– električni krug koji se sastoji od serijski spojenog kondenzatora s kapacitetom, zavojnice s induktivitetom i električnog otpora.
Idealan titrajni krug- krug koji se sastoji samo od induktora (koji nema vlastiti otpor) i kondenzatora (-krug). Tada se u takvom sustavu održavaju kontinuirane elektromagnetske oscilacije struje u krugu, napona na kondenzatoru i naboja kondenzatora. Pogledajmo konturu i razmislimo o tome odakle dolaze vibracije. Neka se početno napunjen kondenzator smjesti u krug koji opisujemo.
Riža. 1. Oscilatorni krug
U početnom trenutku vremena sav naboj je koncentriran na kondenzatoru, na zavojnici nema struje (slika 1.1). Jer nema vanjskog polja ni na pločama kondenzatora, tada elektroni s ploča počinju "izlaziti" u krug (naboj na kondenzatoru počinje opadati). U tom slučaju (zbog oslobođenih elektrona) struja u krugu raste. Smjer struje je u ovom slučaju od plusa do minusa (međutim, kao i uvijek), a kondenzator je izvor izmjenične struje za ovaj sustav. Međutim, s povećanjem struje na zavojnici, kao rezultat toga, nastaje obrnuta indukcijska struja (). Smjer indukcijske struje, prema Lenzovom pravilu, trebao bi neutralizirati (smanjiti) rast glavne struje. Kada naboj kondenzatora postane nula (cijeli naboj će se isprazniti), snaga indukcijske struje u zavojnici će postati maksimalna (slika 1.2).
Međutim, trenutni naboj u strujnom krugu ne može nestati (zakon održanja naboja), tada je ovaj naboj, koji je jednu ploču napustio kroz krug, završio na drugoj ploči. Dakle, kondenzator se puni u suprotnom smjeru (slika 1.3). Indukcijska struja na svitku se smanjuje na nulu jer promjena magnetskog toka također teži nuli.
Kada je kondenzator potpuno napunjen, elektroni se počinju kretati u suprotnom smjeru, t.j. kondenzator se prazni u suprotnom smjeru i nastaje struja koja doseže svoj maksimum kada se kondenzator potpuno isprazni (slika 1.4).
Daljnjim obrnutim punjenjem kondenzatora sustav se dovodi u položaj na slici 1.1. Ovo ponašanje sustava se ponavlja koliko god želite. Tako dobivamo fluktuaciju različitih parametara sustava: struje u zavojnici, naboja na kondenzatoru, napona na kondenzatoru. U slučaju idealnosti strujnog kruga i žica (nedostatak samootpora), te vibracije jesu.
Za matematički opis ovih parametara ovog sustava (prije svega perioda elektromagnetskih oscilacija) uvodi se izračunata pred nama Thomsonova formula:
Nesavršen obris je još uvijek isti idealni krug koji smo razmatrali, s jednim malim uključivanjem: s prisutnošću otpora (-konture). Taj otpor može biti i otpor svitka (nije idealan) i otpor provodnih žica. Opća logika nastanka oscilacija u neidealnom krugu slična je onoj u idealnom. Jedina razlika je u samim vibracijama. U slučaju prisustva otpora, dio energije će se raspršiti u okolinu - otpor će se zagrijati, zatim će se energija titrajnog kruga smanjiti i same oscilacije će postati propadajući.
Za rad sa sklopovima u školi koristi se samo opća energetska logika. U ovom slučaju pretpostavljamo da je ukupna energija sustava u početku koncentrirana na i/ili, te je opisana.
Elektromagnetsko polje može postojati i u odsutnosti električnih naboja ili struja: upravo ta "samoodrživa" električna i magnetska polja su elektromagnetski valovi, koji uključuju vidljivo svjetlo, infracrveno, ultraljubičasto i X-zrake, radio valove itd.
§ 25. Oscilatorni krug
Najjednostavniji sustav u kojem su moguće prirodne elektromagnetske oscilacije je tzv. titrajni krug, koji se sastoji od kondenzatora i induktora međusobno povezanih (slika 157). Kao u mehaničkom oscilatoru, na primjer, masivnom tijelu na elastičnoj oprugi, prirodne oscilacije u krugu praćene su energetskim transformacijama.
Riža. 157. Oscilatorni krug
Analogija između mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. Za oscilatorni krug, analog potencijalne energije mehaničkog oscilatora (na primjer, elastična energija deformirane opruge) je energija električnog polja u kondenzatoru. Analog kinetičke energije tijela koje se kreće je energija magnetskog polja u induktoru. Doista, energija opruge proporcionalna je kvadratu pomaka iz ravnotežnog položaja, a energija kondenzatora proporcionalna je kvadratu naboja. Kinetička energija tijela proporcionalna je kvadratu njegove brzine, a energija magnetskog polja u zavojnici proporcionalna je kvadratu struje
Ukupna mehanička energija opružnog oscilatora E jednaka je zbroju potencijalne i kinetičke energije:
Energija vibracija. Slično, ukupna elektromagnetska energija oscilatornog kruga jednaka je zbroju energija električnog polja u kondenzatoru i magnetskog polja u zavojnici:
Iz usporedbe formula (1) i (2) proizlazi da je analog krutosti opružnom oscilatoru u oscilatornom krugu inverzni kapacitet kondenzatora C, a analog mase je induktivitet zavojnice
Podsjetimo da se u mehaničkom sustavu čija je energija data izrazom (1) mogu pojaviti prirodne neprigušene harmonijske oscilacije. Kvadrat frekvencije takvih vibracija jednak je omjeru koeficijenata na kvadratima pomaka i brzine u izrazu za energiju:
Prirodna frekvencija. U oscilatornom krugu čija je elektromagnetska energija dana izrazom (2) mogu se javiti prirodne neprigušene harmonijske oscilacije čiji je kvadrat frekvencije također, očito, jednak omjeru odgovarajućih koeficijenata (tj. koeficijenata za kvadrate naboja i jakosti struje):
Iz (4) slijedi izraz za period osciliranja, nazvan Thomsonova formula:
Kod mehaničkih vibracija, ovisnost pomaka x o vremenu određena je kosinusnom funkcijom, čiji se argument naziva faza oscilacija:
Amplituda i početna faza. Amplituda A i početna faza a određene su početnim uvjetima, tj. vrijednostima pomaka i brzine pri
Slično, s elektromagnetskim prirodnim oscilacijama u krugu, naboj kondenzatora ovisi o vremenu prema zakonu
gdje je frekvencija određena, u skladu s (4), samo svojstvima samog kruga, a određena je amplituda oscilacija naboja i početna faza a, kao u slučaju mehaničkog oscilatora
početni uvjeti, odnosno vrijednosti naboja kondenzatora i jakosti struje pri Dakle, prirodna frekvencija ne ovisi o načinu pobuđivanja titranja, dok su amplituda i početna faza određene točno uzbudnim uvjetima .
Energetske transformacije. Razmotrimo detaljnije transformacije energije tijekom mehaničkih i elektromagnetskih vibracija. Na sl. 158 shematski prikazuje stanja mehaničkih i elektromagnetskih oscilatora u intervalima od četvrtine perioda.
Riža. 158. Energetske transformacije tijekom mehaničkih i elektromagnetskih vibracija
Dva puta tijekom perioda titranja energija se pretvara iz jedne vrste u drugu i obrnuto. Ukupna energija oscilatornog kruga, kao i ukupna energija mehaničkog oscilatora, u nedostatku disipacije, ostaje nepromijenjena. Da bismo se u to uvjerili, potrebno je u formuli (2) zamijeniti izraz (6) za i izraz za snagu struje
Koristeći formulu (4) za dobivamo
Riža. 159. Grafovi ovisnosti o vremenu naboja kondenzatora energije električnog polja kondenzatora i energije magnetskog polja u zavojnici.
Nepromijenjena ukupna energija poklapa se s potencijalnom energijom u trenucima kada je napunjenost kondenzatora maksimalna, a poklapa se s energijom magnetskog polja zavojnice - "kinetičkom" energijom - u trenucima kada naboj kondenzatora nestaje, a struja je maksimalna. Tijekom međusobnih transformacija, dvije vrste energije vrše harmonijske oscilacije s istom amplitudom u protufazi jedna s drugom i s frekvencijom u odnosu na njihovu prosječnu vrijednost. To je lako vidjeti kao na sl. 158, i koristeći formule trigonometrijskih funkcija pola argumenta:
Grafovi vremenske ovisnosti naboja kondenzatora od energije električnog polja i energije magnetskog polja prikazani su na sl. 159 za početnu fazu
Kvantitativni zakoni prirodnih elektromagnetskih oscilacija mogu se uspostaviti izravno na temelju zakona za kvazistacionarne struje, bez pozivanja na analogiju s mehaničkim titranjima.
