2.9.1. Definicija. Koristeći metode teorije neizrazitih skupova, oni opisuju semantičke koncepte, na primjer, za koncept "pouzdanosti rada čvora", mogu se definirati komponente kao "ne velika vrijednost pouzdanost čvora", "prosječna vrijednost pouzdanosti čvora", "velika vrijednost pouzdanosti čvora", koji su definirani kao neizraziti skupovi na osnovnom skupu, određeni svim mogućim vrijednostima vrijednosti pouzdanosti.
Generalizacija opisa jezičnih varijabli s formalne točke gledišta je uvođenje nejasnih i jezičnih varijabli.
N neizrazita varijabla naziva se triplet skupova, gdje a- naziv neizrazite varijable, x je domena definicije, je neizraziti podskup u skupu X koji opisuje ograničenja na moguće vrijednosti varijabla a.
Jezična varijabla naziva se skup skupova
Iz definicije proizlazi da je jezična varijabla varijabla postavljena na kvantitativnoj (mjerljivoj) skali i uzima vrijednosti koje su riječi ili fraze prirodnog jezika komunikacije. Fuzzy varijable opisuju vrijednosti jezične varijable. Na sl. 2.20 prikazuje odnos osnovnih pojmova.
Dakle, lingvističke varijable mogu opisati pojmove koje je teško formalizirati u obliku kvalitativnog, verbalnog opisa. Jezična varijabla i sve njezine vrijednosti povezane su u opisu s određenom kvantitativnom ljestvicom, koja se, po analogiji s osnovnim skupom, ponekad naziva i bazna ljestvica.
Primjenom jezičnih varijabli moguće je formalizirati kvalitativne informacije u sustavima upravljanja, koje formuliraju stručnjaci (stručnjaci) u verbalnom obliku. To vam omogućuje izgradnju neizrazitih modela upravljačkih sustava (fuzzy kontrolera).
2.9.2. Vrsta članstva funkcionira. Razmotrimo zahtjeve koji se postavljaju za oblik funkcija pripadnosti neizrazitih skupova koji opisuju termine jezičnih varijabli.
Neka je jezična varijabla
Gomila T naređujemo prema izrazu
"T i, T j ÎT i> j" ($ xÎC i) ("yÎC j) (x> y). (2.5)
Izraz (2.5) zahtijeva da pojam, koji ima oslonac smješten s lijeve strane, dobije manji broj. Tada skup pojmova bilo koje jezične varijable mora zadovoljiti uvjete:
("T i ÎT) ($ xÎX) ( ); (2.8)
("b) ($ x 1 ÎR 1) ($ x 2 ÎR 2) (" xÎX) (x 1
Uvjet (2.6) zahtijeva da vrijednosti pripadnosti funkcioniraju ekstremnih članova (T 1 i T 2) u bodovima x 1 i x 2 odnosno jednak jedan i tako da oblik zvonastih krivulja nije dopušten, kao što je prikazano na sl. 2.21.
Slika 2.21
Uvjet (2.7) zabranjuje u osnovnom skupu x parovi pojmova poput T 1 i T 2, T 2 i T 3... Za par T 1 i T 2 nema prirodne diferencijacije pojmova. Za par T 2 i T 3 segment nema podudaranja koncepta. Uvjet (2.7) zabranjuje postojanje pojmova tipa T 4 jer svaki koncept ima barem jedan tipičan objekt. Uvjet (2.8) definira fizičko ograničenje (u okviru problema) na numeričke vrijednosti parametara.
Na sl. 2.22 prikazuje primjer postavljanja funkcija članstva za pojmove “niska vrijednost cijene”, “niska vrijednost cijene”, “prosječna vrijednost cijene”, “dovoljno velika vrijednost cijene”, “velika vrijednost cijene” jezične varijable “cijena proizvoda”.
2.9.3. Univerzalne vage... Funkcije članstva temelje se na rezultatima anketa stručnjaka. Međutim, postupak korištenja neizrazitih skupova na temelju rezultata ankete stručnjaka ima nedostatak, a to je da promjena uvjeta funkcioniranja modela (objekta) zahtijeva ispravljanje neizrazitih skupova. Prilagodba se može izvršiti na temelju rezultata ponovljene ankete stručnjaka.
Jedan od načina za prevladavanje ovog nedostatka je prijelaz na univerzalne ljestvice za mjerenje vrijednosti procijenjenih parametara. Poznata tehnika konstruiranja univerzalnih ljestvica uključuje opis učestalosti pojava i procesa, koji je na kvalitativnoj razini u prirodnom jeziku određen sljedećim riječima i frazama: “nikad”, “izuzetno rijetko”, “rijetko”, “nikad rijetko ni često”, “često”, “vrlo često”, “gotovo uvijek” (ili slično). Osoba koristi ove koncepte za procjenu subjektivne učestalosti događaja (omjer broja događaja okarakteriziranih konceptom i ukupnog broja događaja).
