Tablica 10.9 okomitost pravca i ravnine rješenja. Okomitost pravca i ravnine, znak i uvjeti okomitosti pravca i ravnine

6.1 Određivanje okomitosti pravca i ravnine

Ideja ravnih linija, odnosno segmenata okomitih na ravninu, daju okomito stojeći stupovi (okomiti su na površinu zemlje), rastegnuti kabel na kojem visi svjetiljka (okomito je na strop) i noge stola (okomite su na pod). Okomiti dovratnik vrata je okomit na pod, a donji rub vrata, uz pod, okomit je na dovratnik u svim položajima vrata (slika 73, a). Ovo svojstvo određuje okomitost pravca i ravnine.

Definicija. Ravna linija se zove okomita na ravninu ako siječe ovu ravninu i okomita je na bilo koju ravnu liniju u ovoj ravnini koja prolazi kroz sjecište (slika 73, b).

Riža. 73

Također kažu da je ravnina okomita na pravac ili da su međusobno okomiti. Za međusobno okomite pravac a i ravninu a koriste se oznake a ⊥ α ili α ⊥ a.

Isječak ili zraka okomit je na ravninu ako leži na pravcu okomitom na tu ravninu. Ako je segment okomit na ravninu i njegov kraj leži u ovoj ravnini, tada se naziva okomit na ovu ravninu.

6.2 Okomito i koso

Segment koji ima jednu zajedničku točku s ravninom - kraj segmenta, ali nije okomit na danu ravninu, naziva se nagnut na ravninu.

Neka su iz jedne točke A, koja ne leži u ravnini a, povučene okomica AB i nagnuta AC (slika 74). Odsječak BC naziva se projekcija nagnute AC na ravninu α.

Riža. 74

Okomica AB kraća je od nagnute AC, tj. AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Može se reći ovako: okomica AB iz točke A na ravninu α najkraća je od duži koje spajaju točku A s točkama na ravnini α.

Svojstvo okomice kao najkraćeg segmenta je karakteristično svojstvo. To znači da vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je AB najkraći odsječak od točke A do ravnine α, tada je AB okomita na ravninu α.

Dokaz. Dokažimo ovo kontradikcijom. Pretpostavimo da AB nije okomit na α. Tada kroz točku B u ravnini α prolazi pravac a koji nije okomit na AB (slika 75). Spustimo okomicu AM iz A na pravac a. U pravokutnom trokutu ABM krak AM manji je od hipotenuze AB: AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Riža. 75

Duljina okomice, spuštene od najviše točke predmeta do njegove baze, mjeri visinu predmeta. Dakle, visina piramide je duljina okomice spuštene od vrha piramide do ravnine njezine baze, kao i sama okomica (na slici 76, a, b, ovo je segment PO).

Riža. 76

6.3 O značenju okomice

Okomica na ravninu ima vrlo važnu ulogu, osim što je najkraća među svim segmentima od date točke do točaka ravnine. Objasnimo dalje njegovo značenje. Položaj ravnine u prostoru može se odrediti označavanjem pravca okomitog na nju i točke u kojoj ona siječe tu liniju.

Najvažnije svojstvo okomice je da se ravnina nalazi simetrično u odnosu na nju. Što to znači? Sve zrake koje leže u određenoj ravnini tvore s njom jednake kutove - prave kutove, ali za nagnutu ravninu to nije slučaj (slika 77, a). Kada se okreće oko okomice, ravnina se poravnava sama sa sobom: kotač mora biti postavljen na osovinu tako da je njegova ravnina okomita na osovinu. Pravokutnik čija je stranica okomita na ravninu može se rotirati oko te stranice, a druga stranica će kliziti po ravnini. To je jasno vidljivo na ispravno obješenim vratima. Ako njegov rub nije okomit, vrata se ne otvaraju slobodno i dodiruju pod.

Riža. 77

Uzimajući primjere iz fizike, može se uočiti da je tlak tekućine ili plina na stijenku posude usmjeren okomito na stijenku, kao što je okomito na nju usmjeren i pritisak tereta na nosač (sl. 77, b i 78, a).

Riža. 78

Okomica na površinu pojavljuje se u zakonima odbijanja i loma svjetlosti. Stoga zakon refleksije kaže: “Upadajuća zraka i odbijena zraka nalaze se u istoj ravnini s okomitom na površinu zrcala u točki upadanja i tvore s njim jednake kutove.” "Kut upada" i "kut refleksije" su kutovi između naznačene okomice i upadne zrake i reflektirane zrake (slika 78, b).

Ali glavno značenje okomice je njezina uloga u tehnologiji iu svim našim životima.

Okruženi smo, moglo bi se reći, okomitima: noge stola su okomite na pod, rub ormarića okomit na zid itd.

