Esempi di metodo Lagrange. Ottimizzazione condizionale

Classificazione dei problemi di programmazione matematica

PROGRAMMAZIONE

METODI PER RISOLVERE PROBLEMI NON LINEARI

Prova le domande per la sezione 4

Schema per risolvere il problema dei trasporti

Elenchiamo le fasi principali della risoluzione del problema dei trasporti.

1. Controllare la condizione chiusa. Se l'attività è aperta, la tabella dei trasporti viene integrata con una colonna di un punto di consumo fittizio o una riga di un fornitore fittizio.

2. Costruisci un piano di riferimento.

3. Controllare il piano di sostegno per la non degenerazione. Se non ci sono abbastanza celle occupate per soddisfare la condizione di non degenerazione, una delle celle della tabella di trasporto viene riempita con una riserva pari a zero. Se necessario, è consentito registrare consegne zero in più celle.

4. Viene verificata l'ottimalità del piano.

5. Se le condizioni di ottimalità non sono soddisfatte, passare al piano successivo ridistribuendo le forniture. Il processo computazionale viene ripetuto fino ad ottenere il piano ottimale.

1. Qual è il significato della funzione obiettivo nel modello matematico del problema dei trasporti?

2.Qual è il significato delle restrizioni nel modello matematico del problema dei trasporti?

3. È possibile applicare il metodo potenziale per risolvere un problema di trasporto aperto (non chiuso)?

4.Quali modifiche è necessario apportare alla tabella di trasporto originale affinché il problema possa essere risolto con il metodo potenziale?

5.Qual è l'essenza del metodo dell'elemento minimo? Quale fase della risoluzione del problema dei trasporti verrà completata a seguito dell'applicazione di questo metodo?

6. Come fai a sapere se il piano di trasporto è ottimale?

7. In quali casi e come è necessario ridistribuire le forniture in termini di trasporto?

8. Supponiamo che il piano di trasporto costruito sia degenerato. È possibile continuare a risolvere il problema utilizzando il metodo potenziale e cosa è necessario fare a tal fine?

Il problema generale della programmazione matematica è stato formulato nella Sezione 1.1. A seconda del tipo di funzioni incluse nel modello (1.1)-(1.3), il problema viene classificato come uno o l'altro tipo di programmazione matematica. Esistono programmazione lineare (tutte le funzioni sono lineari), intera (la soluzione è rappresentata da numeri interi), quadratica (la funzione obiettivo è una forma quadratica), non lineare (almeno una delle funzioni del problema è non lineare) e programmazione stocastica ( sono inclusi parametri di natura probabilistica).

La classe dei problemi di programmazione non lineare è più ampia della classe dei modelli lineari. Ad esempio, i costi di produzione nella maggior parte dei casi non sono proporzionali al volume della produzione, ma dipendono da esso in modo non lineare, il reddito derivante dalla vendita dei prodotti di produzione risulta essere una funzione non lineare dei prezzi, ecc. I criteri nei problemi di pianificazione ottimale sono spesso il massimo profitto, il minimo costo e il minimo costo di capitale. Le quantità variabili sono i volumi di produzione di varie tipologie di prodotti. Le restrizioni includono funzioni di produzione che caratterizzano il rapporto tra la produzione del prodotto e i costi del lavoro e delle risorse materiali, il cui volume è limitato.

A differenza della programmazione lineare, che utilizza un metodo di soluzione universale (il metodo del simplesso), per risolvere problemi non lineari esiste tutta una serie di metodi a seconda della forma delle funzioni incluse nel modello. Della varietà di metodi, ne considereremo solo due: il metodo di Lagrange e il metodo di programmazione dinamica.

CON L’essenza del metodo Lagrange è ridurre il problema dell’estremo condizionale alla risoluzione del problema dell’estremo incondizionato. Consideriamo il modello di programmazione non lineare:

(5.2)

Dove – funzioni conosciute,

UN – dati i coefficienti.

Si noti che in questa formulazione del problema, i vincoli sono specificati dalle uguaglianze e non esiste alcuna condizione affinché le variabili siano non negative. Inoltre, riteniamo che le funzioni sono continui con le loro derivate parziali prime.

