Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл» , а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций.

Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия , как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных и Таблица интегралов .

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится.

Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья).

Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям , поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций , интегралов от дробей , интегралов от дробно-рациональных функций , интегралов от иррациональных функций (корней) , но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество первообразных функций от данной подынтегральной функции

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение:

Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

– это исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:

– константу C можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

– интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

.

Выполнить проверку.

Решение: Удобнее преобразовать его, как.

(1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала dx под каждым интегралом. Почему под каждым? dx – это полноценный множитель. Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так:

.

(2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg 5 – это константа, её также выносим.

Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх.

Например, – это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: – это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и

для степенной функции - .

Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: .

Константу C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения

(а не ставить их после каждого интеграла ).

(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида

снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция , т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал:

.

В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение.

Не стоит пугаться понятия дифференциал.

Дифференциал – это производная, умноженная на dx .

Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx :

Получено исходное подынтегральное выражение , то есть интеграл найден правильно.

Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли.

На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок d убираем;

2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);

3) в конце выражения приписываем множитель dx .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку , тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл:

. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного в виде: или .

Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно.

Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже.

Получена исходная подынтегральная функция , а значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося, в данном случае, за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?».

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции.

Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как

и ни в какую не получается правильный ответ ,

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей . Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле . Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6: Решение:

Слово «интеграл» происходит от латинского integralis - целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.

Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла

В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения - это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.

Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.

Как возникло вычисление интегралов и производных?

После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая - нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.

Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.

Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл - основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа - важнейшего раздела высшей математики.

Площадь под кривой линией

Итак, как же определить ееточную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.

Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.

Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.

В этом случае область под кривой - всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b - a), так что площадь определяется как: k · (b - а).

Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.

Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.

Риманова сумма

Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.

Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).

Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.

В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.

Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x* i внутри соответствующей полоски Δx i (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.

Составим Риманову сумму:

Переход от Римановой суммы к определенному интегралу

В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма A n стремится к некоторому пределу A. Число A - одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x* i .

Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.

Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δx i →0, а предел A суммы A n численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функцииf (х):

Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.

Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла

Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a

Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен.

В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое - суммарной площади участков, находящихся под ней.

Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) - (S2+S4).

Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt.

Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t 1 =a до t 2 =b выразит приближенно путь s за время t 2 - t 1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s.

Дифференциал определенного интеграла

Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже.

При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой.

Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла

Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам.

Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, - ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее).

Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом:

Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу.

Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов.

Основное правило интегрирования

Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях.

Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида:

После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна - это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла.

Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже.

Пусть нужно найти интеграл от функции:

f(х) = 4x 2 + 2x - 3.

Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x 3) / 3.

Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x 0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x.

Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = - 1 (потому что мы не можем разделить на 0).

Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт.

Таблицы интегралов

В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями.

Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции:

Как же вычислить определенный интеграл

Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница

Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания.

Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением.

Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой.

Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой.

Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением, использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором - подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции:

y=(1+t)/t 3 от t=1 до t=2.

Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1) 2 .

О несобственных интегралах

Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.

Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.

Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений , где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям . То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма . И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе . Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей , которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций . В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки .

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала .

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, очевидно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

Методом сведения интеграла к самому себе

Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.

Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:

Интегрируем по частям:

(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.

(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).

Теперь смотрим на самое начало решения:

И на концовку:

Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!

Приравниваем начало и конец:

Переносим в левую часть со сменой знака:

А двойку сносим в правую часть. В результате:

Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:

Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:

Таким образом:

Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:

Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях . И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат :
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?

Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы , что обозначать за , можно было пойти другим путём:

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Решаем:

Замена тут проста:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей , решается методом выделения полного квадрата . Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций .

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу , поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции , пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.

На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!

Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:

Пример 17

Найти неопределенный интеграл

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.

Пара простых примеров для самостоятельного решения:

Пример 18

Найти неопределенный интеграл

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Пример 19

Найти неопределенный интеграл

Ну, это совсем простой пример.

