Questa guida metodologica ti aiuterà a imparare come eseguire operazioni con matrici: addizione (sottrazione) di matrici, trasposizione di una matrice, moltiplicazione di matrici, ricerca della matrice inversa. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, vengono forniti esempi corrispondenti, quindi anche una persona impreparata può imparare a eseguire azioni con le matrici. Per l'autotest e l'autotest, puoi scaricare gratuitamente un calcolatore a matrice >>>.
Cercherò di ridurre al minimo i calcoli teorici, in alcuni punti sono possibili spiegazioni "sulle dita" e l'uso di termini non scientifici. Amanti di una teoria solida, per favore non criticate, il nostro compito è imparare a eseguire azioni con le matrici.
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Una matrice è una tabella rettangolare di qualsiasi elementi... Come elementi considereremo numeri, cioè matrici numeriche. ELEMENTOÈ un termine. Si consiglia di ricordare il termine, si incontrerà spesso, non a caso ho usato il grassetto per evidenziarlo.
Designazione: le matrici sono solitamente indicate con lettere latine maiuscole
Esempio: Consideriamo una matrice due per tre:
Questa matrice è composta da sei elementi:
Tutti i numeri (elementi) all'interno della matrice esistono da soli, cioè non si tratta di alcuna sottrazione: 
È solo una tabella (insieme) di numeri!
Saremo anche d'accordo non riorganizzare numeri, se non diversamente indicato nelle spiegazioni. Ogni numero ha la sua posizione e non può essere mischiato!
La matrice in questione ha due righe: 
e tre colonne: 
STANDARD: quando si parla della dimensione della matrice, allora primo indicare il numero di righe e solo allora - il numero di colonne. Abbiamo appena smontato una matrice due per tre.
Se il numero di righe e colonne della matrice è lo stesso, viene chiamata la matrice quadrato, Per esempio: 
- una matrice tre per tre.
Se la matrice ha una colonna o una riga, vengono chiamate anche tali matrici vettori.
Conosciamo infatti il concetto di matrice fin da scuola, consideriamo, ad esempio, un punto con coordinate "x" e "gioco":. In sostanza, le coordinate di un punto sono scritte in una matrice uno per due. A proposito, ecco un esempio per te perché l'ordine dei numeri è importante: e sono due punti completamente diversi del piano.
Ora andiamo direttamente allo studio azioni con matrici:
1) Prima azione. Rimozione del meno dalla matrice (aggiunta del meno alla matrice).
Torna alla nostra matrice 
... Come avrai notato, ci sono troppi numeri negativi in questa matrice. Questo è molto scomodo dal punto di vista dell'esecuzione di varie azioni con la matrice, è scomodo scrivere così tanti svantaggi e sembra semplicemente brutto nel design.
Sposta il meno fuori dalla matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:
A zero, come capisci, il segno non cambia, zero - è zero anche in Africa.
Esempio inverso: 
... Sembra brutto.
Aggiungiamo un meno alla matrice cambiando il segno di OGNI elemento della matrice:
Bene, è venuto molto più bello. E, soprattutto, sarà PI FACILE eseguire qualsiasi azione con la matrice. Perché c'è un presagio popolare così matematico: più svantaggi, più confusione ed errori.
2) Seconda azione. Moltiplicare una matrice per un numero.
Esempio:
È semplice, per moltiplicare una matrice per un numero, è necessario ogni l'elemento della matrice viene moltiplicato per il numero dato. In questo caso, i primi tre.
Un altro esempio utile:
- moltiplicazione matriciale per una frazione
Diamo un'occhiata a cosa fare prima. NON C'È BISOGNO:
NON È NECESSARIO inserire una frazione nella matrice, in primo luogo, complica solo ulteriori azioni con la matrice e, in secondo luogo, rende difficile per l'insegnante verificare la soluzione (soprattutto se 
- la risposta finale del compito).
