Iniziamo a studiare l'argomento " Integrale indefinito", e analizzeremo in dettaglio anche esempi di soluzioni degli integrali più semplici (e meno semplici). Come al solito, ci limiteremo al minimo di teoria, che si trova in numerosi libri di testo; il nostro compito è imparare a risolvere gli integrali.

Cosa devi sapere per padroneggiare con successo il materiale? Per affrontare il calcolo integrale è necessario essere in grado di trovare le derivate almeno a un livello intermedio. Non sarà uno spreco di esperienza se hai diverse dozzine, o meglio ancora, centinaia di derivati ​​trovati in modo indipendente al tuo attivo. Per lo meno, non dovresti lasciarti confondere dai compiti per differenziare le funzioni più semplici e comuni.

Sembrerebbe, cosa c'entrano le derivate se l'articolo riguarda gli integrali?! Ecco il punto. Il fatto è che trovare le derivate e trovare gli integrali indefiniti (differenziazione e integrazione) sono due azioni reciprocamente inverse, come addizione/sottrazione o moltiplicazione/divisione. Pertanto, senza abilità ed esperienza nella ricerca di derivati, sfortunatamente non è possibile andare avanti.

A questo proposito avremo bisogno del seguente materiale didattico: Tabella dei derivati E Tabella degli integrali.

Qual è la difficoltà nell'apprendimento degli integrali indefiniti? Se nelle derivate ci sono rigorosamente 5 regole di differenziazione, una tabella delle derivate e un algoritmo di azioni abbastanza chiaro, allora negli integrali tutto è diverso. Esistono dozzine di metodi e tecniche di integrazione. E, se inizialmente il metodo di integrazione viene scelto in modo errato (cioè non sai come risolverlo), allora puoi “pungere” letteralmente l'integrale per giorni, come un vero puzzle, cercando di individuare varie tecniche e trucchi. Ad alcune persone piace addirittura.

A proposito, molto spesso abbiamo sentito da studenti (non laureandi in materie umanistiche) un'opinione del tipo: “Non ho mai avuto alcun interesse a risolvere un limite o una derivata, ma gli integrali sono tutta un'altra cosa, è affascinante, c'è sempre un desiderio di “hackerare” un integrale complesso”. Fermare. Basta con l'umorismo nero, passiamo a questi integrali molto indefiniti.

Dato che ci sono molti modi per risolverlo, allora da dove dovrebbe iniziare a studiare gli integrali indefiniti? Nel calcolo integrale, a nostro avviso, ci sono tre pilastri o una sorta di “asse” attorno al quale ruota tutto il resto. Prima di tutto, dovresti avere una buona conoscenza degli integrali più semplici (questo articolo).

Quindi è necessario elaborare la lezione in dettaglio. QUESTA È LA TECNICA PIÙ IMPORTANTE! Forse anche l'articolo più importante di tutti gli articoli sugli integrali. E in terzo luogo, dovresti assolutamente leggere metodo dell'integrazione per parti, poiché integra un'ampia classe di funzioni. Se padroneggi almeno queste tre lezioni, non ne avrai più due. Potresti essere perdonato per non averlo saputo integrali di funzioni trigonometriche, integrali delle frazioni, integrali di funzioni razionali frazionarie, integrali di funzioni irrazionali (radici), ma se ti “metti nei guai” con il metodo di sostituzione o con il metodo di integrazione per parti, allora sarà molto, molto brutto.

Quindi, iniziamo in modo semplice. Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali. Come per le derivate, notiamo diverse regole di integrazione e una tabella degli integrali di alcune funzioni elementari. Qualsiasi integrale di tabella (e in effetti qualsiasi integrale indefinito) ha la forma:

Comprendiamo subito le notazioni e i termini:

– icona integrale.

– funzione integranda (scritta con la lettera “s”).

– icona differenziale. Vedremo di cosa si tratta molto presto. La cosa principale è che quando si scrive l'integrale e durante la soluzione è importante non perdere questa icona. Ci sarà un difetto evidente.

– espressione integranda o “riempimento” dell'integrale.

– antiderivativo funzione.

– . Non è necessario caricarsi di termini; la cosa più importante qui è che in ogni integrale indefinito viene aggiunta una costante alla risposta.

Risolvere un integrale indefinito significa trovaremolte funzioni primitive dal dato integrando

Consideriamo nuovamente la voce:

Diamo un'occhiata alla tabella degli integrali.

Cosa sta succedendo? Abbiamo le parti sinistre trasformarsi in ad altre funzioni: .

Semplifichiamo la nostra definizione:

Risolvere l'integrale indefinito - questo significa TRASFORMARLO in una funzione indefinita (fino a una costante). , utilizzando alcune regole, tecniche e una tabella.

Prendiamo ad esempio l'integrale della tabella . Quello che è successo? La notazione simbolica si è evoluta in molte funzioni primitive.

Come nel caso delle derivate, per imparare a trovare gli integrali non è necessario sapere cosa sia dal punto di vista teorico una funzione integrale o antiderivativa. È sufficiente effettuare semplicemente delle trasformazioni secondo alcune regole formali. Quindi, nel caso Non è affatto necessario capire perché l'integrale si trasforma in . Puoi dare per scontate questa e altre formule. Tutti usano l'elettricità, ma poche persone pensano a come gli elettroni viaggiano attraverso i fili.

Poiché la differenziazione e l'integrazione sono operazioni opposte, per qualsiasi antiderivativa trovata correttamente, vale quanto segue:

In altre parole, se differenziate la risposta corretta, dovete ottenere la funzione integranda originale.

Torniamo alla stessa tabella integrale .

Verifichiamo la validità di questa formula. Prendiamo la derivata del secondo membro:

è la funzione integranda originale.

A proposito, è diventato più chiaro il motivo per cui una costante è sempre assegnata a una funzione. Quando differenziata, la costante torna sempre a zero.

Risolvere l'integrale indefinito- significa trovare un mucchio di tutti antiderivativi e non solo una funzione. Nell'esempio di tabella in esame, , , , ecc. – tutte queste funzioni sono soluzioni dell'integrale. Le soluzioni sono infinite, quindi le scriviamo brevemente:

Pertanto, qualsiasi integrale indefinito è abbastanza facile da verificare. Questa è una sorta di compensazione per un gran numero di integrali di diverso tipo.

Passiamo a considerare esempi specifici. Cominciamo, come nello studio della derivata, con due regole di integrazione:

- costante C può (e dovrebbe) essere tolto dal segno integrale.

– l'integrale della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) di due integrali. Questa regola è valida per qualsiasi numero di termini.

Come puoi vedere, le regole sono sostanzialmente le stesse dei derivati. A volte vengono chiamati proprietà di linearità integrante.

Esempio 1

Trova l'integrale indefinito.

.

Eseguire il controllo.

Soluzione:È più conveniente convertirlo come.

(1) Applicare la regola . Ci dimentichiamo di annotare l'icona differenziale dx sotto ciascun integrale. Perché sotto ciascuno? dx– questo è un moltiplicatore a tutti gli effetti. Se lo descriviamo nel dettaglio, il primo passo dovrebbe essere scritto così:

.

