Metoda za određivanje uvjetnog ekstremuma započinje konstruiranjem pomoćne Lagrangeove funkcije, koja u području mogućih rješenja doseže maksimum za iste vrijednosti varijabli x 1 , x 2 , ..., x n , što je isto što i funkcija cilja z . Neka je riješen problem određivanja uvjetnog ekstrema funkcije z = f(X) pod ograničenjima φ ja ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, ja = 1, 2, ..., m , m < n
Sastavimo funkciju
koji se zove Lagrangeova funkcija. x , - konstantni faktori ( Lagrangeovi množitelji). Imajte na umu da se Lagrangeovim množiteljima može dati ekonomsko značenje. Ako f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - prihod u skladu s planom X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , i funkcija φ ja (x 1 , x 2 , ..., x n ) - troškovi i-tog resursa koji odgovara ovom planu, dakle x , je cijena (procjena) i-tog resursa, koja karakterizira promjenu ekstremne vrijednosti funkcije cilja ovisno o promjeni veličine i-tog resursa (granična procjena). L(X) - funkcija n+m varijable (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Određivanje stacionarnih točaka ove funkcije dovodi do rješavanja sustava jednadžbi
|
|
To je lako vidjeti
. Dakle, zadatak pronalaženja uvjetnog ekstrema funkcije z = f(X)
svodi na pronalaženje lokalnog ekstremuma funkcije L(X)
. Ako se pronađe stacionarna točka, tada se pitanje postojanja ekstrema u najjednostavnijim slučajevima rješava na temelju dovoljnih uvjeta za ekstrem - proučavanjem predznaka drugog diferencijala. d
2
L(X)
u stacionarnoj točki, pod uvjetom da se varijabla povećava Δx
ja
- povezani odnosima
|
|
dobivenih diferenciranjem jednadžbi sprezanja.
Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice pomoću alata Solution Finder
postavke Pronalaženje rješenja omogućuje pronalaženje rješenja sustava nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Gdje 
- nelinearna funkcija varijabli x
I
g
,
- proizvoljna konstanta.
Poznato je da je par ( x , g ) je rješenje sustava jednadžbi (10) ako i samo ako je rješenje sljedeće jednadžbe s dvije nepoznanice:
S s druge strane, rješenje sustava (10) su točke presjeka dviju krivulja: f ] (x, g) = C I f 2 (x, y) = C 2 na površini XOY.
To vodi do metode za pronalaženje korijena sustava. nelinearne jednadžbe:
Odrediti (bar približno) interval postojanja rješenja sustava jednadžbi (10) ili jednadžbe (11). Ovdje je potrebno uzeti u obzir vrstu jednadžbi uključenih u sustav, domenu definiranja svake od njihovih jednadžbi, itd. Ponekad se koristi odabir početne aproksimacije rješenja;
Tabelirajte rješenje jednadžbe (11) za varijable x i y na odabranom intervalu ili konstruirajte grafove funkcija f 1 (x, g) = C, i f 2 (x,y) = C 2 (sustav(10)).
Lokalizirajte pretpostavljene korijene sustava jednadžbi - pronađite nekoliko minimalnih vrijednosti iz tablice koja prikazuje korijene jednadžbe (11) ili odredite sjecišne točke krivulja uključenih u sustav (10).
4. Pronađite korijene za sustav jednadžbi (10) koristeći dodatak Pronalaženje rješenja.
Lagrangeova metoda multiplikatora.
Metoda Lagrangeovog množenja jedna je od metoda koja vam omogućuje rješavanje problema nelinearnog programiranja.
Nelinearno programiranje je grana matematičkog programiranja koja proučava metode za rješavanje ekstremnih problema s nelinearnom funkcijom cilja i područjem izvedivih rješenja definiranih nelinearnim ograničenjima. U ekonomiji to odgovara činjenici da se rezultati (učinkovitost) povećavaju ili smanjuju nesrazmjerno promjenama u opsegu korištenja resursa (ili, što je isto, opsegu proizvodnje): na primjer, zbog podjele troškova proizvodnje na poduzeća u varijabilna i polufiksna; zbog zasićenja potražnje za robom, kada je svaku sljedeću jedinicu teže prodati od prethodne itd.