E specialmente, NON C'È BISOGNO dividi ogni elemento della matrice per meno sette:
Dall'articolo Matematica per i manichini o da dove cominciare, ricordiamo che le frazioni decimali con la virgola in matematica superiore vengono tentate in tutti i modi per evitarle.
L'unica cosa che auspicabile fare in questo esempio è introdurre un meno nella matrice:
Ma se TUTTO gli elementi della matrice erano divisibili per 7 senza resto, allora sarebbe possibile (e necessario!) dividere.
Esempio:
In questo caso, puoi e BISOGNO DI moltiplicare tutti gli elementi della matrice per, poiché tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 2 senza resto.
Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste il concetto scolastico di "divisione". Invece della frase "dividi questo per questo" puoi sempre dire "moltiplica questo per una frazione". Cioè, la divisione è un caso speciale di moltiplicazione.
3) Terza azione. Trasposizione della matrice.
Per trasporre una matrice, è necessario scrivere le sue righe nelle colonne della matrice trasposta.
Esempio:
Matrice di trasposizione
C'è solo una riga qui e, secondo la regola, deve essere scritta in una colonna:
- matrice trasposta.
Una matrice trasposta è solitamente indicata da un apice o da un trattino in alto a destra.
Esempio passo passo:
Matrice di trasposizione 
Innanzitutto, riscriviamo la prima riga nella prima colonna:
Quindi riscriviamo la seconda riga nella seconda colonna: 
Infine, riscriviamo la terza riga nella terza colonna:
Pronto. In parole povere, trasporre significa mettere da parte la matrice.
4) Azione quattro. Somma (differenza) di matrici.
La somma delle matrici è un'operazione semplice.
NON TUTTI GLI STAMPI POSSONO PIEGARE. Per eseguire l'addizione (sottrazione) di matrici, è necessario che siano della stessa DIMENSIONE.
Ad esempio, se viene data una matrice due per due, allora può essere aggiunta solo con una matrice due per due e nessun'altra! 
Esempio:
Aggiungi matrici 
e 
Per aggiungere matrici, è necessario aggiungere i loro elementi corrispondenti:
Per la differenza di matrici, la regola è simile, è necessario trovare la differenza degli elementi corrispondenti.
Esempio:
Trova la differenza di matrici 
, 
E come risolvere questo esempio più facilmente per non confondersi? È consigliabile eliminare gli svantaggi inutili, per questo aggiungiamo un meno alla matrice:
Nota: nella teoria della matematica superiore non esiste un concetto scolastico di "sottrazione". Invece di dire "sottrarre questo da questo" puoi sempre dire "aggiungi un numero negativo a questo". Cioè, la sottrazione è un caso speciale di addizione.
5) Azione cinque. Moltiplicazione di matrici.
Quali matrici possono essere moltiplicate?
Per moltiplicare la matrice per la matrice, è necessario in modo che il numero di colonne della matrice sia uguale al numero di righe della matrice.
Esempio:
È possibile moltiplicare una matrice per una matrice?
Ciò significa che puoi moltiplicare queste matrici.
Ma se le matrici vengono riordinate, allora, in questo caso, la moltiplicazione è già impossibile!
Pertanto, la moltiplicazione non è possibile:
Non è così raro che si incontrino compiti con un trucco quando a uno studente viene chiesto di moltiplicare matrici, la cui moltiplicazione è ovviamente impossibile.
Va notato che in un certo numero di casi è possibile moltiplicare le matrici in entrambi i modi.
Ad esempio, per le matrici, e sono possibili sia la moltiplicazione che la moltiplicazione
Per moltiplicare la matrice A per un numero arbitrario α, sono necessari gli elementi della matrice UN moltiplicare per il numero α, cioè il prodotto di una matrice per un numero sarà il seguente:
Esempio 1. Trova matrice 3 UN per matrice
Soluzione. In accordo con la definizione, moltiplichiamo gli elementi della matrice UN per 3 e otteniamo
Era un esempio molto semplice di moltiplicazione di una matrice per un numero con numeri interi. Ci sono anche esempi semplici avanti, ma già tali dove tra i fattori e gli elementi di matrici ci sono frazioni, variabili (designazioni di lettere), perché le leggi della moltiplicazione non valgono solo per gli interi, quindi non è mai dannoso ripeterle.