(2) Secondo la regola spostiamo tutte le costanti oltre i segni degli integrali. Si prega di notare che nell'ultimo trimestre tg 5 è una costante, lo togliamo anche noi.

Inoltre, in questa fase prepariamo le radici e le forze per l’integrazione. Allo stesso modo della differenziazione, le radici devono essere rappresentate nella forma . Sposta verso l'alto le radici e le potenze che si trovano nel denominatore.

Nota: A differenza delle derivate, le radici negli integrali non dovrebbero sempre essere ridotte alla forma e sposta i gradi verso l'alto.

Per esempio, - questo è un integrale della tabella già pronto, che è già stato calcolato prima di te, e tutti i tipi di trucchi cinesi simili completamente inutile. Allo stesso modo: – anche questo è un integrale di tabella; non ha senso rappresentare la frazione nella forma . Studia attentamente la tabella!

(3) Tutti i nostri integrali sono tabulari. Eseguiamo la trasformazione utilizzando una tabella utilizzando le formule: , E

per una funzione di potenza - .

Va notato che l'integrale della tabella è un caso speciale della formula per una funzione di potenza: .

Costante C è sufficiente aggiungere una volta alla fine dell'espressione

(invece di metterli dopo ogni integrale).

(4) Scriviamo il risultato ottenuto in forma più compatta, quando tutte le potenze sono della forma

ancora una volta li rappresentiamo sotto forma di radici e reimpostiamo le potenze con esponente negativo nel denominatore.

Visita medica. Per poter effettuare la verifica è necessario differenziare la risposta ricevuta:

Ha ricevuto l'originale integrando, cioè l'integrale è stato trovato correttamente. Ciò da cui hanno ballato è ciò a cui sono tornati. È bello quando la storia con l'integrale finisce in questo modo.

Di tanto in tanto, c'è un approccio leggermente diverso per verificare un integrale indefinito, quando non la derivata, ma il differenziale viene preso dalla risposta:

.

Di conseguenza, non otteniamo una funzione integranda, ma un'espressione integranda.

Non abbiate paura del concetto di differenziale.

Il differenziale è la derivata moltiplicata per dx.

Tuttavia, ciò che è importante per noi non sono le sottigliezze teoriche, ma cosa fare dopo con questo differenziale. Il differenziale si presenta come segue: icona D lo rimuoviamo, mettiamo un numero primo a destra sopra la parentesi, aggiungiamo un fattore alla fine dell'espressione dx :

Ricevuto originale integrando, cioè l'integrale è stato trovato correttamente.

Come puoi vedere, il differenziale si riduce alla ricerca della derivata. Mi piace il secondo metodo per controllare di meno, poiché devo anche disegnare parentesi grandi e trascinare l'icona del differenziale dx fino alla fine del controllo. Anche se è più corretto, o “più rispettabile” o qualcosa del genere.

In effetti, sul secondo metodo di verifica si poteva tacere. Il punto non è nel metodo, ma nel fatto che abbiamo imparato ad aprire il differenziale. Ancora.

Il differenziale si rivela come segue:

1) icona D rimuovere;

2) a destra sopra la parentesi mettiamo un tratto (denotazione della derivata);

3) alla fine dell'espressione assegniamo un fattore dx .

Per esempio:

Ricorda questo. Avremo bisogno di questa tecnica molto presto.

Esempio 2

.

Quando troviamo un integrale indefinito, proviamo SEMPRE a verificare Inoltre, c'è una grande opportunità per questo. Non tutti i tipi di problemi di matematica superiore sono un dono da questo punto di vista. Non importa che spesso i controlli non sono richiesti nei compiti di prova; nessuno e niente ti impedisce di farlo su una bozza. Si può fare un'eccezione solo quando non c'è abbastanza tempo (ad esempio durante una prova o un esame). Personalmente controllo sempre gli integrali e considero la mancanza di controllo un lavoro da hacker e un compito mal completato.

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito:

. Eseguire il controllo.

Soluzione: Analizzando l'integrale, vediamo che sotto l'integrale abbiamo il prodotto di due funzioni, e anche l'elevamento a potenza di un'intera espressione. Purtroppo nel campo della battaglia integrale NO buono e confortevole formule per l'integrazione del prodotto e del quoziente COME: O .

Pertanto, quando è dato un prodotto o un quoziente, ha sempre senso vedere se è possibile trasformare l'integrando in una somma? L'esempio in esame è il caso in cui è possibile.

Per prima cosa presenteremo la soluzione completa, i commenti saranno di seguito.

Ha ricevuto l'originale integrando, il che significa che l'integrale è stato trovato correttamente.

Durante il test è sempre consigliabile “impacchettare” la funzione nella sua forma originale, in questo caso togliendola dalle parentesi e applicando la formula di moltiplicazione abbreviata in senso inverso: .

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito

Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito

. Eseguire il controllo.

In questo esempio, l'integrando è una frazione. Quando vediamo una frazione nell'integrando, il primo pensiero dovrebbe essere la domanda: "È possibile in qualche modo eliminare questa frazione, o almeno semplificarla?"

Notiamo che il denominatore contiene una singola radice di “X”. Uno in campo non è un guerriero, il che significa che possiamo dividere il numeratore per il denominatore termine per termine:

Non commentiamo le azioni con potenze frazionarie, poiché sono state discusse più volte negli articoli sulla derivata di una funzione.

Se sei ancora perplesso da un esempio come

e in nessun caso viene fuori la risposta corretta,

Si noti inoltre che alla soluzione manca un passaggio, vale a dire l’applicazione delle regole , . Di solito, con una certa esperienza nella risoluzione degli integrali, queste regole sono considerate un fatto ovvio e non vengono descritte in dettaglio.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito. Eseguire il controllo.

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La risposta e la soluzione completa si trovano alla fine della lezione.

Nel caso generale, con le frazioni negli integrali, non tutto è così semplice; materiale aggiuntivo sull'integrazione di frazioni di alcuni tipi può essere trovato nell'articolo: Integrazione di alcune frazioni. Ma, prima di passare all'articolo sopra, devi familiarizzare con la lezione: Metodo di sostituzione negli integrali indefiniti. Il punto è che sussumere una funzione in un metodo di sostituzione differenziale o variabile lo è punto chiave nello studio dell’argomento, poiché si trova non solo “nei compiti puri sul metodo di sostituzione”, ma anche in molti altri tipi di integrali.

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione:

Esempio 4: Soluzione:

In questo esempio abbiamo utilizzato la formula di moltiplicazione abbreviata

Esempio 6: Soluzione:

La parola "integrale" deriva dal latino integralis - integrale. Questo nome fu proposto nel XVII secolo. allievo del grande Leibniz (e anche un eccezionale matematico) I. Bernoulli. Cos'è un integrale in senso moderno? Di seguito cercheremo di dare una risposta esaustiva a questa domanda.

Contesto storico per l'emergere del concetto di integrale

All'inizio del XVII secolo. Eminenti scienziati stavano prendendo in considerazione un gran numero di problemi fisici (principalmente meccanici) in cui era necessario studiare la dipendenza di alcune quantità da altre. I problemi più ovvi e urgenti erano determinare la velocità istantanea del movimento irregolare di un corpo in qualsiasi momento nel tempo e il problema inverso di trovare la distanza percorsa dal corpo durante un certo periodo di tempo durante tale movimento. Oggi sappiamo già qual è l'integrale della velocità di movimento: questa è la distanza percorsa. Ma la comprensione di come calcolarlo, conoscendo la velocità in ogni momento, non è apparsa immediatamente.

Inizialmente, dalla considerazione di tali dipendenze delle quantità fisiche, ad esempio il percorso dalla velocità, si è formato il concetto matematico della funzione y = f(x). Lo studio delle proprietà di varie funzioni ha portato alla nascita dell'analisi matematica. Gli scienziati sono stati attivamente alla ricerca di modi per studiare le proprietà di varie funzioni.

Come è nato il calcolo degli integrali e delle derivate?

Dopo che Cartesio creò le basi della geometria analitica e emerse la capacità di rappresentare graficamente le dipendenze funzionali negli assi del sistema di coordinate cartesiane, i ricercatori dovettero affrontare due nuovi importanti problemi: come disegnare una tangente a una linea curva in qualsiasi punto e come trovare l'area di una figura delimitata superiormente da questa curva e da linee rette parallele agli assi delle coordinate. Inaspettatamente, si è scoperto che il primo equivale a trovare la velocità istantanea e il secondo equivale a trovare la distanza percorsa. Dopotutto, durante il movimento irregolare veniva rappresentato negli assi delle coordinate cartesiane “distanza” e “tempo” da una linea curva.

Il genio di Leibniz e Newton a metà del XVII secolo. sono stati creati metodi che hanno permesso di risolvere entrambi questi problemi. Si è scoperto che per tracciare una tangente a una curva in un punto, è necessario trovare il valore della cosiddetta derivata della funzione che descrive questa curva nel punto in esame, e questo valore risulta essere uguale alla velocità di cambiamento della funzione, cioè in relazione alla dipendenza “percorso dalla velocità” stessa velocità istantanea del corpo.

Per trovare l'area delimitata da una linea curva era necessario calcolare un certo integrale, che ne dava il valore esatto. Derivativo e integrale sono i concetti di base del calcolo differenziale e integrale, che sono la base della moderna analisi matematica, il ramo più importante della matematica superiore.

Area sotto una linea curva

Quindi, come determinarne il valore esatto? Proviamo a rivelare in dettaglio il processo di calcolo attraverso l'integrale, dalle basi.

Sia f una funzione continua sull'intervallo. Consideriamo la curva y = f(x), mostrata nella figura seguente. Come trovare l'area della regione delimitata dalla curva), l'asse x e le linee x = a e x = b? Cioè, l'area della figura ombreggiata nella figura.

Il caso più semplice è quando f è una funzione costante; cioè, la curva è una linea orizzontale f(X) = k, dove k è costante e k ≥ 0, come mostrato nella figura seguente.

In questo caso, l'area sotto la curva è semplicemente un rettangolo con altezza k e larghezza (b - a), quindi l'area è definita come: k · (b - a).

Le aree di alcune altre figure semplici, come il triangolo, il trapezio e il semicerchio, sono date da formule della planimetria.

L'area sotto qualsiasi curva continua y = f(x) è data da un integrale definito, che si scrive allo stesso modo di un integrale ordinario.

Somma di Riemann

Prima di immergerci nella risposta dettagliata alla domanda su cosa sia un integrale, evidenziamo alcune idee di base.

Innanzitutto, l'area sotto la curva viene divisa in un certo numero n di strisce verticali di larghezza Δx sufficientemente piccola. Successivamente, ciascuna striscia verticale viene sostituita da un rettangolo verticale con altezza f(x), larghezza Δx e area f(x)dx. Il passo successivo è formare la somma delle aree di tutti questi rettangoli, chiamata somma di Riemann (vedi immagini sotto).

Quando disegniamo i nostri rettangoli di larghezza Δx, possiamo prendere la loro altezza uguale al valore della funzione sul bordo sinistro di ciascuna striscia, cioè i punti più a sinistra dei loro lati corti superiori di larghezza Δx si troveranno sulla curva. Inoltre, nella sezione in cui la funzione cresce e la sua curva è convessa, tutti i rettangoli sono al di sotto di questa curva, cioè la loro somma sarà sicuramente inferiore all'esatta area sotto la curva in questa sezione (vedi figura sotto). Questo metodo di approssimazione è detto sinistrorso.

In linea di principio, si possono disegnare rettangoli approssimati in modo tale che i punti più a destra dei loro lati corti superiori di larghezza Δx giacciano sulla curva. Quindi saranno sopra la curva e l'approssimazione dell'area in questa sezione sarà maggiore del suo valore esatto, come mostrato nella figura seguente. Questo metodo è chiamato destrorso.

Ma possiamo anche prendere l'altezza di ciascuno dei rettangoli approssimati, che è semplicemente uguale a un valore della funzione in un punto arbitrario x* i all'interno della corrispondente striscia Δx i (vedi figura sotto). In questo caso, potremmo anche non considerare tutte le strisce della stessa larghezza.

Componiamo la somma di Riemann:

Transizione dalla somma di Riemann all'integrale definito

Nella matematica superiore è dimostrato un teorema che afferma che se, con un aumento illimitato del numero n di rettangoli approssimati, la loro larghezza massima tende a zero, allora la somma riemanniana A n tende ad un certo limite A. Il numero A è il lo stesso per qualsiasi metodo di formazione di rettangoli approssimati e per qualsiasi scelta di punti x* i .

Una spiegazione visiva del teorema è fornita nella figura seguente.

Mostra che più stretti sono i rettangoli, più vicina è l'area della figura a gradini all'area sotto la curva. Quando il numero di rettangoli è n→∞, la loro larghezza è Δx i →0, e il limite A della somma A n è numericamente uguale all'area richiesta. Questo limite è l'integrale definito della funzione f (x):

Il simbolo integrale, che è una lettera corsiva modificata S, è stato introdotto da Leibniz. J. B. Fourier ha suggerito di porre i limiti sopra e sotto la notazione integrale. I valori iniziale e finale di x sono chiaramente indicati.

Interpretazione geometrica e meccanica dell'integrale definito

Proviamo a dare una risposta dettagliata alla domanda su cosa è un integrale? Consideriamo l'integrale su un intervallo di una funzione positiva f(x) al suo interno, e assumiamo che il limite superiore sia maggiore di quello inferiore a

Se le ordinate della funzione f(x) sono negative all'interno, allora il valore assoluto dell'integrale è pari all'area compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico y=f(x), mentre l'integrale stesso è negativo.

Nel caso di intersezione singola o ripetuta del grafico y=f(x) con l'asse delle ascisse sul segmento , come mostrato nella figura seguente, per calcolare l'integrale è necessario determinare la differenza in cui si troverà il minuendo uguale all'area totale delle sezioni situate sopra l'asse delle ascisse, e il sottraendo sarà uguale all'area totale delle aree situate sotto di esso.

Quindi, per la funzione mostrata nella figura sopra, l'integrale definito da a a b sarà uguale a (S1 + S3) - (S2 + S4).

