Kalmanov filter

Kalmanov filtar ima široku primjenu u inženjeringu i ekonometrijskoj primjeni: od radara i vizualnih sustava do procjene parametara makroekonomskih modela. Kalmanova filtracija je važan dio teorije upravljanja, igra veliku ulogu u stvaranju upravljačkih sustava. Zajedno s linearno-kvadratičnim regulatorom, Kalmanov filtar omogućuje rješavanje linearno-kvadratnog Gaussovog problema upravljanja. Kalmanov filtar i linearno-kvadratni regulator moguća su rješenja za većinu temeljnih problema u teoriji upravljanja.

U većini aplikacija, broj parametara koji definiraju stanje objekta veći je od broja promatranih parametara dostupnih za mjerenje. Koristeći model objekta za niz dostupnih mjerenja, Kalmanov filtar omogućuje dobivanje procjene unutarnjeg stanja.

Kalmanov filtar namijenjen je rekurzivnoj reevaluaciji vektora stanja a priori poznatog dinamičkog sustava, odnosno za izračunavanje trenutnog stanja sustava potrebno je poznavati trenutno mjerenje, kao i prethodno stanje filtera. sebe. Dakle, Kalmanov filtar, kao i mnogi drugi rekurzivni filtri, implementiran je u vremenskom, a ne u frekvencijskom prikazu.

Ilustrativan primjer mogućnosti filtra je dobivanje točnih, kontinuirano ažuriranih procjena položaja i brzine objekta na temelju rezultata vremenske serije netočnih mjerenja njegove lokacije. Primjerice, u radaru postoji zadatak praćenja cilja, određivanja njegovog položaja, brzine i ubrzanja, dok rezultati mjerenja dolaze postupno i vrlo su bučni. Kalmanov filtar koristi probabilistički model dinamike cilja, koji određuje vrstu vjerojatnog kretanja objekta, što omogućuje smanjenje učinka buke i dobivanje dobrih procjena položaja objekta u sadašnjem, budućem ili prošlom trenutku u vremenu. .

Uvod

Kalmanov filtar djeluje s konceptom vektora stanja sustava (skup parametara koji opisuju stanje sustava u određenom trenutku) i njegovim statističkim opisom. U općem slučaju, dinamika određenog vektora stanja opisuje se gustoćama vjerojatnosti raspodjele njegovih komponenti u svakom trenutku vremena. U prisutnosti određenog matematičkog modela promatranih promatranja sustava, kao i modela apriorne promjene parametara vektora stanja (naime, kao proces Markovljevog formiranja), moguće je napisati jednadžbu za posteriornu gustoću vjerojatnosti vektora stanja u bilo kojem trenutku. Ova diferencijalna jednadžba naziva se Stratonovičeva jednadžba. Stratonovičeva jednadžba u općem obliku nije riješena. Analitičko rješenje može se dobiti samo u slučaju brojnih ograničenja (pretpostavki):

• Gausovnost apriorne i posteriorne gustoće vjerojatnosti vektora stanja u bilo kojem trenutku (uključujući početnu)
• Gaussov šum oblikovanja
• Gausovnost buke promatranja
• bjelina buke promatranja
• linearnost modela promatranja
• linearnost modela procesa formiranja (koji, podsjećamo, mora biti Markovljev proces)

Klasični Kalmanov filtar je jednadžba za izračunavanje prvog i drugog momenta posteriorne gustoće vjerojatnosti (u smislu vektora matematičkih očekivanja i matrice varijacija, uključujući i međusobne) pod tim ograničenjima. S obzirom na činjenicu da za normalnu gustoću vjerojatnosti matematičko očekivanje i matrica varijance u potpunosti definiraju gustoću vjerojatnosti, možemo reći da Kalmanov filtar izračunava posteriornu gustoću vjerojatnosti vektora stanja u svakom trenutku vremena. To znači da u potpunosti opisuje vektor stanja kao slučajnu vektorsku veličinu.

U ovom slučaju, izračunate vrijednosti matematičkih očekivanja su optimalne procjene prema kriteriju srednje kvadratne pogreške, što određuje njegovu široku upotrebu.

Postoji nekoliko varijanti Kalmanovog filtera, koje se razlikuju u aproksimacijama i trikovima kojima se filtar treba svesti na opisani oblik i smanjiti njegova dimenzija:

• Prošireni Kalmanov filter (EKF). Redukcija nelinearnih modela promatranja i proces oblikovanja linearizacijom pomoću proširenja Taylorovog niza.
• Kalmanov filter bez mirisa (UKF). Koristi se u problemima u kojima jednostavna linearizacija dovodi do uništenja korisnih veza između komponenti vektora stanja. U ovom slučaju, "linearizacija" se temelji na transformaciji bez mirisa.
• Ansambl Kalmanov filter (EnKF). Koristi se za smanjenje dimenzije problema.
• Moguće su varijante s nelinearnim dodatnim filtrom, što omogućuje normaliziranje ne-Gaussovih opažanja.
• Moguće su varijante s filterom za "izbjeljivanje", što vam omogućuje rad sa šumom "boje".
• itd.

Koristi se dinamički model sustava

Kalmanovi filtri temelje se na vremenski diskretiziranim linearnim dinamičkim sustavima. Takvi sustavi se modeliraju pomoću Markovljevih lanaca korištenjem linearnih operatora i normalno raspoređenih termina. Stanje sustava opisuje se vektorom konačne dimenzije – vektorom stanja. U svakom vremenskom koraku, linearni operator djeluje na vektor stanja i pretvara ga u drugi vektor stanja (deterministička promjena stanja), dodaje se određeni vektor normalne buke (slučajni faktori) i, u općem slučaju, upravljački vektor koji simulira akciju kontrolnog sustava. Kalmanov filtar se može promatrati kao analogija skrivenih Markovljevih modela, s tom razlikom da su varijable koje opisuju stanje sustava elementi beskonačnog skupa realnih brojeva (za razliku od konačnog skupa prostora stanja u skrivenim Markovljevim modelima) . Osim toga, skriveni Markov modeli mogu koristiti proizvoljne distribucije za sljedeće vrijednosti vektora stanja, za razliku od Kalmanovog filtra, koji koristi normalno raspoređeni model šuma. Postoji jaka veza između jednadžbi Kalmanovog filtra i skrivenog Markovljevog modela. Ove i druge modele pregledali su Roweis i Chahramani (1999).

Pri korištenju Kalmanovog filtra za dobivanje procjena vektora stanja procesa iz niza bučnih mjerenja potrebno je prikazati model tog procesa u skladu sa strukturom filtera – u obliku matrične jednadžbe određenog tipa. Za svaki otkucaj k rada filtera, potrebno je odrediti matrice u skladu s opisom u nastavku: razvoj procesa F k; matrica promatranja H k; matrica kovarijanse procesa P k; matrica kovarijance mjerenja šuma R k; u prisutnosti kontrolnih radnji - matrica njihovih koeficijenata B k .

