Questo argomento tratterà operazioni come l'addizione e la sottrazione di matrici, la moltiplicazione di una matrice per un numero, la moltiplicazione di una matrice per una matrice e la trasposizione di una matrice. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.
Addizione e sottrazione di matrici.
La somma di $A+B$ delle matrici $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è detta matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline( 1,n) $.
Una definizione simile viene introdotta per la differenza di matrici:
La differenza tra le matrici $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n)=( c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1, n)$.
Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: mostra\nascondi
La notazione "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ varia da 1 a m. Ad esempio, la notazione $i=\overline(1,5)$ indica che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.
Vale la pena notare che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, addizione e sottrazione di matrici sono operazioni intuitive, perché significano essenzialmente solo la somma o la sottrazione degli elementi corrispondenti.
Esempio n.1
Vengono fornite tre matrici:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$
È possibile trovare la matrice $A+F$? Trova le matrici $C$ e $D$ se $C=A+B$ e $D=A-B$.
La matrice $A$ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $A$ è $2\volte 3$) e la matrice $F$ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni delle matrici $A$ e $F$ non corrispondono, quindi non possiamo sommarle, cioè per queste matrici non è definita l'operazione $A+F$.
Le dimensioni delle matrici $A$ e $B$ sono le stesse, cioè I dati della matrice contengono un numero uguale di righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile ad esse.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$
Troviamo la matrice $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$
Risposta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Moltiplicazione di una matrice per un numero.
Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ per il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.
In poche parole, moltiplicare una matrice per un certo numero significa moltiplicare ogni elemento di una determinata matrice per quel numero.
Esempio n.2
La matrice è data: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trova le matrici $3\cdot A$, $-5\cdot A$ e $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$
La notazione $-A$ è una notazione abbreviata per $-1\cdot A$. Cioè, per trovare $-A$ devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). In sostanza, ciò significa che il segno di tutti gli elementi della matrice $A$ cambierà al contrario:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ sinistra(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$
Risposta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Prodotto di due matrici.
La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, poco chiara. Pertanto, prima indicherò una definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.
Il prodotto della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ per la matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k )=(c_( ij))$, per cui ogni elemento $c_(ij)$ è uguale alla somma dei prodotti dei corrispondenti elementi della i-esima riga della matrice $A$ per gli elementi della j -esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Diamo un'occhiata alla moltiplicazione di matrici passo dopo passo usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente notare che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, dobbiamo prima assicurarci che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe della matrice $B$ (tali matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne della matrice $A $ non è uguale al numero di righe della matrice $F$, cioè $4\neq 9$. Ma puoi moltiplicare la matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $ B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ sarà la matrice $C_(5\times 9)$, contenente 5 righe e 9 colonne:
Esempio n.3
Date le matrici: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ e $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trova la matrice $C=A\cpunto B$.
Per prima cosa determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $C$. Poiché la matrice $A$ ha dimensione $3\times 4$ e la matrice $B$ ha dimensione $4\times 2$, allora la dimensione della matrice $C$ è: $3\times 2$:
Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $A$ e $B$, dovremmo ottenere una matrice $C$, composta da tre righe e due colonne: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Se la designazione degli elementi solleva domande, puoi consultare l'argomento precedente: "Tipi di matrici", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo: trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $C$.
Cominciamo con l'elemento $c_(11)$. Per ottenere l'elemento $c_(11)$ è necessario trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:
Per trovare l'elemento $c_(11)$ stesso, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice $B$, cioè il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Continuiamo la soluzione e troviamo $c_(12)$. Per fare ciò dovrai moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e della seconda colonna della matrice $B$:
Similmente al precedente abbiamo:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Sono stati trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo alla seconda riga, che inizia con l'elemento $c_(21)$. Per trovarlo dovrai moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Troviamo l'elemento successivo $c_(22)$ moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $A$ per gli elementi corrispondenti della seconda colonna della matrice $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Per trovare $c_(31)$, moltiplica gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
E infine, per trovare l'elemento $c_(32)$, dovrai moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $A$ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Tutti gli elementi della matrice $C$ sono stati trovati, non resta che scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . Oppure, per scrivere per intero:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$
Risposta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.
