Wavelet transformacije (ili diskretni valni oblici) koriste se uglavnom za analizu nestacionarnih signala i za mnoge probleme ove vrste se pokazuju učinkovitijima od Fourierove transformacije.

Fourierova transformacija razlaže signal na komponente u obliku sinusa i kosinusa, t.j. funkcije lokalizirane u Fourierovom prostoru; naprotiv, valna transformacija može se izraziti integralnom transformacijom (1.40), gdje simbol negacije znači kompleksnu konjugaciju i neka je funkcija. Funkcija se može birati proizvoljno, ali mora slijediti određena pravila.

Kao što možete vidjeti, wavelet transformacija je zapravo beskonačan skup različitih transformacija, ovisno o funkciji bodovanja koja se koristi za njeno izračunavanje. Ortogonalni valovi se mogu koristiti za dizajniranje diskretnih valnih transformacija i neortogonalnih valova za kontinuirane valove. Ove dvije vrste transformacija imaju sljedeća svojstva:

1. Diskretna valna transformacija vraća podatkovni vektor iste duljine kao i ulaz. Obično, čak i u ovom vektoru, mnogo podataka je gotovo nula. To je u skladu s činjenicom da se razlaže u skup valova (funkcija) koji su ortogonalni na njihovu paralelnu translaciju i skaliranje. Stoga razlažemo sličan signal na iste ili manje koeficijenata valnog spektra kao broj točaka podataka signala. Sličan talasni spektar primjenjiv je na primjer za obradu i kompresiju signala, budući da ne primamo nema suvišnih informacija.

2. Kontinuirana wavelet transformacija, naprotiv, vraća niz za jednu dimenziju više od ulaznih podataka. Za jednodimenzionalne podatke dobivamo sliku vremensko-frekventne ravnine. Možete jednostavno pratiti promjenu frekvencije signala tijekom trajanja signala i usporediti ovaj spektar sa spektrima drugih signala. Budući da koristi neortogonalni skup valova, podaci su visoko korelirani i vrlo redundantni. To pomaže vidjeti rezultat u bližoj ljudskoj percepciji.

Diskretna valovna transformacija

Diskretna valna transformacija (DWT) je implementacija valne transformacije pomoću diskretnog skupa valnih ljestvica i prijevoda koji se pokoravaju određenim pravilima. Drugim riječima, ova transformacija razlaže signal u međusobno ortogonalni skup valleta, što je glavna razlika od kontinuirane valne transformacije (CWT) ili njezine implementacije za diskretne vremenske serije, koja se ponekad naziva kontinuirana diskretna vremenska valna transformacija (DT-CWT ).

Kao što je ranije prikazano, val se može konstruirati iz funkcija skale koje opisuju njegova svojstva skalabilnosti. Ograničenje da funkcija skale mora biti ortogonalna svojim diskretnim transformacijama podrazumijeva neka matematička ograničenja na njih, koja se posvuda spominju, t.j. jednadžba homotetije

gdje je faktor skale (obično se bira kao 2).

Štoviše, površina ispod funkcije mora biti normalizirana, a funkcija skaliranja mora biti ortogonalna njezinim numeričkim prijevodima, tj.

Nakon uvođenja nekih dodatnih uvjeta (budući da gornja ograničenja ne dovode do jedinstvenog rješenja), može se dobiti rezultat svih ovih jednadžbi, tj. konačan skup koeficijenata koji definiraju funkciju skaliranja, kao i val. Walet se dobiva iz funkcije skaliranja kao, gdje je paran cijeli broj. Skup talasa tada tvori ortogonalnu osnovu koju koristimo za razlaganje signala. Treba napomenuti da će obično nekoliko koeficijenata biti različiti od nule, što pojednostavljuje izračun.

Na sl. 2.1 prikazuje neke funkcije skaliranja i valove. Najpoznatija obitelj ortonormalnih valova je obitelj Daubechies. Njegovi se valovi obično označavaju s brojem koeficijenata koji nisu nula, pa se obično govori o Daubechiesu 4, Daubechiesu 6 (4 i 6 označavaju redoslijed vala) itd. Grubo govoreći, s povećanjem broja koeficijenata, wavelet funkcije postaju glatkije. Drugi spomenuti val je najjednostavniji Haarov val koji koristi kvadratni val kao funkciju skaliranja.

Haarova funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno)

Daubechies 4 funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno)

Daubechiesova 20 funkcija skaliranja i val (lijevo) i njihove frekvencijske komponente (desno). 2.1

Glavna razlika između wavelet transformacije je dekompozicija podataka ne u smislu sinusoida (kao za Fourierovu transformaciju), već u smislu drugih funkcija, koje se nazivaju funkcije generiranja valova. Funkcije koje generiraju talase, za razliku od beskonačno oscilirajućih sinusoida, lokalizirane su u određenom ograničenom području svog argumenta, a daleko od toga jednake su nuli ili zanemarive. Primjer takve funkcije, nazvane meksički šešir, prikazan je na Sl. 2.2.

Slika 2.2 Usporedba sinusoidne i valne funkcije

Tema Wavelet transformacije.

Predavanja 6-8

Funkcije skaliranja. Ortogonalna, kontinuirana i diskretna valna transformacija.

Problemi procjene i aproksimacije. 2D i višedimenzionalne wavelet transformacije i obrada slike (uklanjanje šuma, obrada rasterske slike).

Multiscale prikaz površina za analizu valova. Wavelet kompresija signala, slika, video slika.

Wavelet transformacija signala je generalizacija spektralne analize, čiji je tipičan predstavnik klasična Fourierova transformacija. Izraz "wavelet" u prijevodu s engleskog znači "mali (kratki) val". Valovi su generalizirani naziv za obitelji matematičkih funkcija određenog oblika, koje su lokalne po vremenu i frekvenciji, a u kojima se sve funkcije dobivaju iz jedne osnovne (generacijske) pomoću njezinih pomaka i rastezanja duž vremenske osi. Wavelet transformacije razmatraju analizirane vremenske funkcije u terminima oscilacija lokaliziranih u vremenu i frekvenciji. Obično se valne transformacije (WT) dijele na diskretne (DWT) i kontinuirane (CWT).

DWT se koristi za transformacije signala i kodiranje, CWT se koristi za analizu signala. Wavelet transformacije trenutno se usvajaju za širok raspon primjena, često zamjenjujući konvencionalnu Fourierovu transformaciju. To se vidi u mnogim područjima, uključujući molekularnu dinamiku, kvantnu mehaniku, astrofiziku, geofiziku, optiku, računalnu grafiku i obradu slika, DNK analizu, istraživanje proteina, istraživanje klime, opću obradu signala i prepoznavanje govora.

Wavelet analiza je posebna vrsta linearne transformacije signala i fizičkih podataka. Osnova vlastitih funkcija, duž kojih se provodi valna dekompozicija signala, ima mnoga specifična svojstva i mogućnosti. Wavelet funkcije baze omogućuju vam da se usredotočite na određene lokalne značajke analiziranih procesa koje se ne mogu identificirati pomoću tradicionalnih Fourierovih i Laplaceovih transformacija. Takvi procesi u geofizici uključuju polja različitih fizikalnih parametara prirodnih okoliša. Prije svega, to se tiče polja temperature, tlaka, profila seizmičkih tragova i drugih fizikalnih veličina.

Valovi imaju oblik kratkovalnih paketa s nultom srednjom vrijednošću, lokalizirani duž osi argumenata (nezavisne varijable), smično invarijantni i linearni u odnosu na operaciju skaliranja (komprimiranja / proširenja). U smislu lokalizacije u vremenu i frekvencijskom predstavljanju, valovi zauzimaju međupoziciju između harmonijskih funkcija lokaliziranih u frekvenciji i Diracove funkcije, lokalizirane u vremenu.