Ilustracija kako filter radi. Matrice su označene kvadratima. Elipse označavaju matrice multivarijatnih normalnih distribucija (uključujući srednje vrijednosti i kovarijance). Vektori nisu navedeni. U najjednostavnijem slučaju, neke se matrice ne mijenjaju tijekom vremena (ne ovise o indeksu k), ali ih filter još uvijek koristi u svakom taktu.

Model sustava/procesa pretpostavlja da je pravo stanje u ovom trenutku k dobiva se iz pravog stanja u ovom trenutku k−1 u skladu s jednadžbom:

,

• F k- matrica evolucije procesa/sustava koji utječe na vektor x k−1 (vektor stanja u ovom trenutku k−1 );
• B k- upravljačka matrica, koja se primjenjuje na vektor upravljačkih radnji u k ;
• w k- normalni slučajni proces s nultim matematičkim očekivanjem i matricom kovarijance P k, koji opisuje slučajnu prirodu evolucije sustava/procesa:

U trenutku k promatranje (mjerenje) z k vektor pravog stanja x k, koji su povezani jednadžbom:

gdje H k- mjerna matrica koja povezuje pravi vektor stanja i vektor izvršenih mjerenja, v k- bijeli Gaussov šum mjerenja s nultim matematičkim očekivanjem i matricom kovarijance R k :

Početno stanje i vektori slučajnih procesa u svakom taktu ( x 0 , w 1 , …, w k , v 1 , …, v k) smatraju se neovisnim.

Mnogi stvarni dinamički sustavi ne mogu se točno opisati ovim modelom. U praksi, dinamika koja nije uzeta u obzir u modelu može ozbiljno pokvariti performanse filtera, osobito kada se radi s nepoznatim stohastičkim signalom na ulazu. Štoviše, dinamika koja nije uzeta u obzir u modelu može učiniti filtar nestabilnim. S druge strane, neovisni bijeli šum kao signal neće dovesti do divergencije algoritma. Problem odvajanja mjerne buke od dinamike koja nije uzeta u obzir u modelu je težak, a rješava se teorijom robusnih upravljačkih sustava.

Kalmanov filter

Kalmanov filtar je vrsta rekurzivnog filtra. Za izračun procjene stanja sustava za tekući ciklus rada potrebna mu je procjena stanja (u obliku procjene stanja sustava i procjene pogreške u određivanju tog stanja) na prethodni ciklus rada i mjerenja u tekućem ciklusu. Ovo svojstvo razlikuje ga od filtara paketa, koji zahtijevaju poznavanje povijesti mjerenja i/ili procjena u trenutnom ciklusu takta. U nastavku pod notacijom podrazumijevamo procjenu pravog vektora u ovom trenutku n uzimajući u obzir mjerenja od trenutka početka rada pa do trenutka m uključivo.

Stanje filtera postavljaju dvije varijable:

Iteracije Kalmanovog filtra podijeljene su u dvije faze: ekstrapolacija i korekcija. Tijekom ekstrapolacije, filtar prima preliminarnu ocjenu stanja sustava (u literaturi na ruskom jeziku često se navodi, gdje znači "ekstrapolacija" k je broj ciklusa u kojem je primljen) za trenutni korak prema konačnoj ocjeni stanja iz prethodnog koraka (ili preliminarna procjena za sljedeći ciklus prema konačnoj ocjeni trenutnog koraka, ovisno o tumačenje). Ova se preliminarna procjena također naziva apriorna procjena stanja, budući da se za njezino dobivanje ne koriste opažanja odgovarajućeg koraka. U fazi korekcije, apriorna ekstrapolacija se nadopunjuje s odgovarajućim mjerenjima struje radi korekcije procjene. Prilagođena procjena također se naziva procjena posteriornog stanja ili jednostavno procjena vektora stanja. Obično se ove dvije faze izmjenjuju: ekstrapolacija se vrši prema rezultatima korekcije do sljedećeg promatranja, a korekcija se vrši zajedno s zapažanjima koja su dostupna u sljedećem koraku, itd. se preskače i ekstrapolacija se izvodi na neprilagođenu procjenu (a priori ekstrapolacija). Isto tako, ako su neovisna mjerenja dostupna samo u određenim vremenskim koracima, korekcije su još uvijek moguće (obično korištenjem druge matrice promatranja H k ).

Korak ekstrapolacije

Faza korekcije

Odstupanje primljenog koraka k zapažanja iz opažanja koja se očekuju od izvedene ekstrapolacije:
Matrica kovarijance za vektor devijacije (vektor pogreške):
Kalmanova matrica optimalnog dobitka formirana na temelju matrica kovarijacije dostupne ekstrapolacije vektora stanja i dobivenih mjerenja (koristeći matricu kovarijacije vektora devijacije):
Korekcija prethodno dobivene ekstrapolacije vektora stanja - dobivanje procjene vektora stanja sustava:
Izračun kovarijacijske matrice procjene vektora stanja sustava:

Izraz za matricu kovarijance procjene vektora stanja sustava vrijedi samo kada se koristi reduciran optimalni vektor koeficijenata. Općenito, ovaj izraz ima složeniji oblik.

Invarijante

Ako je model apsolutno točan, a početni uvjeti i navedeni su apsolutno točno, tada se sljedeće vrijednosti spremaju nakon bilo kojeg broja iteracija operacije filtra - one su nepromjenjive:

Matematička očekivanja procjena i ekstrapolacija vektora stanja sustava, matrice pogrešaka su nultovi vektori:

gdje je matematičko očekivanje.

Izračunate matrice kovarijance ekstrapolacija, procjene stanja sustava i vektor pogrešaka podudaraju se s pravim matricama kovarijance:

Primjer izgradnje filtera

Zamislite kolica koja stoje na beskonačno dugim tračnicama u nedostatku trenja. U početku leži u položaju 0, ali pod utjecajem slučajnih faktora na njega djeluje slučajno ubrzanje. Svaki ∆ mjerimo položaj kolica t sekundi, ali mjerenja su netočna. Želimo dobiti procjene položaja kolica i njegove brzine. Primijenimo Kalmanov filtar na ovaj problem, definiramo sve potrebne matrice.

U ovom problemu matrice F , H , R i P ne ovise o vremenu, izostavljamo njihove indekse. Osim toga, mi ne kontroliramo kolica, pa je kontrolna matrica B odsutan.

Koordinatu i brzinu kolica opisuje vektor u prostoru linearnog stanja

gdje je brzina (prva derivacija koordinate s obzirom na vrijeme).

Pretpostavit ćemo da između ( k−1) th i k-th ticks kolica se kreću konstantnim ubrzanjem a k raspodijeljeno prema normalnom zakonu s nultim matematičkim očekivanjem i standardnim odstupanjem σ a... Prema Newtonovoj mehanici možemo pisati

.

Kovarijantna matrica slučajnih akcija

(σ a je skalar).

U svakom ciklusu rada mjeri se položaj kolica. Pretpostavimo da je pogreška mjerenja v k ima normalnu distribuciju s nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom σ z... Zatim

a matrica kovarijacije buke promatranja ima oblik

.

Početni položaj kolica je točno poznat

, .

Ako su položaj i brzina kolica poznati samo približno, tada se matrica disperzije može inicijalizirati s dovoljno velikim brojem L tako da broj premašuje varijancu mjerenja koordinate

, .

U tom slučaju, u prvim ciklusima takta, filtar će koristiti rezultate mjerenja s većom težinom od dostupnih a priori informacija.

Izvođenje formula

Kovarijantna matrica procjene vektora stanja

Po definiciji kovarijacijske matrice P k|k

zamijeniti izraz za procjenu vektora stanja

i zapiši izraz za vektor grešaka

i mjerni vektori

izvaditi vektor greške mjerenja v k

budući da je vektor pogreške mjerenja v k nije u korelaciji s drugim argumentima, dobivamo izraz

u skladu sa svojstvima vektorske kovarijance, ovaj izraz se pretvara u oblik

zamjenjujući izraz za matricu kovarijance ekstrapolacije vektora stanja s P k|k−1 i određivanje matrice kovarijance buke promatranja na R k, dobivamo

Dobiveni izraz vrijedi za proizvoljnu matricu koeficijenata, ali ako kao nju djeluje matrica koeficijenata, optimalna prema Kalmanu, onda se ovaj izraz za matricu kovarijacije može pojednostaviti.

Matrica optimalnog pojačanja

Kalmanov filtar minimizira zbroj kvadrata očekivanih pogrešaka procjene vektora stanja.

Vektor pogreške procjene vektora stanja

Zadatak je minimizirati zbroj matematičkih očekivanja kvadrata komponenti danog vektora

,

što je ekvivalentno minimiziranju traga kovarijacijske matrice procjene vektora stanja P k|k... Zamjenjujemo postojeće izraze u izraz za matricu kovarijacije procjene vektora stanja i nadopunjujemo ga u puni kvadrat:

Imajte na umu da je posljednji član matrica kovarijance neke slučajne varijable, pa je njezin trag nenegativan. Minimum traga se postiže kada se zadnji član nuli:

Tvrdi se da je ova matrica željena i, kada se koristi kao matrica koeficijenata u Kalmanovom filtru, minimizira zbroj srednjih kvadrata pogrešaka procjene vektora stanja.

Matrica kovarijance procjene vektora stanja korištenjem optimalne matrice koeficijenta

Izraz za matricu kovarijance procjene vektora stanja P k|k kada se koristi optimalna matrica koeficijenata imat će oblik:

Ova formula je računski jednostavnija i stoga se gotovo uvijek koristi u praksi, ali je točna samo kada se koristi optimalna matrica koeficijenata. Ako se, zbog niske računske točnosti, pojavi problem s računskom stabilnošću ili ako se koristi matrica koeficijenata koji nisu optimalni, treba koristiti opću formulu za matricu kovarijance procjene vektora stanja.

Kritika Kalmanovog filtera

Trenutno je glavna kritika Kalmanovog filtera u sljedećim područjima

• Vodič

Na internetu, uključujući i Habré, možete pronaći mnogo informacija o Kalmanovom filteru. Ali teško je pronaći lako probavljivu derivaciju samih formula. Bez zaključka, sva ta znanost percipira se kao svojevrsni šamanizam, formule izgledaju kao bezličan skup simbola, a što je najvažnije, mnoge jednostavne izjave koje leže na površini teorije su izvan razumijevanja. Svrha ovog članka bit će govoriti o ovom filtru na što pristupačnijem jeziku.
Kalmanov filtar je moćan alat za filtriranje podataka. Njegovo glavno načelo je da se prilikom filtriranja koriste informacije o fizici samog fenomena. Na primjer, ako filtrirate podatke s brzinomjera automobila, tada vam inercija automobila daje pravo da prebrze skokove brzine percipirate kao pogrešku mjerenja. Kalmanov filter je zanimljiv jer je u nekom smislu najbolji filter. U nastavku ćemo detaljnije raspravljati o tome što točno znače riječi "najbolji". Na kraju članka pokazat ću da se u mnogim slučajevima formule mogu pojednostavniti do te mjere da od njih neće ostati gotovo ništa.

Obrazovni program

Prije nego što se upoznam s Kalmanovim filtrom, predlažem da se prisjetimo nekih jednostavnih definicija i činjenica iz teorije vjerojatnosti.

Slučajna vrijednost

Kada kažu da je dana slučajna varijabla, oni misle da ta varijabla može uzeti slučajne vrijednosti. Uzima različite vrijednosti s različitim vjerojatnostima. Kada bacite, recimo, kocku, ispast će diskretni skup vrijednosti:. Kada je riječ, na primjer, o brzini lutajuće čestice, onda, očito, treba imati posla s kontinuiranim skupom vrijednosti. Označit ćemo "ispuštene" vrijednosti slučajne varijable kroz, ali ponekad ćemo koristiti isto slovo koje koristimo za označavanje slučajne varijable:
U slučaju s kontinuiranim skupom vrijednosti, slučajnu varijablu karakterizira gustoća vjerojatnosti, koja nam diktira da je vjerojatnost da će slučajna varijabla "ispasti" u malom susjedstvu točke duljine jednaka. Kao što možemo vidjeti sa slike, ova vjerojatnost je jednaka površini zasjenjenog pravokutnika ispod grafikona:

Vrlo često u životu slučajne varijable su Gaussove kada je gustoća vjerojatnosti jednaka.

Vidimo da funkcija ima oblik zvona sa središtem u točki i s karakterističnom širinom reda.
Budući da je riječ o Gaussovoj raspodjeli, grijeh bi bio ne spomenuti odakle je došla. Kao što su brojevi čvrsto utemeljeni u matematici i nalaze se na najneočekivanijim mjestima, tako je i Gaussova raspodjela duboko ukorijenila u teoriji vjerojatnosti. Jedna izvanredna izjava koja djelomično objašnjava Gaussovu sveprisutnost je sljedeća:
Neka postoji slučajna varijabla s proizvoljnom raspodjelom (zapravo, postoje neka ograničenja za ovu proizvoljnost, ali ona nisu nimalo stroga). Provodimo eksperimente i izračunajmo zbroj "ispuštenih" vrijednosti slučajne varijable. Napravimo puno ovih eksperimenata. Jasno je da ćemo svaki put dobiti različitu vrijednost iznosa. Drugim riječima, ovaj zbroj je sam po sebi slučajna varijabla s vlastitim određenim zakonom raspodjele. Ispada da za dovoljno velik zakon raspodjele ovog zbroja teži Gaussovoj raspodjeli (usput, karakteristična širina "zvona" raste kao). Pročitajte više u Wikipediji: Središnji granični teorem. U životu vrlo često postoje veličine koje se sastoje od velikog broja jednako raspoređenih neovisnih slučajnih varijabli, pa su stoga raspoređene prema Gaussovu.

