(BI Yutusson)

Il filtraggio mediano è una tecnica di elaborazione del segnale non lineare che può essere utile per sopprimere il rumore. È stato proposto come strumento per l'analisi delle serie temporali di Tukey, nel 1971 e successivamente è stato utilizzato anche nell'elaborazione delle immagini. Il filtraggio mediano viene eseguito spostando una determinata apertura lungo l'immagine campionata (sequenza) e sostituendo il valore dell'elemento immagine al centro dell'apertura con la mediana dei valori campione originali all'interno dell'apertura. Questo di solito si traduce in un'immagine risultante più uniforme rispetto all'originale (sequenza di campioni).

La classica procedura di livellamento consiste nell'utilizzare un filtro passa basso lineare ed è in molti casi la procedura più appropriata. Tuttavia, in determinate situazioni, è preferibile il filtraggio mediano. Presenta i seguenti vantaggi principali: 1) il filtraggio mediano mantiene le gocce nette, mentre il filtraggio passa basso lineare lubrifica tali gocce; 2) I filtri mediani sono molto efficaci nel livellare il rumore impulsivo. Queste proprietà sono illustrate in Fig. 5.1.

Lo scopo principale di questo capitolo è presentare vari risultati teorici riguardanti il ​​filtraggio mediano. L'autore spera che questi risultati aiutino a formulare un giudizio corretto sull'applicabilità pratica dei filtri mediani.

Riso. 5.1. Sequenze bordo più rumore (a) dopo il filtraggio mediano (b), dopo il filtraggio utilizzando una media mobile

Le definizioni di base riguardanti i filtri mediani sono fornite nella Sez. 5.1. Nella sez. 5.2 studia la capacità dei filtri mediani di sopprimere il rumore e fornisce anche formule che quantificano il grado di soppressione del rumore. Sono considerati rumori bianchi, non bianchi, impulsivi e puntiformi. Nella sez. 5.3 confronta la qualità del filtraggio calcolando una media mobile e filtri mediani su immagini di tipo "edge plus noise". L'effetto dei filtri mediani sulle statistiche del secondo ordine del rumore casuale è discusso nella Sez. 5.4. Vengono forniti risultati accurati per un segnale di ingresso di rumore bianco; risultati approssimativi sono ottenuti per rumore non bianco utilizzando teoremi limite. La risposta in frequenza viene considerata valutando la risposta del filtro a un semplice coseno ea segnali più generali. Nella sez. 5.5 presenta alcune modifiche dei filtri mediani, che hanno anche la proprietà di preservare le pendenze, ma differiscono dai semplici filtri mediani per altre proprietà. Alcune applicazioni delle mediane e di altre statistiche ordinali sono discusse nella Sez. 5.6.

Infine, viene fornita una piccola panoramica del lavoro precedente sulle mediane e sul filtraggio mediano.

Le mediane sono state a lungo utilizzate e studiate in statistica come alternativa ai valori medi aritmetici dei campioni nella valutazione delle medie campionarie delle popolazioni. La maggior parte degli studi riguardava le mediane e altre statistiche ordinali di sequenze di variabili casuali indipendenti (vedi note monografie). Tuttavia, in letteratura sono state studiate anche le mediane delle variabili casuali dipendenti (vedi per ulteriori riferimenti).

Come accennato in precedenza, la stima della media mobile è stata proposta da Tukey, che l'ha applicata per smussare le serie temporali trovate nella ricerca economica. Tukey ha anche preso in considerazione il filtraggio mediano iterativo e ha sottolineato che mantiene grandi cambiamenti improvvisi nel loro livello (cioè oscillazioni) nelle serie temporali. e applicato una mediana scorrevole nell'elaborazione del parlato per eliminare i toni alti dalle interferenze. È stato sviluppato un metodo di elaborazione del segnale per il miglioramento dei bordi, in cui il filtro mediano è progettato per eliminare le oscillazioni spurie dopo il filtraggio lineare.

Successivamente, i filtri mediani sono stati applicati da diversi autori nell'elaborazione delle immagini. Nel 1975, Pratt ha studiato l'efficienza di filtraggio mediana delle immagini con normale rumore bianco e impulsivo, nonché l'effetto di diverse forme di apertura del filtro. I suoi risultati sono stati pubblicati in. Sono stati utilizzati filtri mediani per correggere il rumore dei dispositivi di scansione.

Il filtraggio mediano è una tecnica di elaborazione del segnale non lineare sviluppata da Tukey. Questo metodo è utile per sopprimere il rumore in un'immagine. Un filtro mediano unidimensionale è una finestra scorrevole che copre un numero dispari di elementi dell'immagine. L'elemento centrale viene sostituito dalla mediana di tutti gli elementi dell'immagine nella finestra. La mediana di una sequenza discreta per uno dispari è quell'elemento per il quale ci sono elementi che sono inferiori o uguali ad esso in grandezza, ed elementi che sono maggiori o uguali ad esso in grandezza. Lascia che gli elementi dell'immagine con i livelli 80, 90, 200, 110 e 120 cadano nella finestra; in questo caso, l'elemento centrale dovrebbe essere sostituito con un valore di 110, che è la mediana della sequenza ordinata 80, 90, 110, 120, 200. Se, in questo esempio, il valore 200 è un picco di rumore in modo monotono sequenza crescente, il filtraggio mediano fornirà un miglioramento significativo. Se invece il valore di 200 corrisponde ad un impulso di segnale utile (quando si utilizzano sensori a banda larga), allora l'elaborazione porterà ad una perdita di nitidezza dell'immagine riprodotta. Pertanto, il filtro mediano in alcuni casi fornisce la soppressione del rumore, in altri provoca la soppressione del segnale indesiderata.

