Obrada signala u uvjetima impulsnog šuma

2.6.1. Obrada signala pod ekspozicijom
asinkroni impulsni šum

Tijekom rada radara mogu se primjetno utjecati na međusobne impulsne smetnje. Razlikovati asinkrone i sinkrone međusobne impulsne smetnje. Asinkrone smetnje nastaju ako se periodi ponavljanja impulsa izvora ometanja ne podudaraju s periodom ponavljanja željenih signala. Na pokazateljima s velikom postojanošću, asinkrone smetnje s velikom razlikom u razdobljima ponavljanja stvaraju učinak velikog broja meta. Kako se frekvencije ponavljanja približavaju jedna drugoj, slika asinkronih smetnji na zaslonu indikatora poprima oblik spirale. S potpuno sinkronim zračenjem, spirale se degeneriraju u krugove. U ovom slučaju se govori o sinkronoj interferenciji.

Znak po kojem se asinkrone smetnje mogu razlikovati od cilja je interval između susjednih impulsa koji se razlikuje od cilja. Postoji nekoliko načina za isključenje ometajućih signala iz obrade. Najčešće su dvije metode temeljene na pravilnosti reflektiranih signala iz zrakoplova i nasumičnom vremenskom položaju signala asinkronih impulsnih smetnji (NIP). Prva metoda temelji se na recirkulaciji kašnjenja signala, druga - na efektu "pokretnog prozora". Uzmite u obzir oboje
način obrade.

Asinkrone smetnje nastaju ako se periodi ponavljanja izvora ometanja ne podudaraju s periodom ponavljanja signala iz zrakoplova. Stoga je razlika između signala i smetnji interval između susjednih impulsa. Za slabljenje NIP-a, množenje ne-odgođenog i odgođenog za razdoblje ponavljanja signala može se koristiti u shemi odabira za razdoblje ponavljanja (slika 2.146). Ako se množenje provodi

Riža. 2.146. Shema odabira za razdoblje praćenja.

signali s poznatim periodom ponavljanja T n će proći kroz krug, a signali za koje se period ponavljanja razlikuje od T n neće proći. Potencijaloskopi se mogu koristiti u takvim shemama.

Varijacija uređaja za odabir za razdoblje koje slijedi može biti sljedeća (slika 2.147).

Riža. 2.147. Osnovni NPC supresor

Tijekom prvog perioda sondiranja, obrađeni signal ne sliči izlazu elektroničkog ključa, budući da iz kruga slučajnosti nema signala za omogućavanje. Ulazni signal prvog sondiranja uređaj za odgodu pohranjuje za vrijeme razdoblja ponavljanja T n. U trenutku emitiranja sljedećeg impulsa sonde ponovno se prima primljeni signal, koji izravno stiže u koincidencijalni krug istovremeno sa signalom uređaja za odgodu. U trenucima dolaska korisnih signala, koji se ponavljaju u susjednim razdobljima sondiranja, pojavljuje se izlaz kruga slučajnosti
dopuštajući impuls, zbog čega se elektronički ključ otvara i prosljeđuje ciljni impuls na izlaz kruga.

Ova shema implementira algoritam 2/2, odnosno ako postoje 2 signala u istom rasponu u trenutnom i prethodnom razdoblju sondiranja, tada se donosi odluka da je to ciljni signal. Prigušivači koji implementiraju algoritam 4/4 mnogo su učinkovitiji.

Druga varijanta sheme odabira za razdoblje ponavljanja je recirkulacija
torus koji također obavlja funkciju akumulacije signala. Dijagram takvog uređaja prikazan je na Sl. 2.148.

Ulaz recirkulatora prima normalizirane signale, korisne i
NPC. Krug povratne sprege tvori linija kašnjenja za vrijeme T n i pojačalo b (K us.< 1).

Zbirni signal na izlazu pogona

Riža. 2.3. Recirkulator i grafikoni koji objašnjavaju njegov rad.

Signali iz zrakoplova su redoviti, prate T n i akumuliraju se dalje
pogonski izlaz. Razdoblje ponavljanja NIP signala razlikuje se od T n i takvi se signali neće akumulirati. Daljnja obrada praga isključuje NIP signale i izvlači akumulirane signale iz zrakoplova.

Metoda kliznog prozora je sljedeća. Područje detekcije primarnog radara podijeljeno je po dometu u zasebne diskretne jedinice D (slika 2.149).

Riža. 2.149. Klizni prozor.

Na slici je prikazan samo dio istraživanja, a vremenski intervali između susjednih sondiranja su zbog preglednosti povećani (označeni su brojevima 1, 2, ...). Ako postoje signali u bilo kojem diskretnom rasponu, oni će biti otkriveni u odgovarajućim ćelijama (signali su označeni sa +). Daljnja obrada uključuje provjeru kriterija "k / m". Ako se l ³ k: ulazni signali nalaze u zadanom rasponu diskretno u prozoru koji uključuje m susjednih sondiranja, zaključuje se da se ne radi o slučajnom skupu, već o uređenoj skupini signala (rafal impulsa iz zrakoplova). Ako l postane manji od k (NIP signali), tada kriterij nije zadovoljen i signali se isključuju iz obrade.

2.6.2. Obrada signala u pozadini šuma i signalnog impulsnog šuma

2.6.2.1. Razumijevanje dinamičkog raspona signala i smetnji
i potrebu da se oni standardiziraju

Sustavi za obradu signala u prisutnosti buke i smetnji moraju osigurati zadanu razinu vjerojatnosti ispravnog otkrivanja uz fiksnu vjerojatnost lažnih alarma. Potonje su uzrokovane i emisijom buke i impulsima i drugim smetnjama. Pulsni šum je vrlo čest i često značajno premašuje željenu razinu signala, što otežava njihovu pouzdanu izolaciju. Stoga je potrebno koristiti nelinearne i druge metode obrade signala na pozadini šuma i smetnji. Najjednostavniji i najučinkovitiji od njih je izrezivanje. Obično je graničnik odabran tako da bude krut, odnosno, razina limitera je odabrana manja od efektivne vrijednosti s buke. Kada se primjenjuju, razine signala, šuma i smetnji postaju iste. Kako bi se smanjilo izobličenje signala, nakon graničnika amplitude postavlja se filtar koji odabire njegov prvi harmonik.

Budući da graničnik eliminira sve amplitudne razlike između
signal, šum i smetnje, treba koristiti naknadnu obradu
druge razlike između signala, s jedne strane, i šuma i smetnji, s druge strane. Ako se koriste jednostavni signali, tada takve razlike mogu biti ili trajanje njihovih impulsa, ili širina njihovih spektra, određena tim trajanjem, a u slučaju složenih signala, njihova fazna struktura, odnosno zakoni fazne modulacije ili manipulacije.

Očito će se jamčiti potrebne performanse radio sustava ako se osiguraju visoki omjer signal-šum i nizak omjer smetnji i šuma. Budući da impulsni šum može biti vrlo jak, njegova se razina mora normalizirati na efektivnu razinu buke. Drugim riječima, potrebno je osigurati visok dinamički raspon signala i normalizaciju dinamičkog raspona smetnji.

Dinamički raspon signala je omjer razina maksimalnog i minimalnog vidljivog signala. Potonji je određen razinom šuma, prirodom signala i primijenjenim algoritmom za njegovu obradu. Stoga se dinamički raspon signala može okarakterizirati omjerom amplitude maksimalnog signala i efektivne razine šuma.

Slično, dinamički raspon smetnji opisuje se omjerom
amplituda maksimalne interferencije prema RMS razini šuma. Stoga se normalizacija dinamičkog raspona smetnji svodi na normalizaciju razine tih smetnji. U nastavku pod šumom podrazumijevamo nemoduliran impulsni šum čija se frekvencija poklapa s frekvencijom signala. U ovom slučaju razmatrat će se najnepovoljniji slučaj sa stajališta supresije smetnji, budući da se spektri signala i interferencije potpuno preklapaju, što isključuje korištenje frekvencijskog filtriranja. Amplitude smetnje i signala smatrat ćemo toliko velikim u odnosu na efektivnu razinu šuma da se tijekom njihovog djelovanja na limiter utjecaj šuma može zanemariti.

Imajte na umu da se u ovom poglavlju, kao što mu naziv implicira, razmatra samo obrada signala unutar razdoblja u pozadini buke i jakog impulsnog šuma. Daljnje suzbijanje impulsnih šuma moguće je prekoperiodnim gomilanjem signala tijekom njihove međuperiodne obrade na pozadini šuma i naznačenih šuma, a postiže se asinkronom naravi impulsnih šuma.

2.6.2.2. Normalizacija razine dugog impulsnog šuma
koristeći shemu SHOW

SHOU krug (slika 2.150, a) sastoji se od širokopojasnog filtra W, limitera O, uskopojasnog filtra Y. Razmotrimo učinak radio impulsnog signala s trajanjem t 1 šuma i smetnji na trajanje t n1 na njemu. Zanemarujemo izobličenja signala i smetnje u širokopojasnom filteru, što je sasvim prihvatljivo sa svojom velikom propusnošću. Uskopojasni filtar smatrat će se optimalnim za signal. Tada je omjer signal-šum na njegovom izlazu

,

gdje je Ez energija signala na ulazu ovog filtera;

N 03 - spektralni intenzitet buke na njegovom ulazu.

Riža. 2.150. SHOW krug (široki pojas - limiter-uski pojas)

Uz idealno ograničenje ulazne oscilacije (sl. 2.151), izlaz
oscilacija ima oblik meandra, uzimajući vrijednosti ± Uo. U ovom slučaju, energija signala na izlazu ovog limitera (tj. na ulazu uskopojasnog filtra) Ez = 1/2 V 2 Z t 1 = 1/2 (a 1 U 0) 2 t 1, i spektralni intenzitet buke N 03 = W w3 / DF w = 1 / DF wx 1/2 (a 1 U 0) 2, gdje je a 1 = 4 / p koeficijent prvog harmonika koji nastaje pri ograničavanju oscilacije u oblik meandra, a W w3 je snaga buke na ulazu uskopojasnog filtra ... Zamjenom posljednja dva izraza u prethodna dobivamo

gdje je n = DF w t 1 @ DF w / DF y omjer širine pojasa
lass i uskopojasni filteri.

Što je ovaj omjer veći, to je veći omjer signala i šuma na izlazu razmatranog kruga. Fizički se to objašnjava činjenicom da se povećanjem propusnosti širokopojasnog filtera smanjuje spektralni intenzitet šuma nakon klipinga i snaga nakon uskopojasnog filtriranja.

Riža. 2.152. Prolazak signala,
kratke i duge smetnje kroz strujni krug
POKAZATI

Uzmimo u obzir prolaz radio impulsa signala, kratke i duge smetnje (razlikuje se po tome što je trajanje kratke smetnje t ¢ n1 kraće, a dugi šum t "n1 veći od trajanja signala t 1 kroz SHOU sustav, kao uskopojasni filtar čiji se optimalni filtar koristi za impulsni signal određenog trajanja ...

Analiza vremenskih dijagrama amplituda napona (slika 2.152) u različitim točkama strukturnog dijagrama (slika 2.150, b) pokazuje da je signal,
kratki i dugi poremećaji imaju odnosno amplitude napona na izlazu sustava

V 4 = 1 / b V 3 t 1,

U ¢ p4 = 1 / b U p3 t p1,

U "p4 = 1 / b U p3 t 1,

gdje je (b vremenska konstanta VILU kruga povezana s njegovom propusnošću
prijenos DF omjerom b = (pDF) -1, i b "t 1 i b" t p1, i V 3 i U p3
- amplituda signala i šum na izlazu limitera. Zbog jednakosti potonjeg (V 3 = U p3), amplitude signala i dugog šuma podudaraju se:

V 4 = U "p4, i amplituda kratkog šuma U ¢ p4 = V 4 (t ¢ p1 / t 1).

riža. 2.153. Ovisnost omjera smetnje i šuma na izlazu SHOU kruga o trajanju ulazne smetnje

Sve je to posljedica činjenice da kombinacija uređaja odgode i oduzimanja u optimalnom filtru ograničava vrijeme integracije bilo koje ulazne oscilacije s trajanjem t 1 signala na ulazu.

Stoga, ako je trajanje smetnje jednako ili veće od trajanja signala, tada se njegova amplituda na izlazu uskopojasnog filtra podudara s amplitudom signala. Ako je trajanje smetnje kraće od trajanja signala, tada su njegova amplituda i omjer smetnje i šuma proporcionalni trajanju smetnje.

Dakle, omjer buke i buke na izlazu (slika 2.153)

Za t p1 ≤t 1

Za t p1> t 1

Važno je napomenuti da je razina buke na izlazu potpuno neovisna.
na njegovu amplitudu na ulazu (ako je, naravno, dovoljno velika). Krug SHOW odabire impulsni šum prema trajanju. Interferencija se normalizira na razinu buke (r 4 £ 1) ako njezino trajanje zadovoljava uvjet

Stoga SHOW sklop štiti samo od dovoljno kratko podešenog impulsnog šuma.

U smislu bolje regulacije smetnji, kao i smanjenja broja međusobnih smetnji koje stvaraju radijski sustavi s bliskim nosećim frekvencijama koje spadaju u predograničujuću širinu pojasa
filter, omjer n treba odabrati manji. Ali to smanjuje omjer signala i šuma i, posljedično, vjerojatnost detekcije signala. Osim toga, sa smanjenjem n povećavaju se gubici zbog nelinearnosti obrade zbog smanjenja stupnja normalizacije šuma u uskopojasnom filtru nakon ograničenja. Proračuni pokazuju da ako su kod n = 100 1,5 dB, onda se pri n = 10 povećavaju na 5 dB. U praksi se dinamički raspon signala bira q = 5 ¸ 10 iz uvjeta normalnog rada indikatora kružnog prikaza, što odgovara n = 12,5 ¸ 50.

2.6.2.3. Normalizacija razine dugog impulsnog šuma
koristeći POC shemu

POC sklop (ekspandirajući filtar - limiter - filter za stiskanje) radi po principu: proširenje signala P - ograničenje O - kompresija signala C i serijski je spoj dva
disperzivne DLZ linije kašnjenja s konjugiranim (tj. različitim predznacima) fazno-frekvencijskim karakteristikama i limiterom između njih (slika 2.154). Širina pojasa DLZ DF 1 odabrana je tako da bude jednaka širini spektra korisnog signala (na razini 2 / p): DF 1 = P = 1 / t 1, a trajanje T p impulsnog odziva je mnogo dulje od trajanja signala, tj

Signal, koji djeluje na prvi DLZ, širi se u trajanju do T p i dobiva cvrkut s devijacijom DF = P. Postaje složen, jer je umnožak širine njegovog spektra na trajanje

D p = P T p = T p / t 1 "1,

gdje je D p faktor rastezanja signala u DLZ. Nakon prolaska
graničnika, on se, budući da je složen, komprimira u drugom DLZ-u na isto trajanje 1 / DF = t 1), a njegova amplituda se puta povećava u usporedbi s amplitudom na izlazu limitera, što se poklapa s amplitudom okolnog buka. Stoga je omjer signal-šum.

Prolazak smetnje kroz sustav koji se razmatra bitno ovisi o njegovom trajanju t p1. Njegov spektar na razini 2 / p ima širinu P 1 = 1 / t p1 (vidi sliku 2.155, a). Budući da je pojas propusnosti DLZ-a samo DF 1 = 1 / t 1, širina P 2 spektra kratkih smetnji na njegovom izlazu ograničena je ovom vrijednošću (vidi sliku 2.155.6):

P 2 = DF 1 = 1 / t 1, Za t p1 P 2 = 1 / t p1 Za t p1 ³t 1

Za t p1> t 1, cijeli spektar smetnji (na razini 2 / p) pada u propusni pojas DLZ-a, koji zbog svoje disperzije odgađa različite harmonijske komponente za različita vremena, određena disperzijskom karakteristikom ovog DLZ. Vrijeme kašnjenja najjače se razlikuje na ekstremnim (maksimalnim i minimalnim) frekvencijama spektra interferencije. Razlika između ovih vremenskih kašnjenja određuje trajanje impulsa buke t p2 na izlazu, što je, kako slijedi iz sličnosti trokuta abc i deg na disperzijskoj karakteristici DLZ-a (Sl.2.156),

t p2 = T p P2 / DF 1 = T p t 1 / t p1

a opada s povećanjem t p1 (slika 2.15 5, c). Potonje se fizički objašnjava sužavanjem spektra interferencije. Ali trajanje impulsa na izlazu

filtar za rastezanje ne može biti kraći od trajanja pulsa za

Minimalna vrijednost definiramo iz uvjeta
iz čega slijedi

Uz djelovanje dulje smetnje potonje se ne mijenja
njegovo trajanje.

