un insieme di filtri arbitrari collegati a una rete di ponderazione e combinazione lineare. Un filtro FIR può essere derivato da questa struttura generalizzata sostituendo il filtro arbitrario con una linea di ritardo sfruttata che produce una serie di campioni di segnale ritardati alle uscite. Il filtro di tipo IIR, per la presenza di elementi ricorsivi di retroazione, effettua un'ulteriore elaborazione del segnale fino ad ottenere campioni del segnale con ritardo temporale, che vengono successivamente inviati al circuito di pesatura e combinazione.

L'eterno problema di qualsiasi misurazione è la loro scarsa precisione. Esistono due modi principali per migliorare la precisione, il primo è aumentare la sensibilità al valore misurato, tuttavia, di norma, aumenta anche la sensibilità ai parametri non informativi, il che richiede l'adozione di misure aggiuntive per compensarli. Il secondo metodo consiste nell'elaborazione statistica di più misurazioni, mentre la deviazione standard è inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero di misurazioni.

I metodi statistici per migliorare la precisione sono vari e numerosi, ma si dividono anche in passivi per misure statiche e attivi per misure dinamiche, quando la grandezza misurabile cambia nel tempo. In questo caso, il valore misurato stesso, così come il rumore, sono variabili casuali con varianze variabili.

L'adattabilità dei metodi per aumentare l'accuratezza delle misurazioni dinamiche dovrebbe essere intesa come l'uso della previsione dei valori di varianze ed errori per il successivo ciclo di misurazioni. Tale previsione viene effettuata in ogni ciclo di misurazione. A tale scopo vengono utilizzati filtri di Wiener operanti nel dominio della frequenza. A differenza del filtro di Wiener, il filtro di Kalman opera nel dominio del tempo, non nel dominio della frequenza. Il filtro di Kalman è stato sviluppato per problemi multidimensionali, la cui formulazione viene effettuata in forma matriciale. Il modulo matrice è descritto in modo sufficientemente dettagliato per l'implementazione in Python nell'articolo. La descrizione del filtro Kalman, fornita in questi articoli, è progettata per gli specialisti nel campo del filtraggio digitale. Pertanto, è diventato necessario considerare il funzionamento del filtro di Kalman in una forma scalare più semplice.

Un po' di teoria

Considera un circuito di filtro di Kalman per la sua forma discreta.

Qui G (t) è un blocco il cui lavoro è descritto da relazioni lineari. All'uscita del blocco viene generato un segnale non casuale y (t). Questo segnale si aggiunge al rumore w (t), che si verifica all'interno dell'oggetto controllato. Come risultato di questa aggiunta, otteniamo un nuovo segnale x (t). Questo segnale rappresenta la somma di un segnale non casuale e del rumore ed è un segnale casuale. Inoltre, il segnale x (t) viene convertito da un blocco lineare H (t), sommato al rumore v (t), che è distribuito diversamente dalla legge w (t). All'uscita del blocco lineare H (t), otteniamo un segnale casuale z (t), che viene utilizzato per determinare il segnale non casuale y (t). Va notato che le funzioni lineari dei blocchi G (t) e H (t) possono dipendere anche dal tempo.

Assumeremo che i rumori casuali w (t) e v (t) siano processi casuali con varianze Q, R e aspettative matematiche nulle. Il segnale x (t) dopo trasformazione lineare nel blocco G (t) è distribuito nel tempo secondo la legge normale. Tenendo conto di quanto sopra, il rapporto per il segnale misurato assumerà la forma:

Formulazione del problema

Dopo il filtro è necessario ottenere la massima approssimazione possibile y "" al segnale non casuale y (t).

Con la misura dinamica continua, ogni successivo stato dell'oggetto, e, di conseguenza, il valore del valore controllato differisce dal precedente secondo una legge esponenziale con un tempo T costante nell'intervallo di tempo corrente,

Di seguito è riportato un programma Python che risolve l'equazione per un segnale sconosciuto non rumoroso y (t). Il processo di misurazione è considerato per la somma di due quantità pseudocasuali, ciascuna delle quali è formata in funzione della distribuzione normale della distribuzione uniforme.