Nella fig. 12.6.1 mostra l'effetto dei filtri mediana e media (livellamento) con una finestra a cinque elementi su segnali discreti a gradini, a dente di sega, a impulsi e triangolari. Da questi grafici si può vedere che il filtro mediano non influisce sulle funzioni di gradino o rampa, che di solito è una proprietà desiderabile. Tuttavia, questo filtro sopprime i segnali a impulsi che sono meno della metà della larghezza della finestra. Il filtro appiattisce anche il vertice della funzione triangolare.

Riso. 12.6.1. Esempi di filtraggio mediano dei segnali discreti più semplici.

a - transizione a gradini: b - transizione a dente di sega; c - singolo impulso; e - doppio impulso; d - triplo impulso; e - segnale triangolare.

Le possibilità di analizzare l'azione del filtro mediano sono limitate. Si può dimostrare che la mediana del prodotto di una costante e una successione è

Inoltre,

Tuttavia, la mediana della somma di due sequenze arbitrarie e non è uguale alla somma delle loro mediane:

Questa disuguaglianza può essere verificata dall'esempio delle sequenze 80, 90, 100, 110, 120 e 80, 90, 100, 90, 80.

Sono possibili varie strategie per applicare il filtro mediano per sopprimere il rumore. Si consiglia di iniziare con un filtro mediano che si estende su tre elementi dell'immagine. Se l'attenuazione del segnale è trascurabile, la finestra del filtro viene espansa a cinque elementi. Questo viene fatto fino a quando il filtraggio mediano non fa più male che bene. Un'altra possibilità consiste nell'eseguire un filtraggio mediano in cascata del segnale utilizzando una larghezza della finestra fissa o variabile. In generale, quelle aree che rimangono invariate dopo un singolo trattamento con un filtro non cambiano dopo ripetute lavorazioni. Le regioni in cui la durata dei segnali impulsivi è inferiore alla metà della larghezza della finestra subiranno variazioni dopo ogni ciclo di elaborazione.

Il concetto di filtro mediano può essere facilmente generalizzato a due dimensioni applicando una finestra 2D della forma desiderata, ad esempio rettangolare o quasi circolare. Ovviamente, un filtro mediano con finestra bidimensionale fornisce una soppressione del rumore più efficiente rispetto ai filtri mediani con finestra unidimensionali orizzontali e verticali applicati successivamente; L'elaborazione 2D, tuttavia, determina un'attenuazione del segnale più significativa. Nella fig. 12.6.2 mostra l'effetto del filtraggio mediano bidimensionale sul segnale di impulso spaziale. Sono stati utilizzati filtri con due tipi di finestre: dimensione quadrata e dimensione trasversale. Come puoi vedere, il filtro della finestra quadrata mediana ha distrutto gli angoli del quadrato mostrato, mentre il filtro della finestra incrociata lo ha lasciato invariato.

Riso. 12.6.2. Esempi di filtraggio mediano 2D

Nella fig. 12.6.3 e 12.6.4 mostrano campioni di immagini sottoposte a filtraggio mediano per sopprimere il rumore. Come puoi vedere, il filtro mediano è più efficace nel sopprimere il rumore impulsivo diffuso rispetto al rumore uniforme. Il filtraggio mediano delle immagini per la soppressione del rumore dovrebbe essere considerato un metodo euristico. Non può essere applicato alla cieca. Piuttosto, i risultati dovrebbero essere controllati per assicurare che il filtraggio mediano sia appropriato.

Riso. 12.6.3. Campioni di immagini elaborati con un filtro mediano unidimensionale per sopprimere il rumore impulsivo.

a - l'immagine originale con rumore impulsivo (15 elementi distorti in ogni riga); b - il risultato del filtraggio mediano a; c - il risultato del filtraggio mediano a; d - il risultato del filtraggio mediano a.

Riso. 12.6.4. Campioni di immagini elaborati con un filtro mediano unidimensionale per sopprimere il rumore gaussiano.

a - immagine originale con rumore gaussiano; b - il risultato del filtraggio mediano a; c - il risultato del filtraggio mediano a; d - il risultato del filtraggio mediano a.

introduzione

segnale digitale di filtraggio mediano

L'elaborazione digitale dei segnali ha trovato ampia applicazione in vari campi di attività: televisione, radar, comunicazioni, meteorologia, sismologia, medicina, analisi del linguaggio e telefonia, nonché nell'elaborazione di immagini e campi di varia natura. In alcuni settori dell'attività economica, come quello bancario, l'elaborazione dei flussi finanziari digitali è di fondamentale importanza.

Lo sviluppo della tecnologia informatica e dei microprocessori porta alla creazione di apparecchiature sempre più affidabili, ad alta velocità, in miniatura, di alta qualità e poco costose. Le tecnologie digitali sono diventate così diffuse che vengono utilizzate nella vita di tutti i giorni, senza molto preavviso: un telefono cellulare, un lettore CD, un computer, ecc.

