Per i determinanti del quarto ordine e superiori, vengono solitamente utilizzati metodi di calcolo diversi dall'utilizzo di formule già pronte come per il calcolo dei determinanti del secondo e terzo ordine. Uno dei metodi per calcolare le determinanti di ordine superiore è utilizzare un corollario del teorema di Laplace (il teorema stesso può essere trovato, ad esempio, nel libro di A.G. Kurosh “Course of Higher Algebra”). Questo corollario ci permette di espandere il determinante negli elementi di una determinata riga o colonna. In questo caso il calcolo del determinante dell'ordine n-esimo si riduce al calcolo di n determinanti dell'ordine (n-1). Ecco perché tale trasformazione viene chiamata riduzione dell'ordine del determinante. Ad esempio, il calcolo del determinante del quarto ordine si riduce a trovare quattro determinanti del terzo ordine.
Diciamo che ci viene data una matrice quadrata di n-esimo ordine, cioè $A=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. Il determinante di questa matrice può essere calcolato espandendola per riga o colonna.
Fissiamo una riga il cui numero è $i$. Quindi il determinante della matrice $A_(n\times n)$ può essere espanso sulla i-esima riga selezionata utilizzando la seguente formula:
\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(equazione)
$A_(ij)$ denota il complemento algebrico dell'elemento $a_(ij)$. Per informazioni dettagliate su questo concetto consiglio di consultare l'argomento Complementi algebrici e minori. La notazione $a_(ij)$ denota l'elemento della matrice o determinante situato all'intersezione della i-esima riga della j-esima colonna. Per informazioni più complete, è possibile consultare l'argomento Matrix. Tipi di matrici. Termini di base.
Diciamo che vogliamo trovare la somma $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Quale frase può descrivere la voce $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Possiamo dire questo: questa è la somma di uno al quadrato, due al quadrato, tre al quadrato, quattro al quadrato e cinque al quadrato. Oppure possiamo dirlo più brevemente: questa è la somma dei quadrati degli interi da 1 a 5. Per esprimere la somma più brevemente possiamo scriverla utilizzando la lettera $\sum$ (questa è la lettera greca “sigma”) .
Invece di $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ possiamo usare la seguente notazione: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Viene chiamata la lettera $i$ indice di sommatoria, e vengono chiamati i numeri 1 (valore iniziale $i$) e 5 (valore finale $i$). limiti di somma inferiore e superiore rispettivamente.
Decifriamo in dettaglio la voce $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Se $i=1$, allora $i^2=1^2$, quindi il primo termine di questa somma sarà il numero $1^2$:
$$ \somma\limiti_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$
L'intero successivo all'uno è due, quindi sostituendo $i=2$, otteniamo: $i^2=2^2$. L'importo sarà ora:
$$ \somma\limiti_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$
Dopo due, il numero successivo è tre, quindi sostituendo $i=3$ avremo: $i^2=3^2$. E la somma sarà simile a:
$$ \somma\limiti_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$
Rimangono solo due numeri da sostituire: 4 e 5. Se sostituisci $i=4$, allora $i^2=4^2$, e se sostituisci $i=5$, allora $i^2=5 ^2$. I valori $i$ hanno raggiunto il limite superiore della sommatoria, quindi il termine $5^2$ sarà l'ultimo. Quindi, l'importo finale è ora:
$$ \somma\limiti_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$
Questo importo può essere calcolato semplicemente sommando i numeri: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.
Per esercitarti, prova a scrivere e calcolare la seguente somma: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. L'indice di somma qui è la lettera $k$, il limite inferiore di somma è 3 e il limite superiore è 8.
$$ \somma\limiti_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$
Esiste anche un analogo della formula (1) per le colonne. La formula per espandere il determinante nella jesima colonna è la seguente:
\begin(equation) \Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(equazione)
Le regole espresse dalle formule (1) e (2) possono essere formulate come segue: il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una determinata riga o colonna per i complementi algebrici di questi elementi. Per chiarezza, consideriamo il determinante del quarto ordine, scritto in forma generale:
$$\Delta=\sinistra| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & a_(14) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & a_(24) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & a_(34) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & a_(44) \\ \end(array) \right| $$
Scegliamo una colonna arbitraria in questo determinante. Prendiamo ad esempio la colonna numero 4. Scriviamo la formula per scomporre il determinante sulla quarta colonna selezionata:
Allo stesso modo, scegliendo, ad esempio, la terza riga, otteniamo una scomposizione per questa riga:
Esempio n. 1
Calcola il determinante della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right)$ utilizzando l'espansione sulla prima riga e sulla seconda colonna.