Teorija valčića nije temeljna fizikalna teorija, ali pruža prikladan i učinkovit alat za rješavanje mnogih praktičnih problema. Glavno područje primjene wavelet transformacija je analiza i obrada signala i funkcija koje su vremenski nestacionarne ili nehomogene u prostoru, pri čemu rezultati analize moraju sadržavati ne samo frekvencijsku karakteristiku signala (distribuciju signala). energije po frekvencijskim komponentama), ali i informacije o lokalnim koordinatama na kojima se nalazi jedna ili druga skupina frekvencijskih komponenti ili na kojima dolazi do brzih promjena frekvencijskih komponenti signala. U usporedbi s dekompozicijom signala u Fourierov niz, valovi su sposobni s mnogo većom točnošću predstaviti lokalne značajke signala, sve do diskontinuiteta prve vrste (skokova). Za razliku od Fourierovih transformacija, wavelet transformacija jednodimenzionalnih signala omogućuje dvodimenzionalni sweep, dok se frekvencija i koordinata smatraju neovisnim varijablama, što omogućuje analizu signala u dva prostora odjednom.

Jedna od glavnih i posebno plodnih ideja valletnog prikaza signala na različitim razinama dekompozicije (dekompozicije) je podjela funkcija aproksimacije signalu u dvije skupine: aproksimirajuće - grube, s prilično sporom vremenskom dinamikom promjena, i detaljizacija - s lokalnom i brzom dinamikom promjena u odnosu na glatku dinamiku pozadine, nakon čega slijedi njihova fragmentacija i detaljizacija na drugim razinama dekompozicije signala. To je moguće iu vremenskoj i u frekvencijskoj domeni valovitog prikaza signala.

Povijest spektralne analize seže do I. Bernoullija, Eulera i Fouriera, koji je prvi izgradio teoriju proširenja funkcija u trigonometrijskim nizovima. Međutim, ova se razgradnja dugo vremena koristila kao matematički uređaj i nije bila povezana ni s kakvim fizičkim konceptima. Spektralne prikaze koristio je i razvijao relativno uzak krug teorijskih fizičara. Međutim, počevši od 20-ih godina prošlog stoljeća, u vezi s brzim razvojem radiotehnike i akustike, spektralne dekompozicije dobile su fizičko značenje i praktičnu primjenu. Harmonijska analiza postala je glavni alat za analizu stvarnih fizikalnih procesa, a Fourierova transformacija je matematička osnova analize. Fourierova transformacija rastavlja proizvoljni proces na elementarne harmonijske oscilacije s različitim frekvencijama, a sva potrebna svojstva i formule izražavaju se pomoću jedne bazne funkcije exp (jt) ili dvije realne funkcije sin (t) i cos (t). Harmonične vibracije su raširene u prirodi i stoga je značenje Fourierove transformacije intuitivno jasno bez obzira na matematičku analitiku.

Fourierova transformacija ima niz izvanrednih svojstava. Područje transformacije je prostor L2 kvadratno integrabilnih funkcija, a mnogi fizički procesi u prirodi mogu se smatrati funkcijama koje pripadaju tom prostoru. Za primjenu transformacije razvijeni su učinkoviti računski postupci kao što je Brza Fourierova transformacija (FFT). Ovi postupci su uključeni u sve pakete primijenjenih matematičkih programa i implementirani su hardverski u signalnim procesorima.

Također je utvrđeno da se funkcije mogu proširiti ne samo u smislu sinusa i kosinusa, već iu smislu drugih ortogonalnih bazičnih sustava, na primjer, Legendre i Chebyshev polinoma, Laguerreove i Hermiteove funkcije. No, praktičnu primjenu dobili su tek u posljednjim desetljećima dvadesetog stoljeća zbog razvoja računalne tehnologije i metoda za sintezu digitalnih linearnih sustava za obradu podataka. Izravno za potrebe spektralne analize, takve ortogonalne funkcije nisu našle široku primjenu zbog poteškoća u interpretaciji dobivenih rezultata. Iz istih razloga, funkcije tipa "kvadratnog vala" Walsha, Rademachera i drugih nisu razvijene u spektralnoj analizi.

Teorijska proučavanja osnovnih sustava dovela su do stvaranja teorije generalizirane spektralne analize, koja je omogućila procjenu granica praktične primjene Fourierove spektralne analize, kreirala metode i kriterije za sintezu ortogonalnih osnovnih sustava. Ilustracija toga je teorija baznih funkcija talasnog tipa, koja se aktivno razvija od ranih 1980-ih. Zbog transparentnosti fizičke interpretacije rezultata analize, slično "frekvencijskom" pristupu u Fourierovoj transformaciji, ortogonalna osnova valova postala je popularan i učinkovit alat za analizu signala i slika u akustici, seizmici, medicini i druga područja znanosti i tehnologije.

Wavelet analiza je vrsta spektralne analize u kojoj ulogu jednostavnih vibracija imaju funkcije posebne vrste, koje se nazivaju valovi. Osnovna wavelet funkcija je neka "kratka" oscilacija, ali ne samo. Koncept frekvencije spektralne analize ovdje je zamijenjen ljestvicom, a kako bi se cijela vremenska os pokrila "kratkim valovima", uvodi se pomak funkcija u vremenu. Osnova valleta su funkcije tipa  ((t-b) / a), gdje je b pomak, a ljestvica. Funkcija (t) mora imati nultu površinu i, još bolje, prvi, drugi i ostali momenti jednaki su nuli. Fourierova transformacija takvih funkcija jednaka je nuli za = 0 i ima oblik propusnog filtra. Za različite vrijednosti parametra skale "a" ovo će biti skup propusnih filtara. Obitelji valova u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni koriste se za predstavljanje signala i funkcija kao superpozicije vala na različitim razinama razlaganja signala (dekompozicije).

Prvi spomen takvih funkcija (koje se nisu nazivale valovima) pojavio se u Haarovim djelima početkom prošlog stoljeća. Haarov val je kratki kvadratni val na intervalu prikazanom na Sl. 1.1.1. Međutim, teoretski je zanimljivija jer nije kontinuirano diferencibilna funkcija i ima duge "repove" u frekvencijskoj domeni. U 1930-ima, fizičar Paul Levy, proučavajući Brownovo gibanje, otkrio je da je Haarova baza bolja od Fourierove osnove za proučavanje detalja Brownovog gibanja.

Sam pojam "wavelet", kao pojam, uveden je u svom članku J. Morleta i A. Grossmana, objavljenom 1984. Proučavali su seizmičke signale koristeći osnovu, koju su nazvali val. Važan doprinos teoriji vala dali su Guppilaud, Grossman i Morlet, koji su formulirali temelje CWT-a, Ingrid Daubechies, koja je razvila ortogonalne valove (1988.), Natalie Delpra, koja je stvorila vremensko-frekvencijsku interpretaciju CWT-a (1991.) , i mnogi drugi. Matematička formalizacija valleta u radovima ovih i drugih autora dovela je do stvaranja teorijskih temelja wavelet analize, nazvane multi-resolution (multi-scale) analiza.

Trenutačno su u glavnim sustavima računalne matematike (Matlab, Mathematica, Mathcad itd.) prisutni posebni paketi proširenja valova, a wavelet transformacije i wavelet analiza koriste se u mnogim područjima znanosti i tehnologije za razne zadatke. Mnogi istraživači nazivaju wavelet analizu "matematičkim mikroskopom" za precizno proučavanje unutarnjeg sastava i strukture nehomogenih signala i funkcija.

Wavelet metode obrade i analize signala ne treba smatrati novom univerzalnom tehnologijom za rješavanje bilo kakvih problema. Mogućnosti valleta još uvijek nisu u potpunosti otkrivene, ali to ne znači da će njihov razvoj dovesti do potpune zamjene tradicionalnih alata za obradu i analizu informacija, dobro razvijenih i vremenski testiranih. Waveleti omogućuju proširenje instrumentalne baze informacijskih tehnologija za obradu podataka.