Univerzalna ljestvica izgrađena je na segmentu i predstavlja niz zvonolikih krivulja koje se presijecaju koje odgovaraju skaliranim procjenama frekvencije. Univerzalna ljestvica jezične varijable za zadani procijenjeni parametar kontrolnog objekta gradi se prema sljedećem postupku.
1. Prema stručnoj anketi, minimum x min i maksimum x max varijabilne vrijednosti skale x.
2. Na temelju rezultata stručnog istraživanja, funkcije članstva neizrazitih skupova koji opisuju vrijednosti jezične varijable definirane na skali x... Na sl. 2.23 prikazuje primjer konstruiranja funkcija pripadnosti, gdje a 1, a 2, a 3- neki nazivi neizrazitih varijabli.
3. Bodovi ( x min, 0) i ( x max, 1) povezani su ravnom linijom p 0što je funkcija preslikavanja p 0: X®.
4. Prijelaz sa ljestvice relativnih učestalosti pojavljivanja događaja na procjene učestalosti, nazvane kvantifikatori, događa se na sljedeći način.
Za proizvoljnu točku z na univerzalnom mjerilu, njegov prototip se gradi na mjerilu x... Zatim, prema funkcijama pripadnosti neizrazitih skupova koji odgovaraju terminima a 1, a 2, a 3, određuju se vrijednosti koje se uzimaju kao vrijednosti odgovarajućih funkcija članstva u točki z na univerzalnoj skali. Funkcija p (p = p 0 u razmatranom primjeru) utvrđuje se stručnom anketom, budući da njegov izbor utječe na primjerenost modela predmetu koji se proučava.
2.9.4. Višestruke funkcije prikaza... Jednoznačna definicija funkcije preslikavanja str ograničiti mogućnosti istovremenog uzimanja u obzir različitih kriterija u sustavu upravljanja, koji mogu biti i u međusobnom antagonizmu, kao i mogućnost istovremenog uzimanja u obzir različitih uvjeta upravljanja koji su određeni svojstvima kontroliranog objekta.
Uzimanje u obzir različitih uvjeta i kriterija određeno je subjektivnim pristupom rješavanju problema. Ako prihvatimo funkciju prikazivanja nedvosmislene forme, tada će se različita gledišta svesti na “zajednički nazivnik” ili zapravo odbaciti. Praksa pokazuje da pri upravljanju teško formaliziravim procesima, uzimanje u obzir svih varijanti subjektivnih pogleda povećava kvalitetu upravljanja, povećavajući otpornost na razne vrste poremećaja. Međutim, treba napomenuti da kod ljudi gotovo nikada nije moguće uzeti u obzir sve uvjete koji utječu na izbor kontrole i sve karakteristike objekta. Razmotrimo kako se formalizirano obračunavanje kontrolnih uvjeta provodi pri intervjuiranju stručnjaka u obliku višestrukih funkcija prikaza.
Neka se iz stručnih anketa kvantitativno i kvalitativno odredi sastav stanja objekta koji se proučava. Procjena stanja objekta vrši se prema vrijednostima atributa y i ÎY = (y 1, y 2,…, y p).
Nemoguće je uzeti sve u obzir, stoga je pri ocjenjivanju stanja bolje koristiti neizrazite kategorije, a neizrazite definicije vrijednosti parametara treba napraviti s određenim stupnjem nesigurnosti u ispravnost definicija. Doista, uvijek se može pretpostaviti da postoji niz znakova 
nisu naznačeni od strane stručnjaka iz raznih razloga: bili su zaboravljeni; stručnjaci vjeruju da ove značajke ne utječu na točnost; ovi parametri se ne mogu procijeniti zbog tehničkih poteškoća.
Funkcije prikaza p i ÎP = (p 1, p 2,..., p b) razine povjerenja su usklađene b (p i) Î koje postavljaju stručnjaci. Također svaka funkcija prikaza p i usklađena težina a (p i), što odgovara stupnju stručnosti stručnjaka. Utezi a (p i) određuju se brojevima segmenta. Dakle, funkcija višestrukog preslikavanja P = (p 1, p 2, ..., p b) sastoji se od skupa funkcija za preslikavanje p i, od kojih je svaki povezan sa stupnjem g (p i), definiran kao spoj stupnjeva kompetencije i povjerenja u ispravnu definiciju funkcija preslikavanja p i, tj. g (p i)=a (p i) i b (p i).
Praktično korištenje višestrukih funkcija pokazalo je da se, unutar određene kompetencije stručnjaka, konstruirana funkcija višestrukog prikaza dobro slaže s njihovim pojedinačnim mišljenjima o najvjerojatnijem podudaranju nejasnih pojmova s točkama predmetne ljestvice. x.
MUTNA LOGIKA
Fuzzy AND rad
Specificiranje neizrazitih skupova omogućuje vam generaliziranje jasnih logičkih operacija u njihove nejasne parnjake. Nejasno proširenje operacije "AND" je trokutasta norma T, Drugo ime T- norma je S– Conorm. Na sl. 3.1 je shematski prikaz T– Norme.