Полные решения и ответы в конце урока.

Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала .

Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.

Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:

Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число , например:

для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.

! Примечание :если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах №№17, 18).

Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:

Пример 20

Найти неопределенный интеграл

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Пример 21

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:

Пример 22

Найти неопределенный интеграл

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Пример 23

Найти неопределенный интеграл

Пример 24

Найти неопределенный интеграл

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования . С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов .

Пример

Задание. Найти интеграл $\int 2^{3 x-1} d x$

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

$\int 2^{3 x-1} d x=\int 2^{3 x} \cdot 2^{-1} d x=\frac{1}{2} \int\left(2^{3}\right)^{x} d x=$

$=\frac{1}{2} \int 8^{x} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$

Ответ. $\int 2^{3 x-1} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$

ссылке →

2. Внесение под знак дифференциала

3. Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки . Пусть $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi^{\prime}(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$=x \sin x+\cos x+C$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Первообразная F(x) от функции f(x) - это такая функция, производная которой равна f(x) :
F′(x) = f(x), x ∈ Δ ,
где Δ - промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом:
,
где C - постоянная, не зависящая от переменной x .

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов - путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы.
См. Таблица интегралов >>>

Правило интегрирования суммы (разности)

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c - постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

Замена переменной

Пусть x - функция от переменной t , x = φ(t) , тогда
.
Или наоборот, t = φ(x) ,
.

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

Правило интегрирования по частям

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть P k (x), Q m (x), R n (x) обозначают многочлены степеней k, m, n , соответственно, относительно переменной x .

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n , то сначала нужно выделить целую часть дроби:
.
Интеграл от многочлена S k-n (x) вычисляется по таблице интегралов.

Остается интеграл:
, где m < n .
Для его вычисления, подынтегральное выражение нужно разложить на простейшие дроби.

Для этого нужно найти корни уравнения:
Q n (x) = 0 .
Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ... .
Здесь s - коэффициент при x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

После этого разложить дробь на простейшие:

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов.
Интегралы вида

приводятся к табличным подстановкой t = x - a .

Рассмотрим интеграл:

Преобразуем числитель:
.
Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла:
,
.
Первый, подстановкой t = x 2 + ex + f приводится к табличному.
Второй, по формуле приведения:

приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов:
.
Тогда подстановкой , интеграл

также приводится к табличному.

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R(u 1 , u 2 , ... , u n) означает рациональную функцию от переменных u 1 , u 2 , ... , u n . То есть
,
где P, Q - многочлены от переменных u 1 , u 2 , ... , u n .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:
,
где - рациональные числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа.
Пусть n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s .
Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:
.

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p - рациональные числа, a, b - действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p - целое. Подстановка x = t N , где N - общий знаменатель дробей m и n .
2) Если - целое. Подстановка a x n + b = t M , где M - знаменатель числа p .
3) Если - целое. Подстановка a + b x - n = t M , где M - знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида:
,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0 ;
, при c > 0 ;
, где x 1 - корень уравнения a x 2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида:
,
где P n (x) - многочлен степени n .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:

Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i .

II тип

Интеграл вида:
,
где P m (x) - многочлен степени m .

Подстановкой t = (x - α) -1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби следует выделить целую часть.

III тип

Третий и наиболее сложный тип:
.

Здесь нужно сделать подстановку:
.
После чего интеграл примет вид:
.
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
;
,
которые интегрируются, соответственно подстановками:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Общий случай

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида:
,
где R - рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:
1) если R(cos x, sin x) умножается на -1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x , то полезно другую из них обозначить через t .
2) если R(cos x, sin x) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x , то полезно положить tg x = t или ctg x = t .
3) подстановка во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям чем предыдущие, если они применимы.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы вида:

Если m и n - рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n - целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:

;
;
;
.

Интегрирование по частям

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций
cos ax или sin ax , то удобно применить формулу Эйлера:
e iax = cos ax + isin ax (где i 2 = -1 ),
заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.