Vertikala je okomita na horizontalnu ravninu. Okomitost se provjerava viskom (vidi sliku). Okomitost igra glavnu ulogu u gradnji: međukatni stropovi postavljeni su okomito na stupove okvira zgrade.

Kao što ćemo kasnije vidjeti, paralelnost ravnina povezana je s prisutnošću zajedničkih okomica. Okomitost i paralelnost pravaca i ravnina bitan je element u graditeljstvu, pa se učenje o okomicama i paralelnostima može nazvati temeljima “građevinske geometrije”.

Pitanja za samokontrolu

1. Koja je razlika između okomitog na ravninu i kosog na ravninu?
2. Što je definicija okomice na ravninu?
3. Što znači okomito na ravninu?

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Klasa: 10.

Osnovni vodič: Geometrija 10-11: osnovne i profilne razine/ L.S. Atanasyan i dr. - M.: Obrazovanje, 2009.

Sat je popraćen prezentacijom i testom izrađenim u Microsoft Excelu za računalnu provjeru znanja učenika ( Prilog 1), modul za obuku Federalnog centra za informacije i obrazovne resurse ( Dodatak 2), koji se sastoji od 5 zadataka različitih razina težine. Svi zadaci ovog modula su parametrizirani, što vam omogućuje izradu pojedinačnih zadataka. Zadaci su osmišljeni tako da razvijaju vještine rješavanja problema pomoću znaka okomitosti pravca i ravnine. Za rad s modulom za obuku morate instalirati poseban program koji se nalazi u Dodatak 3. Prezentacija za lekciju uključuje samostalni rad na temi koja se proučava. Dakle, količina ponuđenog materijala je prevelika, što omogućuje doziranje i variranje ovisno o razini pripremljenosti razreda.

Vrsta lekcije: sat kreativne primjene znanja.

Oblik: radionica o rješavanju ključnih problema.

Trošenje vremena: 45 minuta.

Mjesto lekcije u odjeljku: Lekcija 4.

Ciljevi:

Obrazovni:

• “otkriti” pojmove okomite i nagnute na ravninu;
• razvijati vještine:
  vidjeti konfiguracije koje zadovoljavaju navedene uvjete;
  primijeniti definiciju pravca okomitog na ravninu, znak okomitosti pravca i ravnine na dokazne zadatke;
• razvijati vještine rješavanja osnovnih zadataka o okomitosti pravca i ravnine.

Obrazovni:

• razvijati prostornu maštu, logično razmišljanje;
• razvijati samostalnost i kreativan odnos učenika prema izvršavanju zadataka;
• organizirati razumijevanje rezultata dobivenih proučavanjem teme i načina za njihovo postizanje.

Obrazovni:

• spomenuti:
  volja i ustrajnost za postizanje konačnih rezultata u rješavanju problema;
  informacijska kultura i komunikacijska kultura.

Metode: djelomično tražiti, istraživati.

Oblici organizacije aktivnosti: frontalni, grupni, individualni, samostalan rad.

Oprema: informatički razred, multimedijski projektor, ekran, računalna prezentacija teme, test (Prilog 1), kartice za samostalni rad (Slide 9), kartice s teorijskim pitanjima, elektronička obrazovna sredstva s praktičnim parametriziranim zadatkom (Prilog 2).

Tijekom nastave

Organizacijski trenutak - provjera spremnosti razreda za lekciju.

I. Motivacijski i orijentacijski dio.

1. Obnavljanje znanja.

– Danas nastavljamo s radom na temi “Okomitost pravca i ravnine”. U prethodnim satima smo “otkrili” definiciju pravca okomitog na ravninu, znak okomitosti pravca i ravnine te analizirali najjednostavnije zadatke. Kao domaću zadaću svatko od vas je dobio list s teoretskim pitanjima, trebali ste pripremiti odgovore na ta pitanja.

Provjerimo kako ste se snašli u ovom zadatku.

U tijeku je frontalno ispitivanje. (slajdovi 6-8).

Rezultati usmenog rada se sumiraju i ocjenjuju se odgovori učenika.

2. Izjava obrazovnog zadatka.

Danas ćemo nastaviti razvijati sposobnost primjene dobro poznatih tvrdnji u problemima s dokazima iu rješavanju standardnih problema.

1. Sljedeća faza rada - dva učenika se pozivaju na ploču za individualni rad na karticama, s ostatkom učenika frontalni rad se provodi pomoću gotovih crteža. Kartice za individualni rad:

Zadaci za usmeni rad prema gotovim crtežima:

– Ljudi, u zadacima 4-6 govorimo o nagibu prema ravnini. Što misliš da se misli?

Postoji li ovdje analogija s konceptima okomitosti i kososti na ravnu crtu, koji se proučavaju u planimetriji?