Esempio 2. UN dal numero α se 
,
.
UN da α, senza dimenticare che quando si moltiplicano le frazioni, il numeratore della prima frazione viene moltiplicato per il numeratore della prima frazione e il prodotto viene scritto nel numeratore e il denominatore della prima frazione viene moltiplicato per il denominatore della seconda frazione e il prodotto viene scritto al denominatore. Quando si riceve il secondo elemento della prima riga della nuova matrice, la frazione risultante è stata ridotta di 2, questo deve essere fatto. Noi abbiamo
Esempio 3. Eseguire l'operazione di moltiplicazione della matrice UN dal numero α se
,
.
Soluzione. Moltiplicare gli elementi della matrice UN per α, senza confondersi nella notazione della lettera, senza dimenticare di lasciare un meno davanti al secondo elemento della seconda riga della nuova matrice, e ricordando che il risultato della moltiplicazione di un numero per il suo numero inverso è uno (il primo elemento della terza riga). Noi abbiamo
.
Esempio 4. Eseguire l'operazione di moltiplicazione della matrice UN dal numero α se 
,
.
Soluzione. Ricorda che quando moltiplichi un numero in una potenza per un numero in una potenza, gli esponenti vengono aggiunti. Noi abbiamo
.
Questo esempio, tra l'altro, dimostra chiaramente che le operazioni di moltiplicazione di una matrice per un numero possono essere lette (e scritte) in ordine inverso, e questo si chiama anteporre un fattore costante alla matrice.
Combinati con addizione e sottrazione di matrici l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero può formare varie espressioni matriciali, ad esempio 5 UN − 3B , 4UN + 2B .
Proprietà di moltiplicare una matrice per un numero
(qui A, B - matrici, - numeri, 1 - numero uno)
1. 
2. 
3. 
Le proprietà (1) e (2) collegano la moltiplicazione di una matrice per un numero con l'aggiunta di matrici. Esiste anche una connessione molto importante tra la moltiplicazione di una matrice per un numero e la moltiplicazione delle matrici stesse:
cioè, se nel prodotto di matrici uno dei fattori viene moltiplicato per un numero, allora l'intero prodotto verrà moltiplicato per un numero.
Questo argomento tratterà operazioni come addizione e sottrazione di matrici, moltiplicazione di una matrice per un numero, moltiplicazione di una matrice per una matrice, trasposizione di una matrice. Tutti i simboli utilizzati in questa pagina sono presi dall'argomento precedente.
Addizione e sottrazione di matrici.
La somma $ A + B $ delle matrici $ A_ (m \ volte n) = (a_ (ij)) $ e $ B_ (m \ volte n) = (b_ (ij)) $ è chiamata matrice $ C_ (m \ volte n) = (c_ (ij)) $, dove $ c_ (ij) = a_ (ij) + b_ (ij) $ per tutti $ i = \ overline (1, m) $ e $ j = \ overline ( 1, n) $.
Una definizione simile viene introdotta per la differenza di matrici:
La differenza $ AB $ delle matrici $ A_ (m \ volte n) = (a_ (ij)) $ e $ B_ (m \ volte n) = (b_ (ij)) $ è la matrice $ C_ (m \ volte n ) = ( c_ (ij)) $, dove $ c_ (ij) = a_ (ij) -b_ (ij) $ per tutti $ i = \ overline (1, m) $ e $ j = \ overline (1, n ) $.
Spiegazione della voce $ i = \ overline (1, m) $: mostra \ nascondi
La notazione "$ i = \ overline (1, m) $" significa che il parametro $ i $ varia da 1 a m. Ad esempio, il record $ i = \ overline (1,5) $ dice che il parametro $ i $ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.