Trasformiamo le condizioni (5.2) in modo che a sinistra o a destra delle uguaglianze ci sia zero:

(5.3)

Componiamo la funzione Lagrange. Comprende la funzione obiettivo (5.1) e i membri destri dei vincoli (5.3), presi rispettivamente con i coefficienti . Ci saranno tanti coefficienti di Lagrange quanti sono i vincoli nel problema.

I punti estremi della funzione (5.4) sono i punti estremi del problema originale e viceversa: il piano ottimo del problema (5.1)-(5.2) è il punto estremo globale della funzione di Lagrange.

Anzi, si trovi una soluzione problemi (5.1)-(5.2), allora le condizioni (5.3) sono soddisfatte. Sostituiamo il piano in funzione (5.4) e verificare la validità dell'uguaglianza (5.5).

Pertanto, per trovare il piano ottimo per il problema originale, è necessario esaminare la funzione di Lagrange per l'estremo. La funzione ha valori estremi nei punti in cui le sue derivate parziali sono uguali zero. Tali punti sono chiamati stazionario.

Definiamo le derivate parziali della funzione (5.4)

,

.

Dopo l'equalizzazione zero derivati ​​otteniamo il sistema m+n equazioni con m+n sconosciuto

, (5.6)

Nel caso generale, il sistema (5.6)-(5.7) avrà più soluzioni, che includeranno tutti i massimi e minimi della funzione di Lagrange. Per evidenziare il massimo o il minimo globale, vengono calcolati i valori della funzione obiettivo in tutti i punti trovati. Il più grande di questi valori sarà il massimo globale e il più piccolo sarà il minimo globale. In alcuni casi è possibile utilizzare condizioni sufficienti per un estremo rigoroso funzioni continue (vedi Problema 5.2 sotto):

lasciamo che la funzione sia continua e due volte differenziabile in qualche intorno del suo punto stazionario (cioè )). Poi:

UN) Se ,(5.8)

allora è il punto di massimo stretto della funzione;

B) Se ,(5.9)

allora è il punto di minimo stretto della funzione;

G ) Se ,

rimane quindi aperta la questione della presenza di un estremo.

Inoltre, alcune soluzioni del sistema (5.6)-(5.7) possono essere negative. Il che non è coerente con il significato economico delle variabili. In questo caso, dovresti considerare di sostituire i valori negativi con valori zero.

Significato economico dei moltiplicatori di Lagrange. Valore moltiplicativo ottimale mostra quanto cambierà il valore del criterio Z quando la risorsa aumenta o diminuisce J di una unità, da allora

Il metodo di Lagrange può essere utilizzato anche nel caso in cui i vincoli siano disuguaglianze. Quindi, trovando l'estremo della funzione a condizioni

,

eseguito in più fasi:

1. Determinare i punti stazionari della funzione obiettivo, per i quali risolvere un sistema di equazioni

.

2. Tra i punti stazionari, seleziona quelli le cui coordinate soddisfano le condizioni

3. Utilizzando il metodo di Lagrange, risolvere il problema con i vincoli di uguaglianza (5.1)-(5.2).

4. I punti trovati nella seconda e terza fase vengono esaminati per il massimo globale: vengono confrontati i valori della funzione obiettivo in questi punti: il valore più grande corrisponde al piano ottimale.

Problema 5.1 Risolviamo il problema 1.3, considerato nella prima sezione, utilizzando il metodo di Lagrange. La distribuzione ottimale delle risorse idriche è descritta da un modello matematico

.

Componiamo la funzione di Lagrange

Troviamo il massimo incondizionato di questa funzione. Per fare ciò, calcoliamo le derivate parziali e le equiparamo a zero

,

Pertanto, abbiamo ottenuto un sistema di equazioni lineari della forma

La soluzione del sistema di equazioni rappresenta un piano ottimale per la distribuzione delle risorse idriche nelle aree irrigate

I valori sono misurati in centinaia di migliaia di metri cubi. - l'importo del reddito netto per centomila metri cubi di acqua irrigua. Pertanto, il prezzo marginale di 1 m 3 di acqua irrigua è pari a tana. unità

Il reddito netto aggiuntivo massimo derivante dall'irrigazione sarà

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (unità den.)

