U odjeljku na pitanje Kako napraviti matricu u Excelu???? dao autor Maša Kalganova najbolji odgovor je Što točno treba učiniti?
Excel dokument je bezdimenzionalna (svedimenzionalna) matrica, čiji svaki element može biti broj, tekst ili bilo koja druga vrijednost. Da, barem s formulom.
Ispišemo li 3 broja u nizu, ispod njih još 3 u nizu, ispod njih još 3 u nizu, dobivamo kvadratnu matricu 3x3.
Koje je pitanje?
Množenje matrice brojem u Excelu
Napisati formule?
U gornjoj lijevoj ćeliji nove matrice
= gornja lijeva ćelija stare matrice * ćelija s brojem (bocnite mišem), pritisnite F4 da postane $x$y, gdje su x,y koordinate ćelije. Ovo će popraviti ćeliju tijekom kopiranja. Zatim pritisnite Enter i kopirajte sadržaj ćelije u 2 susjedne ćelije u nizu. Zatim kopiramo ove 3 ćelije u sljedeća 3 retka i dobivamo isti rezultat kao na mojoj slici. To jest, množenje matrice brojem.
Kvragu, ne znaju matematiku, ali surfaju internetom!
Metoda 1
Razmotrimo matricu A dimenzija 3x4. Pomnožimo ovu matricu s brojem k. Kada se matrica pomnoži s brojem, dobivena matrica je iste dimenzije kao izvorna, a svaki element matrice A pomnoženo brojem k.
Upišimo elemente matrice u raspon B3:E5, i broj k- u ćeliju H4. U rasponu K3:N5 izračunati matricu U, dobiven matričnim množenjem A po broju k: B=A*k. Da bismo to učinili, uvodimo formulu =B3*$H$4 u ćeliju K3 , Gdje U 3- element a 11 matrice A.
Bilješka: adresa ćelije H4 Upisujemo ga kao apsolutnu poveznicu tako da se prilikom kopiranja formule poveznica ne mijenja.
Pomoću markera za automatsko popunjavanje kopirajte formulu ćelije K3 U.
Dakle, pomnožili smo matricu A u Excelu i dobiti matricu U.
Za dijeljenje matrice A brojem k u ćeliji K3 predstavimo formulu =B3/$H$4 U.
Metoda 2
Ova se metoda razlikuje po tome što je sam rezultat množenja/dijeljenja matrice brojem niz. U tom slučaju ne možete izbrisati element niza.
Da biste podijelili matricu brojem pomoću ove metode, odaberite raspon u kojem će se rezultat izračunati, unesite znak "=", odaberite raspon koji sadrži izvornu matricu A, pritisnite znak množenja (*) na tipkovnici i odaberite ćelija s brojem k Ctrl+Shift+Unesi
Da biste izvršili dijeljenje u ovom primjeru, unesite formulu =B3:E5/H4 u raspon, tj. promijenite znak “*” u “/”.
Zbrajanje i oduzimanje matrica u Excelu
Metoda 1
Treba napomenuti da se matrice iste dimenzije mogu zbrajati i oduzimati (svaka matrica ima isti broj redaka i stupaca). Štoviše, svaki element rezultirajuće matrice S bit će jednak zbroju odgovarajućih elemenata matrice A I U, tj. sa ij =i ij + bi J.
Razmotrimo matrice A I U dimenzija 3x4. Izračunajmo zbroj ovih matrica. Da biste to učinili, u ćeliji N3 predstavimo formulu =B3+H3, Gdje B3 I H3- prvi elementi matrica A I U odnosno. U ovom slučaju formula sadrži relativne veze ( U 3 I H3 ), tako da prilikom kopiranja formule na cijeli raspon matrice S mogli su se promijeniti.
Pomoću markera za automatsko popunjavanje kopirajte formulu iz ćelije N3 dolje i desno preko cijelog raspona matrice S.
Za oduzimanje matrice U iz matrice A (C=A - B) u ćeliju N3 predstavimo formulu = B3 - H3 i kopirajte ga na cijeli raspon matrice S.
Metoda 2
Ova se metoda razlikuje po tome što je sam rezultat zbrajanja/oduzimanja matrica niz. U tom slučaju ne možete izbrisati element niza.