Dakle, vrijednost Tsh je minimalno moguće trajanje impulsnog šuma na izlazu DLZ. Osim toga, predstavlja
trajanje glavnog prijelaza na DLZ izlazu (tj. optimalni filtar za chirp signal s trajanjem Tr i devijacijom frekvencije ap]) uzrokovan djelovanjem dovoljno dugog nemoduliranog ugođenog impulsnog šuma.

Iz prethodnog proizlazi da je koeficijent složenosti D2 smetnje na izlazu prvog DLZ-a, tj. umnožak njegove širine spektra P2 na njegovo trajanje, ovisi o trajanju smetnje kako slijedi (slika 2.15 5, d):

Stoga, nakon prolaska limitera, koji će učiniti jednakim

T< т
razina smetnji i buke, smetnje u drugom DLZ-u će se smanjiti u trajanju za faktor D2, povećati amplitudu za faktor i, istovremeno, premašiti efektivnu vrijednost šuma za nekoliko faktora. U različitom trajanju, smetnje će proći kroz DLZ bez promjene amplitude i trajanja. Dakle, omjer buke i buke na izlazu je (slika 2.155, e).

Posljedično, smetnje, čije trajanje prelazi
normalizirani su razmatranom shemom na razinu buke. Fizički, to se objašnjava činjenicom da takve dugotrajne smetnje, s relativno uskim spektrom, prolaze kroz oba DLZ-a bez podvrgavanja istezanju i kompresiji. Stoga, nakon ograničenja, postaju na razini buke. Dakle, ROS sklop odabire impulsni šum po širini spektra.

Dakle, ako SHOW krug normalizira razinu kratkog impulsnog šuma, onda ROS krug - razinu dugog impulsnog šuma. Postoji prirodna tendencija kombiniranja prednosti obje sheme u jednom sustavu obrade.
O ovoj mogućnosti govori se u nastavku.

2.6.2.4. Normalizacija razine kratkih i dugih smetnji
koristeći shemu SHOW-ROS

Za normalizaciju razine kratkog i dugog impulsnog šuma, preporučljivo je koristiti SHOW-

ROS - skup serijski spojenih SHOU i ROS sklopova (slika 2.157). Kombinaciju POS-SHOW, nastalu kao rezultat različitog slijeda povezivanja ovih sklopova, nema smisla koristiti, budući da je u POS krugu širina pojasa jednaka širini spektra korisnog signala i korištenju širokog -pojasni filter će biti beskorisan.

Približna analiza prijenosa signala, šuma i smetnji impulsa, izvedena za slučaj kada se omjer n pojaseva propusnosti filtera SHOU kruga poklapa s koeficijentom D R rastezanje signala u prvom DLZ krugu ROS (p-Dp), omogućuje dobivanje sljedeće ovisnosti omjera buke i buke na izlazu sustava SHOW-ROS o trajanju buke na njegovom ulazu:

Analiza ove ovisnosti (sl.11.9) pokazuje da navedeni sustav
normalizira razinu kratkog i dugog impulsnog šuma na razinu buke.

2.6.2.5. Normalizacija razine impulsne buke
pri obradi složenih signala

Prvo, uzimamo cirp puls kao složen signal. Optimalni filtar za takav signal sastoji se od propusnog filtra PF i disperzivne linije kašnjenja DLZ, koji zapravo obavlja funkcije faznog kompenzatora PC-a. Neka se ovaj filtar nalazi iza limitera, kojemu prethodi samo širokopojasni filtar (slika 2.159, a).

Budući da se propusni filtar može smatrati uskopojasnim filtrom, krug prije faznog kompenzatora je SHOW sklop s propusnim opsegom "uskopojasnog" filtra - devijacijom frekvencije chirp signala. Stoga je na njegovom izlazu, tj. na ulazu faznog kompenzatora, omjer signala i šuma , i omjer buke i buke

Amplituda chirp signala raste u DULZ faznom kompenzatoru u
puta, a snaga buke se ne mijenja. Stoga je na izlazu faznog kompenzatora omjer signal-šum

puls, njegovo trajanje na izlazu propusnog filtra je. Na izlazu DLZ-a, smetnja se u ovom slučaju širi na trajanje chirp impulsa i njegova amplituda se smanjuje za faktor. Tako

Kada je trajanje smetnje manje od trajanja prijelaza

u DLZ-u , smetnja se širi u DLZ do i njegova amplituda na

izlaz se smanjuje za faktor. U ovom slučaju (za ) omjer buke i buke je

Kada smetnja prođe kroz DLZ bez promjene trajanja i amplitude. Stoga se omjer buke i šuma na DLZ izlazu poklapa s ovim omjerom na izlazu propusnog filtra, koji je jednak

Stoga je omjer izlazne buke i šuma

Budući da će omjer interferencije i šuma biti manji od jedinice ako je njegov
trajanje zadovoljava uvjet

To je uvjet za normalizaciju smetnji na razinu buke.

Nadalje, neka složeni signal bude smatrani FM signal ukupnog trajanja Tb sastavljen od radio impulsa trajanja koji se razlikuju po vremenskom položaju i mogu se razlikovati u početnoj fazi Potonji ima jednu od dvije vrijednosti: 0 i π. Tada je propusni filtar PF na dijagramu (vidi sliku 2.159, a), koji ćemo smatrati "uskopojasnim", optimalan filtar za radio impuls trajanja, a fazni kompenzator FC -
vremenska odgoda linija agregat ravnomjerno raspoređene slavine, N fazni pomaci pod kutom i zbrajalica (sl. 2.160). Tada će na ulazu faznog kompenzatora, kao i na izlazu kruga SHOU, omjer signal-šum biti , i omjer buke i buke

gdje u ovom slučaju

Šum nakon prolaska kroz propusni filtar, koji je optimalni filtar za radio puls trajanja, imat će trokutasti ACF s osnovnom širinom od 2. Dakle, šum na ulazima zbrajača nije koreliran i u njemu se zbraja po snazi, zbog čega .
Kako signal raste u faznom kompenzatoru na N puta u amplitudi i u
puta snage, tada će omjer signala i šuma na njegovom izlazu biti

Kratkotrajne smetnje rastežu se propusnim filtrom
do trajanja To elementarnog impulsa, a ako trajanje smetnje prijeđe zadanu vrijednost, filtar će ga ostaviti nepromijenjenim.

Stoga, u slučaju smetnji na ulazima zbrajača, oni se mogu preklapati jedan s drugim samo rubovima, što neće dovesti do povećanja amplitude smetnje na izlazu. Zbog toga i činjenice da se snaga buke povećava, omjer buke i buke na izlazu faznog kompenzatora smanjit će se za jednom:

Ako trajanje smetnje nije kraće od trajanja signala
tada će se šum na ulazima zbrajača preklapati, zbog čega će amplituda šuma na izlazu biti veća u jednom, nego na ulazu. Zbrajanje buke po snazi, a ne po naponu, objašnjava se kvazi-slučajnim zakonom promjene koeficijenata prijenosa faznih pomakača, što je posljedica pseudo-slučajne prirode korištenog koda. Zbog činjenice da se u ovom slučaju i smetnje i buka povećavaju u istoj mjeri, njihov odnos
nemoj mijenjati:

Očigledno, u srednjem slučaju, imamo

Omjer izlazne buke i buke

Budući da je u nema više omjera buke i buke
jedinica ako trajanje ove smetnje zadovoljava uvjet

Ovo je uvjet za normalizaciju smetnji na razinu buke. Izvodi se samo za
dovoljne su kratke smetnje.

Dakle, razmatrani sustav obrade (vidi Sl.
2.159, a) s optimalnom filtracijom nakon ograničenja normalizira se na razinu
šum, samo dovoljno kratak impulsni šum. To je što
njegov značajan nedostatak, koji se objašnjava činjenicom da se smetnje, ograničeno na razinu buke u graničniku, akumuliraju u uskom pojasu
filter sova. Stoga se ovaj nedostatak može eliminirati samo pomoću
eliminacija ove akumulacije (integracije) smetnji.

Budući da je nemoguće potpuno ukloniti PF pojasni filtar, jer
provodi apsolutno potrebno optimalno frekventno filtriranje signala od šuma, zatim ga stavljamo ispred limitera

(vidi sliku 2.159, b). S takvim dizajnom sklopa eliminira se potreba za širokopojasnim filtrom. Navedeni propusni filtar izvodi prvu glavnu operaciju optimalnog filtriranja - frekvencijsko filtriranje. Drugu operaciju - kompenzaciju faznih pomaka između spektralnih komponenti signala - izvodi fazni kompenzator. Širina pojasa potonjeg može biti neograničena.
Stoga se nakupljanje smetnji (i signala) u njemu može potpuno eliminirati, tako da se može postaviti iza limitera.

Razmotrite učinak signala, smetnji i šuma na sustav u kojem propusni filtar prethodi limiteru, a fazni kompenzator se nalazi iza njega (vidi sliku 2.159.6).

Budući da su razine signala, šuma i smetnje na izlazu limitera
su isti, tada su omjer signal-šum i omjer smetnji i šuma

U slučaju cimp signala, njegova amplituda se povećava faznim kompenzatorom in puta, a razina buke ostaje nepromijenjena. Dakle, stav
signal-šum na izlazu U slučaju PM_signala, njegova amplituda se povećava u faznom kompenzatoru za vrijeme, a efektivna vrijednost šuma

V N puta, zbog čega je omjer signal-šum na izlazu .

Kao što slijedi iz prethodnog, fazni kompenzator može samo ostaviti nepromijenjenim ili čak smanjiti omjer buke i buke

Posljedično, složeni sustav za obradu signala koji se sastoji od uskopojasnog propusnog filtra, limitera i širokopojasnog faznog kompenzatora omogućuje normalizaciju impulsnog šuma bilo kojeg trajanja na razinu šuma. To je njegova nedvojbena zasluga. Implementira jednu od glavnih prednosti sustava sa složenim signalima, njegovu otpornost na buku zbog složene fazne strukture tih signala.

Borba protiv buke i smetnji veliki je izazov u mnogim područjima radiotehnike. Visoku otpornost na buku sustava za prijenos informacija moguće je osigurati na različite načine. Na primjer, stvoreni su takvi uređaji za obradu koji na neki način najbolje odvajaju signal izobličen prisutnošću smetnji. Drugi način je poboljšati strukturu odašiljanih signala, koristiti metode kodiranja otpornog na buku i modulacije. Primjeri takvih signala otpornih na buku su Barkerovi kodovi i chirp signali proučavani u Ch. 3, 4.

16.1. Izolacija korisnog signala pomoću linearnog frekvencijskog filtra

Da biste izolirali koristan signal, izobličen prisutnošću šuma, možete pribjeći filtriranju frekvencije. Neka se frekvencijsko pojačanje linearnog stacionarnog filtra odabere tako da vrijednosti veličine budu velike u frekvencijskom području gdje je koncentriran glavni dio energije signala, a male gdje je spektralna gustoća snage šuma velika. Za očekivati ​​je da se primjenom zbroja signala i šuma na ulaz takvog filtra može dobiti primjetan porast relativnog udjela korisnog signala na izlazu.

Omjer signala i šuma.

Dajmo ovoj odredbi kvantitativnu formulaciju. Neka je na ulazu linearnog filtra ulazni signal

što je zbroj korisnog signala i šuma.U daljnjem tekstu se pretpostavlja da su oba ova signala uskopojasna s istim središnjim frekvencijama. Smatra se da su signali nekorelirani u smislu srednje vrijednosti proizvoda

Također ćemo pretpostaviti da su ti signali stacionarni u neograničenom vremenskom intervalu.

Intenzitet oscilacija na ulazu filtra može se okarakterizirati vrijednošću srednjeg kvadrata (prosječne snage) ulaznog signala, koji je, na temelju jednakosti (16.2), zbroj srednjih kvadrata korisnog signala i šuma :

gdje je varijanca ulaznog šuma.

Za opisivanje relativne razine signala uobičajeno je uvesti tzv. omjer signal-šum na ulazu filtra prema formuli

ili u logaritamskim jedinicama (dB)

Imajte na umu da bezdimenzionalni broj vrlo približno i nepotpuno karakterizira razinu signala u odnosu na razinu buke. Preporučljivo je koristiti ovu relaciju samo kada je unaprijed poznato da su realizacije signala i šuma u nekom smislenom smislu međusobno "slične". Stoga se ulazni šum obično dobro opisuje modelom normalnog uskopojasnog slučajnog procesa. Neke implementacije ovog šuma su kvaziharmonične oscilacije. Naravno, u ovom slučaju možete koristiti formulu (16.4) za procjenu razine korisnih moduliranih signala tipa AM ili FM.

Primjer 16.1. Na ulazu filtera nalazi se jednotonski AM signal i Gaussov šum čiji je jednostrani spektar snage

Pronađite omjer signala i šuma na ulazu filtra.

Prosječnu snagu signala dobivamo prosječnim kvadratom tijekom vremena:

Ovdje prvi pojam odgovara prosječnoj snazi ​​vala nositelja, koji ne sadrži informaciju o odaslanoj poruci. Stoga je pri izračunu otpornosti na buku uobičajeno ovu komponentu izostaviti i pretpostaviti da je

Disperzija buke na ulazu u filter

Omjer signala i šuma

ispada da je izravno proporcionalan kvadratu indeksa modulacije i obrnuto proporcionalan frekvenciji modulacije.

Omjer signala i šuma na izlazu filtra.

Filter linije slijedi princip superpozicije. Takav filtar neovisno obrađuje signal i šum i na izlazu stvara srednji kvadratni signal.

To omogućuje uvođenje omjera signal-šum na izlazu filtra:

Pojačanje filtera u odnosu na omjer signal-šum nazvat ćemo veličinom

koji se također može izraziti u decibelima:

(16.10)

Jasno je da ako tada filtriranje zbroja signala i šuma dovodi do povoljnog rezultata u smislu kriterija koji smo usvojili - povećanja relativne razine korisnog signala na izlazu.

Odgovor na pitanje koji se omjer signal-šum treba smatrati dovoljnim za normalno funkcioniranje radijskog sustava u potpunosti ovisi o namjeni ovog sustava i cjelokupnom skupu tehničkih zahtjeva.

Prosječna snaga uskopojasnog signala.

Preporučljivo je uvesti pojam prosječne snage samo u odnosu na uskopojasne signale koji su vremenski beskonačno produženi. Prikladan i prilično opći matematički model takvog signala je zbroj

(16.11)

u kojem su amplitude i faze proizvoljne, a sve frekvencije su koncentrirane u uskom pojasu oko referentne frekvencije Trenutna snaga takvog signala

Prosječna snaga korisnog signala može se dobiti prosječenjem tijekom vremena:

Očito, samo će članovi s istim indeksima doprinijeti zbroju, kada Iz ovoga slijedi da

(16.12)

Utjecaj pojačanja frekvencije i filtra na omjer signal-šum.

Ako signal oblika (16.11) prolazi kroz linearni filtar s koeficijentom prijenosa frekvencije, tada je prosječna snaga signala na izlazu

Disperzija izlaznog šuma

Odavde nalazimo izraz za omjer signala i šuma na izlazu filtra:

Ova formula sadrži cjelovito rješenje problema i omogućuje, u principu, poznavajući spektre signala i šuma, odabir frekvencijskog odziva filtra kako bi se dobio opipljiv dobitak. Međutim, treba imati na umu da korisni signal, u pravilu, sam po sebi trpi neka, ponekad značajna, izobličenja.