Un programma per dimostrare il funzionamento di un filtro di Kalman adattivo discreto

#! / usr / bin / env python # coding = utf8 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import exp, sqrt from scipy.stats import norm Q = 0.8; R = 0.2; y = 0; x = 0 # varianze iniziali di rumore (scelte arbitrariamente) e valori zero delle variabili. P = Q * R / (Q + R) # prima stima delle varianze di rumore. T = 5,0 # costante di tempo. n =; X =; Y =; Z = # elenca le variabili. for i in np.arange (0,100,0.2): n.append (i) # variabile temporale. x = 1-exp (-1 / T) + x * exp (-1 / T) # funzione modello per x. y = 1-exp (-1 / T) + y * exp (-1 / T) # funzione modello per y. Y.append (y) # accumula un elenco di valori y. X.append (x) # accumula un elenco di x valori. norm1 = norm (y, sqrt (Q)) # distribuzione normale con # aspettativa - y. norm2 = norm (0, sqrt (R)) #)) # distribuzione normale con # aspettativa - 0.ravn1 = np.random.uniform (0.2 * sqrt (Q)) # distribuzione uniforme # per rumore con varianza Q .ravn2 = np.random.uniform (0.2 * sqrt (R)) # distribuzione uniforme # per rumore con varianza R. z = norm1.pdf (ravn1) + norm2.pdf (ravn2) # variabile misurata z. Z.append (z) # accumula un elenco di valori z. P = P- (P ** 2) / (P + Q + R) # transizione a un nuovo stato per x. x = (P * z + x * R) / (P + R) # nuovo stato x. P = (P * R) / (P + R) # previsione per il nuovo stato x. plt.plot (n, Y, color = "g", linewidth = 4, label = "Y") plt.plot (n, X, color = "r", linewidth = 4, label = "X") plt. plot (n, Z, color = "b", linewidth = 1, label = "Z") plt.legend (loc = "best") plt.grid (True) plt.show ()

Qual è la differenza tra l'algoritmo proposto e il ben noto

Ho migliorato l'algoritmo del filtro di Kalman, fornito nelle linee guida per Mathcad:

Come risultato del cambio di stato prematuro per la variabile confrontata x (t), l'errore è aumentato nell'area dei cambiamenti bruschi:

Considerando che il mio algoritmo utilizza una stima predittiva iniziale dell'effetto del rumore. Ciò ha permesso di ridurre l'errore di misura v (t).

Nell'algoritmo dato, vengono utilizzate le funzioni esponenziali del modello dato, quindi, per chiarezza, le presenteremo separatamente sul grafico generale del filtro di Kalman.

Codice del programma per l'analisi grafica del funzionamento del filtro

#! / usr / bin / env python # coding = utf8 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import exp, sqrt from scipy.stats import norm Q = 0.8; R = 0.2; y = 0; x = 0 # varianze iniziali di rumore (scelte arbitrariamente) e valori zero delle variabili. P = Q * R / (Q + R) # prima stima delle varianze di rumore. T = 5,0 # costante di tempo. n =; X =; Y =; Z = # elenca le variabili. for i in np.arange (0,100,0.2): n.append (i) # variabile temporale. x = 1-exp (-1 / T) + x * exp (-1 / T) # funzione modello per x. y = 1-exp (-1 / T) + y * exp (-1 / T) # funzione modello per y. Y.append (y) # accumula un elenco di valori y. X.append (x) # accumula un elenco di x valori. norm1 = norm (y, sqrt (Q)) # distribuzione normale con # aspettativa - y. norm2 = norm (0, sqrt (R)) #)) # distribuzione normale con # aspettativa - 0.ravn1 = np.random.uniform (0.2 * sqrt (Q)) # distribuzione uniforme # per rumore con varianza Q .ravn2 = np.random.uniform (0.2 * sqrt (R)) # distribuzione uniforme # per rumore con varianza R. z = norm1.pdf (ravn1) + norm2.pdf (ravn2) # variabile misurata z. Z.append (z) # accumula un elenco di valori z. P = P- (P ** 2) / (P + Q + R) # transizione a un nuovo stato per x. x = (P * z + x * R) / (P + R) # nuovo stato x. P = (P * R) / (P + R) # previsione per il nuovo stato x. plt.subplot (221) plt.plot (n, Y, color = "g", linewidth = 2, label = "Funzione modello di \ n variabile non rumorosa \ n") plt.legend (loc = "migliore") plt grid (True) plt.subplot (222) plt.plot (n, X, color = "r", linewidth = 2, label = "Funzione modello \ n della variabile da confrontare \ n") plt.legend (loc = "migliore" ) plt.grid (Vero) plt.subplot (223) plt.plot (n, Z, colore = "b", larghezza riga = 1, etichetta = "Funzione misurata \ n variabili pseudocasuali") plt.legend ( loc = "migliore") plt.grid (Vero) plt.subplot (224) plt.plot (n, Y, color =" g ", linewidth = 2, label =" Y ") plt.plot (n, X, color =" r ", linewidth = 2, label =" X ") plt.plot (n, Z, color =" b ", linewidth = 1, label =" Z ") plt.legend (loc =" migliore ") plt.grid ( Vero) plt.show ()

Il risultato del programma

conclusioni

L'articolo descrive un modello di una semplice implementazione scalare del filtro di Kalman utilizzando il linguaggio di programmazione per scopi generici di shareware Python, che amplierà il suo ambito per scopi di formazione.