Fuzzy AND operacija u općem obliku definirana je kao prikaz:
za koje vrijede aksiomi:
Aksiomi rubnih uvjeta T- norme:
Aksiom narudžbe:
U teoriji neizrazitih skupova postoji beskonačan broj neizrazitih operacija "I", koje se određuju metodama specificiranja operacije (T) kada su zadovoljeni uvjeti (3.1) - (3.2). U teoriji neizrazite kontrole primjenjive su sljedeće metode postavljanja operacije (T) koje su navedene u nastavku.
Logičan proizvod[Zade, 1973.]:
, "xÎ R. (3.6)
Algebarski proizvod[Bundler, Kohout, 1980]:
, "xÎ R, (3.7)
gdje "." - proizvod prihvaćen u klasičnoj algebri.
Granični proizvod[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.8)
gdje je simbol graničnog proizvoda.
Snažan ili drastičan komad[Weber, 1983]:
(3.9)
gdje je D simbol jakog proizvoda.
Na sl. 3.2 prikazuje funkciju članstva za logičke, algebarske, granične i jake produkte neizrazitih skupova.
Fuzzy OR operacija
Izrazito proširenje operacije "ILI" je S-norma. Ponekad se koristi naziv T– Conorm. Na sl. 3.3 je shematski prikaz S– Norme.
Fuzzy OR definira se kao preslikavanje
za koje se izvode preslikavanja:
Aksiomi rubnih uvjeta T- norme:
, ; (3.10)
Aksiomi ujedinjenja (popisi):
Aksiom narudžbe:
Iz beskonačan broj neizrazitih operacija koje zadovoljavaju aksiome (3.10) - (3.14), sljedeće operacije navedene u nastavku su primijenjene u teoriji upravljanja.
Logičan zbroj[Zade, 1973.]:
, "xÎ R. (3.15)
Algebarski zbroj[Bandler i Cohout, 1980]:
, "xÎ R, (3.16)
Granični iznos[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.17)
Jaka ili drastična količina[Weber, 1983]:
(3.18)
Usporedba aksioma T- norme s aksiomima S- norma pokazuje da se razlika u njima sastoji samo u aksiomima rubnih uvjeta.
Na sl. 3.4 prikazuje funkciju članstva za logičke, algebarske, granične i jake zbroje neizrazitih skupova.
Nejasna operacija "NE"
Izrazita operacija "NE" definirana je kao preslikavanje za koje su ispunjeni aksiomi:
Skup preslikavanja koji zadovoljava aksiome (3.19) - (3.21) je neizrazita negacija. Operacija neizrazite negacije u obliku dijagrama prikazana je na Sl. 3.5.
Od beskonačnog broja neizrazitih "NE" operacija koje zadovoljavaju aksiome (3.19) - (3.21), sljedeće operacije navedene u nastavku našle su primjenu u teoriji upravljanja.
Nejasno "NE" prema Zadi(1973) definira se kao oduzimanje od jednog:
. (3.22)
Sugeno nejasno "NE"(1977) ili l-komplement je definiran kao formula
. (3.23)
Na l = 0 jednadžba (3.23) poklapa se s jednadžbom (3.22).
Nejasno "NE" prema Yageru(1980.) definira se kao:
, (3.24)
gdje p> 0- parametar. Na p = 1 jednadžba (3.24) poklapa se s jednadžbom (3.22).
Za T- norme i S- norme mogu postojati različite opcije negacije zbog beskonačnog broja mogućih neizrazitih "NE" operacija. Međutim, preporučljivo je odabrati takve varijante negacije koje zadovoljavaju uvjete:
Ti se uvjeti, po analogiji s jasnom logikom, nazivaju de Morganovim neizrazitim zakonima. Operacije (3.25) i (3.26) nazivaju se međusobno dualnimi, budući da u teoriji neizrazitih skupova, dokazano je da (3.25) implicira (3.26) i, obrnuto, (3.26) implicira (3.25).
Sljedeće su također međusobno dvojne neizrazite operacije:
; (3.29)
Algebra nejasnog zaključivanja
3.4.1. Nejasna baza pravila. U neizrazitoj logici postoji koncept neizrazite propozicije. Nejasna rečenica definirana je kao "". simbol " x"Označava fizičku veličinu (struja, napon, tlak, brzina itd.), simbol" "označava jezičnu varijablu (LV), a simbol" str„Je skraćenica za prijedlog. Na primjer, u izjavi "veličina struje je velika" fizičke varijable x je "trenutna veličina" koja se može izmjeriti trenutnim senzorom. Fuzzy skup je definiran LP "velikim" i formaliziran funkcijom članstva m A (x)... Veza "je" odgovara operaciji poredanja u obliku jednakosti, što je označeno simbolom "=". Prima formalizirani oblik rečenice " » .
Nejasna rečenica može se sastojati od nekoliko zasebnih nejasnih rečenica povezanih vezama "I", "ILI". Izbor logičkih veziva "I", "ILI" iz značenja i konteksta rečenica, iz odnosa među njima. Imajte na umu da su operacije neizrazitog "AND" i "OR" prema Zadehu (formule (3.6) i (3.15)) u teoriji upravljanja poželjnije u odnosu na ostale, budući da nisu suvišni. Kada nejasne rečenice nisu ekvivalentne, već korelirane i međusobno povezane, tada je moguće koristiti T- norme i S- norme u smislu Lukaševiča (formule (3.8) i (3.17)).
