Concetti di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa. Teoria delle funzioni di una variabile complessa

17.06.2019 Windows 7, XP

dove
sono numeri reali, e - un carattere speciale chiamato unità immaginaria ... Per l'unità immaginaria, per definizione, si assume che
.

(4.1) – forma algebrica numero complesso, e
chiamato parte reale numero complesso, e
-parte immaginaria .

Numero
chiamato complesso coniugato al numero
.

Dati due numeri complessi
,
.

1. La somma
numeri complessi e chiamato un numero complesso

2. Differenza
numeri complessi e chiamato un numero complesso

3. Per prodotto
numeri complessi e chiamato un numero complesso

4. Privato dalla divisione di un numero complesso su un numero complesso
chiamato un numero complesso

Osservazione 4.1. Cioè, le operazioni sui numeri complessi vengono introdotte secondo le solite regole delle operazioni aritmetiche su espressioni letterali in algebra.

Esempio 4.1. I numeri complessi sono dati. Trovare

Soluzione. 1) .

4) Moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso numerico coniugato al denominatore, si ottiene

Forma trigonometrica numero complesso:

dove
- modulo di un numero complesso,
è un argomento di numero complesso. Iniezione è definito ambiguamente, fino al termine
:

,
.

- il valore principale dell'argomento, determinato dalla condizione

, (o
).

Forma illustrativa numero complesso:

Radice
la potenza del numero Esso ha diversi valori che si trovano dalla formula

dove
.

Punti corrispondenti ai valori
, sono i vertici della corretta
un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio
centrata nell'origine.

Esempio 4.2. Trova tutti i valori radice
.

Soluzione. Rappresentiamo un numero complesso
in forma trigonometrica:

, dove
.

Poi
... Pertanto, per la formula (4.2)
ha quattro significati:

,
.

supponendo
, noi troviamo

,
,

, .

Qui abbiamo convertito i valori dell'argomento nel suo valore principale.

Insiemi sul piano complesso

Numero complesso
raffigurato su un aereo
punto
con coordinate
... Modulo
e l'argomento
corrispondono alle coordinate polari del punto
.

È utile ricordare che la disuguaglianza
definisce un cerchio centrato in un punto raggio ... Disuguaglianza
specifica un semipiano situato a destra di una linea retta
e disuguaglianza
- semipiano situato sopra la retta
... Inoltre, il sistema delle disuguaglianze
imposta l'angolo tra i raggi
e
originato dall'origine.

Esempio 4.3. Disegna l'area definita dalle disuguaglianze:
.

Soluzione. La prima disuguaglianza corrisponde ad un anello centrato nel punto
e due raggi 1 e 2, i cerchi non sono inclusi nella regione (Fig. 4.1).

La seconda disuguaglianza corrisponde all'angolo tra i raggi
(bisettrice delle 4 coordinate dell'angolo) e
(direzione dell'asse positivo
). I raggi stessi non entrano nella regione (Fig. 4.2).

L'area desiderata è l'intersezione delle due aree ottenute (Fig.4.3)

4.2. Funzioni variabili complesse

Lascia che la funzione a valore singolo
definito e continuo nell'area
, un - curva orientata chiusa o aperta a tratti liscia che giace dentro
... Lascia, come al solito,
,, dove
,
- funzioni reali di variabili e .

Calcolo dell'integrale di una funzione
variabile complessa si riduce al calcolo dei soliti integrali curvilinei, cioè

Se la funzione
analitico in un dominio semplicemente connesso
contenente punti e , allora si ha la formula di Newton-Leibniz:

dove
- qualsiasi derivata per una funzione
, questo è
nell'area di
.

Negli integrali di funzioni di una variabile complessa, è possibile modificare la variabile e l'integrazione per parti è simile a come viene eseguita quando si calcolano gli integrali di funzioni di una variabile reale.

Si noti inoltre che se il cammino di integrazione è parte della retta uscente dal punto , o una parte di cerchio centrata in un punto , allora è utile cambiare una variabile della forma
... Nel primo caso
, un - variabile reale di integrazione; nel secondo caso
, un è la vera variabile di integrazione.

Esempio 4.4. Calcolare
parabola
dal punto
al punto
(Figura 4.4).