L'interpretazione meccanica dell'integrale definito è strettamente correlata a quella geometrica. Ritorniamo alla sezione “Somma di Riemann” e immaginiamo che il grafico mostrato nelle figure esprima la funzione di velocità v=f(t) per moto irregolare di un punto materiale (l'asse x è l'asse del tempo). Quindi l'area di qualsiasi rettangolo approssimativo con larghezza Δt, che abbiamo costruito durante la formazione della somma di Riemann, esprimerà approssimativamente il percorso del punto nel tempo Δt, vale a dire v(t*)Δt.

La somma totale delle aree dei rettangoli sul segmento da t 1 =a a t 2 =b esprimerà approssimativamente il percorso s nel tempo t 2 - t 1, e il suo limite, cioè l'integrale (definito) da a a b della funzione v = f(t ) per dt darà il valore esatto del percorso s.

Differenziale di un integrale definito

Se torniamo alla sua designazione, allora è del tutto possibile supporre che a = cost e b sia un valore specifico di una variabile indipendente x. Quindi l'integrale definito con un limite superiore x̃ da un numero specifico si trasforma in una funzione di x̃. Questo integrale è uguale all'area della figura sotto la curva, indicata dai punti aABb nella figura sottostante.

Con una linea stazionaria aA e una linea mobile Bb, quest'area diventa una funzione di f(x̃), e gli incrementi di Δx̃ sono ancora tracciati lungo l'asse x, e gli incrementi della funzione f(x̃) sono gli incrementi di l'area sotto la curva.

Supponiamo di aver dato alla variabile x̃ = b un piccolo incremento Δx̃. Quindi l'incremento nell'area della figura aABb è la somma dell'area del rettangolo (ombreggiato nella figura) Bb∙Δx̃ e dell'area della figura BDC sotto la curva. L'area del rettangolo è pari a Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, cioè è una funzione lineare dell'incremento della variabile indipendente. L’area della figura BDC è ovviamente minore dell’area del rettangolo BDCK = Δx̃∙Δy, e al tendere di Δx̃ →0 diminuisce ancora più velocemente. Ciò significa che f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ è il differenziale dell'area variabile aABb, cioè il differenziale di un integrale definito

Da ciò possiamo concludere che il calcolo degli integrali consiste nel trovare funzioni da date espressioni dei loro differenziali. Il calcolo integrale è precisamente un sistema di metodi per trovare tali funzioni utilizzando i loro differenziali noti.

Relazione fondamentale del calcolo integrale

Collega la relazione tra differenziazione e integrazione e mostra che esiste un'operazione inversa alla differenziazione di una funzione: la sua integrazione. Mostra anche che se qualsiasi funzione f(x) è continua, allora applicando ad essa questa operazione matematica si può trovare un intero insieme (insieme, insieme) di funzioni che sono antiderivative per essa (o altrimenti, trovarne l'integrale indefinito ).

Sia la funzione F(x) il risultato dell'integrazione della funzione f(x). La corrispondenza tra queste due funzioni risultante dall'integrazione della seconda di esse è denotata come segue:

Come si vede, con il simbolo dell'integrale non ci sono limiti di integrazione. Ciò significa che da definito si trasforma in integrale indefinito. La parola “indefinito” significa che il risultato dell'operazione di integrazione in questo caso non è una, ma molte funzioni. Dopotutto, oltre alla funzione F(x) stessa, le ultime espressioni sono soddisfatte anche da una qualsiasi funzione F(x)+C, dove C = const. Ciò implica che il termine costante nell'insieme delle antiderivative può essere specificato arbitrariamente.

È opportuno sottolineare che se l'integrale definito da una funzione è un numero, allora l'integrale indefinito è una funzione, o più precisamente un insieme di essi. Il termine “integrazione” viene utilizzato per definire l’operazione di ricerca di entrambi i tipi di integrali.

Regola fondamentale dell'integrazione

È l’esatto opposto della corrispondente regola di differenziazione. Come si prendono gli integrali indefiniti? Vedremo esempi di questa procedura utilizzando funzioni specifiche.

Diamo un'occhiata a una funzione di potenza generale:

Una volta fatto questo, considerando che ogni termine nell'espressione della funzione è integrabile (se ce n'è più di uno), aggiungiamo una costante alla fine. Ricordiamo che prendere la derivata di un valore costante lo distrugge, quindi prendere l'integrale di qualsiasi funzione ci darà il ripristino di questa costante. Lo chiamiamo C perché la costante è sconosciuta: potrebbe essere qualsiasi numero! Pertanto possiamo avere un numero infinito di espressioni per l'integrale indefinito.

Diamo un'occhiata agli integrali indefiniti semplici, i cui esempi sono mostrati di seguito.

Supponiamo di dover trovare l'integrale della funzione:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Cominciamo dal primo termine. Osserviamo l'esponente di 2 e lo aumentiamo di 1, quindi dividiamo il primo termine per l'esponente risultante di 3. Otteniamo: 4(x 3) / 3.

Quindi guardiamo il membro successivo e facciamo lo stesso. Poiché ha esponente 1, l'esponente risultante sarà 2. Quindi dividiamo questo termine per 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

L'ultimo termine ha un fattore x, ma semplicemente non lo vediamo. Possiamo pensare all'ultimo termine come (-3x 0). Ciò equivale a (-3)∙(1). Se utilizziamo la regola dell'integrazione, aggiungeremo 1 all'esponente per elevarlo alla prima potenza, quindi divideremo l'ultimo termine per 1. Otterremo 3x.

Questa regola di integrazione funziona per tutti i valori di n tranne n = - 1 (perché non possiamo dividere per 0).

Abbiamo esaminato l'esempio più semplice di ricerca di un integrale. In generale, risolvere gli integrali non è un compito facile e l'esperienza già accumulata in matematica è di grande aiuto.

Tabelle integrali

Nella sezione precedente abbiamo visto che da ciascuna formula di differenziazione si ottiene una corrispondente formula di integrazione. Pertanto, tutte le loro possibili opzioni sono state ottenute da tempo e compilate in tabelle appropriate. La tabella degli integrali seguente contiene formule per l'integrazione delle funzioni algebriche di base. È necessario conoscere queste formule a memoria, memorizzandole man mano che si consolidano con gli esercizi.

Un'altra tabella di integrali contiene funzioni trigonometriche di base:

Come calcolare un integrale definito

Si scopre che fare questo, saper integrare, cioè trovare integrali indefiniti, è molto semplice. E la formula dei fondatori del calcolo integro-differenziale, Newton e Leibniz, aiuta in questo

Secondo esso, il calcolo dell'integrale desiderato consiste nella prima fase nel trovare l'indefinito, quindi nel calcolare il valore dell'antiderivativa trovata F(x) sostituendo x, che è prima uguale al limite superiore, poi a quello inferiore, e, infine, determinare la differenza di questi valori. In questo caso non è necessario scrivere la costante C. Perché scompare quando viene eseguita la sottrazione.

Diamo un'occhiata ad alcuni integrali con soluzioni dettagliate.

Troviamo l'area dell'area sotto una sinusoide a semionda.

