Pretvori iz decimalnih u binarne primjere. Pretvaranje brojeva u binarni, heksadecimalni, decimalni, oktalni brojevni sustav

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi važan je dio strojne aritmetike. Razmotrite osnovna pravila prevođenja.

1. Da bismo binarni broj pretvorili u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 2, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga dva:

Tablica 4. Potencije broja 2

Primjer.

2. Da bismo oktalni broj preveli u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 8, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga od osam:

Tablica 5. Potencije broja 8

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sustav.

3. Da bismo heksadecimalni broj preveli u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 16, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Pri prevođenju je praktičan za korištenje blic moći 16:

Tablica 6. Potencije od 16

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sustav.

4. Da bi se decimalni broj pretvorio u binarni sustav, mora se uzastopno dijeliti s 2 dok ne ostane ostatak manji ili jednak 1. Broj u binarnom sustavu zapisan je kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatak dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u binarni brojevni sustav.

5. Da bi se decimalni broj pretvorio u oktalni sustav, mora se uzastopno dijeliti s 8 sve dok ne ostane ostatak manji ili jednak 7. Broj u oktalnom sustavu piše se kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja a ostatak dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u oktalni brojevni sustav.

6. Da bi se decimalni broj pretvorio u heksadecimalni sustav, mora se uzastopno dijeliti sa 16 sve dok ne ostane ostatak manji ili jednak 15. Broj u heksadecimalnom sustavu zapisan je kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja a ostatak dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer. Pretvorite broj u heksadecimalni.

Napomena 1

Ako želite pretvoriti broj iz jednog brojevnog sustava u drugi, zgodnije je prvo ga pretvoriti u decimalni brojevni sustav, a tek onda prenijeti iz decimalnog brojevnog sustava u bilo koji drugi brojevni sustav.

Pravila za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni

U računalnoj tehnologiji koja koristi strojnu aritmetiku, pretvorba brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi igra važnu ulogu. U nastavku donosimo osnovna pravila za takve transformacije (prijevode).

Prilikom prevođenja binarnog broja u decimalni, potrebno je binarni broj predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $2 $, a zatim treba izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Slika 1. Tablica 1

Primjer 1

Pretvorite broj $11110101_2$ u decimalni brojevni sustav.

Riješenje. Koristeći gornju tablicu $1$ stupnjeva baze $2$, predstavljamo broj kao polinom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Da biste pretvorili broj iz oktalnog u decimalni, trebate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $8$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Slika 2. Tablica 2

Primjer 2

Pretvorite broj $75013_8$ u decimalni brojevni sustav.

Riješenje. Koristeći gornju tablicu $2$ stupnjeva baze $8$, predstavljamo broj kao polinom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Da biste pretvorili broj iz heksadecimalnog u decimalni, morate ga predstaviti kao polinom, čiji je svaki element predstavljen kao umnožak znamenke broja i odgovarajuće potencije osnovnog broja, u ovom slučaju $16$, a zatim potrebno je izračunati polinom prema pravilima decimalne aritmetike:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Slika 3. Tablica 3

Primjer 3

Pretvori broj $FFA2_(16)$ u decimalni brojevni sustav.

Riješenje. Koristeći gornju tablicu $3$ baznih potencija od $8$, predstavljamo broj kao polinom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravila za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi

• Da biste pretvorili broj iz decimalnog u binarni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $2$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $1$. Broj u binarnom sustavu predstavlja se kao niz posljednjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 4

Pretvorite broj $22_(10)$ u binarni brojevni sustav.

Riješenje:

Slika 4

$22_{10} = 10110_2$

• Da biste pretvorili broj iz decimalnog u oktalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti s $8$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $7$. Predstavite broj u oktalnom brojevnom sustavu kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 5

Pretvorite broj $571_(10)$ u oktalni brojevni sustav.

Riješenje:

Slika 5

$571_{10} = 1073_8$

• Da biste pretvorili broj iz decimalnog u heksadecimalni, potrebno ga je uzastopno podijeliti sa $16$ sve dok ostatak ne bude manji ili jednak $15$. Izrazite broj u heksadecimalnom obliku kao niz znamenki zadnjeg rezultata dijeljenja i ostatka dijeljenja obrnutim redoslijedom.