Od učenika se traži da prouče slajd 10 prezentacije i riješe ove probleme.

2. Rad u parovima – rješavanje zadataka po gotovim crtežima.

Razgovara se o rješenjima. Ocjenjuju se individualni odgovori učenika.

Sljedeća faza lekcije je izvođenje praktičnog zadatka na računalu, rad s ESM-om.

III. Reflektivno-evaluacijski dio.

1. Rezultat rada Tijekom lekcije postoji test u obliku testa.

Sažetak se sumira i daju ocjene.

2. Domaća zadaća: br. 130, 131, 145, 148. (Uputa: upotrijebite oznaku okomitosti pravca i ravnine).

U ovoj lekciji ponovit ćemo teoriju koju smo obradili i nastaviti rješavati tipične probleme o okomitosti pravca i ravnine.
Najprije ponovimo teorem-test okomitosti pravca i ravnine. I dalje ćemo rješavati probleme pomoću ove značajke.

Tema: Okomitost pravca i ravnine

Lekcija: Ponavljanje teorije i rješavanje tipičnih zadataka na

okomitost pravca i ravnine (nastavak)

U ovoj lekciji ponovit ćemo teoriju koju smo obradili i nastaviti rješavanje tipičnih zadataka o okomitosti pravca i ravnine.

Ako je pravac okomit na dva pravca koji se sijeku u ravnini, onda je okomit na ovu ravninu.

Neka nam je dana ravnina α. U ovoj ravnini postoje dvije ravne linije str I q, sijekući se u točki OKO(Sl. 1). Ravno A okomito na ravnu liniju str i ravno q. Prema znaku ravno A okomito na ravninu α, odnosno okomito na bilo koji pravac koji leži u toj ravnini.

3. Web stranica učitelja matematike()

1. Formulirajte znak okomitosti pravca i ravnine.

2. Dana je kružnica sa središtem u točki OKO. Ravno MO okomito na ravninu kružnice. Dokažite da linija MO okomito na bilo koji radijus kružnice.

3. U trokutu ABC iscrtana visina CH. Ravno MA okomito na ravninu ABC. Je li linija okomita? CH avion AMV?

4. Izravno MA okomito na ravninu kvadrata ABCD. Odredi duljinu odsječaka MS,M.B., DOKTOR MEDICINE., ako je stranica kvadrata jednaka a, AM = b.

U ovom ćemo članku govoriti o okomitosti pravca i ravnine. Najprije je dana definicija pravca okomitog na ravninu, dan je grafički prikaz i primjer te je prikazana oznaka pravca okomitog na ravninu. Nakon toga se formulira znak okomitosti pravca i ravnine. Zatim se dobivaju uvjeti koji omogućuju dokazivanje okomitosti pravca i ravnine, kada su pravac i ravnina određene jednadžbama u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru. U zaključku su prikazana detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Okomit pravac i ravnina - osnovni podaci.

Preporučamo da prvo ponovite definiciju okomitih pravaca, budući da je definicija pravca okomitog na ravninu dana kroz okomitost pravaca.

Definicija.

To kažu linija je okomita na ravninu, ako je okomit na bilo koji pravac koji leži u ovoj ravnini.

Također možemo reći da je ravnina okomita na pravac ili da su pravac i ravnina okomiti.

Za označavanje okomitosti upotrijebite ikonu poput "". To jest, ako je pravac c okomit na ravninu, tada možemo ukratko napisati .

Primjer pravca okomitog na ravninu je pravac po kojem se sijeku dva susjedna zida prostorije. Ova linija je okomita na ravninu i na ravninu stropa. Uže u teretani također se može smatrati ravnim segmentom okomitim na ravninu poda.

U zaključku ovog odlomka članka napominjemo da ako je ravna linija okomita na ravninu, tada se kut između prave i ravnine smatra jednakim devedeset stupnjeva.

Okomitost pravca i ravnine - znak i uvjeti okomitosti.

U praksi se često postavlja pitanje: "Jesu li zadana pravac i ravnina okomite?" Za odgovor na ovo postoji dovoljan uvjet za okomitost pravca i ravnine, odnosno takav uvjet čije ispunjenje jamči okomitost pravca i ravnine. Taj dovoljan uvjet naziva se znak okomitosti pravca i ravnine. Formulirajmo to u obliku teorema.

Teorema.

Da bi pravac i ravnina bili okomiti, dovoljno je da je pravac okomit na dva pravca koji se sijeku i koji leže u toj ravnini.

Dokaz znaka okomitosti pravca i ravnine možete pogledati u udžbeniku geometrije za 10.-11.

Pri rješavanju zadataka utvrđivanja okomitosti pravca i ravnine često se koristi i sljedeći teorem.

Teorema.