Da biste podijelili matricu brojem pomoću ove metode, odaberite raspon u kojem će se rezultat izračunati, unesite znak "=", odaberite raspon koji sadrži prvu matricu A, pritisnite znak zbrajanja (+) na tipkovnici i odaberite drugu matricu U. Nakon unosa formule pritisnite kombinaciju tipki Ctrl+Shift+Unesi tako da cijeli raspon bude ispunjen vrijednostima.
Množenje matrice u Excelu
Treba napomenuti da se matrice mogu množiti samo ako je broj stupaca prve matrice A jednak broju redaka druge matrice U.
Razmotrimo matrice A dimenzija 3x4 I U dimenzija 4x2. Množenje ovih matrica rezultira matricom S dimenzija 3x2.
Izračunajmo umnožak ovih matrica C=A*B pomoću ugrađene funkcije =VIŠE(). Da biste to učinili, odaberite raspon L3: M5 — sadržavat će elemente matrice S, dobiven kao rezultat množenja. Na kartici Formule izaberimo Funkcija umetanja.
U dijaloškom okviru Umetnuti funkcije Odaberi kategoriju Matematički- funkcija MUNIFA — u redu.
U dijaloškom okviru Argumenti funkcije odaberite raspone koji sadrže matrice A I U. Da biste to učinili, nasuprot array1 kliknite crvenu strelicu.
A(ime raspona pojavit će se u retku argumenata) i kliknite na crvenu strelicu.
Za array2 izvodimo iste radnje. Kliknite na strelicu nasuprot array2.
Odaberite raspon koji sadrži elemente matrice U, i kliknite na crvenu strelicu.
U dijaloškom okviru pored redaka za unos raspona matrice pojavit će se elementi matrice, a na dnu - elementi matrice S. Nakon unosa vrijednosti pritisnite tipkovni prečac Shift+ Ctrl u redu.
VAŽNO. Ako samo pritisnete u redu S.
Dobit ćemo rezultat množenja matrice A I U.
Možemo promijeniti vrijednosti ćelija matrice A I U, matrice vrijednosti S promijenit će se automatski.
Transponiranje matrice u Excelu
Transpozicija matrice je operacija na matrici u kojoj se stupci zamjenjuju redovima s odgovarajućim brojevima. Označavamo transponiranu matricu A T.
Neka je matrica dana A dimenzija 3x4, pomoću funkcije =TRANSP() izračunati transponiranu matricu A T, a dimenzija ove matrice bit će 4x3.
Odaberimo raspon H3:J6 , u koju će se unijeti vrijednosti transponirane matrice.
Na kartici Formule izaberimo Funkcija umetanja Izaberi kategoriju Veze i nizovi- funkcija PRIJENOS — u redu.
U dijaloškom okviru Argumenti funkcije označavaju raspon niza B3:E5 A Shift+ Ctrl i lijevom tipkom miša kliknite na gumb u redu.
VAŽNO. Ako samo pritisnete u redu, tada će program izračunati vrijednost samo prve ćelije raspona matrice A T.
Kliknite za povećanje
Dobili smo transponiranu matricu.
Pronalaženje inverzne matrice u Excelu
Matrica A -1 naziva se inverz matrice A, Ako A A -1 = A -1 A=E, Gdje E je matrica identiteta. Treba napomenuti da se inverz matrice može pronaći samo za kvadratnu matricu (isti broj redaka i stupaca).
Neka je matrica dana A dimenzija 3x3, pronađimo njegovu inverznu matricu pomoću funkcije =MOBR().
Da biste to učinili, odaberite raspon G3: ja5 , koji će sadržavati elemente inverzne matrice, na tab Formule izaberimo Funkcija umetanja.
U dijaloškom okviru Umetnuti funkcije Izaberi kategoriju Matematički- funkcija MOBR — u redu.
U dijaloškom okviru Argumenti funkcije označavaju raspon niza NA 3:D5 , koji sadrži elemente matrice A. Pritisnite tipkovni prečac Shift+ Ctrl i lijevom tipkom miša kliknite na gumb u redu.
VAŽNO. Ako samo pritisnete u redu, tada će program izračunati vrijednost samo prve ćelije raspona matrice A -1.
Kliknite za povećanje
Dobili smo inverznu matricu.
Pronalaženje determinante matrice u Excelu
Determinanta matrice je broj koji je važna karakteristika kvadratne matrice.
Kako pronaći i definirati matrice u Excelu
Neka je matrica dana A dimenzija 3x3, izračunajmo njegovu determinantu pomoću funkcije =MOPRED().
Da biste to učinili, odaberite ćeliju H4, u njemu će se izračunati determinanta matrice, na tab Formule izaberimo Funkcija umetanja.
U dijaloškom okviru Umetnuti funkcije Izaberi kategoriju Matematički- funkcija MOPRED — u redu.
U dijaloškom okviru Argumenti funkcije označavaju raspon niza NA 3:D5 , koji sadrži elemente matrice A. Klik u redu.
Kliknite za povećanje
Izračunali smo determinantu matrice A.
Zaključno, obratimo pozornost na važnu točku. Radi se o onim operacijama na matricama za koje smo koristili funkcije ugrađene u program, a kao rezultat smo dobili novu matricu (množenje matrica, pronalaženje inverznih i transponiranih matrica). U matrici koja je rezultat operacije, neki se elementi ne mogu ukloniti. Oni. ako odaberemo npr. jedan element matrice i pritisnemo Del, tada će program izdati upozorenje: Ne možete promijeniti dio niza.
Kliknite za povećanje
Možemo samo ukloniti sve elemente ove matrice.
Video tutorial
Nastavnik fizike, informatike i IKT-a, MKOU „Srednja škola“, str. Savolenka, okrug Yukhnovsky, regija Kaluga. Autor i voditelj tečajeva na daljinu o osnovama računalne pismenosti i uredskih programa. Autor članaka, video tutorijala i razvoja.
U Excelu možete raditi s matricom kao s rasponom. To jest, skup susjednih ćelija koje zauzimaju pravokutno područje.
Adresa matrice je gornja lijeva i donja desna ćelija raspona, označena dvotočkom.
Formule polja
Konstruiranje matrice pomoću programa Excel u većini slučajeva zahtijeva korištenje formule polja. Njihova glavna razlika je u tome što rezultat nije jedna vrijednost, već niz podataka (raspon brojeva).
Za primjenu formule polja:
- Odaberite raspon u kojem bi se trebao pojaviti rezultat formule.
- Unesite formulu (kako se očekuje, počevši sa znakom "=").
- Pritisnite kombinaciju tipki Ctrl + Shift + Enter.
Traka formule prikazuje formulu polja u vitičastim zagradama.
Da biste promijenili ili izbrisali formulu polja, morate odabrati cijeli raspon i slijediti odgovarajuće korake. Za izmjene upotrijebite istu kombinaciju (Ctrl + Shift + Enter). Dio niza se ne može mijenjati.
Rješavanje matrica u Excelu
S matricama u Excelu izvode se operacije kao što su: transpozicija, zbrajanje, množenje brojem / matricom; pronalaženje inverzne matrice i njene determinante.
Transpozicija
Transponirajte matricu - zamijenite retke i stupce.
Prvo, označimo prazan raspon u koji ćemo transponirati matricu. Izvorna matrica ima 4 retka - raspon za transpoziciju mora imati 4 stupca. 5 stupaca je pet redaka u praznom području.
Pritisnite OK. Za sada funkcija daje pogrešku. Odaberite cijeli raspon gdje se matrica treba transponirati. Pritisnite tipku F2 (idite na mod za uređivanje formule). Pritisnite kombinaciju tipki Ctrl + Shift + Enter.
Prednost druge metode: Kada se naprave promjene na originalnoj matrici, transponirana matrica se automatski mijenja.
Dodatak
Možete dodati matrice s istim brojem elemenata. Broj redaka i stupaca u prvom rasponu mora biti jednak broju redaka i stupaca u drugom rasponu.
U prvu ćeliju dobivene matrice potrebno je unijeti formulu oblika: = prvi element prve matrice + prvi element druge: (=B2+H2). Pritisnite Enter i razvucite formulu tako da pokrije cijeli raspon.
Množenje matrice u Excelu
Zadatak:
Da biste pomnožili matricu s brojem, trebate pomnožiti svaki njen element s tim brojem. Formula u Excelu: =A1*$E$3 (referenca na ćeliju s brojem mora biti apsolutna).