Va notato che le operazioni di addizione e sottrazione sono definite solo per matrici della stessa dimensione. In generale, addizione e sottrazione di matrici sono operazioni intuitivamente chiare, perché significano, di fatto, solo l'addizione o la sottrazione degli elementi corrispondenti.
Esempio 1
Si danno tre matrici:
$$ A = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fine (matrice) \ destra) \; \; B = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fine (matrice) \ destra); \; \; F = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \ fine (matrice) \ destra). $$
Riesci a trovare la matrice $ A + F $? Trova le matrici $ C $ e $ D $ se $ C = A + B $ e $ D = A-B $.
La matrice $ A $ contiene 2 righe e 3 colonne (in altre parole, la dimensione della matrice $ A $ è $ 2 \ volte 3 $) e la matrice $ F $ contiene 2 righe e 2 colonne. Le dimensioni della matrice $ A $ e $ F $ non coincidono, quindi non possiamo aggiungerle, ad es. l'operazione $ A + F $ per date matrici non è definita.
Le dimensioni delle matrici $ A $ e $ B $ sono le stesse, ad es. i dati della matrice contengono un numero uguale di righe e colonne, quindi l'operazione di addizione è applicabile a loro.
$$ C = A + B = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fine (matrice) \ destra) + \ sinistra (\ inizio (matrice) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 + 10 & -2+ ( -25) & 1 + 98 \\ 5 + 3 & 9 + 0 & -8 + (- 14) \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 9 & -27 e 99 \\ 8 & 9 & -22 \ fine (matrice) \ destra) $$
Trova la matrice $ D = A-B $:
$$ D = AB = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \ fine (matrice) \ destra) - \ sinistra (\ inizio (matrice) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \ fine (matrice) \ destra) = \\ = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1-10 & -2 - (- 25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8 - (- 14) \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \ fine (matrice) \ destra) $$
Risposta: $ C = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \ fine (matrice) \ destra) $, $ D = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \ fine (matrice) \ destra) $.
Moltiplicazione di una matrice per un numero.
Il prodotto della matrice $ A_ (m \ volte n) = (a_ (ij)) $ per il numero $ \ alpha $ è la matrice $ B_ (m \ volte n) = (b_ (ij)) $, dove $ b_ (ij) = \ alpha \ cdot a_ (ij) $ per tutti $ i = \ overline (1, m) $ e $ j = \ overline (1, n) $.
In parole povere, moltiplicare una matrice per un certo numero significa moltiplicare ogni elemento di una data matrice per quel numero.
Esempio n. 2
La matrice è data: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) $. Trova le matrici $ 3 \ cdot A $, $ -5 \ cdot A $ e $ -A $.
$$ 3 \ cdot A = 3 \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin ( array) (ccc) 3 \ cdot (-1) & 3 \ cdot (-2) & 3 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 4 & 3 \ cdot 9 & 3 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ fine (matrice) \ destra). \\ -5 \ cdot A = -5 \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -5 \ cdot (-1) & - 5 \ cdot (-2) & -5 \ cdot 7 \\ -5 \ cdot 4 & -5 \ cdot 9 & -5 \ cdot 0 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ fine (array) \ destra). $$
La notazione $ -A $ è una scorciatoia per $ -1 \ cdot A $. Cioè, per trovare $ -A $, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $ A $ per (-1). In sostanza, ciò significa che il segno di tutti gli elementi della matrice $ A $ cambierà al contrario:
$$ -A = -1 \ cdot A = -1 \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ fine (matrice) \ destra) $$
Risposta: $ 3 \ cdot A = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12 & 27 & 0 \ fine (matrice) \ destra); \; -5 \ cdot A = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \ fine (matrice) \ destra); \; -A = \ sinistra (\ inizio (matrice) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \ fine (matrice) \ destra) $.
Prodotto di due matrici.