Jednadžba za oscilacije u krugu. Razmotrimo najjednostavniji oscilatorni krug prikazan na Sl. 157. Prilikom zaobilaženja kruga, na primjer, u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, zbroj napona na prigušnici i kondenzatoru u tako zatvorenom serijskom krugu jednak je nuli:
Napon na kondenzatoru povezan je s nabojem ploče i kapacitivnošću C omjerom Napon na induktivitetu u bilo kojem trenutku je jednak po veličini i suprotan u predznaku EMF-a samoindukcije, dakle, struja u krugu jednaka je brzini promjene naboja kondenzatora: Zamjena jakosti struje u izrazu za napon na induktoru i označavanje druge derivacije naboja kondenzatora s obzirom na vrijeme kroz
Dobivamo Sada izraz (10) poprima oblik
Prepišimo ovu jednadžbu drugačije, uvodeći po definiciji:
Jednadžba (12) poklapa se s jednadžbom harmonijskih vibracija mehaničkog oscilatora s prirodnom frekvencijom. Rješenje takve jednadžbe je dano harmonijskom (sinusoidnom) funkcijom vremena (6) s proizvoljnim vrijednostima amplitude i početne faza a. Odavde slijede svi gornji rezultati koji se tiču elektromagnetskih oscilacija u krugu.
Prigušenje elektromagnetskih oscilacija. Do sada su razmatrane prirodne oscilacije u idealiziranom mehaničkom sustavu i idealiziranom LC krugu. Idealizacija se sastojala u zanemarivanju trenja u oscilatoru i električnog otpora u krugu. Samo u tom slučaju sustav će biti konzervativan i energija vibracija će biti sačuvana.
Riža. 160. Oscilatorni krug s otporom
Disipacija energije vibracija u krugu može se uzeti u obzir na isti način kao što je to učinjeno u slučaju mehaničkog oscilatora s trenjem. Prisutnost električnog otpora zavojnice i spojnih žica neizbježno je povezana s oslobađanjem Joule topline. Kao i prije, ovaj otpor se može smatrati samostalnim elementom u električnom krugu titrajnog kruga, smatrajući zavojnicu i žice idealnim (slika 160). Kada se razmatra kvazistacionarna struja u takvom krugu, napon na otporu mora se dodati jednadžbi (10)
Zamjenom u dobivamo
Uvođenje notacije
prepisujemo jednadžbu (14) kao
Jednadžba (16) za ima potpuno isti oblik kao i jednadžba za oscilacije mehaničkog oscilatora s
trenje proporcionalno brzini (viskozno trenje). Stoga, u prisutnosti električnog otpora u krugu, elektromagnetske oscilacije nastaju po istom zakonu kao mehaničke oscilacije oscilatora s viskoznim trenjem.
Disipacija energije vibracija. Kao iu slučaju mehaničkih vibracija, moguće je uspostaviti zakon raspadanja energije prirodnih vibracija s vremenom, koristeći Joule-Lenzov zakon za izračunavanje oslobođene topline:
Kao rezultat toga, u slučaju malog prigušenja za vremenske intervale mnogo duže od razdoblja osciliranja, brzina smanjenja energije oscilacije ispada proporcionalna samoj energiji:
Rješenje jednadžbe (18) ima oblik
Energija prirodnih elektromagnetskih oscilacija u strujnom krugu s otporom opada eksponencijalno.
Energija vibracije proporcionalna je kvadratu njihove amplitude. Za elektromagnetske oscilacije to slijedi, na primjer, iz (8). Stoga se amplituda prigušenih oscilacija, u skladu s (19), smanjuje prema zakonu
Životni vijek vibracija. Kao što se može vidjeti iz (20), amplituda oscilacija se smanjuje za faktor puta u vremenu jednakom bez obzira na početnu vrijednost amplitude. Ovo vrijeme x naziva se životnim vijekom oscilacija, iako, kao što se može vidjeti iz (20), oscilacije se formalno nastavljaju u nedogled. U stvarnosti, naravno, ima smisla govoriti o oscilacijama samo sve dok njihova amplituda prelazi karakterističnu vrijednost razine toplinskog šuma u danom krugu. Stoga, zapravo, oscilacije u krugu "žive" konačno vrijeme, koje, međutim, može biti nekoliko puta duže od gore uvedenog vijeka trajanja x.
Često je važno znati ne sam životni vijek oscilacija x, već broj ukupnih oscilacija koje će se dogoditi u krugu za to vrijeme x. Ovaj broj pomnožen s naziva se faktor kvalitete kruga.
Strogo govoreći, prigušene oscilacije nisu periodične. Uz malo prigušenje, možemo uvjetno govoriti o periodu, koji se shvaća kao vremenski interval između dva
uzastopne maksimalne vrijednosti napunjenosti kondenzatora (istog polariteta) ili maksimalne vrijednosti struje (jedan smjer).
Prigušenje oscilacija utječe na period, što dovodi do njegovog povećanja u usporedbi s idealiziranim slučajem bez prigušenja. Pri malom prigušenju, povećanje perioda osciliranja je vrlo neznatno. Međutim, s jakim prigušenjem možda uopće neće biti oscilacija: napunjeni kondenzator će se prazniti aperiodično, tj. bez promjene smjera struje u krugu. To će biti slučaj za, tj. za
Točno rješenje. Gore formulirani zakoni prigušenih oscilacija slijede iz točnog rješenja diferencijalne jednadžbe (16). Izravnom zamjenom može se potvrditi da ima oblik
gdje su proizvoljne konstante čije su vrijednosti određene iz početnih uvjeta. Pri malom prigušenju faktor na kosinusu se može smatrati sporo promjenjivom amplitudom oscilacija.
Zadatak
Punjenje kondenzatora kroz induktor. U krugu, čiji je dijagram prikazan na sl. 161, naboj gornjeg kondenzatora je jednak, a donjeg nije napunjen. Trenutno je ključ zatvoren. Nađite vremensku ovisnost naboja gornjeg kondenzatora i struje u zavojnici.
Riža. 161. U početnom trenutku vremena nabijen je samo jedan kondenzator
Riža. 162. Naboji kondenzatora i struja u strujnom kolu nakon zatvaranja ključa
Riža. 163. Mehanička analogija za električni krug prikazan na sl. 162
Riješenje. Nakon što je ključ zatvoren, u krugu nastaju oscilacije: gornji kondenzator počinje se prazniti kroz zavojnicu, dok se puni donji; onda se sve događa u suprotnom smjeru. Pretpostavimo, na primjer, da je gornja ploča kondenzatora pozitivno nabijena na. Zatim
nakon kratkog vremenskog intervala, predznaci naboja ploča kondenzatora i smjer struje bit će kao što je prikazano na sl. 162. Označimo nabojima one ploče gornjeg i donjeg kondenzatora, koje su međusobno spojene preko induktora. Na temelju zakona održanja električnog naboja
Zbroj naprezanja na svim elementima zatvorene petlje u svakom trenutku je jednak nuli:
Predznak napona na kondenzatoru odgovara raspodjeli naboja na sl. 162. i naznačeni smjer struje. Izraz za struju kroz zavojnicu može se napisati u jednom od dva oblika:
Iz jednadžbe isključujemo pomoću odnosa (22) i (24):
Uvođenje notacije
prepisujemo (25) u sljedećem obliku:
Ako umjesto uvođenja funkcije
i uzeti u obzir da (27) ima oblik
Ovo je uobičajena jednadžba trajnih harmonijskih oscilacija, koja ima rješenje
gdje su i proizvoljne konstante.
Vraćajući se s funkcije, dobivamo sljedeći izraz za ovisnost o vremenu punjenja gornjeg kondenzatora:
Da bismo odredili konstante i, uzimamo u obzir da je u početnom trenutku naboj a struja Za jačinu struje iz (24) i (31) imamo
Budući da slijedi da Zamjenom sada u i uzimajući u obzir da dobivamo
Dakle, izrazi za naboj i struju imaju oblik
Priroda oscilacija naboja i struje posebno je vidljiva pri istim vrijednostima kapacitivnosti kondenzatora. U ovom slučaju
Naboj gornjeg kondenzatora oscilira s amplitudom oko prosječne vrijednosti jednakom Za polovicu perioda titranja on se smanjuje s maksimalne vrijednosti u početnom trenutku na nulu, kada je sav naboj na donjem kondenzatoru.
Izraz (26) za frekvenciju titranja, naravno, mogao bi se odmah napisati, budući da su u krugu koji se razmatra kondenzatori spojeni serijski. Međutim, teško je izravno napisati izraze (34), budući da je u takvim početnim uvjetima nemoguće kondenzatore koji ulaze u krug zamijeniti jednim ekvivalentom.