3. Modulirani signali. Teorija prijenosa signala

3. Modulirani signali

3.1. Analitički prikaz moduliranih oscilacija

Modulirani signali razlikuju se po vrsti nositelja (nosača) i njegovim moduliranim parametrima. Harmonične oscilacije, periodični niz impulsa i uskopojasni slučajni proces danas se široko koriste kao nosioci. Svaki od ovih vektora karakterizira određeni broj parametara. Parametri koji se mijenjaju u vremenu pod utjecajem odaslane poruke nazivaju se informacijskim, budući da je prenesena informacija ugrađena u njihove promjene. Parametri koji ostaju nepromijenjeni su trajni potpisi signala; mogu se koristiti u prijemu za razlikovanje signala od smetnji. U mnogim slučajevima, modulirani signal se može predstaviti kao proizvod dviju funkcija

gdje - funkcija koja predstavlja vibraciju nosača (nosač), i - modulacijska funkcija koja izražava učinak odaslane poruke u(t) na nosaču f(t). Kada je analitički signal (2.98) odabran da predstavlja nositelja, tada za svaku modulacijsku funkciju M(t) postoji složeni modulirani signal s(t). U analitičkom prikazu signala, njegov stvarni i imaginarni dio odgovaraju stvarno postojećem moduliranom signalu, a njegov modul određuje omotnicu. Kada je nositelj harmonijski valni oblik, funkcija modulacije izražava učinak video signala u(t) na amplitudu (frekvenciju ili fazu) nosioca.

Spektar modulirane vibracije (3.1), prema teoremu o spektru produkta, određen je konvolucijom

(3.2)

Iz toga slijedi da proces modulacije dovodi do složene transformacije spektra signala. Ako je nosač uskopojasna oscilacija, tada modulacija dovodi do širenja spektra i njegovog prijenosa u područje blizu frekvencije nosača (slika 3.1 a). Ako je nosilac čista sinusoida, onda postoji jednostavan pomak spektra (slika 3.1. b). Ako je nosač zabilježen u obliku analitičkog signala, čiji spektar postoji samo za pozitivne frekvencije, tada se pretvorba frekvencije primjenjuje samo na pozitivne frekvencije, kao što je prikazano na sl. 3.1.

Riža. 3.1. Pomak modulacijskog spektra: opći slučaj analitičkog nositelja (a), kućište nosača harmonika (b)

3.2. Osnovne vrste analogne modulacije

Glavne vrste analogne modulacije su amplitudna modulacija (AM), fazna modulacija (PM) i frekvencijska modulacija (FM). Vrste AM su uravnotežene (BM) i modulacije s jednim bočnim pojasom (OM).

Izravan prijenos. Najjednostavniji signal za prijenos kontinuirane poruke u(t) je signal proporcionalan u(t):

s(t)= Au(t), (3.3)

gdje A - neka konstanta. Takav signal odgovara obliku (3.1) ako ga stavimo f(t)= A i M [u(t)]= u(t). Primjer takve izravne razmjene poruka je konvencionalna telefonska komunikacija putem žica.

Amplitudna modulacija. Za ovu vrstu modulacije: f(t)=,

gdje T- faktor modulacije.

Modulirani signal će biti snimljen

Ovaj izraz daje prikaz stvarnog AM signala.

Spektar signala općenito se definira kao Fourierova transformacija s(t):

S obzirom na to i

gdje je spektar odaslane poruke. Iz ovoga se vidi da kod AM dolazi do prijenosa spektra poruke na frekvenciju (slika 3.16). Širina spektra signala F kada je AM dvostruko širi od spektra poruke Fm:

u(t)=,

Iz ovog izraza slijedi da amplituda moduliranog signala varira od prije , a snaga signala, respektivno, od prije

Gdje je snaga vala nosioca. Prosječna jačina AM signala je:

Za m = l i PCp=1,5 PH; omjer prosječne snage i maksimalne je 0,375. “Ovi omjeri ukazuju na značajan nedostatak AM modulacije – slabo korištenje snage odašiljača.

Balansirana modulacija (BM). Uz konvencionalni AM, AM prijenos se koristi bez nositelja - uravnotežena modulacija. Za ovu vrstu modulacije:

f(t)=, (3.7)

Spektar signala na BM

Postoje samo dvije bočne trake - bez nosača.

Kod modulacije s jednim bočnim pojasom (SSB) prenosi se samo jedan bočni pojas. Za ovu vrstu modulacije pri prijenosu gornjeg bočnog pojasa:

f(t)=, (3.10)

OM signalni spektar

(3.12)

Doista, ako proširimo funkcije u(t) i (t) u Fourierovom nizu:

i uzeti u obzir da cosx; i sinx su par Hilbertove transformacije, dobivamo

Ovaj prikaz je analitičan za sve > 0. Zamjena modulacijske funkcije [ u(t)] njenom parenom *[ u(t)]= u(t)- i(t) daje valni oblik s(t), odgovara donjoj bočnoj traci.

BM i OM sustavi omogućuju smanjenje beskorisne potrošnje energije za komponentu frekvencije nositelja, a uz OM, dodatno prepolovljenje širine pojasa odašiljenog signala. Međutim, implementacija ovih prednosti zahtijeva sofisticiraniju opremu.

Kutna modulacija. U slučaju kutne modulacije (FM i FM) modulacijska funkcija ima oblik

Sa sinusoidnim nosačem f(t)= modulirani signal imat će sljedeći izraz:

Pravi signal

Ovo je uobičajeni prikaz kutno moduliranog signala. Prema (3.15), ukupna faza visokofrekventne oscilacije jednaka je:

(3.16)

a trenutna frekvencija titranja mijenja se prema zakonu derivacije od , tj.

(3.17)

Naprotiv, kada se frekvencija mijenja prema zakonu ω (t) (3.17) faza titranja ψ (t) će se promijeniti prema zakonu integrala od ω (t):

(3.18)

U slučaju fazne modulacije . Zatim, na temelju (3.15) i (3.16), imamo:

(Z.19) (3.20)

Kod frekvencijske modulacije prema zakonu odaslane poruke mijenja se frekvencija titranja nosioca

(3.21)

gdje je amplituda devijacije frekvencije (odstupanje frekvencije). Puna faza oscilacije bit će jednaka:

Tada će izraz za FM signal biti zapisan u obliku

Kod modulacije jednim tonom, kada i (t)= cosΩt, signalni izrazi za FM i FM u obliku imaju isti oblik:

gdje T - indeks modulacije: na FM na FM

Za određivanje spektra signala zamijenite u (3.24) kosinus zbroja dvaju kutova koristeći dobro poznate formule iz trigonometrije

Ovdje, da bismo pojednostavili zapis, postavit ćemo = 0. Iz teorije Besselovih funkcija poznati su sljedeći odnosi:

gdje je Besselova funkcija prve vrste k- Go red iz argumenta T. Nakon zamjene (3.26) i (3.27) u (3.25), dobivamo

Dakle, ispada da se čak i sa sinusoidnim FM i FM dobiva teoretski neograničen spektar. Sastoji se od nosača ω0 i dvije bočne trake. Amplituda nosioca A010 (t) na FM i FM. za razliku od AM, ovisi o modulirajućem valnog oblika. Za neke vrijednosti T uopće može biti nula (m = 2, 3; 5.4). Amplituda bočnih frekvencija je . Međutim, u praksi je širina spektra FM i PM signala ograničena.

Riža. 3.2. Kutno modulirani signalni spektar

Na sl. 3.2 prikazuje spektar signala s kutnom modulacijom jednog tona pri m = 5. Kao što možete vidjeti, amplitude bočnih frekvencija brzo se smanjuju s povećanjem harmonijskog broja k. Na k> m komponente spektra su male i mogu se zanemariti. U praksi je širina spektra signala s kutnom modulacijom F = 2 (m + l) Fm, gdje je FT= frekvencija modulirajuće oscilacije.

Razlika između FM i FM pojavljuje se samo kada se promijeni frekvencija modulacije Ω. Na Svjetskom prvenstvu t =, dakle kod m>>1 bend je praktički neovisan o Fm. Na FM b

za m >> 1 širina spektra će biti jednaka F=2 ΔφfmFm tj. ovisi o frekvenciji modulacije Fm. Ovo je razlika između FM i FM spektra.

U slučaju malog indeksa modulacije, spektar FM i PM signala, kao iu slučaju AM, ima samo tri komponente:

To izravno slijedi iz (3.28) ako uzmemo u obzir da za m<< l grijeh (msinΩt) msinΩt, a cos (msinΩt) 1.

Usporedba (3.6) i (3.29) pokazuje da se razlika između spektra signala na AM i kutne modulacije sastoji samo u faznom pomaku titranja donje bočne frekvencije za 180° u odnosu na njen položaj na AM. Ova razlika je značajna i ilustrirana je vektorskim dijagramima prikazanim na Sl. 3.3.

Riža. 3.3. Vektorski dijagrami: AM signal (a), FM signal (w<1) (b)

Modulacija kuta s jednim bočnim pojasom. Ako je funkcija analitička:

zatim signal

je također analitička funkcija za. Ne sadrži negativne frekvencije, iako ima beskonačan spektar u području pozitivnih frekvencija:

Izraz (3.30) definira novi modulirani signal. Ovaj signal je varijanta SSB signala. Da bismo to dokazali, razmotrimo slučaj frekvencijske modulacije s jednim tonom u(t) = sinΩt. Za ovaj slučaj, funkcija φ(t) a njegova Hilbertova transformacija ima oblik:

Gdje je indeks modulacije. U ovom slučaju modulirajuća funkcija se pretvara u oblik

, i modulirani signal

To pokazuje da se spektar moduliranog signala sastoji od jednog bočnog pojasa. SSB signal se može dobiti iz konvencionalnog PM signala Hilbertovom transformacijom (npr. faznim pomakom) i eksponencijalnom amplitudnom modulacijom. Tada će ograničavanje takvog signala u prijemniku vratiti donji bočni pojas i omogućiti korištenje konvencionalnog diskriminatora za detekciju.

3.3. Diskretni modulacijski signali

S diskretnom modulacijom, kodirana poruka u(t), koji je niz kodnih simbola {}, pretvara u niz signalnih elemenata {} ... Potonji se od kodnih simbola razlikuju samo po električnom prikazu. U posebnom slučaju, diskretna modulacija se sastoji u djelovanju kodnih simbola (ai} po prijevozniku f(t). Ova diskretna modulacija slična je kontinuiranoj modulaciji.

Modulacijom se jedan od parametara nositelja mijenja prema zakonu određenom kodom. U izravnom prijenosu, nosač može biti istosmjerna struja, čiji su promjenjivi parametri veličina i smjer. Obično se kao nosilac, kao i kod kontinuirane modulacije, koristi izmjenična struja (harmonička oscilacija). U tom slučaju možete dobiti amplitudnu (AM), frekvencijsku (FM) i faznu (PM) modulaciju. Diskretna modulacija se često naziva manipulacija, a uređaj koji vrši diskretnu modulaciju (diskretni modulator) naziva se manipulator ili generator signala.

Na sl. 3.4 prikazuje grafikone signala za različite vrste manipulacija. Kod AM, simbol 1 odgovara prijenosu vala nositelja tijekom vremena (rafal), a simbolu 0 nema oscilacije (pauza). U FM, valni oblik nositelja se prenosi na frekvenciji 1, a valni oblik se prenosi na 0. U FM, faza nositelja se mijenja za 180 ° sa svakim prijelazom od 1 do 0 i od 0 do 1.

Riža. 3.4. Signali s različitim vrstama diskretne modulacije

Konačno, trenutno se koristi relativna fazna modulacija (OFM). Za razliku od PM, u OFM sustavu, faza vala nositelja se mijenja za 180° tijekom prijenosa simbola 1 i ostaje nepromijenjena tijekom prijenosa simbola 0.

S OFM-om se manipulacija svakom zadanom porukom provodi u odnosu na prethodnu. Očito je da je na ovaj način moguće manipulirati (promjenjivati) bilo koji parametar oscilacije nositelja: kada se frekvencija promijeni, dobivamo relativni frekvencijski pomak (OFM), kada se promijeni amplituda, dobijemo relativni pomak amplitude (OAM). Delta modulacija, koju smo spomenuli u § 1.6 također je vrsta relativne manipulacije.

Razmotrimo spektre signala za neke vrste diskretne modulacije. Pretpostavit ćemo da se modulacija izvodi binarnom porukom u(t), što je periodični slijed pravokutnih impulsa s periodom.

Tipkanje s pomakom amplitude. AM signal se može snimiti kao

gdje je periodična funkcija u(t) na intervalu je jednak:

(3.33)

Zamisliti u(t) blizu Fouriera

(3.34)

Tada će AM signal biti zapisan u formu

(3.35)

Riža. 3.5. Spektar signala s amplitudnim pomakom

Spektar AM signala, ucrtan pomoću f-lama (3.35), prikazan je na Sl. 3.5. Sastoji se od nosivog vala s amplitudom i dva bočna pojasa čije spektralne komponente imaju amplitude

(3.36)

Opseg spektra diskretnog AM signala izražava se formulom

(3.37)

tj. radi se o frekvencijsko-pomaknutom spektru jednog impulsnog signala u(t).

Fazni pomak. FM signal se može napisati kao

Periodična funkcija koja određuje zakon promjene faze u intervalu izražava se formulom

(3.39)

Zamjena (3.39) u izraz (3.38) daje

Zamisliti u(t) blizu Fouriera

Tada će FM signal biti zapisan u obliku

(3.40)

Riža. 3.6. Spektri signala s pomakom faze

Spektar PM signala za različite vrijednosti faznih devijacija, izgrađen na temelju f-kristala (3.40), prikazan je na Sl. 3.6. Sastoji se od nosećeg vala i dva bočna pojasa. Amplituda vibracije nosioca ovisi o: a na = - prelazi u 0. Amplitude spektralnih komponenti u bočnim vrpcama također ovise o. S povećanjem od 0 do, kao što se može vidjeti na sl. 3.6, amplituda nosećeg vala se smanjuje na nulu, a amplitude bočnih frekvencija rastu.

Kada je = - sva energija PM signala sadržana je samo u bočnim pojasevima. Kao i kod AM, omotnica spektra diskretnog bočnog pojasa je frekvencijski pomaknut spektar jednog impulsnog signala u(t), pomnoženo grijehom:

(3.41)

Na sličan način određuje se i spektar signala s frekvencijskim pomakom.

3.4. Impulsno modulacijski signali

U komunikacijskim sustavima s impulsnom modulacijom, nositelj Informacije je periodični slijed impulsa istog oblika

(3.42)

gdje U(t) je normalizirana funkcija koja karakterizira oblik pulsa; A0 - amplituda pulsa; - početak prednjeg ruba k th puls ; - period ponavljanja pulsa; - podrijetlo niza; - trajanje k-th impuls, brojen na zadanoj razini.

3.7. Signali s različitim vrstama impulsne modulacije

Tijekom modulacije jedan od parametara sekvence mijenja se u skladu s odaslanom porukom (slika 3.7). Dakle, s amplitudno-pulsnom modulacijom (AIM), amplituda impulsa se mijenja O:

(3.43)

Riža. 3.8. Parametri periodičnog slijeda pravokutnih impulsa

Modulacija širine impulsa (PWM) mijenja širinu impulsa

(3.44)

gdje je maksimalno odstupanje fronte impulsa u jednom smjeru.

S pulsnom faznom modulacijom (PPM), pomak se mijenja

impulsa u odnosu na taktne točke .

S modulacijom pulsne frekvencije (PFM) u skladu sa

prenesena poruka mijenja brzinu ponavljanja pulsa.

Baš kao i kod PPM-a, impulsi se pomiču u odnosu na točke sata, ali na drugačiji način. Razlika između PPM i PFM slična je razlici između FM i FM sinusoidnog nositelja.

Periodični slijed pravokutnih impulsa

(slika 3.8) može se napisati na sljedeći način:

Takav slijed impulsa može se predstaviti Fourierovim nizom. U skladu s izrazima (2.67) i (2.68) imamo

,gdje ,

U našem slučaju

(3.47)

(3.48)

gdje

Spektar amplituda periodičnog niza pravokutnih impulsa prikazan je na Sl. 3.9. Amplitude spektralnih komponenti određene su vrijednostima modula spektralne gustoće | | (3.47) na harmonicima frekvencije ponavljanja . Oblik omotača frekvencijskog spektra periodične sekvence određen je oblikom pojedinog impulsa. S povećanjem razdoblja ponavljanja, frekvencijski interval između susjednih spektralnih komponenti se smanjuje, njihov broj raste, a amplituda svake komponente se smanjuje uz održavanje konstantnog omjera između njih. Uz neograničeno povećanje, periodični slijed se degenerira u jedan impuls, a linijski spektar postaje kontinuiran.