Problem nelinearnog programiranja postavlja se kao problem pronalaženja optimuma određene funkcije cilja
F(x 1 ,…x n), F (x) → maks
kada se steknu uvjeti
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0
Gdje x-vektor traženih varijabli;
F (x) -ciljna funkcija;
g (x) - funkcija ograničenja (kontinuirano diferencijabilna);
b - vektor konstanti ograničenja.
Rješenje problema nelinearnog programiranja (globalni maksimum ili minimum) može pripadati ili granici ili unutrašnjosti dopustivog skupa.
Za razliku od problema linearnog programiranja, u problemu nelinearnog programiranja optimum ne mora nužno ležati na granici područja definiranog ograničenjima. Drugim riječima, zadatak je odabrati takve nenegativne vrijednosti varijabli, podložne sustavu ograničenja u obliku nejednakosti, pod kojima se postiže maksimum (ili minimum) dane funkcije. U ovom slučaju nisu specificirani oblici niti funkcije cilja niti nejednakosti. Mogu postojati različiti slučajevi: funkcija cilja je nelinearna, ali su ograničenja linearna; funkcija cilja je linearna, a ograničenja (barem jedno od njih) su nelinearna; i funkcija cilja i ograničenja su nelinearni.
Problem nelinearnog programiranja nalazimo u prirodnim znanostima, inženjerstvu, ekonomiji, matematici, poslovnim odnosima i vladi.
Nelinearno programiranje, na primjer, povezano je s osnovnim ekonomskim problemom. Dakle, u problemu alokacije ograničenih resursa, bilo učinkovitost ili, ako se proučava potrošač, potrošnja se maksimizira u prisutnosti ograničenja koja izražavaju uvjete oskudnosti resursa. U takvoj općoj formulaciji, matematička formulacija problema može biti nemoguća, ali u specifičnim primjenama kvantitativni oblik svih funkcija može se odrediti izravno. Na primjer, industrijsko poduzeće proizvodi plastične proizvode. Učinkovitost proizvodnje ovdje se mjeri profitom, a ograničenja se tumače kao raspoloživa radna snaga, proizvodni prostor, produktivnost opreme itd.
Metoda isplativosti također se uklapa u shemu nelinearnog programiranja. Ova je metoda razvijena za korištenje u donošenju odluka u vladi. Uobičajena funkcija učinkovitosti je dobrobit. Ovdje se pojavljuju dva problema nelinearnog programiranja: prvi je maksimiziranje učinka uz ograničene troškove, drugi je minimiziranje troškova pod uvjetom da je učinak iznad određene minimalne razine. Ovaj problem se obično dobro modelira korištenjem nelinearnog programiranja.
Rezultati rješavanja problema nelinearnog programiranja korisni su pri donošenju državnih odluka. Rezultirajuće rješenje je, naravno, preporučljivo, stoga je potrebno ispitati pretpostavke i točnost problema nelinearnog programiranja prije donošenja konačne odluke.
Nelinearni problemi su složeni; često se pojednostavljuju dovodeći do linearnih. Da bi se to postiglo, konvencionalno se pretpostavlja da u određenom području funkcija cilja raste ili opada proporcionalno promjeni nezavisnih varijabli. Ovaj se pristup naziva metodom komadno-linearnih aproksimacija, no primjenjiv je samo na određene vrste nelinearnih problema.
Nelinearni problemi pod određenim uvjetima rješavaju se Lagrangeovom funkcijom: pronalaženjem njezine sedlaste točke nastaje rješenje problema. Među računalnim algoritmima za znanstvena istraživanja gradijentne metode zauzimaju veliko mjesto. Ne postoji univerzalna metoda za nelinearne probleme i, čini se, možda i ne postoji, jer su vrlo raznoliki. Multiekstremne probleme posebno je teško riješiti.
Jedna od metoda koja vam omogućuje smanjenje problema nelinearnog programiranja na rješavanje sustava jednadžbi je Lagrangeova metoda neodređenih množitelja.
Korištenjem metode Lagrangeovog množenja, u biti su uspostavljeni potrebni uvjeti koji omogućuju identifikaciju optimalnih točaka u problemima optimizacije s ograničenjima jednakosti. U ovom slučaju, ograničeni problem se transformira u ekvivalentni problem bezuvjetne optimizacije, koji uključuje neke nepoznate parametre koji se nazivaju Lagrangeovi multiplikatori.
Metoda Lagrangeovog množenja sastoji se u svođenju problema na uvjetnom ekstremumu na probleme na bezuvjetnom ekstremumu pomoćne funkcije – tzv. Lagrangeove funkcije.
Za problem ekstrema funkcije f(x 1, x 2,..., x n) pod uvjetima (jednadžbama ograničenja) φ ja(x 1, x 2, ..., x n) = 0, ja= 1, 2,..., m, Lagrangeova funkcija ima oblik
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Množitelji λ 1 , λ 2 , ..., λm nazvao Lagrangeovi množitelji.
Ako vrijednosti x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm bit rješenja jednadžbi koje određuju stacionarne točke Lagrangeove funkcije, naime za diferencijabilne funkcije rješenja su sustava jednadžbi
tada, pod prilično općim pretpostavkama, x 1 , x 2 , ..., x n daju ekstremum funkcije f.
Razmotrimo problem minimiziranja funkcije od n varijabli podložnih jednom ograničenju u obliku jednakosti:
Minimiziraj f(x 1, x 2… x n) (1)
pod ograničenjima h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
Prema Lagrangeovoj metodi multiplikatora, ovaj se problem transformira u sljedeći problem neograničene optimizacije:
minimizirati L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
gdje se funkcija L(x;λ) naziva Lagrangeova funkcija,
λ je nepoznata konstanta, koja se naziva Lagrangeov množitelj. Nema zahtjeva za znak λ.
Neka je za zadanu vrijednost λ=λ 0 bezuvjetni minimum funkcije L(x,λ) u odnosu na x postignut u točki x=x 0 i x 0 zadovoljava jednadžbu h 1 (x 0)=0 . Zatim, kao što je lako vidjeti, x 0 minimizira (1) uzimajući u obzir (2), jer za sve vrijednosti x koje zadovoljavaju (2), h 1 (x)=0 i L(x,λ)=min f(x).
Naravno, potrebno je odabrati vrijednost λ=λ 0 tako da koordinata bezuvjetne minimalne točke x 0 zadovoljava jednakost (2). To se može učiniti ako se, promatrajući λ kao varijablu, pronađe bezuvjetni minimum funkcije (3) u obliku funkcije λ, a zatim se izabere vrijednost λ pri kojoj je jednakost (2) zadovoljena. Ilustrirajmo to konkretnim primjerom.
Minimizirajte f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
pod ograničenjem h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
Odgovarajući problem neograničene optimizacije zapisan je na sljedeći način:
minimizirati L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Riješenje. Izjednačujući dvije komponente gradijenta L s nulom, dobivamo
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Kako bismo provjerili odgovara li stacionarna točka x° minimumu, izračunavamo elemente Hessove matrice funkcije L(x;u), promatrane kao funkcije x,
koji se ispostavlja kao pozitivno određen.
To znači da je L(x,u) konveksna funkcija od x. Posljedično, koordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 određuju globalnu minimalnu točku. Optimalna vrijednost λ nalazi se zamjenom vrijednosti x 1 0 i x 2 0 u jednadžbu 2x 1 + x 2 =2, iz koje je 2λ+λ/2=2 ili λ 0 =4/5. Dakle, uvjetni minimum se postiže pri x 1 0 =4/5 i x 2 0 =2/5 i jednak je min f(x) = 4/5.
Prilikom rješavanja problema iz primjera, razmatrali smo L(x;λ) kao funkciju dviju varijabli x 1 i x 2 i, dodatno, pretpostavili da je vrijednost parametra λ odabrana tako da je ograničenje zadovoljeno. Ako je rješenje sustava
J=1,2,3,…,n
λ se ne može dobiti u obliku eksplicitnih funkcija, tada se vrijednosti x i λ nalaze rješavanjem sljedećeg sustava koji se sastoji od n+1 jednadžbi s n+1 nepoznanica:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Da biste pronašli sva moguća rješenja za određeni sustav, možete koristiti metode numeričkog pretraživanja (na primjer, Newtonovu metodu). Za svako od rješenja (), trebali bismo izračunati elemente Hessove matrice funkcije L, promatrane kao funkcije x, i saznati je li ta matrica pozitivno određena (lokalni minimum) ili negativno određena (lokalni maksimum ).
Metoda Lagrangeovog množitelja može se proširiti na slučaj kada problem ima nekoliko ograničenja u obliku jednakosti. Razmotrimo opći problem koji zahtijeva
Minimiziraj f(x)
uz ograničenja h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrangeova funkcija ima sljedeći oblik:
Ovdje λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrangeovi množitelji, tj. nepoznati parametri čije vrijednosti je potrebno odrediti. Izjednačavajući parcijalne derivacije od L u odnosu na x na nulu, dobivamo sljedeći sustav od n jednadžbi s n nepoznanica:
Ako se pokaže da je teško pronaći rješenje gornjeg sustava u obliku funkcija vektora λ, tada možete proširiti sustav uključivanjem ograničenja u obliku jednakosti
Rješenje proširenog sustava, koji se sastoji od n + K jednadžbi s n + K nepoznanica, određuje stacionarnu točku funkcije L. Zatim se provodi postupak provjere minimuma ili maksimuma koji se provodi na temelju izračunavanja elementi Hessove matrice funkcije L, promatrani kao funkcija x, slično kao što je učinjeno u slučaju problema s jednim ograničenjem. Za neke probleme, prošireni sustav n+K jednadžbi s n+K nepoznanica možda nema rješenja, a metoda Lagrangeovog množenja se pokazuje neprimjenjivom. Treba, međutim, napomenuti da su takvi zadaci prilično rijetki u praksi.
Razmotrimo poseban slučaj općeg problema nelinearnog programiranja, pod pretpostavkom da sustav ograničenja sadrži samo jednadžbe, ne postoje uvjeti za nenegativnost varijabli i i i su kontinuirane funkcije zajedno sa svojim parcijalnim derivacijama. Dakle, rješavanjem sustava jednadžbi (7) dobivamo sve točke u kojima funkcija (6) može imati ekstremne vrijednosti.
Algoritam za Lagrangeovu metodu množitelja
1. Sastavite Lagrangeovu funkciju.
2. Naći parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije po varijablama x J ,λ i i izjednačiti ih s nulom.
3. Rješavamo sustav jednadžbi (7), nalazimo točke u kojima funkcija cilja problema može imati ekstrem.
4. Među točkama sumnjivim na ekstremum pronalazimo one u kojima je ekstrem postignut i u tim točkama izračunavamo vrijednosti funkcije (6).
Primjer.
Početni podaci: Prema planu proizvodnje tvrtka treba proizvoditi 180 proizvoda. Ovi proizvodi se mogu proizvoditi na dva tehnološka načina. Pri proizvodnji x 1 proizvoda korištenjem 1. metode troškovi su 4x 1 +x 1 2 rubalja, a pri proizvodnji x 2 proizvoda korištenjem 2. metode oni su 8x 2 + x 2 2 rubalja. Odredite koliko proizvoda treba proizvesti korištenjem svake metode kako bi trošak proizvodnje bio minimalan.
Funkcija cilja za navedeni problem ima oblik
® min pod uvjetima x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sastavite Lagrangeovu funkciju
.
2.
Parcijalne derivacije izračunavamo u odnosu na x 1, x 2, λ i izjednačavamo ih s nulom: 
3.
Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi nalazimo x 1 =91,x 2 =89
4. Izvršivši zamjenu u funkciji cilja x 2 =180-x 1, dobivamo funkciju jedne varijable, naime f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
Izračunavamo ili 4x 1 -364=0 ,
odakle imamo x 1 * =91, x 2 * =89.
Odgovor: Broj proizvoda proizvedenih prvom metodom je x 1 =91, drugom metodom x 2 =89, dok je vrijednost funkcije cilja jednaka 17 278 rubalja.
Metoda množiteljaLagrange(u engleskoj literaturi “LaGrange's method of undetermined multipliers”) ˗ je numerička metoda za rješavanje optimizacijskih problema koja vam omogućuje određivanje “uvjetnog” ekstrema funkcije cilja (minimalne ili maksimalne vrijednosti)
u prisutnosti određenih ograničenja na njegove varijable u obliku jednakosti (tj. definiran je raspon dopuštenih vrijednosti)
˗ to su vrijednosti argumenta funkcije (parametri koji se mogu kontrolirati) na realnoj domeni pri kojoj vrijednost funkcije teži ekstremumu. Upotreba naziva "uvjetni" ekstrem je zbog činjenice da je varijablama nametnut dodatni uvjet, koji ograničava raspon dopuštenih vrijednosti pri traženju ekstrema funkcije.
Metoda Lagrangeovog množitelja omogućuje da se problem traženja uvjetnog ekstrema objektivne funkcije na skupu dopuštenih vrijednosti transformira u problem bezuvjetne optimizacije funkcije.
U slučaju da funkcije 
I 
kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim izvodnicama, tada postoje takve varijable λ koje nisu istovremeno jednake nuli, pod kojima je zadovoljen sljedeći uvjet:
Dakle, u skladu s Lagrangeovom metodom množitelja, da bih pronašao ekstrem funkcije cilja na skupu dopuštenih vrijednosti, sastavljam Lagrangeovu funkciju L(x, λ), koja je dalje optimizirana:
gdje je λ ˗ vektor dodatnih varijabli koje se nazivaju neodređeni Lagrangeovi množitelji.
Time se problem nalaženja uvjetnog ekstremuma funkcije f(x) sveo na problem nalaženja bezuvjetnog ekstremuma funkcije L(x, λ).
I 
Nužni uvjet za ekstrem Lagrangeove funkcije dan je sustavom jednadžbi (sustav se sastoji od “n + m” jednadžbi):
Rješavanjem ovog sustava jednadžbi možemo odrediti argumente funkcije (X) pri kojima vrijednost funkcije L(x, λ), kao i vrijednost ciljne funkcije f(x) odgovaraju ekstremumu.
Veličina Lagrangeovih multiplikatora (λ) je od praktičnog interesa ako su ograničenja prikazana u obliku sa slobodnim članom u jednadžbi (konstanta). U ovom slučaju, možemo dalje razmatrati (povećati/smanjiti) vrijednost funkcije cilja mijenjanjem vrijednosti konstante u sustavu jednadžbi. Dakle, Lagrangeov multiplikator karakterizira brzinu promjene maksimuma funkcije cilja kada se mijenja granična konstanta.
Postoji nekoliko načina za određivanje prirode ekstrema rezultirajuće funkcije:
Prva metoda: Neka su koordinate točke ekstrema, a neka odgovarajuća vrijednost funkcije cilja. Uzima se točka blizu točke i izračunava se vrijednost funkcije cilja:
Ako 
, onda postoji maksimum u točki.
Ako 
, tada postoji minimum u točki.
Druga metoda: Dovoljan uvjet iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je predznak drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Drugi diferencijal Lagrangeove funkcije definiran je na sljedeći način:
Ako u datoj točki 
minimum, ako 
, tada ciljna funkcija f(x) ima uvjet maksimum.
Treća metoda: Također, priroda ekstrema funkcije može se odrediti razmatranjem Hessiana Lagrangeove funkcije. Hessova matrica je simetrična kvadratna matrica drugih parcijalnih izvoda funkcije u točki u kojoj su elementi matrice simetrični oko glavne dijagonale.
Da biste odredili vrstu ekstrema (maksimum ili minimum funkcije), možete koristiti Sylvesterovo pravilo:
1. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio pozitivnog predznaka 
potrebno je da kutni minori funkcije budu pozitivni. U takvim uvjetima funkcija u ovoj točki ima minimum.
2. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio negativnog predznaka 
, potrebno je da se kutni minori funkcije izmjenjuju, a prvi element matrice mora biti negativanv. U takvim uvjetima funkcija u ovoj točki ima maksimum.
Pod kutnim minorom podrazumijevamo minor koji se nalazi u prvih k redaka i k stupaca originalne matrice.
Glavni praktični značaj Lagrangeove metode je u tome što vam omogućuje prijelaz s uvjetne optimizacije na bezuvjetnu optimizaciju i, sukladno tome, proširite arsenal dostupnih metoda za rješavanje problema. Međutim, problem rješavanja sustava jednadžbi na koji se ova metoda svodi nije, u općem slučaju, ništa jednostavniji od izvornog problema nalaženja ekstremuma. Takve se metode nazivaju neizravnima. Njihova uporaba objašnjava se potrebom dobivanja rješenja ekstremnog problema u analitičkom obliku (na primjer, za određene teorijske izračune). Pri rješavanju konkretnih praktičnih problema obično se koriste izravne metode koje se temelje na iterativnim procesima izračuna i usporedbe vrijednosti funkcija koje se optimiziraju.
Metoda izračuna
1 korak: Lagrangeovu funkciju određujemo iz zadane funkcije cilja i sustava ograničenja:
Naprijed
Da biste dodali svoj komentar na članak, registrirajte se na web mjestu.
LAGRANGEOVA METODA
Metoda redukcije kvadratne forme na zbroj kvadrata, naznačena 1759. od J. Lagrangea. Neka se da
od varijabli x 0 , x 1 ,..., x str.
s koeficijentima iz polja k karakteristike Potrebno je ovaj oblik dovesti u kanonski. um
korištenjem nedegenerirane linearne transformacije varijabli. L. m. sastoji se od sljedećeg. Možemo pretpostaviti da nisu svi koeficijenti oblika (1) jednaki nuli. Stoga su moguća dva slučaja.
1) Za neke g, dijagonala Zatim
gdje oblik f 1 (x) ne sadrži varijablu x g . 2) Ako sve 
Ali
Da
gdje oblik f 2 (x) ne sadrži dvije varijable x g I x h . Oblici ispod kvadratića u (4) linearno su neovisni. Primjenom transformacija oblika (3) i (4) oblik (1) se nakon konačnog broja koraka svodi na zbroj kvadrata linearno nezavisnih linearnih oblika. Koristeći parcijalne derivacije, formule (3) i (4) mogu se napisati u obliku
Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Teorija matrica, 2. izdanje, M., 1966; K u r o sh A. G., Tečaj više algebre, 11. izdanje, M., 1975.; Aleksandrov P.S., Predavanja o analitičkoj geometriji..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.
Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pogledajte što je "LAGRANGE METODA" u drugim rječnicima:
Lagrangeova metoda- Lagrangeova metoda je metoda za rješavanje niza klasa problema matematičkog programiranja pronalaženjem sedla (x*, λ*) Lagrangeove funkcije, što se postiže izjednačavanjem s nulom parcijalnih derivacija ove funkcije u odnosu na ... ... Ekonomski i matematički rječnik
Lagrangeova metoda- Metoda za rješavanje niza klasa problema matematičkog programiranja pronalaženjem sedla (x*, ?*) Lagrangeove funkcije, što se postiže izjednačavanjem parcijalnih derivacija ove funkcije s obzirom na xi i?i na nulu . Vidi Lagrangian. )