Vizualni prikaz procesa koji se ovdje odvijaju dat je mehanički analog ovog električnog kruga, prikazan na sl. 163. Identične opruge odgovaraju slučaju kondenzatora istog kapaciteta. U početnom trenutku, lijeva opruga je komprimirana, što odgovara nabijenom kondenzatoru, a desna je u nedeformiranom stanju, budući da stupanj deformacije opruge ovdje služi kao analog naboja kondenzatora. Prilikom prolaska kroz srednji položaj obje opruge su djelomično stisnute, a u krajnjem desnom položaju lijeva opruga je nedeformirana, a desna je u početnom trenutku stisnuta na isti način kao i lijeva, što odgovara potpunom prelijevanje naboja s jednog kondenzatora na drugi. Iako lopta izvodi normalne harmonijske vibracije oko ravnotežnog položaja, deformacija svake od opruga opisana je funkcijom čija je prosječna vrijednost različita od nule.
Za razliku od oscilatornog kruga s jednim kondenzatorom, gdje tijekom oscilacija dolazi do njegovog ponovnog potpunog punjenja, u razmatranom sustavu početno napunjen kondenzator nije potpuno napunjen. Na primjer, kada se njegov naboj smanji na nulu, a zatim se ponovno oporavi u istom polaritetu. Inače se te vibracije ne razlikuju od harmonijskih vibracija u konvencionalnom krugu. Energija tih vibracija je očuvana, ako se, naravno, može zanemariti otpor zavojnice i spojnih žica.
Objasnite zašto se iz usporedbe formula (1) i (2) za mehaničku i elektromagnetsku energiju zaključilo da je analog krutosti k i analog masene induktivnosti, a ne obrnuto.
Navedite opravdanje izvođenja izraza (4) za vlastitu frekvenciju elektromagnetskih titranja u krugu iz analogije s mehaničkim opružnim oscilatorom.
Harmonične oscilacije u -konturi karakteriziraju amplituda, frekvencija, period, faza titranja, početna faza. Koje su od ovih veličina određene svojstvima samog titrajnog kruga, a koje ovise o načinu pobuđivanja titranja?
Dokažite da su prosječne vrijednosti električne i magnetske energije tijekom prirodnih titranja u krugu jednake jedna drugoj i čine polovicu ukupne elektromagnetske energije titranja.
Kako primijeniti zakone kvazistacionarnih pojava u električnom krugu za izvođenje diferencijalne jednadžbe (12) harmonijskih oscilacija u -petlji?
Koju diferencijalnu jednadžbu zadovoljava struja u LC krugu?
Provedite izvođenje jednadžbe za brzinu smanjenja energije titranja pri malom prigušenju na isti način kao što je to učinjeno za mehanički oscilator s trenjem proporcionalnim brzini i pokažite da za vremenske intervale koji znatno prelaze period oscilacija , ovo smanjenje se događa eksponencijalno. Što znači izraz "nisko prigušenje" koji se ovdje koristi?
Pokažite da funkcija zadana formulom (21) zadovoljava jednadžbu (16) za sve vrijednosti i a.
Razmotrimo mehanički sustav prikazan na sl. 163, te pronađite vremensku ovisnost deformacije lijeve opruge i brzine masivnog tijela.
Petlja bez otpora s neizbježnim gubicima. U gore razmatranom problemu, unatoč ne sasvim uobičajenim početnim uvjetima za naboje na kondenzatorima, bilo je moguće primijeniti uobičajene jednadžbe za električne krugove, budući da su tu bili zadovoljeni uvjeti kvazistacionarnosti tekućih procesa. Ali u krugu, čiji je dijagram prikazan na Sl. 164, s formalnom vanjskom sličnošću sa krugom na Sl. 162, uvjeti kvazistacionarnosti nisu ispunjeni ako je u početnom trenutku jedan kondenzator nabijen, a drugi nije.
Razmotrimo detaljnije razloge zbog kojih su ovdje narušeni uvjeti kvazistacionarnosti. Odmah nakon zatvaranja
Riža. 164. Električni krug za koji nisu ispunjeni uvjeti kvazistacionarnosti
Ključno, svi se procesi odvijaju samo u međusobno spojenim kondenzatorima, budući da je povećanje struje kroz induktor relativno sporo i u početku se grananje struje u zavojnicu može zanemariti.
Kada je ključ zatvoren, dolazi do brzih prigušenih oscilacija u krugu koji se sastoji od kondenzatora i žica koje ih povezuju. Razdoblje takvih oscilacija je vrlo kratko, budući da je induktivnost spojnih žica mala. Kao rezultat ovih oscilacija dolazi do preraspodjele naboja na pločama kondenzatora, nakon čega se dva kondenzatora mogu smatrati jednim. Ali u prvom trenutku to se ne može učiniti, jer zajedno s preraspodjelom naboja dolazi i do preraspodjele energije, čiji dio prelazi u toplinu.
Nakon prigušenja brzih oscilacija u sustavu nastaju oscilacije, kao u krugu s jednim kondenzatorom, čiji je naboj u početnom trenutku jednak početnom naboju kondenzatora. Uvjet za valjanost gornjeg razmišljanja je malenost induktiviteta spojnih žica u usporedbi s induktivitetom svitka.
Kao iu razmatranom problemu, i ovdje je korisno pronaći mehaničku analogiju. Ako su dvije opruge koje odgovaraju kondenzatorima bile smještene s obje strane masivnog tijela, onda bi ovdje trebale biti smještene s jedne njegove strane, kako bi se vibracije jedne od njih mogle prenijeti na drugu kada tijelo miruje. Umjesto dvije opruge, možete uzeti jednu, ali samo u početnom trenutku ona bi trebala biti nejednoliko deformirana.
Oprugu uhvatimo za sredinu i istegnemo njezinu lijevu polovicu do određene udaljenosti.Druga polovica opruge će ostati u nedeformiranom stanju, tako da se opterećenje u početnom trenutku pomakne iz ravnotežnog položaja udesno za razmak. i miruje. Zatim pustite proljeće. Do kojih će posebnosti dovesti činjenica da je opruga u početnom trenutku nehomogeno deformirana? jer, kao što možete lako zamisliti, krutost "polovine" opruge je jednaka. Ako je masa opruge mala u odnosu na masu kuglice, frekvencija prirodnih oscilacija opruge kao proširenog sustava je mnogo veća od frekvencije titranja kuglice na oprugi. Ove "brze" oscilacije će se raspasti u vremenu koje je mali djelić perioda osciliranja lopte. Nakon prigušenja brzih oscilacija, napetost u oprugi se preraspoređuje, a pomak tereta praktički ostaje isti, budući da se teret za to vrijeme nema vremena zamjetno pomaknuti. Deformacija opruge postaje homogena, a energija sustava jednaka je
Tako se uloga brzih oscilacija opruge svela na činjenicu da se rezerva energije sustava smanjila na vrijednost koja odgovara jednoličnoj početnoj deformaciji opruge. Jasno je da se daljnji procesi u sustavu ne razlikuju od slučaja jednolične početne deformacije. Ovisnost pomaka tereta o vremenu izražava se istom formulom (36).
U razmatranom primjeru, kao rezultat brzih oscilacija, polovica početne opskrbe mehaničke energije pretvorila se u unutarnju energiju (toplinu). Jasno je da se podvrgavanjem početne deformacije ne pola, već proizvoljnom dijelu opruge, bilo koji dio početne opskrbe mehaničke energije može pretvoriti u unutarnju energiju. Ali u svim slučajevima, energija vibracija opterećenja na oprugu odgovara rezervi energije s istom jednoličnom početnom deformacijom opruge.
U električnom krugu, kao rezultat prigušenih brzih oscilacija, energija nabijenog kondenzatora djelomično se oslobađa u obliku Jouleove topline u spojnim žicama. Uz jednake kapacitete, to će biti polovica početne opskrbe energijom. Druga polovica ostaje u obliku energije relativno sporih elektromagnetskih oscilacija u krugu koji se sastoji od zavojnice i dva kondenzatora C spojena paralelno, a
Stoga je idealizacija, u kojoj se zanemaruje disipacija energije vibracija, u ovom sustavu načelno nedopustiva. Razlog tome je što su ovdje moguće brze oscilacije, bez utjecaja na prigušnice ili masivno tijelo u sličnom mehaničkom sustavu.
Oscilatorni krug s nelinearnim elementima. Proučavajući mehaničke vibracije, vidjeli smo da vibracije nisu uvijek harmonične. Harmonične vibracije su karakteristično svojstvo linearnih sustava u kojima
povratna sila je proporcionalna odstupanju od ravnotežnog položaja, a potencijalna energija proporcionalna je kvadratu odstupanja. Pravi mehanički sustavi, u pravilu, ne posjeduju ova svojstva, a oscilacije u njima mogu se smatrati harmonijskim samo za mala odstupanja od ravnotežnog položaja.