Rečenica str može se predstaviti kao nejasna relacija R s funkcijom članstva:. Za sastavljanje nejasne rečenice, koja se sastoji od nekoliko zasebnih nejasnih rečenica, povezanih vezama "I", koristi se indikator "ako". Kao rezultat, dobivamo sustav uvjetnih neizrazitih izjava:
.
Zovu se nejasne rečenice Uvjeti ili preduvjeti.
Skup uvjeta omogućuje konstruiranje skupa zaključke ili zaključke... U ovom slučaju se koristi indikator "tada".
Proizvodno neizrazito pravilo(fuzzy rule) je skup uvjeta i zaključaka:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = i ..., tada je y 1 = i y 2 = i…
……………………………………………………………,
gdje je simbol R 1- skraćenica "pravilo" - pravilo.
Na primjer, pravilo za kontrolu temperature vode formulirano je na sljedeći način: R 1: ako je temperatura vode hladna, a temperatura zraka hladna, onda okrenite ventil Vruća voda lijevo pod velikim kutom i ventil hladne vode desno pod velikim kutom."
Nejasni uvjeti za rješavanje problema:
-x 1- temperatura vode (mjerena senzorom); - hladno;
-x 2- temperatura zraka (mjerena senzorom); - hladno;
Nejasni uvjeti zaključivanja:
-y 1- kut rotacije ventila ulijevo, - veliki;
-y 2- kut rotacije ventila udesno, - veliki.
Ovo lingvističko nejasno pravilo odgovara formaliziranom zapisu:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = , tada je y 1 = i y 2 = , (3.31)
gdje , , i - neizraziti skupovi, dano funkcijama pribor.
Sveukupnost neizrazitih proizvodnih pravila tvori neizrazita baza pravila, gdje R i: ako ... onda ...;... Za osnovu nejasnih pravila, sljedeća svojstva: kontinuitet, dosljednost, cjelovitost.
Kontinuitet je definiran konceptima: uređena zbirka neizrazitih skupova; susjedni neizraziti skupovi.
Zbirka nejasnih skupova (A i) pozvao uredno ako je za njih specificiran odnos narudžbe: «<»:A 1 <…
Ako je zbirka neizrazitih skupova { } poredani, zatim skupovi i, i zovu se susjedni pod uvjetom da se ti neizraziti skupovi preklapaju.
Zove se neizrazita baza pravila stalan ako za pravila
R k: ako je x 1 = i x 2 = , tada je y = i k'¹k
ispunjeni su uvjeti:
‑ Ù i susjedni su;
‑ Ù i susjedni su;
- i susjedni su.
Razmotrimo konzistentnost baze neizrazitih pravila koristeći primjer. Neizrazita baza pravila za upravljanje robotom data je u obliku:
………………………………….
R i: ako je prepreka ispred, pomaknite se ulijevo,
R i +1: ako je prepreka ispred, onda se pomaknite udesno,
……………………………………
Baza pravila je nedosljedna.
Primjer dosljedne neizrazite baze pravila je kako slijedi:
R 1: ako je x 1 = ili x 2 = , tada je y = ;
R 2: ako je x 1 = ili x 2 = , tada je y = ;
R 3: ako je x 1 = ili x 2 = , tada je y = .
Ako pravila sadrže dva uvjeta i jedan izlaz, tada ova pravila predstavljaju sustav s dva ulaza x 1 i x 2 i jedan izlaz y... Ovaj se sustav može predstaviti u matričnom obliku:
| x 2 | x 1 | ||
| y = | |||
| y = | |||
| y = |
Nejasna baza pravila je dosljedna.
Koncept neizrazitih i lingvističkih varijabli koristi se za opisivanje objekata i pojava korištenjem neizrazitih skupova.
Nejasna varijabla karakterizira tri (α, X, A), gdje
α - naziv varijable;
x- univerzalni skup (domena definicije α);
A- fuzzy set on X, opisivanje ograničenja (tj. μ A(x) ) na vrijednosti neizrazite varijable α.
lingvistički varijabla (LP) naziva se skup ( β , T, X, G, M), gdje
β - naziv jezične varijable;
T- skup njegovih vrijednosti (term-set), koji su nazivi neizrazitih varijabli, od kojih je domena definicije svake od njih skup X. Gomila T naziva se osnovnim termin-set jezična varijabla;
G je sintaktički postupak koji vam omogućuje rad s elementima skupa pojmova T, posebno za generiranje novih pojmova (vrijednosti). Skup T∪G (T), gdje je G (T) skup generiranih pojmova, naziva se proširenim skupom pojmova jezične varijable;
M- semantička procedura koja vam omogućuje da svaku novu vrijednost jezične varijable, formiranu postupkom G, pretvorite u nejasnu varijablu, t.j. formiraju odgovarajući neizraziti skup.