Primjer 6

Pretvorite broj $7467_(10)$ u heksadecimalni brojevni sustav.

Riješenje:

Slika 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Da bi se pravi razlomak iz decimalnog brojevnog sustava pretvorio u nedecimalni, potrebno je razlomački dio pretvorenog broja pomnožiti s bazom sustava u koji se pretvara. Frakcija će u novom sustavu biti prikazana kao cijeli dijelovi proizvoda, počevši od prvog.

Na primjer: $0,3125_((10))$ u oktalnom bi izgledalo kao $0,24_((8))$.

U ovom slučaju možete naići na problem kada konačni decimalni razlomak može odgovarati beskonačnom (periodičkom) razlomku u nedecimalnom brojevnom sustavu. U ovom slučaju, broj znamenki u razlomku predstavljenom u novom sustavu ovisit će o potrebnoj točnosti. Također treba napomenuti da cijeli brojevi ostaju cijeli brojevi, a pravi razlomci ostaju razlomci u bilo kojem brojevnom sustavu.

Pravila za pretvaranje brojeva iz binarnog brojevnog sustava u drugi

• Da bi se broj pretvorio iz binarnog u oktalni, mora se podijeliti u trijade (trojke znamenki), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dodajući nule do najviše trijade, zatim zamjenjujući svaku trijadu odgovarajućom oktalnom znamenkom prema tablici 4.

Slika 7. Tablica 4

Primjer 7

Pretvorite broj $1001011_2$ u oktalni brojevni sustav.

Riješenje. Koristeći tablicu 4, prevodimo broj iz binarnog u oktalni:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Za pretvorbu broja iz binarnog u heksadecimalni, treba ga podijeliti na tetrade (četiri znamenke), počevši od najmanje značajne znamenke, ako je potrebno, dopunjavajući staru tetradu nulama, a zatim svaku tetradu treba zamijeniti odgovarajućom oktalnom znamenkom prema Tablica 4.

Kalkulator vam omogućuje pretvaranje cijelih i razlomljenih brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi. Osnova brojevnog sustava ne može biti manja od 2 ni veća od 36 (ipak 10 znamenki i 26 latiničnih slova). Brojevi ne smiju premašiti 30 znakova. Za unos razlomaka koristite simbol . ili, . Da biste broj pretvorili iz jednog sustava u drugi, u prvo polje unesite izvorni broj, u drugo bazu izvornog brojevnog sustava, a u treće polje bazu brojevnog sustava u koji želite pretvoriti broj, zatim kliknite na gumb "Get Entry".

izvorni broj snimljeno u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojevni sustav.

Želim dobiti zapis broja 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojevni sustav.

Dobiti unos

Prijevodi završeni: 1237177

Sustavi brojeva

Sustavi brojeva dijele se na dvije vrste: pozicijski i ne pozicijski. Koristimo arapski sustav, on je pozicijski, a postoji i rimski - samo nije pozicijski. U položajnim sustavima položaj znamenke u broju jednoznačno određuje vrijednost tog broja. To je lako razumjeti gledajući primjer nekog broja.

Primjer 1. Uzmimo broj 5921 u decimalnom brojevnom sustavu. Broj označavamo s desna na lijevo počevši od nule:

Broj 5921 možemo napisati u sljedećem obliku: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Broj 10 je karakteristika koja definira brojevni sustav. Vrijednosti položaja zadanog broja uzimaju se u stupnjevima.

Primjer 2. Razmotrimo pravi decimalni broj 1234.567. Numeriramo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalne točke lijevo i desno:

Broj 1234,567 može se napisati na sljedeći način: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -2 +7 10 -3 .

