Upute

Videi sa sličnim sadržajem

Sustav brojanja koji koristimo svaki dan ima deset znamenki – od nula do devet. Stoga se naziva decimalnim. Međutim, u tehničkim proračunima, posebno onima vezanim uz računala, drugo sustava posebice binarni i heksadecimalni. Stoga morate znati prevoditi brojevi od jednog sustava mrtvi obračun.

Trebat će vam

• - komad papira;
• - olovka ili olovka;
• - kalkulator.

Upute

Binarni sustav je najjednostavniji. Ima samo dvije znamenke - nulu i jedan. Svaka znamenka u binarnom obliku brojevi, počevši od kraja, odgovara stepenu dvojke. Dva je jednaka jedan, prva je dva, druga četiri, treća osam itd.

Pretpostavimo da ste dobili binarni broj 1010110. Oni u njemu nalaze se na drugom, trećem, petom i sedmom mjestu od kraja. Dakle, u decimalnom sustavu ovaj broj je 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4 + 2 ^ 6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Inverzni zadatak - decimalni brojevi sustav. Pretpostavimo da imate broj 57. Da biste dobili njegov zapis, morate ovaj broj uzastopno podijeliti s 2 i napisati ostatak dijeljenja. Binarni broj će se graditi od kraja do početka.
Prvi korak će vam dati posljednju znamenku: 57/2 = 28 (ostatak 1).
Zatim dobijete drugu s kraja: 28/2 = 14 (ostatak 0).
Daljnji koraci: 14/2 = 7 (ostatak 0);
7/2 = 3 (ostatak 1);
3/2 = 1 (ostatak 1);
1/2 = 0 (ostatak 1).
Ovo je posljednji korak jer je podjela nula. Kao rezultat, dobili ste binarni broj 111001.
Provjerite točnost svog odgovora: 111001 = 2 ^ 0 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Drugi, koji se koristi u informatici, je heksadecimalan. Ima ne deset, već šesnaest brojeva. Da biste izbjegli nove konvencije, prvih deset znamenaka heksadecimalne sustava označeni su običnim brojevima, a preostalih šest je latiničnim slovima: A, B, C, D, E, F. Decimalnom zapisu odgovaraju brojevi m od 10 do 15. Da bi se izbjegla zabuna, broju zapisanom u heksadecimalnom sustavu prethodi znak # ili simboli 0x.

Za izradu broja od heksadecimala sustava, trebate svaki njegov broj pomnožiti s odgovarajućom potencijom šesnaest i zbrojiti rezultate. Na primjer, decimalni broj # 11A je 10 * (16 ^ 0) + 1 * (16 ^ 1) + 1 * (16 ^ 2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Obrnuti prijevod iz decimalnog sustava u heksadecimalnom se radi istom metodom ostatka kao i u binarnom. Na primjer, uzmite broj 10000. Ako ga uzastopno podijelite sa 16 i upišete ostatke, dobit ćete:
10000/16 = 625 (ostatak 0).
625/16 = 39 (ostatak 1).
39/16 = 2 (ostatak 7).
2/16 = 0 (ostatak 2).
Rezultat izračuna bit će heksadecimalni broj # 2710.
Provjerite je li vaš odgovor točan: # 2710 = 1 * (16 ^ 1) + 7 * (16 ^ 2) + 2 * (16 ^ 3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Prijenos brojevi od heksadecimalne sustava binarno je puno lakše. Broj 16 je dva: 16 = 2 ^ 4. Stoga se svaka heksadecimalna znamenka može zapisati kao četveroznamenkasti binarni broj. Ako imate manje od četiri znamenke u binarnom obliku, dodajte vodeće nule.
Na primjer, # 1F7E = (0001) (1111) (0111) (1110) = 1111101111110.
Provjerite je li odgovor točan: oboje brojevi u decimalnom zapisu jednako 8062.

Da biste preveli, trebate podijeliti binarni broj u grupe od četiri znamenke, počevši od kraja, i svaku takvu grupu zamijeniti heksadecimalnom znamenkom.
Na primjer, 11000110101001 postaje (0011) (0001) (1010) (1001), što daje # 31A9 u hex. Točnost odgovora potvrđuje se prevođenjem u decimalni zapis: oboje brojevi jednako 12713.

Savjet 5: Kako pretvoriti broj u binarni

Zbog ograničene upotrebe simbola, binarni sustav je najprikladniji za korištenje u računalima i drugim digitalnim uređajima. Postoje samo dva simbola: 1 i 0, dakle ovo sustav koristi se u radu registara.

Upute

Binarnost je poziciona, t.j. pozicija svake znamenke u broju odgovara određenoj znamenki, koja je jednaka dva na odgovarajuću snagu. Stupanj počinje od nule i povećava se kako se krećete s desna na lijevo. Na primjer, broj 101 jednako je 1 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 = 5.

Oktalni, heksadecimalni i decimalni sustavi također se široko koriste među pozicijskim sustavima. A ako je druga metoda primjenjivija za prve dvije, tada su obje primjenjive za prijevod s.

Razmotrite decimalno u binarno sustav dijeljenjem sa 2. broj 25 in

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi važan je dio strojne aritmetike. Razmotrimo osnovna pravila prijevoda.

1. Za pretvorbu binarnog broja u decimalni broj potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajućeg stepena broja 2 te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:

Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tablicu potencija dva:

Tablica 4. Potencije 2

Primjer.

2. Za pretvorbu oktalnog broja u decimalni broj potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajućeg stepena broja 8, te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga osam:

Tablica 5. Potencije od 8

Primjer. Pretvorite broj u decimalni zapis.

3. Da bi se heksadecimalni broj pretvorio u decimalni, potrebno ga je zapisati u obliku polinoma, koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajućeg stepena broja 16, te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:

Prilikom prevođenja to je zgodno koristiti blitz ovlasti od 16:

Tablica 6. Potencije od 16

Primjer. Pretvorite broj u decimalni zapis.

4. Da biste decimalni broj pretvorili u binarni sustav, on se mora uzastopno podijeliti s 2 sve dok ne bude ostatak manji ili jednak 1. Broj u binarnom sustavu zapisuje se kao niz rezultata posljednjeg dijeljenja i ostatka podjele obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u binarni sustav.

5. Da biste decimalni broj pretvorili u oktalni sustav, on se mora uzastopno podijeliti s 8 dok ne bude ostatak manji ili jednak 7. Broj u oktalnom sustavu zapisuje se kao niz znamenki posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatak dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u oktalni brojevni sustav.

6. Da biste decimalni broj pretvorili u heksadecimalni sustav, on se mora uzastopno podijeliti sa 16 dok ne ostane ostatak manji ili jednak 15. Broj u heksadecimalnom sustavu zapisuje se kao niz znamenki posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatak dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u heksadecimalni zapis.

Za pretvorbu brojeva iz decimalnog s/s u bilo koji drugi, potrebno je decimalni broj podijeliti s bazom sustava u koji se prenose, zadržavajući pritom ostatke svakog dijeljenja. Rezultat se formira s desna na lijevo. Dijeljenje se nastavlja sve dok rezultat dijeljenja ne bude manji od djelitelja.

Kalkulator pretvara brojeve iz jednog brojevnog sustava u bilo koji drugi. Može pretvoriti brojeve iz binarnog u decimalni ili iz decimalnog u heksadecimalni, pokazujući detaljan napredak rješenja. Možete jednostavno pretvoriti broj iz ternarnog u peterostruki, ili čak iz sedmerostrukog u sedmerostruki. Kalkulator može pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u bilo koji drugi.

1. Redni račun u raznim brojevnim sustavima.

U suvremenom životu koristimo se pozicionim brojevnim sustavima, odnosno sustavima u kojima broj označen brojem ovisi o položaju broja u brojevnom zapisu. Stoga ćemo u nastavku govoriti samo o njima, izostavljajući pojam "pozicioni".

Kako bismo naučili kako prevesti brojeve iz jednog sustava u drugi, shvatimo kako se događa sekvencijalno bilježenje brojeva koristeći decimalni sustav kao primjer.

Budući da imamo decimalni brojevni sustav, imamo 10 znakova (znamenaka) za konstruiranje brojeva. Počinjemo s rednim brojanjem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo brojnost broja i nulimo najmanji bitni bit: 10. Zatim opet povećavamo najmanji bitni bit dok ne ponestane svih znamenki: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećajte najznačajniji bit za 1, a nula najmanji: 20. Kada upotrijebimo sve znamenke za obje znamenke (dobijemo broj 99), ponovno povećavamo znamenkastost broja i resetujemo postojeće znamenke: 100. I tako dalje.