Zločin

Prosječna vrijednost slučajne varijable je ono što dobivamo u granici ako provedemo puno eksperimenata i izračunamo aritmetičku sredinu ispuštenih vrijednosti. Prosječna vrijednost se označava na različite načine: matematičari vole označavati kroz (očekivanje ili srednja vrijednost), a strani matematičari kroz (očekivanje). Fizičari su kroz ili. Označit ćemo na strani način:.
Na primjer, za Gaussovu distribuciju, srednja vrijednost je.

Disperzija

U slučaju Gaussove distribucije, jasno vidimo da slučajna varijabla radije ispada u blizini svoje srednje vrijednosti.

Ponovno se divite Gaussovoj raspodjeli

Kao što se može vidjeti iz grafikona, karakterističan raspršivanje vrijednosti reda. Kako možemo procijeniti ovo širenje vrijednosti za proizvoljnu slučajnu varijablu, ako znamo njezinu distribuciju. Možete nacrtati graf njegove gustoće vjerojatnosti i okom procijeniti karakterističnu širinu. Ali mi radije idemo algebarskim putem. Možete pronaći prosječnu duljinu (modul) odstupanja od srednje vrijednosti:. Ova će vrijednost biti dobra procjena karakterističnog raspršenja vrijednosti. Ali vi i ja dobro znamo da je korištenje modula u formulama jedna glavobolja, pa se ova formula rijetko koristi za procjenu karakterističnog širenja.
Lakši način (jednostavan u smislu izračuna) je pronaći. Ta se vrijednost naziva varijanca i često se naziva. Korijen varijance je dobra procjena širenja slučajne varijable. Korijen varijance se također naziva standardna devijacija.
Na primjer, za Gaussovu distribuciju možemo izračunati da je gore definirana varijanca točno jednaka, što znači da je standardna devijacija jednaka, što se vrlo dobro slaže s našom geometrijskom intuicijom.
Zapravo, ovdje se krije mala prijevara. Činjenica je da se u definiciji Gaussove distribucije ispod eksponenta nalazi izraz. Ovo dva u nazivniku je upravo zato da bi standardna devijacija bila jednaka koeficijentu. Odnosno, sama formula Gaussove distribucije je napisana u obliku posebno izoštrenom tako da ćemo razmotriti njegovu standardnu ​​devijaciju.

Nezavisne slučajne varijable

Slučajne varijable su ovisne i ne. Zamislite da bacate iglu na ravninu i zapisujete koordinate oba kraja. Ove dvije koordinate su ovisne, povezane su uvjetom da je udaljenost između njih uvijek jednaka duljini igle, iako su to slučajne vrijednosti.
Slučajne varijable su neovisne ako je rezultat prve od njih potpuno neovisan o rezultatu druge od njih. Ako su slučajne varijable neovisne, tada je prosječna vrijednost njihovog proizvoda jednaka umnošku njihovih prosječnih vrijednosti:

Dokaz

Na primjer, imati plave oči i završiti srednju školu sa zlatnom medaljom nezavisne su slučajne varijable. Ako su plavooki, recimo, osvajači zlatne medalje, onda plavooki osvajači medalja. Ovaj nam primjer govori da ako su slučajne varijable zadane njihovim gustoćama vjerojatnosti i tada se neovisnost tih vrijednosti izražava u činjenici da je gustoća vjerojatnosti ( prva vrijednost je ispala, a druga) se nalazi po formuli:

Iz ovoga odmah slijedi da:

Kao što možete vidjeti, dokaz se provodi za slučajne varijable koje imaju kontinuirani spektar vrijednosti i zadane su njihovom gustoćom vjerojatnosti. U drugim slučajevima, ideja dokaza je slična.

Kalmanov filter

Formulacija problema

Označimo vrijednošću koju ćemo mjeriti, a zatim filtrirati. To može biti koordinata, brzina, ubrzanje, vlaga, smrad, temperatura, tlak itd.
Počnimo s jednostavnim primjerom koji će nas dovesti do formuliranja općeg problema. Zamislite da imamo radio-upravljani automobil koji može ići samo naprijed-natrag. Poznavajući težinu automobila, oblik, površinu ceste itd., izračunali smo kako upravljačka palica utječe na brzinu kretanja.

Tada će se koordinate automobila promijeniti u skladu sa zakonom:

U stvarnom životu ne možemo u našim proračunima uzeti u obzir male smetnje koje djeluju na automobil (vjetar, neravnine, kamenčići na cesti), pa će se stvarna brzina automobila razlikovati od izračunate. Desnoj strani napisane jednadžbe dodaje se slučajna varijabla:

Na pisaćoj mašini imamo ugrađen GPS senzor koji pokušava izmjeriti pravu koordinatu automobila, a, naravno, ne može je točno izmjeriti, već mjeri s greškom, koja je također slučajna varijabla. Kao rezultat toga, primamo pogrešne podatke od senzora:

Zadatak je da, znajući pogrešna očitanja senzora, pronađemo dobru aproksimaciju za pravu koordinatu automobila. Ovu dobru aproksimaciju ćemo označiti kao.
U formulaciji općeg zadatka za koordinatu može biti odgovorno bilo što (temperatura, vlaga...), a pojam odgovoran za upravljanje sustavom izvana označit će se s (u primjeru sa strojem). Jednadžbe za očitanja koordinata i senzora izgledat će ovako:

(1)

Razmotrimo detaljno ono što znamo:

Vrijedi napomenuti da zadatak filtriranja nije zadatak anti-aliasinga. Ne pokušavamo izgladiti podatke sa senzora, pokušavamo dobiti vrijednost najbližu stvarnoj koordinati.