U slučaju elektromagnetskih oscilacija u krugu može se steći dojam da je riječ o idealnim sustavima u kojima su oscilacije strogo harmonične. Međutim, to vrijedi samo dok se kapacitet kondenzatora i induktivnost svitka mogu smatrati konstantnim, odnosno neovisnim o naboju i struji. Dielektrični kondenzator i zavojnica jezgre su, strogo govoreći, nelinearni elementi. Kada se kondenzator napuni feroelektrikom, odnosno tvari čija dielektrična konstanta jako ovisi o primijenjenom električnom polju, kapacitet kondenzatora se više ne može smatrati konstantnim. Isto tako, induktivnost svitka s feromagnetskom jezgrom ovisi o jakosti struje, budući da feromagnet ima svojstvo magnetskog zasićenja.
Ako se u mehaničkim oscilatornim sustavima masa u pravilu može smatrati konstantnom, a nelinearnost nastaje samo zbog nelinearne prirode djelujuće sile, tada u elektromagnetskom oscilatornom krugu nelinearnost može nastati i zbog kondenzatora (analog elastične opruge ) i zbog induktora (analogna masa).
Zašto je idealizacija, u kojoj se sustav smatra konzervativnim, neprimjenjiva za oscilatorni krug s dva paralelna kondenzatora (slika 164)?
Zašto brze oscilacije dovode do disipacije energije titranja u krugu na sl. 164 se nije pojavio u krugu s dva serijska kondenzatora prikazana na sl. 162?
Koji razlozi mogu dovesti do nesinusoidnih elektromagnetskih oscilacija u krugu?
Serijski titrajni krug je krug koji se sastoji od induktora i kondenzatora, koji su serijski spojeni. Na dijagramima idealan sekvencijalni oscilatorni krug označen je ovako:
Pravi titrajni krug ima otpor gubitka zavojnice i kondenzatora. Ovaj ukupni ukupni otpor gubitka označen je slovom R. Kao rezultat, stvaran sekvencijalni oscilatorni krug će izgledati ovako:
R je ukupna otpornost na gubitke svitka i kondenzatora
L je stvarni induktivitet zavojnice
C je stvarni kapacitet kondenzatora
Titrajni krug i generator frekvencije
Napravimo klasični eksperiment koji se nalazi u svakom udžbeniku elektronike. Da bismo to učinili, sastavimo sljedeću shemu:
Generator će nam dati sinus.
Kako bismo snimili oscilogram kroz serijski oscilatorni krug, na krug ćemo spojiti šant otpornik s niskim otporom od 0,5 Ohma i već ćemo ukloniti napon iz njega. To jest, u ovom slučaju koristimo šant za promatranje struje u krugu.
A evo i same sheme u stvarnosti:
S lijeva na desno: shunt otpornik, induktor i kondenzator. Kao što ste već shvatili, otpor R je ukupni otpor gubitaka zavojnice i kondenzatora, budući da ne postoje idealni radio elementi. On se "skriva" unutar zavojnice i kondenzatora, pa ga u pravom strujnom krugu nećemo vidjeti kao zaseban radio element.
Sada nam preostaje da spojimo ovaj krug na generator frekvencije i osciloskop, te ga pokrenemo duž nekih frekvencija, uzimajući oscilogram sa šanta U w, kao i skidanje oscilograma sa samog generatora U GEN.
Uklonit ćemo napon sa šanta koji prikazuje ponašanje struje u krugu, a iz generatora stvarni signal samog generatora. Pokrenimo našu shemu na nekim frekvencijama i vidimo koja je koja.
Utjecaj frekvencije na otpor titrajnog kruga
Pa, idemo. U krugu sam uzeo kondenzator od 1μF i induktor od 1mH. Na generatoru podešavam sinus s zamahom od 4 volta. Podsjećamo na pravilo: ako u krugu spajanje radioelemenata ide uzastopno jedan za drugim, to znači da kroz njih teče ista struja.
Crveni valni oblik je napon iz generatora frekvencije, a žuti valni oblik je struja kroz napon na otporniku šanta.
Frekvencija 200 Hertz s kopecks:
Kao što vidimo, na takvoj frekvenciji postoji struja u ovom krugu, ali vrlo slaba
Dodajte frekvenciju. 600 Hertz s kopejkama
Ovdje se jasno vidi da je jačina struje porasla, a također vidimo da je oscilogram jakosti struje ispred napona. Miriše na kondenzator.
Dodajte frekvenciju. 2 kiloherca
Trenutna snaga je postala još veća.
3 kiloherca
Struja se povećala. Također primijetite da se fazni pomak počeo smanjivati.
4,25 kiloherca
Oscilogrami se gotovo spajaju u jedan. Fazni pomak između napona i struje postaje gotovo neprimjetan.
I na određenoj frekvenciji, naša trenutna snaga postala je maksimalna, a fazni pomak je postao nula. Zapamtite ovaj trenutak. To će nam biti jako važno.
U novije vrijeme, struja je bila ispred napona, a sada je već počela zaostajati nakon što je s njom usklađena u fazi. Budući da struja već zaostaje za naponom, već miriše na reaktanciju induktora.
Još više povećavajući frekvenciju
Struja počinje opadati, a fazni pomak se povećava.
22 kiloherca
74 kiloherca
Kao što vidite, kako se frekvencija povećava, pomak se približava 90 stupnjeva, a struja postaje sve manja.
Rezonancija
Pogledajmo pobliže trenutak kada je fazni pomak bio nula, a struja koja prolazi kroz serijski oscilatorni krug bila je maksimalna:
Ovaj fenomen se zove rezonancija.
Kao što se sjećate, ako naš otpor postane mali, a u ovom slučaju otpori gubitka zavojnice i kondenzatora su vrlo mali, tada u krugu počinje teći velika struja prema Ohmovom zakonu: I = U / R... Ako je generator moćan, tada se napon na njemu ne mijenja, a otpor postaje zanemariv i voila! Struja raste kao gljive nakon kiše, što smo vidjeli gledajući žuti oscilogram na rezonanciji.
Thomsonova formula
Ako pri rezonanciji imamo reaktanciju svitka jednaku reaktanciji kondenzatora X L = X C, tada možete izjednačiti njihove reaktancije i odavde izračunati frekvenciju na kojoj je došlo do rezonancije. Dakle, reaktancija zavojnice izražava se formulom:
Reaktancija kondenzatora izračunava se po formuli:
Izjednačavamo oba dijela i odavde računamo F:
U ovom slučaju, dobili smo formulu rezonantna frekvencija... Ova formula se naziva drugačije po Thomsonovoj formuli, kao što razumijete, u čast znanstvenika koji ga je izveo.
Koristimo Thomsonovu formulu za izračunavanje rezonantne frekvencije našeg serijskog oscilatornog kruga. Za to ću koristiti svoj RLC tranzistorski mjerač.
Mjerimo induktivnost zavojnice:
I mjerimo svoj kapacitet:
Rezonantnu frekvenciju izračunavamo po formuli:
Dobio sam 5, 09 kiloherca.
Uz pomoć podešavanja frekvencije i osciloskopa uhvatio sam rezonanciju na frekvenciji od 4,78 kiloherca (napisano u donjem lijevom kutu)
Otpišimo pogrešku od 200 kopecks Hertz za pogrešku mjerenja instrumenata. Kao što vidite, Thompsonova formula funkcionira.
Rezonancija napona
Uzmimo ostale parametre zavojnice i kondenzatora i vidimo što se događa na samim radioelementima. Moramo sve temeljito saznati ;-). Uzimam induktor s induktivitetom od 22 mikrohenrija:
i kondenzator od 1000 pF
Dakle, da bih uhvatio rezonanciju, neću dodavati krug. Učinit ću to lukavije.
Budući da je moj generator frekvencije kineski i male snage, na rezonanciji u krugu ostaje samo otpor aktivnog gubitka R. Ukupno se dobije mala vrijednost otpora, pa struja na rezonanciji doseže svoje maksimalne vrijednosti. Kao rezultat toga, pristojan napon pada na unutarnjem otporu generatora frekvencije i amplituda izlazne frekvencije generatora pada. Uhvatit ću minimalnu vrijednost ove amplitude. Stoga će to biti rezonancija titrajnog kruga. Preopterećenje generatora nije dobro, ali što ne možete učiniti zarad znanosti!
Pa, krenimo ;-). Prvo izračunajmo rezonantnu frekvenciju koristeći Thomsonovu formulu. Da bih to učinio, otvaram online kalkulator na Internetu i brzo izračunam ovu učestalost. Dobio sam 1,073 megaherca.