Dobbiamo calcolare il determinante del terzo ordine $\Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right|$. Per espanderlo lungo la prima riga è necessario utilizzare la formula. Scriviamo questo sviluppo in forma generale:
$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$
Per la nostra matrice $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Per calcolare le addizioni algebriche $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$, utilizzeremo la formula n. 1 dall'argomento in poi. Quindi i complementi algebrici richiesti sono:
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot \left| \begin(array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \sinistra| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \sinistra| \begin(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end(allineato)
Come abbiamo trovato i complementi algebrici? mostra nascondi
Sostituendo tutti i valori trovati nella formula scritta sopra, otteniamo:
$$ \Delta A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$
Come puoi vedere, abbiamo ridotto il processo di ricerca del determinante del terzo ordine al calcolo dei valori di tre determinanti del secondo ordine. In altre parole, abbiamo abbassato l'ordine del determinante originale.
Di solito in casi così semplici non descrivono la soluzione in dettaglio, trovando separatamente le addizioni algebriche e solo successivamente sostituendole nella formula per calcolare il determinante. Molto spesso continuano semplicemente a scrivere la formula generale finché non ricevono la risposta. Ecco come disporremo il determinante nella seconda colonna.
Quindi, iniziamo ad espandere il determinante nella seconda colonna. Non eseguiremo calcoli ausiliari; continueremo semplicemente la formula finché non riceveremo la risposta. Tieni presente che nella seconda colonna un elemento è uguale a zero, ovvero $a_(32)=0$. Ciò suggerisce che il termine $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Utilizzando la formula di espansione nella seconda colonna, otteniamo:
$$ \Delta A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ sinistra| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|+2\cdot \left| \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$
La risposta è stata ricevuta. Naturalmente il risultato dell'espansione nella seconda colonna coincideva con il risultato dell'espansione nella prima riga, poiché stavamo espandendo lo stesso determinante. Nota che quando abbiamo espanso la seconda colonna, abbiamo fatto meno calcoli perché un elemento della seconda colonna era zero. È sulla base di tali considerazioni che per la scomposizione si cerca di scegliere la colonna o la riga che contiene più zeri.
Risposta: $\Delta A=134$.
Esempio n.2
Calcola il determinante della matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$ utilizzando l'espansione sulla riga o colonna selezionata.
Per la scomposizione, è più vantaggioso scegliere la riga o la colonna che contiene il maggior numero di zeri. Naturalmente in questo caso ha senso espandere lungo la terza linea, poiché contiene due elementi uguali a zero. Usando la formula, scriviamo l'espansione del determinante lungo la terza riga:
$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$
Poiché $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, la formula scritta sopra sarà:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$
Passiamo ai complementi algebrici $A_(31)$ e $A_(33)$. Per calcolarli utilizzeremo la formula n. 2 dall'argomento dedicato ai determinanti del secondo e terzo ordine (nella stessa sezione ci sono esempi dettagliati dell'applicazione di questa formula).
\begin(aligned) & A_(31)=(-1)^4\cdot \left| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \sinistra| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-34. \end(allineato)
Sostituendo i dati ottenuti nella formula del determinante, avremo:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
In linea di principio, l'intera soluzione può essere scritta in una riga. Se salti tutte le spiegazioni e i calcoli intermedi, la soluzione verrà scritta come segue:
$$ \Delta A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \sinistra| \begin(array) (ccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \sinistra| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$
Risposta: $\Delta A=86$.
