Trovare il rango di una matrice: metodi ed esempi. Rango della matrice

Elementare Le seguenti trasformazioni di matrici si chiamano:

1) permutazione di due righe (o colonne) qualsiasi,

2) moltiplicando una riga (o colonna) per un numero diverso da zero,

3) aggiungere a una riga (o colonna) un'altra riga (o colonna), moltiplicata per un certo numero.

Le due matrici vengono chiamate equivalente, se uno di essi è ottenuto dall'altro utilizzando un insieme finito di trasformazioni elementari.

Le matrici equivalenti non sono, in generale, uguali, ma i loro ranghi sono uguali. Se le matrici A e B sono equivalenti, allora si scrive come segue: A ~ B.

Canonico Una matrice è una matrice in cui all'inizio della diagonale principale ce ne sono diversi in fila (il cui numero può essere zero) e tutti gli altri elementi sono uguali a zero, ad esempio

Utilizzando trasformazioni elementari di righe e colonne, qualsiasi matrice può essere ridotta a canonica. Il rango di una matrice canonica è pari al numero di uno sulla sua diagonale principale.

Esempio 2 Trova il rango di una matrice

A=

e riportarlo in forma canonica.

Soluzione. Dalla seconda riga, sottrai la prima e riordina queste righe:

.

Ora dalla seconda e dalla terza riga sottraiamo la prima, moltiplicata rispettivamente per 2 e 5:

;

sottrarre la prima dalla terza riga; otteniamo una matrice

B = ,

che è equivalente alla matrice A, poiché da essa si ottiene utilizzando un insieme finito di trasformazioni elementari. Ovviamente il rango della matrice B è 2, e quindi r(A)=2. La matrice B può essere facilmente ridotta a canonica. Sottraendo la prima colonna, moltiplicata per numeri opportuni, da tutte le successive, azzeriamo tutti gli elementi della prima riga, tranne la prima, e gli elementi delle rimanenti righe non cambiano. Quindi, sottraendo la seconda colonna, moltiplicata per numeri opportuni, da tutte le successive, azzeriamo tutti gli elementi della seconda riga, tranne la seconda, e otteniamo la matrice canonica:

.

Teorema di Kronecker-Capelli- criterio di compatibilità per un sistema di equazioni algebriche lineari:

Affinché un sistema lineare sia coerente è necessario e sufficiente che il rango della matrice estesa di tale sistema sia uguale al rango della sua matrice principale.

Prova (condizioni di compatibilità del sistema)

Necessità

Permettere sistema giunto Poi ci sono numeri tali che . Pertanto la colonna è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Dal fatto che il rango di una matrice non cambia se una riga (colonna) viene eliminata o aggiunta dal sistema delle sue righe (colonne), che è una combinazione lineare di altre righe (colonne), ne consegue che .

Adeguatezza

Permettere . Prendiamo alcuni minori di base nella matrice. Da allora sarà anche la base minore della matrice. Quindi, secondo il teorema base minore, l'ultima colonna della matrice sarà una combinazione lineare delle colonne di base, cioè delle colonne della matrice. Pertanto la colonna dei termini liberi del sistema è una combinazione lineare delle colonne della matrice.

Conseguenze

Numero di variabili principali sistemi pari al rango del sistema.

Giunto sistema sarà definito (la sua soluzione è unica) se il rango del sistema è uguale al numero di tutte le sue variabili.

Sistema omogeneo di equazioni

Offerta15 . 2 Sistema omogeneo di equazioni

è sempre congiunto.

Prova. Per questo sistema, l'insieme dei numeri , , , è una soluzione.

In questa sezione utilizzeremo la notazione matriciale del sistema: .

Offerta15 . 3 La somma delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari è una soluzione di questo sistema. Anche una soluzione moltiplicata per un numero è una soluzione.

Prova. Lasciamo che servano come soluzioni al sistema. Poi e. Permettere . Poi

Da allora - la soluzione.

Sia un numero arbitrario, . Poi

Da allora - la soluzione.

Conseguenza15 . 1 Se un sistema omogeneo di equazioni lineari ha una soluzione diversa da zero, allora avrà infinite soluzioni diverse.

Infatti, moltiplicando una soluzione diversa da zero per vari numeri, otterremo soluzioni diverse.

Definizione15 . 5 Diremo che le soluzioni si formano sistemi sistema fondamentale di soluzioni, se colonne formano un sistema linearmente indipendente e qualsiasi soluzione del sistema è una combinazione lineare di queste colonne.

Un numero r è detto rango della matrice A se:
1) nella matrice A c'è un minore di ordine r, diverso da zero;
2) tutti i minori di ordine (r+1) e superiori, se esistono, sono pari a zero.
Altrimenti, il rango di una matrice è l'ordine minore più alto diverso da zero.
Denominazioni: rangA, r A o r.
Dalla definizione segue che r è un intero positivo. Per una matrice nulla, il rango è considerato pari a zero.

Scopo del servizio. Il calcolatore online è progettato per trovare rango di matrice. In questo caso la soluzione viene salvata in formato Word ed Excel. vedere la soluzione di esempio.

Istruzioni. Selezionare la dimensione della matrice, fare clic su Avanti.

Definizione. Sia data una matrice di rango r. Qualsiasi minore di una matrice che sia diverso da zero e abbia ordine r è detto base, e le righe e le colonne dei suoi componenti sono chiamate righe e colonne base.
Secondo questa definizione una matrice A può avere più basi minori.

Il rango della matrice identità E è n (il numero di righe).

Esempio 1. Date due matrici, e i loro minori , . Quale di questi può essere considerato quello di base?
Soluzione. Minore M 1 =0, quindi non può essere una base per nessuna delle matrici. Minore M 2 =-9≠0 ed ha ordine 2, il che significa che può essere preso come base delle matrici A o / e B, purché abbiano rango pari a 2. Poiché detB=0 (come determinante con due colonne proporzionali), allora rangB=2 e M 2 possono essere presi come base minore della matrice B. Il rango della matrice A è 3, poiché detA=-27≠ 0 e, quindi, l'ordine della base minore di questa matrice deve essere uguale a 3, cioè M 2 non è una base della matrice A. Notiamo che la matrice A ha un’unica base minore, pari al determinante della matrice A.

Teorema (sulla base minore). Qualsiasi riga (colonna) di una matrice è una combinazione lineare delle sue righe (colonne) di base.
Corollari del teorema.

1. Ogni (r+1) matrice di colonne (righe) di rango r è linearmente dipendente.
2. Se il rango di una matrice è inferiore al numero delle sue righe (colonne), allora le sue righe (colonne) sono linearmente dipendenti. Se rangA è uguale al numero delle sue righe (colonne), allora le righe (colonne) sono linearmente indipendenti.
3. Il determinante di una matrice A è uguale a zero se e solo se le sue righe (colonne) sono linearmente dipendenti.
4. Se aggiungi un'altra riga (colonna) a una riga (colonna) di una matrice, moltiplicata per un numero diverso da zero, il rango della matrice non cambierà.
5. Se si cancella una riga (colonna) in una matrice, che è una combinazione lineare di altre righe (colonne), il rango della matrice non cambierà.
6. Il rango di una matrice è pari al numero massimo delle sue righe (colonne) linearmente indipendenti.
7. Il numero massimo di righe linearmente indipendenti è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti.

Esempio 2. Trova il rango di una matrice .
Soluzione. In base alla definizione del rango della matrice, cercheremo un minore di ordine massimo, diverso da zero. Per prima cosa trasformiamo la matrice in una forma più semplice. Per fare ciò, moltiplica la prima riga della matrice per (-2) e aggiungila alla seconda, quindi moltiplicala per (-1) e aggiungila alla terza.

Sia data una matrice:

.

Selezioniamo in questa matrice stringhe arbitrarie e colonne arbitrarie
. Poi il determinante IV ordine, composto da elementi di matrice
, situato all'intersezione delle righe e delle colonne selezionate, è chiamato minore matrice dell'esimo ordine
.

Definizione 1.13. Rango della matrice
è l'ordine più grande del minore diverso da zero di questa matrice.

Per calcolare il rango di una matrice si devono considerare tutti i suoi minori di ordine più basso e, se almeno uno di essi è diverso da zero, procedere a considerare i minori di ordine più alto. Questo approccio per determinare il rango di una matrice è chiamato metodo del confine (o metodo del confine dei minori).

Problema 1.4. Utilizzando il metodo dei minori confinanti, determinare il rango della matrice
.

.

Considera il bordo del primo ordine, ad esempio,
. Passiamo quindi a considerare alcuni bordi del secondo ordine.

Per esempio,
.

Analizziamo infine la bordatura del terzo ordine.

.

Quindi l'ordine più alto di un minore diverso da zero è 2, quindi
.

Risolvendo il Problema 1.4, puoi notare che un numero di minori confinanti del secondo ordine sono diversi da zero. A questo proposito vale il seguente concetto.

Definizione 1.14. Una base minore di una matrice è qualsiasi minore diverso da zero il cui ordine è uguale al rango della matrice.

Teorema 1.2.(Teorema Base minore). Le righe base (colonne base) sono linearmente indipendenti.

Si noti che le righe (colonne) di una matrice sono linearmente dipendenti se e solo se almeno una di esse può essere rappresentata come combinazione lineare delle altre.

Teorema 1.3. Il numero di righe della matrice linearmente indipendenti è uguale al numero di colonne della matrice linearmente indipendenti ed è uguale al rango della matrice.

Teorema 1.4.(Condizione necessaria e sufficiente affinché il determinante sia uguale a zero). In ordine per il determinante -esimo ordine fosse uguale a zero, è necessario e sufficiente che le sue righe (colonne) siano linearmente dipendenti.

Calcolare il rango di una matrice in base alla sua definizione è troppo complicato. Ciò diventa particolarmente importante per matrici di ordini elevati. A questo proposito, in pratica, il rango di una matrice viene calcolato in base all'applicazione dei Teoremi 10.2 - 10.4, nonché all'utilizzo dei concetti di equivalenza di matrice e di trasformazioni elementari.

Definizione 1.15. Due matrici
E sono detti equivalenti se i loro ranghi sono uguali, cioè
.

Se matrici
E sono equivalenti, quindi nota
 .

Teorema 1.5. Il rango della matrice non cambia a causa di trasformazioni elementari.

Chiameremo trasformazioni di matrici elementari
una qualsiasi delle seguenti operazioni su una matrice:

Sostituzione di righe con colonne e colonne con righe corrispondenti;

Riorganizzazione delle righe della matrice;

Cancellare una linea i cui elementi sono tutti zero;

Moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;

Aggiungendo agli elementi di una riga i corrispondenti elementi di un'altra riga moltiplicati per lo stesso numero
.

Corollario del Teorema 1.5. Se matrice
ottenuto dalla matrice utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari, quindi la matrice
E sono equivalenti.

Quando si calcola il rango di una matrice, è opportuno ridurla alla forma trapezoidale utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari.

Definizione 1.16. Chiameremo trapezoidale una forma di rappresentazione matriciale quando nel minore confinante dell'ordine più alto diverso da zero, tutti gli elementi al di sotto di quelli diagonali svaniscono. Per esempio:

.

Qui
, elementi della matrice
andare a zero. Allora la forma di rappresentazione di tale matrice sarà trapezoidale.

Di norma, le matrici vengono ridotte a forma trapezoidale utilizzando l'algoritmo gaussiano. L'idea dell'algoritmo di Gauss è che, moltiplicando gli elementi della prima riga della matrice per i fattori corrispondenti, si ottiene che tutti gli elementi della prima colonna situati sotto l'elemento
, diventerebbe zero. Quindi, moltiplicando gli elementi della seconda colonna per i fattori corrispondenti, ci assicuriamo che tutti gli elementi della seconda colonna si trovino sotto l'elemento
, diventerebbe zero. Quindi procedere allo stesso modo.

Problema 1.5. Determinare il rango di una matrice riducendola a forma trapezoidale.

.

Per semplificare l'utilizzo dell'algoritmo gaussiano, puoi scambiare la prima e la terza riga.








.

È ovvio che qui
. Tuttavia, per portare il risultato in una forma più elegante, puoi continuare ulteriormente a trasformare le colonne.










.