Pokušajmo učiniti isto u 2., 3. i 5. sustavu (upisat ćemo oznaku za 2. sustav, za 3. itd.):

Ako brojevni sustav ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinične abecede. Na primjer, za 12-arni sustav, osim deset znamenki, potrebna su nam dva slova (s):

2. Pretvorba iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi.

Za pretvaranje cjelobrojnog pozitivnog decimalnog broja u brojevni sustav s drugom bazom, trebate ovaj broj podijeliti s bazom. Dobiveni kvocijent ponovno podijelite s osnovom i dalje dok kvocijent ne bude manji od baze. Kao rezultat, napišite zadnji kvocijent i sve ostatke počevši od posljednjeg u jednom retku.

Primjer 1. Pretvaranje decimalnog broja 46 u binarni brojevni sustav.

Primjer 2. Pretvaranje decimalnog 672 u oktalni brojevni sustav.

Primjer 3. Pretvorite decimalni broj 934 u heksadecimalni zapis.

3. Pretvorba iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni.

Kako bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz bilo kojeg drugog sustava u decimalni, analizirajmo uobičajeni zapis decimalnog broja.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, t.j.

Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sustavima, samo što ćemo množiti ne s 10, 100 itd., već sa stupnjem baze brojevnog sustava. Na primjer, uzmimo ternarni broj 1201. Numerimo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i predstavimo naš broj kao zbroj umnožaka znamenke s tri u stupnju znamenke broja:

Ovo je decimalni prikaz našeg broja, tj.

Primjer 4. Pretvaranje oktalnog broja 511 u decimalni zapis.

Primjer 5. Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sustav.

4. Pretvorba iz binarnog sustava u sustav s bazom "potencijal dvojke" (4, 8, 16 itd.).

Za pretvaranje binarnog broja u broj s osnovom "potencijal dva", potrebno je podijeliti binarni niz u grupe prema broju znamenki jednakom stupnju s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom novi brojevni sustav.

Na primjer, Pretvorite binarni 1100001111010110 u oktalni. Da bismo to učinili, podijelimo ga u grupe od 3 znaka, počevši s desne strane (od), a zatim koristimo tablicu korespondencije i zamijenimo svaku grupu novom znamenkom:

Naučili smo kako napraviti tablicu korespondencije u klauzuli 1.

Oni.

Primjer 6. Pretvori binarni 1100001111010110 u heksadecimalni broj.

5. Prijenos iz sustava s bazom "potencijal dvojke" (4, 8, 16 itd.) u binarni.

Ovaj prijevod je sličan prethodnom, izveden u suprotnom smjeru: svaku znamenku zamjenjujemo grupom znamenki u binarnom sustavu iz pregledne tablice.

Primjer 7. Prevedimo heksadecimalni broj S3A6 u binarni brojevni sustav.

Da biste to učinili, zamijenite svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (od) iz tablice korespondencije, dodajući, ako je potrebno, skupinu s nulama na početku:

Rezultat je već primljen!

Brojevni sustavi

Postoje pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi. Arapski brojčani sustav koji koristimo u svakodnevnom životu je pozicijski, ali rimski nije. U pozicionim brojevnim sustavima, položaj broja jednoznačno određuje veličinu broja. Pogledajmo ovo koristeći decimalni broj 6372 kao primjer. Nabrojimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:

Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Broj 10 definira brojevni sustav (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti položaja zadanog broja uzimaju se kao stupnjevi.

Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalne točke lijevo i desno:

Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:

1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + · 30 10 -3.

Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:

C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- brojevni sustav.

Nekoliko riječi o brojevnim sustavima Broj u decimalnom brojevnom sustavu sastoji se od mnogo znamenki (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sustavu - iz skupa brojevi (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sustavu - iz skupa znamenki (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sustavu - iz skupa brojeva (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), pri čemu A, B, C, D, E, F odgovaraju brojevima 10,11 ,12,13,14,15, prikazani su brojevi u različitim brojevnim sustavima.

