Questo termine ha altri significati, vedi Interpolazione. Per la funzione, vedere: Interpolante.

Interpolazione, interpolazione (da lat. interpoli - « levigato, rinnovato, rinnovato; convertito"") - nella matematica computazionale, un metodo per trovare valori intermedi di una quantità da un insieme discreto esistente di valori noti. Il termine "interpolazione" fu usato per la prima volta da John Vallis nel suo trattato The Arithmetic of the Infinite (1656).

In analisi funzionale, l'interpolazione degli operatori lineari è una sezione che considera gli spazi di Banach come elementi di una certa categoria.

Molti di coloro che si occupano di calcoli scientifici e ingegneristici devono spesso lavorare con insiemi di valori ottenuti empiricamente o mediante campionamento casuale. Di norma, sulla base di questi insiemi, è necessario costruire una funzione su cui altri valori ottenuti possano cadere con elevata precisione. Tale compito è chiamato approssimazione. L'interpolazione è un tipo di approssimazione in cui la curva della funzione costruita passa esattamente attraverso i punti dati disponibili.

C'è anche un problema vicino all'interpolazione, che consiste nell'approssimare una funzione complessa con un'altra funzione più semplice. Se una determinata funzione è troppo complessa per calcoli produttivi, puoi provare a calcolarne il valore in più punti e costruire, ovvero interpolare, una funzione più semplice da essi. Ovviamente, l'utilizzo di una funzione semplificata non consente di ottenere gli stessi risultati esatti che darebbe la funzione originale. Ma in alcune classi di problemi, il guadagno in semplicità e velocità di calcolo può superare l'errore risultante nei risultati.

Dovremmo anche menzionare un tipo completamente diverso di interpolazione matematica, nota come "interpolazione operatore". I classici lavori sull'interpolazione degli operatori includono il teorema di Riesz-Thorin e il teorema di Marcinkiewicz, che sono alla base di molti altri lavori.

Definizioni

Si consideri un sistema di punti non coincidenti x i (\ displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , ... , N (\ displaystyle i\in (0,1,\dots ,N)}) da un dominio D ( \displaystyle D) . Lascia che i valori della funzione f (\ displaystyle f) siano noti solo in questi punti:

Y io = f (x io) , io = 1 , … , N . (\ displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots,N.)

Il problema dell'interpolazione è trovare una funzione F (\ displaystyle F) da una data classe di funzioni tale che

F (x io) = y io , io = 1 , … , N . (\ displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots,N.)

• Vengono chiamati i punti x i (\displaystyle x_(i)). nodi di interpolazione, e la loro totalità è griglia di interpolazione.
• Vengono chiamate coppie (x io , y i) (\ displaystyle (x_(i), y_(i))) punti dati o punti base.
• Differenza tra valori "adiacenti" Δ x i = x io - x io - 1 (\ displaystyle \ Delta x_(i)=x_(i) -x_(i-1)) - passo della griglia di interpolazione. Può essere sia variabile che costante.
• Funzione F (x) (\ displaystyle F (x)) - funzione di interpolazione o interpolante.

Esempio

1. Supponiamo di avere una funzione tabella come quella sottostante che, per più valori di x (\displaystyle x), determina i corrispondenti valori di f (\displaystyle f):

X (\ displaystyle x) f (x) (\ displaystyle f (x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

L'interpolazione ci aiuta a sapere quale valore può avere una tale funzione in un punto diverso dai punti specificati (ad esempio, quando X = 2,5).

Ad oggi, ci sono molti diversi metodi di interpolazione. La scelta dell'algoritmo più adatto dipende dalle risposte alle domande: quanto è accurato il metodo scelto, qual è il costo del suo utilizzo, quanto è fluida la funzione di interpolazione, quanti punti dati richiede, ecc.

2. Trovare un valore intermedio (mediante interpolazione lineare).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 - 6000) 8000 - 6000 ∗ (19,2 - 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2- 15.5))(1))=16.1993)

Nei linguaggi di programmazione

Un esempio di interpolazione lineare per la funzione y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . L'utente può inserire un numero compreso tra 1 e 10.

Fortran

programma interpol intero i reale x, y, xv, yv, yv2 dimensione x(10) dimensione y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "inserisci numero: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) allora yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subroutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpola X1 - X2 "); system("echo Invio numero: "); cin >> ob; system("echo Ad esempio 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; stato = x2 + (pi * skolko); cout

Metodi di interpolazione

Interpolazione del vicino più vicino

Il metodo di interpolazione più semplice è l'interpolazione del vicino più vicino.