Problema 5.2 Risolvere un problema di programmazione non lineare

Rappresentiamo la limitazione nella forma:

.

Componiamo la funzione Lagrange e determiniamo le sue derivate parziali

.

Per determinare i punti stazionari della funzione Lagrange, le sue derivate parziali dovrebbero essere poste uguali a zero. Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è uno dei metodi che permette di risolvere problemi di programmazione non lineare.

La programmazione non lineare è una branca della programmazione matematica che studia metodi per risolvere problemi estremi con una funzione obiettivo non lineare e una regione di soluzioni ammissibili definita da vincoli non lineari. In economia, ciò corrisponde al fatto che i risultati (l’efficienza) aumentano o diminuiscono in modo sproporzionato al variare della scala di utilizzo delle risorse (o, che è lo stesso, della scala di produzione): ad esempio, a causa della ripartizione dei costi di produzione in imprese in variabile e semi-fisso; a causa della saturazione della domanda di beni, quando ogni unità successiva è più difficile da vendere rispetto alla precedente, ecc.

Il problema della programmazione non lineare si pone come il problema di trovare l'ottimo di una certa funzione obiettivo

F(x 1 ,…x n), F (X) → massimo

quando le condizioni sono soddisfatte

g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ B , X ≥ 0

Dove X-vettore delle variabili richieste;

F (X) -funzione obiettivo;

G (X) - funzione di vincolo (continuamente differenziabile);

B - vettore delle costanti di vincolo.

La soluzione di un problema di programmazione non lineare (massimo o minimo globale) può appartenere sia al bordo che all'interno dell'insieme ammissibile.

A differenza di un problema di programmazione lineare, in un problema di programmazione non lineare l'ottimo non si trova necessariamente sul confine della regione definita dai vincoli. In altre parole, il compito è selezionare tali valori non negativi delle variabili, soggetti a un sistema di restrizioni sotto forma di disuguaglianze, in base alle quali viene raggiunto il massimo (o il minimo) di una determinata funzione. In questo caso non vengono specificate né le forme della funzione obiettivo né le disuguaglianze. I casi possono essere diversi: la funzione obiettivo è non lineare, ma i vincoli sono lineari; la funzione obiettivo è lineare e i vincoli (almeno uno di essi) non sono lineari; sia la funzione obiettivo che i vincoli sono non lineari.

Il problema della programmazione non lineare si trova nelle scienze naturali, nell'ingegneria, nell'economia, nella matematica, nelle relazioni commerciali e nel governo.

La programmazione non lineare, ad esempio, è legata a un problema economico di base. Pertanto, nel problema dell’allocazione di risorse limitate, l’efficienza o, se si studia il consumatore, il consumo è massimizzato in presenza di restrizioni che esprimono condizioni di scarsità di risorse. In una formulazione così generale, la formulazione matematica del problema può essere impossibile, ma in applicazioni specifiche la forma quantitativa di tutte le funzioni può essere determinata direttamente. Ad esempio, un'impresa industriale produce prodotti in plastica. L’efficienza produttiva qui è misurata dal profitto e i vincoli sono interpretati come manodopera disponibile, spazio di produzione, produttività delle attrezzature, ecc.

Il metodo del rapporto costo-efficacia si inserisce anche nello schema di programmazione non lineare. Questo metodo è stato sviluppato per essere utilizzato nel processo decisionale nel governo. Una funzione comune dell’efficienza è il welfare. Qui sorgono due problemi di programmazione non lineare: il primo è massimizzare l'effetto a costi limitati, il secondo è minimizzare i costi a condizione che l'effetto sia superiore a un certo livello minimo. Questo problema è solitamente ben modellato utilizzando la programmazione non lineare.