Nel corso di questo lavoro, è necessario considerare i vantaggi e gli svantaggi del filtraggio mediano. Scopri come funzionano i filtri mediani. Usando il programma MatLab712 R2011a, mostra il suo lavoro con l'esempio.

La parte teorica di DSP

Filtro mediano

Tutti gli algoritmi di filtraggio lineare attenuano i bruschi cambiamenti di luminosità delle immagini elaborate. Questo svantaggio, che è particolarmente significativo se il consumatore di informazioni è una persona, in linea di principio non può essere escluso nell'ambito dell'elaborazione lineare. Il punto è che le procedure lineari sono ottimali per una distribuzione gaussiana di segnali, rumore e dati osservati. Le immagini reali, in senso stretto, non obbediscono a questa distribuzione di probabilità. Inoltre, uno dei motivi principali di ciò è la presenza di vari bordi, differenze di luminosità, transizioni da una trama all'altra, ecc. Questo è esattamente ciò che causa la scarsa trasmissione dei confini con il filtraggio lineare.

La seconda caratteristica del filtraggio lineare è la sua ottimalità, come appena accennato, con la natura gaussiana del rumore. Di solito questa condizione è soddisfatta dall'interferenza del rumore nelle immagini, quindi, quando vengono soppresse, gli algoritmi lineari hanno prestazioni elevate. Tuttavia, spesso hai a che fare con immagini distorte da altri tipi di rumore. Uno di questi è il rumore impulsivo. Quando esposti ad esso, si osservano punti bianchi e / o neri sull'immagine, sparsi caoticamente in tutto il fotogramma. L'uso del filtraggio lineare in questo caso è inefficace: ciascuno degli impulsi di ingresso (in effetti, una funzione delta) fornisce una risposta sotto forma di risposta all'impulso del filtro e la loro combinazione contribuisce alla propagazione dell'interferenza sull'intera area di il telaio.

Una soluzione di successo a questi problemi è l'uso del filtraggio mediano, proposto da J. Tukey nel 1971 per l'analisi dei processi economici. Lo studio più completo del filtraggio mediano in relazione all'elaborazione delle immagini è presentato nella raccolta. Si noti che il filtraggio mediano è un metodo di elaborazione euristica; il suo algoritmo non è una soluzione matematica a un problema rigorosamente formulato. Pertanto, i ricercatori prestano grande attenzione all'analisi dell'efficienza dell'elaborazione delle immagini basata su di essa e al confronto con altri metodi.

Quando si applica il filtro mediano (MF), ogni punto del fotogramma viene elaborato in sequenza, a seguito della quale viene formata una sequenza di stime. Idealmente, l'elaborazione in vari punti è indipendente (questo MF è simile a un filtro maschera), ma per velocizzarlo, è consigliabile utilizzare algoritmicamente calcoli eseguiti in precedenza ad ogni passaggio.

Il filtraggio mediano utilizza una finestra bidimensionale (apertura del filtro), solitamente con simmetria centrale, con il centro situato nel punto di filtraggio corrente. Nella fig. 1.1 mostra due esempi delle finestre incrociate e quadrate più comunemente usate. Le dimensioni dell'apertura sono tra i parametri che vengono ottimizzati nel processo di analisi dell'efficienza dell'algoritmo. I campioni dell'immagine all'interno della finestra costituiscono il campione di lavoro del passaggio corrente.

Riso. 1.1.

La natura bidimensionale della finestra consente di eseguire un filtraggio essenzialmente bidimensionale, poiché per formare una stima vengono utilizzati i dati sia della riga e della colonna correnti che di quelle adiacenti. Designiamo l'esempio di lavoro come un array unidimensionale; il numero dei suoi elementi è uguale alla dimensione della finestra e la loro disposizione è arbitraria. Solitamente si utilizzano finestre con un numero dispari di punti (questo è assicurato automaticamente con la simmetria centrale dell'apertura e quando il punto molto centrale è incluso nella sua composizione). Se ordini la sequenza in ordine crescente, la sua mediana sarà l'elemento campione che occupa la posizione centrale in questa sequenza ordinata. Il numero così ottenuto è il prodotto del filtro per il punto corrente del telaio. È chiaro che il risultato di tale elaborazione non dipende realmente dalla sequenza in cui gli elementi dell'immagine sono presentati nel campione di lavoro. Introduciamo una notazione formale per la procedura descritta nella forma:

x * = medio (y 1, y 2, ..., y n) (1.1)

Diamo un'occhiata a un esempio. Supponiamo che il campione abbia la forma: Y = (136,110,99,45,250,55,158,104,75) e che l'elemento 250, situato al suo centro, corrisponda al punto di filtraggio corrente (i 1, i 2) (Fig. 1.1). Un valore elevato di luminosità in questo punto dell'inquadratura può essere il risultato di un'interferenza impulsiva (punto). Il campione ordinato in ordine crescente ha la forma (45,55,75,99,104,110,136,158,250), quindi, secondo la procedura (1.1), si ottiene x * = med (y 1, y 2, ..., y 9) = 104. Vediamo che l'influenza dei "vicini" sul risultato del filtraggio nel punto corrente ha portato a "ignorare" l'emissione di impulsi di luminosità, che dovrebbe essere considerata come un effetto di filtraggio. Se il rumore impulsivo non è puntiforme, ma copre un'area locale, può anche essere soppresso. Ciò accadrà se la dimensione di quest'area locale è inferiore alla metà della dimensione dell'apertura MF. Pertanto, per sopprimere il rumore impulsivo che interessa le aree locali dell'immagine, è necessario aumentare la dimensione dell'apertura MF.

Da (1.1) segue che l'azione del MF è di "ignorare" i valori estremi del campione di input - valori anomali sia positivi che negativi. Questo principio di cancellazione dell'interferenza può essere applicato per attenuare il rumore dell'immagine. Tuttavia, lo studio della soppressione del rumore mediante il filtraggio mediano mostra che la sua efficacia nel risolvere questo problema è inferiore a quella del filtraggio lineare.

I risultati sperimentali che illustrano il funzionamento del MF sono mostrati in Fig. 1.2. Negli esperimenti, abbiamo utilizzato un MF avente un'apertura quadrata con un lato uguale a 3. La riga di sinistra mostra le immagini distorte dal rumore e la riga di destra mostra i risultati del loro filtraggio mediano. Nella fig. 1.2 ae fig. 1.2.c mostra l'immagine originale distorta dal rumore impulsivo. Quando è stato sovrapposto, è stato utilizzato un generatore di numeri casuali con una legge di distribuzione uniforme sull'intervallo, che genera numeri casuali indipendenti in tutti i punti del frame. L'intensità dell'interferenza è stata determinata dalla probabilità p del suo verificarsi in ogni punto. Se la condizione n i1i2

Riso. 1.2.

Riso. 1.2. e mostra un'immagine distorta da rumore gaussiano indipendente con un rapporto segnale-rumore q 2 = -5 dB, e Fig. 1.2.f - il risultato della sua filtrazione da parte del filtro mediano. Le condizioni di questo esperimento consentono di confrontare i suoi risultati con i risultati della filtrazione lineare sopra considerata. La tabella 1.1 fornisce dati che rendono possibile tale confronto. Per vari metodi di filtraggio, questa tabella fornisce i valori del quadrato medio relativo degli errori q 2 e il coefficiente di attenuazione del rumore r per il caso in cui il rapporto segnale-rumore all'ingresso del filtro è -5 dB.

Tabella 1.1. Confronto dell'efficienza della soppressione del rumore durante il filtraggio delle immagini, q 2 = -5 dB.

Il più efficiente è il filtro Wiener bidimensionale, che riduce di 17 volte il quadrato medio degli errori. Il filtro mediano ha l'efficienza più bassa tra tutti i filtri considerati, corrisponde a r = 5.86. Tuttavia, questo numero indica che con il suo aiuto è possibile ridurre significativamente il livello di rumore nell'immagine.

Allo stesso tempo, come accennato in precedenza e come mostrato in Fig. 1.2.e, il filtraggio mediano leviga i bordi dell'immagine in misura minore rispetto a qualsiasi filtraggio lineare. Il meccanismo di questo fenomeno è molto semplice ed è il seguente. Supponiamo che l'apertura del filtro si trovi vicino al bordo che separa le aree chiare e scure dell'immagine, mentre il suo centro si trova nell'area dell'area scura. Quindi, molto probabilmente, la selezione di lavoro conterrà un numero maggiore di elementi con valori di luminosità bassi e, quindi, la mediana sarà tra quegli elementi della selezione di lavoro che corrispondono a quest'area dell'immagine. La situazione è invertita se il centro dell'apertura viene spostato in una regione di maggiore luminosità. Ma questo significa anche che la MF è sensibile alle variazioni di luminosità. Esistono molte interpretazioni dei metodi di lavoro della MF, consideriamone un'altra, ad esempio, il suo utilizzo nell'elaborazione di immagini di cellule del sangue - granulociti. Prima di misurare le dimensioni di un granulocita, la sua immagine è stata levigata con un filtro mediano per eliminare i granuli che potrebbero influenzare il risultato della misurazione. Di solito, nel processo di filtraggio mediano, i valori del segnale in una certa vicinanza del punto in cui viene calcolata la risposta del filtro vengono ordinati in ordine crescente o decrescente in una serie di variazioni. La risposta del filtro è definita come mediana - il valore del segnale del centro (centro) della serie di variazioni. In quanto segue, questo quartiere sarà chiamato la finestra del filtro. Inoltre, per semplicità, considereremo un filtro con una finestra quadrata di dimensione n × n.

Pertanto, quando si calcola la mediana nella finestra del filtro, il numero di operazioni sui dati, ad esempio il numero di operazioni di ordinamento, è uguale a n 2. Quando si elabora un'immagine di dimensioni M × N punti (pixel), il numero di operazioni sui dati sarà grande e sarà pari a M × N × n 2. Operazioni diverse richiedono tempi di esecuzione diversi. Eseguendo la scansione dell'immagine in sequenza, è possibile ridurre le operazioni di ordinamento che richiedono più tempo. Quindi, passando dal punto o1 con finestra w1 al punto o2 con finestra w2 in Fig. 1.3. è possibile escludere i punti della colonna 1 dalla serie di variazioni della finestra w1, ordinare i punti della colonna 6, e combinare le due serie di variazioni ottenute in una. Questo algoritmo funziona più velocemente rispetto all'ordinamento indipendente in ciascuna finestra, ma il numero totale di manipolazioni dei dati (anche se meno laborioso), ad esempio, almeno l'enumerazione dei dati, rimane lo stesso, cioè abbastanza grande. Pertanto, con il filtraggio mediano delle immagini, di solito sono limitate a finestre di 3 × 3 o 5 × 5 e raramente di più, il che è abbastanza, ad esempio, per eliminare il rumore impulsivo.