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Najlakši način prevođenja broja iz jednog brojevnog sustava u drugi je da se broj prvo pretvori u decimalni brojevni sustav, a zatim dobiveni rezultat u traženi brojevni sustav.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav

Da bismo broj iz bilo kojeg brojevnog sustava pretvorili u decimalni, dovoljno je zbrojiti njegove znamenke, počevši od nule (znamenka lijevo od decimalne točke) slično kao u primjerima 1 ili 2. Nađimo zbroj umnožaka znamenki broja prema bazi brojevnog sustava na potenciju položaja ove znamenke:

1. Pretvorite broj 1001101.1101 2 u decimalni brojevni sustav.
Riješenje: 10011,1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Pretvorite broj E8F.2D 16 u decimalni brojevni sustav.
Riješenje: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Odgovor: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav

Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav, cijeli i razlomački dio broja moraju se prevesti odvojeno.

Pretvaranje cjelobrojnog dijela broja iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav

Cjelobrojni dio se prevodi iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja s bazom brojevnog sustava dok se ne dobije cjelobrojni ostatak, manji od baze brojevnog sustava. Rezultat prijenosa bit će zapis o ostacima, počevši od posljednjeg.

3. Pretvorite broj 273 10 u oktalni brojevni sustav.
Riješenje: 273 / 8 = 34 i ostatak 1, 34 / 8 = 4 i ostatak 2, 4 je manje od 8, tako da je izračun završen. Zapis iz ostataka će izgledati ovako: 421
Ispitivanje: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultat je isti. Dakle, prijevod je točan.
Odgovor: 273 10 = 421 8

Razmotrimo prevođenje točnih decimalnih razlomaka u različite brojevne sustave.

Pretvaranje razlomačkog dijela broja iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav

Podsjetimo se da je pravilan decimalni razlomak realni broj s nultim cijelim dijelom. Da biste takav broj preveli u brojevni sustav s bazom N, morate dosljedno množiti broj s N dok se razlomački dio ne postavi na nulu ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Ako se tijekom množenja dobije broj s cijelim dijelom različitim od nule, tada se cijeli broj dalje ne uzima u obzir, jer se redom unosi u rezultat.

4. Pretvorite broj 0,125 10 u binarni brojevni sustav.
Riješenje: 0,125 2 = 0,25 (0 je cijeli broj, koji će biti prva znamenka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga znamenka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je treća znamenka rezultata). , a budući da je razlomački dio nula, prijevod je završen).
Odgovor: 0.125 10 = 0.001 2

Pozdrav posjetitelju stranice! Nastavljamo proučavati protokol IP mrežnog sloja, točnije njegovu verziju IPv4. Na prvi pogled tema binarni brojevi i binarni brojevni sustav nema nikakve veze s IP protokolom, ali ako se sjetite da računala rade s nulama i jedinicama, ispada da je binarni sustav i njegovo razumijevanje osnova osnova, koje trebamo naučiti kako pretvoriti brojeve iz binarnih u decimalne i obrnuto: decimalni u binarni. To će nam pomoći da bolje razumijemo IP protokol, kao i kako rade mrežne maske promjenjive duljine. Započnimo!

Ako vas zanima tema računalnih mreža, možete pročitati ostale zapise kolegija.

4.4.1 Uvod

Prije nego što počnemo, vrijedi objasniti zašto mrežni inženjer treba ovu temu. Iako ste se mogli uvjeriti u njegovu nužnost kada smo razgovarali, ali, možete reći da postoje IP kalkulatori koji uvelike olakšavaju zadatak distribucije IP adresa, izračunavanje potrebnih subnet/mrežnih maski i određivanje broja mreže i broja hosta u IP adresi . Tako je to, ali IP kalkulator nije uvijek pri ruci, to je razlog broj jedan. Razlog broj dva je taj što vam Cisco ispiti neće dati IP kalkulator i to je to. pretvaranje IP adresa iz decimalnih u binarne morat ćete napraviti na komadu papira, a nema tako malo pitanja gdje se to traži na ispitu / ispitima za dobivanje CCNA certifikata, bit će šteta da se ispit zatrpa zbog takve sitnice. I konačno, razumijevanje binarnog brojevnog sustava dovodi do boljeg razumijevanja principa rada.