Calcoliamo l'area ombreggiata sotto l'iperbole.

Consideriamo ora gli integrali con una soluzione dettagliata , utilizzando la proprietà di additività nel primo esempio e la sostituzione di una variabile di integrazione intermedia nel secondo. Calcoliamo l'integrale definito della funzione razionale frazionaria:

y=(1+t)/t 3 da t=1 a t=2.

Ora mostreremo come semplificare l'elaborazione dell'integrale introducendo una variabile intermedia. Supponiamo di dover calcolare l'integrale di (x+1) 2 .

A proposito degli integrali impropri

Abbiamo parlato dell'integrale definito per un intervallo finito di una funzione f(x) continua su di esso. Ma una serie di problemi specifici portano alla necessità di espandere il concetto di integrale al caso in cui i limiti (uno o entrambi) siano uguali a infinito, o per una funzione discontinua. Ad esempio, quando si calcolano le aree sotto le curve che si avvicinano asintoticamente agli assi delle coordinate. Per estendere il concetto di integrale a questo caso, oltre al passaggio al limite nel calcolo della somma riemanniana dei rettangoli approssimati, viene effettuato un ulteriore passaggio. Con tale doppio passaggio al limite si ottiene un integrale improprio. Al contrario, tutti gli integrali discussi sopra sono detti propri.

Integrali complessi

Questo articolo conclude l'argomento degli integrali indefiniti e include integrali che trovo piuttosto complessi. La lezione è stata creata in seguito alle ripetute richieste dei visitatori che hanno espresso il desiderio che sul sito vengano analizzati esempi più difficili.

Si presuppone che il lettore di questo testo sia ben preparato e sappia applicare le tecniche di integrazione di base. I manichini e le persone che non hanno molta fiducia negli integrali dovrebbero fare riferimento alla primissima lezione: Integrale indefinito. Esempi di soluzioni, dove puoi padroneggiare l'argomento quasi da zero. Gli studenti più esperti possono acquisire familiarità con tecniche e metodi di integrazione che non hanno ancora incontrato nei miei articoli.

Quali integrali verranno presi in considerazione?

Per prima cosa considereremo gli integrali con radici, per la cui soluzione utilizzeremo successivamente sostituzione variabile E integrazione per parti. Cioè, in un esempio, due tecniche vengono combinate contemporaneamente. E anche di più.

Quindi faremo conoscenza con cose interessanti e originali Metodo per ridurre l'integrale a se stesso. Molti integrali vengono risolti in questo modo.

Il terzo numero del programma riguarderà gli integrali delle frazioni complesse, che sono volati in cassa negli articoli precedenti.

In quarto luogo, verranno analizzati ulteriori integrali di funzioni trigonometriche. In particolare, esistono metodi che evitano la sostituzione trigonometrica universale che richiede tempo.

(2) Nella funzione integranda, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine.

(3) Usiamo la proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Nell'ultimo integrale immediatamente poniamo la funzione sotto il segno differenziale.

(4) Prendiamo i restanti integrali. Nota che in un logaritmo puoi usare le parentesi anziché un modulo, poiché .

(5) Effettuiamo una sostituzione inversa, esprimendo “te” dalla sostituzione diretta:

Gli studenti masochisti possono differenziare la risposta e ottenere l'integrando originale, come ho appena fatto. No, no, ho fatto il controllo nel senso giusto =)

Come puoi vedere, durante la soluzione abbiamo dovuto utilizzare anche più di due metodi di soluzione, quindi per gestire tali integrali sono necessarie capacità di integrazione sicure e un po' di esperienza.

In pratica, ovviamente, la radice quadrata è più comune; ecco tre esempi per risolverla da soli:

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito

Esempio 3

Trova l'integrale indefinito

Esempio 4

Trova l'integrale indefinito

Questi esempi sono dello stesso tipo, quindi la soluzione completa alla fine dell'articolo riguarderà solo l'esempio 2; gli esempi 3-4 hanno le stesse risposte. Quale sostituzione utilizzare all'inizio delle decisioni, penso, sia ovvia. Perché ho scelto esempi dello stesso tipo? Spesso ritrovati nel loro ruolo. Più spesso, forse, solo qualcosa del genere .

Ma non sempre, quando sotto l'arcotangente, seno, coseno, esponenziale e altre funzioni c'è una radice di una funzione lineare, è necessario utilizzare più metodi contemporaneamente. In molti casi è possibile “se la cavare facilmente”, cioè subito dopo la sostituzione si ottiene un integrale semplice che può essere facilmente preso. Il più semplice dei compiti sopra proposti è l'Esempio 4, in cui, dopo la sostituzione, si ottiene un integrale relativamente semplice.

Riducendo l'integrale a se stesso

Un metodo spiritoso e bellissimo. Diamo un'occhiata ai classici del genere:

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito

Sotto la radice c'è un binomio quadratico e provare a integrare questo esempio può far venire il mal di testa alla teiera per ore. Un tale integrale viene preso in parti e ridotto a se stesso. In linea di principio, non è difficile. Se sai come.

Denotiamo l'integrale in esame con una lettera latina e iniziamo la soluzione:

Integriamo per parti:

(1) Preparare la funzione integrando per la divisione termine per termine.

(2) Dividiamo la funzione integranda termine per termine. Potrebbe non essere chiaro a tutti, ma lo descriverò più nel dettaglio:

(3) Usiamo la proprietà di linearità dell'integrale indefinito.

(4) Prendiamo l'ultimo integrale (logaritmo “lungo”).

Ora diamo un'occhiata all'inizio della soluzione:

E alla fine:

Quello che è successo? Come risultato delle nostre manipolazioni, l'integrale si è ridotto a se stesso!

Uguagliamo l'inizio e la fine:

Spostarsi a sinistra con cambio di segno:

E spostiamo i due sul lato destro. Di conseguenza:

La costante, a rigor di termini, avrebbe dovuto essere aggiunta prima, ma l'ho aggiunta alla fine. Consiglio vivamente di leggere qual è il rigore qui:

Nota: Più rigorosamente, la fase finale della soluzione si presenta così:

Così:

La costante può essere rinominata con . Perché può essere rinominato? Perché lo accetta ancora Qualunque valori, e in questo senso non c'è differenza tra costanti e.
Di conseguenza:

Un trucco simile con rinotazione costante è ampiamente utilizzato in equazioni differenziali. E lì sarò severo. E qui concedo tale libertà solo per non confondervi con cose inutili e per focalizzare l'attenzione proprio sul metodo di integrazione stesso.

Esempio 6

Trova l'integrale indefinito

Un altro tipico integrale per soluzione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione. Ci sarà una differenza con la risposta dell’esempio precedente!

Se sotto la radice quadrata c'è un trinomio quadrato, la soluzione si riduce comunque a due esempi analizzati.

Consideriamo ad esempio l'integrale . Tutto quello che devi fare è prima seleziona un quadrato completo:
.
Successivamente viene effettuata una sostituzione lineare, che avviene “senza alcuna conseguenza”:
, risultando nell'integrale . Qualcosa di familiare, vero?

