Iracionalna funkcija varijable je funkcija koja se formira od varijable i proizvoljnih konstanti korištenjem konačnog broja operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja (podizanje na cjelobrojnu potenciju), dijeljenja i vađenja korijena. Iracionalna funkcija se razlikuje od racionalne po tome što iracionalna funkcija sadrži operacije za izvlačenje korijena.
Postoje tri glavne vrste iracionalnih funkcija, čiji se neodređeni integrali svode na integrale racionalnih funkcija. To su integrali koji sadrže korijene proizvoljnih cjelobrojnih potencija iz linearne razlomljene funkcije (korijeni mogu biti različitih potencija, ali iz iste linearne razlomljene funkcije); integrali diferencijalnog binoma i integrali s kvadratnim korijenom kvadratnog trinoma.
Važna nota. Korijeni imaju višestruko značenje!
Pri računanju integrala koji sadrže korijene često se susreću izrazi oblika gdje je neka funkcija integracijske varijable. Treba imati na umu da. Odnosno, pri t > 0 , |t| = t. Na t< 0 , |t| = - t. Stoga je pri izračunavanju takvih integrala potrebno posebno razmotriti slučajeve t > 0 i T< 0 . To se može učiniti pisanjem znakova ili gdje god je potrebno. Uz pretpostavku da se gornji znak odnosi na slučaj t > 0 , a donji - na slučaj t< 0 . Daljnjom transformacijom ti se znakovi u pravilu međusobno poništavaju.
Moguć je i drugi pristup, u kojem se integrand i rezultat integracije mogu smatrati složenim funkcijama kompleksnih varijabli. Tada ne morate obraćati pažnju na znakove u radikalnim izrazima. Ovaj je pristup primjenjiv ako je integrand analitički, tj. diferencijabilna funkcija kompleksne varijable. U ovom slučaju, i integrand i njegov integral su višeznačne funkcije. Dakle, nakon integracije, kod zamjene numeričkih vrijednosti, potrebno je odabrati jednovrijednu granu (Riemannovu plohu) integranda, a za nju odabrati odgovarajuću granu rezultata integracije.
Frakcijska linearna iracionalnost
Ovo su integrali s korijenima iz iste frakcijske linearne funkcije:
,
gdje je R racionalna funkcija, su racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi, α, β, γ, δ su realni brojevi.
Takvi se integrali reduciraju na integral racionalne funkcije supstitucijom:
, gdje je n zajednički nazivnik brojeva r 1, ..., r s.
Korijeni ne moraju nužno dolaziti iz linearne frakcijske funkcije, ali također i iz linearne (γ = 0, δ = 1), ili na integracijskoj varijabli x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Evo primjera takvih integrala:
,
.
Integrali iz diferencijalnih binoma
Integrali diferencijalnih binoma imaju oblik:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.
1) Ako je p cijeli broj. Supstitucija x = t N, gdje je N zajednički nazivnik razlomaka m i n.
2) Ako - cijeli broj. Zamjena a x n + b = t M, gdje je M nazivnik broja p.
3) Ako - cijeli broj. Zamjena a + b x - n = t M, gdje je M nazivnik broja p.
U drugim slučajevima takvi integrali nisu izraženi kroz elementarne funkcije.
Ponekad se takvi integrali mogu pojednostaviti pomoću redukcijskih formula:
;
.
Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma
Takvi integrali imaju oblik:
,
gdje je R racionalna funkcija. Za svaki takav integral postoji nekoliko metoda rješavanja.
1)
Korištenje transformacija dovodi do jednostavnijih integrala.
2)
Primijenite trigonometrijske ili hiperboličke zamjene.
3)
Primijenite Eulerove zamjene.
Pogledajmo ove metode detaljnije.
1) Transformacija funkcije integranda
Primjenom formule i izvođenjem algebarskih transformacija reduciramo funkciju integranda na oblik:
,
gdje su φ(x), ω(x) racionalne funkcije.
Tip I
Integral oblika:
,
gdje je P n (x) polinom stupnja n.
Takvi se integrali nalaze metodom neodređenih koeficijenata pomoću identiteta:
.
Diferenciranjem ove jednadžbe i izjednačavanjem lijeve i desne strane nalazimo koeficijente A i.
Vrsta II
Integral oblika:
,
gdje je P m (x) polinom m stupnja.
Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada razlomak treba imati cjelobrojni dio.
III vrsta
Ovdje radimo zamjenu:
.
Nakon čega će integral poprimiti oblik:
.
Zatim, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti od t u nazivniku postanu nula:
B = 0, B 1 = 0.
Tada se integral rastavlja u zbir integrala dva tipa:
,
,
koji su integrirani supstitucijama:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) Trigonometrijske i hiperboličke supstitucije
Za integrale oblika , a > 0
,
imamo tri glavne zamjene:
;
;
;
Za integrale, a > 0
,
imamo sljedeće zamjene:
;
;
;
I konačno, za integrale, a > 0
,
zamjene su sljedeće:
;
;
;
3) Eulerove zamjene
Također, integrali se mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove supstitucije:
, za a > 0;
, za c > 0 ;
, gdje je x 1 korijen jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.
Eliptični integrali
U zaključku razmotrite integrale oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija, . Takvi integrali nazivaju se eliptični. Općenito se ne izražavaju kroz elementarne funkcije. Međutim, postoje slučajevi kada postoje odnosi između koeficijenata A, B, C, D, E, u kojima su takvi integrali izraženi kroz elementarne funkcije.
Ispod je primjer koji se odnosi na refleksivne polinome. Izračun takvih integrala izvodi se pomoću supstitucija:
.
Primjer
Izračunajte integral:
.
Riješenje
Napravimo zamjenu.
.
Ovdje na x > 0
(u> 0
) uzeti gornji znak ′+ ′. Na x< 0
(u< 0
) - niži '- '.
.
Odgovor
Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.
Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave traju do danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu se prijevara sastoji.
S matematičkog gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s količine na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.
Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.
U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Za određivanje udaljenosti do automobila potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na što posebno želim skrenuti pozornost je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer daju različite mogućnosti istraživanja.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.
Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.
Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava.
Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različite kovanice imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...
I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.
Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali zato su šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.
Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.
1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika.
Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve.
S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.
Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.
Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.
Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova cura budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Poziva se funkcija F(x) diferencijabilna u zadanom intervalu X antiderivacija funkcije f(x), ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi sljedeća jednakost:
F " (x) = f(x). (8.1)
Pronalaženje svih antiderivacija za danu funkciju naziva se njeno integracija. Funkcija neodređenog integrala f(x) na danom intervalu X je skup svih antiderivacijskih funkcija za funkciju f(x); oznaka -
Ako je F(x) neka antiderivacija funkcije f(x), tada je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
gdje je C proizvoljna konstanta.
Tablica integrala
Izravno iz definicije dobivamo glavna svojstva neodređenog integrala i popis tabelarnih integrala:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2) ∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Popis tabelarnih integrala
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctan x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Zamjena varijable
Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijable ili zamjene,što vam omogućuje redukciju integrala u tablični oblik.
Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuiranu derivaciju i α ≤ g(x) ≤ β, tada
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Štoviše, nakon integracije na desnoj strani treba izvršiti zamjenu z=g(x).
Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Na primjer:
Metoda integracije po dijelovima
Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirano . Zatim, prema djelu,
d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.
Za izraz d(uv), antiderivacija će očito biti uv, tako da formula vrijedi:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.
Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Zatim
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje čitave klase integrala, npr.
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se izračunavaju precizno korištenjem integracije po dijelovima.
Određeni integral
Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelovi po točkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Poziva se suma oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbroj, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se određeni integral funkcije f(x) od a prije b i označen je:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Funkcija f(x) u ovom slučaju se zove integrabilan na intervalu, nazivaju se brojevi a i b donja i gornja granica integrala.
Za određeni integral vrijede sljedeća svojstva:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Posljednje svojstvo se zove teorem srednje vrijednosti.
Neka je f(x) neprekidan na . Tada na tom segmentu postoji neodređeni integral
∫f(x)dx = F(x) + C
i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral s neodređenim integralom:
F(b) - F(a). (8,6)
Geometrijska interpretacija: određeni integral je površina krivocrtnog trapeza omeđenog odozgo krivuljom y=f(x), ravnim linijama x = a i x = b i segmentom osi Vol.
Nepravilni integrali
Integrali s beskonačnim limitima i integrali diskontinuiranih (neomeđenih) funkcija nazivaju se ne svoj. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali preko beskonačnog intervala, definirani na sljedeći način:
(8.7)
Ako ta granica postoji i konačna je, tada se zove konvergentni nepravi integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), te se poziva funkcija f(x). integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se za integral kaže da je ne postoji ili se razilazi.
Nepravi integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se na sličan način:
Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirana za sve vrijednosti x segment , osim točke c, u kojoj f(x) ima beskonačni diskontinuitet, tada nepravi integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:
ako te granice postoje i konačne su. Oznaka:
Primjeri integralnih izračuna
Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).
Riješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Primjer 3.31. Nađi ∫ tgxdx.
Riješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Primjer3.32 . Pronađite ∫dx/sinxRiješenje.
Primjer3.33. Pronaći .
Riješenje. = .
Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.
Riješenje. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.
Riješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobivamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.
Riješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, tada je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx također integriramo po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.
Riješenje. Kako je dx/x = dlnx, tada je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Primjer 3.38 . Izračunajte J = .
Riješenje. S obzirom da je = d(lnx), zamijenimo lnx = t. Tada je J = 
.
Primjer 3.39
. Izračunajte integral J = 
.
Riješenje. Imamo: 
. Stoga =
=
=. uneseno ovako: sqrt(tan(x/2)).
A ako u prozoru s rezultatima kliknete na Prikaži korake u gornjem desnom kutu, dobit ćete detaljno rješenje.
Određivanje neodređenog integrala vrlo je čest problem u višoj matematici i drugim tehničkim granama znanosti. Čak se ni najjednostavniji fizikalni problemi ne mogu riješiti bez izračuna nekoliko jednostavnih integrala. Stoga nas od školske dobi uče tehnikama i metodama rješavanja integrala, dane su brojne tablice s integralima najjednostavnijih funkcija. Međutim, s vremenom se sve to sigurno zaboravi, ili nemamo dovoljno vremena za izračune ili nam je potrebno pronaći rješenje neodređenog integrala iz vrlo složene funkcije. Za rješavanje ovih problema bit će vam neophodna naša usluga koja će vam omogućiti da točno pronađete neodređeni integral na mreži.
Riješite neodređeni integral
Online usluga na web stranica omogućuje vam da pronađete rješavanje integrala online brzo, besplatno i kvalitetno. Traženje traženog integrala u tablicama možete zamijeniti našom uslugom, gdje brzim unosom željene funkcije dobivate rješenje neodređenog integrala u tabličnoj verziji. Nisu sve matematičke stranice sposobne brzo i učinkovito izračunati neodređene integrale funkcija na mreži, osobito ako trebate pronaći neodređeni integral iz složene funkcije ili takvih funkcija koje nisu uključene u opći tečaj više matematike. Web stranica web stranicaće pomoći riješiti integral online i nositi se sa zadatkom. Korištenjem online rješenja integrala na web stranici uvijek ćete dobiti točan odgovor.
Čak i ako želite sami izračunati integral, zahvaljujući našoj usluzi lako ćete provjeriti svoj odgovor, pronaći grešku ili tipfeler ili se uvjeriti da je zadatak besprijekorno obavljen. Ako rješavate problem i trebate izračunati neodređeni integral kao pomoćnu radnju, zašto onda gubiti vrijeme na ove radnje koje ste možda već izvršili tisuću puta? Štoviše, dodatni izračuni integrala mogu biti uzrok tipfelera ili male pogreške, koja je kasnije dovela do netočnog odgovora. Samo koristite naše usluge i pronađite neodređeni integral online bez imalo truda. Za praktične probleme pronalaženja sastavni funkcije na liniji ovaj server je vrlo koristan. Morate unijeti zadanu funkciju, get online rješenje neodređenog integrala i usporedite odgovor sa svojim rješenjem.