Riso. 1.3. Scansione di un'immagine con la finestra del filtro mediano

Le stesse restrizioni sono forzatamente accettate per varie operazioni non lineari di elaborazione morfologica, eseguite nello spazio geometrico dell'immagine, e che, a differenza delle operazioni lineari, non possono essere eseguite nello spazio di Fourier. Allo stesso tempo, ci sono una serie di problemi di elaborazione delle immagini che potrebbero essere risolti efficacemente utilizzando il filtro mediano, ma richiedono una grande finestra. Uno di questi compiti sarà discusso di seguito. Pertanto, un possibile aumento della velocità di filtraggio media è molto promettente nelle attività di elaborazione delle immagini.

I metodi di filtraggio mediano sono piuttosto diversi. Possono essere migliorati. Uno di questi aggiornamenti è chiamato filtro mediano adattivo.

Anche il filtraggio mediano ha i suoi svantaggi. In particolare, è stato sperimentalmente stabilito che questo metodo ha un'efficienza relativamente debole nel filtrare il cosiddetto rumore di fluttuazione. Inoltre, all'aumentare delle dimensioni della maschera, i bordi dell'immagine risultano sfocati e, di conseguenza, la nitidezza dell'immagine si riduce. Questi svantaggi del metodo possono essere ridotti al minimo utilizzando il filtraggio mediano con una dimensione della maschera dinamica (filtraggio mediano adattivo). Il principio del calcolo del riferimento centrale nell'elaborazione dell'immagine locale mediante una finestra scorrevole rimane lo stesso. Questa mediana proviene da un insieme di campioni ordinati che cadono nella finestra (maschera) e la dimensione della finestra scorrevole (maschera) è dinamica e dipende dalla luminosità dei pixel vicini.

Introduciamo il coefficiente di soglia della deviazione di luminosità soglia S =. I valori della deviazione della luminosità dei pixel adiacenti A (r, n, m), che cadono in una finestra di dimensione n × m, relativa alla luminosità del riferimento centrale A (r), saranno scritti nel forma (1.2):

Quindi il criterio secondo cui è necessario aumentare la dimensione della maschera con il riferimento centrale r avrà la forma:

Sulla base dell'algoritmo descritto, è stato sviluppato un programma per computer che ha confermato nella pratica i vantaggi del filtraggio mediano adattivo.

Per ridurre il livello di rumore. Il filtro mediano è un filtro FIR non lineare.

I valori di esempio all'interno della finestra del filtro sono ordinati in ordine crescente (decrescente); e il valore al centro dell'elenco ordinato viene inviato al filtro. Se il numero di campioni nella finestra è pari, l'output del filtro è la media dei due campioni al centro dell'elenco ordinato. La finestra si sposta lungo il segnale filtrato ei calcoli vengono ripetuti.

Il filtraggio mediano è una procedura efficiente per l'elaborazione di segnali soggetti a rumore impulsivo.

Esempi di

Esempio 1

Di seguito è riportato un esempio di applicazione del filtro mediano per un segnale unidimensionale con una finestra di tre campioni all'array di input x (sono mostrati valori duplicati introdotti artificialmente grassetto):

• y = mediana [ 2 2 80] = 2
• y = mediana = mediana = 6
• y = mediana = mediana = 6
• y = mediana = mediana = 3

e alla fine:

y = - uscita filtro mediano

Esempio 2

Filtro mediano $m$ dal segnale in ingresso $C$, crea una forma d'onda mediana $\backslash \; widetilde\; (C)$... Segnale in entrata $C$, alimentato al filtro mediano $M:\; C\; \backslash \; freccia\; destra\; \backslash \; tilde\; larga\; (C)$.
Il filtro mediano seleziona prima i valori che cadono nella finestra del filtro quando la finestra è nel punto $X$, $\backslash \; cappello\; (O)\; (x):\; C\; \backslash \; freccia\; destra\; O$.
Successivamente, i valori della finestra vengono ordinati $oh$, la funzione di confronto dei valori $\backslash \; Phi$, e si costruisce un insieme ordinato $$, e quindi il valore mediano ( mediano): $$ ed è registrato in $\backslash \; widetilde\; (C)\; (x)\; =\; o\_\; (m)$.

Quindi, il filtro mediano $M:\; C\; \backslash \; freccia\; destra\; \backslash \; tilde\; larga\; (C)$, è una sequenza di tre azioni:

1. Selezione dei valori che rientrano nella finestra del filtro $\backslash \; cappello\; (O)\; (x):\; C\; \backslash \; freccia\; destra\; O$.
2. Ordinamento dei valori della finestra $\backslash \; Phi\; (O)\; \backslash \; freccia\; destra\; \backslash \; widetilde\; (O)$.
3. Scelta da $\backslash \; widetilde\; (O)$ valore medio $m\; (\backslash \; widetilde\; (O))\; \backslash \; freccia\; destra\; o\_\; (m)$ e scrivendolo sull'immagine mediana del segnale $\backslash \; widetilde\; (C)$ ad un punto con una coordinata $X$, $\backslash \; widetilde\; (C)\; (x)\; =\; o\_\; (m)$.