Oppure questo esempio, con un binomio quadratico:
Seleziona un quadrato completo:
E, dopo la sostituzione lineare, otteniamo l'integrale, anch'esso risolto utilizzando l'algoritmo già discusso.

Diamo un'occhiata ad altri due esempi tipici di come ridurre un integrale a se stesso:
– integrale dell'esponenziale moltiplicato per il seno;
– integrale dell'esponenziale moltiplicato per il coseno.

Negli integrali elencati per parti dovrai integrare due volte:

Esempio 7

Trova l'integrale indefinito

L'integrando è l'esponenziale moltiplicato per il seno.

Integriamo per parti due volte e riduciamo l'integrale a se stesso:

In seguito alla doppia integrazione per parti, l'integrale si riduce a se stesso. Uguagliamo l'inizio e la fine della soluzione:

Lo spostiamo a sinistra con un cambio di segno ed esprimiamo il nostro integrale:

Pronto. Allo stesso tempo, è consigliabile pettinare il lato destro, cioè togli l'esponente dalle parentesi e metti il ​​seno e il coseno tra parentesi in un ordine "bello".

Ora torniamo all'inizio dell'esempio, o più precisamente, all'integrazione per parti:

Abbiamo designato l'esponente come. Sorge la domanda: è l'esponente che dovrebbe sempre essere indicato con ? Non necessario. Infatti, nell'integrale considerato fondamentalmente non importa, cosa intendiamo con , avremmo potuto andare diversamente:

Perché è possibile? Poiché l'esponenziale si trasforma in se stesso (sia durante la differenziazione che nell'integrazione), seno e coseno si trasformano reciprocamente l'uno nell'altro (di nuovo, sia durante la differenziazione che l'integrazione).

Cioè possiamo anche denotare una funzione trigonometrica. Ma, nell'esempio considerato, questo è meno razionale, poiché appariranno le frazioni. Se lo desideri, puoi provare a risolvere questo esempio utilizzando il secondo metodo; le risposte devono corrispondere.

Esempio 8

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Prima di decidere, pensa a cosa è più vantaggioso in questo caso designare come una funzione esponenziale o trigonometrica? Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E, naturalmente, non dimenticare che la maggior parte delle risposte di questa lezione sono abbastanza facili da verificare tramite differenziazione!

Gli esempi considerati non erano i più complessi. In pratica, gli integrali sono più comuni dove la costante è sia nell'esponente che nell'argomento della funzione trigonometrica, ad esempio: . Molte persone si confonderanno in un tale integrale, e spesso anch'io mi confondo. Il fatto è che c'è un'alta probabilità che appaiano frazioni nella soluzione ed è molto facile perdere qualcosa per disattenzione. Inoltre, c'è un'alta probabilità di errore nei segni; nota che l'esponente ha un segno meno, e questo introduce ulteriori difficoltà.

Nella fase finale, il risultato è spesso qualcosa del genere:

Anche alla fine della soluzione, dovresti essere estremamente attento e comprendere correttamente le frazioni:

Integrazione di frazioni complesse

Ci stiamo avvicinando lentamente all'equatore della lezione e iniziamo a considerare gli integrali delle frazioni. Ancora una volta, non tutti sono super complessi, è solo che per un motivo o per l’altro gli esempi erano un po’ “fuori tema” in altri articoli.

Continuando il tema delle radici

Esempio 9

Trova l'integrale indefinito

Nel denominatore sotto la radice c'è un trinomio quadratico più una "appendice" a forma di "X" all'esterno della radice. Un integrale di questo tipo può essere risolto utilizzando una sostituzione standard.

Noi decidiamo:

La sostituzione qui è semplice:

Diamo un'occhiata alla vita dopo la sostituzione:

(1) Dopo la sostituzione, riduciamo i termini sotto la radice a un denominatore comune.
(2) Lo tiriamo fuori da sotto la radice.
(3) Il numeratore e il denominatore vengono ridotti di . Allo stesso tempo, sotto la radice, ho riorganizzato i termini in un ordine conveniente. Con una certa esperienza, i passaggi (1), (2) possono essere saltati, eseguendo oralmente le azioni commentate.
(4) L'integrale risultante, come ricordi dalla lezione Integrazione di alcune frazioni, si sta decidendo metodo di estrazione quadrato completo. Seleziona un quadrato completo.
(5) Per integrazione si ottiene un logaritmo ordinario “lungo”.
(6) Effettuiamo la sostituzione inversa. Se inizialmente , poi indietro: .
(7) L'azione finale mira a raddrizzare il risultato: sotto la radice riportiamo nuovamente i termini a un denominatore comune e li eliminiamo da sotto la radice.

Esempio 10

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Qui viene aggiunta una costante all’unica “X” e la sostituzione è quasi la stessa:

L'unica cosa che devi fare in aggiunta è esprimere la "x" della sostituzione in corso:

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

A volte in un tale integrale può esserci un binomio quadratico sotto la radice, questo non cambia il metodo di soluzione, sarà ancora più semplice. Senti la differenza:

Esempio 11

Trova l'integrale indefinito

Esempio 12

Trova l'integrale indefinito

Brevi soluzioni e risposte alla fine della lezione. Va notato che l'Esempio 11 è esattamente integrale binomiale, il cui metodo di soluzione è stato discusso in classe Integrali di funzioni irrazionali.

Integrale di un polinomio indecomponibile di 2° grado elevato alla potenza

(polinomio al denominatore)

Un tipo di integrale più raro, ma comunque riscontrato in esempi pratici.

Esempio 13

Trova l'integrale indefinito

Ma torniamo all’esempio con il numero fortunato 13 (sinceramente non ho indovinato). Questo integrale è anche uno di quelli che possono essere piuttosto frustranti se non sai come risolverli.

La soluzione inizia con una trasformazione artificiale:

Penso che tutti capiscano già come dividere il numeratore per il denominatore termine per termine.

L'integrale risultante è preso in parti:

Per un integrale della forma ( – numero naturale) si ricava ricorrente formula di riduzione:
, Dove – integrale di grado inferiore.

Verifichiamo la validità di questa formula per l'integrale risolto.
In questo caso: , , usiamo la formula:

Come puoi vedere, le risposte sono le stesse.

Esempio 14

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. La soluzione campione utilizza la formula precedente due volte consecutive.

Se sotto la laurea è indivisibile trinomio quadrato, allora la soluzione si riduce a un binomio isolando il quadrato perfetto, ad esempio:

Cosa succede se al numeratore c'è un polinomio aggiuntivo? In questo caso, viene utilizzato il metodo dei coefficienti indefiniti e la funzione integranda viene espansa in una somma di frazioni. Ma nella mia pratica c'è un esempio del genere mai incontrato, quindi mi sono perso questo caso nell'articolo Integrali di funzioni frazionarie-razionali, adesso lo salterò. Se incontri ancora un tale integrale, guarda il libro di testo: lì tutto è semplice. Non credo sia consigliabile includere materiale (anche semplice), la probabilità di incontro tende a zero.

Integrazione di funzioni trigonometriche complesse

L'aggettivo “complesso” per la maggior parte degli esempi è ancora in gran parte condizionale. Cominciamo con tangenti e cotangenti a potenze elevate. Dal punto di vista dei metodi risolutivi utilizzati, tangente e cotangente sono quasi la stessa cosa, quindi parlerò più di tangente, lasciando intendere che il metodo dimostrato per la risoluzione dell'integrale è valido anche per la cotangente.

