Mali matematički fakultet. Sustavi brojeva

Brojevni sustav (SS) je skup metoda za imenovanje i pisanje brojeva. U svakom SS-u, neki brojevi se koriste za predstavljanje brojeva, koji se nazivaju osnovnim brojevima, a svi ostali brojevi se dobivaju kao rezultat bilo koje operacije nad osnovnim brojevima. U suvremenom svijetu najčešći prikaz brojeva je 0. . .9.

SS se razlikuju po izboru osnovnih brojeva i pravilima za formiranje ostalih brojeva od njih. Na primjer, u rimskom SS-u osnovni su: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000) i dr. dobivaju se zbrajanjem i oduzimanjem osnovnih brojeva. U rimskom SS svaki brojčani znak ima isto značenje, tj. značenje brojčanog znaka ne ovisi o njegovom mjestu u unosu broja: 146 -CXLVI.

Takav SS je nepozicijski. U njemu je zgodno pisati male brojeve. Ali izvođenje operacija na velikim brojevima je nezgodno.

5.1. Pozicijski brojevni sustavi

Trenutno se za predstavljanje brojeva koriste pozicioni CC. SS se naziva pozicijskim ako se vrijednost svake znamenke (njena težina) mijenja ovisno o njezinom položaju (poziciji) u nizu znamenki koje predstavljaju broj.

Broj znamenki korišten za predstavljanje brojeva u pozicijskom SS-u naziva se njegova baza, tj. ako se koristi K znamenki, tada je baza SS-a K. Broj u pozicijskom SS-u može se predstaviti na sljedeći način:

Ovako prenumerirana mjesta nazivaju se činovi. Svaka od znamenki ima jednu od vrijednosti
.K se koristi za kvantificiranje svake znamenke broja. To jest, broj u k-arnom SS može se predstaviti kao polinom:

Primjeri pozicijskih brojevnih sustava:

Aritmetičke operacije u bilo kojem položajnom SS-u izvode se prema istim pravilima kao i u decimalnom SS-u, budući da se sve temelje na pravilima za izvođenje operacija s odgovarajućim polinomima. U ovom slučaju koriste se tablice zbrajanja i množenja, koje se odvijaju s danom bazom SS-a.

Tablice zbrajanja i množenja u binarnom SS izgledaju ovako:

Fizička reprezentacija brojeva zahtijeva elemente koji mogu biti u jednom od nekoliko stabilnih stanja. Broj ovih stanja mora biti jednak bazi primljenog SS-a, tada će svako stanje predstavljati odgovarajuću znamenku iz abecede ovog SS-a. Za implementaciju SS decimalnog sustava bit će potrebni elementi s 10 stabilnih stanja. Sa stajališta tehničke izvedbe, najjednostavniji su elementi s dva položaja koji mogu biti u jednom od dva stabilna stanja, na primjer, elektromagnetski relej ("zatvoreno" - "otvoreno" stanje), feromagnetska površina (magnetizirano - demagnetizirano ), tranzistorski prekidač, itd. Jedno od ovih stanja može se označiti brojem -0, a drugo - 1.

Postoje i druge prednosti povezane s binarnim SS-om. Omogućuje maksimalnu otpornost na buku u procesu prijenosa informacija. Izuzetno je jednostavno izvoditi aritmetičke i logičke operacije. Zbog toga je binarni SS postao standard u modernom računalstvu.

Nedostatak binarnog SS je veliki broj bitova binarnog koda.

Rezultat je već primljen!

Sustavi brojeva

Postoje položajni i nepozicijski brojčani sustavi. Arapski sustav brojeva koji koristimo u svakodnevnom životu je pozicijski, dok rimski nije. U položajnim brojevnim sustavima položaj broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrite ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sustavu. Brojimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:

Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Broj 10 definira brojevni sustav (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti položaja zadanog broja uzimaju se u stupnjevima.

Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numeriramo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalne točke lijevo i desno:

Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

Općenito, formula se može prikazati na sljedeći način:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomački broj na poziciji (-k), s- brojevni sustav.

Nekoliko riječi o brojevnim sustavima Broj u dekadskom brojevnom sustavu sastoji se od skupa znamenki (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sustavu sastoji se od skup znamenki (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom sustavu - iz skupa znamenki (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sustavu - iz skupa znamenki (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), gdje A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tablici 1 brojevi su prikazani u različitim brojevnim sustavima.

stol 1
Notacija
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi najlakše je da broj prvo prevedete u decimalni brojevni sustav, a zatim ga iz dekadskog brojevnog sustava prevedete u traženi brojevni sustav.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav

Pomoću formule (1) možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni brojevni sustav.

Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sustava (SS) u decimalni SS. Riješenje:

Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog u decimalni SS. Riješenje:

Ovdje A- zamijenjen sa 10, B- u 11, C- u 12, F- u 15.

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav

Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sustava u drugi brojevni sustav potrebno je odvojeno prevesti cijeli broj i razlomački dio broja.

Cjelobrojni dio broja prevodi se iz decimalnog SS u drugi brojevni sustav - uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja s bazom brojevnog sustava (za binarni SS - s 2, za 8-znamenkasti SS - s 8, za 16-znamenkasti - za 16, itd. ) da se dobije cijeli ostatak, manji od baze SS.

Primjer 4 . Prevedimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Kao što se može vidjeti sa Sl. 1, broj 159, kad se podijeli s 2, daje količnik 79, a ostatak je 1. Nadalje, broj 79, kad se podijeli s 2, daje kvocijent 39, a ostatak je 1, i tako dalje. Kao rezultat toga, konstruiranjem broja iz ostatka dijeljenja (s desna na lijevo), dobivamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:

159 10 =10011111 2 .

Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Kada pretvarate broj iz decimalnog SS u oktalni SS, trebate uzastopno podijeliti broj s 8 sve dok ne dobijete cijeli broj manji od 8. Kao rezultat toga, gradeći broj od ostatka dijeljenja (s desna na lijevo) mi dobiti broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:

615 10 =1147 8 .

Primjer 6 . Prevedimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Kao što je vidljivo sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16 dobili smo ostatke 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sustavu broj 12 odgovara C, broj 13 - D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.

Za pretvorbu ispravnih decimalnih razlomaka (realnog broja s nultim cijelim dijelom) u brojevni sustav s bazom s, taj se broj mora sukcesivno množiti s s sve dok razlomački dio ne bude čista nula, ili dobijemo traženi broj znamenki. Ako množenje rezultira brojem čiji cijeli broj nije nula, tada se taj cijeli broj ne uzima u obzir (oni se redom uključuju u rezultat).

Pogledajmo gore navedeno s primjerima.

Primjer 7 . Prevedimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Kao što se može vidjeti na sl. 4, broj 0,214 se uzastopno množi s 2. Ako je rezultat množenja broj čiji cijeli dio nije nula, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan s nultim cijelim dijelom. Ako se pri množenju dobije broj s nultim cijelim dijelom, tada se lijevo od njega upisuje nula. Proces množenja se nastavlja sve dok se u razlomku ne dobije čista nula ili dok se ne dobije potreban broj znamenki. Pišući podebljanim brojevima (slika 4) odozgo prema dolje, dobivamo traženi broj u binarnom sustavu: 0. 0011011 .

Stoga možemo napisati:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Primjer 8 . Prevedimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Za pretvaranje broja 0,125 iz decimalnog SS u binarni, ovaj se broj uzastopno množi s 2. U trećoj fazi dobivena je 0. Stoga je dobiven sljedeći rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Primjer 9 . Prevedimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Slijedeći primjere 4 i 5, dobivamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi C i B odgovaraju brojevima 12 i 11. Dakle, imamo:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Primjer 10 . Prevedimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sustava u oktalni SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

dobio:

0.512 10 =0.406111 8 .

Primjer 11 . Prevedimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sustava u binarni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevedemo cijeli dio broja (primjer 4) i razlomački dio broja (primjer 8). Kombinirajući ove rezultate, dobivamo:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Primjer 12 . Prevedimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sustava u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli broj (primjer 6) i razlomački dio broja (primjer 9). Daljnjim kombiniranjem ovih rezultata dobivamo.

Predstavljanje brojeva i naredbi u računalu(INFlekcija5.doc).

Ideja da se brojevi izraze u deset znakova, dajući im, osim značenja u obliku, i značenje u mjestu, toliko je jednostavna da je upravo zbog te jednostavnosti teško shvatiti koliko je nevjerojatna. Koliko je teško doći do ove metode, vidimo na primjeru najvećih genija grčkog učenja, Arhimeda i Apolonija, kojima je ova misao ostala skrivena.

Pierre Simon Laplace

Pri proučavanju načina prikazivanja brojčanih informacija potrebno je upoznati se s pravilima prevođenja jednog prikaza broja u drugi, pokušati razumjeti zašto se isti broj u različitim situacijama mora prikazati različito. Tehnike predstavljanja brojeva obrađuju se u posebnom dijelu teorije brojeva "Brojevni sustavi".

Uvodi se još jedan važan pojam - brojevni sustav. Zašto je ona potrebna? O čemu se radi? Brojevni sustavi su sustavi koje je stvorio čovjek. Takvi sustavi nazivaju se Umjetna Za razliku od prirodni sustave koje je stvorila priroda. Prirodni (prirodni) sustavi uključuju galaksije, naš Sunčev sustav, čovjeka u cjelini itd. Umjetni sustavi su gradovi, tvornice, obrazovni sustav, nacionalni jezici, odnosno sve što su napravili ljudi.

Umjetni sustavi mogu se podijeliti na

materijal: automobili, avioni, kuće, gradovi, brane itd.;

javnost , odnosno različita udruženja ljudi: parlament, sustav javnog obrazovanja, šahovski klub itd.;

informativno: nacionalni jezici, računalna mreža Internet, brojevni sustavi itd.

Svaki umjetni sustav stvoren je s određenom svrhom. Može se tvrditi da je najbolji umjetni sustav onaj koji najbolje osigurava postizanje cilja svog stvaranja.

Svrha stvaranja brojevnog sustava je razviti najprikladniji način za pisanje brojeva. Sustav brojeva omogućuje vam prikaz u kompaktnom obliku kvantitativne informacije o objektima i manipulirati njima koristeći prilično jednostavna pravila.

Prvih devet prirodnih brojeva označavamo posebnim znakovima:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Učinite isto sa svim brojevima koji se susreću u praksi, tj. bilo bi nezgodno sve brojeve koji se pojavljuju označiti posebnim znakovima. Čak i kad bi naše potrebe bile ograničene na brojanje unutar tisuću, bilo bi potrebno zapamtiti tisuću posebnih znakova. Naravno, dugo su ljudi počeli birati jednu ili drugu seriju "ključnih", osnovnih brojeva i samo ih označavati posebnim znakovima.

Brojevni sustavi su briljantan izum čovječanstva. Kako bih izvijestio da je danas 2007. godina na prirodnom jeziku, prisiljen sam koristiti 16 znakova (bez razmaka). Koristeći jezik brojeva, istu stvar možete prikazati s četiri znaka. Ispostavilo se da su brojevi kodovi odgovarajućih riječi, što potvrđuje i činjenica da broj godine, napisan riječima i brojevima, čitamo na isti način. Brojevi se u različitim prirodnim jezicima različito izgovaraju, a njihov zapis i pravila za izvođenje aritmetičkih operacija na njima su isti.

Koncept broja temeljan je i za matematiku i za informatiku. Ali ako se u matematici najveća pozornost posvećuje metodama obrade brojeva, onda se za informatiku ne mogu zanemariti metode predstavljanja brojeva, jer one određuju potrebne memorijske resurse, brzinu i pogrešku izračuna.

1. Notacija- ovo je način predstavljanja brojeva i odgovarajućih pravila za djelovanje na brojeve.

Razni sustavi brojeva koji su postojali prije i koji se koriste u naše vrijeme mogu se podijeliti na nepozicijske i pozicijske.

1.1 Nepozicijski brojevni sustavi.

Nepozicijski brojevni sustav koristili su stari Egipćani,

Grci, Rimljani i neki drugi narodi antike. U nepozicijskim brojevnim sustavima vrijednost koju on (znak) označava ne ovisi o položaju znaka u zapisu broja.

Do nas je došao rimski sustav zapisivanja brojeva (rimski brojevi), koji se u nekim slučajevima i danas koristi u numeriranju (centurija, svezaka, poglavlja knjiga). U rimskom sustavu latinična slova koriste se kao brojevi:

1 5 10 50 100 500 1000

Na primjer, broj CCXXXII sastoji se od dvije stotine, tri desetice i dvije jedinice i jednak je dvjesto trideset i dva.

Rimski brojevi pišu se s lijeva na desno silaznim redoslijedom. U ovom slučaju njihove vrijednosti se dodaju. Ako je s lijeve strane napisan manji broj, a s desne veći, tada se njihove vrijednosti oduzimaju.

VI \u003d 5 + 1 \u003d 6 i IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

Nepozicijski brojevni sustavi bili su manje-više prikladni za zbrajanje i oduzimanje, ali nimalo prikladni za množenje i dijeljenje.

1.2 Pozicijski brojevni sustavi (PSS).

Pozicijski brojčani sustavi prikladni su jer vam omogućuju pisanje proizvoljno velikih brojeva pomoću malog broja znamenki. Važna prednost pozicijskih brojevnih sustava su prilično jednostavni algoritmi za izvođenje aritmetičkih operacija nad brojevima.

U pozicijskim brojevnim sustavima vrijednost označena znamenkom u unosu broja ovisi o njezinu položaju.

Poziva se broj korištenih znamenki osnova PSS.

Brojevni sustav koji se koristi u modernoj matematici je položajni decimalni sustav. Njegova baza je deset, jer se svi brojevi pišu s deset znamenki:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Mnogi od nas, ove ikone, poznate od djetinjstva, povezane su s konceptom "broja". Međutim, možemo koristiti bilo koje ikone kao brojeve. Da, i brojevi ne moraju biti deset.

Iako se decimalni sustav obično naziva arapskim, on je nastao u Indiji, u 5. stoljeću. U Europi se o ovom sustavu naučilo u 12. stoljeću iz arapskih znanstvenih rasprava, koje su prevedene na latinski. Ovo objašnjava naziv "arapski brojevi".

Pozicijski tip decimalnog sustava lako je razumjeti na primjeru bilo kojeg višeznamenkastog broja. Na primjer, u broju 333 prva znamenka znači tri stotine, druga - tri desetice, treća - tri jedinice. Ista znamenka, ovisno o mjestu u zapisu broja, označava različite vrijednosti.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Bilo koji decimalni broj može se prikazati kao zbroj umnožaka njegovih sastavnih znamenki s odgovarajućim potencijama broja deset. Isto vrijedi i za decimale.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

To vam omogućuje pretvaranje brojeva čija baza nije jednaka 10 u decimalni prikaz.

Da bi se izvršio takav prijevod, potrebno je napisati izvorni broj kao zbroj umnožaka znamenki broja s odgovarajućim potencijama baze i izračunati vrijednost dobivenog numeričkog izraza prema pravilima decimalne aritmetike .

1. 432.32 5 → A 10 .

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2. DF,4A 16 → A 10

DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +

Broj "deset" nije jedina moguća osnova za položajni sustav. Poznati ruski matematičar N.N.Luzin je to rekao ovako: "Prednosti decimalnog sustava nisu matematičke, već zoološke. Kad bismo imali osam prstiju umjesto deset, tada bi čovječanstvo koristilo oktalni sustav."

Zapisati brojeve u položajnom sustavu s osnovom n (n- oznaka baze PSS) morate imati abeceda iz n znamenke. Obično za ovo n ≤ 10 koristiti n prvi arapski brojevi, i n > 10 Na deset arapskih brojeva dodaju se latinična slova.

Evo primjera abecede nekoliko sustava:

Osnova sustava kojoj broj pripada označena je indeksom tog broja.

10110012, 36718, 3B8F16.

1.3 Pretvaranje decimalnih brojeva u PSS s bazom različitom od 10.

1.3.1 Prijevod cijelih brojeva.

Izrazi bazu novog brojevnog sustava u decimalnom sustavu

izračunavanje i sve naknadne radnje koje treba izvršiti u decimalnom brojevnom sustavu;

Zadani broj i dobivene nepotpune količnike dosljedno dijelimo s osnovom novog brojevnog sustava dok ne dobijemo nepuni kvocijent manji od djelitelja;

Dobiveni ostaci, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, moraju se uskladiti s abecedom novog brojevnog sustava;

Sastavite broj u novom brojevnom sustavu zapisujući ga počevši od zadnjeg kvocijenta.

1.3.2 Prijevod frakcijskih brojeva.

Osnovu novog brojevnog sustava izraziti u decimalnom sustavu i sve naredne radnje izvršiti u decimalnom brojevnom sustavu;

Množiti dosljedno zadani broj i dobivene razlomke umnožaka na temelju novog brojevnog sustava sve dok razlomak umnoška ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne potrebna točnost prikaza broja u novom brojevnom sustavu;

Dobiveni cjelobrojni dijelovi umnožaka, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, moraju se uskladiti s abecedom novog brojevnog sustava;

Sastavi razlomački dio broja u novom brojevnom sustavu počevši od cjelobrojnog dijela prvog umnoška.

Primjeri prevođenja određenih decimalnih brojeva prikazani su u Dodatku 1.

Prilog 1.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne polaže pravo na autorstvo, ali omogućuje besplatnu upotrebu.
Datum izrade stranice: 2016-02-16

Osnovni pojmovi o brojevnim sustavima

Brojevni sustav je skup pravila i tehnika za pisanje brojeva pomoću skupa digitalnih znakova. Broj znamenki potrebnih za zapis broja u sustavu naziva se baza brojevnog sustava. Osnova sustava ispisuje se desno od broja u indeksu: ; ; itd.

Postoje dvije vrste brojčanih sustava:

položajni, kada je vrijednost svake znamenke broja određena njezinim položajem u zapisu broja;

nepozicijski, kada vrijednost znamenke u broju ne ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja.

Primjer nepozicijskog brojevnog sustava je rimski: brojevi IX, IV, XV itd. Primjer pozicijskog brojevnog sustava je decimalni sustav koji se koristi svakodnevno.

Bilo koji cijeli broj u položajnom sustavu može se napisati kao polinom:

gdje je S baza brojevnog sustava;

Znamenke broja zapisane u zadanom brojevnom sustavu;

n je broj znamenki broja.

Primjer. Broj piše se u polinomskom obliku na sljedeći način:

Vrste brojevnih sustava

Sustav rimskih brojeva je nepozicijski sustav. Za pisanje brojeva koristi slova latinične abecede. U ovom slučaju slovo I uvijek znači jedan, slovo V znači pet, X znači deset, L znači pedeset, C znači sto, D znači pet stotina, M znači tisuću itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Pri pisanju brojeva u rimskom brojčanom sustavu, vrijednost broja je algebarski zbroj znamenki koje su u njega uključene. U tom slučaju znamenke u unosu broja slijede u pravilu silaznim redoslijedom svojih vrijednosti, a nije dopušteno upisati više od tri iste znamenke jedna do druge. U slučaju kada iza znamenke veće vrijednosti slijedi znamenka manje vrijednosti, njen doprinos vrijednosti broja u cjelini je negativan. Tipični primjeri koji ilustriraju opća pravila za pisanje brojeva u sustavu rimskih brojeva prikazani su u tablici.

Tablica 2. Zapisivanje brojeva u rimskom brojčanom sustavu

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XXIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Nedostatak rimskog sustava je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, sukladno tome, aritmetičkih operacija s višeznamenkastim brojevima. Zbog neugodnosti i velike složenosti, sustav rimskih brojeva trenutno se koristi tamo gdje je to stvarno zgodno: u literaturi (numeriranje poglavlja), u papirologiji (niz putovnica, vrijednosnih papira itd.), u ukrasne svrhe na brojčaniku sata i u niz drugih slučajeva.

Dekadski brojevni sustav trenutno je najpoznatiji i najkorišteniji. Izum decimalnog brojevnog sustava jedno je od glavnih dostignuća ljudske misli. Bez nje bi moderna tehnologija teško mogla postojati, a kamoli nastati. Razlog zašto je decimalni brojevni sustav postao općeprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli računati u decimalnom zapisu jer imaju 10 prstiju na rukama.

Drevna slika decimalnih znamenki (slika 1) nije slučajna: svaka znamenka označava broj prema broju kutova u njoj. Na primjer, 0 - nema kutova, 1 - jedan kut, 2 - dva kuta, itd. Pravopis decimalnih znamenki doživio je značajne promjene. Oblik koji koristimo nastao je u 16. stoljeću.

Decimalni sustav se prvi put pojavio u Indiji oko 6. stoljeća nove ere. Indijsko numeriranje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu za označavanje praznog mjesta. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas, brojevi su bili napisani obrnutim redoslijedom - najznačajnija figura bila je smještena s desne strane. No ubrzo je postalo pravilo da se takva figura postavlja s lijeve strane. Posebna se važnost pridavala nultom simbolu koji je uveden za položajni zapis. Indijsko numeriranje, uključujući nulu, došlo je do našeg vremena. U Europi su se hinduističke metode decimalne aritmetike raširile početkom 13. stoljeća. zahvaljujući radu talijanskog matematičara Leonarda iz Pise (Fibonacci). Europljani su od Arapa posudili indijski brojevni sustav, nazvavši ga arapskim. Ovaj povijesno netočan naziv zadržao se do danas.

U decimalnom sustavu koristi se deset znamenki - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, kao i simboli "+" i "-" za označavanje predznaka broja i zarez ili točka za odvajanje cijelih i razlomaka.

Računala koriste binarni brojevni sustav, njegova baza je broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sustavu koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Suprotno uobičajenoj zabludi, binarni brojevni sustav nisu izumili inženjeri računalnog dizajna, već matematičari i filozofi davno prije pojave računala, još u sedamnaestom i devetnaestom stoljeću. Prvu objavljenu raspravu o binarnom brojevnom sustavu vodi španjolski svećenik Juan Caramuel Lobkowitz (1670.). Opću pozornost na ovaj sustav privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. U njemu su objašnjene binarne operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio korištenje ovog sustava za praktične proračune, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. S vremenom binarni brojevni sustav postaje dobro poznat i razvija se.

Izbor binarnog sustava za korištenje u računalnoj tehnici objašnjava se činjenicom da elektronički elementi - okidači koji čine računalne mikrosklopove, mogu biti samo u dva radna stanja.

Uz pomoć binarnog sustava kodiranja mogu se zabilježiti bilo koji podaci i znanja. To je lako razumjeti ako se sjećate principa kodiranja i prijenosa informacija pomoću Morseove abecede. Telegrafist, koristeći samo dva znaka ove abecede - točkice i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.

Binarni sustav je zgodan za računalo, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teški za zapisivanje i pamćenje. Naravno, možete pretvoriti broj u decimalni sustav i napisati ga u ovom obliku, a zatim, kada ga trebate prevesti natrag, ali svi ti prijevodi oduzimaju puno vremena. Stoga se koriste brojevni sustavi koji su srodni binarnom - oktalni i heksadecimalni. Za pisanje brojeva u ovim sustavima potrebno je 8 odnosno 16 znamenki. U heksadecimalnom obliku, prvih 10 znamenki je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalna znamenka A odgovara decimalnom 10, heksadecimalnom B decimalnom 11 itd. Upotreba ovih sustava objašnjava se činjenicom da je prijelaz na pisanje broja u bilo kojem od ovih sustava iz njegovog binarnog zapisa vrlo jednostavan. Ispod je tablica korespondencije između brojeva napisanih u različitim sustavima.

Tablica 3. Podudarnost brojeva zapisanih u različitim brojevnim sustavima

Decimal	Binarni	oktalni	Heksadecimalni
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Pravila za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi važan je dio strojne aritmetike. Razmotrite osnovna pravila prevođenja.

1. Da bismo binarni broj pretvorili u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 2, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga dva:

Tablica 4. Potencije broja 2

n (stupanj)
											1024

Primjer. Pretvorite broj u decimalni brojevni sustav.

2. Da bismo oktalni broj preveli u decimalni, potrebno ga je napisati kao polinom koji se sastoji od umnožaka znamenki broja i odgovarajuće potencije broja 8, te izračunati prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja prikladno je koristiti tablicu snaga od osam:

Tablica 5. Potencije broja 8

n (stupanj)

Analizirajmo jednu od najvažnijih tema u informatici -. U školskom kurikulumu ona je prikazana prilično "skromno", najvjerojatnije zbog manjka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prijevod brojevnih sustava, preduvjet su za uspješno polaganje ispita i upis na visoka učilišta na odgovarajućim fakultetima. U nastavku, pojmovi kao što su položajni i nepozicijski brojevni sustavi, navedeni su primjeri ovih brojevnih sustava, pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, pravilnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sustav, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog brojevnog sustava u binarni brojevni sustav su predstavljeni. Ispiti sadrže velik broj zadataka na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu odjeljka, uz detaljan teorijski materijal, bit će predstavljene gotovo sve moguće opcije zadaci za samostalan studij. Osim toga, imat ćete priliku besplatno preuzeti gotova detaljna rješenja za te zadatke s usluge za hosting datoteka, ilustrirajući različite načine dobivanja pravog odgovora.

položajni brojevni sustavi.

Nepozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ne ovisi o njezinu mjestu u broju.

Nepozicijski sustavi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.

ja	1 (jedan)
V	5 (pet)
x	10 (deset)
L	50 (pedeset)
C	100 (sto)
D	500 (pet stotina)
M	1000 (tisuću)

Ovdje slovo V označava 5, bez obzira na mjesto. Međutim, vrijedi spomenuti da iako je rimski brojčani sustav klasičan primjer nepozicijskog numeričkog sustava, on nije potpuno nepozicijski, jer. manji broj prije nego što se od njega oduzme veći:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

položajni brojevni sustavi.

Pozicijski brojevni sustavi- brojevni sustavi u kojima kvantitativna vrijednost znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju.

Na primjer, ako govorimo o decimalnom sustavu brojeva, tada u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali ista brojka u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam tisuća" .

Svaki položajni brojevni sustav ima svoje baza. Baza je prirodan broj veći ili jednak dva. Jednak je broju znamenki koje se koriste u ovom brojevnom sustavu.

Na primjer:
• Binarni- položajni brojevni sustav s bazom 2.
• Kvartar- položajni brojevni sustav s bazom 4.
• pet puta- položajni brojevni sustav s bazom 5.
• oktalni- položajni brojevni sustav s bazom 8.
• Heksadecimalni- položajni brojevni sustav s bazom 16.

Za uspješno rješavanje zadataka na temu "Sustavi brojeva" učenik mora znati napamet korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Korisno je znati kako se u tim brojevnim sustavima dobivaju brojevi. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugom položajni brojevni sustavi sve se događa slično nama poznatom decimalnom sustavu:

Broju se dodaje jedan i dobiva se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako bazi brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1, i tako dalje.

Upravo je ta "tranzicija jednog" ono što plaši većinu studenata. Zapravo, sve je vrlo jednostavno. Do prijelaza dolazi ako znamenka jedinica postane jednaka baza brojevnog sustava, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, prisjećajući se dobrog starog decimalnog sustava, odmah se zbune u pražnjenju iu ovom prijelazu, jer su decimalne i, na primjer, binarne desetice različite stvari.

Dakle, snalažljivi studenti imaju "svoje metode" (začudo ... rade) kada ispunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) zapravo popunjeni binarnim brojevima u rastućem redoslijedu. .

Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sustav: Prvom broju (0) dodamo 1, dobijemo 1. Zatim 1 dodamo 1, dobijemo 2 itd. do 7. Ako broju 7 dodamo jedan, dobit ćemo broj jednak osnovi brojevnog sustava, t.j. 8. Zatim trebate povećati znamenku desetica za jedan (dobivamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očito, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

pravila za pretvaranje iz jednog brojevnog sustava u drugi.

1 Pretvorite cijele decimalne brojeve u bilo koji drugi brojevni sustav.

Broj se mora podijeliti sa nova baza brojeva. Prvi ostatak dijeljenja je prva najmanje značajna znamenka novog broja. Ako je kvocijent dijeljenja manji ili jednak novoj bazi, tada se on (kvocijent) mora ponovno podijeliti s novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo kvocijent manji od nove baze. To je najviša znamenka novog broja (treba zapamtiti da npr. u heksadecimalnom sustavu slova slijede nakon 9, odnosno ako ste dobili 11 u ostatku, trebate ga napisati kao B).

Primjer ("dijeljenje kutom"): Prevedimo broj 173 10 u oktalni brojevni sustav.

Dakle, 173 10 \u003d 255 8

2 Pretvaranje točnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sustav.

Broj se mora pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava. Znamenka koja je prešla u cijeli broj najviša je znamenka razlomljenog dijela novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomački dio dobivenog proizvoda mora se ponovno pomnožiti s novom bazom brojevnog sustava sve dok ne dođe do prijelaza na cjelobrojni dio. Množenje nastavljamo sve dok razlomački dio ne postane jednak nuli, odnosno dok ne postignemo točnost zadanu u zadatku ("...izračunaj s točnošću od npr. dvije decimale").

Primjer: Prevedimo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sustav.