Soluzione. Riscriviamo l'integrando nella forma

Poi
,
... Applichiamo la formula (4.3):

Perché
, poi
,
... Così

Esempio 4.5. Calcola l'integrale
, dove - arco di cerchio
,
(fig. 4.5).

Soluzione. Abbiamo messo,
, poi
,
,
... Noi abbiamo:

Funzione
, a valore unico e analitico sul ring
, si decompone in questo anello in Laurent serie

Nella formula (4.5), la serie
chiamato parte principale La serie Laurent e la serie
chiamato la parte giusta serie Laurent.

Definizione 4.1. Punto chiamatopunto singolare isolato funzioni
se esiste un intorno di questo punto in cui la funzione
analitico ovunque tranne il punto stesso .

Funzione
in prossimità del punto può essere ampliato in una serie di Laurent. In questo caso, sono possibili tre diversi casi quando la serie di Laurent:

1) non contiene termini con poteri di differenza negativi
, questo è

(La serie di Laurent non contiene la parte principale). In questo caso chiamato singolarità removibile funzioni
;

2) contiene un numero finito di termini con potenze di differenza negative
, questo è

inoltre
... In questo caso, il punto chiamato polo d'ordine funzioni
;

3) contiene un numero infinito di termini con potenze negative:

In questo caso, il punto chiamato punto essenziale funzioni
.

Quando si determina la natura di un punto singolare isolato, non è necessario cercare un'espansione in una serie di Laurent. È possibile utilizzare varie proprietà dei punti feature isolati.

1) è un punto singolare removibile della funzione
se esiste un limite finito della funzione
al punto :

2) è un polo della funzione
, Se

3) è un punto singolare essenziale della funzione
se a
la funzione non ha limite, né finito né infinito.

Definizione 4.2. Punto chiamatozero
esimo ordine (o molteplicità ) funzioni
se le condizioni sono soddisfatte:

…,

.

Osservazione 4.2. Punto se e solo allora è zero
esimo ordine funzioni
, quando in qualche prossimità di questo punto l'uguaglianza

dove funzione
analitico al punto e

4) punto è il polo dell'ordine (
) funzioni
se questo punto è uno zero di ordine per la funzione
.

5) lascia - punto singolare funzione isolata
, dove
- funzioni analitiche al punto ... E lascia il punto è ordine zero funzioni
e ordina zero funzioni
.

A
punto è il polo dell'ordine
funzioni
.

A
punto è un punto singolare removibile della funzione
.

Esempio 4.6. Trova punti isolati e determina il loro tipo per una funzione
.

Soluzione. Funzioni
e
- analitico nell'intero piano complesso. Quindi, i punti singolari della funzione
sono gli zeri del denominatore, cioè i punti dove
... Ci sono infiniti punti del genere. Il primo è il punto
, così come i punti che soddisfano l'equazione
... Da qui
e
.

Considera il punto
... A questo punto otteniamo:

,
,

,
.

L'ordine di zero è
.

,
,

,
.

Quindi il punto
è un polo di secondo ordine (
).

... Poi

,
.

L'ordine zero del numeratore è
.

,
,
.

L'ordine di zero del denominatore è
... Quindi i punti
in
sono poli di primo ordine ( poli semplici ).

Teorema 4.1. (Teorema dei residui di Cauchy ). Se la funzione
è analitico al confine le zone
e ovunque all'interno della regione, ad eccezione di un numero finito di punti singolari
, poi

Quando si calcolano gli integrali, vale la pena trovare con attenzione tutti i punti singolari della funzione
, quindi disegna un contorno e punti singolari, quindi seleziona solo quei punti che cadono all'interno del contorno di integrazione. Fare la scelta giusta senza disegnare è spesso difficile.

Metodo di calcolo della detrazione
dipende dal tipo di punto speciale. Pertanto, prima di calcolare la detrazione, è necessario determinare il tipo di punto singolare.

1) la deduzione della funzione nel punto è uguale al coefficiente al meno del primo grado nell'espansione di Laurent
in prossimità del punto :

Questa affermazione è vera per tutti i tipi di punti isolati e quindi, in questo caso, non è necessario determinare il tipo di punto speciale.

2) il residuo al punto singolare asportabile è zero.

3) se è un polo semplice (polo del primo ordine), e la funzione
può essere rappresentato come
, dove
,
(nota che in questo caso
), quindi la detrazione al punto è uguale a

In particolare, se
, poi
.