I risultati della risoluzione di un problema di programmazione non lineare sono utili per prendere decisioni governative. La soluzione risultante è, ovviamente, consigliata, quindi è necessario esaminare le ipotesi e l'accuratezza del problema di programmazione non lineare prima di prendere una decisione definitiva.

I problemi non lineari sono complessi; spesso vengono semplificati conducendo a problemi lineari. Per fare ciò, si assume convenzionalmente che in una particolare area la funzione obiettivo aumenti o diminuisca in proporzione alla variazione delle variabili indipendenti. Questo approccio è chiamato metodo delle approssimazioni lineari a tratti; tuttavia è applicabile solo a determinati tipi di problemi non lineari.

I problemi non lineari in determinate condizioni si risolvono utilizzando la funzione di Lagrange: trovando il suo punto di sella si trova così la soluzione del problema. Tra gli algoritmi computazionali per la ricerca scientifica, i metodi del gradiente occupano un posto importante. Non esiste un metodo universale per i problemi non lineari e, a quanto pare, potrebbe non esistere, poiché sono estremamente diversi. I problemi multiestremi sono particolarmente difficili da risolvere.

Uno dei metodi che permette di ridurre un problema di programmazione non lineare alla risoluzione di un sistema di equazioni è il metodo di Lagrange dei moltiplicatori indefiniti.

Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si stabiliscono essenzialmente le condizioni necessarie per consentire l'individuazione dei punti di ottimo in problemi di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza. In questo caso, il problema vincolato si trasforma in un problema di ottimizzazione incondizionata equivalente, che coinvolge alcuni parametri sconosciuti chiamati moltiplicatori di Lagrange.

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange consiste nel ridurre i problemi sull'estremo condizionale a problemi sull'estremo incondizionato di una funzione ausiliaria, la cosiddetta. Funzioni lagrangiane.

Per il problema dell'estremo di una funzione F(x1, x2,..., xn) alle condizioni (equazioni di vincolo) φ io(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, io= 1, 2,..., M, la funzione di Lagrange ha la forma

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Moltiplicatori λ 1 , λ 2 , ..., λm chiamato Moltiplicatori di Lagrange.

Se i valori x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm l'essenza delle soluzioni alle equazioni che determinano i punti stazionari della funzione di Lagrange, vale a dire, poiché le funzioni differenziabili sono soluzioni al sistema di equazioni

quindi, sotto ipotesi abbastanza generali, x 1 , x 2 , ..., x n forniscono un estremo della funzione f.

Consideriamo il problema di minimizzare una funzione di n variabili soggetta ad un vincolo sotto forma di uguaglianza:

Minimizza f(x 1, x 2… x n) (1)

sotto restrizioni h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Secondo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, questo problema si trasforma nel seguente problema di ottimizzazione non vincolata:

minimizzare L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

dove la Funzione L(x;λ) è detta funzione di Lagrange,

λ è una costante sconosciuta, chiamata moltiplicatore di Lagrange. Non ci sono requisiti per il segno di λ.

Sia, per un dato valore λ=λ 0, il minimo incondizionato della funzione L(x,λ) rispetto a x raggiunto nel punto x=x 0 e x 0 soddisfi l'equazione h 1 (x 0)=0 . Allora, come è facile vedere, x 0 minimizza (1) tenendo conto della (2), poiché per tutti i valori di x soddisfacenti (2), h 1 (x)=0 e L(x,λ)=min f(x).

Naturalmente è necessario scegliere il valore λ=λ 0 in modo che la coordinata del punto di minimo incondizionato x 0 soddisfi l'uguaglianza (2). Ciò può essere fatto se, considerando λ come una variabile, si trova il minimo incondizionato della funzione (3) sotto forma di funzione λ, e quindi si sceglie il valore di λ in cui l'uguaglianza (2) è soddisfatta. Illustriamolo con un esempio specifico.

Minimizza f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

sotto il vincolo h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Il corrispondente problema di ottimizzazione non vincolata si scrive come segue:

minimizzare L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Soluzione. Uguagliando le due componenti del gradiente L a zero, otteniamo

→ x10 =λ

→ x20 =λ/2

Per verificare se il punto stazionario x° corrisponde al minimo, calcoliamo gli elementi della matrice Hessiana della funzione L(x;u), considerata in funzione di x,

che risulta essere definito positivo.