Nella lezione precedente abbiamo visto sostituzione trigonometrica universale per risolvere un certo tipo di integrali di funzioni trigonometriche. Lo svantaggio della sostituzione trigonometrica universale è che il suo utilizzo spesso dà come risultato integrali scomodi con calcoli difficili. E in alcuni casi, la sostituzione trigonometrica universale può essere evitata!

Consideriamo un altro esempio canonico, l'integrale dell'uno diviso per seno:

Esempio 17

Trova l'integrale indefinito

Qui puoi utilizzare la sostituzione trigonometrica universale e ottenere la risposta, ma esiste un modo più razionale. Fornirò la soluzione completa con commenti per ogni passaggio:

(1) Usiamo la formula trigonometrica per il seno di un doppio angolo.
(2) Effettuiamo una trasformazione artificiale: dividiamo per il denominatore e moltiplichiamo per .
(3) Utilizzando la nota formula al denominatore, trasformiamo la frazione in una tangente.
(4) Portiamo la funzione sotto il segno differenziale.
(5) Prendiamo l'integrale.

Un paio di semplici esempi da risolvere da solo:

Esempio 18

Trova l'integrale indefinito

Nota: il primo passo dovrebbe essere quello di utilizzare la formula di riduzione ed eseguire con attenzione azioni simili all'esempio precedente.

Esempio 19

Trova l'integrale indefinito

Bene, questo è un esempio molto semplice.

Soluzioni complete e risposte alla fine della lezione.

Penso che ora nessuno avrà problemi con gli integrali:
e così via.

Qual è l'idea del metodo? L'idea è di utilizzare trasformazioni e formule trigonometriche per organizzare solo le tangenti e la derivata tangente nell'integrando. Stiamo cioè parlando di sostituire: . Negli esempi 17-19 abbiamo effettivamente utilizzato questa sostituzione, ma gli integrali erano così semplici che siamo riusciti a farlo con un'azione equivalente, sussumendo la funzione sotto il segno differenziale.

Un ragionamento simile, come ho già accennato, si può fare per la cotangente.

Sussiste inoltre un presupposto formale per l'applicazione della sostituzione di cui sopra:

La somma delle potenze di coseno e seno è un numero PARI intero negativo, Per esempio:

per l'integrale – un numero PARI intero negativo.

! Nota : se l'integrando contiene SOLO un seno o SOLO un coseno, allora l'integrale viene preso anche per un grado dispari negativo (i casi più semplici sono negli Esempi n. 17, 18).

Diamo un'occhiata ad un paio di attività più significative basate su questa regola:

Esempio 20

Trova l'integrale indefinito

La somma delle potenze di seno e coseno: 2 – 6 = –4 è un numero intero negativo PARI, il che significa che l'integrale può essere ridotto alle tangenti e alla sua derivata:

(1) Trasformiamo il denominatore.
(2) Usando la nota formula, otteniamo .
(3) Trasformiamo il denominatore.
(4) Usiamo la formula .
(5) Portiamo la funzione sotto il segno differenziale.
(6) Effettuiamo la sostituzione. Gli studenti più esperti potrebbero non eseguire la sostituzione, ma è comunque meglio sostituire la tangente con una lettera: c'è meno rischio di confondersi.

Esempio 21

Trova l'integrale indefinito

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Tenete duro, i gironi di campionato stanno per iniziare =)

Spesso l’integrando contiene un “miscuglio”:

Esempio 22

Trova l'integrale indefinito

Questo integrale contiene inizialmente una tangente, che porta immediatamente a un pensiero già familiare:

Lascerò la trasformazione artificiale all'inizio e i passaggi rimanenti senza commenti, poiché tutto è già stato discusso sopra.

Un paio di esempi creativi per la tua soluzione:

Esempio 23

Trova l'integrale indefinito

Esempio 24

Trova l'integrale indefinito

Sì, in essi, ovviamente, puoi abbassare le potenze di seno e coseno e utilizzare una sostituzione trigonometrica universale, ma la soluzione sarà molto più efficiente e più breve se eseguita attraverso le tangenti. Soluzione completa e risposte alla fine della lezione

Riduzione in forma tabellare O metodo di integrazione diretta. Utilizzando identiche trasformazioni dell'integrando, l'integrale si riduce ad un integrale al quale si applicano le regole fondamentali dell'integrazione ed è possibile utilizzare una tabella degli integrali fondamentali.

Esempio

Esercizio. Trovare l'integrale $\int 2^(3 x-1) d x$

Soluzione. Usiamo le proprietà dell'integrale e riduciamo questo integrale alla forma tabellare.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ destra)^(x) d x=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

Risposta.$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

collegamento →

2. Entrare sotto il segno differenziale

3. Integrazione per cambio di variabile

Integrazione mediante cambio di variabile o metodo di sostituzione. Sia $x=\phi(t)$, dove la funzione $\phi(t)$ ha una derivata continua $\phi^(\prime)(t)$, ed esiste una corrispondenza biunivoca tra le variabili $x$ e $t$ . Allora l'uguaglianza è vera

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

L'integrale definito dipende dalla variabile di integrazione, quindi se viene apportata una modifica alle variabili, è necessario tornare alla variabile di integrazione originale.

Esempio

Esercizio. Trovare l'integrale $\int \frac(d x)(3-5 x)$

Soluzione. Sostituiamo il denominatore con la variabile $t$ e riduciamo l'integrale originale a uno tabulare.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Risposta.$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Maggiori informazioni su questo metodo di risoluzione degli integrali al collegamento →

4. Integrazione per parti

L'integrazione per parti è chiamata integrazione secondo la formula

$\int u d v=u v-\int v d u$

Quando trovi una funzione $v$ dal suo differenziale $d v$, puoi prendere qualsiasi valore della costante di integrazione $C$, poiché non è incluso nel risultato finale. Pertanto, per comodità, prenderemo $C=0$ .

L'utilizzo della formula di integrazione per parti è consigliabile nei casi in cui la differenziazione semplifica uno dei fattori, mentre l'integrazione non complica l'altro.

Esempio

Esercizio. Trovare l'integrale $\int x \cos x d x$

Soluzione. Nell'integrale originale isoliamo le funzioni $u$ e $v$, quindi eseguiamo l'integrazione per parti.

$=x \sen x+\cos x+C$

Risposta.$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Una primitiva F(x) di una funzione f(x) è una funzione la cui derivata è uguale a f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Dove Δ - l'intervallo nel quale questa equazione è soddisfatta.

L’insieme di tutte le derivate è detto integrale indefinito:
,
dove C è una costante indipendente dalla variabile x.

Formule fondamentali e metodi di integrazione

Tabella degli integrali

L'obiettivo finale del calcolo degli integrali indefiniti è, attraverso trasformazioni, ridurre un dato integrale a un'espressione contenente gli integrali più semplici o tabulari.
Vedi Tabella degli integrali >>>

Regola per l'integrazione delle somme (differenze)

Spostamento della costante fuori dal segno di integrale

Sia c una costante indipendente da x. Quindi può essere tolto dal segno integrale:

Sostituzione variabile

Sia x una funzione della variabile t, quindi x = φ(t).
.
O viceversa, t = φ(x) ,
.