Komentar. Da biste izbjegli puno znakova:
1) simbol β koristi se i za ime same varijable i za sve njezine vrijednosti;
2) koristiti isti simbol za označavanje nejasnog skupa i njegovog naziva, na primjer, izraz "Young", što je vrijednost jezične varijable β = "Dob", u isto vrijeme postoji nejasni skup M("Mladi").
Dodjeljivanje višestrukih značenja simbolima pretpostavlja da kontekst dopušta potencijalne dvosmislenosti.
Primjer. Neka stručnjak odredi debljinu proizvedenog proizvoda koristeći pojmove "Mala debljina", "Prosječna debljina" i "Velika debljina", pri čemu je minimalna debljina 10 mm, a maksimalna 80 mm.
Formalizacija takvog opisa može se provesti korištenjem sljedeće jezične varijable ( β , T, X, G, M ), gdje
β - debljina proizvoda;
T- ("Mala debljina", "Srednja debljina", "Velika debljina");
x— ;
G - postupak tvorbe novih pojmova pomoću veziva "i", "ili" i modifikatora kao što su "jako", "ne", "malo" itd. Na primjer: "Mala ili srednja debljina", "Vrlo mala debljina" itd .;
M- postupak dodjele X = neizraziti podskupovi A 1 = "Mala debljina", A 2 = "Prosječna debljina", A 3 = "Velika debljina", kao i neizraziti skupovi za pojmove iz G (T) u skladu s pravilima prijevoda neizrazitih spojeva i modifikatora "i", "ili", "ne", "vrlo", "malo" i drugim operacijama na neizrazitim skupovima oblika: A⋂V,A∪VA, CON A =A 2 , DIL A = A 0,5 itd.
Komentar. Uz gore navedene osnovne vrijednosti jezične varijable "Debljina" (T =("Mala debljina", "Srednja debljina", "Velika debljina")) moguće vrijednosti ovisno o području definicije X. U ovom slučaju, vrijednosti jezične varijable "Debljina proizvoda" mogu se definirati kao "oko 20 mm", "Oko 50 mm", "oko 70 mm", t.j. u obliku nejasnih brojeva.
Skup termina i prošireni skup termina u uvjetima primjera mogu se okarakterizirati funkcijama pripadnosti prikazanim na Sl. 1.5 i 1.6.
Riža. 1.5. Funkcije članstva neizrazitih skupova: "Mala debljina" = A 1,"Prosječna debljina" = A 2, "Velika debljina" = A 3
Riža. 1.6. Funkcija članstva neizrazitog skupa "Mala ili srednja debljina" = A 1 ∪ A 2
Nejasne brojke
Nejasne brojke- neizrazite varijable definirane na numeričkoj osi, t.j. neizraziti broj definira se kao neizraziti skup A na skupu realnih brojeva ℝ s funkcijom članstva μ A(x) ϵ, gdje x- pravi broj, t.j. x ϵ ℝ.
Nejasan broj U redu je ako je max μ A(x) = 1; konveksan, ako za bilo koji x ≤ na ≤ z izvedena
μ A (x)≥ μ A(na) ˄ μ A(z).
Gomila α - neizraziti broj razine A definirano kao
Aα= {x/μ α (x) ≥ α } .
Podskup S A⊂ ℝ se naziva potpora neizrazita broja A, ako
S A= { x/μ A(x) > 0 }.
Nejasan broj I unimodalno ako stanje μ A(x) = 1 vrijedi samo za jednu točku na realnoj osi.
Konveksni neizraziti broj A pozvao nejasna nula, ako
μ A(0) = sup ( μ A(x)).
Nejasan broj I pozitivno, ako je ∀ xϵ S A, X> 0 i negativno, ako je ∀ x ϵ S A, X< 0.
Operacije nad neizrazitim brojevima
Proširene binarne aritmetičke operacije (zbrajanje, množenje, itd.) za neizrazite brojeve određuju se kroz odgovarajuće operacije za jasne brojeve koristeći načelo generalizacije kako slijedi.
Neka A i V- neizraziti brojevi, i - neizrazita operacija koja odgovara proizvoljnoj algebarskoj operaciji * nad običnim brojevima. Tada (koristeći ovdje i u nastavku oznaku umjesto umjesto) možemo pisati
Fazni brojevi (L-R) -Vrsta
Fuzzy brojevi (L-R) -type su vrsta neizrazitih brojeva posebne vrste, t.j. postavljena prema određenim pravilima kako bi se smanjila količina izračuna tijekom operacija na njima.
Funkcije pripadnosti neizrazitih brojeva (L-R) tipa specificiraju se korištenjem funkcija realne varijable L ( x) i R ( x) koji zadovoljava svojstva:
a) L (- x) = L ( x), R (- x) = R ( x);
b) L (0) = R (0).
Očito, klasa (L-R) -funkcija uključuje funkcije čiji grafovi imaju oblik prikazan na sl. 1.7.