Quando si risolvono problemi di matematica superiore, molto spesso si presenta la necessità calcolare il determinante di una matrice. Il determinante di una matrice appare nell'algebra lineare, nella geometria analitica, nell'analisi matematica e in altri rami della matematica superiore. Pertanto, è semplicemente impossibile fare a meno dell'abilità di risolvere i determinanti. Inoltre, per l'autotest, puoi scaricare gratuitamente un calcolatore dei determinanti; non ti insegnerà come risolvere i determinanti da solo, ma è molto comodo, poiché è sempre utile conoscere la risposta corretta in anticipo!
Non darò una definizione matematica rigorosa del determinante e, in generale, cercherò di ridurre al minimo la terminologia matematica; questo non renderà il compito più facile per la maggior parte dei lettori. Lo scopo di questo articolo è insegnarti come risolvere i determinanti del secondo, terzo e quarto ordine. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, e anche una teiera piena (vuota) in matematica superiore, dopo aver studiato attentamente il materiale, sarà in grado di risolvere correttamente i determinanti.
In pratica, molto spesso puoi trovare un determinante del secondo ordine, ad esempio: e un determinante del terzo ordine, ad esempio: 
.
Determinante del quarto ordine 
Inoltre non è un oggetto d'antiquariato e ci arriveremo alla fine della lezione.
Spero che tutti comprendano quanto segue: I numeri all'interno del determinante vivono da soli e non si tratta di sottrazioni! I numeri non possono essere scambiati!
(In particolare, è possibile eseguire riorganizzazioni a coppie di righe o colonne di un determinante cambiando il suo segno, ma spesso ciò non è necessario - vedere la lezione successiva Proprietà del determinante e abbassamento del suo ordine)
Quindi, se viene fornito un determinante, allora Non tocchiamo nulla al suo interno!
Designazioni: Se viene data una matrice 
, allora il suo determinante è indicato con . Inoltre molto spesso il determinante è indicato con una lettera latina o greca.
1)Cosa significa risolvere (trovare, rivelare) un determinante? Calcolare il determinante significa TROVARE IL NUMERO. I punti interrogativi negli esempi precedenti sono numeri del tutto ordinari.
2) Ora resta da capire COME trovare questo numero? Per fare ciò, è necessario applicare alcune regole, formule e algoritmi, di cui parleremo ora.
Cominciamo con il determinante "due" per "due":
QUESTO DEVE ESSERE RICORDATO, almeno mentre studi matematica superiore all'università.
Vediamo subito un esempio:
Pronto. L'IMPORTANTE E' NON CONFONDERSI NEI SEGNI.
Determinante di una matrice tre per tre può essere aperto in 8 modi, di cui 2 semplici e 6 normali.
Cominciamo con due semplici modi
Similmente al determinante due per due, il determinante tre per tre può essere espanso utilizzando la formula:
La formula è lunga ed è facile sbagliare per disattenzione. Come evitare fastidiosi errori? A questo scopo è stato inventato un secondo metodo di calcolo del determinante, che di fatto coincide con il primo. Si chiama metodo Sarrus o metodo delle “strisce parallele”.
La riga di fondo è quella a destra del determinante, assegna la prima e la seconda colonna e disegna attentamente le linee con una matita:
I moltiplicatori situati sulle diagonali “rosse” sono inclusi nella formula con un segno “più”.
I moltiplicatori situati sulle diagonali “blu” sono inclusi nella formula con un segno meno:
Esempio:
Confronta le due soluzioni. È facile vedere che questa è la STESSA cosa, solo nel secondo caso i fattori della formula sono leggermente riorganizzati e, soprattutto, la probabilità di commettere un errore è molto inferiore.
Ora diamo un'occhiata ai sei modi normali per calcolare il determinante
Perché normale? Perché nella stragrande maggioranza dei casi, le qualificazioni devono essere divulgate in questo modo.
Come hai notato, il determinante tre per tre ha tre colonne e tre righe.
Puoi risolvere il determinante aprendolo da qualsiasi riga o da qualsiasi colonna.