La definizione di questa operazione è macchinosa e, a prima vista, incomprensibile. Pertanto, prima indicherò una definizione generale, quindi analizzeremo in dettaglio cosa significa e come lavorarci.
La matrice $ C_ (m \ volte k) = (c_ ( ij)) $, per la quale ogni elemento di $ c_ (ij) $ è uguale alla somma dei prodotti dei corrispondenti elementi della i-esima riga della matrice $ A $ dagli elementi della j-esima colonna della matrice $ B $: $$ c_ (ij) = \ sum \limits_ (p = 1) ^ (n) a_ (ip) b_ (pj), \ ;\; i = \ sopra la riga (1, m), j = \ sopra la riga (1, n). $$
Diamo un'occhiata alla moltiplicazione della matrice passo dopo passo usando un esempio. Tuttavia, dovresti immediatamente prestare attenzione al fatto che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $ A $ per la matrice $ B $, dobbiamo prima assicurarci che il numero di colonne della matrice $ A $ sia uguale al numero di righe della matrice $ B $ (come le matrici sono spesso chiamate concordato). Ad esempio, la matrice $ A_ (5 \ volte 4) $ (la matrice contiene 5 righe e 4 colonne) non può essere moltiplicata per la matrice $ F_ (9 \ volte 8) $ (9 righe e 8 colonne), poiché il numero di colonne della matrice $ A $ non è uguale al numero di righe nella matrice $ F $, ad es. $ 4 \ neq 9 $. Ma puoi moltiplicare la matrice $ A_ (5 \ volte 4) $ per la matrice $ B_ (4 \ volte 9) $, poiché il numero di colonne nella matrice $ A $ è uguale al numero di righe nella matrice $ B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $ A_ (5 \ volte 4) $ e $ B_ (4 \ volte 9) $ sarà la matrice $ C_ (5 \ volte 9) $, contenente 5 righe e 9 colonne:
Esempio n. 3
Le matrici sono date: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \ right) $ e $ B = \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ a destra) $. Trova la matrice $ C = A \ cdot B $.
Innanzitutto, determiniamo immediatamente la dimensione della matrice $ C $. Poiché $ A $ è $ 3 \ volte 4 $ e $ B $ è $ 4 \ volte 2 $, la dimensione di $ C $ è $ 3 \ volte 2 $:
Quindi, come risultato del prodotto delle matrici $ A $ e $ B $, dovremmo ottenere la matrice $ C $, composta da tre righe e due colonne: $ C = \ left (\ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ (12) \\ c_ (21) & c_ (22) \\ c_ (31) & c_ (32) \ end (array) \ right) $. Se le designazioni degli elementi sollevano domande, è possibile esaminare l'argomento precedente: "Matrici. Tipi di matrici. Termini di base", all'inizio del quale viene spiegata la designazione degli elementi della matrice. Il nostro obiettivo è trovare i valori di tutti gli elementi della matrice $ C $.