Kalmanov algoritam

Raspravljat ćemo indukcijom. Zamislite da smo u . koraku već pronašli filtriranu vrijednost iz senzora, koja dobro aproksimira pravu koordinatu sustava. Ne zaboravite da znamo jednadžbu koja kontrolira promjenu nepoznate koordinate:

Stoga, još ne primajući vrijednost od senzora, možemo pretpostaviti da se u jednom koraku sustav razvija prema ovom zakonu i senzor će pokazati nešto blizu. Nažalost, za sada ne možemo reći ništa preciznije. S druge strane, na koraku ćemo imati netočno očitanje senzora na rukama.
Kalmanova ideja je da kako bismo dobili najbolju aproksimaciju pravoj koordinati, moramo odabrati sredinu između očitanja netočnog senzora i - našeg predviđanja onoga što smo očekivali od njega vidjeti. Dat ćemo težinu očitanju senzora i težina će ostati na predviđenoj vrijednosti:

Koeficijent se naziva Kalmanov koeficijent. Ovisi o koraku iteracije, pa bi ga bilo ispravnije napisati, ali za sada, kako ne bismo zatrpavali formule za izračun, izostavit ćemo njegov indeks.
Kalmanov koeficijent moramo odabrati tako da rezultirajuća optimalna vrijednost koordinata bude najbliža pravoj koordinati. Na primjer, ako znamo da je naš senzor vrlo precizan, tada ćemo više vjerovati njegovom očitanju i dati vrijednost veću težinu (blizu jedan). Ako je senzor, naprotiv, potpuno netočan, tada ćemo se više usredotočiti na teoretski predviđenu vrijednost.
Općenito, da biste pronašli točnu vrijednost Kalmanovog koeficijenta, samo trebate minimizirati pogrešku:

Koristimo jednadžbe (1) (one s plavom pozadinom u okviru) da prepišemo izraz za pogrešku:

Dokaz

Sada je vrijeme da raspravimo što znači izraz minimizirati pogrešku? Uostalom, greška je, kao što vidimo, sama po sebi slučajna varijabla i svaki put poprima različite vrijednosti. Zapravo, ne postoji jedinstveni pristup za definiranje što znači da je pogreška minimalna. Kao i u slučaju varijance slučajne varijable, kada smo pokušali procijeniti karakterističnu širinu njezina širenja, tako ćemo i ovdje odabrati najjednostavniji kriterij za izračune. Minimizirat ćemo srednju vrijednost kvadratne pogreške:

Napišimo zadnji izraz:

ključ za dokaz

Iz činjenice da su sve slučajne varijable uključene u izraz za neovisne i da su prosječne vrijednosti grešaka senzora i modela jednake nuli:, slijedi da su svi "križni" članovi jednaki nuli:
.
Osim toga, formule varijance izgledaju mnogo jednostavnije: i (od)

Ovaj izraz poprima minimalnu vrijednost kada (izvedbu izjednačavamo s nulom)

Ovdje već pišemo izraz za Kalmanov koeficijent s indeksom koraka, pri čemu naglašavamo da ovisi o koraku iteracije.
Kalmanov koeficijent, koji ga minimizira, zamjenjujemo u izraz za srednju kvadratnu pogrešku. dobivamo:

Naš zadatak je ispunjen. Dobili smo iterativnu formulu za izračunavanje Kalmanovog koeficijenta.

Sve formule na jednom mjestu

Primjer

Reklamna slika na početku članka filtrira podatke iz izmišljenog GPS senzora instaliranog na izmišljenom automobilu koji vozi jednoliko ubrzano s poznatim fiktivnim ubrzanjem.

Još jednom pogledajte rezultat filtriranja

Matlab kod

očistiti sve; N = 100% broj uzoraka a = 0,1% ubrzanje sigmaPsi = 1 sigmaEta = 50; k = 1: N x = k x (1) = 0 z (1) = x (1) + normrnd (0, sigmaEta); za t = 1: (N-1) x (t + 1) = x (t) + a * t + normrnd (0, sigmaPsi); z (t + 1) = x (t + 1) + normrnd (0, sigmaEta); kraj; % kalmanov filter xOpt (1) = z (1); eOpt (1) = sigmaEta; % eOpt (t) je kvadratni korijen disperzije (varijance) pogreške. To nije slučajna varijabla. Za t = 1: (N-1) eOpt (t + 1) = sqrt ((sigmaEta ^ 2) * (eOpt (t) ^ 2 + sigmaPsi ^ 2) / (sigmaEta ^ 2 + eOpt (t) ^ 2 + sigmaPsi ^ 2)) K (t + 1) = (eOpt (t + 1)) ^ 2 / sigmaEta ^ 2 xOpt (t + 1) = (xOpt (t) + a * t ) * (1-K (t + 1)) + K (t + 1) * z (t + 1) kraj; dijagram (k, xOpt, k, z, k, x)

Analiza

Ako pratimo kako se Kalmanov koeficijent mijenja s korakom iteracije, može se pokazati da se uvijek stabilizira na određenu vrijednost. Na primjer, kada se efektivne pogreške senzora i modela odnose jedna na drugu kao deset prema jedan, tada dijagram Kalmanovog koeficijenta ovisno o koraku iteracije izgleda ovako:

U sljedećem primjeru raspravljat ćemo o tome kako nam to može znatno olakšati život.

Drugi primjer

U praksi se često događa da ne znamo baš ništa o fizičkom modelu onoga što filtriramo. Na primjer, želite filtrirati očitanja sa svog omiljenog akcelerometra. Ne znate unaprijed po kojem zakonu namjeravate okrenuti akcelerometar. Najviše informacija koje možete dobiti je varijanca pogreške senzora. U tako teškoj situaciji, svo nepoznavanje modela kretanja može se pretvoriti u slučajnu varijablu:

No, iskreno, takav sustav više ne zadovoljava uvjete koje smo nametnuli na slučajnu varijablu, jer je sada tamo skrivena sva nama nepoznata fizika kretanja, pa stoga ne možemo reći da su u različitim vremenima pogreške modela neovisne o svakoj druge i da su njihove srednje vrijednosti nula. U ovom slučaju, općenito, teorija Kalmanovog filtra nije primjenjiva. Ali, nećemo obraćati pažnju na ovu činjenicu, već glupo primijeniti sve kolosalne formule, birajući koeficijente na oko, tako da filtrirani podaci izgledaju slatko.
Ali možete krenuti drugim, puno jednostavnijim putem. Kao što smo vidjeli gore, Kalmanov koeficijent se uvijek stabilizira na vrijednost s povećanjem broja koraka. Stoga, umjesto odabira koeficijenata i pronalaženja Kalmanovog koeficijenta pomoću složenih formula, možemo smatrati da je taj koeficijent uvijek konstantan i odabrati samo ovu konstantu. Ova pretpostavka gotovo ništa ne kvari. Prvo, mi već nezakonito koristimo Kalmanovu teoriju, a drugo, Kalmanov koeficijent brzo se stabilizira na konstantu. Kao rezultat toga, sve će biti vrlo pojednostavljeno. Općenito, ne trebamo nikakve formule iz Kalmanove teorije, samo trebamo pronaći prihvatljivu vrijednost i umetnuti je u iterativnu formulu:

Sljedeći grafikon prikazuje podatke iz izmišljenog senzora filtrirane na dva različita načina. Pod uvjetom da ne znamo ništa o fizici fenomena. Prvi način je pošten, sa svim formulama iz Kalmanove teorije. A drugi je pojednostavljen, bez formula.

Kao što vidimo, metode su gotovo iste. Mala razlika se opaža samo na početku, kada se Kalmanov koeficijent još nije stabilizirao.

Rasprava

Kao što smo vidjeli, glavna ideja Kalmanovog filtra je da je potrebno pronaći koeficijent takav da filtrirana vrijednost

U prosjeku bi se najmanje razlikovala od stvarne vrijednosti koordinate. Možemo vidjeti da je filtrirana vrijednost linearna funkcija očitanja senzora i prethodne filtrirane vrijednosti. A prethodna filtrirana vrijednost je, zauzvrat, linearna funkcija očitanja senzora i prethodne filtrirane vrijednosti. I tako dalje, dok se lanac potpuno ne rasklopi. Odnosno, filtrirana vrijednost ovisi o od svega prethodna očitanja senzora linearno:

Stoga se Kalmanov filtar naziva linearnim filterom.
Može se dokazati da je Kalmanov filtar najbolji od svih linearnih filtara. Najbolji u smislu da je srednji kvadrat greške filtera minimalan.

Višedimenzionalni slučaj

Cijela teorija Kalmanovog filtra može se generalizirati na višedimenzionalni slučaj. Formule tamo izgledaju malo strašnije, ali sama ideja njihovog izvođenja je ista kao u jednodimenzionalnom slučaju. U ovom izvrsnom članku možete ih vidjeti:
Ovaj filtar se koristi u raznim područjima - od radiotehnike do ekonomije. Ovdje ćemo raspravljati o glavnoj ideji, značenju, suštini ovog filtera. Bit će predstavljen na najjednostavniji mogući način.
Pretpostavimo da imamo potrebu izmjeriti neke količine nekog objekta. U radiotehnici se najčešće bave mjerenjem napona na izlazu određenog uređaja (senzor, antena i sl.). U primjeru s elektrokardiografom (vidi) radi se o mjerenju biopotencijala na ljudskom tijelu. U ekonomiji, na primjer, izmjerena vrijednost mogu biti tečajevi. Svaki dan tečaj je drugačiji, t.j. svaki dan nam "njegove mjere" daju drugačiju vrijednost. A ako generaliziramo, onda možemo reći da se većina čovjekove aktivnosti (ako ne i sva) svodi upravo na stalna mjerenja-usporedbe određenih veličina (vidi knjigu).
Dakle, pretpostavimo da stalno nešto mjerimo. Pretpostavimo i da naša mjerenja uvijek dolaze s nekom greškom - to je razumljivo, jer idealnih mjernih instrumenata nema, a svaki daje rezultat s greškom. U najjednostavnijem slučaju, opisano se može svesti na sljedeći izraz: z = x + y, gdje je x prava vrijednost koju želimo izmjeriti i koju bismo izmjerili da imamo idealan mjerni uređaj, y je mjerna pogreška koju unosi mjerni uređaj, a z - vrijednost koju smo izmjerili. Dakle, zadatak Kalmanovog filtera je pogoditi (odrediti) iz izmjerenog z, ali kolika je bila prava vrijednost x kada smo primili naš z (u kojem "sjede" prava vrijednost i pogreška mjerenja). Potrebno je filtrirati (iskorijeniti) pravu vrijednost x iz z - ukloniti izobličujuću buku y iz z. Odnosno, imajući pri ruci samo iznos, moramo pogoditi koji su uvjeti dali ovaj iznos.
U svjetlu navedenog, sada ćemo sve formulirati na sljedeći način. Pretpostavimo da postoje samo dva slučajna broja. Dat nam je samo njihov zbroj i od nas se traži da po tom zbroju odredimo koji su pojmovi. Na primjer, dobili smo broj 12 i kažu: 12 je zbroj brojeva x i y, pitanje je čemu su jednaki x i y. Da bismo odgovorili na ovo pitanje, sastavljamo jednadžbu: x + y = 12. Dobili smo jednu jednadžbu s dvije nepoznanice, dakle, strogo govoreći, nije moguće pronaći dva broja koja su dala ovaj zbroj. Ali o ovim brojkama ipak možemo nešto reći. Možemo reći da su to bili ili brojevi 1 i 11, ili 2 i 10, ili 3 i 9, ili 4 i 8, itd., također je ili 13 i -1, ili 14 i -2, ili 15 i - 3 itd. Odnosno, zbrojem (u našem primjeru 12) možemo odrediti skup mogućih opcija koje zbrajaju točno 12. Jedna od tih opcija je par koji tražimo, a koji je upravo sada dao 12. To je također vrijedi napomenuti da sve varijante parova brojeva koji daju ukupno 12 čine ravnu liniju prikazanu na slici 1, koja je dana jednadžbom x + y = 12 (y = -x + 12).

Sl. 1

Dakle, par koji tražimo leži negdje na ovoj pravoj liniji. Ponavljam, nemoguće je od svih ovih opcija izabrati par koji je zapravo bio - koji je dao broj 12, a da nema dodatnih tragova. Ali, u situaciji za koju je Kalmanov filtar izmišljen, postoje takvi nagovještaji... Nešto se o slučajnim brojevima unaprijed zna. Konkretno, tamo je poznat takozvani histogram distribucije za svaki par brojeva. Obično se dobiva nakon prilično dugog promatranja pojave ovih vrlo slučajnih brojeva. Odnosno, na primjer, iz iskustva je poznato da u 5% slučajeva obično ispadne par x = 1, y = 8 (ovaj par označavamo kao: (1,8)), u 2% slučajeva par x = 2, y = 3 (2,3), u 1% slučajeva par (3.1), u 0,024% slučajeva par (11.1) itd. Opet, ovaj histogram je postavljen za sve parove brojeva, uključujući i one koji čine ukupno 12. Dakle, za svaki par, što daje ukupno 12, možemo reći da npr. par (1, 11) ispadne u 0,8% slučajeva, par ( 2, 10) - u 1% slučajeva, par (3, 9) - u 1,5% slučajeva itd. Dakle, možemo koristiti histogram da odredimo u kojem postotku slučajeva je zbroj pojmova para 12. Pretpostavimo, na primjer, u 30% slučajeva zbroj je 12. A u preostalih 70% preostali parovi padaju out - to su (1,8), (2, 3), (3,1) itd. - oni koji zbrajaju brojeve različite od 12. I neka, na primjer, par (7,5) ispadne u 27% slučajeva, dok svi ostali parovi koji zbroje 12 ispadnu u 0,024% + 0,8% + 1% + 1,5% +… = 3% slučajeva. Dakle, prema histogramu smo otkrili da brojevi koji daju ukupno 12 ispadaju u 30% slučajeva. Istodobno, znamo da ako je 12 palo, onda je najčešće (u 27% od 30%) razlog tome par (7,5). Odnosno, ako već S izbačenim 12, možemo reći da je u 90% (27% od 30% - ili, što je isto 27 puta od svakih 30), razlog za izbacivanje 12 par (7,5). Znajući da je najčešće razlog za dobivanje zbroja jednakih 12 par (7,5), logično je pretpostaviti da je, najvjerojatnije, sada ispao. Naravno, još uvijek nije činjenica da zapravo sada broj 12 tvori upravo ovaj par, međutim, sljedeći put, ako naiđemo na 12, pa opet pretpostavimo par (7,5), onda negdje u 90% slučajeva od 100% bit ćemo u pravu. Ali ako pretpostavimo par (2, 10), tada ćemo biti u pravu samo 1% od 30% vremena, što je 3,33% točnih nagađanja u usporedbi s 90% ako pretpostavimo par (7,5). To je sve - to je poanta algoritma Kalmanovog filtera. Odnosno, Kalmanov filtar ne jamči da neće pogriješiti u određivanju zbroja, ali jamči da će pogriješiti minimalan broj puta (vjerojatnost pogreške bit će minimalna), budući da koristi statistiku - histogram nedostajućih parova brojeva. Također treba naglasiti da se u Kalmanovom algoritmu filtriranja često koristi takozvana gustoća distribucije vjerojatnosti (PDF). Međutim, morate razumjeti da je značenje isto kao i histogram. Štoviše, histogram je funkcija izgrađena na temelju PDF-a i njezina je aproksimacija (vidi, na primjer,).
U principu, ovaj histogram možemo predstaviti kao funkciju dviju varijabli – odnosno kao površinu iznad xy ravnine. Gdje je površina viša, veća je vjerojatnost odgovarajućeg para. Slika 2 prikazuje takvu površinu.

sl. 2

Kao što možete vidjeti iznad ravne crte x + y = 12 (što je opcija za parove koji daju ukupno 12) površinske točke nalaze se na različitim visinama i najvišoj visini za opciju s koordinatama (7.5). A kada naiđemo na zbroj jednak 12, u 90% slučajeva razlog za pojavu ovog zbroja je upravo par (7.5). Oni. upravo ovaj par, koji daje ukupno 12, ima najveću vjerojatnost pojave, pod uvjetom da je zbroj 12.
Stoga je ovdje opisana ideja koja stoji iza Kalmanovog filtra. Na njemu su izgrađene sve vrste njegovih modifikacija - jednostepene, višestupanjske rekurentne itd. Za dublje proučavanje Kalmanovog filtra preporučam knjigu: Van Tries G. Theory of detection, estimation and modulation.

p.s. Za one koji su zainteresirani za objašnjenje pojmova matematike, onoga što se zove "na prste", možete savjetovati ovu knjigu, a posebno poglavlja iz njezine rubrike "Matematika" (možete kupiti samu knjigu ili pojedina poglavlja na to).

Neka postoji neki sustav čije je stanje jedinstveno karakterizirano određenim skupom veličina, u pravilu nepristupačnim za mjerenje (vektor stanja sustava).

Postoji niz varijabli. Na neki način povezan sa stanjem sustava, koje se može mjeriti sa zadanom točnošću. Algoritam Kalmanovog filtra omogućuje konstruiranje stvarne procjene stanja sustava u stvarnom vremenu, na temelju mjerenja koja sadrže pogreške. Mjerni vektor se smatra višedimenzionalnim izlaznim signalom sustava, dok je šumni, vektor stanja nepoznati višedimenzionalni signal koji treba odrediti uvjetom optimalnosti konstruirane procjene min njegova srednja vrijednost - sq. pogreške.

Značajke Kalmanovog filtra:

Omogućuje vam da dobijete rješenje problema formulirano u pr …………… comp

Filter nije nepomičan

Ima rekurzivni oblik, odnosno prikladan je za programiranje. Nove procjene dobivaju se ispravljanjem starih na temelju novih opažanja.

U općem slučaju zadan je n-dimenzionalni Hilbertov prostor.

Dat je proces formiran linearnim dinamičkim sustavom koji se naziva filtar za oblikovanje

Dx / dt = A (t) x (t) + B (t) u (t) + V (t)

X (t) - slučajni n-dimenzionalni proces.

- U (t) - c hrpe. proces u obliku l.s. s kovarijacijskom matricom

K u (t, M  (t) (t- )

NS(t) promatrano metrom:

Y (t) = c (t) x (t) + n (t)

n (t) =B.Sh.

K n (t,  ) = M = R (t) (t- )

Na temelju zapažanja na unutar vremenskog intervala, morate pronaći procjenu signala x (t) tx (t))

x (t) = x (t) - x (t)- pogreška u procjeni

Kriterij optimalnosti je njegov kvadrat. Oblik

// X (t) // 2  min

Procesi u (t) i x (t) i V (t) i n (t) nisu u korelaciji, a filtar za oblikovanje zadovoljava uvjete fizičke ostvarivosti.

U (t) x (t) x (t) n (t)

Ff - filter za oblikovanje

u

U (t) y (t)

L

x (t) x (t)

Dinamička svojstva sustava ovise o L, izbor L pruža

X (t) - x (t) o

t

Početni uvjeti u svakom novom ciklusu algoritma su procjena stanja sustava i vrijednost karakterizira njegovu pogrešku.

Algoritam sekvencijalno obrađuje novopristigle mjerne vektore, uzimajući u obzir ovu vrijednost, komp. na prethodnom ciklusu. Na cn. Korak, s obradom mjerenja, specificirani su br. za ovaj algoritamski proračun. bez njihovih ispravaka na temelju kovarijacijskih matrica. Ispravljeno tako. Dobro. i izlaz su Kalmanovog filtra u svakom ciklusu. U završnoj fazi algoritma odvija se priprema za dolazak novog mjernog vektora. Na temelju zadane linearne transformacije, koja povezuje njegov kasniji vektor stanja s prethodnim, predviđa se procjena stanja sustava u trenutku sljedećeg mjerenja.

Razmotrimo višedimenzionalni Kalmanov filtar za stacionarno kućište. Sam opis objekta trebao bi biti poznat:

X (K + 1) = Ax (K) + Bu (K) + V (k)

Y (K) = cx (K0 + n (K)

A 1 B 1 C = konst(stacionarni slučaj)

A priori podaci o signalu moraju biti poznati:

M [x] = x o u cov [x] = o

Mora se znati a priori informacija o buci, t.j. R(v) - Gaussova gustoća  M [v] = o; cov [V] = V

P (n) M [n] = o; cov [n] = N

V - buka objekta; n - mjerni šum

Algoritam Kalmanovog filtera:

X (K + 1) = Ax (k) + Bu (k) + L (K + 1)

Svaki rezultat je izveden iz prethodnog x (K) a na temelju trenutnog mjerenja y (u + 1); predviđa trenutni uzorak - Sjekira (u) + Bu (K)- ekstrapolirano stanje.

L Cbu (K) prilagođava trenutnu procjenu na temelju procjene pogreške

C - novost između promatrane i predviđene vrijednosti.

L (K + 1) - vremenski promjenjivi Kalmanov koeficijent.

L = KoC 1 str -1 p - matrica samog signala; Ko - jedino pozitivno definitivno rješenje algebarske matrične jednadžbe (Reccatijeva jednadžba)

Ovaj identifikator mora biti stabilan, odnosno svojstvena vrijednost matrice ima pravi dio "-".

Kalmanova filtarska jednadžba jedinstveno određuje sve identifikacijske koeficijente iz podataka o prirodi smetnje u skladu s izborom kriterija min CK pogreške.

Napišimo rekurzivni oblik:

L (K + 1) = (K + 1) c 1 -1 = P (K + 1) C 1 N -1

 (K + 1) = AP (K) A 1 + V

P (K + 1) = [ -1 (K + 1)> C 1 N -1 C] -1 =  (K + 1) -  (K + 1) C 1 -1 c (k + 1)

 (K + 1) - prethodna vrijednost matrice kovarijance signala x na temelju k zapažanja.

Prvo, izračunava:

1.  (k + 1)

2.P (k + 1)

3. L (k + 1)

4.x (k + 1)

Primjer: pojednostavljeno jer: a priori slučaj (Kalman scammer filter); i c = 1

Razmatranje stacionarnog slučajnog signala x (k) s poznatim statističkim znakovima, statistika.b.sh. je iskrivljena. max/ najbolja procjena x (u)

X (k + 1) = ax (k) + v (k)

Y (k) = x (k) + n (k)

X (o) = x o P (o) = P o

M [v] = o M = V i J

M [k] = o M = N i J

M = O

x ^ (n + 1) = ax (k) + L (k + 1)

l (k + 1) = (k + 1) [ (k + 1) + N] -1 =  (k + 1) / (k + 1) + N

 (k + 1) = AP (k) A 1 + V = a 2 P (k) + v

P (k + 1) = [ -1 (k + 1) + N -1 ] -1 =  (k + 1) N / (k + 1) + N

X (k + 1) = (1-l (k + 1)) ax (k) + l (k + 1) y (k + 1) = N/  (k + 1) + N sjekira (k) + (k + 1) / (k + 1) + N y (k + 1)

L 

L (k + 1) +  (k + 1) = 1

Pretpostavimo da postoje a priori informacije:

x o = o P o = o N = V =

K (k) l (k) P (k)

1 N 0,5 0,5 N

2 1 ,25 N 0,555 0,555 N

3 1 ,28 N 0,56 0,56 N

4 1 ,28 N 0,56 0,56 N

x o = o P o =  N = V a =

k (k) l (k) P (k)

o

1  1 N

2 1 ,5 N 0,6 0,6 N

3 1,3N 0,565 0,565 N

4 1 ,283 N 0,56 0,565 N

5 1 ,28 N 0,56 0,56 N

0 ,56 N

P (k) = P (k-1) = P - stanje stacionarnosti filtera

R=  N / + N = (a 2 P + V) N / a 2 P + N + V

(a 2 P + V) N = PN + P (a 2 P + V)

P 2 + N + V-a 2 N/a 2  P - VN / a 2 = O

P 2 + 3Np - 2N 2 = O

P = 0,56 N

Dobitak L ne ovisi o opažanja i može se unaprijed izračunati za cijeli postupak.

Vremenska ovisnost matrica A, B, SA ne čini temeljne promjene (kada su ove matrice potpuno poznate)

Kalmanov filtar provodi proces paralitičke procjene.

Uz djelomičnu raspodjelu slučajnih varijabli u stacionarnom slučaju, razmatrani filter je optimalan, u smislu polima. Kvadrati, ako sustav nije stacionaran, tada je filter optimalan.

Istovremena procjena parametara i stanja objekta

S obzirom na problem procjene stanja, kada je poznata samo struktura matrice objekta, odnosno poznate su funkcije koje sadrže matrice, a nisu poznate vrijednosti parametara koji sadrže same funkcije. Izravan pristup rješavanju takvog problema uključuje proširenje vektora stanja zbog nepoznatih parametara.

U (t) x 1 (t)

Y 1 (t)

Y 2 (t)

Potrebno je procijeniti stanje NS i prosječna vrijednost smetnje NS prema dostupnim opažanjima signala na 1 i na 2 pri čemu a nepoznato.

Sastavimo prošireni vektor stanja koji ćemo definirati:

x 1 (t) x 1 (t)

X (t) = a = x 2 (t)

N x 3 (t)

A = n = o(budući da nisu vremenski filteri)

x 1 (t) / u (t) = 1 / a + s x 1 o (t) = -x 1 (t) x 2 (t) + u (t)

x 1 (t) = u (t) / a + s

x 1 (t) (a + s) = u (t) x 1  x 2 + sx 1 = u

Za vektor stanja zapišite jednadžbu ograničenja x (t) i u (t) nemoguće.

X = A (x (t) + B (x (t), t) u (t)

-x 1 + x 2 (t) 1

A = o B = o

Razmotrimo vektor opažanja

Y (t) = c (x (t), t) + v (t)

C (x (t), t) =

V (t) =

Neka predmet bude opisan

X = j (x, u, a, v, t)

Y = g (x, u,s,n, t)

x (x, u,a, v, t)

[x / a] se ne može pretvoriti u M- linearni oblik, gdje M ne ovisi o NS i a.

Čak i za linearni objekt, zadatak je zajednički.

Procjena parametara i stanja u odnosu na ovaj vektor parametara i stanja. Svi pristupi trebaju biti vođeni modelom i iterativni.

Razmotrite na temelju uzorkovanih signala:

X (k + 1) = t (x (k), u (k), a (k), v (k), k)

Y9k) = g (x (k), n (k),s(k), n (k), k)

Koristi se nelinearni nestacionarni objekt

(x (k), u (k), a (k), k) + G (k) V (k) g (x (k) u (k) c (k) k) + n (k)

(buka objekta je aditivna) (buka promatranja je aditivna)

A (k) x (k) + B (k) u (k) c (k) x (k) + D (k) u (k)

(linearni objekt) promatrane linearno relativne varijable stanja

Ax (k) + Bu (k) cx (k) + Du (k)

(stacionarni objekt) konstanta matrice promatranja)

(k) = o

U ovom obliku zadatak se naziva dvotočki.

Identifikacija nelinearnih objekata

Hammersteinov tip nelinearnosti.

Ovaj se model temelji na pretpostavci da se nelinearnost i dinamika mogu odvojiti. Može se predstaviti u obliku uzastopnih kombinacija 2 karike: nelinearne inercijalne i dinamičke linearne.

U (t) y (t)

Y (t) = d

U jednodimenzionalnom signalu moraju se identificirati 2 funkcije. Ove funkcije su predstavljene kao dekompozicija u smislu nekih funkcija koje je specificirao sustav.

(u) = aj j (u); w (t) = b i w i (t)

j = 1 i = 1

Uvedemo sljedeću notaciju:

Y i J (t) = i ( ) j }