Ako je jedan od dva paralelna pravca okomit na ravninu, onda je i drugi pravac okomit na ravninu.

U školi se razmatraju mnogi zadaci za čije se rješavanje koristi oznaka okomitosti pravca i ravnine, kao i posljednji teorem. Nećemo se ovdje zadržavati na njima. U ovom dijelu članka usredotočit ćemo se na primjenu sljedećeg potrebnog i dovoljnog uvjeta za okomitost pravca i ravnine.

Ovaj uvjet se može prepisati u sljedećem obliku.

Neka je vektor smjera pravca a, i je vektor normale ravnine. Da bi pravac a i ravnina bili okomiti potrebno je i dovoljno da I : , gdje je t neki realni broj.

Dokaz ovog potrebnog i dovoljnog uvjeta okomitosti pravca i ravnine temelji se na definicijama vektora pravca pravca i vektora normale ravnine.

Očito, ovaj uvjet je pogodan za korištenje za dokazivanje okomitosti pravca i ravnine, kada se koordinate usmjeravajućeg vektora pravca i koordinate normalnog vektora ravnine u fiksnom trodimenzionalnom prostoru mogu lako pronaći . To vrijedi za slučajeve kada su zadane koordinate točaka kroz koje prolaze ravnina i pravac, kao i za slučajeve kada je pravac određen nekim jednadžbama pravca u prostoru, a ravnina je dana jednadžbom avion neke vrste.

Pogledajmo rješenja za nekoliko primjera.

Primjer.

Dokažite okomitost pravca i avioni.

Riješenje.

Znamo da su brojevi u nazivnicima kanoničkih jednadžbi pravca u prostoru odgovarajuće koordinate vektora smjera tog pravca. Tako, - izravni vektor .

Koeficijenti varijabli x, y i z u općoj jednadžbi ravnine su koordinate vektora normale te ravnine, tj. je vektor normale ravnine.

Provjerimo ispunjenje potrebnog i dovoljnog uvjeta okomitosti pravca i ravnine.

Jer , tada su vektori i povezani relacijom , odnosno kolinearni su. Stoga, ravno okomito na ravninu.

Primjer.

Jesu li linije okomite? i avion.

Riješenje.

Nađimo vektor smjera zadanog pravca i vektor normale ravnine kako bismo provjerili je li zadovoljen potreban i dovoljan uvjet okomitosti pravca i ravnine.

Usmjeravajući vektor je ravan je

Znakovi okomitosti:

Pravac je okomit na ravninu , ako _______________________________________

Linije su okomite , ako _________________________________________________

Ravnine su okomite , ako ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Zadatak 1. Konstruirajte loptu sa središtem u točki A, tangentnom na zadanu ravninu.

Algoritam:

Zadatak 2. Konstruirajte točku na udaljenosti 20 mm od ravnine.

Algoritam:

Zadatak 3. Odredite udaljenost od točke do pravca.

Algoritam:

Zadatak 4: Dopuni nedostajuću projekciju trokuta ako je kut U ravno.

Algoritam:

Problem 5 : Konstruiraj kvadrat sa stranicom BC na pravoj liniji l.

Algoritam:

Problem 6 : Dopuni projekciju trokuta ako je okomit na zadanu ravninu.

Algoritam:

Pitanja za samoprovjeru znanja

U kojem se slučaju pravi kut projicira na ravninu projekcije bez izobličenja?

Kako se zove linija najvećeg nagiba?

Gdje se nalazi linija najvećeg nagiba u ravnini?

Kako odrediti kut nagiba ravnine prema horizontalnoj, frontalnoj, profilnoj ravnini projekcija?

Kako je sa stajališta elementarne geometrije formuliran znak okomitosti pravca i ravnine?

Ako je pravac očito okomit na ravninu, koliko se pravaca koji leže u ravnini može povući okomito na nju?

Koja dva pravca koji se sijeku u ravnini moraju biti odabrana iz skupa pravaca tako da se pravi kut između njih i zadanog pravca projicira na ravninu projekcije bez izobličenja?

Na temelju toga formulirajte znak okomitosti pravca i ravnine sa stajališta nacrtne geometrije.

Kako konstruirati okomicu na opću ravninu na CN?

Kako konstruirati pravac okomit na projicirajuću ravninu na CC?

Kako se pravi kut između pravaca koji se sijeku može projicirati na ravninu projekcije ako nijedan od njih nije paralelan s tom ravninom projekcije?

Formulirajte test za okomitost pravaca u općem položaju.

Formulirajte znak okomitosti ravnina.

Tema 11: Metoda zamjene ravnina projekcija

Četiri glavna zadatka nacrtne geometrije:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

O KZ-u ostaje nepromijenjen ____________________________________________________

________________________________________________________________________________