Il rango di una matrice è una caratteristica numerica importante. Il problema più tipico che richiede la ricerca del rango di una matrice è la verifica della coerenza di un sistema di equazioni algebriche lineari. In questo articolo daremo il concetto di rango di matrice e considereremo i metodi per trovarlo. Per comprendere meglio il materiale, analizzeremo in dettaglio le soluzioni di diversi esempi.

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Determinazione del rango di una matrice e concetti aggiuntivi necessari.

Prima di esprimere la definizione del rango di una matrice, è necessario avere una buona conoscenza del concetto di minore e trovare i minori di una matrice implica la capacità di calcolare il determinante. Quindi, se necessario, ti consigliamo di ricordare la teoria dell'articolo, i metodi per trovare il determinante di una matrice e le proprietà del determinante.

Prendiamo una matrice A di ordine . Sia k un numero naturale che non superi il più piccolo dei numeri m e n, cioè .

Definizione.

Ordine k-esimo minore la matrice A è la determinante di una matrice quadrata di ordine, composta da elementi della matrice A, che si trovano in k righe e k colonne preselezionate, e la disposizione degli elementi della matrice A è preservata.

In altre parole, se nella matrice A eliminiamo (p–k) righe e (n–k) colonne, e dai restanti elementi creiamo una matrice, preservando la disposizione degli elementi della matrice A, allora il determinante di la matrice risultante è una minore di ordine k della matrice A.

Diamo un'occhiata alla definizione di matrice minore usando un esempio.

Considera la matrice .

Scriviamo alcuni minori del primo ordine di questa matrice. Ad esempio, se scegliamo la terza riga e la seconda colonna della matrice A, allora la nostra scelta corrisponde ad un minore del primo ordine . In altre parole, per ottenere questo minore, abbiamo cancellato la prima e la seconda riga, nonché la prima, la terza e la quarta colonna dalla matrice A, e abbiamo costituito un determinante con l'elemento rimanente. Se scegliamo la prima riga e la terza colonna della matrice A, otteniamo un minore .

Illustriamo la procedura per ottenere i minori di primo ordine considerati
E .

Pertanto, i minori del primo ordine di una matrice sono gli stessi elementi della matrice.

Mostriamo diversi minori di secondo ordine. Seleziona due righe e due colonne. Ad esempio, prendi la prima e la seconda riga e la terza e la quarta colonna. Con questa scelta abbiamo un minore del secondo ordine . Questa minore potrebbe essere composta anche eliminando la terza riga, la prima e la seconda colonna dalla matrice A.

Un altro minore del secondo ordine della matrice A è .

Illustriamo la costruzione di questi minori del secondo ordine
E .

Allo stesso modo si possono trovare i minori del terzo ordine della matrice A. Poiché ci sono solo tre righe nella matrice A, le selezioniamo tutte. Se selezioniamo le prime tre colonne di queste righe, otteniamo un minore del terzo ordine

Può anche essere costruito cancellando l'ultima colonna della matrice A.

Un altro minore di terzo ordine è

ottenuto eliminando la terza colonna della matrice A.

Ecco un'immagine che mostra la costruzione di questi minori di terzo ordine
E .

Per una data matrice A non esistono minori di ordine superiore al terzo, poiché .

Quanti minori del k-esimo ordine ci sono di una matrice A di ordine ?

Il numero di minori di ordine k può essere calcolato come , dove E - il numero di combinazioni rispettivamente da p a k e da n a k.

Come possiamo costruire tutti i minori di ordine k della matrice A di ordine p per n?

Avremo bisogno di molti numeri di riga della matrice e di molti numeri di colonna. Scriviamo tutto combinazioni di p elementi per k(corrisponderanno alle righe selezionate della matrice A quando si costruisce una minore di ordine k). A ciascuna combinazione di numeri di riga aggiungiamo in sequenza tutte le combinazioni di n elementi di k numeri di colonna. Questi insiemi di combinazioni di numeri di riga e numeri di colonna della matrice A aiuteranno a comporre tutti i minori di ordine k.

Vediamolo con un esempio.

Esempio.

Trova tutti i minori del secondo ordine della matrice.

Soluzione.

Poiché l'ordine della matrice originaria è 3 per 3, il totale dei minori del secondo ordine sarà .

Scriviamo tutte le combinazioni di 3 o 2 numeri di riga della matrice A: 1, 2; 1, 3 e 2, 3. Tutte le combinazioni di 3 o 2 numeri di colonna sono 1, 2; 1, 3 e 2, 3.