Pertanto, ci sono 6 metodi, in tutti i casi utilizzando stesso tipo algoritmo.
Il determinante della matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga (colonna) per i corrispondenti complementi algebrici. Allarmante? Tutto è molto più semplice; utilizzeremo un approccio non scientifico ma comprensibile, accessibile anche a una persona lontana dalla matematica.
Nel prossimo esempio espanderemo il determinante sulla prima riga.
Per questo abbiamo bisogno di una matrice di segni: . È facile notare che i segni sono disposti secondo uno schema a scacchiera.
Attenzione! La matrice dei segni è una mia invenzione. Questo concetto non è scientifico, non è necessario utilizzarlo nella progettazione finale degli incarichi, aiuta solo a comprendere l'algoritmo per il calcolo del determinante.
Darò prima la soluzione completa. Prendiamo nuovamente il nostro determinante sperimentale ed effettuiamo i calcoli:
E la domanda principale: COME ottenerlo dal determinante “tre per tre”: 
?
Quindi, il determinante “tre per tre” si riduce alla risoluzione di tre piccoli determinanti, o come vengono anche chiamati, MINOROV. Consiglio di ricordare il termine, soprattutto perché è memorabile: minore – piccolo.
Una volta scelto il metodo di decomposizione del determinante sulla prima riga, è ovvio che tutto ruoti attorno a lei:
Gli elementi vengono solitamente visualizzati da sinistra a destra (o dall'alto verso il basso se è stata selezionata una colonna)
Andiamo, per prima cosa ci occupiamo del primo elemento della linea, cioè con uno:
1) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente: 
2) Quindi scriviamo l'elemento stesso: 
3) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui compare il primo elemento: 
I restanti quattro numeri formano il determinante “due per due”, che viene chiamato MINORE di un dato elemento (unità).
Passiamo al secondo elemento della linea.
4) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente:
5) Quindi scrivi il secondo elemento: 
6) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui compare il secondo elemento: 
Bene, il terzo elemento della prima riga. Nessuna originalità:
7) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente: 
8) Annotare il terzo elemento: 
9) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna che contiene il terzo elemento: 
Scriviamo i restanti quattro numeri in un piccolo determinante.
Le restanti azioni non presentano alcuna difficoltà, poiché sappiamo già come contare i determinanti due a due. NON CONFUDERVI NEI SEGNI!
Allo stesso modo, il determinante può essere espanso su qualsiasi riga o in qualsiasi colonna. Naturalmente in tutti e sei i casi la risposta è la stessa.
Il determinante quattro per quattro può essere calcolato utilizzando lo stesso algoritmo.
In questo caso, la nostra matrice di segni aumenterà:
Nell'esempio seguente ho ampliato il determinante secondo la quarta colonna:
Come è successo, prova a capirlo da solo. Maggiori informazioni arriveranno più tardi. Se qualcuno vuole risolvere il determinante fino alla fine, la risposta corretta è: 18. Per esercitarsi, è meglio risolvere il determinante con qualche altra colonna o altra riga.
Esercitarsi, scoprire, fare calcoli è molto buono e utile. Ma quanto tempo dedicherai alla grande qualificazione? Non esiste un modo più veloce e affidabile? Ti suggerisco di familiarizzare con metodi efficaci per il calcolo dei determinanti nella seconda lezione - Proprietà di un determinante. Ridurre l'ordine del determinante.
STAI ATTENTO!
Definizione1. 7. Minore L'elemento di un determinante è un determinante ottenuto da un dato elemento cancellando la riga e la colonna in cui appare l'elemento selezionato.
Designazione: l'elemento selezionato del determinante, il suo minore.
Esempio. Per 
Definizione1. 8. Complemento algebrico L'elemento del determinante è chiamato minore se la somma degli indici di questo elemento i+j è un numero pari, o il numero opposto al minore se i+j è dispari, cioè 
Consideriamo un altro modo per calcolare i determinanti del terzo ordine: la cosiddetta espansione di riga o colonna. Per fare ciò dimostriamo il seguente teorema:
Teorema 1.1. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi delle sue righe o colonne e dei loro complementi algebrici, cioè
dove i=1,2,3.