Općenito, mrežni inženjer ne mora biti sposoban u svom umu prevesti brojeve iz binarnih u decimalne i obrnuto. Štoviše, rijetko tko zna kako to učiniti u svojoj glavi, uglavnom u ovu kategoriju spadaju profesori raznih kolegija o računalnim mrežama, jer se s tim svakodnevno susreću neprestano. Ali s komadom papira i olovkom trebali biste naučiti kako prevoditi.

4.4.2 Decimalne znamenke i brojevi, znamenke u brojevima

Počnimo jednostavno i pričajmo o binarnim znamenkama i brojevima, znate da su brojevi i brojke dvije različite stvari. Znamenka je poseban simbol za označavanje, a broj je apstraktni zapis koji označava količinu. Na primjer, da bismo napisali da imamo pet prstiju na ruci, možemo koristiti rimske i arapske brojeve: V i 5. Pet je u ovom slučaju i broj i broj. I, na primjer, za pisanje broja 20 koristimo dvije znamenke: 2 i 0.

Ukupno u decimalnom brojevnom sustavu imamo deset znamenki ili deset znakova (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), čijim spajanjem možemo zapisivati ​​različite brojeve. Koje načelo slijedimo kada koristimo decimalni brojevni sustav? Da, sve je vrlo jednostavno, podižemo deset na jedan ili drugi stupanj, na primjer, uzmimo broj 321. Kako se može napisati drugačije, ali ovako: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Dakle, ispada da broj 321 predstavlja tri znamenke:

1. Broj 3 označava najznačajniju znamenku, odnosno u ovom slučaju to je znamenka stotica, inače njihov broj.
2. Broj 2 je na mjestu desetica, imamo dvije desetice.
3. Broj jedan je najmanje značajna znamenka.

Odnosno, u ovom unosu dvojka nije samo dvojka, već dvije desetice ili dvije puta deset. Trojka nije samo trojka, nego tri puta sto. Ispada takva ovisnost: jedinica svake sljedeće znamenke je deset puta veća od jedinice prethodne, jer ono što je 300 je tri puta sto. Digresija o decimalnom brojevnom sustavu bila je potrebna kako bismo lakše razumjeli binarni.

4.4.3 Binarne znamenke i brojevi i njihov zapis

U binarnom brojevnom sustavu postoje samo dvije znamenke: 0 i 1. Stoga je pisanje broja u binarnom obliku često puno veće nego u decimalnom. Uz iznimku brojeva 0 i 1, nula u binarnom je jednaka nuli u decimalnom, a isto vrijedi i za jedan. Ponekad se, kako ne bi došlo do zabune u kojem je brojevnom sustavu broj napisan, koriste podindeksi: 267 10, 10100 12, 4712 8. Broj u podindeksu označava brojevni sustav.

Znakovi 0b i &(ampersand) mogu se koristiti za pisanje binarnih brojeva: 0b10111, &111. Ako u decimalnom brojevnom sustavu za izgovor broja 245 koristimo ovu konstrukciju: dvjesto četrdeset i pet, onda u binarnom brojevnom sustavu za imenovanje broja treba izgovoriti broj iz svake znamenke, npr. broj 1100 u binarnom brojevnom sustavu ne treba izgovarati kao tisuću sto, nego kao jedan, jedan, nula, nula. Pogledajmo brojeve od 0 do 10 u binarnom zapisu:

Mislim da bi logika do sada trebala biti jasna. Ako smo u decimalnom brojevnom sustavu za svaku znamenku imali na raspolaganju deset opcija (od 0 do uključivo 9), onda u binarnom brojevnom sustavu za svaku od znamenki binarnog broja imamo samo dvije mogućnosti: 0 ili 1.

Za rad s IP adresama i podmrežnim maskama dovoljni su nam prirodni brojevi u binarnom sustavu, iako nam binarni sustav omogućuje pisanje razlomaka i negativnih brojeva, ali to nam nije potrebno.