Riža. 1.7. Mogući oblik (L-R) -funkcija
Primjeri analitičkih zadataka (L-R) -funkcija mogu biti
Neka L ( na) i R ( na) - (L-R) -funkcije tipa (specifične). Unimodalni neizraziti broj A S moda a(tj. μ A(a) = 1) koristeći L ( na) i R ( na) postavlja se na sljedeći način:
gdje je a moda; α > 0, β > 0 - lijevi i desni neizraziti koeficijenti.
Dakle, za dati L ( na) i R ( na) neizraziti broj (unimodalni) zadan je trojkom A = (a, α, β ).
Tolerantan neizraziti broj je postavljen s četiri parametra A = (a 1 , a 2 , α, β ), gdje a 1 i a 2 - granice tolerancije, t.j. u međuvremenu [ a 1 , a 2], vrijednost funkcije članstva je 1.
Primjeri grafova funkcija pripadnosti neizrazitih brojeva (L-R) tipa prikazani su na Sl. 1.8.
Riža. 1.8. Primjeri grafova funkcija pripadnosti neizrazitih brojeva (L-R) -tip
Imajte na umu da u određenim situacijama funkcije L (y), R (y), a također i parametri a, β nejasnih brojeva (a, α, β ) i ( a 1 , a 2 , α, β ) treba odabrati na način da rezultat operacije (zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje itd.) bude točno ili približno jednak nejasnom broju s istim L (y) i R (y), i parametri α" i β" rezultat nije prelazio ograničenja ovih parametara za početne neizrazite brojeve, pogotovo ako će rezultat kasnije sudjelovati u operacijama.
Komentar... Rješavanje problema matematičkog modeliranja složenih sustava pomoću aparata neizrazitih skupova zahtijeva izvođenje velikog broja operacija nad različitim vrstama jezičnih i drugih neizrazitih varijabli. Za praktičnost izvođenja operacija, kao i za unos-izlaz i pohranu podataka, poželjno je raditi s funkcijama članstva standardnog tipa.
Fuzzy skupovi, koji moraju djelovati u većini problema, u pravilu su unimodalni i normalni. Jedna od mogućih metoda za aproksimaciju unimodalnih neizrazitih skupova je aproksimacija pomoću funkcija (L-R) tipa.
Primjeri (L-R) -reprezentacija nekih jezičnih varijabli dani su u tablici. 1.2.
Tablica 1.2. moguće (L- R) -reprezentacija nekih jezičnih varijabli
SD Shtovba "Uvod u teoriju neizrazitih skupova i neizrazite logike"
1.7. Mutna logika
Fuzzy logika je generalizacija tradicionalne aristotelovske logike za slučaj kada se istina smatra jezičnom varijablom koja uzima vrijednosti tipa: "vrlo istinito", "manje ili više istinito", "ne baš lažno" itd. Naznačena jezična značenja predstavljena su nejasnim skupovima.
1.7.1. Jezične varijable
Podsjetimo da je lingvistička varijabla varijabla koja uzima vrijednosti iz skupa riječi ili izraza nekog prirodnog ili umjetnog jezika. Skup dopuštenih vrijednosti jezične varijable naziva se skup pojmova. Postavljanje vrijednosti varijable riječima, bez korištenja brojeva, prirodnije je za osobu. Svakodnevno donosimo odluke na temelju lingvističkih informacija kao što su: "vrlo visoka temperatura"; "dugo putovanje"; "brzi odgovor"; "lijepi buket"; „skladnog okusa“ i slično. Psiholozi su otkrili da se u ljudskom mozgu gotovo sve numeričke informacije verbalno prekodiraju i pohranjuju u obliku jezičnih izraza. Koncept jezične varijable igra važnu ulogu u nejasnom zaključivanju i donošenju odluka na temelju približnog zaključivanja. Formalno se jezična varijabla definira na sljedeći način.
Definicija 44.Jezična varijabla dano s pet, gdje je -; naziv varijable; -; skup termina, čiji je svaki element (term) predstavljen kao neizraziti skup na univerzalnom skupu; -; sintaktička pravila, često u obliku gramatike, iz kojih nastaju nazivi pojmova; -; semantička pravila koja definiraju funkcije članstva neizrazitih pojmova generiranih sintaktičkim pravilima.
Primjer 9. Razmotrimo jezičnu varijablu zvanu sobna temperatura. Tada se preostala četiri mogu definirati na sljedeći način:
Tablica 4 - Pravila za izračun funkcija članstva
Grafovi funkcija pripadnosti pojmova "hladno", "nije jako hladno", "udobno", "manje-više ugodno", "vruće" i "vrlo vruće" jezične varijable "sobna temperatura" prikazani su na Sl. . trinaest.
Slika 13 - Jezična varijabla "sobna temperatura"
1.7.2. Mutna istina
Jezična varijabla "istina" zauzima posebno mjesto u neizrazitoj logici. U klasičnoj logici istina može poprimiti samo dvije vrijednosti: istinitu i lažnu. U neizrazitoj logici, istina je "nejasna". Nejasna istina definirana je aksiomatski, a različiti autori to čine na različite načine. Interval se koristi kao univerzalni skup za postavljanje jezične varijable "istina". Obična, jasna istina može se predstaviti nejasnim singleton skupovima. U ovom slučaju, funkcija članstva će uistinu odgovarati jasnom konceptu 
, a jasan koncept je lažan -; 
, .