Prova.
Dimostriamo il teorema per la prima riga del determinante, poiché per qualsiasi altra riga o colonna si può fare un ragionamento simile e ottenere lo stesso risultato.
Troviamo i complementi algebrici agli elementi della prima riga:
Pertanto, per calcolare il determinante, è sufficiente trovare i complementi algebrici degli elementi di qualsiasi riga o colonna e calcolare la somma dei loro prodotti per gli elementi corrispondenti del determinante.
Esempio. Calcoliamo il determinante utilizzando l'espansione nella prima colonna. Si noti che in questo caso non è necessario cercare, poiché di conseguenza troveremo e 
Quindi,
Determinanti degli ordini superiori.
Definizione1. 9. determinante dell'ennesimo ordine
c'è una somma n! membri 
ognuno dei quali corrisponde ad uno degli n! insiemi ordinati ottenuti da r permutazioni a coppie di elementi dell'insieme 1,2,…,n.
Osservazione 1. Le proprietà dei determinanti del 3° ordine valgono anche per i determinanti dell'ordine n.
Osservazione 2. In pratica, i determinanti di ordine elevato vengono calcolati utilizzando l'espansione di riga o di colonna. Ciò ci consente di abbassare l'ordine dei determinanti calcolati e, in definitiva, di ridurre il problema alla ricerca di determinanti del terzo ordine.
Esempio. Calcoliamo il determinante del 4° ordine 
utilizzando l'espansione lungo la 2a colonna. Per fare ciò troveremo:
Quindi,
Il teorema di Laplace- uno dei teoremi dell'algebra lineare. Prende il nome dal matematico francese Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), a cui è attribuita la formulazione di questo teorema nel 1772, sebbene Leibniz conoscesse un caso speciale di questo teorema sulla decomposizione di un determinante in una riga (colonna). .
Smalto minore è definito come segue:
La seguente affermazione è vera.
Il numero di minori su cui viene calcolata la somma nel teorema di Laplace è uguale al numero di modi per selezionare le colonne da , ovvero il coefficiente binomiale.
Poiché le righe e le colonne della matrice sono equivalenti rispetto alle proprietà del determinante, il teorema di Laplace può essere formulato per le colonne della matrice.
Espansione del determinante in una riga (colonna) (Corollario 1)
Un caso speciale ampiamente noto del teorema di Laplace è l'espansione del determinante in una riga o colonna. Permette di rappresentare il determinante di una matrice quadrata come la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi delle sue righe o colonne e dei loro complementi algebrici.
Sia una matrice quadrata di dimensione . Diamo anche un numero di riga o di colonna della matrice. Quindi il determinante può essere calcolato utilizzando le seguenti formule.
ALGEBRA
1. MATRICI E DETERMINANTI. Definizioni del determinante e delle sue proprietà fondamentali. Teorema sulla scomposizione del determinante negli elementi di una riga (colonna). Criterio di invertibilità della matrice.
Determinante O determinante dell'ennesimo ordineè un numero scritto nella forma
e calcolato da numeri dati (reali o complessi) - elementi del determinante - secondo la seguente legge:
,
esteso a tutti i tipi di permutazioni diverse 
dai numeri. Il numero è pari al numero di trasposizioni che occorre fare per passare dalla permutazione principale alla permutazione N-esimo ordine . Lavoro 
chiamato membro del determinante.
Il determinante è uguale alla somma dei prodotti di tutti gli elementi della sua riga (o colonna) arbitraria per i loro complementi algebrici. In altre parole, d viene espanso negli elementi della i-esima riga
d = un io 1 un io 1 + un io 2 un io 2 +... + un io n un io n (i = )
o jesima colonna
d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).
In particolare, se tutti gli elementi tranne uno di una riga (o colonna) sono zero, allora il determinante è uguale a quell'elemento moltiplicato per il suo complemento algebrico.
Prova.