Iniziamo con $ c_ (11) $. Per ottenere l'elemento $ c_ (11) $, devi trovare la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice $ A $ e della prima colonna della matrice $ B $:
Per trovare l'elemento $ c_ (11) $ stesso, è necessario moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $ A $ per i corrispondenti elementi della prima colonna della matrice $ B $, ad es. il primo elemento al primo, il secondo al secondo, il terzo al terzo, il quarto al quarto. Riassumiamo i risultati ottenuti:
$$ c_ (11) = - 1 \ cdot (-9) +2 \ cdot 6 + (- 3) \ cdot 7 + 0 \ cdot 12 = 0. $$
Continuiamo la soluzione e troviamo $ c_ (12) $. Per fare ciò, devi moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $ A $ e della seconda colonna della matrice $ B $:
Come il precedente, abbiamo:
$$ c_ (12) = - 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot 20 + (- 3) \ cdot 0 + 0 \ cdot (-4) = 37. $$
Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga di $ C $. Passa alla seconda riga, che inizia con $ c_ (21) $. Per trovarlo bisogna moltiplicare gli elementi della seconda riga della matrice $ A $ e della prima colonna della matrice $ B $:
$$ c_ (21) = 5 \ cdot (-9) +4 \ cdot 6 + (-2) \ cdot 7 + 1 \ cdot 12 = -23. $$
L'elemento successivo $ c_ (22) $ si trova moltiplicando gli elementi della seconda riga della matrice $ A $ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $ B $:
$$ c_ (22) = 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 20 + (- 2) \ cdot 0 + 1 \ cdot (-4) = 91. $$
Per trovare $ c_ (31) $, moltiplichiamo gli elementi della terza riga della matrice $ A $ per gli elementi della prima colonna della matrice $ B $:
$$ c_ (31) = - 8 \ cdot (-9) +11 \ cdot 6 + (- 10) \ cdot 7 + (-5) \ cdot 12 = 8. $$
E, infine, per trovare l'elemento $ c_ (32) $, dovrai moltiplicare gli elementi della terza riga della matrice $ A $ per i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice $ B $:
$$ c_ (32) = - 8 \ cdot 3 + 11 \ cdot 20 + (- 10) \ cdot 0 + (-5) \ cdot (-4) = 216. $$
Vengono trovati tutti gli elementi della matrice $ C $, resta solo da scrivere che $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ end (array ) \ destra) $ ... Oppure, per scrivere per esteso:
$$ C = A \ cdot B = \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \ end (array) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ fine (matrice) \ destra). $$
Risposta: $ C = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \ fine (matrice) \ destra) $.
A proposito, spesso non c'è motivo di descrivere in dettaglio il ritrovamento di ciascun elemento della matrice dei risultati. Per matrici la cui dimensione è piccola, puoi fare quanto segue:
$$ \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \ fine (matrice) \ destra) \ cdot \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \ fine (matrice) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 6 \ cdot (4) +3 \ cdot (-6) & 6 \ cdot (9) +3 \ cdot (90 ) \\ -17 \ cdot (4) + (- 2) \ cdot (-6) & -17 \ cdot (9) + (- 2) \ cdot (90) \ fine (array) \ destra) = \ sinistra (\ inizio (matrice) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \ fine (matrice) \ destra) $$
Vale anche la pena notare che la moltiplicazione matriciale non è commutativa. Ciò significa che in generale $ A \ cdot B \ neq B \ cdot A $. Solo per alcuni tipi di matrici che vengono chiamate permutazione(o pendolarismo), l'uguaglianza $ A \ cdot B = B \ cdot A $ è vera. Proprio in base alla non commutatività della moltiplicazione, occorre indicare esattamente come si moltiplica l'espressione per questa o quella matrice: a destra oa sinistra. Ad esempio, la frase "moltiplica entrambi i lati dell'uguaglianza $ 3E-F = Y $ per la matrice $ A $ a destra" significa che dobbiamo ottenere la seguente uguaglianza: $ (3E-F) \ cdot A = Y \ punto A $.
Trasposta rispetto alla matrice $ A_ (m \ volte n) = (a_ (ij)) $ si chiama la matrice $ A_ (n \ volte m) ^ (T) = (a_ (ij) ^ (T)) $ , per elementi che $ a_ (ij) ^ (T) = a_ (ji) $.
In poche parole, per ottenere la matrice trasposta $ A ^ T $, è necessario sostituire le colonne nella matrice originale $ A $ con le righe corrispondenti secondo il seguente principio: se la prima riga era, la prima colonna diventerà ; c'era una seconda riga: la seconda colonna diventerà; c'era una terza riga - ci sarà una terza colonna e così via. Ad esempio, troviamo la matrice trasposta nella matrice $ A_ (3 \ volte 5) $:
Di conseguenza, se la matrice originale era $ 3 \ volte 5 $, la matrice trasposta è $ 5 \ volte 3 $.
Alcune proprietà delle operazioni su matrici.