Ciò significa che L(x,u) è una funzione convessa di x. Di conseguenza le coordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 determinano il punto di minimo globale. Il valore ottimale di λ si trova sostituendo i valori x 1 0 e x 2 0 nell'equazione 2x 1 + x 2 =2, da cui 2λ+λ/2=2 oppure λ 0 =4/5. Pertanto, il minimo condizionale viene raggiunto in x 1 0 =4/5 ex 2 0 =2/5 ed è uguale a min f(x) = 4/5.

Nel risolvere il problema di esempio, abbiamo considerato L(x;λ) come una funzione di due variabili x 1 e x 2 e, inoltre, abbiamo assunto che il valore del parametro λ fosse scelto in modo tale da soddisfare il vincolo. Se la soluzione del sistema

J=1,2,3,…,n

λ non può essere ottenuto sotto forma di funzioni esplicite, allora i valori di x e λ si trovano risolvendo il seguente sistema costituito da n+1 equazioni con n+1 incognite:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Per trovare tutte le possibili soluzioni a un dato sistema, puoi utilizzare metodi di ricerca numerica (ad esempio il metodo di Newton). Per ciascuna delle soluzioni (), dovremmo calcolare gli elementi della matrice Hessiana della funzione L, considerata in funzione di x, e scoprire se questa matrice è definita positiva (minimo locale) o definita negativa (massimo locale ).

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange può essere esteso al caso in cui il problema presenta diversi vincoli sotto forma di uguaglianze. Considera un problema generale che richiede

Minimizza f(x)

sotto restrizioni h k =0, k=1, 2, ..., K.

La funzione di Lagrange assume la seguente forma:

Qui λ 1 , λ 2 , ..., λk-Moltiplicatori di Lagrange, cioè parametri sconosciuti i cui valori devono essere determinati. Uguagliando a zero le derivate parziali di L rispetto a x, otteniamo il seguente sistema di n equazioni con n incognite:

Se risulta difficile trovare una soluzione al sistema di cui sopra sotto forma di funzioni del vettore λ, è possibile espandere il sistema includendo restrizioni sotto forma di uguaglianze

La soluzione del sistema esteso, costituito da n + K equazioni con n + K incognite, determina il punto stazionario della funzione L. Successivamente viene implementata una procedura per la verifica del minimo o del massimo, che viene effettuata sulla base del calcolo gli elementi della matrice Hessiana della funzione L, considerati in funzione di x, analogamente a quanto fatto nel caso di un problema con un vincolo. Per alcuni problemi, un sistema esteso di n+K equazioni con n+K incognite potrebbe non avere soluzioni, e il metodo del moltiplicatore di Lagrange risulta inapplicabile. Va notato, tuttavia, che tali compiti sono piuttosto rari nella pratica.

Consideriamo un caso speciale del problema generale della programmazione non lineare, assumendo che il sistema di vincoli contenga solo equazioni, non ci siano condizioni per la non negatività delle variabili ed e e siano funzioni continue insieme alle loro derivate parziali. Pertanto, risolvendo il sistema di equazioni (7), otteniamo tutti i punti in cui la funzione (6) può avere valori estremi.

Algoritmo per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

1. Comporre la funzione di Lagrange.

2. Trova le derivate parziali della funzione di Lagrange rispetto alle variabili x J ,λ i ed equiparale a zero.

3. Risolviamo il sistema di equazioni (7), troviamo i punti in cui la funzione obiettivo del problema può avere un estremo.

4. Tra i punti sospetti per un estremo, troviamo quelli in cui viene raggiunto l'estremo e calcoliamo i valori della funzione (6) in questi punti.

Esempio.

Dati iniziali: Secondo il piano di produzione, l'azienda deve produrre 180 prodotti. Questi prodotti possono essere fabbricati in due modi tecnologici. Quando si producono x 1 prodotti utilizzando il 1o metodo, i costi sono 4x 1 +x 1 2 rubli e quando si producono x 2 prodotti utilizzando il 2o metodo, sono 8x 2 +x 2 2 rubli. Determinare quanti prodotti dovrebbero essere realizzati utilizzando ciascun metodo in modo che il costo di produzione sia minimo.

La funzione obiettivo per il problema indicato ha la forma
® min nelle condizioni x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Comporre la funzione di Lagrange
.
2. Calcoliamo le derivate parziali rispetto a x 1, x 2, λ e le equiparamo a zero:

3. Risolvendo il sistema di equazioni risultante, troviamo x 1 =91,x 2 =89

4. Dopo aver effettuato una sostituzione nella funzione obiettivo x 2 =180-x 1, otteniamo una funzione di una variabile, vale a dire f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Calcoliamo o 4x 1 -364=0 ,

da cui si ha x 1 * =91, x 2 * =89.

Risposta: Il numero di prodotti fabbricati con il primo metodo è x 1 =91, con il secondo metodo x 2 =89, mentre il valore della funzione obiettivo è pari a 17.278 rubli.

Metodo del moltiplicatoreLagrangiano(nella letteratura inglese “metodo dei moltiplicatori indeterminati di LaGrange”) ˗ è un metodo numerico per la risoluzione di problemi di ottimizzazione che consente di determinare l'estremo “condizionato” della funzione obiettivo (valore minimo o massimo)

in presenza di restrizioni specificate sulle sue variabili sotto forma di uguaglianze (ovvero, viene definito l'intervallo di valori consentiti)

˗ questi sono i valori dell'argomento della funzione (parametri controllabili) nel dominio reale in cui il valore della funzione tende ad un estremo. L'uso del nome estremo “condizionale” è dovuto al fatto che alle variabili viene imposta una condizione aggiuntiva, che limita l'intervallo di valori consentiti durante la ricerca dell'estremo della funzione.

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange consente di trasformare il problema della ricerca di un estremo condizionale di una funzione obiettivo su un insieme di valori ammissibili nel problema dell'ottimizzazione incondizionata di una funzione.

Nel caso in cui le funzioni E sono continue insieme alle loro derivate parziali, allora esistono variabili λ che non sono contemporaneamente uguali a zero, sotto le quali è soddisfatta la seguente condizione:

Pertanto, secondo il metodo del moltiplicatore di Lagrange, per trovare l'estremo della funzione obiettivo sull'insieme dei valori ammissibili, compongo la funzione di Lagrange L(x, λ), che è ulteriormente ottimizzata:

dove λ ˗ è un vettore di variabili aggiuntive chiamate moltiplicatori di Lagrange indeterminati.

Pertanto, il problema di trovare l'estremo condizionale della funzione f(x) è stato ridotto al problema di trovare l'estremo incondizionato della funzione L(x, λ).

E

La condizione necessaria per l'estremo della funzione di Lagrange è data da un sistema di equazioni (il sistema è composto da “n + m” equazioni):

Risolvere questo sistema di equazioni ci consente di determinare gli argomenti della funzione (X) in cui il valore della funzione L(x, λ), così come il valore della funzione obiettivo f(x) corrispondono all'estremo.

L'entità dei moltiplicatori di Lagrange (λ) è di interesse pratico se i vincoli sono presentati nella forma con un termine libero nell'equazione (costante). In questo caso, possiamo considerare ulteriormente (aumentare/diminuire) il valore della funzione obiettivo modificando il valore della costante nel sistema di equazioni. Pertanto, il moltiplicatore di Lagrange caratterizza il tasso di variazione del massimo della funzione obiettivo quando cambia la costante limitante.

Esistono diversi modi per determinare la natura dell'estremo della funzione risultante:

Primo metodo: siano le coordinate del punto estremo e il valore corrispondente della funzione obiettivo. Viene preso un punto vicino al punto e viene calcolato il valore della funzione obiettivo:

Se , allora c'è un massimo in quel punto.

Se , allora c'è un minimo nel punto.