A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio la posizione di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per matrici di piccole dimensioni, puoi fare questo:
Vale anche la pena notare che la moltiplicazione di matrici non è commutativa. Ciò significa che nel caso generale $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, che vengono chiamate permutabile(o pendolarismo), l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ è vera. È proprio in base alla non commutatività della moltiplicazione che dobbiamo indicare esattamente come moltiplichiamo l'espressione per una particolare matrice: a destra o a sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i lati dell'uguaglianza $3E-F=Y$ per la matrice $A$ a destra" significa che vuoi ottenere la seguente uguaglianza: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Trasposta rispetto alla matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ è la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per elementi che $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
In poche parole, per ottenere una matrice trasposta $A^T$, è necessario sostituire le colonne della matrice originale $A$ con le righe corrispondenti secondo questo principio: c'era una prima riga - ci sarà una prima colonna ; c'era una seconda riga - ci sarà una seconda colonna; c'era una terza riga, ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:
Di conseguenza, se la matrice originale avesse una dimensione di $3\times 5$, allora la matrice trasposta avrà una dimensione di $5\times 3$.
Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici.
Qui si assume che $\alpha$, $\beta$ siano alcuni numeri e $A$, $B$, $C$ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato dei nomi; il resto può essere nominato per analogia con le prime quattro.
- $A+B=B+A$ (commutatività dell'addizione)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (associatività dell'addizione)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributività della moltiplicazione per una matrice rispetto all'addizione di numeri)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributività della moltiplicazione per un numero relativa all'addizione della matrice)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, dove $E$ è la matrice identità dell'ordine corrispondente.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, dove $O$ è una matrice zero della dimensione appropriata.
- $\sinistra(A^T \destra)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cpunto A^T$
- $\sinistra(\alpha A \destra)^T=\alpha A^T$
Nella parte successiva considereremo l'operazione di elevare una matrice a una potenza intera non negativa e risolveremo anche esempi in cui è necessario eseguire diverse operazioni sulle matrici.
1° anno, matematica superiore, studio matrici e le azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le operazioni di base che possono essere eseguite con le matrici. Da dove iniziare a conoscere le matrici? Naturalmente, dalle cose più semplici: definizioni, concetti di base e operazioni semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno comprese da tutti coloro che vi dedicheranno almeno un po' di tempo!
Definizione di matrice
Matriceè una tabella rettangolare di elementi. Bene, in termini semplici: una tabella di numeri.
Tipicamente, le matrici sono indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate e ci sono anche matrici di righe e colonne chiamate vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensioni M SU N , Dove M – numero di righe e N - numero di colonne.
Articoli per i quali io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono chiamate diagonale.
Cosa puoi fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora riguardo a tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.
Operazioni di addizione e sottrazione di matrici
Ti avvisiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato sarà una matrice della stessa dimensione. Aggiungere (o sottrarre) matrici è semplice: devi solo aggiungere gli elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo la somma di due matrici A e B di dimensione due a due.
La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.
Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per fare questo, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per questo numero. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:
Operazione di moltiplicazione di matrici
Non tutte le matrici possono essere moltiplicate insieme. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. In questo caso ciascun elemento della matrice risultante, situato nella i-esima riga e nella j-esima colonna, sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e nella j-esima colonna di il secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come vengono moltiplicate due matrici quadrate:
E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:
Operazione di trasposizione della matrice
La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:
Determinante della matrice
Determinante, o determinante, è uno dei concetti di base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di loro dovevano inventare un determinante. Alla fine, spetta a te affrontare tutto questo, quindi, l’ultima spinta!
Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi delle diagonali principale e secondaria.
Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè composta da un solo elemento, è uguale a questo elemento.
Cosa succede se la matrice è tre per tre? Questo è più difficile, ma puoi farcela.
Per tale matrice, il valore del determinante è pari alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti sui triangoli con faccia parallela alla diagonale principale, da cui si ottiene il prodotto della si sottraggono gli elementi della diagonale secondaria e il prodotto degli elementi che giacciono sui triangoli con la faccia della diagonale secondaria parallela.
Fortunatamente, nella pratica raramente è necessario calcolare i determinanti di matrici di grandi dimensioni.
Qui abbiamo esaminato le operazioni di base sulle matrici. Naturalmente, nella vita reale potresti non incontrare mai nemmeno un accenno di un sistema di equazioni a matrice o, al contrario, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esistono servizi professionali per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il successo accademico e il tempo libero.
Addizione di matrici:
Sottrazione e addizione di matrici si riduce alle operazioni corrispondenti sui loro elementi. Operazione di addizione di matrici inserito solo per matrici della stessa dimensione, cioè per matrici, in cui il numero di righe e colonne è rispettivamente uguale. Somma di matrici Si chiamano A e B matrice C, i cui elementi sono uguali alla somma degli elementi corrispondenti. C = A + B c ij = a ij + b ij Definito in modo simile differenza di matrice.
Moltiplicando una matrice per un numero:
Operazione di moltiplicazione (divisione) di matrici di qualsiasi dimensione per un numero arbitrario si riduce a moltiplicare (dividere) ciascun elemento matrici per questo numero. Prodotto a matrice E viene chiamato il numero k matrice B, tale
b ij = k × un ij . B = k × A b ij = k × un ij . Matrice- A = (-1) × A si dice il contrario matrice UN.
Proprietà di sommare matrici e moltiplicare una matrice per un numero:
Operazioni di addizione di matrici E moltiplicazione di matrici per numero hanno le seguenti proprietà: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5.1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , dove A, B e C sono matrici, α e β sono numeri.
Moltiplicazione di matrici (prodotto di matrice):
Operazione di moltiplicazione di due matrici viene inserito solo nel caso in cui il numero di colonne della prima matrici pari al numero di righe del secondo matrici. Prodotto a matrice E m×n avanti matrice In n×p, chiamato matrice Con m×p tale che con ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , cioè si trova la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga matrici E agli elementi corrispondenti della jesima colonna matrici B. Se matrici A e B sono quadrati della stessa dimensione, allora i prodotti AB e BA esistono sempre. È facile dimostrare che A × E = E × A = A, dove A è quadrato matrice, Unità E matrice Le stesse dimensioni.
Proprietà della moltiplicazione di matrici:
Moltiplicazione di matrici non commutativo, cioè AB ≠ BA anche se entrambi i prodotti sono definiti. Tuttavia, se per qualsiasi cosa matriciè soddisfatta la relazione AB=BA, allora tale matrici sono detti commutativi. L'esempio più tipico è un singolo matrice, che commuta con qualsiasi altro matrice Le stesse dimensioni. Solo quelli quadrati possono essere permutabili matrici dello stesso ordine. A × E = E × A = A
Moltiplicazione di matrici ha le seguenti proprietà: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. Determinanti del 2° e 3° ordine. Proprietà dei determinanti.
Determinante della matrice secondo ordine, o determinante il secondo ordine è un numero calcolato con la formula:
Determinante della matrice terzo ordine, o determinante il terzo ordine è un numero calcolato con la formula:
Questo numero rappresenta una somma algebrica composta da sei termini. Ogni termine contiene esattamente un elemento da ogni riga e da ogni colonna matrici. Ogni termine è costituito dal prodotto di tre fattori.
Segni con quali membri determinante della matrice incluso nella formula trovare il determinante della matrice il terzo ordine può essere determinato utilizzando lo schema dato, che è chiamato regola dei triangoli o regola di Sarrus. I primi tre termini vengono presi con un segno più e determinati dalla figura a sinistra, mentre i tre termini successivi vengono presi con un segno meno e determinati dalla figura a destra.