Utilizzando un cambio di variabile, non solo puoi calcolare integrali semplici, ma anche semplificare il calcolo di quelli più complessi.

Integrazione per parti

Integrazione di frazioni (funzioni razionali)

Introduciamo la notazione. Siano P k (x), Q m (x), R n (x) polinomi di grado k, m, n, rispettivamente, rispetto alla variabile x.

Consideriamo un integrale costituito da una frazione di polinomi (la cosiddetta funzione razionale):

Se k ≥ n, devi prima selezionare l'intera parte della frazione:
.
L'integrale del polinomio S k-n (x) si calcola utilizzando la tabella degli integrali.

L'integrale rimane:
, dove m< n .
Per calcolarlo, l'integrando deve essere scomposto in frazioni semplici.

Per fare ciò è necessario trovare le radici dell'equazione:
Qn(x) = 0 .
Utilizzando le radici ottenute, è necessario rappresentare il denominatore come prodotto di fattori:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Qui s è il coefficiente per x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Successivamente, scomponiamo la frazione nella sua forma più semplice:

Integrando, otteniamo un'espressione composta da integrali più semplici.
Integrali della forma

sono ridotti alla sostituzione tabulare t = x - a.

Consideriamo l'integrale:

Trasformiamo il numeratore:
.
Sostituendo nell'integrando, otteniamo un'espressione che include due integrali:
,
.
Il primo, per sostituzione t = x 2 + ex + f, si riduce a tabulare.
In secondo luogo, secondo la formula di riduzione:

si riduce all'integrale

Riduciamo il suo denominatore alla somma dei quadrati:
.
Quindi per sostituzione, l'integrale

è anche tabellato.

Integrazione di funzioni irrazionali

Introduciamo la notazione. Sia R(u 1, u 2, ..., u n) una funzione razionale delle variabili u 1, u 2, ..., u n. Questo è
,
dove P, Q sono polinomi nelle variabili u 1, u 2, ..., u n.

Irrazionalità lineare frazionaria

Consideriamo gli integrali della forma:
,
dove sono i numeri razionali, m 1, n 1, ..., m s, n s sono numeri interi.
Sia n il comune denominatore dei numeri r 1, ..., r s.
Quindi l'integrale si riduce all'integrale delle funzioni razionali per sostituzione:
.

Integrali da binomi differenziali

Consideriamo l'integrale:
,
dove m, n, p sono numeri razionali, a, b sono numeri reali.
Tali integrali si riducono a integrali di funzioni razionali in tre casi.

1) Se p è un numero intero. Sostituzione x = t N, dove N è il denominatore comune delle frazioni m e n.
2) Se - un numero intero. Sostituzione a x n + b = t M, dove M è il denominatore del numero p.
3) Se - un numero intero. Sostituzione a + b x - n = t M, dove M è il denominatore del numero p.

Se nessuno dei tre numeri è intero, allora, secondo il teorema di Chebyshev, integrali di questo tipo non possono essere espressi da una combinazione finita di funzioni elementari.

In alcuni casi è prima utile ridurre l’integrale ai valori più convenienti m e p. Questo può essere fatto utilizzando le formule di riduzione:
;
.

Integrali contenenti la radice quadrata di un trinomio quadrato

Consideriamo qui gli integrali della forma:
,

Sostituzioni di Eulero

Tali integrali possono essere ridotti a integrali di funzioni razionali di una delle tre sostituzioni di Eulero:
, per a > 0;
, per c > 0 ;
, dove x 1 è la radice dell'equazione a x 2 + b x + c = 0. Se questa equazione ha radici reali.

Sostituzioni trigonometriche e iperboliche

Metodi diretti

Nella maggior parte dei casi, le sostituzioni di Eulero comportano calcoli più lunghi rispetto ai metodi diretti. Utilizzando i metodi diretti, l'integrale viene ridotto ad una delle forme elencate di seguito.

Tipo I

Integrale della forma:
,
dove P n (x) è un polinomio di grado n.

Tali integrali si trovano con il metodo dei coefficienti indefiniti utilizzando l'identità:

Differenziando questa equazione e uguagliando i lati sinistro e destro, troviamo i coefficienti A i.

Tipo II

Integrale della forma:
,
dove P m (x) è un polinomio di grado m.

Sostituzione t = (x-α) -1 questo integrale si riduce al tipo precedente. Se m ≥ n, la frazione dovrebbe avere una parte intera.

III tipo

Il terzo e più complesso tipo:
.

Qui è necessario effettuare una sostituzione:
.
Dopodiché l'integrale assumerà la forma:
.
Successivamente, le costanti α, β devono essere scelte in modo tale che i coefficienti per t diventino zero:
B = 0, B1 = 0.
Quindi l'integrale si decompone nella somma di integrali di due tipi:
;
,
che sono integrati, rispettivamente, da sostituzioni:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = UN 1 + C 1 t -2 .

Caso generale

Integrazione di funzioni trascendenti (trigonometriche ed esponenziali).

Notiamo in anticipo che i metodi applicabili alle funzioni trigonometriche sono applicabili anche alle funzioni iperboliche. Per questo motivo non considereremo separatamente l'integrazione delle funzioni iperboliche.

Integrazione delle funzioni trigonometriche razionali di cos x e sin x

Consideriamo gli integrali delle funzioni trigonometriche della forma:
,
dove R è una funzione razionale. Ciò può includere anche tangenti e cotangenti, che dovrebbero essere convertiti utilizzando seno e coseno.

Quando si integrano tali funzioni è utile tenere presenti tre regole:
1) se R( cos x, peccato x) moltiplicato per -1 dal cambio di segno prima di una delle quantità cos x O peccato x, allora è utile denotare gli altri con t.
2) se R( cos x, peccato x) non cambia a causa di un cambio di segno nello stesso momento prima cos x E peccato x, allora è utile mettere tg x = t O lettino x = t.
3) la sostituzione in tutti i casi porta all'integrale della frazione razionale. Sfortunatamente, questa sostituzione comporta calcoli più lunghi rispetto ai precedenti, se applicabili.

Prodotto delle funzioni di potenza di cos x e sin x

Consideriamo gli integrali della forma:

Se m e n sono numeri razionali, allora una delle sostituzioni t = peccato x oppure t = cos x l'integrale si riduce all'integrale del binomio differenziale.

Se m e n sono numeri interi, gli integrali vengono calcolati mediante integrazione per parti. Ciò produce le seguenti formule di riduzione:

;
;
;
.

Integrazione per parti

Applicazione della formula di Eulero

Se l'integrando è lineare rispetto ad una delle funzioni
così ascia O sinace, allora conviene applicare la formula di Eulero:
eiax = cos ax + isin ax(dove i2 = - 1 ),
sostituendo questa funzione con e iax ed evidenziando quello reale (quando si sostituisce così ascia) o parte immaginaria (durante la sostituzione sinace) dal risultato ottenuto.

Riferimenti:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.