4.4.4 Pretvaranje brojeva iz decimalnog u binarni

Postanimo bolji u tome, kako pretvoriti broj iz decimalnog u binarni. I ovdje je sve zapravo vrlo, vrlo jednostavno, iako je teško objasniti riječima, pa ću odmah dati primjer pretvaranja brojeva iz decimalnog u binarni. Uzmimo broj 61, da bismo ga pretvorili u binarni sustav, moramo taj broj podijeliti s dva i vidjeti što se događa u ostatku dijeljenja. I rezultat dijeljenja se opet dijeli s dva. U ovom slučaju, 61 je dividenda, uvijek ćemo imati dvojku kao djelitelj, a kvocijent (rezultat dijeljenja) ponovno dijelimo s dva, nastavljamo dijeliti dok kvocijent ne bude 1, ova zadnja jedinica bit će krajnja lijeva znamenka . Donja slika to pokazuje.

Istovremeno imajte na umu da broj 61 nije 101111, već 111101, odnosno rezultat ispisujemo s kraja. Nema posebnog smisla dijeliti s dva u posljednjem, jer se u ovom slučaju koristi cjelobrojno dijeljenje, a ovim pristupom ispada kao na slici 4.4.2.

Ovo nije najbrži način pretvaranja broja iz binarnog u decimalni. Imamo nekoliko akceleratora. Na primjer, broj 7 u binarnom sustavu zapisan je kao 111, broj 3 kao 11, a broj 255 kao 11111111. Svi ovi slučajevi su nečuveno jednostavni. Činjenica je da su brojevi 8, 4 i 256 potencije dvojke, a brojevi 7, 3 i 255 za jedan manji od ovih brojeva. Dakle, za broj koji je za jedan manji od broja jednakog potenciji dva, vrijedi jednostavno pravilo: u binarnom sustavu takav se decimalni broj zapisuje kao broj jedinica jednak potenciji dva. Tako je, na primjer, broj 256 dva na osmu potenciju, dakle, 255 je zapisano kao 11111111, a broj 8 je dva na treću potenciju, a to nam govori da će 7 u binarnom sustavu biti zapisano kao 111. Pa, shvatite, kako napisati 256, 4 i 8 u binarnom obliku također nije teško, samo dodajte jedan: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Bilo koji rezultat možete provjeriti na kalkulatoru, au početku je bolje da to učinite.

Kao što vidite, još nismo zaboravili kako dijeliti. A sada možemo dalje.

4.4.5 Pretvaranje brojeva iz binarnih u decimalne

Pretvorba brojeva iz binarnog sustava mnogo je lakša od pretvorbe iz decimalnog u binarni. Kao primjer prijevoda poslužit će nam broj 11110. Obratite pozornost na pločicu ispod, ona pokazuje na koju potenciju trebate podići dvojku da biste na kraju dobili decimalni broj.

Da biste dobili decimalu iz ovog binarnog broja, trebate pomnožiti svaki broj u znamenki s dva na potenciju, a zatim dodati rezultate množenja, lakše je pokazati:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Otvorimo kalkulator i uvjerimo se da je 30 u decimalnom obliku 11110 u binarnom.

Vidimo da je sve urađeno kako treba. Iz primjera se vidi da pretvaranje broja iz binarnog u decimalni je puno lakše nego pretvaranje natrag. Da biste radili s povjerenjem, trebate zapamtiti samo potencije dvojke do 2 8 . Radi jasnoće, dat ću tablicu.

Ne treba nam više, jer najveći mogući broj koji se može napisati u jednom bajtu (8 bita ili osam binarnih vrijednosti) je 255, odnosno u svakom oktetu IP adrese ili IPv4 podmrežne maske najveća moguća vrijednost je 255. Postoje polja u kojima su vrijednosti veće od 255, ali ih ne trebamo izračunavati.

4.4.6 Zbrajanje, oduzimanje, množenje binarnih brojeva i druge operacije s binarnim brojevima

Pogledajmo sada operacije koje se mogu izvoditi nad binarnim brojevima. Počnimo s jednostavnim aritmetičkim operacijama, a zatim prijeđimo na operacije Booleove algebre.

Binarno zbrajanje

Zbrajanje binarnih brojeva nije tako teško: 1+0 =1; 1+1=0 (kasnije ću dati objašnjenje); 0+0=0. Ovo su bili jednostavni primjeri gdje je korištena samo jedna znamenka, pogledajmo primjere gdje je broj znamenki veći od jedne.
101 + 1101 u decimali je 5 + 13 = 18. Brojimo u stupcu.

Rezultat je označen narančastom bojom, kalkulator kaže da smo točno izračunali, možete ga provjeriti. Sada da vidimo zašto se to dogodilo, jer prvo sam napisao da je 1 + 1 = 0, ali to je za slučaj kada imamo samo jednu znamenku, za slučajeve kada ima više od jedne znamenke, 1 + 1 = 10 (ili dvije u decimalnom obliku), što je i logično.

Zatim pogledajte što se događa, zbrajamo znamenke s desna na lijevo:

1. 1+1=10, upišite nulu, a jedinica ide na sljedeći bit.

2. U sljedećoj znamenki dobije se 0+0+1=1 (ova jedinica nam je došla iz rezultata zbrajanja u koraku 1).

4. Ovdje imamo jedinicu samo za drugi broj, ali je ona ovdje prenesena, pa je 0 + 1 + 1 = 10.

5. Zalijepite sve zajedno: 10|0|1|0.

Ako je lijenost u stupcu, onda računajmo ovako: 101011 + 11011 ili 43 + 27 = 70. Što mi tu možemo, ali pogledajmo, jer nitko nam ne zabranjuje transformacije, a zbroj se ne mijenja od mijenjanja mjesta pojmova, za binarni brojevni sustav također vrijedi ovo pravilo.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Možete provjeriti kalkulatorom, 1000110 u binarnom obliku je 70 u decimalnom.

Oduzimanje binarnih brojeva

Odmah primjer za oduzimanje jednoznamenkastih brojeva u binarnom brojevnom sustavu, nismo govorili o negativnim brojevima, pa ne uzimamo u obzir 0-1: 1 - 0 = 1; 0 - 0 = 0; 1 - 1 = 0. Ako ima više od jedne znamenke, onda je sve također jednostavno, čak ni stupci i trikovi nisu potrebni: 110111 - 1000, to je isto što i 55 - 8. Kao rezultat, dobivamo 101111. I srce je prestalo kucati , odakle jedinica u trećoj znamenki (numeracija s lijeva na desno i počinje od nule)? Da, sve je jednostavno! U drugoj znamenki broja 110111 nalazi se 0, a u prvoj 1 (ako pretpostavimo da numeriranje znamenki počinje od 0 i ide slijeva na desno), ali se dobije jedinica četvrte znamenke zbrajanjem dvije jedinice treće znamenke (dobije se neka vrsta virtualne dvojke) i od te dvojke oduzimamo jedinicu koja je u nultoj znamenki broja 1000, ali 2 - 1 \u003d 1, pa 1 vrijedi znamenka u binarnom brojevnom sustavu.

Množenje binarnih brojeva

Ostaje nam da razmotrimo množenje binarnih brojeva, koje se provodi pomakom jednog bita ulijevo.. Ali prvo, pogledajmo rezultate jednoznamenkastog množenja: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Zapravo, sve je jednostavno, sada pogledajmo nešto složenije. Uzmimo brojeve 101001 (41) i 1100 (12). Množit ćemo stupcem.

Ako iz tablice nije jasno kako se to dogodilo, onda ću pokušati objasniti riječima:

1. Prikladno je množiti binarne brojeve u stupcu, pa ispisujemo drugi faktor ispod prvog, ako brojevi imaju različit broj znamenki, tada će biti zgodnije ako je veći broj na vrhu.
2. Sljedeći korak je množenje svih znamenki prvog broja s najmanje značajnom znamenkom drugog broja. Ispod zapisujemo rezultat množenja, u ovom slučaju potrebno ga je zapisati tako da rezultat množenja bude upisan ispod svake odgovarajuće znamenke.
3. Sada trebamo pomnožiti sve znamenke prvog broja sa sljedećom znamenkom drugog broja i zapisati rezultat još jedan red ispod, ali ovaj rezultat treba pomaknuti jednu znamenku ulijevo, ako pogledate tablicu, ovo je drugi niz nula od vrha.
4. Morate učiniti isto za sljedeće znamenke, svaki put pomaknuvši jednu znamenku ulijevo, a ako pogledate tablicu, možete reći tu ćeliju ulijevo.
5. Dobili smo četiri binarna broja, koje sada trebamo zbrojiti i dobiti rezultat. Dodatak koji smo nedavno razmotrili, problemi ne bi trebali nastati.