Determina il numero di termini da trovare determinante della matrice, in una somma algebrica, puoi calcolare il fattoriale: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Proprietà dei determinanti di matrice
Proprietà dei determinanti della matrice:
Proprietà n. 1:
Determinante della matrice non cambierà se le sue righe vengono sostituite con colonne, ogni riga con una colonna con lo stesso numero e viceversa (Trasposizione). |A| = |A| T
Conseguenza:
Colonne e righe determinante della matrice sono uguali, pertanto le proprietà inerenti alle righe sono soddisfatte anche per le colonne.
Proprietà n. 2:
Quando si riorganizzano 2 righe o colonne determinante della matrice cambierà il segno in quello opposto, mantenendo il valore assoluto, ovvero:
Proprietà n. 3:
Determinante della matrice avere due righe identiche è uguale a zero.
Proprietà n.4:
Fattore comune degli elementi di qualsiasi serie determinante della matrice può essere preso come un segno determinante.
Corollari dalle proprietà n. 3 e n. 4:
Se tutti gli elementi di una determinata serie (riga o colonna) sono proporzionali agli elementi corrispondenti di una serie parallela, allora tale determinante della matrice uguale a zero.
Proprietà n. 5:
determinante della matrice sono pari a zero, quindi determinante della matrice uguale a zero.
Proprietà n.6:
Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna determinante presentato come somma di 2 termini, quindi determinante matrici può essere rappresentato come la somma di 2 determinanti secondo la formula:
Proprietà n.7:
Se a qualsiasi riga (o colonna) determinante aggiungi poi gli elementi corrispondenti di un'altra riga (o colonna), moltiplicati per lo stesso numero determinante della matrice non ne modificherà il valore.
Esempio di utilizzo delle proprietà per il calcolo determinante della matrice:
Quindi, nella lezione precedente abbiamo esaminato le regole per aggiungere e sottrarre matrici. Queste sono operazioni così semplici che la maggior parte degli studenti le capisce alla lettera.
Tuttavia, ti rallegri presto. L'omaggio è finito: passiamo alla moltiplicazione. Ti avverto subito: moltiplicare due matrici non significa affatto moltiplicare i numeri situati in celle con le stesse coordinate, come potresti pensare. Qui è tutto molto più divertente. E dovremo iniziare con le definizioni preliminari.
Matrici abbinate
Una delle caratteristiche più importanti di una matrice è la sua dimensione. Ne abbiamo già parlato un centinaio di volte: la notazione $A=\left[ m\times n \right]$ significa che la matrice ha esattamente $m$ righe e $n$ colonne. Abbiamo già discusso anche di come non confondere le righe con le colonne. Qualcos'altro è importante adesso.
Definizione. Matrici della forma $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, in cui il numero di colonne nella prima matrice coincide con il numero di righe nella seconda, sono detti consistenti.
Ancora una volta: il numero di colonne nella prima matrice è uguale al numero di righe nella seconda! Da qui otteniamo due conclusioni contemporaneamente:
- Per noi è importante l’ordine delle matrici. Ad esempio, le matrici $A=\left[ 3\times 2 \right]$ e $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sono coerenti (2 colonne nella prima matrice e 2 righe nella seconda) , ma viceversa — le matrici $B=\left[ 2\times 5 \right]$ e $A=\left[ 3\times 2 \right]$ non sono più coerenti (5 colonne nella prima matrice non sono 3 righe nel secondo ).
- La coerenza può essere facilmente verificata annotando tutte le dimensioni una dopo l'altra. Usando l'esempio del paragrafo precedente: “3 2 2 5” - ci sono numeri identici al centro, quindi le matrici sono coerenti. Ma “2 5 3 2” non sono coerenti, poiché ci sono numeri diversi nel mezzo.