Interpolazione per polinomi

In pratica, viene spesso utilizzata l'interpolazione per polinomi. Ciò è dovuto principalmente al fatto che i polinomi sono facili da calcolare, è facile trovare analiticamente le loro derivate e l'insieme dei polinomi è denso nello spazio delle funzioni continue (teorema di Weierstrass).

• Interpolazione lineare
• Formula di interpolazione di Newton
• Metodo alle differenze finite
• IMN-1 e IMN-2
• Polinomio di Lagrange (polinomio di interpolazione)
• Lo schema di Aitken
• funzione spline
• spline cubiche

Interpolazione inversa (calcolo x dato y)

• Polinomio di Lagrange
• Interpolazione inversa con la formula di Newton
• Interpolazione di Gauss inversa

Interpolazione di funzioni multivariabili

• Interpolazione bilineare
• Interpolazione bicubica

Altri metodi di interpolazione

• Interpolazione razionale
• Interpolazione trigonometrica

Concetti correlati

• Estrapolazione - metodi per trovare punti al di fuori di un determinato intervallo (estensione della curva)
• Approssimazione - metodi per costruire curve approssimate

Interpolazione inversa

sulla classe di funzioni dello spazio C2 i cui grafici passano per i punti dell'array (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Soluzione. Tra tutte le funzioni che passano per i punti di riferimento (xi, f(xi)) e appartengono allo spazio citato, è la spline cubica S(x) che soddisfa le condizioni al contorno S00(a) = S00(b) = 0 che fornisce l'estremo (minimo) funzionale I(f).

Spesso in pratica si pone il problema di ricercare il valore dato della funzione del valore dell'argomento. Questo problema è risolto con metodi di interpolazione inversa. Se la funzione data è monotona, il modo più semplice per eseguire l'interpolazione all'indietro è sostituire la funzione con un argomento e viceversa e quindi interpolare. Se la funzione data non è monotona, questa tecnica non può essere utilizzata. Quindi, senza modificare i ruoli della funzione e dell'argomento, scriviamo questa o quella formula di interpolazione; utilizzando i valori noti dell'argomento e, supponendo che la funzione sia nota, risolviamo l'equazione risultante rispetto all'argomento.

La stima del termine residuo quando si utilizza il primo metodo sarà la stessa dell'interpolazione diretta, solo le derivate della funzione diretta devono essere sostituite dalle derivate della funzione inversa. Stimiamo l'errore del secondo metodo. Se ci viene data una funzione f(x) e Ln (x) è il polinomio di interpolazione di Lagrange costruito per questa funzione sui nodi x0, x1, x2, . . . , xn, allora

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x-x0) . . . (x-xn) .

Supponiamo di dover trovare un valore x¯ tale che f (¯x) = y¯ (y¯ è dato). Risolviamo l'equazione Ln (x) = y¯ . Prendiamo un valore x¯. Sostituendo nell'equazione precedente, otteniamo:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Applicando la formula di Langrange, otteniamo
(x¯ − x¯) f0 (η) =
dove η è compreso tra x¯ e x¯. If è un intervallo che contiene x¯ e x¯ e min

dall'ultima espressione segue:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

In questo caso, ovviamente, si assume di aver risolto esattamente l'equazione Ln (x) = y¯.

Utilizzo dell'interpolazione per la tabulazione

La teoria dell'interpolazione trova applicazioni nella compilazione di tabelle di funzioni. Dopo aver ricevuto un tale problema, il matematico deve risolvere una serie di domande prima di iniziare i calcoli. Deve essere scelta la formula con cui verranno effettuati i calcoli. Questa formula può variare da sito a sito. Solitamente le formule per il calcolo dei valori delle funzioni sono ingombranti e quindi vengono utilizzate per ottenere dei valori di riferimento e poi, tramite sottotabulazione, addensano la tabella. La formula che fornisce i valori di riferimento della funzione deve fornire la precisione richiesta delle tabelle, tenendo conto della seguente sottotabella. Se vuoi compilare tabelle con un passaggio costante, devi prima determinarne il passaggio.

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Molto spesso, le tabelle delle funzioni vengono compilate in modo che sia possibile l'interpolazione lineare (ovvero l'interpolazione utilizzando i primi due termini della formula di Taylor). In questo caso, il termine rimanente sarà simile

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Qui ξ appartiene all'intervallo tra due valori tabulari adiacenti dell'argomento in cui si trova x, e t è compreso tra 0 e 1. Il prodotto t(t − 1) assume il modulo più grande

valore a t = 12. Questo valore è uguale a 14. Così,

Va ricordato che accanto a questo errore - l'errore del metodo, nel calcolo pratico dei valori intermedi, ci sarà ancora un errore irrecuperabile e un errore di arrotondamento. Come abbiamo visto in precedenza, l'errore fatale nell'interpolazione lineare sarà uguale all'errore dei valori tabulati della funzione. L'errore di arrotondamento dipenderà dai mezzi di calcolo e dal programma di calcolo.