4) se è un semplice palo, allora

5) se - palo
esima funzione d'ordine
, poi

Esempio 4.7. Calcola l'integrale
.

Soluzione. Trova i punti singolari dell'integrando
... Funzione
ha due punti singolari
e
Solo un punto cade all'interno del contorno
(fig. 4.6). Punto
- polo del secondo ordine, poiché
è uno zero di molteplicità 2 per la funzione
.

Quindi, usando la formula (4.7), troviamo il residuo a questo punto:

In virtù del Teorema 4.1, troviamo

Funzioni variabili complesse.
Differenziazione di funzioni di una variabile complessa.

Questo articolo apre una serie di lezioni in cui prenderò in considerazione compiti tipici relativi alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Per padroneggiare con successo gli esempi, devi avere una conoscenza di base dei numeri complessi. Per consolidare e ripetere il materiale, basta visitare la pagina. Avrai anche bisogno di abilità per trovare derivate parziali del secondo ordine... Eccoli, questi derivati parziali ... anche adesso io stesso sono rimasto un po' sorpreso di quanto spesso si verificano ...

L'argomento che stiamo iniziando ad analizzare non è particolarmente difficile, e in funzione di una variabile complessa, in linea di massima, tutto è chiaro e accessibile. La cosa principale è aderire alla regola di base, che ho derivato empiricamente. Continuare a leggere!

Concetto di funzione variabile complessa

Per prima cosa, rinfreschiamo la nostra conoscenza della funzione scuola di una variabile:

Funzione variabile singola E' una regola secondo la quale ad ogni valore della variabile indipendente (dal dominio di definizione) corrisponde uno ed un solo valore di funzione. Naturalmente, X e Y sono numeri reali.

Nel caso complesso, la dipendenza funzionale è impostata nello stesso modo:

Funzione a valore singolo di una variabile complessa- questa è la regola secondo la quale tutti un integrato il valore della variabile indipendente (dal dominio) corrisponde a uno e solo uno complesso valore della funzione. In teoria, vengono considerate anche funzioni multivalore e alcuni altri tipi di funzioni, ma per semplicità mi concentrerò su una definizione.

Qual è la differenza tra una funzione variabile complessa?

La differenza principale: i numeri sono complessi. Non sto ironizzando. Da tali domande cadono spesso in uno stupore, alla fine dell'articolo ti racconterò una bella storia. Alla lezione Numeri complessi per manichini abbiamo considerato un numero complesso nella forma. Da ora la lettera "z" è diventata variabile, quindi lo indicheremo come segue:, mentre "x" e "gioco" possono assumere diversi valido i valori. In parole povere, la funzione di una variabile complessa dipende dalle variabili e, che assumono valori "ordinari". Il punto seguente segue logicamente da questo fatto:

La funzione di una variabile complessa può essere scritta come:
, dove e sono due funzioni di due valido variabili.

La funzione è chiamata parte reale funzioni.
La funzione è chiamata parte immaginaria funzioni.

Cioè, la funzione di una variabile complessa dipende da due funzioni reali e. Per chiarire finalmente tutto, considera degli esempi pratici:

Esempio 1

Soluzione: La variabile indipendente "z", come ricorderete, si scrive come, quindi:

(1) La funzione originale è stata sostituita.

(2) Per il primo termine è stata utilizzata la formula di moltiplicazione abbreviata. Nel termine - sono state aperte parentesi.

(3) Squadrato con cura, senza dimenticare che

(4) Riorganizzazione dei termini: primo, riscrivi i termini in cui non c'è unità immaginaria(primo gruppo), quindi i termini, dove sono (secondo gruppo). Va notato che non è necessario mescolare i termini e questa fase può essere saltata (in effetti, dopo averlo eseguito oralmente).

(5) Per il secondo gruppo, lo togliamo dalle parentesi.

Di conseguenza, la nostra funzione si è rivelata rappresentata nella forma

Risposta:
- la parte reale della funzione.
- la parte immaginaria della funzione.

Quali sono queste funzioni? Le funzioni più ordinarie di due variabili, da cui si possono trovare così popolari derivate parziali... Senza pietà - troveremo. Ma un po' più tardi.