Pomnožimo matricu s matricom različitih raspona. Proizvod matrica možete pronaći samo ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge.
U dobivenoj matrici broj redaka je jednak broju redaka prve matrice, a broj stupaca jednak je broju stupaca druge.
Radi praktičnosti, odabiremo raspon u kojem će se nalaziti rezultati množenja. Učinite aktivnom prvu ćeliju dobivenog polja. Unesite formulu: =MULTIPLE(A9:C13,E9:H11). Unesite ga kao formulu polja.
Inverzna matrica u Excelu
Ima smisla pronaći ga ako imamo posla s kvadratnom matricom (broj redaka i stupaca je isti).
Dimenzija inverzne matrice odgovara veličini izvorne. Excel funkcija - MOBR.
Odaberite prvu ćeliju trenutno praznog raspona za inverznu matricu. Unesite formulu “=MOBR(A1:D4)” kao funkciju polja. Jedini argument je raspon s originalnom matricom. Dobili smo inverznu matricu u Excelu:
Određivanje determinante matrice
Ovo je jedan broj koji se nalazi za kvadratnu matricu. Funkcija koja se koristi je MOPRED.
Postavite kursor u bilo koju ćeliju otvorenog lista. Unesite formulu: =MOPRED(A1:D4).
Stoga smo izvršili akcije s matricama koristeći ugrađene mogućnosti Excela.
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi u Excelu Metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi dobro su opisane u udžbeniku "Osnove računalne matematike. Demidovich B.P., Maron I.A. 1966." Preuzimanje - 11 MB
1. Metoda inverzne matrice (rješenje u Excelu)
S obzirom na jednadžbu:
A*X = B, gdje je A kvadratna matrica, X,B su vektori;
gdje je B poznati vektor (tj. stupac brojeva), X je nepoznati vektor,
tada se rješenje X može napisati kao:
X = A -1 *B, gdje je A -1 inverzna matrica od A.
U MS Excelu se inverzna matrica izračunava funkcijom MOBR(), a matrice (ili matrica vektorom) se množe funkcijom MULTIPLE().
Postoje "suptilnosti" korištenja ovih matrica u Excelu. Dakle, da biste izračunali inverznu matricu matrice A, trebate:
1. Pomoću miša odaberite kvadratno područje ćelija gdje će biti postavljena inverzna matrica. 2. Počnite unositi formulu =MOBR(3. Odaberite mišem matricu A. U tom slučaju odgovarajući raspon ćelija bit će upisan desno od zagrade. 4. Zatvorite zagradu, pritisnite kombinaciju tipki: Ctrl- Shift-Enter 5. Inverznu matricu treba izračunati i popuniti za to predviđeno područje. Za množenje matrice vektorom: 1. Pomoću miša odaberite područje ćelija u koje će biti postavljen rezultat množenja 2. . Počnite unositi formulu =MULTIPLE(3. Odaberite matricu mišem - prvi faktor. U ovom slučaju odgovarajući raspon ćelija bit će upisan desno od zagrade. 4. Unesite razdjelnik s tipkovnice ; ( točka sa zarezom) 5. Odaberite faktor vektor-sekunda mišem. U ovom slučaju odgovarajući raspon ćelija bit će upisan desno od zagrade. 6. Zatvorite zagradu, pritisnite kombinaciju tipki: Ctrl-Shift-Enter 7. Treba izračunati proizvod i popuniti mu predviđeno područje. Da i još jedna metoda u kojoj se koristi gumb za izgradnju Excelovih funkcija.
Preuzmite Excel dokument u kojem je ovaj primjer riješen različitim metodama.
2. Gaussova metoda
Gaussova metoda se izvodi detaljno (korak po korak) samo u edukativne svrhe, kada treba pokazati da to možete. A da biste riješili pravi SLAE, bolje je koristiti metodu inverzne matrice u Excelu ili koristiti posebne programe, na primjer, ovajKratki opis.
3. Jacobijeva metoda (metoda jednostavnih iteracija)
Za primjenu Jacobijeve metode (i Seidelove metode) potrebno je da dijagonalne komponente matrice A budu veće od zbroja ostalih komponenti istog retka. Zadani sustav nema to svojstvo, pa provodim preliminarne transformacije.
(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) – 1 ,73*(3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8.04*(3) Napomena: odabir koeficijenata izvršen je na listu „Analiza“. Rješavaju se sustavi jednadžbi čiji je cilj da izvandijagonalni elementi nestanu. Koeficijenti su zaokruženi rezultati rješavanja takvih sustava jednadžbi. Naravno, nije u tome stvar. Kao rezultat, dobivam sustav jednadžbi: 
Za primjenu Jacobijeve metode potrebno je sustav jednadžbi transformirati u oblik:
X = B2 + A2*X Transformacija: 
Zatim dijelim svaki red s faktorom lijevog stupca, odnosno sa 16, 7, 3, 70, respektivno. Tada matrica A2 ima oblik: 
I vektor B2: 
Jedna od uobičajenih operacija koja se izvodi pri radu s matricama je množenje jedne od njih drugom. Excel je moćan procesor za proračunske tablice koji je također dizajniran za rad na matricama. Stoga ima alate koji mu omogućuju da ih umnoži zajedno. Otkrijmo kako se to može učiniti na različite načine.
Mora se odmah reći da se sve matrice ne mogu međusobno množiti, već samo one koje ispunjavaju određeni uvjet: broj stupaca jedne matrice mora biti jednak broju redaka druge i obrnuto. Osim toga, isključena je prisutnost praznih elemenata u matricama. U tom slučaju također neće biti moguće izvršiti traženu operaciju.
Još uvijek nema toliko načina za množenje matrica u Excelu - samo dva. I oba uključuju korištenje ugrađenih Excel funkcija. Pogledajmo svaku od ovih opcija u detalje.
Metoda 1: funkcija MULTIPLE
Najjednostavnija i najpopularnija opcija među korisnicima je korištenje funkcije MUNIFA. Operater MUNIFA pripada matematičkoj skupini funkcija. Njegov neposredni zadatak je pronaći umnožak dva niza matrica. Sintaksa MUNIFA izgleda ovako:
MMULT(niz1,niz2)
Dakle, ovaj operator ima dva argumenta, koji su reference na raspone dviju matrica koje se množe.
Sada da vidimo kako se funkcija koristi MUNIFA na konkretnom primjeru. Postoje dvije matrice od kojih broj redaka jedne odgovara broju stupaca u drugoj i obrnuto. Trebamo pomnožiti ova dva elementa.
Metoda 2: Korištenje formule spoja
Osim toga, postoji još jedan način množenja dviju matrica. Složeniji je od prethodnog, ali također zaslužuje spomenuti kao alternativnu opciju. Ova metoda uključuje korištenje složene formule polja koja će se sastojati od funkcije SUMPROIZVOD i operator ugrađen u njega kao argument PRIJENOS.
- Ovaj put na listu odaberite samo gornji lijevi element niza praznih ćelija, za koji očekujemo da će se koristiti za prikaz rezultata. Kliknite na ikonu "Umetni funkciju".
- Čarobnjak za funkcije počinje. Prelazak na blok operatera "Matematički", ali ovaj put biramo ime SUMPROIZVOD. Kliknite na gumb "U REDU".
- Otvara se prozor s argumentima za gornju funkciju. Ovaj operator je namijenjen međusobnom množenju različitih nizova. Sintaksa mu je sljedeća:
SUMPROIZVOD(niz1,niz2,…)
Kao argumenti iz grupe "niz" koristi se referenca na određeni raspon koji treba umnožiti. Ukupno se može koristiti od dva do 255 takvih argumenata. Ali u našem slučaju, budući da imamo posla s dvije matrice, trebat će nam samo dva argumenta.
Postavite kursor u polje "Niz1". Ovdje ćemo morati unijeti adresu prvog reda prve matrice. Da biste to učinili, držite lijevu tipku miša i jednostavno ga odaberite na listu pomoću kursora. Odmah će koordinate ovog raspona biti prikazane u odgovarajućem polju prozora argumenata. Nakon toga, trebate zabilježiti koordinate rezultirajuće veze u stupcima, odnosno te koordinate treba učiniti apsolutnim. Da biste to učinili, stavite znak dolara ispred slova u izrazu unesenom u polje ( $ ). Ovo se ne smije učiniti prije nego što koordinate budu prikazane u brojevima (linijama). Alternativno, umjesto toga možete odabrati cijeli izraz u polju i pritisnuti funkcijsku tipku tri puta F4. U tom će slučaju samo koordinate stupca također postati apsolutne.
- Nakon toga postavite kursor u polje "Niz2". Ovaj će argument biti kompliciraniji, jer prema pravilima množenja matrica, drugu matricu treba "okrenuti". Da bismo to učinili koristimo ugniježđenu funkciju PRIJENOS.
Da biste otišli do njega, kliknite ikonu u obliku trokuta s oštrim kutom okrenutim prema dolje, koji se nalazi lijevo od trake formule. Otvara se popis nedavno korištenih formula. Ako u njemu nađete ime "TRANSP", zatim kliknite na njega. Ako ste dugo koristili ovaj operater ili ga nikada niste koristili, tada nećete pronaći navedeni naziv na ovom popisu. U tom slučaju morate kliknuti na stavku "Ostale funkcije...".
- Otvara se prozor koji nam je već poznat Čarobnjaci funkcija. Ovaj put prelazimo na kategoriju "Veze i nizovi" i odaberite ime "TRANSP". Kliknite na gumb "U REDU".
- Pokreće se prozor s argumentima funkcije PRIJENOS. Ovaj operator je namijenjen za transponiranje tablica. To jest, jednostavno rečeno, mijenja stupce i retke. To je ono što trebamo učiniti za drugi argument operatora SUMPROIZVOD. Sintaksa funkcije PRIJENOS krajnje jednostavno:
TRANSP(niz)
Odnosno, jedini argument ovog operatora je referenca na polje koje treba "vratiti". Ili bolje rečeno, u našem slučaju, čak ni za cijeli niz, već samo za njegov prvi stupac.
Dakle, postavimo kursor u polje "niz" i odaberite prvi stupac druge matrice na listu pritisnutom lijevom tipkom miša. Adresa će se pojaviti u polju. Kao iu prethodnom slučaju, i ovdje morate određene koordinate učiniti apsolutnima, ali ovoga puta ne koordinate stupaca, već adrese redaka. Stoga stavljamo znak dolara ispred brojeva u poveznici koja se prikazuje u polju. Također možete odabrati cijeli izraz i dvaput kliknuti na ključ F4. Nakon što potrebni elementi počnu imati apsolutna svojstva, nemojte pritisnuti gumb "U REDU", i kao u prethodnoj metodi, koristite kombinaciju tipki Ctrl+Shift+Enter.
- Ali ovaj put nije popunjen niz, već samo jedna ćelija koju smo prethodno dodijelili prilikom pozivanja Čarobnjaci funkcija.
- Moramo ispuniti polje iste veličine podacima kao u prvoj metodi. Da biste to učinili, kopirajte formulu dobivenu u ćeliji u ekvivalentni raspon, koji će biti jednak broju redaka prve matrice i broju stupaca druge. U našem konkretnom slučaju, dobivamo tri retka i tri stupca.
Za kopiranje pribjeći ćemo korištenju markera za ispunu. Postavite pokazivač iznad donjeg desnog kuta ćelije u kojoj se nalazi formula. Kursor se mijenja u crni križ. Ovo je oznaka za popunjavanje. Držite lijevu tipku miša i povucite kursor preko cijelog gornjeg raspona. Početna ćelija sa samom formulom trebala bi postati gornji lijevi element ovog polja.
- Kao što vidite, odabrani raspon je ispunjen podacima. Usporedimo li ih s rezultatom koji smo dobili korištenjem operatora MUNIFA, vidjet ćemo da su vrijednosti potpuno identične. To znači da je množenje dviju matrica izvršeno ispravno.
Kao što vidimo, unatoč činjenici da je dobiven ekvivalentan rezultat, koristite funkciju za množenje matrica MUNIFA puno jednostavnije od korištenja složene formule operatora za iste svrhe SUMPROIZVOD I PRIJENOS. Ali ipak, ovu alternativnu opciju također se ne može zanemariti kada se proučavaju sve mogućnosti množenja matrica u programu Microsoft Excel.