Riža. 3.9. Spektar periodičnog slijeda pravokutnih impulsa

Spektar periodičnog slijeda radio impulsa dobiva se iz spektra slijeda video impulsa prijenosom frekvencijske skale na noseću frekvenciju i nadopunjavanjem dobivenog spektra njegovom zrcalnom slikom.

Tijekom modulacije, parametri uključeni u izraze (3.46) i (3.48) su funkcije vremena: . Modulirani slijed predstavljat će sada neperiodičnu funkciju, deformiranu u odnosu na izvornu:

ili prema (3.48)

Rezultirajuća formula određuje frekvencijski spektar deformiranog niza impulsa. Za dobivanje spektra signala s različitim vrstama modulacije potrebno je u f-lu (3.50) zamijeniti odgovarajući izraz za modulirani parametar.

Na primjer, pronađimo spektar za AMI. S jednotonskom modulacijom u(t)= sinΩ(t) i A= A0 (1+ msinΩt); ostali parametri slijeda su nepromijenjeni:

Nakon zamjene ovih vrijednosti u (3.50) i jednostavnih trigonometrijskih transformacija za frekvencijski spektar AIM signala, dobivamo

Na sl. 3.10 prikazuje graf spektra PIM signala. Uspoređujući ga sa sl. 3.9 pokazuje da AMP amplitudno modulira svaku komponentu spektra nemoduliranog niza impulsa kao izolirani "nosač". Spektar sadrži modulirajuću poruku niske frekvencije u(t) s frekvencijom Ω, stoga se demodulacija s AMP-om može provesti pomoću niskopropusnog filtra koji propušta niskofrekventne oscilacije u(t).

Spektar za druge vrste impulsne modulacije određuje se na sličan način. Za izračunavanje spektra za PPM u (3.50) potrebno je zamijeniti izraz (3.45) koji određuje promjenu položaja impulsa u skladu s odaslanom porukom, a za PWM izraz (3.44) koji određuje promjenu u trajanje pulsa.

Kod modulacije impulsnog koda (PCM) prijenos pojedinačnih vrijednosti signala svodi se na prijenos određenih skupina impulsa. Ove grupe se prenose jedna za drugom u relativno dugim intervalima u usporedbi s trajanjem pojedinačnih impulsa. Svaka kodna skupina impulsa je redoviti neperiodični signal, čiji se spektar može izračunati na temelju Fourierovih transformacija na uobičajeni način.

Riža. 3.10. Spektar PIM signala

Širina spektra slijeda impulsa praktički je neovisna o frekvenciji ponavljanja i uglavnom je određena širinom spektra jednog impulsa. U prisutnosti bilo koje vrste modulacije, spektar se lagano širi zbog bočnih frekvencija ekstremnih komponenti spektra nemoduliranih impulsa. Stoga je radni frekvencijski pojas koji zauzimaju impulsni signali praktički neovisan o vrsti modulacije i određen je trajanjem i oblikom impulsa.

3.5. Energetski spektar moduliranih signala

Do sada smo razmatrali modulaciju oscilacije nosioca determinističkim procesom u(t), koji prikazuje određenu poruku ili njezinu zasebnu implementaciju. Skup mogućih poruka je određeni slučajni proces. Dakle, kod prijenosa govora ili glazbe, statistička svojstva poslanih poruka vrlo su bliska svojstvima normalnog slučajnog procesa. Najvažnije karakteristike titranja modulirane slučajnim procesom su korelacijske funkcije i energetski spektar.

Valja naglasiti da je modulirani signal nestacionaran slučajni proces čak i kada su modulirajući procesi (poruke) stacionarni. Energetski spektar nestacionarnog slučajnog procesa određen je dvostrukim usrednjavanjem - kroz skup i kroz vrijeme. Najprije se određuje vremenski prosječna korelacija, a zatim se inverznom Fourierovom transformacijom određuje željeni energetski spektar.

Razmotrimo slučaj kada se prenosi poruka u(t) je stacionarni proces sa u(t)=0, a nosilac je harmonijska vibracija.

S amplitudnom modulacijom

s(t) = A0 cos ω 0 t,

gdje je m srednja kvadratna vrijednost faktora modulacije. Korelacijska funkcija moduliranog signala

gdje Bu(t) - korelacijske funkcije odaslane poruke u(t). Kao što vidite, funkcija B(t, τ) ovisi o vremenu, što ukazuje na nestacionarnost moduliranog signala. Nakon prosjeka tijekom vremena, dobivamo

Primjenjujući se na V(τ) Fourierova transformacija (2.84), nalazimo energetski spektar signala na AM

Dakle, spektar amplitudno modulirane harmonijske oscilacije nasumičnim procesom sastoji se od oscilacije nosioca frekvencije i odaslane poruke pomaknute u spektar u(t).

Signal kutne modulacije (FM i PM) može se zapisati u općem obliku

s(t) = A0 cos ,

Sa FM-om, i sa FM-om . Ovdje su i srednje kvadratne vrijednosti odstupanja faze i frekvencije, respektivno.

Korelacijska funkcija moduliranog signala

Kada se u prosjeku tijekom vremena, prvi član postaje nula. Drugi termin je neovisan o vremenu t Zato

Označimo razliku i, prema poznatoj formuli, predstavljamo kosinus zbroja dvaju kutova u obliku

Zadane prosječne vrijednosti kosinusa i sinusa mogu se pronaći ako je poznata distribucija vjerojatnosti poruke u(t). Ako u(t) pokorava se normalnom zakonu, dakle, koji je linearna transformacija iz u(t), također će imati normalnu distribuciju s nultom srednjom vrijednosti i nultom varijansom. Lako je vidjeti da u ovom slučaju:

Dakle, vremenski prosječna funkcija korelacije signala za kutnu modulaciju

(3.54)

Varijanca procesa može se izraziti u terminima korelacijske funkcije ili energetskog spektra poruke u(t). Stvarno.

gdje je korelacijska funkcija procesa . Jer, dakle ; na FM, gdje , Zato ... Zatim možete odrediti energetski spektar moduliranog signala pomoću Fourierove transformacije (2.81) funkcije (3.54).

3.6. Modulacija nosača šuma

Kao nositelj se mogu koristiti ne samo periodične oscilacije, već i uskopojasni slučajni proces. Takvi vektori nalaze i praktičnu primjenu. Na primjer, u optičkim komunikacijskim sustavima koji koriste nekoherentno zračenje, signal je u biti uskopojasni Gaussov šum.

Prema (2.36), uskopojasni slučajni proces može se predstaviti kao kvaziharmonička oscilacija

sa sporom mijenjanjem ovojnice i faze . S amplitudnom modulacijom u skladu s odaslanom porukom, omotnica se mijenja U(t), s faznom modulacijom - faza a po frekvenciji - trenutna frekvencija.

Razmotrimo amplitudnu modulaciju nosača šuma. U ovom slučaju, izraz za modulirani nosilac može se zapisati kao

y(t) = f(t), (3.57)

gdje f(t) - nosač, u(t) - modulirajuća funkcija (video signal), m- faktor modulacije.

Pretpostavlja se da je modulacijski proces u(t) je također stacionarni normalan proces sa srednjom vrijednošću nula u(t) = 0. Procesi f(t) i u(t) neovisna. Pod ovim ograničenjima, korelacijska funkcija amplitudno moduliranog nosača šuma bit će

Sada nalazimo energetski spektar

Prvi integral daje energetski spektar nosača šuma. Za drugi integral, na temelju teorema o spektru produkta, imamo

Konačno, spektar moduliranog nosioca bit će:

Dakle, spektar amplitudno moduliranog nosača šuma dobiva se superpozicijom spektra nositelja i konvolucijom tog spektra sa spektrom odaslane poruke, pomaknut u visokofrekventno područje za određeni iznos. Korelacijska funkcija i energija spektri za PM i FM su na sličan način određeni.

Korištenje "šumnih" signala može smanjiti učinak blijeđenja u kanalima s višestaznim širenjem radio valova. Objasnimo to jednostavnim primjerom. Neka signali dva snopa stignu na ulaz prijemnika i sa pomakom τ ... vrijeme t. Snaga rezultirajućeg signala, određena tijekom dovoljno dugog vremena T,

gdje je funkcija korelacije signala, P0- njegova prosječna snaga. Funkcija korelacije šuma brzo se smanjuje s povećanjem m i što je brža što je širi njen spektar. Posljedično, za dovoljno veliku širinu spektra možemo pretpostaviti 0 i , odnosno prosječna snaga primljenog signala, unatoč blijeđenju, ostaje približno konstantna.

3.7. Signali nalik šumu

Korištenje realnih realizacija šuma kao nositelja povezano je s određenim poteškoćama koje nastaju u formiranju i prijemu takvih signala. Stoga su u praksi signali nalik šumu našli primjenu. Ovi signali nisu slučajni. Formiraju se prema određenom algoritmu. Međutim, njihova su statistička svojstva bliska svojstvima šuma: energetski spektar je gotovo ujednačen, a korelacijske funkcije imaju uski glavni vrh i male bočne odstupanja. Signali nalik šumu i šumovi su širokopojasni signali. (TF>>1).

Trenutno su poznate metode za formiranje signala nalik šumu, koji s velikom bazom 2 TF omogućuju njihovu neovisnu reprodukciju na krajevima za prijem i odašiljanje i ispunjavaju zahtjeve za sinkronizaciju tih signala.

Široko se koriste diskretni signali koji se konstruiraju na sljedeći način. Informativna poruka s trajanjem T razbija u N binarni elementi s trajanjem (slika 3.11). Ova podjela omogućuje dobivanje signala s trajanjem T s prugom - i bazna vrijednost 2 TF. Nizovi binarnih elemenata tvore kodove koji su odabrani da daju specificirana svojstva signala. Uz pomoć modulacije ili heterodiniranja nastaje visokofrekventni signal koji se prenosi preko kanala. U ovom slučaju, fazna modulacija se često koristi u dva položaja: 0 i π

Korelacijska funkcija diskretnih signala s dovoljno velikom vrijednošću broja elemenata N ima glavni maksimum, koncentriran u regiji, i bočne režnjeve, koji imaju relativno nisku razinu (slika 3.11). Ova funkcija jako nalikuje autokorelacijskoj funkciji segmenta šuma s trakom. F. Odatle dolazi naziv signali slični šumu.

U komunikacijskim sustavima koji koriste šumove (kompozitne) signale, svaki element poruke ne prenosi jedan, već više signalnih elemenata koji nose (ponavljaju) istu informaciju. Broj N može doseći nekoliko stotina ili čak tisuća. Kao što će se kasnije pokazati, to omogućuje provedbu akumulacije signala, što osigurava visoku otpornost na buku čak iu slučaju kada je razina signala ispod razine šuma.

Riža. 3.11. Princip izgradnje složenog širokopojasnog signala

Opsežna klasa diskretnih signala izgrađena je na temelju linearnih rekurentnih sekvenci. Ovi signali imaju dobra svojstva korelacije i relativno ih je lako implementirati u praksi. Struktura signala je nasumična, iako je način na koji se generiraju prilično pravilan. Kontinuirani PM signali temeljeni na ponavljajućim sekvencama mogu imati gotovo savršenu autokorelaciju.

Među linearnim rekurentnim nizovima posebno mjesto zauzimaju pseudoslučajni M-Huffmanove sekvence. Predstavljaju kolekciju N likovi koji se povremeno ponavljaju , od kojih svaka može imati jednu od dvije vrijednosti: +1 ili -1. Ova je vrijednost određena umnoškom vrijednosti dvaju ili više (ali uvijek parnih) prethodnih signala uzetih s suprotnim predznakom.

i . Gotovo svaki cijeli broj P odgovara više brojeva k, pod kojim se prema pravilu (3.60) formira niz.

Iz izraza (3.63) proizlazi da je broj N je maksimalni period beskonačnog Huffmanovog niza. Mogu se formirati i nizovi kraćeg razdoblja. Maksimalni broj različitih sekvenci maksimalnog razdoblja za bilo koji P jednako:

(3.64)

gdje je Eulerova funkcija.

Binarni pseudoslučajni Huffmanovi nizovi imaju niz izvanrednih svojstava. Normalizirana autokorelacija u kontinuiranom radu ima glavni maksimum jednak jedan, a bočne režnjeve jednake veličine, jednake . Funkcija unakrsne korelacije za različite sekvence je - 1M. U impulsnom načinu rada, razina bočnih režnjeva ne prelazi vrijednost . Različiti nizovi za dati P razlikuju se kako po redoslijedu izmjenjivanja simbola +1 i -1, tako i po maksimalnoj vrijednosti bočnih režnjeva. U tom slučaju možete odrediti slijed u kojem će maksimalna razina bočnih režnjeva biti najmanja među mogućim sekvencama za danu P. Generiranje pseudo-slučajnih Huffmanovih sekvenci relativno je jednostavno s pomačnim registrima.

Osim Huffmanovih signala, u praksi se koriste i druge vrste diskretnih signala. Možete odrediti PaleyPlotkin signale, niz Legendre simbola, Barkerove kodove, Frankove polifazne kodove. Konačno, moguće su različite varijante kompozitnih signala.

U radaru se široko koriste signali s linearnom promjenom frekvencije unutar impulsa (čirp). To se objašnjava činjenicom. da chirp signali imaju dobra svojstva korelacije i da se mogu lako primiti korištenjem usklađenih filtara.

Signal sličan šumu može se podvrgnuti svim poznatim tehnikama modulacije. S amplitudnom modulacijom mijenjaju se amplitude svih njegovih elemenata. Kod frekvencijske modulacije varijante signala se razlikuju po prosječnoj frekvenciji, kod fazne modulacije po razlici faza između elemenata dviju parcela.

Posebna vrsta modulacije, svojstvena samo širokopojasnim komunikacijskim sustavima, je strukturna modulacija ili modulacija valnog oblika. U ovom slučaju kao varijante signala koriste se oscilacije konstruirane od identičnih elemenata, ali s različitim međusobnim rasporedom tih elemenata. Na primjer, binarni prijenos može se obaviti pomoću signala oblika:

Višepozicijski širokopojasni sustavi sa strukturnom modulacijom konstruirani su na sličan način. U ovom slučaju koristi se skup signala sličnih šumu . U ovom slučaju, naravno, razlika između ovih signala trebala bi biti dovoljna da ih razdvoji pri prijemu. S ove točke gledišta, suprotni i ortogonalni signali su od velikog interesa.

Pregledajte pitanja

1. Nacrtajte vektorske dijagrame AM i FM signala.

2. Odredite prosječnu snagu AM signala.

3. Koja je vrsta modulacije minimalna širina spektra signala? Čemu je jednak? Kolika je širina pojasa FM signala?

4. Navedite glavne vrste diskretne modulacije. Objasnite princip OFM-a.

5. Dokazati da se spektar signala za fazni pomak signala ne razlikuje od spektra signala za uravnoteženu modulaciju.

6. Navedite glavne vrste impulsne modulacije. Objasnite njihov princip.

7. Što u osnovi određuje širinu spektra signala u impulsnoj modulaciji?

8. Objasniti princip modulacije nosača šuma.

9. Iscrtajte pomak spektra za šum i harmonijske nositelje.

10. Objasniti princip konstruiranja diskretnih signala sličnih šumu. Navedite primjere.

11. Je li diskretni pseudoslučajni niz slučajan proces? Po čemu je sličan buci?

12. Kako se provodi modulacija signala sličnih šumu?

Filtriranje signala na pozadini smetnji.

1. Zadaci i metode filtracije

Električni filtar je pasivni bipolarni uređaj koji prenosi električne signale određenog frekvencijskog pojasa bez značajnog slabljenja ili s pojačanjem, te oscilacije izvan tog frekvencijskog pojasa s velikim slabljenjem. Takvi se uređaji koriste za izolaciju korisnih signala iz pozadine smetnji. Problem filtriranja je formuliran na sljedeći način.

Ako mješavina signala i šuma uđe na ulaz linijskog filtra

problem je kako najbolje izolirati signal iz ove smjese, t.j. kako stvoriti optimalan filter. Poznate su statičke karakteristike (tj. spektra ili korelacijske funkcije)

funkcija x (t), koja je mješavina signala i šuma. Željena funkcija je periodična funkcija optimalnog filtra.

Problem optimalnog filtriranja rješava se na različite načine, ovisno o značenju koje je ugrađeno u koncept optimalnosti. Razmotrimo tri najvažnija slučaja optimalnog filtriranja.

1. Valni oblik je poznat. Filter je potreban samo za spremanje primljene poruke zatvorene u signalu, tj. nije potrebno očuvanje informacijskog parametra signala neiskrivljenog smetnjama i očuvanje oblika. Takav zadatak može se postaviti kod filtriranja signala čiji je oblik poznat na prijemnoj strani (na primjer, detekcija signala u radiotelegrafiji i radaru). U ovom slučaju filter se naziva optimalnim ako je u određenom trenutku vremena t 0 na njegovom izlazu osiguran maksimalni omjer signala i efektivne vrijednosti napona šuma. Takav filtar može biti integrator, budući da je riječ o tipičnoj vrijednosti korisnog signala. Pritom bi trebao bolje proći one frekvencije na kojima je intenzitet spektralnih komponenti signala veći, a intenzitet smetnji manji.

Za prijenosnu funkciju samo optimalnog filtra, teorija daje sljedeće izraze:

(2)

gdje je a neka konstanta;

- vrijednost, kompleksno konjugirana s amplitudnim spektrom signala;

Spektar snage interferencije.

U slučaju interferencije s ujednačenim spektrom, posebna karakteristika optimalnog filtra, do konstantnog faktora, poklapa se s amplitudnim spektrom signala:

Otuda i specifičan naziv takvih optimalnih filtara - usklađeni filtri (tj. usklađeni sa signalom).

Na primjer, pri primanju signala u obliku prijenosnog ponavljajućeg impulsa, od kojih se svaki spektar sastoji od zasebnih uskih pojasa (vidi sliku), filtar mora proći samo ove trake.

Signal koji se razmatra proći će kroz takav filtar bez izobličenja, a snaga smetnje će se smanjiti, budući da sastojat će se od snaga samo onih spektralnih komponenti interferencije koje spadaju u pojas prozirnosti filtera. Takav filtar za primanje nizova impulsa naziva se češljasti filter. Njegova uporaba dovodi do većeg povećanja viška signala nad šumom, što je širina pojasa filtra uža. Zauzvrat, pojasevi prozirnosti mogu biti uži, što se karakter slijeda više približava periodičnom zakonu (u ovom slučaju, spektralni pojasevi se pretvaraju u linije). Ali pristup periodičnom signalu, t.j. dovoljno je njegovo višestruko ponavljanje, što je ekvivalentno povećanju trajanja signala. Dakle, usklađeno filtriranje povećava otpornost na buku, takoreći, povećavajući trajanje korisnog signala.

2. Valni oblik je nepoznat, a za spremanje je potreban filtar. Na primjer, filtriranje nakon detektora trebalo bi osigurati najbolju reprodukciju na pozadini šuma ne jednog ili više parametara signala, već cijelog signala S (t). U ovom slučaju je zgodno uzeti korijensku srednju kvadratnu pogrešku kao kriterij optimalnosti (točnost reprodukcije signala), t.j. srednji kvadrat odstupanja reproduciranog signala od periodičnog. ako su signal i šum neovisni i stacionarni slučajni procesi, tada je frekvencijski odziv takvog optimalnog filtra, koji osigurava minimalnu srednju kvadratnu pogrešku, određen spektrom snage signala Ç  i interferencijom G P .

(4)

Filter prigušuje one spektralne komponente na koje smetnje više utječu, a za koje je omjer G P  / P C  A veći na onim frekvencijama gdje nema smetnji G P 

3. Izolacija dugotrajnog periodičnog signala iz njegove mješavine s interferencijom može se provesti proučavanjem korelacijske funkcije ove smjese. Korelacijski filtar koji izvodi takvu studiju sadrži sklopnu jedinicu i jedinicu za usrednjavanje (integrator).

Kod međukorelacijskog filtriranja, kada filtar, koji ima uzorak signala, određuje međukorelaciju između primljene smjese X (t) i uzorka signala S (t) (u ovom slučaju govorimo samo o činjenici da prisutnost signala):

Ako su signal i šum nekorelirani, tada će napon ukazati na prisutnost signala u smjesi.

Autokorelacijski filtar koristi se kada određene informacije o valnim oblicima nisu dostupne. Filtar u ovom slučaju određuje autokorelacijsku funkciju smjese:

Ako ne postoji korelacija između signala i šuma, posljednja dva pojma će nestati. Što se tiče preostala dva pojma, prvi od njih može imati značajke periodičnosti, budući da je autokorelacijska funkcija signala bliska periodičnoj, a druga se pretvara u nulu ako je pomak  veći od intervala interferencije korelacije  P. Dakle, s dovoljno velikim pomakom  i vremenom prosječenja T, prisutnost napona K C. C () na izlazu korelatora ukazuje na prisutnost periodičnog signala u smjesi.

Međutim, stvarni komunikacijski signali nisu periodični i ograničeni su na određeno trajanje  s. Posljedično, na  c, autokorelacija signala postaje jednaka nuli (vidi sliku). S druge strane, interval korelacije interferencije  P raste što je više interferencijalni spektar u filteru podvrgnut ograničenju, budući da smetnje poprima karakter periodičnosti. Uz optimalno filtriranje do korelometra,  P može premašiti  s i korelacijsko filtriranje neće imati učinka.

Dakle, autokorelacijsko filtriranje je učinkovito samo ako je  c>  P, t.j. sa širokim pojasom filtarskih krugova i dovoljno dugim signalima. Povećanje otpornosti signala na šum u smislu trajanja u odnosu na šum.

2. Usklađeno filtriranje zadanog signala

2.1. Metoda analize.

Za problem detekcije signala u šumu najrašireniji kriterij je maksimalni omjer signala i šuma (smetnje) na izlazu filtra. Filtri koji zadovoljavaju ovaj kriterij nazivaju se upareni.

Zahtjevi za filtar koji maksimizira omjer signala i šuma mogu se formulirati na sljedeći način. Neka se aditivna mješavina signala dovede na ulaz filtera. S (t) i šum Signal je potpuno poznat. To znači da su njegov oblik i položaj na vremenskoj osi postavljeni. Šum je probabilistički proces s određenim statističkim karakteristikama. Potrebno je dizajnirati filtar koji osigurava najveći mogući omjer šuma na izlazu. U ovom slučaju nije postavljen uvjet za održavanje valnog oblika, budući da za otkrivanje buke oblik nije bitan.

Da bismo razumjeli bit usklađenog filtriranja, prvo ćemo razmotriti najjednostavniji slučaj, kada na ulazu filtra s ujednačenim frekvencijskim odzivom postoji samo jedan koristan signal S (t) s poznatim spektrom. Potrebno je pronaći fazni odziv filtra koji maksimizira vrstu signala na izlazu filtra. Ova formulacija problema je ekvivalentna problemu maksimiziranja vrha signala pri danoj energiji ulaznog signala, budući da spektralna gustoća S () u potpunosti određuje njegovu energiju i ne mijenja se s filtrom, a svaka promjena u faznim odnosima u spektar ne mijenja energiju signala tim više. Jednakost S in (ω) = S out (ω) znači da, t.j. ≠ K (ω).

Izlazni signal predstavimo kao:

(4)

gdje - prijenosna funkcija (5) mreže s četiri priključka sa željenim faznim odzivom i ujednačenim frekvencijskim odzivom K 0 = konst.

Na ovaj način

(6)

Na temelju očite nejednakosti

(7)

a s obzirom na to , možemo sastaviti sljedeću nejednakost:

(8)

Ova nejednakost određuje gornju granicu trenutne vrijednosti titranja S OUT (t) za zadani spektar ulaznog signala. Maksimiziranje vrha izlazne oscilacije dobiva se pretvaranjem nejednadžbe (8) u jednakost, a za to je potrebno, kako slijedi iz usporedbe izraza (6) i (8), osigurati određeni odnos između fazne karakteristike filtera  do () i fazne karakteristike spektra  s () ulaznog signala.

Pretpostavimo da izlazni signal doseže svoj maksimum u trenutku t 0 (još nedefinirano). Tada izraz (6) daje

a uvjet da nejednakost (8) postane jednakost svodi se na sljedeće:

Taj se odnos naziva uvjetom za kompenzaciju početnih faza u spektru signala, budući da prvi član s desne strane (10) kompenzira faznu karakteristiku  s () ulaznog spektra S (j). Kao rezultat prolaska signala kroz filtar s faznom karakteristikom  do (), zbrajanjem svih fazno ispravljenih komponenti spektra formira se vrh izlaznog signala u trenutku t = t 0.

Relacija (11) pokazuje da samo uz linearnu faznu karakteristiku S out ima vrh, budući da cosnw 1 (t-t 0) = 1 pri t = 0

Vidi se odnos između fazne karakteristike  s (), njezine kompenzacijske karakteristike [- s ()] i ukupne fazne karakteristike filtra  k () = - [ s () + wt 0] sa sljedeće slike. Nakon prolaska kroz filtar, spektar izlaznog signala će imati faznu karakteristiku.

Nelinearnost fazne karakteristike φ s znači da su harmonici odgođeni na različite načine i stoga ne mogu formirati max u trenutku t 0. Uz linearnu faznu karakteristiku u trenutku t 0, svi harmonici imaju istu fazu, budući da harmonijska funkcija Cosnw 1 (t-t 0), pri t = t 0, uvijek postaje jedna.

Budući da formiranje pika zahtijeva korištenje cijele energije signala, a to je moguće ne prije kraja ulaznog signala, kašnjenje t 0 ne može biti manje od punog trajanja signala.

Uvedimo sada šum na ulazu filtera. Uz ujednačen energetski spektar interferencije (bijeli šum) W () = W 0 = const - filtar s ujednačenim frekvencijskim odzivom je neprimjenjiv, jer snaga smetnje na izlazu doseže vrlo visoku vrijednost.

1. Uvodne napomene

2. Modeli signala i smetnji

Bibliografski popis

1. Uvodne napomene

U procesu primanja signala na ulaz prijamnog uređaja dolazi ili mješavina signala i smetnji, ili smetnje. Optimalni prijemni uređaj koji detektuje u početnoj fazi obrade trebao bi donijeti najbolju odluku o primljenom signalu, tj. odrediti je li signal prisutan ili ne, koja je vrsta signala prisutna (u drugoj fazi obrade), procijeniti vrijednost jednog ili drugog parametra (amplituda, trajanje, vrijeme dolaska, smjer dolaska itd.). Formulirani problem može se riješiti a priori nepoznatim modelima signala i šuma, s nepoznatim (interferentnim) parametrima ili nepoznatim distribucijama signala i šuma. Glavni cilj je sintetizirati optimalnu strukturu prijamnog uređaja. Sintetizirana struktura je najčešće praktički neostvariva, ali je njezina učinkovitost potencijalna i daje gornju granicu učinkovitosti bilo koje praktički realizljive strukture.

Optimalni postupci obrade signala i šuma mogu se sintetizirati korištenjem različitih metoda optimizacije:

1. Korištenje teorije korelacije:

a) kriterij za maksimalni omjer signala i šuma;

b) kriterij za minimum srednje kvadratne pogreške.

2. Korištenje teorije informacija za maksimiziranje propusnosti sustava. Glavni fokus je na izgradnji najboljih metoda kodiranja.

Primjena teorije statističkih odluka.

Problem optimizacije može se riješiti samo ako postoji kriterij koji postavlja programer sustava.

Za korištenje teorije statističkih odluka u sintezi optimalnih prijamnih uređaja potrebno je imati matematičke modele signala i šuma. Ovi modeli trebaju uključivati ​​opis valnog oblika (ako je poznat). Statističke karakteristike i priroda interakcije signala i interferencije do n-dimenzionalne gustoće vjerojatnosti.

Teorija statističkih odluka ima sljedeće komponente:

1) teorija testiranja statističkih hipoteza:

a) dvoalternativni zadaci otkrivanja ili prepoznavanja signala;

b) višealternativni zadaci kod razlikovanja mnogih signala na pozadini smetnji;

2) teorija procjene parametara, ako ti parametri čine prebrojiv skup;

3) teorija ocjenjivanja procesa koji se mora odvojiti od ulazne smjese s minimalnom pogreškom.

Formulacija problema sinteze optimalnog prijamnog uređaja i njegovo rješenje bitno ovise o količini apriornih (predeksperimentalnih) informacija o karakteristikama signala i smetnji. Prema količini apriornih podataka, razlikuju se problemi s potpunom apriornom sigurnošću (deterministički signal i šum s potpuno poznatim probabilističkim karakteristikama), s djelomičnom apriornom sigurnošću (postoje poznati parametri signala i šuma) i s apriornom nesigurnošću (samo poznati su neki podaci o klasama signala i šuma). Treba napomenuti da učinkovitost razvijenih detektora i mjerača parametara značajno ovisi o količini apriornih informacija.

Treba napomenuti da ako se ništa ne zna o signalima i šumovima (informacije o njima su potpuno odsutne), onda se takav problem ne može riješiti.

2. Modeli signala i smetnji

Signal je proces koji se koristi za prenošenje informacije ili poruke. Ostali procesi koje opaža prijemni uređaj zajedno sa signalom su smetnje.

Signali su klasificirani prema količini a priori informacija:

a) deterministički signali (ne-slučajni);

b) deterministički signali valnog oblika sa slučajnim parametrima (kvazi-slučajni);

c) pseudo-slučajni signali nalik šumu (po svojstvima su slični slučajnim procesima, ali se generiraju na deterministički način i potpuno se ponavljaju tijekom reprodukcije);

d) slučajni signali.

Ovisno o prirodi promjene vremena, signali se dijele na diskretne i kontinuirane. Diskretni signali se koriste u digitalnim uređajima, u radaru. Kontinuirano (kontinuirano) - u telefoniji, radiodifuziji, televiziji itd. Nedavno se diskretni signali koriste u digitalnom televizijskom i radijskom emitiranju.

Svaki signal može se okarakterizirati stupnjem složenosti ovisno o vrijednosti, koja se naziva baza signala: B = F ∙ T, gdje je F efektivna širina spektra signala; T je efektivno trajanje signala. Ako je B »1, tada se signal naziva jednostavnim signalom, kada je B >> 1 - složenim signalom. Složeni signali se dobivaju iz skupa jednostavnih signala ili modulacijom. Šum i signali slični šumu mogu se klasificirati kao složeni signali. Za takve signale, gdje je T efektivno trajanje signala (kada je signal po energiji ekvivalentan signalu pravokutnog oblika); Je korelacijski interval procesa.

U različitim sustavima u pravilu se emitiraju radio signali koji se razlikuju po vrsti modulacije: amplitudno modulirani, frekvencijski modulirani, fazno modulirani, signali s vrstama impulsne modulacije; manipuliranim (u amplitudi, frekvenciji, fazi i kombiniranim) signalima.

Kod radara se najčešće emitira niz radio impulsa.

Pojednostavljena struktura radara prikazana je na Sl. 1, gdje se koriste sljedeće oznake: RPU - radioprijenosni uređaj; RPrU - radio prijamni uređaj; AP - antenski prekidač; s0 (t) - sondirajući signal; s (t) - reflektirani signal; A - antena; O - otkriveni objekt; V je brzina skeniranja antene. Prostor je ozračen periodičnim zvučnim signalom.

Puls se reflektira od cilja i vraća se sa zakašnjenjem na radarsku antenu. Kašnjenje je određeno udaljenosti između radara i objekta. Intenzitet reflektiranog signala ovisi o efektivnoj površini raspršenja (ESR) objekta i uvjetima širenja radio signala. U radaru se isti antenski sustav koristi za prijenos i primanje signala. Intenzitet zračenja objekta ovisi o obliku dijagrama zračenja antene i kutu između smjera prema objektu i smjera maksimalne usmjerenosti. Prilikom skeniranja antenskog sustava (mehanička ili elektronička rotacija uzorka zračenja), ovojnica reflektiranog signalnog niza impulsa ponavlja oblik uzorka zračenja (slika 1.). U načinu praćenja objekta omotnica pulsnog niza može imati pravokutni oblik.