Prendiamo la prima e la seconda riga della matrice A. Selezionando per queste righe la prima e la seconda colonna, la prima e la terza colonna, la seconda e la terza colonna, otteniamo rispettivamente i minori

Per la prima e la terza riga, con una scelta simile di colonne, abbiamo

Resta da aggiungere la prima e la seconda, la prima e la terza, la seconda e la terza colonna alla seconda e alla terza riga:

Sono stati quindi trovati tutti e nove i minori del secondo ordine della matrice A.

Ora possiamo procedere alla determinazione del rango della matrice.

Definizione.

Rango della matriceè l'ordine più alto del minore diverso da zero della matrice.

Il rango della matrice A è indicato come Rank(A) . È inoltre possibile trovare le denominazioni Rg(A) o Rang(A) .

Dalle definizioni di rango di matrice e matrice minore, possiamo concludere che il rango di una matrice zero è uguale a zero e il rango di una matrice diversa da zero non è inferiore a uno.

Trovare il rango di una matrice per definizione.

Quindi, il primo metodo per trovare il rango di una matrice è modalità di censimento dei minori. Questo metodo si basa sulla determinazione del rango della matrice.

Dobbiamo trovare il rango di una matrice A di ordine .

Descriviamo brevemente algoritmo risolvere questo problema enumerando i minori.

Se almeno un elemento della matrice è diverso da zero, allora il rango della matrice è almeno uguale a uno (poiché esiste un minore del primo ordine che non è uguale a zero).

Successivamente esaminiamo i minori del secondo ordine. Se tutti i minori del secondo ordine sono uguali a zero, allora il rango della matrice è uguale a uno. Se esiste almeno un minore diverso da zero del secondo ordine, allora si procede ad enumerare i minori del terzo ordine e il rango della matrice è almeno pari a due.

Allo stesso modo, se tutti i minori del terzo ordine sono zero, allora il rango della matrice è due. Se esiste almeno un minore del terzo ordine diverso da zero, allora il rango della matrice è almeno tre e si passa all'enumerazione dei minori del quarto ordine.

Si noti che il rango della matrice non può superare il più piccolo dei numeri p e n.

Esempio.

Trova il rango della matrice .

Soluzione.

Poiché la matrice è diversa da zero, il suo rango non è inferiore a uno.

Minore del secondo ordine è diverso da zero, quindi il rango della matrice A è almeno due. Passiamo all'enumerazione dei minori del terzo ordine. Totale di loro cose.

Tutti i minori del terzo ordine sono uguali a zero. Pertanto, il rango della matrice è due.

Risposta:

Rango(A) = 2 .

Trovare il rango di una matrice utilizzando il metodo dei minori confinanti.

Esistono altri metodi per trovare il rango di una matrice che consentono di ottenere il risultato con meno lavoro computazionale.

Uno di questi metodi è metodo del bordo minore.

Affrontiamolo concetto di bordo minore.

Si dice che un minore M ok del (k+1)esimo ordine della matrice A confina con un minore M di ordine k della matrice A se la matrice corrispondente al minore M ok “contiene” la matrice corrispondente al minore M .

In altre parole, la matrice corrispondente alla minore confinante M ok si ottiene dalla matrice corrispondente alla minore confinante M ok eliminando gli elementi di una riga e di una colonna.

Consideriamo ad esempio la matrice e prendi un secondo ordine minore. Annotiamo tutti i minori confinanti:

Il metodo di confinamento dei minori è giustificato dal seguente teorema (presentiamo la sua formulazione senza dimostrazione).

Teorema.

Se tutti i minori confinanti con il k-esimo ordine minore di una matrice A di ordine p per n sono uguali a zero, allora tutti i minori di ordine (k+1) della matrice A sono uguali a zero.

Quindi, per trovare il rango di una matrice non è necessario passare in rassegna tutti i minori sufficientemente confinanti. Il numero di minori confinanti con il minore dell'ordine k-esimo di una matrice A di ordine , si trova dalla formula . Si noti che non ci sono più minori al confine con il k-esimo ordine minore della matrice A di quanti (k + 1) ordini minori della matrice A. Pertanto, nella maggior parte dei casi, utilizzare il metodo del confinamento dei minori è più vantaggioso che enumerare semplicemente tutti i minori.