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Indice delle materie

differenze divise del secondo ordine, 8 del primo ordine, 8

spline, 15

nodi di interpolazione, 4

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/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Come eseguire l'interpolazione

Formula per l'interpolazione di dati tabulari

Utilizzato nel 2° passaggio, quando la quantità di NXR (Q, t) dalla condizione è intermedio tra 100 t e 300 t.

(Eccezione: se Q è uguale a 100 o 300 per condizione, l'interpolazione non è necessaria).

y o- La tua quantità iniziale di NHR dalla condizione, in tonnellate

(corrisponde alla lettera Q)

y 1 – minore

(dalle Tabelle 11-16, di solito 100).

y 2 – Di più più vicino al tuo valore della quantità di NCR, in tonnellate

(dalle Tabelle 11-16, di solito 300).

X 1 y 1 (X 1 situato di fronte y 1 ), km.

X 2 - valore tabulare della profondità di propagazione di una nuvola di aria contaminata (G t), rispettivamente y 2 (X 2 situato di fronte y 2 ), km.

X 0 - valore desiderato G t corrispondente y o(secondo la formula).

Esempio.

NCR - cloro; Q = 120 t;

Tipo di SVSP (grado di resistenza all'aria verticale) - inversione.

Trova G t- valore tabulare della profondità di diffusione della nuvola di aria contaminata.

Esaminiamo le tabelle 11-16 e troviamo i dati che corrispondono alla tua condizione (cloro, inversione).

Tabella adatta 11.

Scegliere i valori y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Importante - prendiamo la velocità del vento 1 m / s., prendiamo la temperatura - 20 ° C.

Sostituisci i valori selezionati nella formula e trova X 0 .

Importante - il calcolo è corretto se X 0 avrà un valore da qualche parte nel mezzo X 1 , X 2 .

1.4. Formula di interpolazione di Lagrange

L'algoritmo proposto da Lagrange per costruire l'interpolazione

funzioni secondo le tabelle (1) prevede la costruzione del polinomio di interpolazione Ln(x) nella forma

Ovviamente, il soddisfacimento delle condizioni (11) per (10) determina il soddisfacimento delle condizioni (2) dell'enunciato del problema di interpolazione.

I polinomi li(x) sono scritti come segue

Si noti che non un singolo fattore nel denominatore della formula (14) è uguale a zero. Dopo aver calcolato i valori delle costanti ci, puoi usarli per calcolare i valori della funzione interpolata in determinati punti.

La formula del polinomio di interpolazione di Lagrange (11), tenendo conto delle formule (13) e (14), può essere scritta come

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizzazione dei calcoli manuali secondo la formula di Lagrange

L'applicazione diretta della formula di Lagrange porta a un gran numero di calcoli dello stesso tipo. Per tabelle di piccole dimensioni, questi calcoli possono essere eseguiti sia manualmente che in ambiente software.

Nella prima fase, consideriamo l'algoritmo dei calcoli eseguiti manualmente. In futuro, gli stessi calcoli dovrebbero essere ripetuti nell'ambiente

Microsoft Excel o OpenOffice.org Calc.

Sulla fig. 6 mostra un esempio della tabella sorgente di una funzione interpolata definita da quattro nodi.

Fig.6. Tabella contenente i dati iniziali per i quattro nodi della funzione interpolata

Nella terza colonna della tabella scriviamo i valori dei coefficienti qi calcolati dalle formule (14). Di seguito è riportato un record di queste formule per n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Il passo successivo nell'implementazione dei calcoli manuali è il calcolo dei valori li(x) (j=0,1,2,3), eseguito dalle formule (13).

Scriviamo queste formule per la versione della tabella che stiamo considerando con quattro nodi:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Calcoliamo i valori dei polinomi li(xj) (j=0,1,2,3) e scriviamoli nelle celle della tabella. I valori della funzione Ycalc(x), secondo la formula (11), saranno ottenuti sommando i valori di li(xj) in righe.

Il formato della tabella, che include colonne di valori calcolati li(xj) e una colonna di valori Ycalc(x), è mostrato in Fig.8.

Riso. 8. Tabella con i risultati dei calcoli manuali eseguiti dalle formule (16), (17) e (11) per tutti i valori dell'argomento xi

Completata la formazione della tavola mostrata in Fig. 8, con le formule (17) e (11) è possibile calcolare il valore della funzione interpolata per qualsiasi valore dell'argomento X. Ad esempio, per X=1 calcoliamo i valori li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155; l3(1)=0,2966.

Sommando i valori di li(1) otteniamo il valore Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Implementazione dell'algoritmo di interpolazione mediante formule di Lagrange nell'ambiente del programma Microsoft Excel

L'implementazione dell'algoritmo di interpolazione inizia, come nei calcoli manuali, con la scrittura di formule per il calcolo dei coefficienti qi. 9 mostra le colonne della tabella con i valori dati dell'argomento, funzione interpolata e coefficienti qi. A destra di questa tabella ci sono le formule che vengono scritte nelle celle della colonna C per calcolare i valori dei coefficienti qi.

ВС2: "=SI2/((LA2-LA3)*(LA2-LA4)*(LA2-LA5))" Æ q0

c3: "=LA3/((LA3-LA4)*(LA3-LA5)*(LA3-LA2))" Æ q1

c4: "=LA4/((LA4-LA5)*(LA4-LA2)*(LA4-LA3))" Æ q2

vС5: "=B5/((LA5-LA2)*(LA5-LA3)*(LA5-LA4))" Æ q3

Riso. 9 Tabella dei coefficienti qi e formule di calcolo

Dopo aver inserito la formula q0 nella cella C2, viene trascinata attraverso le celle da C3 a C5. Successivamente, le formule in queste celle vengono corrette secondo (16) nella forma mostrata in Fig. 9.

Ycalc(xi),

Implementando le formule (17), scriviamo formule per calcolare i valori li(x) (i=0,1,2,3) nelle celle delle colonne D, E, F e G. Nella cella D2 per calcolare il valore l0(x0), scriviamo la formula:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

otteniamo i valori l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Il formato di collegamento $A2 consente di allungare la formula lungo le colonne E, F, G per formare formule di calcolo per il calcolo di li(x0) (i=1,2,3). Il trascinamento di una formula su una riga non modifica l'indice di colonna degli argomenti. Per calcolare li(x0) (i=1,2,3) dopo aver disegnato la formula l0(x0) è necessario correggerli secondo le formule (17).

Nella colonna H inseriamo le formule di Excel per sommare li(x) secondo la formula

(11) algoritmo.

Sulla fig. 10 mostra una tabella implementata nell'ambiente del programma Microsoft Excel. Un segno della correttezza delle formule scritte nelle celle della tabella e delle operazioni di calcolo eseguite sono la matrice diagonale risultante li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), ripetendo i risultati mostrati in Fig. 8 e una colonna di valori che corrispondono ai valori della funzione interpolata nei nodi della tabella originale.

Riso. 10. Tabella dei valori li(xj) (j=0,1,2,3) e Ycalc(xj)

Per calcolare i valori in alcuni punti intermedi, è sufficiente

Nelle celle della colonna A, partendo dalla cella A6, inserisci i valori dell'argomento X per cui vuoi determinare i valori della funzione interpolata. Evidenziare

nell'ultima (5a) riga della tabella di celle da l0(xn) a Ycalc(xn) e allungare le formule scritte nelle celle selezionate fino alla riga contenente l'ultima

il valore dato dell'argomento x.

Sulla fig. 11 mostra una tabella in cui il calcolo del valore della funzione in tre punti: x=1, x=2 e x=3. Nella tabella è stata introdotta una colonna aggiuntiva con i numeri di riga della tabella dei dati di origine.

Riso. 11. Calcolo dei valori delle funzioni interpolate mediante formule di Lagrange

Per maggiore chiarezza di visualizzazione dei risultati dell'interpolazione, costruiremo una tabella che includa una colonna di valori dell'argomento X ordinati in ordine crescente, una colonna di valori iniziali della funzione Y(X) e una colonna

Dimmi come usare la formula di interpolazione e quale nella risoluzione di problemi in termodinamica (ingegneria del calore)

Ivan Shestakovic

L'interpolazione più semplice, ma spesso non sufficientemente accurata, è lineare. Quando hai già due punti noti (X1 Y1) e (X2 Y2) e devi trovare i valori Y del giorno di qualche X che è compreso tra X1 e X2. Allora la formula è semplice.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
A proposito, questa formula funziona anche per valori X al di fuori dell'intervallo X1..X2, ma questo è già chiamato estrapolazione e, a una distanza significativa da questo intervallo, dà un errore molto grande.
Ci sono molti altri tappetini. metodi di interpolazione - Ti consiglio di leggere il libro di testo o di rovistare in Internet.
Anche il metodo di interpolazione grafica non è escluso: traccia manualmente un grafico attraverso punti noti e trova Y dal grafico per la X richiesta. ;)

Romanzo

Hai due significati. E approssimativamente la dipendenza (lineare, quadratica, ..)
Il grafico di questa funzione passa per i tuoi due punti. Hai bisogno di un valore da qualche parte nel mezzo. Bene, espresso!
Per esempio. Nella tabella, a una temperatura di 22 gradi, la pressione del vapore saturo è 120.000 Pa e a 26, 124.000 Pa. Quindi a una temperatura di 23 gradi 121000 Pa.