Analitiku valnih transformacija signala određuje matematička baza dekompozicije signala koja je slična Fourierovim transformacijama. Glavna karakteristična značajka wavelet transformacija je nova osnova za dekompoziciju signala - wavelet funkcije. Svojstva valleta su od temeljne važnosti kako za samu mogućnost razlaganja signala u pojedinačne valne funkcije, tako i za svrhovito djelovanje na valne spektre signala, uključujući i naknadnu rekonstrukciju signala iz obrađenih talasnih spektra.

Valovi mogu biti ortogonalni, poluortogonalni, biortogonalni. Wavelet funkcije mogu biti simetrične, asimetrične i asimetrične, sa ili bez kompaktne domene definicije, a također imaju različite stupnjeve glatkoće. Neke funkcije imaju analitički izraz, druge su brzi algoritam za izračunavanje valne transformacije. Za praksu bi bilo poželjno imati ortogonalne simetrične i asimetrične valove, ali takvi idealni valići ne postoje. Biortogonalni talasi se najčešće koriste.

Osnovne funkcije valnih transformacija mogu biti različite funkcije s kompaktnim nosiocem - modulirane sinusoide, funkcije s skokovima razine itd. Omogućuju dobar prikaz i analizu signala s lokalnim značajkama, uključujući skokove, lomove i nagibe vrijednosti velike strmine.

Poželjno bi bilo imati takvu wavelet transformaciju signala, koja bi osigurala potpunu informacijsku ekvivalentnost wavelet spektra signala s vremenskom reprezentacijom i jedinstvenost dekompozicije - rekonstrukcije signala. Međutim, to je moguće samo kada se koriste ortogonalni i biortogonalni valovi. Za kvalitativnu analizu signala i lokalnih karakteristika u signalima može se koristiti opsežnija nomenklatura valnih funkcija koje, iako ne daju rekonstrukciju signala, omogućuju procjenu informacijskog sadržaja signala i dinamike promjena u ova informacija.

Wavelet definicija. Valovi uključuju lokalizirane funkcije koje su konstruirane iz jednog matičnog vala  (t) (ili bilo koje druge neovisne varijable) pomicanjem argumentom (b) i skaliranjem (a):

 ab (t) = (1 /)  ((t-b) / a), (a, b) R,  (t) L 2 (R).

gdje faktor (1 /) osigurava da je norma funkcija neovisna o skali broja "a".

Kontinuirana valna transformacija signala s (t) L 2 (R), koja se koristi za kvalitativnu vremensko-frekvencijsku analizu, po svom značenju odgovara Fourierovoj transformaciji sa zamjenom harmonijske baze exp (-jt) valletom jedan  ((tb) / a ):

S (a, b) = s (t),  ab (t)  = (1 /) s (t)  ((tb) / a) dt, (a, b) R, a 0.

Spektar vremenske skale valova C (a, b), za razliku od Fourierovog spektra, funkcija je dvaju argumenata: skale valova "a" (u jedinicama recipročnim frekvenciji) i vremenskog pomaka talasa prema signal "b" (u vremenskim jedinicama), dok parametri "a" i "b" mogu poprimiti bilo koju vrijednost u okviru svoje definicije.

Riža. 24.1.1. Talasi Mhat i Wave.

Na sl. 24.1.1 prikazuje primjere najjednostavnijih neortogonalnih valova parnog (Mhat) i neparnog (Wave) tipa.

Za kvantitativne metode analize, sve lokalizirane funkcije  (t) mogu se koristiti kao baze valova ako imaju funkcije blizanke  # (t) tako da obitelji ( ab (t)) i (  ab (t) ) mogu tvore uparene baze funkcionalnog prostora L2 (R). Ovako definirani talasići omogućuju predstavljanje bilo koje proizvoljne funkcije u prostoru L2 (R) kao niz:

s (t) = S (a, b)   ab (t), (a, b) I,

gdje su koeficijenti C (a, b) projekcija signala na valnu osnovu prostora:

S (a, b) = s (t),  ab (t)  = s (t)  ab (t) dt.

Ako val  (t) ima svojstvo ortogonalnosti, tada je   (t) ≡  (t) i baza vala je ortogonalna. Talas može biti neortogonan, ali ako ima blizanca, a par ( (t),   (t)) omogućuje formiranje obitelji ( mk (t)) i (  zp (t) )) zadovoljavajući uvjet biortogonalnosti na cijelim brojevima I:

 mk (t),   zp (t)  =  mz  kp, m, k, z, p Î I,

tada je moguće razložiti signale u nizove valova s ​​inverznom formulom rekonstrukcije.

Svojstva talasa ,

Lokalizacija. Walet bi trebao biti kontinuiran, integrabilan, imati kompaktan nositelj i biti lokaliziran i u vremenu (u prostoru) i u frekvenciji. Ako se val sužava u prostoru, tada se njegova "prosječna" frekvencija povećava, spektar talasa se pomiče u područje viših frekvencija i širi. Ovaj proces bi trebao biti linearan - sužavanje valleta za polovicu trebalo bi povećati njegovu "prosječnu" frekvenciju, a širina spektra se također udvostručila.

Nulta srednja vrijednost , tj. ispunjenje uvjeta za nulti moment:

koji osigurava nulto pojačanje konstantne komponente signala, nultu vrijednost frekvencijskog spektra talasa pri  = 0 i lokalizaciju spektra talasa u obliku pojasnog filtra centriranog na određenoj (dominantnoj) frekvenciji  0.

Ograničenje. Neophodan i dovoljan uvjet:

||  (t) || 2 =  |  (t) | 2 dt< 

Samosličnost osnove ili samosličnost. Oblik svih osnovnih valova  ab (t) trebao bi biti sličan matičnom valu  (t), tj. treba ostati isti pri pomicanju i skaliranju (rastezanju / skupljanju), imati isti broj oscilacija.

Mapiranje konverzija . Rezultat wavelet transformacije jednodimenzionalnog niza brojeva (signala) je dvodimenzionalni niz vrijednosti koeficijenata C (a, b). Distribucija ovih vrijednosti u prostoru (a, b) - vremenska skala, vremenska lokalizacija, daje informaciju o promjeni u vremenu relativnog doprinosa wavelet komponenti različitih ljestvica u signalu i naziva se spektrom koeficijenata wavelet transformacije , skalo-vreme (frekvencija-vrijeme) spektar ili jednostavno talasni spektar.

Spektar C (a, b) jednodimenzionalnog signala je površina u trodimenzionalnom prostoru. Metode vizualizacije spektra mogu biti vrlo različite. Najčešći način je projekcija na ravninu. ab s izolinijama (izo-razinama), što omogućuje praćenje promjena koeficijenata na različitim skalama u vremenu, kao i otkrivanje slike lokalnih ekstrema ovih površina ("brda" i "depresija"), tj. naziva "kosturom" strukture analiziranog procesa. U širokom rasponu mjerila, logaritamske koordinate (log a, b). Primjer spektra talasa najjednostavnijeg signala kada je proširen Mhat valom prikazan je na Sl. 24.1.2.

Riža. 24.1.2. Signal, wavelet Mhat - spektar i ljestvica spektra.

Na vertikalnim presjecima (posmični dijelovi b) talasni spektar odražava komponentni sastav signala (iz zadanog skupa valova) u svakom trenutnom trenutku. U smislu transformacije, kao skalarnog produkta signala s valom, jasno je da su vrijednosti koeficijenata u svakoj trenutnoj vremenskoj točki duž odsječaka skale to veće, što je jača korelacija između talasa zadanu skalu i ponašanje signala u blizini ove točke. Sukladno tome, presjeci za parametar "a" pokazuju promjene u signalu komponente zadane ljestvice "a" s vremenom.

Wavelet komponente signala u dijelovima njegovog spektra nemaju nikakve veze sa sinusoidima, te su u pravilu predstavljene signalima prilično složenog i ne uvijek jasnog oblika, što može otežati njihovu vizualnu reprezentaciju i razumijevanje.

Wavelet funkcije . Izbor valčića za analizu određen je informacijama koje treba izdvojiti iz signala. Uzimajući u obzir karakteristične značajke različitih valova u vremenskom i frekventnom prostoru, moguće je u analiziranim signalima identificirati određena svojstva i značajke koje su nevidljive na grafovima signala, posebno u prisutnosti šuma. U tom slučaju se možda neće postaviti problem rekonstrukcije signala, što proširuje obitelj korištenih regularnih valnih funkcija, uključujući i neortogonalne. Štoviše, val se može konstruirati izravno za tu lokalnu značajku u signalu, koju treba izolirati ili detektirati, ako je njezin oblik poznat a priori.

Kada se analiziraju signali valovima parnog tipa (simetrični ili blizu simetričnih), harmonijski signali obično odgovaraju svijetlim horizontalnim vrpcama vrhova i padova vala na dominantnim frekvencijama valova, koji se podudaraju s frekvencijom harmonika signala. Poremećaji u glatkoći signala bilježe se okomitim prugama, vrhovi signala su istaknuti maksimumima, a donje vrijednosti - minimumima valnih koeficijenata. Naprotiv, valovi neparnog tipa oštrije reagiraju na skokove i brze promjene signala, označavajući ih maksimumima ili minimumima ovisno o predznaku razlika. Što su značajke signala izraženije, to se više ističu u spektrogramima.

Za konstruiranje takvih valova često se koriste derivacije Gaussove funkcije koje imaju najbolju lokalizaciju iu vremenskoj i u frekvencijskoj domeni. U općem obliku, osnovna wavelet jednadžba je:

 n (x) = (-1) n +1 d n / dx n, n ≥ 1, (24.1.1)

WAVE-wavelet izračunava se iz prve derivacije (n = 1) i prikazana je na sl. 24.1.3 u vremenskoj i frekvencijskoj domeni za tri vrijednosti faktora skale "a". Oblik vala odnosi se na neparne funkcije i, sukladno tome, spektar valova je imaginaran. Wavelet jednadžba prema (24.1.1) s jediničnom normom:

Riža. 24.1.3. Wavelet Wave.

Na sl. 24.1.4 prikazuje primjer korištenja valleta za analizu dva signala istog tipa, od kojih je jedan kompliciran šumom s snagom na razini samog signala. Kao što slijedi iz slike, konturna skala-vremenska slika koeficijenata talasa, kao i njegovi presjeci pri velikim vrijednostima koeficijenata skale "a", vrlo precizno i ​​pouzdano fiksiraju položaj vrha informacijskog signala promjenom predznak koeficijenata C (a, b).

MNAT-valčić (meksički šešir - meksički šešir) izračunava se iz druge derivacije (n = 2) i prikazana je na sl. 24.1.5. Wavelet je simetričan, spektar vala predstavljen je samo realnim dijelom i dobro je lokaliziran po frekvenciji, nulti i prvi moment valleta jednaki su nuli. Koristi se za analizu složenih signala. Wavelet jednadžba prema (24.1.1):

Riža. 24.1.5. Wavelet MHAT.

Na sl. 24.1.6 prikazuje primjer korištenja vala za analizu složenog signala y (t). Model signala formira se zbrojem signala različitih struktura. Signali y1-y2 su Gaussove funkcije različitih razina skale, signal y3 je pravokutni impuls, signal y4 je postavljen u obliku trenda s konstantnom vrijednošću diferencijala. Na konturnom prikazu wavelet koeficijenata možete vidjeti odabir sve tri glavne strukture signala uz potpuno isključenje trenda. Posebno se jasno razlikuju granice skokova pravokutne strukture. Na desnoj strani, slika prikazuje punu trodimenzionalnu sliku valne transformacije.

Waslet se široko koristi u dvodimenzionalnom obliku za analizu izotropnih polja. Na njegovoj je osnovi također moguće konstruirati dvodimenzionalnu ne-izotropnu bazu s dobrom kutnom selektivnošću pri dodavanju njezine rotacije pomacima i skaliranju vala.

Riža. 24.1.7.

Povećanjem broja derivacije funkcije (24.1.1) vremenska domena za određivanje valčića neznatno raste uz značajno povećanje dominantne frekvencije vala i stupnja njegove lokalizacije u frekvencijskoj domeni. Valovi N-tog reda omogućuju vam analizu finijih visokofrekventnih signalnih struktura potiskivanjem niskofrekventnih komponenti. Primjer valleta u odnosu na osmu derivaciju prikazan je na Sl. 24.1.7.

Praktična posljedica povećanja stupnja lokalizacije valova u frekvencijskoj domeni jasno je vidljiva na Sl. 24.1.8 koristeći primjer transformacije iste funkcije kao na sl. 24.1.6. Usporedba slika pokazuje značajno povećanje osjetljivosti talasa na visokofrekventne komponente signala pri malim faktorima.

Svojstva transformacije talasa

Rezultati wavelet transformacije, kao točkasti proizvod valleta i signalne funkcije, sadrže kombinirane informacije o analiziranom signalu i samom valu. Dobivanje objektivnih informacija o signalu temelji se na svojstvima wavelet transformacije, koja su zajednička za sve vrste valova. Razmotrimo glavna od ovih svojstava. Za označavanje operacije wavelet transformacije proizvoljnih funkcija s (t) koristit ćemo indeks TW.

Linearnost .

TW [ · s 1 (t) +  · s 2 (t)] =  · TW +  · TW. (24.2.1)

Invarijantnost smicanja . Pomak signala u vremenu za t 0 dovodi do pomaka spektra talasa također za t 0:

TW = C (a, b-t o). (24.2.2)

Invarijantnost skaliranja . Rastezanje (kompresija) signala dovodi do kompresije (istezanja) talasnog spektra signala:

TW = (1 / a o) C (a / a o, b / a o). (24.2.3)

Diferencijacija .

d n (TW) / dt n = TW. (24.2.4)

TW = (-1) n s (t) dt. (24.2.5)

Ako je val za analizu zadan formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Značajke visokog reda ili male varijacije signala s (t) mogu se analizirati diferenciranjem potrebnog broja puta bilo valleta ili samog signala.

Analog Parsevalovog teorema za ortogonalne i biortogonalne valove.

s 1 (t) s 2 * (t) = C   a -2 S (a, b) S * (a, b) da db. (24.2.6)

Iz toga slijedi da se energija signala može izračunati kroz koeficijente valne transformacije.

Definicije i svojstva jednodimenzionalne kontinuirane valne transformacije generalizirane su na višedimenzionalne i diskretne slučajeve.

24.3. Wavelet transformacija jednostavnih signala.

Wavelet transformacija provedena u analizi signala kako bi se identificirale bilo kakve osobitosti u njima i mjesto njihove lokalizacije bez reverzne rekonstrukcije omogućuje korištenje bilo koje vrste valleta, kako ortogonalnih tako i neortogonalnih. U te se svrhe najčešće koriste simetrični valovi. U nastavku se nalaze rezultati korištenja Mhat vala za analizu jednostavnih valnih oblika. Proračuni se izvode s valom (24.1.3) prema formuli:

c (a, b) = s (t)  (t, a, b), (24.3.1)

gdje se zbrajanje izvodi u rješenju kuta utjecaja (preko područja povjerenja) s korakom t = b = a = 1. Budući da se funkcija skaliranja ne koristi u kontinuiranoj ekspanziji, brojanje vrijednosti "a" počinje od 1, a niz koeficijenata c ( 0, b) ostavlja nulu i definira nultu pozadinu konturnih dijagrama spektra.

Kroneckerovi impulsi (pozitivni i negativni), talasni spektar impulsa i spektralni presjek pri tri vrijednosti parametra "a" prikazani su na Sl. 24.3.1. Raspon boja spektra ovdje i u budućnosti odgovara prirodnom rasponu boja od crvene (velike vrijednosti) do ljubičaste (male vrijednosti koeficijenata).

Riža. 24.3.1. Transformacija Kroneckerovih impulsa.

Spektralni presjeci pokazuju da konvolucija pojedinačnih impulsa s valovima različitog razmjera ponavlja oblik vala, kao što bi trebao biti u operaciji konvolucije. Sukladno tome, linije maksimalnih ekstrema na presjecima ("grebeni" i "doline", ovisno o polaritetu) određuju vremenski položaj impulsa, a bočni ekstremi suprotnog polariteta formiraju karakteristične režnjeve u stošcu kuta utjecaja. , što je dobro izraženo.

Riža. 24.3.2. Transformacija Laplaceovih funkcija.

Slična priroda spektra ostaje za sve lokalne nehomogenosti u signalima u obliku vrhova (slika 24.3.2) s pomakom maksimuma (minimuma) koeficijenata c (a, b) od vrijednosti a = 1 na područje velikih vrijednosti "a" (ovisno o efektivnoj širini vrha).

Riža. 24.3.3. Pretvorba Gaussovih funkcija.

Na sl. 24.3.3 prikazuje spektar Gaussovih funkcija. Prilikom zaglađivanja vrhova vršnih nepravilnosti također se izglađuje oblik čunjeva u boji, ali linije "grebena" ("doline") prilično točno fiksiraju položaj središta lokalnih nepravilnosti na vremenskoj osi.

Riža. 24.3.4. Pretvorba funkcija diferencijalne konstantne vrijednosti.

Na sl. 24.3.4 prikazuje spektre dvaju nagiba različite strmine konstantnih vrijednosti funkcije. Centri padova su fiksirani križanjem nule vrijednosti koeficijenata c (a, b), a strmina padova se uglavnom ogleda u vrijednostima funkcije c (a, b) pri male vrijednosti parametra "a".

U prekidima funkcija spektrograma, mjesto prekida je pouzdano fiksirano maksimumima (minimumima) vrijednosti koeficijenata c (a, b), kao što je prikazano na sl. 24.3.5. Kada se nametnu takvim funkcijama buke, točno određivanje mjesta lomova duž odsječaka skale pri malim vrijednostima parametra "a" postaje nemoguće, međutim, pri velikim vrijednostima parametra "a" ova mogućnost ostaje, naravno, sa smanjenjem točnosti lokalizacije.

Riža. 24.3.5. Pretvorba kinkova funkcija.

Utjecaj šuma na druge lokalne signale ima sličan karakter (sl. 24.3.1-24.3.4). Ako se spektralne značajke signala protežu na raspon vrijednosti parametra "a", tada je moguće identificirati te signale i njihovo mjesto na vremenskoj osi.

Riža. 24.3.6. Transformacija harmonijskih funkcija.

Razdvajanje harmonijskih funkcija na osi skale spektra, uključujući superpoziciju procesa jake buke, prikazano je u primjerima na sl. 24.3.6. Navedeni primjer je isključivo ilustrativan, budući da je preporučljivo koristiti spektralnu analizu i filtre frekvencijskog pojasa za izolaciju harmonijskih procesa s konstantnom frekvencijom u vremenu. Ipak, za lokalne signale, kao što su modulirani harmonici, talasni spektri prilično dobro pokazuju mjesto njihove lokalizacije na vremenskoj osi.

Riža. 24.3.7. Promjena faze harmonijskog signala.

Na sl. 24.3.7 prikazuje primjer još jedne karakteristične značajke harmonijskog signala - promjenu njegove faze za 180 o, koja je dobro fiksirana na svim valnim skalama, pa se stoga prilično lako određuje čak i u prisutnosti jakih signala buke.

Prilikom superponiranja sinusoidnih signala na trend, valna transformacija u velikoj mjeri omogućuje prilično pouzdano identificiranje karakterističnih značajki trenda. Primjer identificiranja prekida trenda prikazan je na Sl. 24.3.8.

Riža. 24.3.8. Pretvaranje zbroja tri signala.

Oblik vala (parnost ili neparnost), dominantna frekvencija i stupanj njegove lokalizacije značajno utječu na valne spektre analiziranih signala i mogućnost identificiranja njegovih lokalnih značajki. Sljedeće slike prikazuju usporedne spektre jednostavnih signala kada se koriste Wave (neparni, slika 24.1.3), Mhat (parni, slika 24.1.5) i val 8. Gaussove derivacije (sl. 24.3.9-24.3.16 ) , koji je također ravnomjeran, i ima dominantnu frekvenciju 4 puta veću od Mhat talasa.

Riža. 24.3.9. Kroneckerovi impulsi.

Riža. 24.3.10. Laplace Peaks.

Riža. 24.3.11. Gaussove funkcije.

Riža. 24.3.12. Strme utrke.

Riža. 24.3.13. Uglađeni skokovi.

Riža. 24.3.14. Funkcijski pregibi

Riža. 24.3.15. Fazni skokovi harmonika.

Riža. 24.3.16. Zbroj dviju moduliranih sinusoida.

Prilikom analize proizvoljnih signala, korištenje valleta različitih vrsta omogućuje povećanje pouzdanosti identificiranja lokalnih značajki signala.

Načelo transformacije talasa. Harmonske bazne funkcije Fourierove transformacije izrazito su lokalizirane u frekvencijskoj domeni (do Diracovih impulsnih funkcija na T) i nisu lokalizirane u vremenskom intervalu (određenom u cijelom vremenskom intervalu od - do). Njihova suprotnost su impulsne bazične funkcije kao što su Kroneckerovi impulsi, koji su izrazito lokalizirani u vremenskoj domeni i "zamagljeni" u cijelom frekvencijskom rasponu. Lokalizacijski valovi u ova dva prikaza mogu se smatrati funkcijama koje zauzimaju međupoziciju između harmonijskih i impulsnih funkcija. Trebaju biti lokalizirane iu vremenskoj i u frekvencijskoj domeni prezentacije. Međutim, pri projektiranju takvih funkcija neizbježno ćemo naići na princip nesigurnosti koji povezuje efektivne vrijednosti trajanja funkcija i širinu njihova spektra. Što preciznije lokaliziramo vremenski položaj funkcije, njen će spektar postati širi, i obrnuto, što se jasno vidi na Sl. 1.1.5.

Posebna značajka wavelet analize je da može koristiti obitelji funkcija koje implementiraju različite varijante relacije nesigurnosti. Sukladno tome, istraživač ima fleksibilan izbor između njih i korištenja onih wavelet funkcija koje najučinkovitije rješavaju zadane zadatke.

Valovnu bazu prostora L2 (R), R (-, ), preporučljivo je konstruirati iz konačnih funkcija koje pripadaju istom prostoru, a koje trebaju težiti nuli u beskonačnosti. Što brže ove funkcije teže nuli, to ih je prikladnije koristiti kao osnovu za pretvorbu pri analizi stvarnih signala. Pretpostavimo da je takva funkcija psi - funkcija t jednaka nuli izvan određenog konačnog intervala i koja ima nultu prosječnu vrijednost u intervalu zadatka. Potonje je neophodno za određivanje lokalizacije spektra talasa u frekvencijskoj domeni. Na temelju ove funkcije konstruiramo bazu u prostoru L2 (R) koristeći skale transformacije nezavisne varijable.

Funkcija promjene frekvencijsko neovisne varijable u spektralnom prikazu signala prikazuje se u vremenskom prikazu rastezanjem/komprimiranjem signala. Za valnu bazu, to se može učiniti funkcijom tipa  (t) =>  (a m t), a = const, m = 0, 1, ..., M, t.j. linearnom operacijom rastezanja/smanjivanja, koja osigurava samosličnost funkcije na različitim skalama reprezentacije. Međutim, lokalizacija funkcije (t) na vremenskoj osi zahtijeva dodatnu neovisnu varijablu uzastopnih pomaka funkcije (t) duž osi, kao što je (t) =>  (t + k), kako bi se pokrila cjelokupna brojevna os prostora R (-,  ). Uzimajući u obzir oba uvjeta u isto vrijeme, struktura osnovne funkcije može se pretpostaviti kako slijedi:

 (t) =>  (a m t + k). (1.1.10)

Da bi se pojednostavili daljnji izračuni, pretpostavlja se da su vrijednosti varijabli m i k cijeli brojevi. Kada se funkcija (1.1.10) svede na jediničnu normu, dobivamo:

 mk (t) = a m / 2  (a m t + k). (1.1.11)

Ako je uvjet ortogonalnosti zadovoljen za obitelj funkcija  mk (t):

 nk (t),  lm (t)  =  nk (t)  * lm (t) dt =  nl  km, (1.1.12)

tada se obitelj  mk (t) može koristiti kao ortonormalna baza prostora L2 (R). Proizvoljna funkcija ovog prostora može se proširiti u niz u bazi mk (t):

s (t) = S mk  mk (t), (1.1.13)

gdje su koeficijenti S m k projekcija signala na novu ortogonalnu bazu funkcija, kao u Fourierovoj transformaciji, određeni su skalarnim umnoškom

S mk = s (t),  mk (t)  = s (t)  mk (t) dt, (1.1.14)

nizovi se ravnomjerno konvergiraju:

|| s (t) –S mk  mk (t), || = 0.

Pod tim uvjetima, osnovna transformacijska funkcija  (t) naziva se ortogonalni val.

Najjednostavniji primjer ortogonalnog sustava funkcija ovog tipa su Haarove funkcije. Haarova bazna funkcija definirana je relacijom

 (t) = (1.1.15)

Lako je provjeriti da za a = 2, m = 0, 1, 2, ..., k = 0, 1,2, ... bilo koje dvije funkcije dobivene korištenjem ovog osnovnog valleta transformacijama i translacijama imaju jediničnu normu i ortogonalno. Na sl. 1.1.6 prikazuje primjere funkcija za prve tri vrijednosti m i b za njihove različite kombinacije, gdje je jasno vidljiva ortogonalnost funkcija.

Riža. 1.1.6. Haarove funkcije

Talasni spektar , za razliku od Fourierove transformacije, je dvodimenzionalna i definira dvodimenzionalnu plohu u prostoru varijabli m i k. U grafičkom prikazu, parametar rastezanja / kompresije spektra m je ucrtan duž apscise, parametar lokalizacije k duž ordinate je os nezavisne varijable signala. Razmotrimo matematiku procesa valne dekompozicije signala u pojednostavljenom obliku na primjeru dekompozicije signala s (t) Haarovim valom s tri valne funkcije sekvencijalne u mjerilu m s parametrom a = 2, dok je Sam signal s (t) nastaje zbrajanjem istih valnih funkcija s istom amplitudom s različitim pomakom od nule, kao što je prikazano na sl. 1.1.7.

Riža. 1.1.7. Točkasti produkt signala s valovima.

Za početnu vrijednost faktora kompresije skale m određuje se valna funkcija (1 (t) na slici 1.1.7), a skalarni umnožak signala s valom 1 (t), s (t + k ) s argumentom pomaka k ... Radi jasnoće, rezultati izračunavanja skalarnih proizvoda na Sl. 1.1.7 su ucrtani u središtima valnih funkcija (tj. na argumentu k od nule s pomakom za polovicu duljine valne funkcije). Kao što se i očekivalo, bilježe se maksimalne vrijednosti točkastog proizvoda gdje je lokalizirana ista valna funkcija.

Nakon konstruiranja prve skale proširenja mijenja se ljestvica valne funkcije (2 na slici 1.1.7) i izračunava se druga skala spektra itd.

Kao što se vidi na sl. 7, što se točnije lokalna značajka signala poklapa s odgovarajućom funkcijom vala, to je učinkovitiji odabir ove značajke na odgovarajućoj skali spektra talasa. Može se vidjeti da je za visoko komprimirani Haar val karakteristična dobro istaknuta lokalna značajka skok signala, pri čemu se ne razlikuje samo skok funkcije, već i smjer skoka.

Na sl. 1.1.8 prikazuje primjer grafičkog prikaza valne površine stvarnog fizičkog procesa / 4 /. Izgled površine određuje promjene u vremenu spektralnih komponenti različitih razmjera i naziva se vremenski-frekvencijski spektar. Površina je prikazana slikama, u pravilu, u obliku izolinija ili konvencionalnih boja. Za proširenje raspona mjerila može se koristiti logaritamska ljestvica.

Kontinuirana valna transformacija

Svojstva transformacije talasa

Zahtjevi za Wavelet

Za implementaciju wavelet transformacije, wavelet funkcije moraju zadovoljiti sljedeće kriterije:

1. Talas mora imati konačnu energiju:

2. Ako je Fourierova transformacija za, tj

tada mora biti zadovoljen sljedeći uvjet:

Taj se uvjet naziva uvjetom prihvatljivosti, a iz njega proizlazi da val s komponentom nulte frekvencije mora zadovoljiti uvjet ili, u drugom slučaju, val mora imati srednju vrijednost jednaku nuli.

3. Za složene valove prikazan je dodatni kriterij, odnosno da za njih Fourierova transformacija mora biti istovremeno realna i mora se smanjivati ​​za negativne frekvencije.

4. Lokalizacija: val mora biti kontinuiran, integrabilan, imati kompaktan nositelj i biti lokaliziran i u vremenu (u prostoru) i u frekvenciji. Ako se val sužava u prostoru, tada se njegova prosječna frekvencija povećava, spektar talasa se pomiče u područje viših frekvencija i širi se. Ovaj bi proces trebao biti linearan – sužavanje valčića za polovicu trebalo bi povećati njegovu prosječnu frekvenciju, a širinu spektra također bi se udvostručila.

1. Linearnost

2. Invarijantnost pomaka

Vremenski pomak signala za t0 također dovodi do pomaka spektra talasa za t0.

3. Invarijantnost skaliranja

Rastezanje (kompresija) signala rezultira kompresijom (istezanjem) talasnog spektra signala.

4. Diferencijacija

Iz ovoga proizlazi da je svejedno hoće li se diferencirati funkcija ili val koji analizira. Ako je val za analizu zadan formulom, onda može biti vrlo koristan za analizu signala. Ovo svojstvo je posebno korisno ako je signal specificiran diskretnim nizom.

Wavelet transformacija za kontinuirani signal u odnosu na wavelet funkciju definirana je kako slijedi:

gdje znači kompleksni konjugat za, parametar odgovara vremenskom pomaku, i naziva se parametar položaja, parametar specificira skaliranje i naziva se parametar rastezanja.

Funkcija ponderiranja.

Normaliziranu funkciju možemo definirati na sljedeći način

što znači vremenski pomak za b i skaliranje vremena za a. Tada će se formula za wavelet transformaciju promijeniti u

Izvorni signal može se rekonstruirati korištenjem formule inverzne transformacije

U diskretnom slučaju, parametri skaliranja a i pomaka b predstavljeni su diskretnim vrijednostima:

Tada val za analizu ima sljedeći oblik:

gdje su m i n cijeli brojevi.

U ovom slučaju, za kontinuirani signal, diskretna valna transformacija i njezina inverzna transformacija bit će zapisane sljedećim formulama:

Veličine su također poznate kao wavelet koeficijenti.

postoji konstanta normalizacije.

Pojava jeftinih digitalnih fotoaparata dovela je do toga da je značajan dio stanovnika našeg planeta, bez obzira na dob i spol, stekao naviku bilježiti svaki njihov korak i prikazivati ​​nastale slike kako bi ih svi mogli vidjeti na društvenim mrežama. . Osim toga, ako je ranije obiteljska arhiva fotografija bila smještena u jedan album, danas se sastoji od stotina fotografija. Kako bi se olakšala njihova pohrana i prijenos preko mreža, potrebno je smanjenje težine digitalne slike. U tu svrhu koriste se metode koje se temelje na različitim algoritmima, uključujući wavelet transformaciju. Naš članak će vam reći što je to.

Što je digitalna slika

Vizualne informacije u računalu predstavljene su u obliku brojeva. Jednostavnim riječima, fotografija snimljena digitalnim uređajem je tablica u čije su ćelije upisane vrijednosti boja svakog njenog piksela. Ako govorimo o jednobojnoj slici, tada se zamjenjuju vrijednostima svjetline iz segmenta, gdje se 0 koristi za označavanje crne, a 1 - bijele. Ostale nijanse su postavljene s razlomcima, ali je nezgodno raditi s njima, pa se raspon proširuje i vrijednosti se biraju iz intervala između 0 i 255. Zašto baš iz ovoga? To je tako jednostavno! S ovim izborom u binarnom obliku, za kodiranje svjetline svakog piksela potreban je točno 1 bajt. Očito je potrebno dosta memorije za pohranu čak i male slike. Na primjer, fotografija veličine 256 x 256 piksela zauzima 8 KB.

Nekoliko riječi o metodama kompresije slike

Sigurno su svi vidjeli slike loše kvalitete, gdje postoje izobličenja u obliku pravokutnika iste boje, koji se obično nazivaju artefakti. Oni proizlaze iz onoga što je poznato kao kompresija s gubicima. Omogućuje vam značajno smanjenje težine slike, ali neizbježno utječe na njezinu kvalitetu.

Gubitak uključuje:

• JPEG. Trenutno je ovo jedan od najpopularnijih algoritama. Temelji se na primjeni diskretne kosinusne transformacije. Radi pravednosti, treba napomenuti da postoje JPEG varijante koje izvode kompresiju bez gubitaka. To uključuje JPEG bez gubitaka i JPEG-LS.
• JPEG 2000. Algoritam se koristi na mobilnim platformama i temelji se na korištenju diskretne wavelet transformacije.
• Algoritam fraktalne kompresije. U nekim slučajevima može proizvesti slike vrhunske kvalitete čak i kada su jako komprimirane. Međutim, zbog problema s patentiranjem, ova metoda je i dalje egzotična.

Kompresija bez gubitaka provodi se pomoću algoritama:

• RLE (koristi se kao glavna metoda u TIFF, BMP, TGA formatima).
• LZW (koristi se u GIF formatu).
• LZ-Huffman (koristi se za PNG format).

Fourierova transformacija

Prije nego što pređemo na razmatranje valleta, ima smisla proučiti funkciju povezanu s njima, koja opisuje koeficijente u razgradnji početne informacije na elementarne komponente, tj. harmonijske oscilacije s različitim frekvencijama. Drugim riječima, Fourierova transformacija je jedinstveni alat koji povezuje diskretne i kontinuirane svjetove.

izgleda ovako:

Formula pretvorbe je napisana na sljedeći način:

Što je vallet

Ovaj naziv skriva matematičku funkciju koja vam omogućuje analizu različitih frekvencijskih komponenti podataka koji se istražuju. Njegov graf predstavlja valovite fluktuacije čija se amplituda smanjuje na 0 daleko od ishodišta. U općem slučaju zanimljivi su wavelet koeficijenti određeni integralnom transformacijom signala.

Wavelet spektrogrami razlikuju se od konvencionalnih Fourierovih spektra po tome što povezuju spektar različitih značajki signala s njihovom vremenskom komponentom.

Wavelet transformacija

Ovaj način transformacije signala (funkcije) omogućuje vam da ga prevedete s vremena na vremensko-frekvencijski prikaz.

Da bi transformacija valova bila moguća, moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti za odgovarajuću valnu funkciju:

• Ako za neku funkciju ψ (t) Fourierova transformacija ima oblik

tada mora biti ispunjen uvjet:

Štoviše:

• val mora imati konačnu energiju;
• mora biti integrabilan, kontinuiran i imati kompaktan oslonac;
• val mora biti lokaliziran i frekvencijski i vremenski (u prostoru).

Vrste

Za odgovarajuće signale koristi se kontinuirana wavelet transformacija. Njegov diskretni pandan je od puno većeg interesa. Uostalom, može se koristiti za obradu informacija u računalima. Međutim, u ovom slučaju nastaje problem koji se odnosi na činjenicu da se formule za diskretni DWT ne mogu dobiti jednostavnom diskretizacijom odgovarajućih formula DNT-a.

Rješenje za ovaj problem pronašao je I. Daubechies, koji je uspio pronaći metodu koja omogućuje konstruiranje niza takvih ortogonalnih valova, od kojih je svaki određen konačnim brojem koeficijenata. Kasnije su stvoreni brzi algoritmi, na primjer Mallin algoritam. Kada se primjenjuje za dekompoziciju ili rekonstrukciju, potrebno je izvesti oko cN operacija, gdje je N duljina uzorka, a c broj koeficijenata.

Vivelet Haara

Kako bi se među njegovim podacima pronašao određeni uzorak, ili još bolje, ako su to dugi nizovi nula. Ovdje dobro dolazi algoritam wavelet transformacije. Međutim, nastavit ćemo razmatrati metodu po redu.

Prvo morate zapamtiti da se na fotografijama svjetlina susjednih piksela u pravilu malo razlikuje. Čak i ako stvarne slike sadrže područja s oštrim, kontrastnim promjenama svjetline, one zauzimaju samo mali dio slike. Uzmite Lenninu dobro poznatu testnu sliku u sivim tonovima kao primjer. Ako uzmemo matricu svjetline njenih piksela, tada će dio prvog retka izgledati kao niz brojeva 154, 155, 156, 157, 157, 157, 158, 156.

Da biste dobili nule, na njega možete primijeniti takozvanu delta metodu. Da biste to učinili, sprema se samo prvi broj, a za ostatak se uzimaju samo razlike svakog broja od prethodnog sa znakom "+" ili "-".

Rezultat će biti niz: 154,1,1,1,0,0,1, -2.

Nedostatak delta kodiranja je to što nije lokalno. Drugim riječima, nemoguće je uzeti samo dio niza i saznati koja je svjetlina kodirana u njemu, ako sve vrijednosti ispred njega nisu dekodirane.

Da bi se prevladao ovaj nedostatak, brojevi su podijeljeni u parove i za svaki pronađite poluzbroj (vol.a) i polurazliku (vol.d), tj. za (154.155), (156.157), (157.157), (158.156 ) imamo (154,5, 0,5), (156,5,0,5), (157,0,0), (157, -1,0). U ovom slučaju, u svakom trenutku možete pronaći vrijednost oba broja u paru.

U općem slučaju, za diskretnu wavelet transformaciju signala S, imamo:

Ova diskretna metoda slijedi iz kontinuiranog slučaja Haarove valne transformacije i široko se koristi u različitim područjima obrade i kompresije informacija.

Kompresija

Kao što je već spomenuto, jedna od primjena wavelet transformacije je algoritam JPEG 2000. Kompresija korištenjem Haar metode temelji se na prevođenju vektora od dva piksela X i Y u vektor (X + Y) / 2 i (X - Y ) / 2. Da biste to učinili, dovoljno je pomnožiti izvorni vektor s dolje prikazanom matricom.

Ako ima više točaka, onda se uzima veća matrica, duž čije se dijagonale nalaze matrice H. Dakle, izvorni vektor, bez obzira na njegovu duljinu, obrađuje se u parovima.

Filtri

Rezultirajući "polu-zbroji" su prosječne vrijednosti svjetline u parovima piksela. Odnosno, vrijednosti prilikom pretvaranja u sliku trebale bi dati svoju kopiju, smanjenu za 2 puta. U ovom slučaju, poluzbroji u prosjeku svjetline, odnosno "filtriraju" nasumične rafale svojih vrijednosti i igraju ulogu frekvencijskih filtara.