Passiamo alla ricerca del rango della matrice utilizzando il metodo dei minori confinanti. Descriviamo brevemente algoritmo questo metodo.

Se la matrice A è diversa da zero, allora prendiamo come minore del primo ordine qualsiasi elemento della matrice A che sia diverso da zero. Diamo un'occhiata ai suoi minori confinanti. Se sono tutti uguali a zero, il rango della matrice è uguale a uno. Se esiste almeno un minore confinante diverso da zero (il suo ordine è due), allora si procede a considerare i suoi minori confinanti. Se sono tutti zero, allora Rango(A) = 2. Se almeno un minore confinante è diverso da zero (il suo ordine è tre), allora consideriamo i suoi minori confinanti. E così via. Di conseguenza, Rango(A) = k se tutti i minori confinanti del (k + 1)esimo ordine della matrice A sono uguali a zero, oppure Rango(A) = min(p, n) se esiste un non- zero minore confinante con un minore di ordine (min( p, n) – 1) .

Diamo un'occhiata al metodo di confinamento dei minori per trovare il rango di una matrice utilizzando un esempio.

Esempio.

Trova il rango della matrice con il metodo del confinamento dei minori.

Soluzione.

Poiché l'elemento a 1 1 della matrice A è diverso da zero, lo consideriamo minore del primo ordine. Iniziamo la ricerca del minore confinante diverso da zero:

Si trova un arco minore del secondo ordine, diverso da zero. Diamo un'occhiata ai suoi minori confinanti (loro cose):

Tutti i minori confinanti con il minore del secondo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice A è uguale a due.

Risposta:

Rango(A) = 2 .

Esempio.

Trova il rango della matrice utilizzando minori confinanti.

Soluzione.

Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 1 della matrice A. La minore circostante del secondo ordine non uguale a zero. Questo minore è delimitato da un minore del terzo ordine
. Poiché non è uguale a zero e non esiste un solo minore confinante, il rango della matrice A è uguale a tre.

Risposta:

Grado(A) = 3 .

Determinazione del rango mediante trasformazioni di matrici elementari (metodo di Gauss).

Consideriamo un altro modo per trovare il rango di una matrice.

Le seguenti trasformazioni di matrice sono dette elementari:

• riorganizzare righe (o colonne) di una matrice;
• moltiplicando tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) di una matrice per un numero arbitrario k, diverso da zero;
• sommando agli elementi di una riga (colonna) i corrispondenti elementi di un'altra riga (colonna) della matrice, moltiplicati per un numero arbitrario k.

La matrice B si dice equivalente alla matrice A, se B si ottiene da A utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari. L'equivalenza delle matrici è denotata dal simbolo “~”, cioè scritto A ~ B.

Trovare il rango di una matrice utilizzando trasformazioni di matrici elementari si basa sull'affermazione: se la matrice B è ottenuta dalla matrice A utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari, allora Rango(A) = Rango(B) .

La validità di questa affermazione deriva dalle proprietà del determinante della matrice:

• Quando si riorganizzano le righe (o le colonne) di una matrice, il suo determinante cambia segno. Se è uguale a zero, quando le righe (colonne) vengono riorganizzate, rimane uguale a zero.
• Quando si moltiplicano tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) di una matrice per un numero arbitrario k diverso da zero, il determinante della matrice risultante è uguale al determinante della matrice originale moltiplicato per k. Se il determinante della matrice originale è uguale a zero, dopo aver moltiplicato tutti gli elementi di qualsiasi riga o colonna per il numero k, anche il determinante della matrice risultante sarà uguale a zero.
• Aggiungendo agli elementi di una certa riga (colonna) di una matrice i corrispondenti elementi di un'altra riga (colonna) della matrice, moltiplicati per un certo numero k, non cambia il suo determinante.

L'essenza del metodo delle trasformazioni elementari consiste nel ridurre la matrice di cui dobbiamo trovare il rango ad una matrice trapezoidale (in un caso particolare, a una triangolare superiore) mediante trasformazioni elementari.