Verifichiamo la validità del teorema usando l'esempio dell'espansione del determinante del 3° ordine, ad esempio, nella 1a riga. Secondo il teorema tale espansione avrà la forma: D= = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = (tenendo conto della definizione di A ij otteniamo) = =a 11 (-1) 2 M 11 + a 12 (- 1) 3 M 12 + a 13 (-1) 4 M 13 = a 11 - a 12 + a 13 = a 11 (a 22 ×a 33 - a 23 ×a 32) - a 12 (a 21 ×a 33 - a 23 ×a 31) + a 13 (a 21 ×a 32 - a 22 ×a 31) = a 11 ×a 22 ×a 33 + a 12 ×a 23 ×a 31 + a 13 ×a 21 ×a 32 - a 13 ×a 22 ×a 31 - a 12 ×a 21 ×a 33 - a 11 ×a 23 ×a 32 = (secondo la regola dei triangoli) = = D. Un risultato simile si ottiene espandendo il determinante lungo qualsiasi riga (colonna). Fin.
Conseguenza. Se nella i-esima riga (j-esima colonna) del determinante D c'è solo un elemento diverso da zero a ij ¹ 0, il risultato della scomposizione del determinante lungo questa riga (colonna) sarà l'espressione D = a ij ×A ij.
I determinanti dell'ordine ennesimo soddisfano le seguenti proprietà:
1) Quando si traspone un determinante, il suo valore non cambia (cioè, il valore del determinante non cambia quando si sostituiscono le sue righe con colonne con gli stessi numeri).
Prova:
D = = = a 11 × a 22 - a 12 × a 21
N.B. Di conseguenza, le righe e le colonne del determinante sono uguali, quindi le sue proprietà possono essere formulate e dimostrate sia per righe che per colonne.
2) Quando due righe (colonne) qualsiasi del determinante vengono riorganizzate, il suo segno cambia al contrario.
Prova:
D = = a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21 = - (a 12 ×a 21 - a 11 ×a 22) = -
3) Un determinante con due righe (colonne) identiche è uguale a zero.
Prova. Lascia che il determinante D abbia due righe identiche. Se li scambiamo, da un lato il valore del determinante non cambierà, poiché le righe sono le stesse e, dall'altro, il determinante dovere cambiare il suo segno in quello opposto per la proprietà 2. Quindi abbiamo: D = -D Þ D = 0.
4) Il fattore comune degli elementi di qualunque riga (colonna) può essere portato oltre il segno del determinante.
Prova:
D= = la 11 ×a 22 - la 12 ×a 21 = l(a 11 ×a 22 - a 12 ×a 21) = l.
Corollario: D = = l×m.
N.B. La regola per moltiplicare un determinante per un numero. Per moltiplicare un determinante per un numero, sono necessari tutti gli elementi di qualche tipo uno le sue righe (colonne) moltiplicate per questo numero.
5) Un determinante con una riga (colonna) zero è uguale a zero.
Prova. Per la proprietà 4 prendiamo il fattore comune l = 0 degli elementi della riga (colonna) zero oltre il segno del determinante. Otteniamo 0×D = 0.
6) Un determinante con due o più righe (colonne) proporzionali è uguale a zero.
Prova. Se togliamo il coefficiente di proporzionalità di due righe (colonne) l≠0 dal segno del determinante, otteniamo un determinante con due righe (colonne) identiche, pari a zero per la proprietà 3.
7) Se ogni elemento di qualsiasi riga (colonna) del determinante è rappresentato in
forma della somma di k termini, allora tale determinante è uguale alla somma di k determinanti in cui gli elementi di questa riga (colonna) sono sostituiti dai termini corrispondenti e tutti gli altri elementi sono uguali a quelli del determinante originale .
Prova:
D= 
= (a 11 + b 11)a 22 - (a 12 + b 12)a 21 = (a 11 a 22 - a 12 a 21) + (b 11 a 22 - b 12 a 21) = = + .
sicuramente L'n-esima riga del determinante è detta combinazione lineare delle sue restanti (n-1) righe se può essere rappresentata come la somma dei prodotti di queste righe per i numeri corrispondenti l 1, l 2, …, l n - 1. Ad esempio, nel determinante
La terza riga è una combinazione lineare delle prime due righe.