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Za pretvorbu brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi najlakši način je prvo pretvoriti broj u decimalni brojevni sustav, a zatim ga iz decimalnog brojevnog sustava prevesti u traženi brojevni sustav.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav

Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav.

Primjer 1. Pretvorite broj 1011101,001 iz binarnog zapisa (SS) u decimalni SS. Riješenje:

1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Primjer2. Pretvorite 1011101,001 iz oktalnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

Primjer 3 ... Pretvori broj AB572.CDF iz heksadecimalne baze u decimalni SS. Riješenje:

Ovdje A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav

Da biste brojeve iz decimalnog brojevnog sustava pretvorili u drugi brojevni sustav, trebate odvojeno prevesti cijeli broj i razlomački dio broja.

Cjelobrojni dio broja pretvara se iz decimalnog SS u drugi brojevni sustav - uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja s osnovom brojevnog sustava (za binarni SS - s 2, za 8-arni SS - s 8, za 16-ari - za 16 itd.) ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.

Primjer 4 ... Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:

Kako se vidi iz sl. 1, broj 159 kada se podijeli s 2 daje kvocijent 79, a ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli s 2 daje kvocijent 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, nakon što smo izgradili broj iz ostatka podjele (s desna na lijevo), dobivamo broj u binarnom SS: 10011111 ... Stoga možemo napisati:

159 10 =10011111 2 .

Primjer 5 ... Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.

Prilikom pretvaranja broja iz decimalnog SS u oktalni SS, trebate ga uzastopno podijeliti s 8 dok ne dobijete cijeli ostatak manji od 8. Kao rezultat toga, gradeći broj od ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobivamo broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:

615 10 =1147 8 .

Primjer 6 ... Pretvorite broj 19673 iz decimalnog u heksadecimalni SS.

Kao što se može vidjeti na slici 3, sekvencijalnim dijeljenjem 19673 sa 16 dobili smo ostatke 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom sustavu broj 12 odgovara C, a broj 13 D. Stoga je naš heksadecimalni broj je 4CD9.

Za pretvorbu ispravnih decimalnih razlomaka (stvarnog broja s cijelim nultim dijelom) u bazu s, ovaj broj se mora uzastopno množiti sa s dok se u razlomčkom dijelu ne dobije čista nula ili dobijemo traženi broj znamenki. Ako se tijekom množenja dobije broj s cijelim dijelom koji je različit od nule, tada se taj cijeli dio ne uzima u obzir (oni se sekvencijalno zbrajaju u rezultat).

Razmotrimo gore navedeno s primjerima.

Primjer 7 ... Pretvorite broj 0,214 iz decimalnog u binarni SS.

Kao što se može vidjeti na slici 4, broj 0,214 se uzastopno množi s 2. Ako množenje rezultira brojem različit od nule s cijelim dijelom, tada se cijeli broj piše zasebno (lijevo od broja), a broj zapisuje se cijelim dijelom nula. Ako se pri množenju dobije broj s cijelim dijelom nula, tada se lijevo od njega upisuje nula. Proces množenja se nastavlja sve dok se u razlomku ne dobije čista nula ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Zapisujući podebljane brojeve (slika 4) od vrha prema dolje, dobivamo traženi broj u binarnom brojevnom sustavu: 0. 0011011 .

Stoga možemo napisati:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Primjer 8 ... Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS.

Za pretvaranje broja 0,125 iz decimalnog SS u binarni, ovaj se broj uzastopno množi s 2. U trećoj fazi, ispalo je 0. Stoga je dobiven sljedeći rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Primjer 9 ... Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog u heksadecimalni SS.

Slijedeći primjere 4 i 5, dobivamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS-u brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:

0,214 10 = 0,36C8B4 16.

Primjer 10 ... Pretvaranje decimalnog u decimalni SS broj 0,512.

Primljeno:

0.512 10 =0.406111 8 .

Primjer 11 ... Pretvaranje broja 159.125 iz decimalnog u binarni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomački dio broja (Primjer 8). Nadalje, kombinirajući ove rezultate, dobivamo:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Primjer 12 ... Pretvaranje broja 19673.214 iz decimalnog u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomački dio broja (Primjer 9). Nadalje, kombinirajući ove rezultate, dobivamo.