Tijekom snimanja vrijeme ekspozicije je ograničeno, a primljeni signal je vremenski ograničeni rafal radio impulsa. Modulacija amplitude impulsa u praskanju određena je ne samo oblikom uzorka zračenja, već i brzinom V istraživanja; o tome ovisi i broj impulsa u prasku. Obično je ovojnica praska deterministička funkcija, budući da su poznati uzorak smjera i brzina gledanja.

Kašnjenje reflektiranog signala ovisi o udaljenosti r do objekta -, gdje je c brzina širenja radio vala u prostoru. Tijekom širenja, signal se slabi u odnosu na emitirani 106 - 1010 puta u naponu. Osim toga, promjena kuta između smjera maksimuma dijagrama zračenja antene i objekta i rotacije objekta tijekom vremena zračenja dovodi do nasumičnih promjena amplitude primljenih signalnih impulsa. Zbog radijalne brzine objekta Vr mijenja se i frekvencija reflektiranog signala (Dopplerov efekt), dok se frekvencija titranja nosioca povećava. Mijenjaju se parametri signala u komunikacijskom kanalu i na ulaznim stazama prijamnog sustava.

Kada se signal reflektira od objekta, mijenja se polarizacija upadnog vala. Ove promjene ovise o obliku objekta i mogu se koristiti za prepoznavanje objekata.

Teško je konstruirati signalni model koji bi uzeo u obzir sve te utjecaje i promjene, stoga se u obzir uzima samo dio razmatranih promjena.

Osnovni modeli signala

a) Deterministički signal:

Poznati su svi parametri signala: amplituda A, zakon njegove promjene u vremenu S0 (t), frekvencija w0 i zakon promjene početne faze u vremenu, t.j. ovojnica S (t) i faza su determinističke funkcije vremena.

b) Pojedinačni signal s slučajnom amplitudom i fazom

gdje su A, j, t slučajni parametri.

Slučajni parametri dati su gustoćama vjerojatnosti. Za raspodjelu amplituda A najčešće se pretpostavlja da je Rayleighova

,

gdje je s2 varijanca amplitudnih fluktuacija.

Početna faza j i kašnjenje t jednako su raspoređeni, t.j.

gdje je T razdoblje otkrivanja određeno najvećim nedvosmislenim dometom radara.

Funkcije s0 (t) i su deterministicke.

Za pokretne objekte lokacije, Dopplerov pomak se dodaje nosećoj frekvenciji w0 , gdje je slučajna varijabla, čiji predznak ovisi o smjeru kretanja objekta u radijalnom smjeru u odnosu na radar.

c) Nefluktuirajući nalet radio impulsa

gdje ; funkcija H2 (t) je funkcija zbog oblika uzorka zračenja (slika 2b); T0 je period ponavljanja impulsa u paketu; K = konst.

d) Fluktuirajući niz impulsa:

- prijateljski fluktuirajući burst - amplitude radio impulsa u rafalu su nepromijenjene, ali se mijenjaju bez obzira od praska do praska, što odgovara sporoj promjeni EPR-a reflektirajućeg objekta u vremenu ili promjeni parametara širenja elektromagnetskog vala kanal itd. (sl. 2);

- brzo fluktuirajući burst - amplitude radio impulsa mijenjaju se u naletu od impulsa do impulsa neovisno (slika 3.).

Ovisno o prirodi promjene početne faze oscilacija od impulsa do impulsa, u prasku se razlikuju koherentni i nekoherentni rafali radio impulsa. Koherentni prasak može se formirati izrezivanjem impulsa iz kontinuiranog, stabilnog harmonijskog valnog oblika. Početne faze u ovom slučaju su ili iste u svim radio impulsima praska, ili se mijenjaju prema poznatom zakonu. Nekoherentni prasak sastoji se od radio impulsa s nezavisno promjenjivom početnom fazom.

Interferencija se dijeli na prirodne (neorganizirane) i umjetne (organizirane), unutarnje i vanjske.

Po načinu na koji nastaju, smetnje mogu biti pasivne i aktivne. Prirodne pasivne smetnje nastaju refleksijama od lokalnih objekata (u radaru) i zemljine površine, vegetacije itd.; refleksije od tragova meteora i atmosferskih nepravilnosti (u VHF radio komunikacijama).

Aktivne smetnje imaju neovisan izvor, dok su pasivne smetnje posljedica emisije sondirajućeg signala. Po prirodi promjene vremena, interferencija je fluktuirajuća (glatka) i impulzivna.

Smetnje mogu biti slučajni, šumoviti ili deterministički procesi. Od svih smetnji, bijeli (širokopojasni) šum s normalnom distribucijom ima najveći utjecaj na potisnuti radar, budući da ima najveći informacijski kapacitet.

Najčešće se kao modeli šuma koristi njihov opis pomoću statističkih karakteristika. Najpotpunija karakteristika je n-dimenzionalna gustoća vjerojatnosti. Međutim, u nekim posebnim, ali vrlo važnim slučajevima, interferencija se može okarakterizirati jednodimenzionalnim ili dvodimenzionalnim gustoćama vjerojatnosti.

Signali i smetnje mogu se prikazati u obliku nekih skupova u vremensko-frekvencijskom koordinatnom sustavu (slika 4).

Svaki signal ili smetnja zauzimaju određene segmente duž w i t osi, ovisno o frekvencijskom pojasu Dw i trajanju t. Što je više Dw i t, to su smetnje učinkovitije u smislu potiskivanja signala. Najbolja prepreka je bijeli šum, koji ispunjava cijelu w, t ravninu i ima najveća dezinformacijska svojstva. Ako je šum uskopojasni, tada zauzima ograničeno područje, budući da ima neujednačenu spektralnu gustoću snage. Ova se smetnja može eliminirati ponovnim podešavanjem noseće frekvencije w0 signala.

Za prostorno-vremenske signale i smetnje koriste se dodatne koordinate: elevacija i azimut. Tada izvori smetnji mogu biti usmjereni duž kutnih koordinata ili raspoređeni u određenim sektorima.

Geometrijski prikaz signala i interferencije povezan je s uvođenjem višedimenzionalnog prostora uzorka i široko se koristi u teoriji signala. Neka postoji realizacija x (t) slučajnog procesa X (t). U skladu s Kotelnikovim teoremom, ova se implementacija može predstaviti u obliku diskretnih uzoraka xi = x (iDt). Broj ovih uzoraka (pojedinačnih mjerenja) je N, zajedno čine uzorak X veličine N -, i je broj dimenzije u uzorku X. odgovaraju točki u ovom prostoru ili vektoru čiji kraj leži u ovom trenutku. Duljina vektora u danom prostoru može se predstaviti na sljedeći način:

.

Ta se vrijednost naziva vektorska norma u Euklidskom prostoru. U Hammingovom prostoru norma se izražava drugačije:

Ako i, tada u limitu prelazimo na beskonačan prostor u kojem je norma definirana na sljedeći način

.

Za stvarne procese i ima dimenziju veličine x.

Svi navedeni prostori su linearni, a za njih su definirane operacije zbrajanja elemenata skupa i množenja elementa brojem. Štoviše, obje ove operacije zadovoljavaju uvjete komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

Među linearnim prostorima mogu se razlikovati metrički prostori za koje postoji metrika, t.j. norma vektorske razlike koja je veća ili jednaka nuli. metrika (udaljenost) ima sljedeća svojstva:

a) ; b) ; v) ,

gdje su x, y, z elementi prostora.

Za euklidski konačno-dimenzionalni prostor -

,

za kontinuirani prostor slično

.

Važan je koncept točkastog proizvoda. Karakterizira projekciju jednog vektora na drugi i definira se na sljedeći način:

,

oni. zbroj proizvoda istoimenih projekcija vektora na koordinatne osi. U neprekidnom prostoru: , i skalarni proizvod uvijek ne više od umnožaka normi vektora (Schwarzova nejednakost).

Kut između vektora određuje se na sljedeći način

.

Ako normu definiramo u terminima skalarnog produkta, onda kažemo da je norma generirana skalarnim umnoškom, a prostor koji odgovara takvom umnošku naziva se Hilbert.

Uvedimo pojam slučajnog vektora. Slučajni vektor je vektor čije su koordinate slučajne varijable. Ovaj vektor ne zauzima nikakav fiksni položaj u prostoru uzoraka. Njegov kraj može biti u jednom ili drugom području prostora s poznatom vjerojatnošću, koja se može izračunati, poznavajući zajedničku distribuciju slučajnih varijabli. Kraj vektora se ne može zamisliti kao određena točka, već kao oblak čija promjenjiva gustoća izražava vjerojatnost pronalaženja kraja vektora u danom elementu volumena prostora. Geometrijski, ovaj oblak je prikazan kao hipersfera u n-dimenzionalnom prostoru (slika 5).

Elementarni volumen u prostoru uzoraka ... Vjerojatnost pada kraja vektora u ovaj volumen bit će jednaka

gdje je gustoća vjerojatnosti slučajnog procesa X (t).

Ako hipersfera ima dimenzije W, tada točka koja pogađa ovu hipersferu odgovara vjerojatnosti

gdje - projekcija hipersfere W na koordinatnu os sustava.

Ovaj izraz se može napisati u vektorskom obliku

.

Ako se raspodijeli prema normalnom zakonu s istom varijansom svake njihove neovisne komponente, tada je vjerojatnost ulaska u elementarni volumen prostora uzorka

,

gdje je udaljenost od ishodišta koordinatnog sustava do elementa.

U ovom slučaju oblak je sfernog oblika. Pri različitim disperzijama, oblak se rasteže duž onih osi koje odgovaraju pojedinačnim mjerenjima s većom disperzijom.

Ako su dana dva slučajna procesa x i h, tada kosinus kuta između njihovih vektora odgovara normaliziranom koeficijentu međukorelacije. Geometrijski, karakterizira projekciju jednog jediničnog vektora na drugi. Ako je x = h, onda - linearni odnos, ako su okomiti, onda - pokazuje potpuni nedostatak korelacije. U ovom slučaju, vektori su ortogonalni i procesi nisu korelirani.

Za normalne procese nekorelacija također znači neovisnost, budući da za njih ne postoji druga slučajna ovisnost osim linearne. Ova se tvrdnja dokazuje zamjenom koeficijenta korelacije jednak nuli u dvodimenzionalnu normalnu gustoću vjerojatnosti. Kao rezultat takve zamjene, gustoća vjerojatnosti se pretvara u umnožak jednodimenzionalnih gustoća vjerojatnosti, što je nužan i dovoljan uvjet za statističku neovisnost dviju slučajnih varijabli uključenih u sustav.

3. Vjerojatnostne karakteristike slučajnih procesa

1. Najpotpunije vjerojatnosne karakteristike slučajnih procesa (SP) su različite vrste distribucija vjerojatnosti trenutnih vrijednosti, među kojima se uglavnom koriste integralna funkcija distribucije vjerojatnosti i gustoća vjerojatnosti.

Za ansambl realizacija LP (slika 6.), jednodimenzionalna kumulativna funkcija distribucije definirana je kao vjerojatnost da trenutne vrijednosti realizacija neće prijeći određenu fiksnu razinu x u trenutku t.

n-dimenzionalna kumulativna funkcija distribucije definira se slično kao vjerojatnost zajedničkog ispunjenja nejednakosti:

Tipovi jednodimenzionalne kumulativne funkcije distribucije za različite procese prikazani su na Sl. osam.

Za razliku od integralnih funkcija distribucije slučajnih varijabli, ova karakteristika zajedničkog pothvata u općem slučaju (za nestacionarni SC) ovisi o vremenu.

Kao i za slučajne varijable, (pozitivna određenost), za x2> x1 (integralna funkcija nije opadajuća), (ograničenost).

Iako je kumulativna funkcija distribucije vjerojatnosti definirana i za kontinuirane i za diskretne procese, gustoća vjerojatnosti, definirana samo za kontinuirane LB-ove, postala je raširenija.

Jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti definirana je kao derivacija integralne funkcije s obzirom na argument x:

.

Za n-dimenzionalnu gustoću, u skladu s (1), imamo:

Iz prikaza derivacije kao granice omjera konačnih prirasta može se zaključiti da gustoća vjerojatnosti karakterizira relativnu učestalost zadržavanja trenutnih vrijednosti u elementarnom intervalu Dx.

Na sl. Na slici 7 prikazani su grafovi gustoće vjerojatnosti za realizacije različitih oblika.

Slično razmatranje n-dimenzionalne gustoće vjerojatnosti omogućuje nam da je interpretiramo kao vjerojatnost da je vrijednost funkcije unutar n koridora Dx ili, inače, da će implementacija poprimiti zadani oblik (slika 8).

Svojstva gustoće vjerojatnosti:

- pozitivna određenost -;

- svojstvo simetrije - vrijednosti gustoće vjerojatnosti se ne mijenjaju kada se argumenti preurede;

- svojstvo normalizacije;

- svojstvo konzistencije (broj integrala na desnoj strani jednak je n - m)

- gustoća vjerojatnosti nižeg reda izračunava se integracijom preko "ekstra" argumenata;

- dimenzija gustoće vjerojatnosti inverzna je dimenziji slučajne varijable.

Sljedeće distribucije najčešće se koriste u radiotehnici.

1. Normalna (Gaussova) raspodjela (slika 9):

,

gdje je m matematičko očekivanje; s - standardna devijacija (RMS).

Normalnu distribuciju karakterizira simetrija u odnosu na matematičko očekivanje, a velike vrijednosti slučajne varijable javljaju se mnogo rjeđe od malih:

.

2. Ravnomjerna raspodjela (slika 10):

Eksponencijalna distribucija (slika 11):

4. Rayleighova raspodjela (distribucija ovojnice uskopojasne normalne SP):

2. Distribucije vjerojatnosti, iako su karakteristike koje se najčešće koriste u teoriji, nisu uvijek dostupne za eksperimentalno određivanje i u mnogim su slučajevima preglomazne za teorijske studije. Numeričke karakteristike PN-a su jednostavnije, definirane su kao neke funkcionalnosti gustoće vjerojatnosti. Najšire korištene od njih su momentne funkcije, definirane kao prosječne vrijednosti različitih transformacija snage PN-a.

Početni jednodimenzionalni momenti definirani su kao

. (3)

Od posebne je važnosti prvi početni trenutak – matematičko očekivanje a drugo polazište

.

prijem signala nasumične smetnje

Fizičko značenje ovih karakteristika: prosječna vrijednost i prosječna snaga zajedničkog pothvata oslobođena na otporu od 1 ohma, respektivno (ako je zajednički pothvat napon koji je stacionaran u smislu konstantne komponente i snage). Drugi početni trenutak karakterizira stupanj disperzije slučajne varijable u odnosu na ishodište. Dimenzija matematičkog očekivanja poklapa se s dimenzijom veličine x (za x u obliku napona - volti), a dimenzija m2 - s dimenzijom kvadrata veličine x.

U slučaju stacionarnih LB-ova, momenti ne ovise o vremenu, za nestacionarne mogu biti funkcije vremena (ovisno o vrsti nestacionarnosti), što je objašnjeno na sl. trinaest.

Središnji momenti određuju se slično početnim momentima, ali za centrirani proces :

. (4)

Stoga, uvijek.

Drugi središnji moment - varijanca SP - definira se kao

i karakterizira stupanj disperzije vrijednosti u odnosu na matematičko očekivanje, ili, drugim riječima, prosječnu snagu varijabilne komponente procesa, oslobođenu pri otporu od 1 Ohm. Veza između početnog i središnjeg momenta je očita:

, posebno .

Imajte na umu da treći središnji moment (p = 3 u (4)) karakterizira asimetriju distribucije vjerojatnosti (za simetrične gustoće vjerojatnosti), a četvrti (p = 4) karakterizira stupanj oštrine vrha gustoće vjerojatnosti.

Razmotrimo primjer izračunavanja momenata jednodimenzionalne raspodjele.

PRIMJER 1. Proces s trokutastom simetričnom gustoćom vjerojatnosti vidljiv je na zaslonu osciloskopa kao šum s zamahom od -2 do +4 V. Kada je skeniranje isključeno, svjetlina okomite linije u sredini ekrana je ujednačen. Procijenite matematičko očekivanje i varijaciju procesa.

Rješenje primjera 1. Informacije o obliku distribucije i njezinim granicama omogućuju vam da napišete analitički izraz za gustoću vjerojatnosti (slika 14).

U ovom slučaju, maksimalna vrijednost gustoće vjerojatnosti fm postignuta pri x = 1 V određuje se iz uvjeta normalizacije, tj. jednakost površine trokuta na jedan:

,

Ova simetrična trokutasta raspodjela naziva se i Simpsonov zakon.

U skladu s definicijama, matematičko očekivanje i varijanca su jednake

.

Međutim, prikladnije je prvo izračunati drugi početni trenutak

tada je = 6 B2.

Mješoviti početni momenti određeni su relacijom

Slično se definiraju mješoviti središnji momenti, ali zamjenom x u formuli (5) s centriranom vrijednošću.

S obzirom na činjenicu da su vrijednosti x u mješovitim trenucima određene u različitim trenucima vremena, postaje moguće procijeniti statističku međuovisnost vrijednosti procesa odvojenih određenim intervalima. Najvažniji je najjednostavniji od mješovitih momenata, koji prikazuje linearnu statističku međuovisnost i naziva se korelacijskom i kovarijacijskom funkcijom:

Kao što se vidi iz definicije, dimenzija korelacijske funkcije određena je dimenzijom kvadrata veličine x (za napon - B2).

Za stacionarni SP, funkcija korelacije ovisi samo o razlici:

.

Treba napomenuti da je pri t = 0 maksimalna vrijednost K (0) = s2.

Na sl. 15 prikazani su primjeri realizacije procesa s različitim korelacijskim funkcijama.

Osim funkcionala temeljenih na funkcijama snage (momentima), kao statističke karakteristike PN moguće su i druge vrste funkcionala. Najvažnija među njima je funkcionalna koja se temelji na eksponencijalnoj transformaciji i naziva se karakteristična funkcija

. (7)

Lako je vidjeti da ovaj izraz predstavlja Fourierovu transformaciju gustoće vjerojatnosti, koja se od uobičajene razlikuje samo po predznaku u eksponentu.

Stoga je moguće zapisati inverznu transformaciju koja omogućuje vraćanje gustoće vjerojatnosti iz karakteristične funkcije:

.

Prema tome, za n-dimenzionalni slučaj imamo

Glavna svojstva karakteristične funkcije su sljedeća:

- svojstvo normalizacije ;

- svojstvo simetrije ;

- svojstvo konzistencije

- određivanje karakteristične funkcije zbroja neovisnih slučajnih varijabli

Kao što je vidljivo iz analize navedenih svojstava, različite su transformacije karakteristične funkcije jednostavnije od gustoće vjerojatnosti. Postoji i jednostavna veza između karakteristične funkcije i momenata gustoće vjerojatnosti.

Koristeći definiciju karakteristične funkcije (7), diferenciramo je k puta s obzirom na argument u:

.

Može se primijetiti da je operacija diferencijacije mnogo jednostavnija, operacija integracije u određivanju momenata gustoće vjerojatnosti.

PRIMJER 2. Može li postojati proces s pravokutnom karakterističnom funkcijom?

Rješenje primjera 2. Na sl. Slika 16 prikazuje karakterističnu funkciju pravokutnog oblika (a) i odgovarajuću gustoću vjerojatnosti (b).

Budući da je karakteristična funkcija Fourierova transformacija gustoće vjerojatnosti, njena inverzna Fourierova transformacija mora imati sva svojstva gustoće vjerojatnosti. U ovom slučaju

Grafikon gustoće vjerojatnosti prikazan je na sl. 16b.

Kao što se može vidjeti iz izraza za f (x) i slike, dobivena gustoća vjerojatnosti ne zadovoljava uvjet pozitivne određenosti (), stoga proces sa zadanom karakterističnom funkcijom ne može postojati.

4. Energetske karakteristike slučajnih procesa

Energetske karakteristike SP-a uključuju korelacijske funkcije, spektralnu gustoću snage i parametre SP-a koji su izravno povezani s njima.

U odjeljku 2 dana je definicija korelacijskih funkcija kao mješovitih središnjih momenata drugog reda, odnosno autokorelacijske i međukorelacijske funkcije, tj.

.

Glavna svojstva autokorelacijske funkcije:

- svojstvo simetrije , za stacionarne procese - paritet ;

- svojstvo omeđenosti, za stacionarne procese ;

- svojstvo neograničenog pada s rastućim argumentom (za ergodičke procese);

- svojstvo pozitivne određenosti integrala

;

- dimenzija odgovara kvadratu dimenzije slučajnog procesa.

Ovo svojstvo proizlazi iz definicije spektralne gustoće snage (za slučajne napone i struje kroz otpor od 1 Ohm), koja će biti data u nastavku.

Za međukorelacijske funkcije možete na sličan način napisati:

; ;

; .

Zbog ograničene frekvencijske korelacijske funkcije koriste se normalizirane korelacijske funkcije

; ,

štoviše; ...

Za kompaktniji opis svojstava slučajnog procesa uvodi se koncept korelacijskog intervala, koji određuje vremenski interval u kojem postoji odnos između vrijednosti procesa.

Osnovne definicije intervala korelacije:

- integral (za pozitivno određene korelacijske funkcije) ... Geometrijski, karakterizira širinu baze pravokutnika koji je po površini jednak funkciji k (t) za t> 0 (slika 17a);

- interval apsolutne korelacije (za razliku od prethodnog, može se koristiti za izmjenične funkcije) (slika 17b);

- kvadratni interval korelacije ;

- maksimalni interval korelacije (na razini a) (slika 18)

.

Obično se razina a bira na temelju problema koji se razmatra i ima vrijednosti 1 / e; 0,1; 9,05; 0,01 itd.

Posljednja definicija nije proizvoljna od prethodnih, budući da je izbor određene vrste funkcionala duljine proizvoljan i određen je praktičnošću matematičkog rješenja određenog problema. U praksi se ovaj korelacijski interval koristi u radio mjerenjima za određivanje intervala izvan kojeg se slučajne varijable u poprečnim presjecima slučajnog procesa mogu smatrati nekoreliranima. Pouzdanost ove pretpostavke određena je izborom razine a.

Spektralne karakteristike SP-a od velike su važnosti u statističkoj radiotehnici. U ovom slučaju različite integralne transformacije procesa oblika

.

U proučavanju linearnih sustava s konstantnim parametrima od posebne je važnosti jezgra transformacije oblika, budući da je odgovor linearnih sustava na harmonijsko djelovanje također harmoničan.

Fourierova transformacija k-te implementacije SP-a također daje funkciju slučajne frekvencije ovisno o broju implementacije:

.

U uvjetima stvarnog promatranja moguće je dobiti samo trenutni spektar realizacije u intervalu promatranja T

.

Gornji izrazi su u značajnoj mjeri formalni, budući da za mnoge SS nisu zadovoljeni uvjeti za primjenjivost Fourierove transformacije, a integral ne konvergira ni jednoj određenoj granici.

Definirajmo kvadrat modula spektralne gustoće k-te realizacije

Uz pretpostavku da je proces stacionaran i centriran, zamjenjujući i izvodeći statističko usrednjavanje preko skupa realizacija, definiramo:

.

Podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti s T i uzmemo granicu, dobivamo

.

Objasnimo fizičko značenje ove karakteristike. S obzirom na Rayleighov teorem

,

definirati ; ;

;

; .

Dakle, spektralna gustoća snage ili energetski spektar je funkcija raspodjele snage prosječna za sve realizacije.

Posljedično, spektralna gustoća snage i korelacijske funkcije povezane su Fourierovom transformacijom (Wienerov - Khinchinov teorem):

(9)

Postavljanjem t = 0 dobivamo

.

Uzimajući u obzir svojstvo parnosti korelacijske funkcije, zapisujemo

,

.

U dobivenim formulama određen je G (w) za pozitivne vrijednosti kutne frekvencije w, a G (w) = G (–w). Za razliku od takvog "dvostranog" matematičkog spektra, uvodimo jednostrani fizički spektar:

Tada formule Wiener-Khinchinova teorema poprimaju oblik:

(10)

Često se koristi normalizirana spektralna gustoća snage

.

Metode njegovog eksperimentalnog određivanja proizlaze iz definicije G (w) (slika 19). Naime: standardna devijacija procesa u uskom pojasu mjeri se kvadratnim uređajem (pomoću pojasnih filtara s pravokutnim frekvencijskim odzivom), kvadrira se, a zatim dijeli s tim pojasom Dfe (pojas takav da S (f0) »konstant unutar Dfe) (slika . dvadeset).

Riža. 19 sl. dvadeset

Za jedan oscilatorni krug , gdje je Q faktor kvalitete kruga, dakle

.

Spektralna gustoća snage ne odražava faznu strukturu signala. Dvije potpuno različite ovisnosti mogu imati istu spektralnu gustoću snage.

Budući da su G (w) i K (t) povezani Fourierovom transformacijom, za njih vrijede glavni teoremi o spektrima.

Širina spektra se određuje na isti način kao i korelacijski interval.

Efektivna (ili nesretni naziv - energija) širina spektra

.

Također je određena širina spektra na razini a: .

Razmotrimo odnos između intervala korelacije i širine spektra.

Jer , a , onda

. (11)

Dakle, proizvod je reda jedinice.

Razlikovati širokopojasne i uskopojasne procese (sl. 22a i b).

Za uskopojasne procese. Budući da je za uskopojasne slučajne procese vrijednost spektralne gustoće snage na nultoj frekvenciji uvijek jednaka nuli (ili vrlo blizu njoj), korelacijska funkcija je uvijek naizmjenična i njezina površina je nula (iz Wiener - Khinchinova teorema).

Jedan od rasprostranjenih širokopojasnih procesa u teoriji je bijeli šum s ujednačenim spektrom. ... Njegova korelacijska funkcija je

.

Suprotan slučaj je uskopojasni proces - kvazideterministički LB s diskretnim spektrom

gdje su x1, x2 slučajne varijable neovisne o t,.

Funkcija X (t) je harmonijsko titranje sa slučajnom amplitudom i faza, čija raspodjela ne ovisi o vremenu. Ovaj proces će biti stacionaran samo kada i na ... Tada ovisi samo o t, a x1 i x2 nisu u korelaciji.

U ovom slučaju ;

... (sl. 23)

Za stacionarne SP X (t) i Y (t) također se uvodi međusobna spektralna gustoća snage

;

; ;

; .

Međusobna spektralna gustoća snage dva procesa je složena, ako je unakrsna korelacija neparna, stvarni dio takve spektralne gustoće je paran, a imaginarni dio je neparna funkcija:.

Za zbroj stacionarnih i stacionarno spregnutih procesa postoji relacija

.

5. Uskopojasni slučajni procesi

Važnost ovih procesa za statističku radiotehniku ​​zahtijeva detaljnije razmatranje.

Za detaljniju analizu odredimo omotnicu i fazu uskopojasnog slučajnog procesa (USP). Omotnica se često određuje formulom

, (12)

gdje je proces konjugiran s Hilbertovim smislom. Primjenom Hilbertove transformacije na izvorni izraz za USP, dobivamo. Točnost izraza ponekad se može dovesti u pitanje, jer je samo za harmonijske vibracije jednakost (12) nedvojbena. Utvrdimo u kojoj mjeri USP parametri utječu na točnost ove formule.

Koristeći poznate relacije za kompleksnu amplitudu analitičkog signala, dobivamo

I . (13)

Primjenjujući Hilbertovu transformaciju na izvorni izraz za USP i koristeći komponente (13) kompleksne ovojnice, možemo napisati

Proširimo funkcije i u integrandima u Taylorov red u blizini točke x = t i integrirajmo član po član. dobivamo

gdje je Q (t) preostali član koji karakterizira odbačeni dio zbroja. Zamjenom i u izraz (14) dobivamo

Iz formule (15) se može vidjeti da ako se funkcija Q (t) može zanemariti, tada Hilbertova konjugata USP ima istu ovojnicu kao i originalna USP.

Iz tablica određenih integrala poznato je:

Uzimajući u obzir ove izraze, formula za Q (t) može se napisati:

Pretpostavljamo da je opseg ovojnice jednak, pa druge derivacije ne prelaze svoje vrijednosti. Stoga možemo pretpostaviti da

.

Stoga:

.

Dakle, može se vidjeti da za USP funkcije u (t) i u1 (t) imaju istu ovojnicu s greškom ovisno o omjeru širine spektra i njegove prosječne frekvencije. Za uskopojasne slučajne procese izraz je obavezan, stoga omotnica zadovoljava zahtjeve koji joj se postavljaju u skladu s definicijom USP, tj. je tangenta u točkama koje odgovaraju maksimalnim vrijednostima USP-a (ili blizu njih), i ima zajedničke vrijednosti s njim u točkama tangentnosti. O istom omjeru ovisi stupanj "zatvorenosti" dodirne točke na maksimalnu vrijednost.

Faza je jednoznačno određena poznatim relacijama za predstavljanje kompleksnog broja u eksponencijalnom obliku.

Grafički, USP se može predstaviti kao vektor koji rotira kutnom brzinom; duljina vektora se polako mijenja u vremenu, baš kao i fazni kut. Izvorni USP je projekcija vektora na horizontalnu os. Ako je cijeli koordinatni sustav prisiljen rotirati istom kutnom brzinom, ali u suprotnom smjeru, tada će ista projekcija biti ovojnica.

Ako je početni USP normalan, tada su i normalni slučajni procesi. Ako je USP u (t) normalan, stacionaran, ima nultu srednju vrijednost i korelacijske funkcije , zatim i također imaju nulte srednje vrijednosti i korelacijske funkcije. Pritom su međusobno nekorelirani, a budući da su normalni, i međusobno su neovisni. Faktor je ovojnica korelacijske funkcije.

Omotnica i faza uskopojasnog slučajnog procesa. Gustoće vjerojatnosti ovojnice i USP faze mogu se dobiti izvođenjem transformacija koje su korištene za njihovo dobivanje. Ove transformacije pokazuju da su ovojnica i faza neovisne. SV i u podudarnim i nepodudarnim vremenima. Jednodimenzionalna gustoća vjerojatnosti ovojnice (u jednom trenutku) pokorava se Rayleighovom zakonu, a gustoća vjerojatnosti faze je jednolična u rasponu od do.

Kompleksne transformacije pokazuju da je centrirana korelacijska funkcija ovojnice približno jednaka kvadratu ovojnice korelacijske funkcije izvornog USP-a. Spektralna gustoća snage ovojnice ima dva pojma: delta funkciju koja odgovara konstantnoj komponenti ovojnice i spektralnu gustoću komponente fluktuacije, koja je Fourierova transformacija kvadrata ovojnice korelacijske funkcije izvornog USP-a.

Ako je SP zbroj uskopojasnog normalnog procesa i sinusoida sa slučajnom početnom fazom, tada se trenutne vrijednosti sinusoida raspoređuju prema arcsinusnom zakonu, a zbroj - prema bimodalnom zakonu koji odgovara konvolucija normalnog zakona i zakona arcsinusa. Nakon primjene istih transformacija kao za uskopojasnu normalnu LB, dobivamo Riceovu distribuciju za ovojnicu

,

gdje je A0 amplituda sinusnog signala; Je li standardna devijacija buke.

Pritom se Riceova distribucija pretvara u Rayleighovu distribuciju.

Uz sjajnu vezu, t.j. za A0 >> 1 (omjer signal-šum), Riceova raspodjela može se aproksimirati normalnom distribucijom s matematičkim očekivanjem jednakim A0.

6. Vremenske karakteristike slučajnih procesa

U mnogim slučajevima, osobito u eksperimentalnim studijama, postoji samo jedna implementacija umjesto ansambla. Zatim se usrednjavanje provodi tijekom vremena i, pod određenim uvjetima, daje rezultate bliske prosječenju po skupu.

Najjednostavniji oblik usrednjavanja je određivanje aritmetičke sredine. Odaberimo diskretne uzorke s intervalom između njih Dt,

Aritmetička srednja vrijednost određuje se na poznati način:

Pomnožite brojnik i nazivnik ovog izraza s Dt:

.

Kada je Dt ® 0 i n ® ¥, zbroj ulazi u integral koji opisuje prosječno vrijeme implementacije (označeno crtom iznad ili u ovom priručniku :) ili njegovu funkciju:

. (16)

Općenito, operaciju (16) možete napisati pomoću operatora usrednjavanja vremena ST:

.

Da bi rezultat bio neovisan o duljini segmenta T, granicu uzimamo kao T ® ¥:

.

U eksperimentalnim istraživanjima ispunjenje uvjeta T ® ¥ je nemoguće, ali je ispunjenje uvjeta dovoljno.

Često se početak implementacije i početak vremena integracije ne podudaraju, stoga je ispravnije pisati operator u obliku operatora trenutnog prosjeka:

. (17)

Također se koristi simetrični oblik ovog operatora:

. (18)

Frekventne karakteristike operatora (4.17) i (4.18) jednake su, redom:

, ,

oni. razlikuju se samo u faktoru faze.

Operator eksponencijalnog izglađivanja, koji je implementiran korištenjem integrirajućeg RC kruga u obliku

i imajući obilježje

.

Izvođenjem vremenskog usrednjavanja neke funkcije g, koja je u osnovi bilo koje vjerojatnosne karakteristike, dobivamo odgovarajuću vremensku karakteristiku. Konkretno, varijanca dobivena usrednjavanjem tijekom vremena je

;

Funkcija vremenske korelacije -

.

Analogi distribucija vjerojatnosti su vrijednosti relativnog vremena zadržavanja realizacije ispod određene razine iu intervalu razina (slika 25).

Analog kumulativne funkcije distribucije vjerojatnosti je relativno vrijeme zadržavanja implementacije ispod određene razine (slika 25a):

; .

Analog gustoći vjerojatnosti je relativno vrijeme zadržavanja realizacije u intervalu Dx na razini x (slika 25b):

;

.

Procesi za koje vremenske karakteristike konvergiraju u određenom smislu vjerojatnostim kao T ® ¥ nazivaju se ergodičkim. Postoje dvije vrste konvergencije.

Niz slučajnih varijabli po vjerojatnosti konvergira na slučajnu varijablu x ako je za bilo koji e> 0

.

Konvergencija s vjerojatnošću 1 (ili gotovo svugdje) definirana je na sljedeći način:

.

Prosječna konvergencija se određuje iz uvjeta:

,

posebno je srednja kvadratna konvergencija

.

Konvergencija gotovo posvuda podrazumijeva konvergenciju u vjerojatnosti, a konvergencija u srednjem kvadratu također implicira konvergenciju u vjerojatnosti.

Često se ne događa ergodičnost procesa, već ergodičnost u odnosu na matematičko očekivanje, korelacijske funkcije ili drugu vjerojatnostnu karakteristiku.

7. Značajke nestacionarnih stohastičkih procesa

Nestacionarni SP-ovi, za razliku od stacionarnih, čine tako široku klasu da je u njoj teško izdvojiti svojstva koja pripadaju cijeloj klasi. Jedno od tih svojstava na kojima se temelji definicija nestacionarnosti je ovisnost vjerojatnosnih karakteristika ovih procesa o vremenu.

Posebno,

,

.

Primjer procesa koji je u osnovi nestacionaran u smislu matematičkog očekivanja prikazan je na Sl. 26a, u smislu disperzije - na Sl. 26b.

Nestacionarnost u smislu matematičkog očekivanja dobro je opisana modelom aditivnog nestacionarnog procesa:

X (t) = Y (t) + j (t),

gdje je Y (t) - stacionarni SP; j (t) je deterministička funkcija.

Nestacionarnost u varijanci opisuje se modelom multiplikativnog nestacionarnog procesa: X (t) = Y (t) j (t).

Najjednostavniji primjeri nestacionarnosti u momentnim funkcijama opisani su u općenitijem obliku ovisnostima distribucija vjerojatnosti o vremenu.

Složenije je preslikavanje nestacionarnosti u okviru višedimenzionalnih (pa čak i dvodimenzionalnih) vjerojatnosnih karakteristika. Najviše se koriste korelacijske i spektralne karakteristike. Budući da korelacijska funkcija nestacionarnog SP ovisi o dva trenutka vremena, spektar nestacionarnog procesa ne može se odrediti tako jednoznačno kao u stacionarnom slučaju. Postoji nekoliko definicija spektra nestacionarnih procesa:

a) frekvencijski dvostruki spektar ili bispektar:

. (19)

U slučaju stacionarnog procesa i relacija (19) postaje Wienerov - Khinchinov teorem. Bispectrum (19) je teško fizički interpretirati i koristiti u analizi sklopova, iako prikazuje sve informacije o frekvencijskim svojstvima procesa;

b) trenutni vremensko-frekvencijski spektar.

Zamijenite u varijablama na sljedeći način:, t = t1 - t2 i izvršite Fourierovu transformaciju korelacijske funkcije s obzirom na argument t:

. (20)

Trenutačni spektar (20) ovisi i o frekvenciji i o vremenu, a uz sporu nestacionarnost ima jasnu fizičku interpretaciju kao promjenu “uobičajene” spektralne gustoće snage u vremenu (slika 27);

c) prosječna spektralna gustoća snage

,

gdje .

Ovaj spektar ne odražava dinamiku procesa, ali daje ideju o prosječnoj frekvencijskoj distribuciji varijance procesa;

d) instrumentalni spektar se određuje kao prosječna vrijednost varijance procesa na izlazu uskopojasnog filtera s impulsnim odzivom h (t):

Taj se spektar može odrediti hardverom, ali je njegova uporaba u teoriji prilično naporna.

Rješenje primjera Razmotrimo primjer nestacionarnog LB koji ima gustoću vjerojatnosti izraženu funkcijom

gdje ; a0 = 1 1 / B; k = 2 1 / ned.

Potrebno je pronaći matematičko očekivanje procesa i nacrtati otprilike moguću vrstu implementacije procesa.

Da bismo riješili problem, prije svega definiramo nespecificiranu funkciju A (t) iz uvjeta normalizacije:

Stoga je A (t) = a (t).

Budući da je proces nestacionaran, njegovo matematičko očekivanje može ovisiti o vremenu iu ovom slučaju jednako je

Uzimajući u obzir poznatu vrijednost određenog integrala

na

gdje - gama funkcija,, dobivamo

.

Mogući tip implementacije procesa koji nije u suprotnosti s tipom distribucije prikazan je na Sl. 28.

Na sl. 28, isprekidana linija prikazuje promjenu matematičkog očekivanja procesa.

8. Klasifikacija slučajnih procesa

Klasifikacija u bilo kojoj znanosti služi za racionalizaciju predmeta istraživanja, a time i metoda analize i sinteze koje se koriste. U nizu slučajeva uspješna, logički opravdana i prirodna klasifikacija procesa pomaže u otkrivanju novih obrazaca (na primjer, periodični sustav Mendelejeva, klasifikacija zvijezda na temelju Hertzsprung-Russell dijagrama u astronomiji, itd.).

Razvrstavanje se vrši prema nekim kriterijima. Najbitnije značajke za SP su ovisnosti njihovih vjerojatnosnih karakteristika o vremenu i broju implementacije.

Označavamo sa q (l) proizvoljnu vjerojatnostnu karakteristiku;

- operator usrednjavanja po skupu;

- operator usrednjavanja tijekom vremena.

Ako se usrednjavanje koristi istovremeno kroz skup i tijekom vremena, tada rezultirajuća procjena vjerojatnosne karakteristike (l) ima sljedeći oblik:

,

gdje je l argument vjerojatnosne karakteristike (frekvencija u spektralnoj gustoći snage; interval u korelacijskoj funkciji).

Prava vrijednost procjene vjerojatnosne karakteristike dobiva se korištenjem prijelaza do granice s neograničenim povećanjem broja realizacija N i njihova trajanja T, t.j.

.

Karakteristika dobivena usrednjavanjem i tijekom skupa i tijekom vremena nazvat će se prosječna vjerojatnosna karakteristika. Ako se usrednjavanje izvodi samo po skupu, tada se dobiva t - trenutna vjerojatnostna karakteristika:

samo u vremenu - vjerojatnosna karakteristika k-struje:

Ovisno o vrsti dobivenih karakteristika, zajednički pothvat se može klasificirati na sljedeći način:

- (k, l) = (l) je homogen proces, t.j. rezultirajuća karakteristika ne ovisi o broju implementacije;

- (t, l) = (l) je stacionarni proces, t.j. rezultirajuća karakteristika ne ovisi o podrijetlu vremena;

- (t, l) = (k, l) = (l) je ergodički slučajni proces.

Procesi se mogu shematski prikazati u obliku skupova prikazanih na Sl. 29.

Prikazana proširena klasifikacija, naravno, nije iscrpna, stoga se koristi klasifikacija prema mnogim drugim kriterijima.

Prema vrsti domena postojanja i vrijednosti slučajne funkcije, JV se dijele na kontinuirane (kontinuirane domene postojanja i vrijednosti - sl.30a), diskretne (kontinuirani skup vrijednosti argumenata i diskretni skup vrijednosti - sl.30b), kontinuirane slučajne sekvence (diskretna domena postojanja i kontinuirane vrijednosti domene - slika 30c) i diskretne slučajne sekvence (diskretna funkcija diskretnog argumenta - slika 30d).

Po vrsti distribucije vjerojatnosti razlikuju se procesi s konačnim i beskonačnim rasponima vrijednosti, sa simetričnom i asimetričnom gustoćom vjerojatnosti, Gaussov (normalan) i ne-Gaussov.

Korelirane i nekorelirane SP razlikuju se po korelacijskom odnosu vrijednosti, širokopojasne i uskopojasne SP po vrsti spektra, a periodične, neperiodične i gotovo periodične po prirodi vremenske povezanosti.

Prema vrsti nestacionarnosti procesi se dijele na aditivne, multiplikativne, stacionarne na intervalu (kvazistacionarne), sa stacionarnim priraštajima, periodično nestacionarne, s brzom i sporom nestacionarnošću itd.

Izbor klasifikacijskih znakova određen je prirodom problema koji se rješava.

Razmotrimo primjer klasifikacije zajedničkog pothvata.

Rješenje primjera 4. Okarakterizirajte proces X (t) u odnosu na stacionarnost, homogenost i ergodičnost, ako je proces predstavljen modelom:

gdje je A slučajna amplituda s Rayleighovom distribucijom; - slučajna varijabla s jednolikom distribucijom na intervalu [–p, p]; 0 = konst.

Odabrane realizacije procesa X (t) prikazane su na sl. 31.

Od sl. 31 i analitičkog prikaza kvazideterminističkog procesa X (t), očito je da njegove probabilističke karakteristike (na primjer, matematičko očekivanje, varijanca, gustoća vjerojatnosti itd.) ne ovise o vremenu, t.j. proces je stacionaran. Pritom je svaka od realizacija karakterizirana svojom varijansom, pa je proces nehomogen i nije ergodičan, tj. njegove karakteristike ne mogu se procijeniti iz jedne implementacije.

PRIMJER 5. Pomoću grafički postavljene funkcije distribucije stacionarne slučajne oscilacije (slika 32), odredite gustoću vjerojatnosti i opišite mogući tip implementacije ovog procesa.

Rješenje primjera 5. Gustoća vjerojatnosti povezana je s funkcijom distribucije kroz derivaciju, stoga je u prvom dijelu u od -6 do -3 V derivacija koja karakterizira tangens kuta nagiba na os u 0,4 / 3 = 0,13 1/V. Za u = 1, V ima skok od 0,3, stoga gustoća vjerojatnosti sadrži d-funkciju s površinom jednakom veličini skoka. U dijelu od 3 do 7 V također ima konstantan nagib jednak 0,3 / 6 = 0,05 1 / V. Dobivena gustoća vjerojatnosti prikazana je na Sl. 3 Za provjeru izračuna potrebno je pronaći područje ograničeno gustoćom vjerojatnosti (uvjet normalizacije): .

mu = = = –0,325 V.

Drugi početni moment - m2u = 48,9 B2.

disperzija - = 48,5 - 0,105625 * 48,4 B2.

Implementacija s trajanjem T, sudeći po izgledu gustoće vjerojatnosti u različitim vremenskim intervalima, trebala bi imati horizontalne dijelove na razini +1 V, čije bi ukupno trajanje trebalo biti T / On sekcije od -6 do -3 V i od +1 do +7 V u implementaciji postoje kose ravne linije s slučajnim nagibom, što odgovara konstantnim vrijednostima gustoće vjerojatnosti. U prvom dijelu, trenutne vrijednosti realizacije su 0,4T, au drugom - 0,3T.

Moguća implementacija prikazana je na sl. 34.

PRIMJER 6. Na sl. 35 prikazuje provedbu slučajnog procesa. Nacrtajte približnu gustoću vjerojatnosti i funkciju raspodjele. Izračunajte (također približno) matematičko očekivanje, srednju kvadratnu vrijednost (RMS) i standardnu ​​devijaciju (RMS).

Rješenje primjera 6. Za određivanje gustoće vjerojatnosti potrebno je, u skladu s njezinom definicijom, izračunati vjerojatnosti sljedećih događaja:

Korespondencija trenutnih vrijednosti na razini -10 mA (vjerojatnost p1);

Pronalaženje trenutnih vrijednosti realizacije u rasponu od -10 do -4 mA (vjerojatnost p2);

Korespondencija trenutnih vrijednosti na razini -4 mA (vjerojatnost p3);

Pronalaženje trenutnih vrijednosti implementacije u rasponu od -4 do + 8 mA (vjerojatnost p4);

Podudarnost trenutnih vrijednosti s razinom + mA V (vjerojatnost p5);

Pronalaženje trenutnih vrijednosti realizacije u rasponu od +8 do +10 mA (vjerojatnost p6).

Za pronalaženje navedenih vjerojatnosti potrebno je izračunati vremenski interval tijekom kojeg su se ti događaji dogodili, a zatim pronađene intervale podijeliti s trajanjem implementacije koje iznosi 25 ms (vidi sliku 35). Kao rezultat, dobivamo učestalost događaja (procjenu vjerojatnosti). Rezultati izračuna prikazani su u tablici. jedan.

stol 1

Vjerojatnost
vjerojatnosti

Za izračunavanje vrijednosti gustoće vjerojatnosti u intervalima (-10, -4) mA, (-4, + 8) mA i (+8, +12) mA potrebno je dobivene vjerojatnosti podijeliti u odgovarajuće intervale , uz pretpostavku konstantne gustoće vjerojatnosti u tim područjima, pa kako trenutne vrijednosti unutar njih variraju linearno (slika 35). Rezultati proračuna prikazani su na sl. 36.

Matematičko očekivanje je:

mA

(pod pretpostavkom stacionarnosti zadane implementacijom SE u smislu matematičkog očekivanja).

Druga početna točka -

m2i = 36,08 mA2

(pod pretpostavkom stacionarnosti zadane implementacijom SP-a s obzirom na drugi početni trenutak).

disperzija -

= 36,08 - 0,1024 "35,98 mA2

(pod pretpostavkom stacionarnosti disperzije koju daje implementacija SP-a).

Stoga je RMS = »6,01 mA; RMS = "6,0 mA.

Bibliografski popis

1. Gonorovsky, I.S. Radiotehnički sklopovi i signali [Tekst] / I.S. Gonorovsky. - M.: Radio i komunikacija, 2006.-- 608 str.

1. Manzhos, V.N. Teorija i tehnika obrade radarskih informacija na pozadini smetnji [Tekst] / Ya.D. Shirman, V.N. Manzhos. - M.: Radio i komunikacija, 2011.-- 416 str.

2. Zhovinsky, V.N. Inženjerska ekspresna analiza slučajnih procesa [Tekst] / A.N. Zhovinsky, V.N. Zhovinsky. - M.: Energiya, 2009. - 112 str.

3. Carkov, N.M. Višekanalni radarski mjerači [Tekst] / N.M. Carkov. - M.: Sov. radio, 2010 .-- 192 str.

2. Matematički temelji moderne radioelektronike [Tekst] / I.A. Bolshakov [i drugi]. - M.: Sov. radio, 2009.-- 208 str.

3. Fedosov, V.P. Statistička radiotehnika [Tekst]: bilješke s predavanja / V.P. Fedosov, V.P. Ryzhov. - Taganrog: Izdavačka kuća TRTI, 2008.-- 76 str.

4. Fomičev, K.I. Monopulsni radar [Tekst] / A.I. Leonov, K.I. Fomičev. - M.: Sov. radio, 2010.-- 370 str.

5. Gnedenko, B.N. Tečaj teorije vjerojatnosti [Tekst] / B.N. Gnedenko. - M.: Fizmatgiz, 2011.-- 203 str.