In breve, l'algoritmo del problema risolto può essere scritto come segue: sostituisci nella funzione originale, semplifica e dividi tutti i termini in due gruppi: senza un'unità immaginaria (parte reale) e con un'unità immaginaria (parte immaginaria).

Esempio 2

Trova parte reale e immaginaria di una funzione

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Prima di lanciare le tue pedine in battaglia su un piano complesso, lascia che ti dia i consigli più importanti sull'argomento:

STAI ATTENTO! Devi essere attento ovunque, ovviamente, ma in numeri complessi dovresti essere attento come mai prima d'ora! Ricorda, apri con attenzione le parentesi, non perdere nulla. Secondo le mie osservazioni, l'errore più comune è la perdita di un segno. Non affrettarti!

Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial.

Ora il cubo. Usando la formula per la moltiplicazione ridotta, ricaviamo:
.

Le formule sono molto comode da usare nella pratica, poiché accelerano notevolmente il processo di soluzione.

Differenziazione di funzioni di una variabile complessa.

Ho due notizie: buone e cattive. Inizierò con uno buono. Per una funzione di una variabile complessa valgono le regole di derivazione e la tavola delle derivate delle funzioni elementari. Pertanto, la derivata viene presa allo stesso modo del caso di una funzione di variabile reale.

La cattiva notizia è che per molte funzioni di una variabile complessa, la derivata non esiste affatto e devi capire differenziabile questa o quella funzione. E "scoprire" come si sente il tuo cuore è associato a ulteriori problemi.

Consideriamo una funzione variabile complessa. Affinché questa funzione sia derivabile, è necessario e sufficiente:

1) Per l'esistenza di derivate parziali del primo ordine. Dimentica subito queste designazioni, poiché nella teoria della funzione di una variabile complessa viene tradizionalmente utilizzata una notazione diversa: .

2) Per eseguire il cosiddetto Condizioni di Cauchy-Riemann:

Solo in questo caso esisterà la derivata!

Esempio 3

Soluzione si scompone in tre fasi consecutive:

1) Trova le parti reale e immaginaria della funzione. Questo compito è stato analizzato negli esempi precedenti, quindi lo scriverò senza commenti:

Da allora:

In questo modo:

- la parte immaginaria della funzione.

Mi soffermo su un altro punto tecnico: in quale ordine scrivere i termini nelle parti reale e immaginaria? Sì, in linea di principio, nessuna differenza. Ad esempio, la parte reale può essere scritta in questo modo: , e immaginario - come questo:.

2) Verifichiamo il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Ce ne sono due.

Iniziamo controllando la condizione. Noi troviamo derivate parziali:

Quindi, la condizione è soddisfatta.

Indubbiamente, la buona notizia è che le derivate parziali sono quasi sempre molto semplici.

Verifichiamo il rispetto della seconda condizione:

Si è rivelata la stessa cosa, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è differenziabile.

3) Trova la derivata della funzione. Anche la derivata è molto semplice e si trova secondo le solite regole:

L'unità immaginaria è considerata costante durante la differenziazione.

Risposta: - parte reale, È la parte immaginaria.
Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Ci sono altri due modi per trovare la derivata, ovviamente sono usati meno spesso, ma le informazioni saranno utili per capire la seconda lezione - Come trovo la funzione di una variabile complessa?

La derivata si trova con la formula:

In questo caso:

In questo modo

Dobbiamo risolvere il problema inverso: nell'espressione risultante, devi isolare. Per fare ciò, è necessario nei termini e fuori dalla parentesi:

L'azione inversa, come molti hanno notato, è un po' più difficile da eseguire, per verifica è sempre meglio prendere un'espressione e su una bozza o aprire oralmente le parentesi, assicurandosi che risulterà esattamente

Formula speculare per trovare la derivata:

In questo caso: , Ecco perché:

Esempio 4

Determinare parti reali e immaginarie di una funzione ... Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Se le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, trova la derivata della funzione.

Una soluzione breve e un campione approssimativo di finitura alla fine del tutorial.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono sempre soddisfatte? In teoria, più spesso non vengono giustiziati di quanto non lo siano. Ma negli esempi pratici non ricordo un caso in cui non sono stati eseguiti =) Quindi, se le tue derivate parziali "non erano d'accordo", allora con un'alta probabilità puoi dire di aver commesso un errore da qualche parte.