Inoltre, Captain Obviousness sembra suggerire che matrici quadrate della stessa dimensione $\left[ n\times n \right]$ sono sempre coerenti.
In matematica, quando l'ordine in cui sono elencati gli oggetti è importante (ad esempio, nella definizione discussa sopra, l'ordine delle matrici è importante), si parla spesso di coppie ordinate. Li abbiamo incontrati a scuola: penso che sia un gioco da ragazzi che le coordinate $\left(1;0 \right)$ e $\left(0;1 \right)$ definiscano punti diversi sul piano.
Quindi: le coordinate sono anche coppie ordinate composte da numeri. Ma nulla ti impedisce di creare una coppia del genere dalle matrici. Allora possiamo dire: “Una coppia ordinata di matrici $\left(A;B \right)$ è consistente se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda”.
Bene, e allora?
Definizione di moltiplicazione
Consideriamo due matrici coerenti: $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$. E definiamo per loro l'operazione di moltiplicazione.
Definizione. Il prodotto di due matrici abbinate $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$ è la nuova matrice $C=\left[ m\times k \ destra] $, i cui elementi vengono calcolati utilizzando la formula:
\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]
Tale prodotto è indicato nel modo standard: $C=A\cdot B$.
Chi vede questa definizione per la prima volta si pone subito due domande:
- Che razza di gioco feroce è questo?
- perché è così difficile?
Bene, per prima cosa. Cominciamo con la prima domanda. Cosa significano tutti questi indici? E come non commettere errori quando si lavora con matrici reali?
Innanzitutto notiamo che la lunga riga per il calcolo di $((c)_(i;j))$ (ho messo appositamente un punto e virgola tra gli indici per non confondermi, ma non è necessario inserirli generale - io stesso mi sono stancato di digitare la formula nella definizione) in realtà si riduce a una semplice regola:
- Prendi la $i$esima riga nella prima matrice;
- Prendi la $j$esima colonna nella seconda matrice;
- Otteniamo due sequenze di numeri. Moltiplichiamo gli elementi di queste sequenze con gli stessi numeri e quindi aggiungiamo i prodotti risultanti.
Questo processo è facile da capire dall'immagine:
Schema per moltiplicare due matrici Ancora una volta: fissiamo la riga $i$ nella prima matrice, la colonna $j$ nella seconda matrice, moltiplichiamo gli elementi con gli stessi numeri e quindi aggiungiamo i prodotti risultanti: otteniamo $((c)_(ij))$ . E così via per tutti $1\le i\le m$ e $1\le j\le k$. Quelli. In totale ci saranno $m\volte k$ di tali “perversioni”.
In effetti, abbiamo già incontrato la moltiplicazione delle matrici nel curriculum scolastico, solo in forma molto ridotta. Siano dati i vettori:
\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(allinea)\]
Quindi il loro prodotto scalare sarà esattamente la somma dei prodotti a coppie:
\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]
Fondamentalmente, quando gli alberi erano più verdi e il cielo era più luminoso, moltiplicavamo semplicemente il vettore riga $\overrightarrow(a)$ per il vettore colonna $\overrightarrow(b)$.
Niente è cambiato oggi. È solo che ora ci sono più di questi vettori di riga e di colonna.
Ma basta teoria! Diamo un'occhiata ad esempi reali. E cominciamo con il caso più semplice: le matrici quadrate.
Moltiplicazione di matrici quadrate
Attività 1. Esegui la moltiplicazione:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]
Soluzione. Quindi, abbiamo due matrici: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ e $B=\left[ 2\times 2 \right]$. È chiaro che sono coerenti (matrici quadrate della stessa dimensione sono sempre coerenti). Eseguiamo quindi la moltiplicazione:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ Begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fine(array)\destra]. \end(allinea)\]
È tutto!
Risposta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.