Hvatam rezonanciju na generatoru frekvencije prema njegovim minimalnim vrijednostima amplitude. Ispalo je nešto ovako:
Od vrha do vrha 4 volta
Iako generator frekvencije ima zamah veći od 17 volti! Ovako je pala napetost. I kao što vidite, rezonantna frekvencija je malo drugačija od izračunate: 1,109 megaherca.
A sad malo šale ;-)
Ovim signalom šaljemo naš serijski oscilatorni krug:
Kao što vidite, moj generator nije u stanju isporučiti veliku struju u titrajni krug na rezonantnoj frekvenciji, pa je signal ispao čak i malo izobličen na vrhovima.
Sada dolazi onaj zabavni dio. Izmjerimo pad napona na kondenzatoru i zavojnici na rezonantnoj frekvenciji. Odnosno, izgledat će ovako:
Gledamo napon na kondenzatoru:
Od vrha do vrha 20 volti (5x4)! Gdje? Uostalom, u oscilatorni krug smo opskrbili sinusni val frekvencije od 2 volta!
Dobro, možda se nešto dogodilo s osciloskopom? Izmjerimo napon na zavojnici:
Narod! Besplatno!!! Napajali su 2 volta iz generatora, ali su dobili 20 volti i na zavojnici i na kondenzatoru! Dobitak energije 10 puta! Samo imajte vremena da uklonite energiju bilo iz kondenzatora ili iz zavojnice!
Pa, ako je to slučaj... Uzimam žarulju od 12 V iz mopeda i zakačim je na kondenzator ili zavojnicu. Čini se da je žarulja poput bubnja na kojoj frekvenciji treba raditi i koju struju jesti. Postavljam amplitudu tako da na zavojnici ili kondenzatoru bude negdje Volt 20, budući da će efektivni napon biti negdje oko Volta 14, a na njih zakačim žarulju:
Kao što vidite - potpuna nula. Svjetlo neće gorjeti, stoga brijte obožavatelje besplatne energije). Niste zaboravili da je snaga određena umnoškom struje i napona? Čini se da je napon dovoljan, ali trenutna snaga - nažalost! Stoga se i sekvencijalni oscilatorni krug naziva uskopojasno (rezonantno) pojačalo napona, ne moć!
Sumirajmo što smo dobili u ovim eksperimentima.
U rezonanciji se pokazalo da je napon na zavojnici i na kondenzatoru mnogo veći od onog koji smo primijenili na oscilatorni krug. U ovom slučaju dobili smo 10 puta više. Zašto je napon na zavojnici u rezonanciji jednak naponu na kondenzatoru? To je lako objasniti. Budući da u serijskom oscilatornom krugu svitak i kondender idu jedan za drugim, dakle, u krugu teče ista jakost struje.
U rezonanciji, reaktancija zavojnice jednaka je reaktanciji kondenzatora. Dobivamo, prema pravilu šanta, da napon na svitku pada. U L = IX L, i na kondenzatoru U C = IX C... A budući da na rezonanciji imamo X L = X C, onda to dobivamo U L = U C, struja u krugu je ista ;-). Stoga se i rezonancija u nizu oscilatornog kruga naziva rezonancija napona, jer napon na svitku na rezonantnoj frekvenciji jednak je naponu na kondenzatoru.
Faktor kvalitete
Pa, pošto smo počeli gurati temu oscilatornih krugova, ne možemo zanemariti parametar kao što je faktor kvalitete oscilatorni krug. Budući da smo već proveli neke pokuse, bit će nam lakše odrediti vrijednost na temelju amplitude napona. Faktor kvalitete označen je slovom P a izračunava se pomoću prve jednostavne formule:
Izračunajmo Q faktor u našem slučaju.
Budući da je vrijednost podjele jednog kvadrata duž vertikale 2 Volta, stoga je amplituda signala generatora frekvencije 2 Volta.
A to je ono što imamo na terminalima kondenzatora ili zavojnice. Ovdje je okomita podjela jednog kvadrata 5 volti. Brojimo kvadrate i množimo. 5x4 = 20 volti.
Računamo pomoću formule faktora kvalitete:
Q = 20/2 = 10... U principu malo i ne malo. Proći će. Ovako možete pronaći Q faktor u praksi.
Postoji i druga formula za izračun Q faktora.
gdje
R - otpor gubitka petlje, Ohm
L - induktivnost, Henry
S - kapacitet, Farad
Poznavajući Q faktor, lako možete pronaći otpornost na gubitke R sekvencijalni oscilatorni krug.
Također želim dodati nekoliko riječi o faktoru kvalitete. Faktor kvalitete kruga je kvalitativni pokazatelj oscilatornog kruga. Uglavnom, uvijek ga pokušavaju povećati na razne načine. Ako pogledate gornju formulu, možete razumjeti da kako bismo povećali faktor kvalitete, moramo nekako smanjiti otpor gubitka titrajnog kruga. Lavovski udio gubitaka odnosi se na induktor, budući da već ima velike strukturne gubitke. Namotana je od žice i u većini slučajeva ima jezgru. Na visokim frekvencijama u žici se počinje pojavljivati skin efekt koji dodatno unosi gubitke u krug.
Sažetak
Serijski titrajni krug sastoji se od induktora i kondenzatora spojenih u seriju.
Na nekoj frekvenciji reaktancija zavojnice postaje jednaka reaktanciji kondenzatora, a u krugu serijskog oscilatornog kruga javlja se fenomen kao rezonancija.
U rezonanciji su reaktancije svitka i kondenzatora, iako su jednake po veličini, suprotne po predznaku, pa se oduzimaju i zbrajaju nulu. U krugu ostaje samo aktivni otpor gubitka R.
U rezonanciji, struja u krugu postaje maksimalna, budući da otpor gubitka svitka i kondenzatora R zajedno daju malu vrijednost.
U rezonanciji, napon na zavojnici jednak je naponu na kondenzatoru i premašuje napon na generatoru.
Koeficijent koji pokazuje koliko puta napon na zavojnici ili na kondenzatoru premašuje napon na generatoru, naziva se Q faktor serijskog oscilatornog kruga i pokazuje kvalitativnu ocjenu titrajnog kruga. Uglavnom pokušavam učiniti Q što većim.
Na niskim frekvencijama oscilatorni krug ima kapacitivnu komponentu struje prije rezonancije, a nakon rezonancije induktivnu komponentu struje.
Električne fluktuacije se shvaćaju kao periodične promjene naboja, struje i napona. Najjednostavniji sustav u kojem su moguće slobodne električne oscilacije je tzv. titrajni krug. Ovo je uređaj koji se sastoji od kondenzatora i zavojnice spojenih zajedno. Pretpostavit ćemo da nema aktivnog otpora zavojnice; u ovom slučaju krug se naziva idealnim. Kada se energija prenese u ovaj sustav, u njemu će se pojaviti kontinuirane harmonijske oscilacije naboja na kondenzatoru, napona i struje.
Energija se u oscilatorni krug može prenijeti na različite načine. Na primjer, punjenjem kondenzatora iz izvora istosmjerne struje ili induciranjem struje u induktoru. U prvom slučaju, energiju posjeduje električno polje između ploča kondenzatora. U drugom, energija je sadržana u magnetskom polju struje koja teče kroz strujni krug.
§1 Jednadžba titranja u krugu
Dokažimo da će se prilikom prijenosa energije na konturu u njemu pojaviti neprigušene harmonijske oscilacije. Za to je potrebno dobiti diferencijalnu jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika.
Recimo da je kondenzator nabijen i kratko spojen na zavojnicu. Kondenzator će se početi prazniti, struja će teći kroz zavojnicu. Prema drugom Kirchhoffovom zakonu, zbroj padova napona duž zatvorene petlje jednak je zbroju EMF-a u ovoj petlji 
.
U našem slučaju, pad napona je zato što je krug savršen. Kondenzator u krugu se ponaša kao izvor struje, razlika potencijala između ploča kondenzatora djeluje kao EMF, gdje je naboj na kondenzatoru, a kapacitet kondenzatora. Osim toga, kada promjenjiva struja teče kroz zavojnicu, u njemu nastaje EMF samoindukcije, gdje je induktivnost zavojnice, brzina promjene struje u zavojnici. Budući da EMF samoindukcije sprječava proces pražnjenja kondenzatora, drugi Kirchhoffov zakon ima oblik
Ali struja petlje je dakle struja pražnjenja ili punjenja kondenzatora. Zatim
Diferencijalna se jednadžba pretvara u oblik
Uvodeći oznaku, dobivamo nama poznatu diferencijalnu jednadžbu harmonijskih oscilacija.