Complichiamo le nostre funzioni:

Esempio 5

Determinare parti reali e immaginarie di una funzione ... Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcolare

Soluzione: L'algoritmo della soluzione è completamente preservato, ma alla fine verrà aggiunta una nuova moda: trovare la derivata nel punto. Per il cubo è già stata dedotta la formula richiesta:

Definiamo le parti reale e immaginaria di questa funzione:

Attenzione e attenzione di nuovo!

Da allora:

In questo modo:
- la parte reale della funzione;
- la parte immaginaria della funzione.

Verifica della seconda condizione:

Si è rivelata la stessa cosa, ma con segni opposti, cioè anche la condizione è soddisfatta.

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte, quindi la funzione è derivabile:

Calcoliamo il valore della derivata nel punto richiesto:

Risposta:,, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte,

Le funzioni con i cubi sono comuni, quindi un esempio da individuare:

Esempio 6

Determinare parti reali e immaginarie di una funzione ... Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Calcolare.

Soluzione e finitura del campione alla fine della lezione.

Nella teoria dell'analisi complessa vengono definite anche altre funzioni di un argomento complesso: esponente, seno, coseno, ecc. Queste funzioni hanno proprietà insolite e persino bizzarre - e questo è davvero interessante! Mi piacerebbe dirti molto, ma qui è successo proprio così, non un libro di riferimento o un tutorial, ma un risolutore, quindi prenderò in considerazione lo stesso problema con alcune funzioni comuni.

In primo luogo, sul cosiddetto formule di Eulero:

Per chiunque effettivo numero valgono le seguenti formule:

Puoi anche riscriverlo su un quaderno come materiale di riferimento.

A rigor di termini, esiste solo una formula, ma di solito, per comodità, scrivono anche un caso speciale con un segno meno nell'indicatore. Il parametro non deve essere una lettera solitaria, può essere un'espressione complessa, funzione, è importante solo che accettino valido solo i valori. In realtà, lo vedremo proprio ora:

Esempio 7

Trova la derivata.

Soluzione: La linea generale del partito rimane incrollabile: è necessario individuare le parti reali e immaginarie della funzione. Darò una soluzione dettagliata e di seguito commenterò ogni passaggio:

Da allora:

(1) Sostituire "z".

(2) Dopo la sostituzione, è necessario selezionare le parti reale e immaginaria prima nell'indicatore espositori. Per fare ciò, apri le parentesi.

(3) Raggruppiamo la parte immaginaria dell'indicatore, togliendo l'unità immaginaria dalle parentesi.

(4) Usiamo l'azione scolastica con i gradi.

(5) Per il fattore usiamo la formula di Eulero, mentre.

(6) Espandere le parentesi, ottenendo:

- la parte reale della funzione;
- la parte immaginaria della funzione.

Ulteriori azioni sono standard, verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Esempio 9

Determinare parti reali e immaginarie di una funzione ... Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann. Non troveremo la derivata, così sia.

Soluzione: L'algoritmo di soluzione è molto simile ai due esempi precedenti, ma ci sono punti molto importanti, quindi commenterò ancora la fase iniziale passo dopo passo:

Da allora:

1) Sostituire "z".

(2) Innanzitutto, seleziona le parti reale e immaginaria seno interno... A tal fine, apriamo le parentesi.

(3) Usiamo la formula, mentre .

(4) Usiamo parità del coseno iperbolico: e seno iperbolico strano:. Gli iperbolici, sebbene non di questo mondo, assomigliano per molti versi a funzioni trigonometriche simili.

Infine:
- la parte reale della funzione;
- la parte immaginaria della funzione.

Attenzione! Il segno meno si riferisce alla parte immaginaria, e non la perdiamo in alcun modo! Per una chiara illustrazione, il risultato ottenuto sopra può essere riscritto come segue:

Verifichiamo il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann:

Le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Risposta:,, le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Con il coseno, signore e signori, ce ne rendiamo conto da soli:

Esempio 10

Determinare le parti reale e immaginaria della funzione. Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Ho scelto deliberatamente esempi più complicati, perché tutto sembra essere in grado di far fronte a qualcosa come le noccioline sbucciate. Allo stesso tempo allenerai la tua attenzione! Schiaccianoci a fine lezione.

Ebbene, in conclusione, prenderò in considerazione un altro esempio interessante, quando al denominatore c'è un argomento complesso. Mi sono incontrato un paio di volte in pratica, risolviamo qualcosa di semplice. Ehi, sto invecchiando...