Perché viene fatto questo? Il rango delle matrici di questo tipo è molto facile da trovare. È uguale al numero di righe contenenti almeno un elemento diverso da zero. E poiché il rango della matrice non cambia quando si eseguono trasformazioni elementari, il valore risultante sarà il rango della matrice originale.

Diamo illustrazioni di matrici, una delle quali dovrebbe essere ottenuta dopo le trasformazioni. Il loro aspetto dipende dall'ordine della matrice.

Queste illustrazioni sono modelli in cui trasformeremo la matrice A.

Descriviamo algoritmo del metodo.

Dobbiamo trovare il rango di una matrice A di ordine diversa da zero (p può essere uguale a n).

COSÌ, . Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima riga della matrice A per . In questo caso, otteniamo una matrice equivalente, denotandola A (1):

Agli elementi della seconda riga della matrice risultante A (1) aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . Agli elementi della terza riga aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . E così via fino alla p-esima riga. Prendiamo una matrice equivalente, denotiamola A (2):

Se tutti gli elementi della matrice risultante situati nelle righe dalla seconda alla p-esima sono uguali a zero, allora il rango di questa matrice è uguale a uno e, di conseguenza, il rango della matrice originale è uguale a uno.

Se nelle righe dalla seconda alla p-esima c'è almeno un elemento diverso da zero, allora continuiamo a effettuare trasformazioni. Inoltre si agisce esattamente nello stesso modo, ma solo con la parte della matrice A (2) segnata in figura.

Se , allora riorganizziamo le righe e (o) le colonne della matrice A (2) in modo che il “nuovo” elemento diventi diverso da zero.

COSÌ, . Moltiplichiamo ciascun elemento della seconda riga della matrice A (2) per . Otteniamo la matrice equivalente A (3):

Agli elementi della terza riga della matrice risultante A (3) aggiungiamo i corrispondenti elementi della seconda riga, moltiplicati per . Agli elementi della quarta riga aggiungiamo i corrispondenti elementi della seconda riga, moltiplicati per . E così via fino alla p-esima riga. Prendiamo una matrice equivalente, denotiamola A (4):

Se tutti gli elementi della matrice risultante situati nelle righe dalla terza alla p-esima sono uguali a zero, allora il rango di questa matrice è uguale a due e, quindi, Rank(A) = 2.

Se le righe dalla terza alla p-esima contengono almeno un elemento diverso da zero, continuiamo a effettuare trasformazioni. Inoltre, agiamo esattamente allo stesso modo, ma solo con la parte della matrice contrassegnata in figura

L'elemento è diverso da zero, quindi possiamo moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice A (2) per:

Agli elementi della terza riga della matrice risultante aggiungiamo i corrispondenti elementi della seconda riga, moltiplicati per ; agli elementi della quarta riga – gli elementi della seconda riga moltiplicati per ; agli elementi della quinta riga – gli elementi della seconda riga, moltiplicati per:

Tutti gli elementi della terza, quarta e quinta riga della matrice risultante sono uguali a zero. Quindi, utilizzando trasformazioni elementari, abbiamo portato la matrice A alla forma trapezoidale, da cui si vede che Rank(A (4)) = 2. Pertanto anche il rango della matrice originaria è due.

Quindi la prima colonna viene convertita nella forma desiderata.

L'elemento nella matrice risultante è diverso da zero. Moltiplicare gli elementi della seconda riga per:

La seconda colonna della matrice risultante ha la forma desiderata, poiché l'elemento è già uguale a zero.

Poiché , a , scambia la terza e la quarta colonna:

Moltiplichiamo la terza riga della matrice risultante per:

Questo conclude la trasformazione. Otteniamo Rango(A (5))=3, quindi Rango(A)=3.

Risposta:

Il rango della matrice originale è tre.

Riassumere.

Abbiamo esaminato il concetto di rango di matrice e esaminato tre modi per trovarlo:

• per definizione enumerando tutti i minori;
• la modalità di confinamento dei minori;
• col metodo delle trasformazioni elementari.

È consigliabile utilizzare sempre il metodo delle trasformazioni elementari per trovare il rango di una matrice, poiché porta al risultato con meno calcoli rispetto al metodo dei minori confinanti, e ancor più rispetto al metodo di enumerazione di tutti i minori di una matrice.