Interpolazione (coordinate)

C'è una griglia di coordinate sulla mappa (immagine).
Ha alcuni noti punti di controllo (n>3) che hanno due valori x,y: coordinate in pixel e coordinate in metri.
È necessario trovare valori intermedi di coordinate in metri, conoscendo le coordinate in pixel.
L'interpolazione lineare non è adatta - troppo errore fuori linea.
In questo modo: (Xc - coordinata in metri per x, Xp - coordinata in pixel per x, Xc3 - valore desiderato per x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Come trovare la stessa formula per trovare Xc e Yc, dati non due (come qui), ma N punti di riferimento noti?

Joka felce bassa

A giudicare dalle formule scritte, gli assi dei sistemi di coordinate in pixel e metri coincidono?
Cioè, Xp -> Xc è interpolato in modo indipendente e Yp -> Yc è interpolato in modo indipendente. In caso contrario, è necessario utilizzare l'interpolazione bidimensionale Xp,Yp->Xc e Xp,Yp->Yc, il che complica un po' il compito.
Inoltre, si assume che le coordinate Xp e Xc siano correlate da una certa dipendenza.
Se la natura della dipendenza è nota (o si assume, ad esempio, che Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), allora è possibile ottenere i parametri di tale dipendenza (per il dato dipendenza a, b, c) utilizzando l'analisi di regressione (minimi quadrati del metodo). In questo metodo, se si specifica una certa dipendenza Xc(Xp), è possibile ottenere una formula per i parametri della dipendenza dai dati di riferimento. Questo metodo consente, in particolare, di trovare una relazione lineare che meglio si adatta a un dato set di dati.
Svantaggio: In questo metodo, le coordinate Xc ottenute dai dati dei punti di controllo Xp possono differire da quelle date. Ad esempio, la retta di approssimazione tracciata per i punti sperimentali non passa esattamente per questi stessi punti.
Se è richiesta una corrispondenza esatta e la natura della dipendenza è sconosciuta, è necessario utilizzare metodi di interpolazione. Il più semplice matematicamente è il polinomio di interpolazione di Lagrange, che passa esattamente per i punti di riferimento. Tuttavia, a causa dell'alto grado di questo polinomio con un gran numero di punti di controllo e una scarsa qualità di interpolazione, è meglio non usarlo. Il vantaggio è la formula relativamente semplice.
È meglio usare l'interpolazione spline. L'essenza di questo metodo è che in ogni sezione tra due punti vicini, la dipendenza in studio è interpolata da un polinomio e le condizioni di levigatezza sono scritte nei punti di giunzione di due intervalli. Il vantaggio di questo metodo è la qualità dell'interpolazione. Svantaggi: è quasi impossibile ricavare una formula generale, è necessario trovare algoritmicamente i coefficienti del polinomio in ogni sezione. Un altro svantaggio è la difficoltà di generalizzare all'interpolazione 2D.

Si verifica una situazione in cui è necessario trovare risultati intermedi in una matrice di valori noti. In matematica, questo si chiama interpolazione. In Excel, questo metodo può essere utilizzato sia per dati tabulari che per tracciare grafici. Diamo un'occhiata a ciascuno di questi metodi.

La condizione principale in cui è possibile applicare l'interpolazione è che il valore desiderato debba essere all'interno dell'array di dati e non oltrepassare il suo limite. Ad esempio, se abbiamo un insieme di argomenti 15, 21 e 29, quando troviamo una funzione per l'argomento 25, possiamo usare l'interpolazione. E per trovare il valore corrispondente per l'argomento 30 - non più. Questa è la principale differenza tra questa procedura e l'estrapolazione.

Metodo 1: Interpolazione per dati tabulari

Prima di tutto, considera l'uso dell'interpolazione per i dati che si trovano in una tabella. Ad esempio, prendiamo un array di argomenti e i loro valori di funzione corrispondenti, il cui rapporto può essere descritto da un'equazione lineare. Questi dati sono inseriti nella tabella sottostante. Dobbiamo trovare la funzione corrispondente per l'argomento 28 . Il modo più semplice per farlo è con l'operatore PREVISIONE.

Metodo 2: interpolazione di un grafico utilizzando le sue impostazioni

La procedura di interpolazione può essere utilizzata anche quando si traccia una funzione. È rilevante se la tabella su cui si basa il grafico non specifica il valore della funzione corrispondente per uno degli argomenti, come nell'immagine seguente.