Attività 2. Esegui la moltiplicazione:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]\]
Soluzione. Ancora una volta, matrici coerenti, quindi eseguiamo le seguenti azioni:\[\]
\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(allinea)\]
Come puoi vedere, il risultato è una matrice piena di zeri
Risposta: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.
Dagli esempi forniti, è ovvio che la moltiplicazione di matrici non è un'operazione così complicata. Almeno per matrici quadrate 2 per 2.
Nel processo di calcolo, abbiamo compilato una matrice intermedia, in cui abbiamo descritto direttamente quali numeri sono inclusi in una particolare cella. Questo è esattamente ciò che dovrebbe essere fatto quando si risolvono problemi reali.
Proprietà fondamentali del prodotto matrice
In poche parole. Moltiplicazione di matrici:
- Non commutativo: $A\cdot B\ne B\cdot A$ nel caso generale. Naturalmente esistono matrici speciali per le quali l'uguaglianza $A\cdot B=B\cdot A$ (ad esempio, se $B=E$ è la matrice identità), ma nella stragrande maggioranza dei casi questo non funziona ;
- Associativamente: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Non ci sono opzioni qui: le matrici adiacenti possono essere moltiplicate senza preoccuparsi di cosa c'è a sinistra e cosa a destra di queste due matrici.
- Distributivamente: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ e $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (a causa della non commutatività del prodotto, è necessario specificare separatamente la distributività destra e sinistra.
E ora: tutto è uguale, ma in modo più dettagliato.
La moltiplicazione di matrici è per molti versi simile alla moltiplicazione di numeri classica. Ma ci sono delle differenze, la più importante delle quali è questa La moltiplicazione di matrici è, in generale, non commutativa.
Consideriamo nuovamente le matrici del Problema 1. Conosciamo già il loro prodotto diretto:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]
Ma se scambiamo le matrici, otteniamo un risultato completamente diverso:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix )\Giusto]\]
Risulta che $A\cdot B\ne B\cdot A$. Inoltre, l'operazione di moltiplicazione è definita solo per le matrici coerenti $A=\left[ m\times n \right]$ e $B=\left[ n\times k \right]$, ma nessuno ha garantito che siano rimarranno coerenti se vengono scambiati. Ad esempio, le matrici $\left[ 2\times 3 \right]$ e $\left[ 3\times 5 \right]$ sono abbastanza coerenti nell'ordine specificato, ma le stesse matrici $\left[ 3\times 5 \right] $ e $\left[ 2\times 3 \right]$ scritti in ordine inverso non sono più coerenti. Triste.:(
Tra matrici quadrate di una data dimensione $n$ ci saranno sempre quelle che danno lo stesso risultato sia moltiplicate in ordine diretto che inverso. Come descrivere tutte queste matrici (e quante ce ne sono in generale) è un argomento per una lezione separata. Non ne parleremo oggi :)
Tuttavia, la moltiplicazione di matrici è associativa:
\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]
Pertanto, quando è necessario moltiplicare più matrici di seguito, non è affatto necessario farlo subito: è del tutto possibile che alcune matrici adiacenti, moltiplicate, diano un risultato interessante. Ad esempio, una matrice zero, come nel Problema 2 discusso sopra.
Nei problemi reali, molto spesso dobbiamo moltiplicare matrici quadrate di dimensione $\left[ n\times n \right]$. L'insieme di tutte queste matrici è indicato con $((M)^(n))$ (ovvero, le voci $A=\left[ n\times n \right]$ e \ significano la stessa cosa), e lo farà contengono necessariamente la matrice $E$, che è chiamata matrice identità.
Definizione. Una matrice identità di dimensione $n$ è una matrice $E$ tale che per ogni matrice quadrata $A=\left[ n\times n \right]$ vale l'uguaglianza:
Una matrice di questo tipo ha sempre lo stesso aspetto: ci sono gli uno sulla diagonale principale e gli zeri in tutte le altre celle.