To znači da će se naboj na kondenzatoru u oscilatornom krugu mijenjati prema harmonijskom zakonu
gdje je maksimalna vrijednost naboja na kondenzatoru, je ciklička frekvencija, je početna faza oscilacija.
Period oscilacije naboja 
... Ovaj izraz se zove Thompsonova formula.
Napon kondenzatora
Struja strujnog kruga
Vidimo da će se, osim naboja na kondenzatoru, prema harmonijskom zakonu mijenjati i struja u krugu i napon na kondenzatoru. Napon fluktuira u jednoj fazi s nabojem, a jačina struje je ispred naboja
faza uključena.
Energija električnog polja kondenzatora
Trenutna energija magnetskog polja
Tako se i energije električnog i magnetskog polja mijenjaju prema harmonijskom zakonu, ali s udvostručenom frekvencijom.
Rezimirati
Električne vibracije treba shvatiti kao periodične promjene naboja, napona, jakosti struje, energije električnog polja, energije magnetskog polja. Ove vibracije, kao i one mehaničke, mogu biti i slobodne i prisilne, harmonične i neharmonične. U idealnom titrajnom krugu moguće su slobodne harmonijske električne oscilacije.
§2 Procesi koji se odvijaju u titrajnom krugu
Matematički smo dokazali postojanje slobodnih harmonijskih oscilacija u titrajnom krugu. Međutim, ostaje nejasno zašto je takav proces moguć. Što je uzrok titranja u krugu?
U slučaju slobodnih mehaničkih vibracija pronađen je takav razlog - to je unutarnja sila koja nastaje kada se sustav ukloni iz ravnotežnog položaja. Ta je sila u svakom trenutku usmjerena na položaj ravnoteže i proporcionalna je koordinati tijela (sa predznakom minus). Pokušajmo pronaći sličan razlog za pojavu oscilacija u titrajnom krugu.
Neka se oscilacije u krugu pobude punjenjem kondenzatora i kratkim spojem na zavojnicu.
U početnom trenutku vremena, naboj na kondenzatoru je maksimalan. Posljedično, napon i energija električnog polja kondenzatora također su maksimalni.
U krugu nema struje, energija magnetskog polja struje je nula.
Prva četvrtina razdoblja- pražnjenje kondenzatora.
Ploče kondenzatora, koje imaju različite potencijale, spojene su vodičem, pa se kondenzator počinje prazniti kroz zavojnicu. Naboj, napon na kondenzatoru i energija električnog polja se smanjuju.
Struja koja se pojavljuje u strujnom krugu raste, međutim, njen rast sprječava EMF samoindukcije koja se javlja u zavojnici. Povećava se energija magnetskog polja struje.
Prošla je četvrtina razdoblja- kondenzator je ispražnjen.
Kondenzator se ispraznio, napon na njemu postao je nula. Energija električnog polja u ovom trenutku također je nula. Prema zakonu održanja energije, nije mogao nestati. Energija polja kondenzatora u potpunosti se pretvara u energiju magnetskog polja zavojnice, koja u ovom trenutku doseže svoju maksimalnu vrijednost. Maksimalna struja u krugu.
Čini se da bi u ovom trenutku struja u krugu trebala prestati, jer je uzrok struje - električno polje - nestao. Međutim, nestanak struje ponovno sprječava EMF samoindukcije u zavojnici. Sada će održavati opadajuću struju i nastavit će teći u istom smjeru, puneći kondenzator. Počinje druga četvrtina razdoblja.
Druga četvrtina razdoblja
- punjenje kondenzatora.
Struja koju podupire samoindukcijski EMF nastavlja teći u istom smjeru, postupno se smanjuje. Ova struja puni kondenzator u suprotnom polaritetu. Naboj i napon na kondenzatoru se povećavaju.
Energija magnetskog polja struje, smanjujući, prelazi u energiju električnog polja kondenzatora.
Prošla je druga četvrtina razdoblja - kondenzator se napunio.
Kondenzator se puni sve dok postoji struja. Stoga, u trenutku kada struja prestane, naboj i napon na kondenzatoru poprimaju maksimalnu vrijednost.
Energija magnetskog polja u ovom trenutku potpuno se transformira u energiju električnog polja kondenzatora.
Situacija u konturi u ovom trenutku je ekvivalentna izvornoj. Procesi u petlji će se ponoviti, ali u suprotnom smjeru. Jedna potpuna oscilacija u krugu, koja traje neko vrijeme, završit će kada se sustav vrati u prvobitno stanje, odnosno kada se kondenzator napuni u svom izvornom polaritetu.
Lako je vidjeti da je uzrok oscilacija u krugu fenomen samoindukcije. EMF samoindukcije sprječava promjenu struje: ne dopušta joj da trenutno raste i da trenutno nestane.
Usput, neće biti suvišno usporediti izraze za izračun kvazielastične sile u mehaničkom oscilatornom sustavu i EMF-a samoindukcije u krugu:
Ranije su dobivene diferencijalne jednadžbe za mehaničke i električne oscilatorne sustave:
Unatoč temeljnim razlikama u fizikalnim procesima u odnosu na mehaničke i električne oscilatorne sustave, jasno je vidljiv matematički identitet jednadžbi koje opisuju procese u tim sustavima. O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.
§3 Analogija između električnih i mehaničkih vibracija
Pažljiva analiza diferencijalnih jednadžbi za opružni njihalo i titrajni krug, kao i formule koje povezuju veličine koje karakteriziraju procese u tim sustavima, omogućuje nam da identificiramo koje se veličine ponašaju na isti način (tablica 2).
| Opružno njihalo | Oscilatorni krug |
| Koordinate tijela () | Napunjenost kondenzatora () |
| Brzina tijela | Struja petlje |
| Potencijalna energija elastično deformirane opruge | Energija električnog polja kondenzatora |
| Kinetička energija tereta | Energija magnetskog polja zavojnice sa strujom |
| Recipročna krutost opruge | Kapacitet kondenzatora |
| Težina tereta | Induktivnost svitka |
Elastična sila  | EMF samoindukcije, jednak naponu na kondenzatoru  |
tablica 2
Nije bitna samo formalna sličnost veličina koje opisuju procese titranja njihala i procesa u krugu. Sami procesi su identični!
Ekstremni položaji njihala su ekvivalentni stanju strujnog kruga kada je naboj na kondenzatoru maksimalan.
Ravnotežni položaj njihala je ekvivalentan stanju strujnog kruga kada se kondenzator isprazni. U ovom trenutku sila elastičnosti nestaje i nema napona na kondenzatoru u krugu. Brzina njihala i struja u krugu su maksimalne. Potencijalna energija elastične deformacije opruge i energija električnog polja kondenzatora jednake su nuli. Energija sustava sastoji se od kinetičke energije tereta ili energije magnetskog polja struje.
Pražnjenje kondenzatora odvija se na isti način kao i pomicanje njihala iz krajnjeg položaja u ravnotežni položaj. Proces ponovnog punjenja kondenzatora identičan je procesu skidanja utega iz ravnotežnog položaja u krajnji položaj.
Ukupna energija vibrirajućeg sustava 
ili 
ostaje nepromijenjen tijekom vremena.
Slična se analogija može pratiti ne samo između opružnog njihala i titrajnog kruga. Zakoni slobodnih vibracija bilo koje prirode su univerzalni! Ovi obrasci, ilustrirani primjerom dvaju oscilatornih sustava (opružnog njihala i oscilatornog kruga) nisu samo mogući, već treba vidjeti u vibracijama bilo kojeg sustava.
U principu je moguće riješiti problem bilo kojeg oscilatornog procesa zamjenom za oscilacije kovnice. Da biste to učinili, dovoljno je kompetentno konstruirati ekvivalentni mehanički sustav, riješiti mehanički problem i zamijeniti vrijednosti u konačnom rezultatu. Na primjer, trebate pronaći period titranja u krugu koji sadrži kondenzator i dvije zavojnice spojene paralelno.
Titrajni krug sadrži jedan kondenzator i dvije zavojnice. Budući da se zavojnica ponaša kao težina opružnog njihala, a kondenzator poput opruge, ekvivalentni mehanički sustav mora sadržavati jednu oprugu i dva utega. Cijeli problem je kako su utezi pričvršćeni na oprugu. Moguća su dva slučaja: jedan kraj opruge je fiksiran, a jedan uteg je pričvršćen na slobodni kraj, drugi je na prvom ili su utezi pričvršćeni na različite krajeve opruge.
Kada su zavojnice različitih induktiviteta spojene paralelno, kroz njih teku različite struje. Posljedično, brzine opterećenja u identičnom mehaničkom sustavu također bi trebale biti različite. Očito, to je moguće samo u drugom slučaju.
Već smo pronašli period ovog oscilatornog sustava. Jednako je 
... Zamijenivši mase utega induktivitetima zavojnica, a recipročnu krutost opruge, kapacitetom kondenzatora, dobivamo 
.