Questi passaggi vengono ripetuti per ogni punto del segnale di ingresso.

Filtro mediano 2D (pseudocodice)

L'algoritmo per un filtro mediano 2D primitivo assomiglia a questo:

Assegna outputPixelValue edgex: = (larghezza finestra / 2) arrotondato per difetto: = (altezza finestra / 2) arrotondato per x da edgex a larghezza immagine - edgex per y da edgey a altezza immagine - edgey alloca colorArray per fx da 0 a finestra larghezza per fy da 0 all'altezza della finestra colorArray: = inputPixelValue ordina tutte le voci in colorArray outputPixelValue [x] [y]: = colorArray

Caratteristiche di questo algoritmo:

• Si applica a un solo canale colore
• Non si applica ai pixel estremi.

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Estratto che caratterizza il filtro Mediano

- Tipo cosa? - Parlò il principe Andrey, fermandosi dall'eccitazione. - Devi capire che noi, o gli ufficiali che servono il loro re e la loro patria e ci rallegriamo del comune successo e ci addoloriamo per il comune fallimento, o siamo lacchè a cui non importa degli affari del padrone. Quarante milles hommes massacres et l "ario mee de nos allies detruite, et vous trouvez la le mot pour rire", disse, come se usasse questa frase francese per consolidare la sua opinione. "C" est bien pour un garcon de rien, comme cet individu , dont vous avez fait un ami, mais pas pour vous, pas pour vous. [Quarantamila persone sono morte e il nostro esercito alleato è stato distrutto, ma puoi scherzare allo stesso tempo. Questo è perdonabile per un ragazzo insignificante, come questo signore, che ti sei fatto amico, ma non per te, non per te.] I ragazzi possono solo essere così divertiti, - disse il principe Andrey in russo, pronunciando questa parola con un francese accento, notando che Zherkov poteva ancora sentirlo.
Aspettò per vedere se la cornetta avrebbe risposto. Ma la cornetta si voltò e lasciò il corridoio.

Il reggimento ussaro Pavlograd era di stanza a due miglia da Braunau. Lo squadrone, in cui Nikolai Rostov fungeva da cadetto, si trovava nel villaggio tedesco di Salzenek. Il comandante dello squadrone, il capitano Denisov, noto all'intera divisione di cavalleria sotto il nome di Vaska Denisov, ricevette il miglior appartamento del villaggio. Junker Rostov, da quando ha superato il reggimento in Polonia, ha vissuto con il comandante dello squadrone.
L'11 ottobre, lo stesso giorno in cui tutto nell'appartamento principale fu sollevato in piedi dalla notizia della sconfitta di Mack, al quartier generale dello squadrone, la vita in marcia continuava tranquillamente come prima. Denisov, che aveva perso tutta la notte a carte, non era ancora tornato a casa quando Rostov, di buon mattino, a cavallo, tornò dal foraggiamento. Rostov, in uniforme da cadetto, salì fino al portico, spingendo il cavallo, con un gesto flessibile e giovanile gettò via la gamba, si alzò sulla staffa, come se non volesse separarsi dal cavallo, alla fine saltò giù e gridò il messaggero .
"Ah, Bondarenko, caro amico", disse all'ussaro, che si era precipitato a capofitto verso il suo cavallo. «Toglilo, amico mio», disse con quella tenerezza fraterna, allegra, con cui i buoni giovani trattano tutti quando sono felici.
- Sì, Eccellenza, - rispose il Russo, scuotendo allegramente la testa.
- Guarda, tiralo fuori bene!
Anche un altro ussaro si precipitò al cavallo, ma Bondarenko aveva già gettato le redini del morso. Era evidente che il cadetto dava bene per la vodka, e che era vantaggioso servirlo. Rostov accarezzò il collo del cavallo, poi la groppa, e si fermò sotto il portico.
"Carino! Un tale cavallo sarà! " si disse, e, sorridendo e impugnando la sciabola, corse su per il portico, sbattendo gli speroni. Il proprietario, un tedesco, in felpa e berretto, con un forcone, con cui ripulì il letame, guardò fuori dal fienile. Il viso del tedesco si illuminò improvvisamente non appena vide Rostov. Sorrise allegramente e strizzò l'occhio: “Schon, budella Morgen! Schon, sventrare Morgen!" [Fantastico, buongiorno!] ripeté, apparentemente compiaciuto nel salutare il giovane.
- Schon fleissig! [Già al lavoro!] - Rostov ha detto tutti con lo stesso sorriso gioioso e fraterno che non ha mai lasciato il suo viso vivace. - Hoch Oestreicher! Hoch Russen! Kaiser Alexander hoch! [Evviva Austriaci! Evviva russi! Imperatore Alessandro evviva!] - si rivolse al tedesco, ripetendo le parole spesso pronunciate dal proprietario tedesco.

Rumore nelle immagini. Nessun sistema di registrazione fornisce la qualità d'immagine ideale degli oggetti in studio. Le immagini nel processo di formazione da parte dei sistemi (fotografici, olografici, televisivi) sono solitamente esposte a varie interferenze o rumori casuali. Una sfida fondamentale nell'elaborazione delle immagini è rimuovere efficacemente il rumore mantenendo i dettagli dell'immagine che sono importanti per il riconoscimento successivo. La complessità della risoluzione di questo problema dipende in modo significativo dalla natura del rumore. A differenza delle distorsioni deterministiche, che sono descritte da trasformazioni funzionali dell'immagine originale, per descrivere gli effetti casuali vengono utilizzati modelli di rumore additivo, impulsivo e moltiplicativo.

Il tipo più comune di interferenza è il rumore additivo casuale, che è statisticamente indipendente dal segnale. Il modello di rumore additivo viene utilizzato quando il segnale all'uscita del sistema o in qualche fase della trasformazione può essere considerato come la somma del segnale utile e di qualche segnale casuale. Il modello di rumore additivo descrive bene l'effetto della grana del film, il rumore di fluttuazione nei sistemi radio, il rumore di quantizzazione nei convertitori analogico-digitale, ecc.

Il rumore gaussiano additivo è caratterizzato dall'aggiunta di valori con una distribuzione normale e media zero a ciascun pixel in un'immagine. Questo rumore di solito appare durante la fase di imaging digitale. Le informazioni principali nelle immagini sono trasportate dai contorni degli oggetti. I filtri di linea classici possono rimuovere efficacemente il rumore statistico, ma il grado di sfocatura dei piccoli dettagli nell'immagine può superare i valori accettabili. Per risolvere questo problema vengono utilizzati metodi non lineari, ad esempio algoritmi basati sulla diffusione anisotropa di Perron e Malik, filtri bilaterali e trilaterali. L'essenza di tali metodi consiste nell'utilizzare stime locali adeguate per determinare il contorno nell'immagine e per smussare tali aree al minimo grado.

Il rumore impulsivo è caratterizzato dalla sostituzione di alcuni pixel dell'immagine con valori di valore fisso o casuale. Nell'immagine, tale rumore appare come punti di contrasto isolati. Il rumore di impulso è tipico per i dispositivi di input di immagini da una telecamera, i sistemi per la trasmissione di immagini su canali radio, nonché per i sistemi digitali per la trasmissione e la memorizzazione di immagini. Per rimuovere il rumore impulsivo, viene utilizzata una classe speciale di filtri non lineari basati su statistiche di rango. L'idea generale di tali filtri è rilevare la posizione dell'impulso e sostituirlo con un valore stimato, mantenendo invariato il resto dei pixel dell'immagine.

Filtri bidimensionali. Il filtraggio mediano delle immagini è più efficace quando il rumore nell'immagine è impulsivo e rappresenta un insieme limitato di picchi su uno sfondo di zeri. Come risultato dell'applicazione del filtro mediano, le pendenze e le brusche cadute dei valori di luminosità nelle immagini non cambiano. Questa è una proprietà molto utile soprattutto per le immagini in cui i contorni contengono le informazioni principali.

Con il filtraggio mediano delle immagini rumorose, il grado di attenuazione dei contorni degli oggetti dipende direttamente dalla dimensione dell'apertura del filtro e dalla forma della maschera. Esempi di forma di maschere con un'apertura minima sono mostrati in Fig. 16.2.1. A piccole dimensioni dell'apertura, i dettagli contrastanti dell'immagine vengono preservati meglio, ma il rumore impulsivo viene soppresso in misura minore. Per grandi aperture, si osserva l'immagine opposta. La scelta ottimale della forma dell'apertura di levigatura dipende dalle specifiche del problema da risolvere e dalla forma degli oggetti. Questo è di particolare importanza per il compito di preservare le differenze (bordi netti di luminosità) nelle immagini.

Per immagine di una goccia intendiamo un'immagine in cui i punti su un lato di una certa linea hanno lo stesso valore un, e tutti i punti dall'altra parte di questa linea sono il valore B, B un... Se l'apertura del filtro è simmetrica rispetto all'origine, il filtro mediano conserva l'immagine del bordo. Questo viene fatto per tutte le aperture di campioni dispari, ad es. ad eccezione delle aperture (cornice quadrate, anelli), che non contengono un'origine. Tuttavia, le cornici e gli anelli quadrati cambieranno solo leggermente la goccia.

Per semplificare ulteriormente la considerazione, ci limitiamo all'esempio di un filtro con maschera quadrata di dimensione N × N, con N = 3. Il filtro scorrevole guarda attraverso i campioni dell'immagine da sinistra a destra e dall'alto verso il basso, mentre la sequenza bidimensionale di input è anche rappresentata come un numero sequenziale di campioni (x (n)) da sinistra a destra dall'alto verso il basso. Da questa sequenza, in ogni punto corrente, la maschera di filtro estrae l'array w (n) come vettore di W-element, che in questo caso contiene tutti gli elementi della finestra 3 × 3 centrata intorno a x (n), e quella centrale elemento stesso, se previsto tipo di maschera:

w(n) =. (16.2.1)

In questo caso, il valore x i corrisponde a una mappatura da sinistra a destra e dall'alto verso il basso di una finestra 3 × 3 in un vettore unidimensionale, come mostrato in Fig. 16.2.2.

Gli elementi di questo vettore, oltre che per il filtro mediano unidimensionale, possono anche essere ordinati in serie in ordine crescente o decrescente dei loro valori:

r (n) =, (16.2.2)

viene determinato il valore mediano y (n) = med (r (n)) e la lettura centrale della maschera viene sostituita dal valore mediano. Se, per il tipo di maschera, il campione centrale non è compreso nel numero della riga 16.2.1, il valore mediano è nella forma del valore medio dei due campioni centrali della riga 16.2.2.

Le espressioni di cui sopra non spiegano come trovare il segnale di uscita vicino alla fine e ai punti di confine nelle sequenze e nelle immagini finali. Un semplice trucco è trovare la mediana solo di quei punti all'interno dell'immagine che rientrano nell'apertura. Pertanto, per i punti situati vicino ai confini, le mediane saranno determinate sulla base di un numero inferiore di punti.

Nella fig. 16.2.3 mostra un esempio di pulizia di un'immagine rumorosa con il filtro mediano Chernenko / 2i /. Il rumore dell'immagine nell'area era del 15%; per la pulizia, il filtro è stato applicato 3 volte in sequenza.

Il filtraggio mediano può essere eseguito anche in una versione ricorsiva, in cui i valori sopra e a sinistra del riferimento centrale nella maschera (in questo caso, x 1 (n) -x 4 (n) in Fig. 16.2. 2) nella serie 16.2.1 sono sostituiti già dai valori y 1 (n) -y 4 (n) calcolati nei cicli precedenti.

Filtri 2D adattivi. La contraddizione nella dipendenza del grado di soppressione del rumore e distorsione del segnale sull'apertura del filtro viene in qualche modo attenuata quando si utilizzano filtri con una dimensione della maschera dinamica, con l'adattamento della dimensione dell'apertura alla natura dell'immagine. Nei filtri adattivi, vengono utilizzate grandi aperture nelle regioni monotone del segnale elaborato (migliore soppressione del rumore) e piccole aperture vicino alle disomogeneità, preservandone le caratteristiche, mentre la dimensione della finestra di scorrimento del filtro è impostata in base alla distribuzione della luminosità dei pixel nel maschera filtrante. Si basano, di regola, sull'analisi della luminosità in prossimità del punto centrale della maschera filtrante.

Gli algoritmi più semplici per modificare dinamicamente l'apertura di un filtro simmetrico lungo entrambi gli assi lavorano solitamente secondo un fattore di luminanza di soglia soglia S = dato sulla base di dati empirici. In ogni posizione corrente della maschera nell'immagine, il processo iterativo inizia con la dimensione di apertura minima. I valori della deviazione della luminosità dei pixel adiacenti A (r, n), che cadono nella finestra di dimensione (n x n), rispetto alla luminosità del riferimento centrale A (r) sono calcolati dalla formula:

S n (r) = | A (r, n) / A (r) - 1 |. (16.2.3)

Il criterio secondo il quale si aumenta la dimensione della maschera con il conteggio centrale r e si esegue l'iterazione successiva ha la forma:

max< S порог. (16.2.4)

La dimensione massima della maschera (numero di iterazioni) è generalmente limitata. Per le maschere non quadrate con dimensioni (n ​​x m), le iterazioni possono essere calcolate con un aumento separato dei parametri n e m, nonché con una modifica della forma delle maschere durante il processo di iterazione.

Filtri classificati ... Negli ultimi due decenni, algoritmi non lineari basati su statistiche di rango si sono sviluppati attivamente nell'elaborazione di immagini digitali per il recupero di immagini danneggiate da vari modelli di rumore. Tali algoritmi consentono di evitare un'ulteriore distorsione dell'immagine durante la rimozione del rumore, oltre a migliorare significativamente i risultati dei filtri sulle immagini con un alto grado di rumore.

L'essenza delle statistiche di rango di solito consiste nel fatto che la riga 16.2.1 non include il campione centrale della maschera del filtro e la riga 16.2.2 viene utilizzata per calcolare il valore di m (n). Per N = 3, secondo la Fig. 16.2.2:

m (n) = (x 4 (n) + x 5 (n)) / 2. (16.2.5)

Il calcolo del valore di uscita del filtro, che sostituisce il campione centrale, viene eseguito utilizzando la formula:

y (n) =  x (n) + (1-) m (n). (16.2.6)

Il valore del coefficiente di confidenza  è associato a una certa dipendenza con le statistiche dei campioni nella finestra del filtro (ad esempio, la varianza totale dei campioni, la varianza delle differenze x (n) -xi (n) o m (n) -xi (n), la varianza delle differenze positive e negative x (n ) -xi (n) o m (n) -xi (n), ecc.). In sostanza, il valore del coefficiente  dovrebbe specificare il grado di danno al riferimento centrale e, di conseguenza, il grado di prestito per la sua correzione il valore dai campioni m (n). La scelta della funzione statistica e la natura della dipendenza del coefficiente da essa possono essere piuttosto diverse e dipendono sia dalla dimensione dell'apertura del filtro che dalla natura delle immagini e del rumore.