Da bi definirao nejasnu istinu, Zadeh je predložio sljedeće funkcije članstva za pojmove "točno" i "netočno":
;
gdje - ; parametar koji definira nositelje neizrazitih skupova "true" i "false". Za neizraziti skup, "true" nositelj će biti interval, a za neizraziti skup, false "-;.
Funkcije pripadnosti neizrazitih pojmova "točno" i "netočno" prikazane su na Sl. 14. Izgrađeni su s vrijednošću parametra. Kao što možete vidjeti, grafovi funkcija članstva pojmova "točno" i "netočno" su zrcalne slike.
Slika 14 - Jezična varijabla "istina" prema Zadi
Da bi definirao nejasnu istinu, Baldwin je predložio sljedeće funkcije članstva za neizrazite "true" i "false":
Kvantifikatori "manje ili više" i "vrlo" često se primjenjuju na nejasne skupove "true" i "false", čime se dobivaju izrazi "vrlo lažno", "manje ili više lažno", "više ili manje istinito", "vrlo istinito " , "vrlo, vrlo istinito", "vrlo, vrlo lažno" itd. Funkcije članstva novih pojmova dobivaju se izvođenjem operacija koncentracije i proširenja neizrazitih skupova "true" i "false". Operacija koncentracije odgovara kvadriranju funkcije pripadnosti, a operacija proširenja odgovara podizanju na ½ stepena. Stoga su funkcije članstva izraza "vrlo, vrlo lažno", "vrlo lažno", "više ili manje lažno", "više ili manje istinito", "istinito", "vrlo istinito" i "vrlo, vrlo istinito". definiran kako slijedi:
Grafovi funkcije pripadnosti ovih pojmova prikazani su na Sl. 15.
Slika 15 - Jezična varijabla "istina" prema Baldwinu
1.7.3. Nejasne logičke operacije
Najprije se ukratko prisjetimo glavnih odredbi konvencionalne (Booleove) logike. Razmotrimo dvije tvrdnje A i B, od kojih svaka može biti istinita ili netočna, tj. uzeti vrijednosti "1" ili "0". Za ove dvije izjave postoje različite logičke operacije, od kojih se samo pet smisleno tumači: I (), ILI (), isključivo OR (), implikacija () i ekvivalencija (). Tablice istinitosti za ove operacije dane su u tablici. 5.
Tablica 5 - Logičke tablice istinitosti
Pretpostavimo da logička izjava može uzeti ne dvije istinite vrijednosti, već tri, na primjer: "točno", "netočno" i "neodređeno". U ovom slučaju nećemo se baviti dvovrijednom, već trovrijednom logikom. Ukupan broj binarnih operacija, a time i tablica istinitosti, u trovrijednoj logici je jednak. Fuzzy logika je vrsta viševrijedne logike u kojoj su vrijednosti istine specificirane jezičnim varijablama ili terminima jezične varijable "istina". Pravila za izvođenje neizrazitih logičkih operacija izvedena su iz Booleovih logičkih operacija korištenjem načela generalizacije.
Definicija 45. Označimo neizrazite logičke varijable s i, a funkcije članstva koje specificiraju istinite vrijednosti ovih varijabli s i,. Nejasne logičke operacije I (), ILI (),
NOT () i implikacija () izvode se prema sljedećim pravilima:
;
U viševrijednoj logici, logičke operacije mogu se specificirati pomoću tablica istinitosti. U neizrazitoj logici, broj mogućih vrijednosti istine može biti beskonačan, stoga je u općem obliku nemoguć tablični prikaz logičkih operacija. Međutim, u tabličnom obliku možete predstaviti nejasne logičke operacije za ograničeni broj istinitih vrijednosti, na primjer, za skup pojmova ("točno", "vrlo istinito", "nije točno", "više ili manje lažno", "lažno"). Za trovrijednu logiku s nejasnim vrijednostima istine T -; "istina", F -; "lažno" i T + F - "nepoznato" L Zadeh je predložio sljedeće tablice lingvističke istine:
Primjenom pravila za izvođenje neizrazitih logičkih operacija iz definicije 45, možete proširiti tablice istinitosti za više pojmova. Razmotrit ćemo kako to učiniti u sljedećem primjeru.