Pogledajmo sada što pokazuju razlike. Oni "izoliraju" interpikselne "rafale", eliminirajući konstantnu komponentu, odnosno "filtriraju" vrijednosti niskim frekvencijama.

Čak i iz gornje Haar wavelet transformacije za lutke postaje očito da se radi o paru filtera koji dijele signal na dvije komponente: visokofrekventnu i niskofrekventnu. Za dobivanje izvornog signala dovoljno je jednostavno ponovno kombinirati ove komponente.

Primjer

Recimo da želimo komprimirati fotoportret (Lennina probna slika). Razmotrimo primjer wavelet transformacije njegove matrice svjetline piksela. Visokofrekventna komponenta slike odgovorna je za prikaz finih detalja i opisuje šum. Što se tiče niskofrekventnog, on nosi informacije o obliku lica i glatkim promjenama svjetline.

Osobitosti ljudske percepcije fotografija su takve da je posljednja komponenta važnija. To znači da kada se komprimiraju, neki od visokofrekventnih podataka mogu biti odbačeni. Štoviše, ima niže vrijednosti i kompaktnije je kodiran.

Da biste povećali omjer kompresije, možete primijeniti Haar transformaciju više puta na podatke niske frekvencije.

Primjena na dvodimenzionalne nizove

Kao što je već spomenuto, digitalna slika u računalu predstavljena je u obliku matrice vrijednosti intenziteta svojih piksela. Stoga bi nas trebala zanimati Haar 2D wavelet transformacija. Da biste ga implementirali, trebate samo izvršiti njegovu jednodimenzionalnu transformaciju za svaki redak i svaki stupac matrice intenziteta piksela slike.

Vrijednosti bliske nuli mogu se odbaciti bez značajnog utjecaja na dekodiranu sliku. Ovaj proces je poznat kao kvantizacija. I upravo se u ovoj fazi neke informacije gube. Usput, broj omjera resetiranja može se mijenjati, čime se podešava omjer kompresije.

Sve opisane radnje dovode do rezultirajuće matrice, koja sadrži veliki broj 0. Treba je upisati red po redak u tekstualnu datoteku i komprimirati bilo kojim arhivatorom.

Dekodiranje

Obrnuta konverzija u sliku izvodi se prema sljedećem algoritmu:

• arhiva je raspakirana;
• primjenjuje se inverzna Haarova transformacija;
• dekodirana matrica se pretvara u sliku.

Prednosti u odnosu na JPEG

Kada se razmatra algoritam Zajednička skupina fotografskih stručnjaka rečeno je da se temelji na PrEP-u. Ova transformacija se vrši u blokovima (8 x 8 piksela). Kao rezultat toga, ako je kompresija jaka, tada struktura bloka postaje vidljiva na rekonstruiranoj slici. Ne postoji takav problem s kompresijom pomoću talasa. Međutim, mogu se pojaviti i druge vrste izobličenja, koje se pojavljuju kao mreškanje oko oštrih rubova. Vjeruje se da su takvi artefakti u prosjeku manje uočljivi od "kvadrata" koji nastaju korištenjem JPEG algoritma.

Sada znate što su valovi, što su i kakva im je praktična primjena pronađena u području obrade i kompresije digitalnih slika.

U praksi, DTWS treba primijeniti na signale konačne duljine. Stoga se mora modificirati kako bi se dobio niz koeficijenata iste duljine iz signala neke duljine. Rezultirajuća transformacija naziva se diskretna valna transformacija (DWT).

Najprije opisujemo DWT u matričnom obliku, a zatim na temelju grupa filtera, koji se najčešće koristi u obradi signala.

U oba slučaja pretpostavljamo da baza funkcionira i
su kompaktno definirane. To automatski jamči konačnost nizova. i ... Pretpostavimo dalje da signal koji se transformira ima duljinu
.

1. Opis matrice dwt

Označimo vektorom niz konačne duljine za neke ... Ovaj vektor se pretvara u vektor
koji sadrže sekvence
i
, svaka polovica duljine. Transformacija se može zapisati kao množenje matrice
gdje je matrica
- kvadrat i sastoji se od nula i elemenata pomnoženo sa
... Zbog svojstava dobivena u odjeljku 2.3, matrica
je ortonormiran, a njegov inverz jednak je transponiranom. Kao ilustraciju, razmotrite sljedeći primjer. Uzmite filtar s duljinom
, niz duljine
, a kao početna vrijednost -
... Slijed dobiti od po formuli (2.35), gdje je
... Tada će operacija množenja matrice-vektora biti predstavljena u obliku

. (2.52)

Inverzna transformacija je množenje
na inverznoj matrici
:

. (2.53)

Dakle, izraz (2.51) je jedan DWT korak. Puni DWT je iterativno množenje gornje polovice vektora
po kvadratnoj matrici
čija veličina
... Ovaj se postupak može ponoviti d puta dok duljina vektora ne bude jednaka 1.

U četvrtom i osmom redu matrice (2.51), slijed kružno pomaknuti: koeficijenti izvan matrice s desne strane stavljaju se u isti red s lijeve strane. To znači da je DWT točno jedno razdoblje N DTWS signal dobiveno beskonačnim periodičnim nastavkom ... Dakle, DWT, kada je definiran na ovaj način, koristi periodičnost signala, kao što je slučaj s DFT-om.

Matrični opis DWT-a je sažet i jasan. Međutim, kod obrade signala, DWT se najčešće opisuje pomoću blok dijagrama sličnog dijagramu sustava za analizu-sintezu (vidi sliku 1.1).

1. Opisivanje dwt pomoću blokova filtera

Uzimajući u obzir transformacije podpojasa u Poglavlju 1, protumačili smo jednakosti slične (2.45) i (2.46) kao filtriranje nakon čega slijedi desetkovanje na pola. Budući da u ovom slučaju postoje dva filtera i , tada je grupa filtera dvopojasna i može se prikazati kao što je prikazano na slici 2.5.

Filtri F i E srednje filtriranje po filterima i
, odnosno. Niskopropusno filtriranje izvodi se u donjoj grani kruga. Rezultat je neka aproksimacija signala, niskofrekventni (LF) podopseg bez detalja. Visokofrekventni (HF) podopseg je istaknut na vrhu kruga. Imajte na umu da pri obradi signala konstanta
uvijek se uklanja iz grupe filtera i signal se množi s 2 (vidi sliku 3.2, poglavlje 3).

Dakle, krug na slici 2.5 dijeli signal razine
signali dvije razine
... Nadalje, wavelet transformacija se dobiva rekurzivnom primjenom ove sheme na dio niske frekvencije. Kada se provede wavelet transformacija slike, svaka se iteracija algoritma izvodi najprije na redove, a zatim na stupce slike (gradi se tzv. Mallat piramida). U video kodecima ADV6xx koristi se modificirana Mallat piramida, kada se pri svakoj iteraciji transformacija ne izvodi nužno i u recima i u stupcima. To je učinjeno radi potpunijeg prikaza ljudske vizualne percepcije.

Rezultirajuća transformacija je slična (2.51). Međutim, postoje neke razlike. Prilikom filtriranja signala konačne duljine susrećemo se s problemom njegovog nastavka na granici. Matrično izvršenje DWT-a je ekvivalentno periodičnom nastavku signala na granici. Ova vrsta nastavka je potrebna za ortogonalne filtre. U slučaju korištenja biortogonalnih filtara pojavljuju se i neke druge mogućnosti zbog simetričnosti njihovih karakteristika. O ovom pitanju će se detaljnije raspravljati u 3. poglavlju.

Shema koja izvodi DWT također se može prikazati kao što je prikazano na slici 2.6. Ovdje se rekurzivno filtriranje i decimacija zamjenjuju jednom operacijom filtriranja i jednom operacijom decimacije po podpojasu. Definiranje iterativnih filtara i je najlakše dati u frekvencijskoj domeni.