\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]
In altre parole, se devi moltiplicare una matrice per la somma di altre due, puoi moltiplicarla per ciascuno di questi “altri due” e quindi sommare i risultati. In pratica, di solito dobbiamo eseguire l'operazione opposta: notiamo la stessa matrice, la togliamo tra parentesi, eseguiamo l'addizione e quindi semplifichiamo la nostra vita :).
Nota: per descrivere la distributività, abbiamo dovuto scrivere due formule: dove la somma è nel secondo fattore e dove la somma è nel primo. Ciò accade proprio perché la moltiplicazione di matrici non è commutativa (e in generale, nell'algebra non commutativa ci sono molte cose divertenti che non vengono nemmeno in mente quando si lavora con i numeri ordinari). E se, ad esempio, devi scrivere questa proprietà durante un esame, assicurati di scrivere entrambe le formule, altrimenti l'insegnante potrebbe arrabbiarsi un po'.
Ok, queste erano tutte favole sulle matrici quadrate. E quelli rettangolari?
Il caso delle matrici rettangolari
Ma niente: tutto è uguale a quello quadrato.
Attività 3. Esegui la moltiplicazione:
\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]
Soluzione. Abbiamo due matrici: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ e $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Scriviamo in fila i numeri che indicano le taglie:
Come puoi vedere, i due numeri centrali coincidono. Ciò significa che le matrici sono coerenti e possono essere moltiplicate. Inoltre, in uscita otteniamo la matrice $C=\left[ 3\times 2 \right]$:
\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(allinea)\]
Tutto è chiaro: la matrice finale ha 3 righe e 2 colonne. Abbastanza $=\left[ 3\times 2 \right]$.
Risposta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.
Consideriamo ora uno dei migliori compiti di formazione per coloro che stanno appena iniziando a lavorare con le matrici. In esso non è necessario semplicemente moltiplicare due compresse, ma prima determinare: è consentita tale moltiplicazione?
Problema 4. Trova tutti i possibili prodotti a coppie di matrici:
\\]; $B=\left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrice)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrice) \right]$.
Soluzione. Innanzitutto, scriviamo le dimensioni delle matrici:
\;\ B=\sinistra[ 4\volte 2 \destra];\ C=\sinistra[ 2\volte 2 \destra]\]
Troviamo che la matrice $A$ può essere riconciliata solo con la matrice $B$, poiché il numero di colonne di $A$ è 4 e solo $B$ ha questo numero di righe. Pertanto possiamo trovare il prodotto:
\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ sinistra[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]
Suggerisco al lettore di completare i passaggi intermedi in autonomia. Noterò solo che è meglio determinare in anticipo la dimensione della matrice risultante, anche prima di qualsiasi calcolo:
\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]
In altre parole, rimuoviamo semplicemente i coefficienti di “transito” che garantivano la consistenza delle matrici.
Quali altre opzioni sono possibili? Naturalmente, si può trovare $B\cdot A$, poiché $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, quindi la coppia ordinata $\ left(B ;A \right)$ è coerente e la dimensione del prodotto sarà:
\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]
In breve, l'output sarà una matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, i cui coefficienti possono essere facilmente calcolati:
\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ sinistra[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]\]
Ovviamente puoi anche accordarti su $C\cdot A$ e $B\cdot C$ - e basta. Pertanto, scriviamo semplicemente i prodotti risultanti:
È stato facile.:)
Risposta: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.
In generale, consiglio vivamente di svolgere questo compito da soli. E un altro compito simile è nei compiti. Questi pensieri apparentemente semplici ti aiuteranno a praticare tutte le fasi chiave della moltiplicazione delle matrici.
Ma la storia non finisce qui. Passiamo ai casi particolari di moltiplicazione :).
Vettori riga e vettori colonna
Una delle operazioni con le matrici più comuni è la moltiplicazione per una matrice che ha una riga o una colonna.
Definizione. Un vettore colonna è una matrice di dimensione $\left[ m\times 1 \right]$, cioè composto da più righe e una sola colonna.
Un vettore riga è una matrice di dimensione $\left[ 1\times n \right]$, cioè composto da una riga e più colonne.
In effetti, abbiamo già incontrato questi oggetti. Ad esempio, un normale vettore tridimensionale della stereometria $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ non è altro che un vettore riga. Da un punto di vista teorico non c’è quasi nessuna differenza tra righe e colonne. Devi solo fare attenzione quando ti coordini con le matrici moltiplicatrici circostanti.
Attività 5. Esegui la moltiplicazione:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]
Soluzione. Abbiamo il prodotto di matrici abbinate: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Troviamo questo pezzo:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]
Risposta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.
Attività 6. Esegui la moltiplicazione:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]
Soluzione. Anche in questo caso tutto è concordato: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Contiamo il prodotto:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]
Risposta: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.
Come puoi vedere, quando moltiplichiamo un vettore riga e un vettore colonna per una matrice quadrata, il risultato è sempre una riga o una colonna della stessa dimensione. Questo fatto ha molte applicazioni: dalla risoluzione di equazioni lineari a tutti i tipi di trasformazioni di coordinate (che alla fine si riducono anche a sistemi di equazioni, ma non parliamo di cose tristi).
Penso che qui tutto fosse ovvio. Passiamo alla parte finale della lezione di oggi.
Esponenziazione di matrici
Tra tutte le operazioni di moltiplicazione, l'elevamento a potenza merita un'attenzione speciale: questo avviene quando moltiplichiamo più volte lo stesso oggetto per se stesso. Le matrici non fanno eccezione; possono anche essere elevate a varie potenze.
Tali lavori sono sempre concordati:
\\cdot \left[ n\volte n \right]=\sinistra[ n\volte n \right]\]
E sono designati esattamente allo stesso modo dei gradi ordinari:
\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(allinea)\]
A prima vista, tutto è semplice. Vediamo come appare in pratica:
Compito 7. Elevare la matrice alla potenza indicata:
$((\left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))$
Soluzione. Bene, ok, costruiamo. Per prima cosa facciamo il quadrato:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]
È tutto.:)
Risposta: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.
Problema 8. Eleva la matrice alla potenza indicata:
\[((\left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(10))\]
Soluzione. Basta non piangere ora sul fatto che "la laurea è troppo grande", "il mondo non è giusto" e "gli insegnanti hanno completamente perso le loro sponde". In realtà è facile:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]
Si noti che nella seconda riga abbiamo utilizzato l'associatività della moltiplicazione. In realtà, l'abbiamo utilizzato nell'attività precedente, ma lì era implicito.
Risposta: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato nell'elevare una matrice a potenza. L’ultimo esempio può essere riassunto:
\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]
Questo fatto è facile da dimostrare attraverso l'induzione matematica o la moltiplicazione diretta. Tuttavia, non è sempre possibile cogliere tali schemi quando si aumenta a una potenza. Attenzione quindi: spesso moltiplicare più matrici “a caso” risulta essere più semplice e veloce che cercare qualche tipo di schema.
In generale, non cercare significati più alti dove non ce n’è. In conclusione, consideriamo l'elevamento a potenza di una matrice più grande, fino a $\left[ 3\times 3 \right]$.
Problema 9. Eleva la matrice alla potenza indicata:
\[((\left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right])^(3))\]
Soluzione. Non cerchiamo schemi. Lavoriamo in anticipo:
\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]
Per prima cosa eleviamo al quadrato questa matrice:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]
Adesso facciamo il cubo:
\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]
È tutto. Il problema è risolto.
Risposta: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.
Come puoi vedere, il volume dei calcoli è diventato maggiore, ma il significato non è cambiato affatto :).
Questo conclude la lezione. La prossima volta considereremo l'operazione inversa: utilizzando il prodotto esistente cercheremo i fattori originali.
Come probabilmente hai già intuito, parleremo della matrice inversa e dei metodi per trovarla.