N.B. Una combinazione lineare si dice banale se ha "l i = 0. Altrimenti una combinazione lineare si dice non banale (se $l i ¹ 0).
8 a) Se una riga (colonna) di un determinante è una combinazione lineare delle sue altre righe (colonne), allora tale determinante è uguale a zero.
Dimostrazione: D =
8 b) Il valore del determinante non cambierà se agli elementi di una qualsiasi delle sue righe (colonne) vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di qualsiasi altra riga (colonna) del determinante, moltiplicati per lo stesso numero.
Prova:
Sia D= Þ (alla 1a riga aggiungi la 2a riga moltiplicata per il numero l) Þ
9) La somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) del determinante per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di qualsiasi altra riga (colonna) del determinante è uguale a zero, cioè = 0 (se i ≠ j).Ad esempio, poniamo
Allora a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = 0, poiché gli elementi della 1a riga del determinante si moltiplicano per i complementi algebrici dei corrispondenti elementi della 2a riga.
Prova:
a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = a 11 ×(-1) 2+1 + a 12 ×(-1) 2+2 + a 13 ×(-1) 2+3 =
=(questa è l'espansione lungo la 1a riga del determinante (-1)× = 0)= 0.
Se il determinante è D¹0, allora per la proprietà 8 b) è sempre possibile “azzerare” la i-esima riga (j-esima colonna) all'unico elemento diverso da zero ed espandere il determinante lungo questa riga (colonna). Applicando questa operazione il numero di volte richiesto, è sempre possibile ottenere un determinante di 2° ordine dal determinante di ordine n.
Esercizio. Calcola il determinante scomponendolo in elementi di una riga o di una colonna.
Soluzione. Eseguiamo prima delle trasformazioni elementari sulle righe del determinante, facendo quanti più zeri possibile sia nella riga che nella colonna. Per fare ciò, sottraiamo prima nove terzi dalla prima riga, cinque terzi dalla seconda e tre terzi dalla quarta, otteniamo:
Scomponiamo il determinante risultante negli elementi della prima colonna:
Espanderemo anche il determinante del terzo ordine risultante negli elementi della riga e della colonna, avendo precedentemente ottenuto gli zeri, ad esempio, nella prima colonna. Per fare ciò, sottrai le seconde due righe dalla prima riga e la seconda riga dalla terza:
Risposta. 
12. Slough 3° ordine
1. Regola del triangolo
Schematicamente, questa regola può essere rappresentata come segue:
Il prodotto degli elementi del primo determinante collegati da rette si prende con il segno più; analogamente, per il secondo determinante, i prodotti corrispondenti si prendono con il segno meno, cioè
2. Regola di Sarrus
A destra del determinante aggiungi le prime due colonne e prendi i prodotti degli elementi sulla diagonale principale e sulle diagonali ad essa parallele con segno più; e i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle diagonali ad essa parallele, con il segno meno:
3. Espansione del determinante in una riga o colonna
Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga del determinante e dei loro complementi algebrici. Di solito viene selezionata la riga/colonna che contiene zeri. La riga o colonna lungo la quale verrà effettuata la scomposizione sarà indicata da una freccia.
Esercizio. Espandendo lungo la prima riga, calcola il determinante
Soluzione.
Risposta. 
4. Riduzione del determinante alla forma triangolare
Utilizzando trasformazioni elementari su righe o colonne, il determinante viene ridotto a una forma triangolare e quindi il suo valore, secondo le proprietà del determinante, è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Esempio
Esercizio. Determinante del calcolo 
portandolo ad una forma triangolare.
Soluzione. Per prima cosa creiamo degli zeri nella prima colonna sotto la diagonale principale. Tutte le trasformazioni saranno più facili da eseguire se l'elemento è uguale a 1. Per fare ciò, scambieremo la prima e la seconda colonna del determinante, il che, secondo le proprietà del determinante, gli farà cambiare segno in opposto:
