Naprezanja su karakterizirana numeričkom vrijednošću i smjerom, tj. naprezanje je vektor nagnut pod jednim ili drugim kutom prema presjeku koji se razmatra.
Neka u točki M bilo kojeg dijela tijela sila F djeluje na neko malo područje A pod određenim kutom u odnosu na područje (slika 63, a). Podijelimo ovu silu F s područjem A, nalazimo prosječni napon koji nastaje u točki M (Sl. 63, b):
Prava naprezanja u točki M određuju se pri prijelazu na granicu
Vektorska količina R nazvao puni napon u točki.
Puni napon R može se rastaviti na komponente: duž normale (okomite) na mjesto A i tangente na njega (slika 63, c).
Normalna komponenta naprezanja naziva se normalnim naprezanjem u određenoj točki presjeka i označava se grčkim slovom (sigma); tangencijalna komponenta naziva se posmično naprezanje i označava se grčkim slovom (tau).
Normalni napon usmjeren od presjeka smatra se pozitivnim, a onaj usmjeren prema presjeku negativnim.
Normalna naprezanja nastaju kada se pod utjecajem vanjskih sila čestice koje se nalaze s obje strane presjeka nastoje udaljiti jedna od druge ili približiti. Smični naprezanja nastaju kada se čestice pomiču jedna u odnosu na drugu u ravnini presjeka.
Smično naprezanje može se rastaviti duž koordinatnih osi u dvije komponente i (slika 1.6, c). Prvi indeks pokazuje koja je os okomita na presjek, a drugi - paralelno s kojom osi djeluje naprezanje. Ako smjer posmičnog naprezanja nije bitan u izračunima, on se označava bez indeksa.
Postoji odnos između ukupnog napona i njegovih komponenti
Naprezanje pri kojem dolazi do razaranja materijala ili zamjetne plastične deformacije naziva se granično naprezanje.
Kao što je gore navedeno, unutarnje sile koje djeluju u određenom presjeku sa strane bačenog dijela tijela mogu se svesti na glavni vektor i glavni moment. Popravimo poantu M u odsječku koji se razmatra s jediničnim normalnim vektorom n. U blizini ove točke odabiremo malo područje F. Glavni vektor unutarnjih sila koje djeluju na ovom mjestu bit će označen sa P(Sl. 1 A). Prilikom odgovarajućeg smanjenja veličine stranice
Sl. 1. Sastav vektora napona.
a) vektor ukupnog naprezanja b) vektor normalnih i tangencijalnih naprezanja
glavni vektor i glavni moment unutarnjih sila se smanjuju, a glavni moment se u većoj mjeri smanjuje. U granici kod koju dobivamo
Slična granica za glavni trenutak je nula. Ovako uveden vektor r n nazvao vektor naprezanja u točki. Ovaj vektor ne ovisi samo o vanjskim silama koje djeluju na tijelo i koordinatama dotične točke, već i o orijentaciji mjesta u prostoru F, karakteriziran vektorom P. Skup svih vektora naprezanja u točki M za sve moguće pravce vektora P određuje stanje naprezanja u ovoj točki.
Općenito, smjer vektora naprezanja r n ne poklapa se sa smjerom vektora normale P. Projekcija vektora n na pravac vektora n naziva se normalnim naprezanjem, a projekcija na ravninu koja prolazi točkom M i ortogonalna na vektor n , smično naprezanje(Sl. 1 b).
Dimenzija naprezanja jednaka je omjeru dimenzije sile i dimenzije površine. U međunarodnom sustavu SI jedinica naprezanja se mjere u paskalima: 1 Pa = 1 N/m 2.
Pod djelovanjem vanjskih sila, uz pojavu naprezanja, dolazi do promjene volumena tijela i njegovog oblika, odnosno do deformacije tijela. Pri tome se razlikuje početno (nedeformirano) i konačno (deformirano) stanje tijela.
Povežimo nedeformirano tijelo s Kartezijevim koordinatnim sustavom Oxyz(slika 2). Položaj neke točke M u ovom koordinatnom sustavu određuje radijus vektor r(x, y, z). U deformiranom stanju, točka Mće zauzeti novi položaj M/, karakteriziran radijus vektorom r" (x, y, z). Vektor u=r"r nazvao vektor, pomak bodova M. Vektorske projekcije u komponente vektora pomaka određene su na koordinatnim osama u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), jednake razlike u kartezijevim koordinatama točke tijela nakon i prije deformacije.
Kretanje u kojem se relativni položaj točaka tijela ne mijenja nije popraćeno deformacijama. U tom slučaju kažu da se tijelo giba kao kruta cjelina (pravocrtno kretanje u prostoru ili rotacija u odnosu na neku točku). S druge strane, deformacija povezana s promjenom oblika tijela i njegovog volumena nije moguća bez pomicanja njegovih točaka.
sl.2. Kompozicija vektora gibanja
Deformacije tijela karakteriziraju promjene u međusobnom položaju točaka tijela prije i poslije deformacije. Razmotrimo, na primjer, točku M i točka blizu njega N, udaljenost između njih u nedeformiranom stanju duž smjera vektora s označit ćemo sa (slika 2). U deformiranom stanju točka M I N premjestit će se na novu poziciju (točke M" I N), udaljenost između kojih će biti označena sa s". Granica omjera
nazvao relativna linearna deformacija u točki M u smjeru vektora s, sl. 3. Uzimajući u obzir tri međusobno okomita pravca, na primjer, duž koordinatnih osi oh, oh I Oz, dobivamo tri komponente relativnih linearnih deformacija koje karakteriziraju promjenu volumena tijela tijekom procesa deformacije.
Da biste opisali deformacije povezane s promjenama u obliku tijela, razmotrite točku M i dvije točke blizu njega N I R, koji se nalazi u nedeformiranom stanju u smjeru dvaju međusobno ortogonalnih vektora s 1 I s 2. Udaljenosti između točaka označavamo s i (slika 4). U deformiranom stanju položaj točaka označit ćemo sa M", N" I R". Kut između segmenata M"N" I M "R" u općem slučaju će se razlikovati od izravnog. Na , promjena kuta između dva pravca okomita na deformaciju naziva se kutna deformacija. Kao što se može vidjeti sa Sl. 4, kutna deformacija se sastoji od dva kuta i povezana je s rotacijama segmenata MN" I M "R""u ravni koju čine vektori s 1 I s 2, u odnosu na ove vektore. Ako su dana tri međusobno ortogonalna vektora usmjerena duž koordinatnih osi, tada postoje tri kutne deformacije, i , koji zajedno s tri linearne deformacije, i potpuno odrediti deformirano stanje u točki.
sl.3. Linearni sastav deformacije 
Riža. 4. Sastav kutne deformacije
STANJE STRESA U TOČCI. TENZOR NAPONA
Vektor naprezanja p n je fizički objekt koji ima duljinu, smjer i točku primjene. U tom smislu ima vektorska svojstva. Međutim, ovaj objekt ima neka svojstva koja nisu karakteristična za vektore. Konkretno, veličina i smjer vektora naprezanja ovise o orijentaciji vektora n normale infinitezimalnog površinskog elementa dF. Skup svih mogućih parova vektora p, p n u točki definira napeto stanje u ovom trenutku. Međutim, da bi se u potpunosti opisalo napregnuto stanje u točki, nema potrebe za specificiranjem beskonačnog broja vektorskih pravaca n, dovoljno je odrediti vektore naprezanja na tri međusobno okomita elementarna područja. Naprezanja na proizvoljno usmjerenim područjima mogu se izraziti pomoću ova tri vektora naprezanja. Nakon toga, predavač namjerno mijenja orijentaciju koordinata. Dakle, os Z uzdužna os grede, i x I Y koordinate bilo koje točke njegovog presjeka.
Povucimo kroz točku M tri međusobno okomite ravnine s normalnim vektorima, čiji se pravci podudaraju sa pravcima koordinatnih osi. Elementarne platforme oblikujemo dodatnim dijelovima paralelnim s izvornim ravninama i udaljenim od njih na beskonačno malim udaljenostima dx, dy, dz. Kao rezultat toga, u blizini točke M dobivamo infinitezimalni paralelopiped čiju površinu tvore elementarna područja dF x =dydz, dF n ==dxdz, dF i =dxdy. Vektori naprezanja p x , p y , p z, koji rade na elementarnim mjestima prikazani su na sl. 5.
Rastavimo svaki vektor naprezanja na komponente duž koordinatnih osi (slika 6). Svaka stranica ima jedan normalni napon , , , gdje indeks označava smjer vektora normale na mjesto i dva tangencijalno naprezanje s dva indeksa od kojih prvi označava smjer djelovanja komponente naprezanja, a drugi smjer vektora normale na mjesto.
Riža. 5. Ravnotežno stanje infinitezimalnog paralelopipeda 
sl.6. Komponente tenzora stanja naprezanja
Skup od devet komponenti naprezanja (po tri na svakom od tri međusobno okomita područja) predstavlja određeni fizički objekt tzv. tenzor naprezanja u točki. Tenzor se može prikazati kao matrica raspoređivanjem devet komponenti prema tome:
Za komponente tenzora naprezanja općenito je prihvaćeno sljedeće pravilo predznaka: komponenta se smatra pozitivnom ako je na području s pozitivnom vanjskom normalom (tj. usmjerenom duž jedne od koordinatnih osi) ta komponenta usmjerena prema pozitivnom smjeru odgovarajućeg os. Na sl. Na slici 6 sve komponente tenzora naprezanja prikazane su kao pozitivne. Na područjima s negativnom vanjskom normalom (lice paralelopipeda, nevidljive na sl. 5 i 6), pozitivna komponenta je usmjerena u suprotnom smjeru. Naprezanja na tri međusobno ortogonalna područja s negativnim normalnim pravcima također karakteriziraju stanje naprezanja u točki. Ta naprezanja, koja su komponente tenzora naprezanja, određuju se slično kao naprezanja na područjima s pozitivnom normalom. Označeni su istim simbolima i imaju pozitivan smjer suprotan onom prikazanom na sl. 6.
napon naziva se intenzitet djelovanja unutarnjih sila u nekoj točki tijela, odnosno naprezanje je unutarnja sila po jedinici površine. Po svojoj prirodi, napetost nastaje na unutarnjim površinama kontakta između dijelova tijela. Naprezanje, kao i intenzitet vanjskog površinskog opterećenja, izražava se u jedinicama sile po jedinici površine: Pa = N/m 2 (MPa = 10 6 N/m 2, kgf/cm 2 = 98,066 Pa ≈ 10 5 Pa , tf/m2 itd.).
Odaberimo malo područje ∆A. Označimo unutarnju silu koja na njega djeluje kao ∆\vec(R). Ukupno prosječno naprezanje na ovom mjestu je \vec(r) = ∆\vec(R)/∆A. Nađimo granicu ovog omjera na ∆A \to 0. To će biti potpuna napetost na ovom području (točki) tijela.
\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \to 0) (\Delta\vec(R)\preko \Delta A)
Ukupno naprezanje \vec p, poput rezultante unutarnjih sila primijenjenih na elementarno područje, je vektorska veličina i može se rastaviti na dvije komponente: okomito na područje koje se razmatra - normalno naprezanje σ n a tangenta na mjesto – tangencijalno naprezanje \tau_n. Ovdje n– normalno na odabrano područje.
Smično naprezanje se pak može rastaviti na dvije komponente paralelne s koordinatnim osima x, y, povezan s presjekom – \tau_(nx), \tau_(ny). U nazivu posmičnog naprezanja, prvi indeks označava normalu na mjesto, drugi indeks označava smjer posmičnog naprezanja.
$$\vec(p) = \lijevo[\matrica(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \desno]$$
Imajte na umu da se ubuduće uglavnom nećemo baviti ukupnim naprezanjem \vec p, već njegovim komponentama σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) . Općenito, na gradilištu mogu nastati dvije vrste naprezanja: normalna σ i tangencijalna τ .
Tenzor naprezanja
Kada se analiziraju naprezanja u blizini promatrane točke, element infinitezimalnog volumena (paralelepiped sa stranicama dx, dy, dz), duž svake plohe od kojih su općenito tri naprezanja, npr. za plohu okomitu na os x (ploča x) – σ_x,\tau _(xy),\tau _(xz)Komponente naprezanja duž tri okomite strane elementa tvore sustav naprezanja opisan posebnom matricom – tenzor naprezanja
$$ T _\sigma = \lijevo[\matrica(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\desno]$$
Ovdje prvi stupac predstavlja komponente naprezanja na mjestima,
normalno na os x, drugi i treći – na os y, odnosno z.
Prilikom rotiranja koordinatnih osi koje se podudaraju s normalama na lica odabranih
elementa, komponente naprezanja se mijenjaju. Rotacijom odabranog elementa oko koordinatnih osi može se pronaći takav položaj elementa pri kojem su svi posmični naponi na plohama elementa jednaki nuli.
Područje na kojem su posmična naprezanja jednaka nuli naziva se glavna platforma .
Normalni napon na glavnom mjestu naziva se glavni stres
Normala na glavno područje naziva se glavna os naprezanja .
U svakoj točki mogu se nacrtati tri međusobno okomite glavne platforme.
Pri rotaciji koordinatnih osi mijenjaju se komponente naprezanja, ali se stanje naprezanja i deformacije tijela (SSS) ne mijenja.
Unutarnje sile su rezultat dovođenja unutarnjih sila koje djeluju na elementarna područja u središte poprečnog presjeka. Naprezanje je mjera koja karakterizira raspodjelu unutarnjih sila po presjeku.
Pretpostavimo da znamo napon u svakom elementarnom području. Tada možemo napisati:
Uzdužna sila na mjestu dA: dN = σ z dA
Smična sila duž x osi: dQ x = \tau (zx) dA
Smična sila duž y-osi: dQ y = \tau (zy) dA
Elementarni momenti oko osi x, y, z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \ tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(array)$$
Provođenjem integracije po površini presjeka dobivamo:
Odnosno, svaka unutarnja sila je ukupni rezultat djelovanja naprezanja u cijelom presjeku tijela.
Mjera intenziteta unutarnjih sila raspoređenih po presjecima je naprezanje - sile po jedinici površine presjeka. Odaberimo točku u susjedstvu B mala površina Δ F(Slika 3.1). Neka Δ R- rezultanta unutarnjih sila koje djeluju na ovo područje. Zatim prosječna vrijednost unutarnjih sila po jedinici površine Δ F mjesta koje se razmatra bit će jednako:
Riža. 3.1. Prosječni napon mjesta
Veličina strm nazvao srednji napon. Karakterizira prosječni intenzitet unutarnjih sila. Smanjujući dimenzije područja, u granici koju dobivamo
Veličina str naziva se pravim naprezanjem ili jednostavno naprezanjem na danoj točki u danom presjeku.
Jedinica za naprezanje je paskal, 1 Pa = 1 N/m2. Budući da će stvarne vrijednosti naprezanja biti izražene u vrlo velikim brojevima, treba koristiti više jediničnih vrijednosti, na primjer MPa (megapaskal) 1 MPa = 10 6 N/m 2.
Naprezanja su, kao i sile, vektorske veličine. Na svakoj točki dijela tijela puni napon str može se rastaviti na dvije komponente (sl. 3.2):
1) komponenta normalna na presječnu ravninu. Ova komponenta se zove normalni napon i naznačen je σ ;
2) komponenta koja leži (u presječnoj ravnini. Ova komponenta je označena τ i zove se smično naprezanje. Tangencijalno naprezanje, ovisno o djelujućim silama, može imati bilo koji smjer u presječnoj ravnini. Za udobnost τ predstavljen u obliku dvije komponente u smjeru koordinatnih osa. Prihvaćene oznake napona prikazane su na sl. 3.2
Normalni napon ima indeks koji pokazuje s kojom koordinatnom osi je ovaj napon paralelan. Vlačno normalno naprezanje smatra se pozitivnim, a tlačno normalno naprezanje negativnim.. Oznake tangencijalnih naprezanja imaju dva indeksa: prvi od njih označava s kojom je osi paralelna normala na područje djelovanja određenog naprezanja, a drugi označava s kojom je osi paralelno samo naprezanje. Rastavljanje ukupnog naprezanja na normalno i tangencijalno ima određeni fizikalni smisao. Normalno naprezanje nastaje kada se čestice materijala nastoje udaljiti jedna od druge ili, obrnuto, približiti se. Tangencijalni naponi povezani su s pomakom čestica materijala duž presječne ravnine.
Riža. 3.2. Dekompozicija vektora ukupnog napona
Ako mentalno izrežete element u obliku infinitezimalne kocke oko neke točke tijela, tada će naponi prikazani na slici 1 općenito djelovati duž njegovih rubova. 3.3. Ukupnost naprezanja na svim elementarnim područjima koja se mogu provući kroz bilo koju točku tijela nazvao napregnuto stanje u određenoj točki.
Izračunajmo zbroj momenata svih elementarnih sila koje djeluju na element (sl. 3.3) u odnosu na koordinatne osi, na primjer, za os x uzimajući u obzir ravnotežu elementa, imamo:
