Il ciclo "Intrattenere la matematica" è dedicato ai bambini appassionati di matematica e ai genitori che dedicano tempo allo sviluppo dei propri figli, "lanciando loro" compiti e puzzle interessanti e divertenti.
Il primo articolo di questa serie è dedicato alla regola di Gauss.
Un po' di storia
Il famoso matematico tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855) differiva dai suoi coetanei fin dalla prima infanzia. Nonostante provenisse da una famiglia povera, imparò a leggere, scrivere e contare abbastanza presto. Nella sua biografia, c'è persino un accenno al fatto che all'età di 4-5 anni è stato in grado di correggere l'errore negli errori di calcolo di suo padre, semplicemente osservandolo.
Una delle sue prime scoperte è stata fatta all'età di 6 anni in una classe di matematica. L'insegnante aveva bisogno di affascinare i bambini per molto tempo e ha proposto il seguente problema:
Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Il giovane Gauss ha affrontato questo compito abbastanza rapidamente, trovando uno schema interessante che si è diffuso ed è usato fino ad oggi nel conteggio orale.
Proviamo a risolvere questo problema per via orale. Ma prima, prendiamo i numeri da 1 a 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Guarda attentamente questa quantità e prova a indovinare cosa potrebbe vedere Gauss insolito? Per rispondere è necessario avere una buona idea della composizione dei numeri.
Gauss ha raggruppato i numeri come segue:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Pertanto, il piccolo Karl ha ricevuto 5 coppie di numeri, ognuna delle quali singolarmente somma fino a 11. Quindi, per calcolare la somma dei numeri naturali da 1 a 10, è necessario
Torniamo al problema originale. Gauss notò che era necessario raggruppare i numeri in coppie prima di sommare, e così inventò un algoritmo grazie al quale si possono sommare rapidamente i numeri da 1 a 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Trova il numero di coppie in una serie di numeri naturali. In questo caso, ce ne sono 50.
Riassumiamo il primo e l'ultimo numero di questa serie. Nel nostro esempio, questi sono 1 e 100. Otteniamo 101.
Moltiplichiamo la somma risultante del primo e dell'ultimo termine della serie per il numero di coppie in questa serie. Otteniamo 101 * 50 = 5050
Pertanto, la somma dei numeri naturali da 1 a 100 è 5050.
Problemi per l'utilizzo della regola di Gauss
E ora ti stiamo offrendo problemi in cui la regola di Gauss viene utilizzata in un modo o nell'altro. Un bambino di quarta elementare è abbastanza in grado di comprendere e risolvere questi problemi.
Puoi dare al bambino l'opportunità di ragionare da solo, in modo che lui stesso abbia "inventato" questa regola. Oppure puoi smontarlo e vedere come può applicarlo. Tra le attività seguenti, ci sono esempi in cui è necessario comprendere come modificare la regola gaussiana per applicarla a una determinata sequenza.
In ogni caso, affinché un bambino possa operare con questo nei suoi calcoli, è necessario comprendere l'algoritmo di Gauss, cioè la capacità di dividere correttamente in coppie e contare.
Importante! Se una formula viene memorizzata senza capirla, verrà dimenticata molto rapidamente.
Problema 1
Trova la somma dei numeri:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Soluzione.
Innanzitutto, puoi dare al bambino l'opportunità di risolvere da solo il primo esempio e offrirti di trovare un modo in cui sia facile farlo nella mente. Quindi, analizza questo esempio insieme al bambino e mostra come ha fatto Gauss. È meglio scrivere una serie per chiarezza e collegare coppie di numeri con linee che si sommano allo stesso numero. È importante che il bambino capisca come si formano le coppie: prendiamo il più piccolo e il più grande dei numeri rimanenti, a condizione che il numero di numeri nella riga sia pari.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Compito2
Ci sono 9 pesi da 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. È possibile dividere questi pesi in tre pile di uguale peso?
Soluzione.
Usando la regola di Gauss, troviamo la somma di tutti i pesi:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Quindi, se possiamo raggruppare i pesi in modo che ogni pila contenga pesi con un peso totale di 15 g, allora il problema è risolto.
Una delle opzioni:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Trova tu stesso altre possibili opzioni con tuo figlio.
Prestare l'attenzione del bambino al fatto che quando si risolvono tali problemi, è meglio iniziare sempre a raggruppare con un peso (numero) maggiore.
Problema 3
È possibile dividere il quadrante dell'orologio con una linea retta in due parti in modo che le somme dei numeri in ciascuna parte siano uguali?
Soluzione.
Per cominciare, applica la regola di Gauss a una serie di numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: trova la somma e vedi se è divisibile per 2:
Quindi puoi dividere. Ora vediamo come.
Pertanto, è necessario tracciare una linea sul quadrante in modo che 3 paia cadano in una metà e tre nell'altra.
Risposta: la linea correrà tra i numeri 3 e 4, quindi tra i numeri 9 e 10.
Compito4
È possibile tracciare due linee rette sul quadrante di un orologio in modo che in ogni parte la somma dei numeri sia la stessa?
Soluzione.
Per cominciare, applica la regola di Gauss a una serie di numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: trova la somma e vedi se è divisibile per 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 è divisibile per 3 senza resto, quindi puoi dividere. Ora vediamo come.
Secondo la regola di Gauss, otteniamo 6 coppie di numeri, ognuna delle quali somma fino a 13:
1 e 12, 2 e 11, 3 e 10, 4 e 9, 5 e 8, 6 e 7.
Pertanto, è necessario tracciare linee sul quadrante in modo che 2 paia cadano in ciascuna parte.
Risposta: la prima riga correrà tra i numeri 2 e 3, quindi tra i numeri 10 e 11; la seconda riga è tra i numeri 4 e 5, quindi tra 8 e 9.
Problema 5
Uno stormo di uccelli sta volando. C'è un uccello (capo) davanti, seguito da due, poi tre, quattro, ecc. Quanti uccelli ci sono nello stormo, se ce ne sono 20 nell'ultima fila?
Soluzione.
Otteniamo che dobbiamo aggiungere numeri da 1 a 20. E per calcolare tale somma, puoi applicare la regola di Gauss:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Problema 6
Come posizionare 45 conigli in 9 gabbie in modo che tutte le gabbie abbiano un numero diverso di conigli?
Soluzione.
Se il bambino ha deciso e capito gli esempi dell'attività 1 con comprensione, allora ricorda immediatamente che 45 è la somma dei numeri da 1 a 9. Pertanto, piantiamo conigli in questo modo:
- la prima cella è 1,
- il secondo - 2,
- terzo - 3,
- ottavo - 8,
- nono - 9.
Ma se il bambino non riesce a capirlo immediatamente, prova a spingerlo all'idea che tali problemi possono essere risolti con la forza bruta e devono iniziare con il numero minimo.
Problema 7
Calcola la somma usando il trucco di Gauss:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Soluzione.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Problema 8
C'è un set di 12 pesi da 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. Dal set sono stati rimossi 4 pesi, la cui massa totale è pari a un terzo della massa totale dell'intero set di pesi. È possibile posizionare i pesi rimanenti su due bilance da 4 pezzi su ogni piatto in modo che siano in equilibrio?
Soluzione.
Applichiamo la regola di Gauss per trovare la massa totale dei pesi:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Calcoliamo la massa dei pesi che sono stati rimossi:
Pertanto, i pesi rimanenti (con una massa totale di 78-26 = 52 g) devono essere posizionati 26 g su ciascun piatto della bilancia in modo che siano in equilibrio.
Non sappiamo quali pesi siano stati rimossi, quindi dobbiamo considerare tutte le possibili opzioni.
Applicando la regola di Gauss, i pesi possono essere suddivisi in 6 coppie di uguale peso (13 g ciascuna):
1d e 12d, 2d e 11d, 3d e 10, 4d e 9d, 5d e 8d, 6d e 7d.
Quindi l'opzione migliore è quando, quando si rimuovono 4 pesi, vengono rimosse due coppie da quelle sopra. In questo caso avremo 4 paia: 2 paia su una bilancia e 2 paia sull'altra.
Lo scenario peggiore è quando 4 pesi rimossi rompono 4 coppie. Avremo 2 paia ininterrotte con un peso totale di 26 g, il che significa che li mettiamo su un piatto della bilancia e i pesi rimanenti possono essere posizionati sull'altra bilancia e saranno anche 26 g.
Buona fortuna per lo sviluppo dei tuoi figli.
Oggi considereremo uno dei problemi di matematica che ho dovuto risolvere con mio nipote. E poi lo implementeremo tramite PHP. E prenderemo in considerazione diverse opzioni per risolvere questo problema.
L'obiettivo:
È necessario aggiungere rapidamente tutti i numeri da 1 a 100 uno dopo l'altro e scoprire la somma di tutti i numeri.
La soluzione del problema:
In effetti, quando abbiamo risolto questo problema per la prima volta, non l'abbiamo risolto correttamente! Ma non scriveremo sulla soluzione sbagliata a questo problema.
E la soluzione è così semplice e banale: devi aggiungere 1 e 100 e moltiplicare per 50. (Karl Gaus aveva una soluzione del genere quando era molto giovane ...)
(1 + 100)*50.
Come risolvere questo problema tramite php?
Calcola la somma di tutti i numeri da 1 a 100 tramite PHP.
Quando abbiamo già risolto questo problema, abbiamo deciso di vedere cosa scrivono su Internet su questo problema! E ho trovato una forma in cui i giovani talenti non potevano risolvere questo problema e ho provato a farlo attraverso un ciclo.
Se non ci sono condizioni speciali per farlo attraverso il ciclo, allora non ha senso farlo attraverso il ciclo!
E sì! Non dimenticare che in php puoi risolvere il problema in tanti modi! 1.
Questo codice può aggiungere qualsiasi sequenza di numeri in generale, a partire da uno e fino all'infinito.
Implementiamo la nostra soluzione nella sua forma più semplice:
$ fine = $ _POST ["perenne"];
$ res = $ fine / 2 * ($ i + $ fine);