Come puoi vedere, il grafico è stato corretto e il divario è stato rimosso utilizzando l'interpolazione.

Metodo 3: Interpolazione del grafico con una funzione

Puoi anche interpolare il grafico usando la speciale funzione ND. Restituisce valori nulli nella cella specificata.

Puoi renderlo ancora più semplice senza correre Procedura guidata di funzione, ma usa semplicemente la tastiera per inserire un valore in una cella vuota "#N / A" senza virgolette. Ma dipende già da come è più conveniente per quale utente.

Come puoi vedere, nel programma Excel, puoi interpolare come dati tabulari usando la funzione PREVISIONE, così come la grafica. In quest'ultimo caso, questo può essere fatto utilizzando le impostazioni del grafico o utilizzando la funzione ND, causando un errore "#N / A". La scelta del metodo da utilizzare dipende dall'affermazione del problema, nonché dalle preferenze personali dell'utente.

Istruzione

Spesso, quando si conduce una ricerca empirica, si ha a che fare con un insieme di valori ottenuti tramite campionamento casuale. Da questa serie di valori, è necessario costruire un grafico della funzione, in cui altri valori ottenuti ​​si adatteranno con la massima precisione. Questo metodo, o meglio la soluzione di questo problema, è un'approssimazione di curve, cioè sostituzione di alcuni oggetti o fenomeni con altri, chiusi nel parametro originale. L'interpolazione, a sua volta, è una specie di approssimazione. L'interpolazione della curva è il processo mediante il quale una curva della funzione adattata passa attraverso i punti dati disponibili.

C'è un problema molto vicino all'interpolazione, la cui essenza sarà l'approssimazione della funzione complessa originale con un'altra funzione molto più semplice. Se una funzione separata è molto adatta per i calcoli, puoi provare a calcolarne il valore in più punti e costruire (interpolare) una funzione più semplice basata su quelle ottenute. Tuttavia, la funzione semplificata non ti consentirà di ottenere dati accurati e affidabili come darebbe la funzione originale.

Interpolazione tramite binomiale algebrica o interpolazione lineare
In termini generali: esiste un'interpolazione di una data funzione f(x), che assume valore nei punti x0 e x1 del segmento, per il binomio algebrico P1(x) = ax + b. Se vengono forniti più di due valori di funzione, la funzione lineare desiderata viene sostituita da una funzione lineare a tratti, ciascuna parte della funzione si trova tra due valori di funzione dati in questi punti del segmento interpolato.

Interpolazione alle differenze finite
Questo metodo è uno dei metodi di interpolazione più semplici e più utilizzati. La sua essenza è sostituire i coefficienti differenziali dell'equazione con coefficienti differenza. Questa azione ci permetterà di procedere alla soluzione dell'equazione differenziale per mezzo del suo analogo differenziale, in altre parole, di costruire il suo schema alle differenze finite

Costruire una funzione spline
Una spline nella modellazione matematica è una funzione data a tratti, che, con funzioni che ne hanno una più semplice su ogni elemento di partizione del suo dominio di definizione. Una spline da una variabile si costruisce dividendo il dominio di definizione in un numero finito di segmenti, inoltre, su ciascuno dei quali la spline coinciderà con qualche polinomio algebrico. Il grado massimo utilizzato è la spline.
Funzioni spline per specificare e descrivere superfici in vari sistemi di modellazione computerizzata.

Interpolazione. Introduzione. Enunciato generale del problema

Quando si risolvono vari problemi pratici, i risultati della ricerca vengono elaborati sotto forma di tabelle che mostrano la dipendenza di una o più grandezze misurate da un parametro determinante (argomento). Tali tabelle sono solitamente presentate sotto forma di due o più righe (colonne) e vengono utilizzate per formare modelli matematici.

Le funzioni fornite nelle tabelle nei modelli matematici sono solitamente scritte in tabelle della forma:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		S(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		S(Xn)

Le limitate informazioni fornite da tali tabelle, in alcuni casi, richiedono di ottenere i valori delle funzioni Y j (X) (j=1,2,…,m) nei punti X che non coincidono con i punti nodali della tabella X i (i=0,1,2,… ,n). In tali casi, è necessario determinare qualche espressione analitica φ j (X) per calcolare i valori approssimativi della funzione studiata Y j (X) in punti X arbitrariamente specificati. La funzione φ j (X) utilizzata per determinare i valori approssimativi della funzione Y j (X) è chiamata funzione di approssimazione (dal latino approssimazione - avvicinamento). La vicinanza della funzione approssimata φ j (X) alla funzione approssimata Y j (X) è assicurata dalla scelta dell'apposito algoritmo di approssimazione.

Faremo tutte le ulteriori considerazioni e conclusioni per le tabelle contenenti i dati iniziali di una funzione studiata (cioè, per le tabelle con m=1).

1. Metodi di interpolazione

1.1 Enunciato del problema dell'interpolazione

Molto spesso, per determinare la funzione φ(X), viene utilizzata un'istruzione, chiamata istruzione del problema di interpolazione.

In questa formulazione classica del problema dell'interpolazione, è necessario determinare una funzione analitica approssimativa φ(X) i cui valori ai punti nodali X i abbinare i valori Y(X i ) della tabella originale, cioè condizioni

ϕ (X i )= Y io (i = 0,1,2,...,n )

La funzione di approssimazione φ(X) costruita in questo modo permette di ottenere un'approssimazione abbastanza vicina alla funzione interpolata Y(X) all'interno dell'intervallo di valori dell'argomento [X 0 ; X n ], definito dalla tabella. Quando si impostano i valori dell'argomento X, non posseduto questo intervallo, l'attività di interpolazione viene convertita nell'attività di estrapolazione. In questi casi, la precisione

valori ottenuti calcolando i valori della funzione φ(X) dipende dalla distanza del valore dell'argomento X da X 0 se X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Nella modellazione matematica, la funzione di interpolazione può essere utilizzata per calcolare i valori approssimativi della funzione in studio nei punti intermedi dei sottointervalli [Х i ; Xi+1]. Tale procedura è chiamata sigillo da tavola.

L'algoritmo di interpolazione è determinato dal metodo di calcolo dei valori della funzione φ(X). L'implementazione più semplice ed ovvia della funzione di interpolazione consiste nel sostituire la funzione studiata Y(X) sull'intervallo [X i ; Х i+1 ] da un segmento di retta che collega i punti Y i , Y i+1 . Questo metodo è chiamato metodo di interpolazione lineare.

1.2 Interpolazione lineare

Con l'interpolazione lineare, il valore della funzione nel punto X, posto tra i nodi X i e X i+1, è determinato dalla formula di una retta che collega due punti adiacenti della tabella

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 ) - Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1− Xi

Sulla fig. 1 mostra un esempio di tabella ottenuta a seguito di misurazioni di un certo valore Y(X) . Le righe della tabella di origine vengono evidenziate. A destra della tabella c'è un grafico a dispersione corrispondente a questa tabella. La compattazione della tabella viene effettuata grazie al calcolo della formula

(3) valori della funzione approssimati nei punti Х corrispondenti ai punti medi dei sottointervalli (i=0, 1, 2, … , n ).

Fig. 1. Tabella compattata della funzione Y(X) e relativo diagramma

Quando si considera il grafico di Fig. 1 si può notare che i punti ottenuti a seguito della compattazione della tavola mediante il metodo dell'interpolazione lineare giacciono sui segmenti di linea che collegano i punti della tavola originaria. Precisione lineare

interpolazione, dipende essenzialmente dalla natura della funzione interpolata e dalla distanza tra i nodi della tabella X i, , X i+1 .

È ovvio che se la funzione è liscia, allora, anche con una distanza relativamente grande tra i nodi, il grafico costruito collegando i punti con segmenti di rette permette di stimare con precisione la natura della funzione Y(X). Se la funzione cambia abbastanza rapidamente e le distanze tra i nodi sono grandi, la funzione di interpolazione lineare non consente di ottenere un'approssimazione sufficientemente accurata della funzione reale.

La funzione di interpolazione lineare può essere utilizzata per un'analisi preliminare generale e per la valutazione della correttezza dei risultati dell'interpolazione, che vengono poi ottenuti con altri metodi più accurati. Tale valutazione diventa particolarmente rilevante nei casi in cui i calcoli vengono eseguiti manualmente.

1.3 Interpolazione per polinomio canonico

Il metodo di interpolazione di una funzione mediante un polinomio canonico si basa sulla costruzione di una funzione di interpolazione come polinomio nella forma [ 1 ]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

I coefficienti con i del polinomio (4) sono parametri di interpolazione liberi, che sono determinati dalle condizioni di Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Usando (4) e (5), scriviamo il sistema di equazioni

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Il vettore soluzione con i (i = 0, 1, 2, …, n ) del sistema di equazioni algebriche lineari (6) esiste e può essere trovato se non ci sono nodi corrispondenti tra i nodi. Il determinante del sistema (6) è chiamato determinante di Vandermonde1 e ha un'espressione analitica [2].