Općenito, operacija množenja nije tako teška, samo trebate malo vježbati.

Booleove algebarske operacije

U Booleovoj algebri postoje dva vrlo važna pojma: istina (true) i laž (false), a ekvivalent za njih su nula i jedinica u binarnom brojevnom sustavu. Operatori Booleove algebre proširuju broj dostupnih operatora na ovim vrijednostima, pogledajmo ih.

Operacija "Logički AND" ili AND

Operacija "Logički AND" ili AND ekvivalentna je množenju jednobitnih binarnih brojeva.

1 I 1 = 1; 1 I 0 = 1; 0 I 0 = 0; 0 I 1 = 0.

Rezultat "logičkog I" bit će jedan samo ako su obje vrijednosti jednake jedan, u svim ostalim slučajevima bit će nula.

Operacija "Logički ILI" ili ILI

Operacija "Logički ILI" ili ILI radi prema sljedećem principu: ako je barem jedna vrijednost jednaka jedinici, tada će rezultat biti jedan.

1 ILI 1 = 1; 1 ILI 0 = 1; 0 ILI 1 = 1; 0 ILI 0 = 0.

XOR operacija

Operacija XOR ili XOR dat će nam rezultat jedan samo ako je jedan od operanda jednak jedinici, a drugi jednak nuli. Ako su oba operanda nula, bit će nula, a čak i ako su oba operanda jednaka jedinici, rezultat će biti nula.

Zapiši broj u binarnom zapisu, a potencije dvojke s desna na lijevo. Na primjer, želimo pretvoriti binarni broj 10011011 2 u decimalni. Prvo zapišimo. Zatim potencije dvojke pišemo s desna na lijevo. Počnimo s 2 0 , što je jednako "1". Za svaki sljedeći broj povećavamo stupanj za jedan. Zaustavljamo se kada je broj elemenata u listi jednak broju znamenki u binarnom broju. Naš primjer broja, 10011011, ima osam znamenki, tako da bi popis od osam stavki izgledao ovako: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Napiši znamenke binarnog broja pod odgovarajućim potencijama dvojke. Sada samo napišite 10011011 ispod 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 i 1 tako da svaka binarna znamenka odgovara vlastitoj potenciji broja dva. Krajnja desna "1" binarnog broja mora odgovarati krajnjoj desnoj "1" potencije broja dva, i tako dalje. Ako vam je ugodnije, možete napisati binarni broj preko potencije dvojke. Najvažnije je da se međusobno slažu.

Povežite znamenke u binarnom broju s odgovarajućim potencijama dvojke. Nacrtajte linije (s desna na lijevo) koje povezuju svaku uzastopnu znamenku binarnog broja na potenciju dva iznad nje. Počnite crtati linije spajanjem prve znamenke binarnog broja s prvom potencijom broja dva iznad nje. Zatim povucite crtu od druge znamenke binarnog broja na drugu potenciju broja dva. Nastavite povezivati ​​svaku znamenku s odgovarajućom potencijom dvojke. To će vam pomoći da vizualno vidite odnos između dva različita skupa brojeva.

Zapišite konačnu vrijednost svake potencije dvojke. Prođite kroz svaku znamenku binarnog broja. Ako je ovaj broj 1, napišite odgovarajuću potenciju dvojke ispod broja. Ako je ovaj broj 0, upišite ispod broja 0.

• Budući da "1" odgovara "1", ostaje "1". Budući da "2" odgovara "1", ostaje "2". Budući da "4" odgovara "0", postaje "0". Budući da "8" odgovara "1", postaje "8", a budući da "16" odgovara "1", postaje "16". "32" odgovara "0" i postaje "0", "64" odgovara "0" i stoga postaje "0", dok "128" odgovara "1" i postaje 128.