Esempio 11

Determinare le parti reale e immaginaria della funzione. Verificare il rispetto delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Soluzione: Ancora una volta, è necessario separare le parti reale e immaginaria della funzione.
Se poi

Sorge la domanda, cosa fare quando "z" è al denominatore?

Tutto è ingenuo: lo standard aiuterà trucco di moltiplicare numeratore e denominatore per l'espressione coniugata, è già stato utilizzato negli esempi della lezione Numeri complessi per manichini... Ricordiamo la formula della scuola. L'abbiamo già al denominatore, il che significa che sarà un'espressione coniugata. Quindi devi moltiplicare numeratore e denominatore per:

Agenzia federale per l'istruzione

___________________________________

Stato di San Pietroburgo

Università Elettrotecnica "LETI"

_______________________________________

Teoria delle funzioni di una variabile complessa

Istruzioni metodiche

alla formazione pratica

in matematica superiore

San Pietroburgo

Casa editrice SPbGETU "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: Istruzioni metodologiche per la risoluzione di problemi / comp.: V.G.Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. San Pietroburgo: Casa editrice di ETU "LETI", 2010. 32 p.

Approvato da

il consiglio editoriale ed editoriale dell'università

come linee guida

Le funzioni di una variabile complessa, nel caso generale, differiscono dalle mappature del piano reale
in sé solo sotto forma di registrazione. Un oggetto importante ed estremamente utile è la classe di una funzione di una variabile complessa,

avente una derivata uguale alla funzione di una variabile. È noto che funzioni di più variabili possono avere derivate parziali e direzionali, ma, di regola, le derivate in direzioni diverse non coincidono e non è possibile parlare di derivata in un punto. Tuttavia, per le funzioni di una variabile complessa, è possibile descrivere le condizioni in cui ammettono differenziazione. Lo studio delle proprietà delle funzioni differenziabili di una variabile complessa è il contenuto delle linee guida. Le istruzioni hanno lo scopo di dimostrare come le proprietà di tali funzioni possono essere utilizzate per risolvere una varietà di problemi. La padronanza di successo del materiale presentato è impossibile senza abilità computazionali elementari con numeri complessi e familiarità con gli oggetti geometrici più semplici definiti in termini di disuguaglianze che collegano le parti reale e immaginaria di un numero complesso, nonché il suo modulo e argomento. Una sintesi di tutte le informazioni necessarie a tal fine è disponibile nelle linee guida.

L'apparato standard dell'analisi matematica: limiti, derivate, integrali, serie è ampiamente utilizzato nel testo delle linee guida. Laddove questi concetti hanno le loro specificità, rispetto alle funzioni di una variabile, vengono fornite spiegazioni corrispondenti, ma nella maggior parte dei casi è sufficiente separare le parti reale e immaginaria e applicare loro l'apparato standard dell'analisi reale.

1. Funzioni elementari di una variabile complessa

È naturale iniziare la discussione sulle condizioni di differenziabilità per funzioni di una variabile complessa chiarendo quali funzioni elementari possiedono questa proprietà. Dalla relazione ovvia

Segue la differenziabilità di ogni polinomio. E, poiché la serie di potenze può essere differenziata termine per termine all'interno del cerchio della sua convergenza,

allora ogni funzione è differenziabile in punti intorno ai quali può essere espansa in una serie di Taylor. Questa è una condizione sufficiente, ma, come sarà presto chiaro, è anche necessaria. È conveniente supportare lo studio delle funzioni di una variabile rispetto alla derivata controllando il comportamento del grafico della funzione. Non esiste tale possibilità per le funzioni di una variabile complessa. I punti del grafico giacciono in uno spazio di dimensione 4,.

Tuttavia, qualche rappresentazione grafica della funzione può essere ottenuta considerando le immagini di insiemi abbastanza semplici del piano complesso
derivanti dall'influenza di una data funzione. Consideriamo ad esempio alcune semplici funzioni da questo punto di vista.

Funzione lineare

Questa semplice funzione è molto importante, poiché ogni funzione differenziabile è localmente simile a una lineare. Consideriamo l'azione della funzione nel modo più dettagliato possibile.

qui
- modulo numero complesso e è il suo argomento. Pertanto, la funzione lineare esegue stiramento, rotazione e taglio. Di conseguenza, una mappatura lineare porta qualsiasi insieme a un insieme simile. In particolare, sotto l'influenza di una mappatura lineare, le linee rette si trasformano in linee rette e i cerchi in cerchi.