§4 Oscilatorni krug s izvorom konstantne struje
Razmotrimo titrajni krug koji sadrži izvor konstantne struje. Neka kondenzator u početku nije napunjen. Što će se dogoditi u sustavu nakon što se ključ K zatvori? Hoće li se u tom slučaju uočiti oscilacije i kolika je njihova frekvencija i amplituda?
Očito, nakon što je ključ zatvoren, kondenzator će se početi puniti. Zapisujemo drugi Kirchhoffov zakon:
Struja petlje je struja punjenja kondenzatora, dakle. Zatim . Diferencijalna se jednadžba pretvara u oblik
* Riješite jednadžbu promjenom varijabli.
Označimo. Razlikujemo dvaput i uzimajući u obzir činjenicu da dobivamo. Diferencijalna jednadžba ima oblik
Ovo je diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija, njeno rješenje je funkcija
gdje je ciklička frekvencija, integracijske konstante i nalaze se iz početnih uvjeta.
Naboj na kondenzatoru se mijenja u skladu sa zakonom
Odmah nakon zatvaranja ključa, naboj na kondenzatoru je nula i nema struje u krugu 
... Uzimajući u obzir početne uvjete, dobivamo sustav jednadžbi:
Rješavajući sustav, dobivamo i. Nakon što je ključ zatvoren, naboj na kondenzatoru se mijenja u skladu sa zakonom.
Lako je vidjeti da se u krugu javljaju harmonijske oscilacije. Prisutnost izvora istosmjerne struje u krugu nije utjecala na frekvenciju titranja, ostala je ista. Promijenio se "ravnotežni položaj" - u trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzator se puni. Amplituda oscilacija naboja na kondenzatoru jednaka je Cε.
Isti rezultat može se dobiti jednostavnije korištenjem analogije između oscilacija u krugu i oscilacija opružnog njihala. Izvor istosmjerne struje je ekvivalentan polju konstantne sile u kojem je postavljeno opružno njihalo, na primjer, gravitacijsko polje. Odsutnost naboja na kondenzatoru u trenutku zatvaranja strujnog kruga identična je odsutnosti deformacije opruge u trenutku kada je njihalo stavljeno u oscilatorno gibanje.
U stalnom polju sile period titranja opružnog njihala se ne mijenja. Period titranja u krugu se ponaša isto - ostaje nepromijenjen kada se u krug uvede izvor istosmjerne struje.
U ravnotežnom položaju, kada je brzina opterećenja najveća, opruga se deformira:
Kada je struja u titrajnom krugu maksimalna 
... Drugi Kirchhoffov zakon je napisan na sljedeći način
U ovom trenutku, naboj na kondenzatoru je jednak Isti rezultat može se dobiti na temelju izraza (*) zamjenom
§5 Primjeri rješavanja problema
Problem 1 Zakon očuvanja energije
L= 0,5 μH i kondenzator kapaciteta S= 20 pF javljaju se električne vibracije. Koliki je najveći napon na kondenzatoru ako je amplituda struje u petlji 1 mA? Otpor zavojnice je zanemariv.
Riješenje:
(1)
2 U trenutku kada je napon na kondenzatoru maksimalan (maksimalni naboj na kondenzatoru), u strujnom krugu nema struje. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije električnog polja kondenzatora
(2)
3 U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzator je potpuno ispražnjen. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije magnetskog polja zavojnice.
(3)
4 Na temelju izraza (1), (2), (3) dobivamo jednakost 
... Maksimalni napon na kondenzatoru je
Zadatak 2 Zakon očuvanja energije
U oscilatornom krugu koji se sastoji od induktora L i kondenzator s kapacitetom S, javljaju se električne oscilacije s periodom od T = 1 μs. Maksimalna vrijednost punjenja 
... Kolika je struja u strujnom krugu u trenutku kada je naboj na kondenzatoru jednak? Otpor zavojnice je zanemariv.
Riješenje:
1 Budući da se aktivni otpor zavojnice može zanemariti, ukupna energija sustava, koja se sastoji od energije električnog polja kondenzatora i energije magnetskog polja zavojnice, ostaje nepromijenjena tijekom vremena:
(1)
2 U trenutku kada je naboj na kondenzatoru maksimalan, u strujnom krugu nema struje. Ukupna energija sustava sastoji se samo od energije električnog polja kondenzatora
(2)
3 Na temelju (1) i (2) dobivamo jednakost 
... Struja petlje je 
.
4 Period titranja u krugu određen je Thomsonovom formulom. Odavde. Tada za struju u krugu dobivamo
Problem 3 Titrajni krug s dva paralelno spojena kondenzatora
U oscilatornom krugu koji se sastoji od induktora L i kondenzator s kapacitetom S, s amplitudom naboja javljaju se električne oscilacije. U trenutku kada je naboj na kondenzatoru maksimalan, ključ K je zatvoren. Koliki će biti period titranja u krugu nakon što se ključ zatvori? Kolika je amplituda struje u krugu nakon zatvaranja ključa? Zanemarite omski otpor kruga.
Riješenje:
1 Zatvaranje ključa dovodi do pojave drugog kondenzatora u krugu, spojenog paralelno s prvim. Ukupni kapacitet dvaju paralelno spojenih kondenzatora je jednak.
Period oscilacija u krugu ovisi samo o njegovim parametrima i ne ovisi o tome kako su oscilacije pobuđene u sustavu i koja je energija za to prenesena sustavu. Prema Thomsonovoj formuli.
2 Da bismo pronašli amplitudu struje, saznat ćemo koji se procesi događaju u krugu nakon što je ključ zatvoren.
Drugi kondenzator je spojen u trenutku kada je naboj na prvom kondenzatoru bio maksimalan, stoga u krugu nije bilo struje.
Kondenzator petlje trebao bi se početi prazniti. Struja pražnjenja, koja dolazi do čvora, treba podijeliti na dva dijela. Međutim, u grani sa zavojnicom nastaje EMF samoindukcije, što sprječava povećanje struje pražnjenja. Zbog toga će cijela struja pražnjenja teći u granu s kondenzatorom, čiji je omski otpor nula. Struja će prestati čim se naponi na kondenzatorima izjednače, a početni naboj kondenzatora se preraspodijeli između dva kondenzatora. Vrijeme preraspodjele naboja između dva kondenzatora je zanemarivo zbog nepostojanja omskog otpora u granama s kondenzatorima. Za to vrijeme struja u grani sa zavojnicom neće imati vremena nastati. Oscilacije u novom sustavu će se nastaviti nakon što se naboj preraspodijeli između kondenzatora.
Važno je razumjeti da se u procesu preraspodjele naboja između dva kondenzatora energija sustava ne čuva! Prije nego što je ključ zatvoren, jedan kondenzator je imao energiju, jedan krug:
Nakon preraspodjele naboja, kondenzatorska banka posjeduje energiju:
Lako je vidjeti da se energija sustava smanjila!
3 Novu amplitudu struje pronalazimo koristeći zakon održanja energije. U procesu oscilacija, energija kondenzatorske banke pretvara se u energiju magnetskog polja struje:
Imajte na umu da zakon očuvanja energije počinje "raditi" tek nakon završetka preraspodjele naboja između kondenzatora.
Problem 4 Titrajni krug s dva serijski spojena kondenzatora
Titrajni krug sastoji se od svitka s induktivitetom L i dva serijski spojena kondenzatora C i 4C. C kondenzator je napunjen na napon, 4C kondenzator nije napunjen. Nakon što je ključ zatvoren, u krugu počinju oscilacije. Koje je razdoblje tih fluktuacija? Odredite amplitudu struje, maksimalne i minimalne vrijednosti napona na svakom kondenzatoru.
Riješenje:
1 U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, u zavojnici nema samoindukcijske EMF 
... Zapisujemo za ovaj trenutak drugi Kirchhoffov zakon
Vidimo da su u trenutku kada je struja u krugu maksimalna, kondenzatori napunjeni na isti napon, ali u suprotnom polaritetu:
2 Prije zatvaranja ključa, ukupna energija sustava sastojala se samo od energije električnog polja kondenzatora C:
U trenutku kada je struja u krugu maksimalna, energija sustava se sastoji od energije magnetskog polja struje i energije dvaju kondenzatora nabijenih na isti napon:
Prema zakonu održanja energije
Da bismo pronašli napon na kondenzatorima, koristimo se zakonom održanja naboja - naboj donje ploče kondenzatora C djelomično je prešao na gornju ploču kondenzatora 4C:
Pronađenu vrijednost napona zamjenjujemo u zakon očuvanja energije i nalazimo amplitudu struje u krugu:
3 Pronađimo raspon unutar kojeg se mijenja napon na kondenzatorima tijekom procesa osciliranja.
Jasno je da je u trenutku zatvaranja kruga na kondenzatoru C bio maksimalni napon. Dakle, 4C kondenzator nije bio napunjen.