1 Determinante di Vandermonde chiamato determinante

È zero se e solo se xi = xj per alcuni. (Materiale da Wikipedia - l'enciclopedia libera)

Per determinare i valori dei coefficienti con i (i = 0, 1, 2, … , n)

le equazioni (5) possono essere scritte nella forma a matrice vettoriale

A* C=Y,

dove A è la matrice dei coefficienti determinata dalla tabella delle potenze dell'argomento vettore X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C è un vettore colonna di coefficienti i (i = 0, 1, 2, …, n) e Y è un vettore colonna di valori Y i (i = 0, 1, 2, …, n) dell'interpolato funzione ai nodi di interpolazione.

La soluzione di questo sistema di equazioni algebriche lineari può essere ottenuta mediante uno dei metodi descritti in [3]. Ad esempio, secondo la formula

С = A− 1 Y,

dove A -1 è la matrice inversa della matrice A. Per ottenere la matrice inversa A -1, è possibile utilizzare la funzione INV() inclusa nell'insieme di funzioni standard del programma Microsoft Excel.

Dopo aver determinato i valori dei coefficienti con i, utilizzando la funzione (4), i valori della funzione interpolata possono essere calcolati per qualsiasi valore degli argomenti.

Scriviamo la matrice A per la tabella mostrata in Fig. 1, senza tener conto delle righe che condensano la tabella.

Fig.2 Matrice del sistema di equazioni per il calcolo dei coefficienti del polinomio canonico

Usando la funzione MOBR(), otteniamo la matrice A -1 inversa alla matrice A (Fig. 3). Quindi, secondo la formula (9), otteniamo il vettore dei coefficienti С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T mostrato in fig. quattro.

Per calcolare i valori del polinomio canonico nella cella della colonna Y canonico corrispondente ai valori 0, introduciamo la formula trasformata nella forma seguente, corrispondente alla riga zero del sistema (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Invece di scrivere "c i" nella formula inserita nella cella della tabella Excel, dovrebbe esserci un riferimento assoluto alla cella corrispondente contenente questo coefficiente (vedi Fig. 4). Invece di "x 0" - un riferimento relativo alla colonna colonna X (vedi Fig. 5).

Y canonico (0) del valore che corrisponde al valore nella cella Y lin (0) . Quando si trascina una formula scritta in una cella Y canonica (0), devono corrispondere anche i valori di Y canonica (i), corrispondenti ai punti nodo dell'originale

tabelle (vedi Fig. 5).

Riso. 5. Schemi costruiti secondo le tabelle di interpolazione lineare e canonica

Confronto di grafici di funzioni costruiti secondo tabelle calcolate utilizzando le formule di interpolazione lineare e canonica, vediamo in un certo numero di nodi intermedi uno scostamento significativo dei valori ottenuti dalle formule di interpolazione lineare e canonica. È più ragionevole giudicare l'accuratezza dell'interpolazione in base all'ottenimento di informazioni aggiuntive sulla natura del processo modellato.

Questo è un capitolo del libro di Bill Jelen.

Sfida: alcuni problemi di progettazione ingegneristica richiedono l'uso di tabelle per calcolare i valori dei parametri. Poiché le tabelle sono discrete, il progettista utilizza l'interpolazione lineare per ottenere un valore di parametro intermedio. La tabella (Fig. 1) include l'altezza dal suolo (parametro di controllo) e la velocità del vento (parametro calcolato). Ad esempio, se devi trovare la velocità del vento corrispondente a un'altezza di 47 metri, dovresti applicare la formula: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

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E se ci sono due parametri di controllo? È possibile eseguire calcoli con un'unica formula? La tabella (Fig. 2) mostra i valori di pressione del vento per varie altezze e campate delle strutture. È necessario calcolare la pressione del vento ad un'altezza di 25 metri e una campata di 300 metri.

Soluzione: risolviamo il problema estendendo il metodo utilizzato per il caso con un parametro di controllo. Fare quanto segue.

Inizia con la tabella mostrata in fig. 2. Aggiungere le celle di origine per l'altezza e l'estensione rispettivamente a J1 e J2 (Figura 3).

Riso. 3. Le formule nelle celle J3:J17 spiegano come funziona la mega formula

Per comodità di utilizzo delle formule, definire i nomi (Fig. 4).

Segui il lavoro della formula spostandoti in sequenza dalla cella J3 alla cella J17.

Per sostituzione sequenziale inversa, assemblare la mega formula. Copia il testo della formula dalla cella J17 a J19. Sostituire il riferimento a J15 nella formula con il valore nella cella J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. E così via. Il risultato sarà una formula composta da 984 caratteri, che non possono essere percepiti in questa forma. Puoi vederlo nel file excel allegato. Non sono sicuro se questo tipo di mega-formule sia utile da usare.

Riepilogo: L'interpolazione lineare viene utilizzata per ottenere un valore intermedio di un parametro se i valori tabellari vengono forniti solo per i limiti di intervallo; viene proposto un metodo di calcolo basato su due parametri di controllo.