Funzione

Questa funzione è successiva in complessità dopo lineare. È difficile aspettarsi che trasformi una qualsiasi linea retta in una linea retta e un cerchio in un cerchio; semplici esempi mostrano che ciò non accade, tuttavia, si può dimostrare che questa funzione trasforma l'insieme di tutte le linee e i cerchi in se stesso. Per verificarlo conviene passare alla descrizione reale (coordinata) della mappatura

Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di una descrizione della mappatura inversa

Considera l'equazione se
, quindi ottieni l'equazione generale della retta. Se
, poi

Pertanto, per
si ottiene l'equazione di un cerchio arbitrario.

Nota che se
e
, allora il cerchio passa per l'origine. Se
e
, quindi ottieni una retta passante per l'origine.

Sotto l'azione di inversione, l'equazione considerata sarà riscritta come

, (
)

o . Si può vedere che questa è anche un'equazione che descrive cerchi o linee rette. Il fatto che nell'equazione i coefficienti e
scambiato, significa che sotto l'inversione, le linee che passano per 0 andranno in cerchi e i cerchi che passano per 0 andranno in linee rette.

Funzioni di potenza

La principale differenza tra queste funzioni e quelle considerate in precedenza è che non sono uno a uno (
). Possiamo dire che la funzione
traduce un piano complesso in due istanze dello stesso piano. Un'attenta considerazione di questo argomento richiede l'uso dell'ingombrante apparato delle superfici di Riemann e va oltre l'ambito delle questioni qui considerate. È importante capire che il piano complesso può essere suddiviso in settori, ognuno dei quali è mappato uno a uno sul piano complesso. Questa è la divisione per la funzione
assomiglia a questo, Ad esempio, il semipiano superiore è mappato uno a uno sul piano complesso dalla funzione
... Le distorsioni della geometria per tali immagini sono più difficili da descrivere che nel caso dell'inversione. Come esercizio, puoi tracciare in cosa va la griglia di coordinate rettangolari del semipiano superiore durante la visualizzazione

Si vede che la griglia di coordinate rettangolari si trasforma in una famiglia di parabole che formano un sistema di coordinate curvilinee nel piano
... La divisione del piano sopra descritta è tale che la funzione
visualizza ciascuno di settori su tutto il piano. La descrizione della mappatura in avanti e all'indietro è simile a questa

Quindi la funzione
Esso ha varie funzioni inverse,

dato in diversi settori dell'aereo

In questi casi si dice che la mappatura è multivalente.

Funzione Zhukovsky

La funzione ha il suo nome, poiché ha costituito la base della teoria di Zhukovsky dell'ala di un aeroplano (una descrizione di questo design può essere trovata nel libro). La funzione ha una serie di proprietà interessanti, soffermiamoci su una di esse: scopri su quali insiemi questa funzione agisce in modo uno a uno. Considera l'uguaglianza

, dove
.

Di conseguenza, la funzione di Zhukovsky è biunivoca in qualsiasi regione in cui per qualsiasi e il loro prodotto non è uguale a uno. Questi sono, ad esempio, il cerchio unitario aperto
e il complemento del cerchio unitario chiuso
.

Considera l'azione della funzione di Zhukovsky su un cerchio, quindi

Separando la parte reale da quella immaginaria, si ottiene l'equazione parametrica dell'ellisse

,
.

Se
, quindi queste ellissi riempiono l'intero piano. Similmente si verifica che le immagini dei segmenti sono le iperboli

Funzione esponenziale

La funzione ammette uno sviluppo in una serie di potenze assolutamente convergente in tutto il piano complesso, quindi è differenziabile ovunque. Descriviamo gli insiemi su cui la funzione è biunivoca. Evidente uguaglianza
mostra che il piano può essere suddiviso in una famiglia di strisce, ciascuna delle quali la funzione mappa in modo biunivoco sull'intero piano complesso. Questa partizione è essenziale per capire come è strutturata la funzione inversa, più precisamente funzioni inverse. Su ciascuna delle strisce, la mappatura inversa è naturalmente definita