Nakon što se ključ zatvori, kondenzator C se počinje prazniti, a kondenzator kapaciteta 4C počinje se puniti. Proces pražnjenja prvog i punjenja drugog kondenzatora završava čim prestane struja u krugu. To će se dogoditi u pola razdoblja. Prema zakonima održanja energije i električnog naboja:
Rješavajući sustav, nalazimo:
.
Znak minus znači da se nakon pola perioda kondenzator kapaciteta C puni obrnutim polaritetom od početnog.
Problem 5 Oscilatorni krug s dvije zavojnice spojene u seriju
Titrajni krug sastoji se od kondenzatora kapaciteta C i dvije prigušnice L 1 i L 2... U trenutku kada struja u krugu dosegne svoju maksimalnu vrijednost, željezna jezgra se brzo uvodi u prvu zavojnicu (u usporedbi s periodom titranja), što dovodi do povećanja njezine induktivnosti za faktor od μ. Kolika je amplituda napona u procesu daljnjih oscilacija u krugu?
Riješenje:
1 Kada se jezgra brzo umetne u zavojnicu, magnetski tok se mora održavati (fenomen elektromagnetske indukcije). Stoga će brza promjena induktivnosti jedne od zavojnica dovesti do brze promjene struje u petlji.
2 Tijekom umetanja jezgre u zavojnicu, naboj na kondenzatoru se nije imao vremena promijeniti, ostao je nenapunjen (jezgra je uvedena u trenutku kada je struja u krugu bila maksimalna). Nakon četvrtine razdoblja, energija magnetskog polja struje pretvorit će se u energiju nabijenog kondenzatora:
Zamjenjujemo trenutnu vrijednost u rezultirajući izraz ja i pronađite amplitudu napona na kondenzatoru:
Problem 6 Oscilatorni krug s dvije paralelno spojene zavojnice
Induktori L 1 i L 2 spojeni su preko ključeva K1 i K2 na kondenzator kapaciteta C. U početnom trenutku oba ključa su otvorena, a kondenzator je napunjen do razlike potencijala. Prvo, ključ K1 je zatvoren i kada napon na kondenzatoru postane nula, K2 je zatvoren. Odredite maksimalni napon na kondenzatoru nakon zatvaranja K2. Zanemarite otpore zavojnica.
Riješenje:
1 Kada je prekidač K2 otvoren, u krugu koji se sastoji od kondenzatora i prve zavojnice javljaju se oscilacije. U trenutku kada se K2 zatvori, energija kondenzatora je prešla u energiju magnetskog polja struje u prvoj zavojnici:
2 Nakon zatvaranja K2, u oscilatornom krugu se pojavljuju dvije zavojnice, spojene paralelno.
Struja u prvom svitku ne može stati zbog fenomena samoindukcije. Na čvoru se dijeli: jedan dio struje ide u drugu zavojnicu, a drugi puni kondenzator.
3 Napon na kondenzatoru postat će maksimalan kada struja prestane ja punjenje kondenzatora. Očito je da će se u ovom trenutku struje u zavojnicama izjednačiti.
:Njihalo se kreće naprijed brzinom središta mase 
i vibrira oko središta mase.
Sila opruge je najveća u trenutku najveće deformacije opruge. Očito, u ovom trenutku relativna brzina utega postaje jednaka nuli, a u odnosu na tablicu, utezi se kreću brzinom središta mase. Zapisujemo zakon održanja energije:
Rješavanje sustava, nalazimo
Izrađujemo zamjenu
te dobijemo prethodno pronađenu vrijednost za maksimalni napon 
§6 Zadaci za samostalno rješavanje
Vježba 1 Izračunavanje razdoblja i frekvencije prirodnih vibracija
1 Titrajni krug uključuje zavojnicu promjenjive induktivnosti, koja varira unutar L 1= 0,5 μH do L 2= 10 μH, i kondenzator, čiji kapacitet može varirati od C 1= 10 pF do
C 2= 500 pF. Koji se frekvencijski raspon može pokriti ugađanjem ove petlje?
2 Koliko će se puta promijeniti frekvencija vlastitih titranja u krugu ako se njegov induktivitet poveća 10 puta, a kapacitet smanji za 2,5 puta?
3 Titrajni krug s kondenzatorom kapaciteta 1 μF podešen je na frekvenciju od 400 Hz. Ako na njega paralelno spojite drugi kondenzator, tada frekvencija oscilacija u krugu postaje jednaka 200 Hz. Odredite kapacitet drugog kondenzatora.
4 Titrajni krug sastoji se od zavojnice i kondenzatora. Koliko će se puta promijeniti frekvencija vlastitih oscilacija u krugu ako se u krug uzastopno priključi drugi kondenzator čiji je kapacitet 3 puta manji od kapaciteta prvog?
5 Odredite period osciliranja kruga, koji uključuje zavojnicu (bez jezgre) duljine v= 50 cm m površina presjeka
S= 3 cm 2 koji ima N= 1000 zavoja, i kapacitet kondenzatora S= 0,5 μF.
6 Titrajni krug uključuje induktor L= 1,0 μH i kondenzator zraka čija je površina ploča S= 100 cm 2. Petlja je podešena na frekvenciju od 30 MHz. Odredite razmak između ploča. Otpor petlje je zanemariv.
Danas nas zanima najjednostavniji oscilatorni krug, njegov princip rada i primjena.
Za korisne informacije o drugim temama idite na naš telegram kanal.
Fluktuacije- proces koji se ponavlja u vremenu, karakteriziran promjenom parametara sustava oko ravnotežne točke.
Prvo što mi pada na pamet su mehaničke vibracije matematičkog ili opružnog njihala. Ali oscilacije su također elektromagnetske.
Po definiciji oscilatorni krug(ili je električni krug u kojem se javljaju slobodne elektromagnetske oscilacije.
Takav krug je električni krug koji se sastoji od induktora L i kondenzator s kapacitetom C ... Ova dva elementa mogu se spojiti samo na dva načina - serijski i paralelno. Pokažimo na donjoj slici sliku i dijagram najjednostavnijeg oscilatornog kruga.
Usput! Sada je popust za sve naše čitatelje. 10% na .
Usput! Sada je popust za sve naše čitatelje. 10% na .
Princip rada titrajnog kruga
Pogledajmo primjer gdje prvo punimo kondenzator i dovršavamo krug. Nakon toga u krugu počinje teći sinusna električna struja. Kondenzator se prazni kroz zavojnicu. U zavojnici, kada kroz nju teče struja, EMF samoindukcije usmjerena u smjeru suprotnom od struje kondenzatora.
Nakon što se potpuno isprazni, kondenzator zbog energije EMF zavojnica, koja će u ovom trenutku biti maksimalna, ponovno će se početi puniti, ali samo obrnutim polaritetom.
Oscilacije koje se javljaju u krugu - slobodne prigušene oscilacije. To je bez dodatne opskrbe energijom, oscilacije u bilo kojem stvarnom titrajnom krugu će prije ili kasnije prestati, kao i sve oscilacije u prirodi.
To je zbog činjenice da se krug sastoji od stvarnih materijala (kondenzator, zavojnica, žice), koji imaju takvo svojstvo kao električni otpor, a gubici energije u stvarnom oscilatornom krugu su neizbježni. Inače bi ovaj jednostavan uređaj mogao postati vječni motor, čije je postojanje, kao što znate, nemoguće.
Druga važna karakteristika je faktor kvalitete. P ... Faktor kvalitete određuje amplitudu rezonancije i pokazuje koliko puta rezerve energije u krugu premašuju gubitke energije tijekom jednog razdoblja osciliranja. Što je faktor kvalitete sustava veći, oscilacije će se sporije raspadati.
Rezonantni LC krug
Elektromagnetske vibracije se javljaju na određenoj frekvenciji, koja se naziva rezonantna frekvencija.Više o tome - u našem zasebnom članku. Frekvencija titranja može se mijenjati mijenjanjem parametara kruga, kao što je kapacitet kondenzatora. C , induktivnost svitka L , otpor otpornika R (za LCR konture).
Primjena titrajnog kruga
Titrajni krug ima široku primjenu u praksi. Na temelju njega izgrađuju se frekvencijski filtri, bez njega ne može bez radio prijemnika ili generatora signala određene frekvencije.
Ako ne znate kako započeti s izračunom LC-konture ili nemate vremena za to, obratite se stručnom studentskom servisu. Kvalitetna i brza pomoć u rješavanju bilo kakvih problema neće Vas čekati!