Si assume qui che $ \ alpha $, $ \ beta $ siano alcuni numeri e $ A $, $ B $, $ C $ siano matrici. Per le prime quattro proprietà ho indicato i nomi, le altre possono essere nominate per analogia con le prime quattro.
Moltiplicare una matrice per un numeroè un'operazione su una matrice, a seguito della quale ciascuno dei suoi elementi viene moltiplicato per un numero reale o complesso. Sembra così in linguaggio matematico:
$$ B = \ lambda \ cdot A \ Freccia destra b_ (ij) = \ lambda a_ (ij) $$
Vale la pena notare che la matrice risultante $ B $ dovrebbe avere la stessa dimensione della matrice iniziale $ A $. Puoi anche prestare attenzione al seguente fatto: $ \ lambda \ cdot A = A \ cdot \ lambda $, cioè puoi scambiare i moltiplicatori e questo non cambierà il prodotto.
Sarà utile utilizzare l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero quando si sposta il fattore comune fuori dalla matrice. In questo caso, ogni elemento della matrice è diviso per il numero $ \ lambda $ e viene posto prima della matrice.
Proprietà
- Legge distributiva delle matrici: $$ \ lambda \ cdot (A + B) = \ lambda A + \ lambda B $$ La moltiplicazione della somma delle matrici per un numero può essere sostituita dalla somma dei prodotti di ogni singola matrice per un dato numero
- Legge distributiva relativa ai numeri reali (complessi): $$ (\lambda + \ mu) \ cdot A = \ lambda A + \ mu A $$ La moltiplicazione di una matrice per la somma dei numeri può essere sostituita dalla somma dei prodotti di ogni numero dalla matrice
- Legge associativa: $$ \ lambda \ cdot (\ mu \ cdot A) = (\ lambda \ cdot \ mu) A $$ È conveniente da usare se è necessario rimuovere il fattore comune dalla matrice che lo precede, mentre moltiplicando il coefficiente già davanti
- Esiste un numero speciale $ \ lambda = 1 $, per cui la matrice rimane invariata $$ 1 \ cdot A = A \ cdot 1 = A $$
- Moltiplicare una matrice per zero porta al fatto che ogni elemento delle matrici viene azzerato e la matrice diventa zero della stessa dimensione che aveva in origine: $$ 0 \ cdot A = 0 $$
Esempi di soluzioni
| Esempio |
| Dato $ A = \ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \\ - 2 & -3 & 5 \ end (pmatrix) $ e real $ \ lambda = 2 $. Moltiplicare numero per matrice. |
| Soluzione |
|
Annotiamo l'operazione matematica di moltiplicazione e allo stesso tempo ricordiamo la regola che dice: la matrice viene moltiplicata per un numero elemento per elemento. $$ \ lambda \ cdot A = 2 \ cdot \ begin (pmatrix) 2 & -1 & 4 \\ 0 & 9 & 3 \\ - 2 & -3 & 5 \ end (pmatrix) = \ begin (pmatrix) 2 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-1) & 2 \ cdot 4 \\ 2 \ cdot 0 & 2 \ cdot 9 & 2 \ cdot 3 \\ 2 \ cdot (-2) & 2 \ cdot (-3) & 2 \ cdot 5 \ fine (pmatrix) = $$ $$ = \ inizio (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\ 0 & 18 & 6 \\ - 4 & -6 & 10 \ fine (pmatrix) $$ Di conseguenza, vediamo che ogni numero nella matrice è raddoppiato rispetto al valore iniziale. Se non riesci a risolvere il tuo problema, allora Inviare lei a noi. Forniremo una soluzione dettagliata. Sarai in grado di familiarizzare con il corso del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere crediti dal tuo insegnante in modo tempestivo! |
| Risposta |
| $$ \ lambda \ cdot A = \ begin (pmatrix) 4 & -2 & 8 \\ 0 & 18 & 6 \\ - 4 & -6 & 10 \ end (pmatrix) $$ |