Secondo metodo: una condizione sufficiente da cui si può determinare la natura dell'estremo è il segno del secondo differenziale della funzione Lagrange. Il secondo differenziale della funzione Lagrange è definito come segue:

Se ad un certo punto minimo, Se , allora la funzione obiettivo f(x) ha un condizionale massimo.

Terzo metodo: inoltre, la natura dell'estremo della funzione può essere determinata considerando l'Assia della funzione Lagrange. La matrice Hessiana è una matrice quadrata simmetrica di derivate parziali seconde di una funzione nel punto in cui gli elementi della matrice sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Per determinare il tipo di estremo (massimo o minimo di una funzione), puoi utilizzare la regola di Sylvester:

1. Affinché il secondo differenziale della funzione Lagrange sia di segno positivo è necessario che i minori angolari della funzione siano positivi. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un minimo.

2. Affinché il secondo differenziale della funzione Lagrange abbia segno negativo , è necessario che i minori angolari della funzione si alternino, e il primo elemento della matrice deve essere negativov. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un massimo.

Per minore angolare si intende il minore situato nelle prime k righe e k colonne della matrice originaria.

Il principale significato pratico del metodo Lagrange è che consente di passare dall'ottimizzazione condizionale all'ottimizzazione incondizionata e, di conseguenza, espandere l'arsenale di metodi disponibili per risolvere il problema. Tuttavia, il problema di risolvere il sistema di equazioni a cui questo metodo si riduce non è, nel caso generale, più semplice del problema originale di trovare un estremo. Tali metodi sono chiamati indiretti. Il loro utilizzo è spiegato dalla necessità di ottenere una soluzione a un problema estremo in forma analitica (ad esempio per alcuni calcoli teorici). Quando si risolvono problemi pratici specifici, vengono solitamente utilizzati metodi diretti, basati su processi iterativi di calcolo e confronto dei valori delle funzioni da ottimizzare.

Metodo di calcolo

1 passo: Determiniamo la funzione di Lagrange dalla funzione obiettivo data e dal sistema di vincoli:

Inoltrare

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METODO LAGRANGE

Metodo per ridurre una forma quadratica a una somma di quadrati, indicato nel 1759 da J. Lagrange. Lascia che sia dato

dalle variabili x 0 , X 1 ,...,xn. con coefficienti dal campo K caratteristiche È necessario ricondurre questa forma a quella canonica. mente

utilizzando una trasformazione lineare non degenere delle variabili. L. m. è costituito da quanto segue. Possiamo assumere che non tutti i coefficienti della forma (1) siano uguali a zero. Pertanto sono possibili due casi.

1) Per alcuni G, diagonale Poi

dove la forma f 1 (x) non contiene una variabile xg. 2) Se tutto Ma Quello

dove la forma f 2 (x) non contiene due variabili x g E xh. Le forme sotto i segni quadrati in (4) sono linearmente indipendenti. Applicando trasformazioni della forma (3) e (4), la forma (1) dopo un numero finito di passaggi si riduce alla somma dei quadrati di forme lineari linearmente indipendenti. Utilizzando le derivate parziali, le formule (3) e (4) possono essere scritte nella forma

Illuminato.: G a n t m a k h e r F. R., Teoria delle matrici, 2a ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Corso di Algebra Superiore, 11a ed., M., 1975; Alexandrov P. S., Lezioni di geometria analitica..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciclopedia matematica. - M.: Enciclopedia sovietica. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Scopri cos'è il "METODO LAGRANGE" in altri dizionari:

Metodo di Lagrange- Il metodo Lagrange è un metodo per risolvere alcune classi di problemi di programmazione matematica trovando il punto di sella (x*, λ*) della funzione Lagrange, che si ottiene eguagliando a zero le derivate parziali di questa funzione rispetto a ... ... Dizionario economico e matematico

Metodo di Lagrange- Un metodo per risolvere una serie di classi di problemi di programmazione matematica trovando il punto di sella (x*, ?*) della funzione di Lagrange, che si ottiene uguagliando a zero le derivate parziali di questa funzione rispetto a xi e?i . Vedi Lagrangiana. )