Primjer 10. Dane su sljedeće nejasne vrijednosti istine:
Primjenjujući pravilo iz definicije 45, nalazimo nejasnu istinitost izraza "gotovo istinito ILI istinito":
Usporedimo dobiveni neizraziti skup s neizrazitim skupom "manje-više istinito". Oni su skoro jednaki, što znači:
Kao rezultat izvođenja logičkih operacija često se dobiva neizraziti skup, koji nije ekvivalentan niti jednoj od prethodno uvedenih neizrazitih vrijednosti istinitosti. U ovom slučaju, potrebno je među neizrazitim istinitosnim vrijednostima pronaći onu koja odgovara rezultatu izvođenja nejasne logičke operacije u maksimalnoj mjeri. Drugim riječima, potrebno je provesti tzv jezična aproksimacija, što se može smatrati analogom aproksimacije empirijskih statističkih distribucija standardnim funkcijama distribucije slučajnih varijabli. Kao primjer, navedimo tablice lingvističke istine koje je predložio Baldwin za one prikazane na Sl. 15 nejasnih istinitih vrijednosti:
| neodređeno |
neodređeno |
||
| neodređeno |
neodređeno |
||
| neodređeno |
neodređeno |
neodređeno |
neodređeno |
| vrlo istinito |
vrlo istinito |
||
| više-manje istinito |
više-manje istinito |
1.7.3. Nejasna baza znanja
Definicija 46.Nejasna baza znanja naziva se skup neizrazitih pravila "Ako - onda", koja određuju odnos između ulaza i izlaza objekta koji se proučava. Generalizirani format neizrazitih pravila je sljedeći:
Akopravila paketa,zatimzaključak pravila.
Pretpostavka pravila ili antecedenta je izjava poput "x je nizak", gdje je "nisko" pojam (jezično značenje) dan nejasnim skupom na univerzalnom skupu jezične varijable x. Kvantifikatori "jako", "više ili manje", "ne", "gotovo" itd. može se koristiti za modificiranje pojmova antecedenta.
Zaključak ili posljedica pravila je izjava poput "y je d", u kojoj se može navesti vrijednost izlazne varijable (d):
- nejasni izraz: "y je visok";
- razred rješenja: "imate bronhitis"
- jasna konstanta: "y = 5";
- jasna funkcija ulaznih varijabli: "y = 5 + 4 * x".
Ako je vrijednost izlazne varijable u pravilu dana neizrazitim skupom, tada se pravilo može predstaviti neizrazitim odnosom. Za neizrazito pravilo "Ako je x, onda je y", neizrazita relacija je specificirana na kartezijanskom umnošku, gdje je -; univerzalni skup ulazne (izlazne) varijable. Fuzzy implikacija i t-norma mogu se koristiti za izračunavanje neizrazitog omjera. Kada se koristi operacija pronalaženja minimuma kao t-norme, neizraziti omjer se izračunava na sljedeći način:
Primjer 11. Sljedeća nejasna baza znanja opisuje odnos između dobi vozača (x) i mogućnosti prometne nesreće (y):
Akox = mladi,zatimy = visoka;
Akox = srednji,zatimy = niska;
Akox = vrlo star,zatimy = Visoka.
Neka funkcije članstva članova imaju oblik prikazan na sl. 16. Tada će neizraziti odnosi koji odgovaraju pravilima baze znanja biti kao na sl. 17.
Slika 16 - Funkcije članstva pojmova
Slika 17 - Nejasne relacije koje odgovaraju pravilima baze znanja iz primjera 11
Za definiranje višedimenzionalnih I/O ovisnosti koriste se neizrazite logičke operacije AND i OR. Pravila je prikladno formulirati na način da se unutar svakog pravila varijable kombiniraju logičkom operacijom I, a pravila u bazi znanja povezuju operacijom ILI. U ovom slučaju, neizrazita baza znanja koja povezuje ulaze 
s izlazom se može predstaviti na sljedeći način.
Važan aspekt koncepta jezična varijabla je da je ova varijabla višeg reda od neizrazite varijable, u smislu da vrijednosti jezična varijabla su neizrazite varijable. Na primjer, vrijednosti jezična varijabla"DOB" može biti: "MLADI, MLADI, STARI, JAKO STARI, NI MLADI NI STARI" itd. Svaka od ovih vrijednosti je ime neizrazita varijabla... Ako je naziv neizrazite varijable, onda se ograničenje zbog ovog imena može tumačiti kao značenje neizrazita varijabla .
Još jedan važan aspekt koncepta jezična varijabla je li to jezična varijabla dva su pravila inherentna:
- Sintaktički, koji se može specificirati u obliku gramatike koja generira naziv vrijednosti varijable;
- Semantički, koji definira algoritamski postupak za izračunavanje značenja svake vrijednosti.
Definicija. Jezična varijabla karakterizira skup svojstava u kojima:
Ime varijable;
Označava skup termina varijable, t.j. skup imena jezičnih vrijednosti varijable, a svaka od takvih vrijednosti je neizrazita varijabla s vrijednostima iz univerzalnog skupa s osnovnom varijablom;
Pravilo sintakse koje generira imena vrijednosti varijabli;
Semantičko pravilo koje dodjeljuje svakom neizrazita varijabla njegovo značenje, tj. neizraziti podskup univerzalni set .
Specifično ime generirano sintaktičkim pravilom naziva se pojam. Pojam koji se sastoji od jedne riječi ili više riječi koje se uvijek pojavljuju jedna uz drugu naziva se atomski pojam. Naziv koji se sastoji od više atomskih pojmova složeni pojam.
Primjer... Smatrati jezična varijabla pod nazivom "SOBNA TEMPERATURA". Zatim preostala četiri 
, može se definirati ovako:
