Ključne riječi:
- notacija
- broj
- abeceda
- pozicijski brojevni sustav
- baza
- prošireni oblik pisanja broja
- skupljeni zapis brojeva
- binarni brojevni sustav
- oktalni brojevni sustav
- heksadecimalni brojevni sustav
1.1.1. Opći podaci o brojevnim sustavima
Riža. 1.1.
Znakovi koji se koriste za pisanje brojeva u različitim brojevnim sustavima
U bilo kojem brojevnom sustavu brojevi se koriste za označavanje brojeva koji se nazivaju čvorni; ostali brojevi (algoritamski) dobivaju se kao rezultat bilo kakvih operacija iz nodalnih brojeva.
Primjer 1... Za Babilonce su ključni brojevi bili 1, 10, 60; u rimskom brojevnom sustavu čvorni brojevi su 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, označeni s I, V, X, L, C, D, M.
Brojevni sustavi se razlikuju po izboru nodalnih brojeva i po metodama generiranja algoritamskih brojeva. Mogu se razlikovati sljedeće vrste brojevnih sustava:
- unarni sustavi;
- nepozicijski sustavi;
- pozicioni sustavi.
Najjednostavniji i najstariji sustav je takozvani unarni brojevni sustav. Za pisanje brojeva koristi samo jedan simbol - štap, čvor, usjek, kamenčić. Duljina snimanja broja s takvim kodiranjem izravno je povezana s njegovom vrijednošću, što ovu metodu čini sličnom geometrijskom prikazu brojeva u obliku segmenata. Uniarni sustav leži u temeljima aritmetike, a ona je ta koja još uvijek uvodi prvašiće u svijet brojanja. Unarni sustavi se također nazivaju sustavi oznaka.
U nepozicionim brojevnim sustavima, brojevi se formiraju zbrajanjem nodalnih brojeva.
Primjer 2... U staroegipatskom brojevnom sustavu brojevi 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 označavani su na sljedeći način:
Isti brojevi u rimskom brojevnom sustavu označeni su na sljedeći način: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Ovdje se algoritamski brojevi dobivaju zbrajanjem i oduzimanjem nodalnih brojeva, uzimajući u obzir sljedeće pravilo: svaki manji znak, postavljen desno od većeg, dodaje se njegovoj vrijednosti, a svaki manji znak, smješten lijevo od veći, oduzima se od njega.
Dekadski brojevni sustav, koji smo navikli koristiti u svakodnevnom životu, s kojim smo upoznati od djetinjstva, u kojem izvodimo sve svoje izračune, primjer je pozicijskog brojevnog sustava. U njemu se algoritamski brojevi formiraju na sljedeći način: vrijednosti znamenki se množe s "težinama" odgovarajućih znamenki i zbrajaju se sve dobivene vrijednosti. To se jasno može vidjeti u brojevima ruskog jezika, na primjer: "tristo pet deset sedam".
Osnova pozicijskog brojevnog sustava može biti bilo koji prirodni broj q> 1.
Abeceda decimalnog sustava sastoji se od brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Abeceda proizvoljnog pozicijskog brojevnog sustava s bazom q su brojevi 0, 1, ..., q-1, od kojih se svaki može napisati pomoću jednog jedinstvenog znaka; znamenka najmanjeg značaja je uvijek O.
Glavne prednosti svakog pozicijskog brojevnog sustava su jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija i ograničen broj znakova potrebnih za pisanje bilo kojeg broja.
a 1 - brojevi koji pripadaju abecedi zadanog brojevnog sustava;
q 1 - "težina" i-te kategorije.
Pisanje broja prema formuli (1) naziva se prošireni oblik zapisa. Redukovani oblik pisanja broja je njegov prikaz u obliku ± a n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 ... a -m 1
- 1 U nastavku će se razmatrati samo pozitivni cijeli brojevi.
Primjer 3. Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov sažeti oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u mislima prelazimo na prošireni zapis, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .
1.1.2. Binarni brojevni sustav
Binarni brojevni sustav naziva se pozicijski brojevni sustav s bazom 2. Za pisanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu koriste se samo dvije znamenke: 0 i 1.
Na temelju formule (1) za binarne cijele brojeve možete napisati:
Na primjer:
10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .
Ovakav oblik zapisa "pokreće" pravilo za pretvorbu prirodnih binarnih brojeva u decimalni brojevni sustav: potrebno je izračunati zbroj potencija dva koje odgovaraju jedinicama u reduciranom obliku zapisa binarnog broja.
Dobijmo iz formule (1") pravilo za pretvaranje cjelobrojnih decimalnih brojeva u binarni brojevni sustav.
Podijeliti
a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 sa 2.
Kvocijent će biti jednak
a n-1 2 n-2 + ... + a 1,
a ostatak će biti 0.
Rezultirajući kvocijent ponovno se dijeli s 2, ostatak dijeljenja bit će jednak 1.
Ako nastavimo s ovim procesom dijeljenja, tada ćemo u n-tom koraku dobiti skup brojeva:
a 0, a 1, a 2, ..., a n-1
koji su uključeni u binarni prikaz izvornog broja i podudaraju se s ostatcima kada se on uzastopno podijeli s 2. Prilikom zapisivanja izvornog broja u binarni brojevni sustav treba imati na umu da su ostatci nakon dijeljenja s 2 dobiveni obrnutim redoslijedom od redoslijeda odgovarajućih znamenki u binarnom prikazu izvornog broja ...
Primjer 4... Pretvorimo decimalni broj 11 u binarni zapis. Slijed gore navedenih radnji (algoritam prijevoda) može se prikazati na sljedeći način:
Zapisujući ostatke dijeljenja u smjeru označenom strelicom, dobivamo: 11 10 = 1011 2.
Primjer 5... Ako je decimalni broj dovoljno velik, tada je prikladniji sljedeći način pisanja gornjeg algoritma:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Oktalni brojevni sustav
Oktalni brojevni sustav je pozicijski brojevni sustav s bazom 8. Za pisanje brojeva u oktalnom brojevnom sustavu koriste se brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Na temelju formule (1) za cijeli oktalni broj, možete napisati:
Na primjer: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10
Dakle, da biste pretvorili cjelobrojni oktalni broj u decimalni brojevni sustav, idite na njegov prošireni zapis i izračunajte vrijednost rezultirajućeg izraza.
Da biste pretvorili cjelobrojni decimalni broj u oktalni brojevni sustav, morate uzastopno podijeliti ovaj broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike s 8 dok ne dobijete kvocijent jednak nuli. Izvorni broj u novom brojevnom sustavu nastaje uzastopnim bilježenjem rezultirajućih ostataka, počevši od posljednjeg.
Primjer 6. Prevedimo decimalni broj 103 u oktalni brojevni sustav.
1.1.4. Heksadecimalni brojevni sustav
Baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest znamenki ima općeprihvaćenu oznaku 0, ..., 9. Za pisanje znamenki s decimalnim kvantitativnim ekvivalentima 10, 11, 12, 13, 14, 15, obično je prvih pet slova latinske abecede korišteni.
Dakle, unos 3AF16 znači:
3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Primjer 7... Prevedimo decimalni broj 154 u heksadecimalni brojevni sustav.
1.1.5. Pravilo za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bazu q
Za pretvaranje cjelobrojnog decimalnog broja u bazu q:
- sekvencijalno izvoditi dijeljenje zadanog broja i dobivenih cjelobrojnih kvocijenata na temelju novog brojevnog sustava dok ne dobijemo kvocijent jednak nuli;
- rezultirajuće ostatke, koji su znamenke broja u novom brojevnom sustavu, treba uskladiti s abecedom novog brojevnog sustava;
- čine broj u novom brojevnom sustavu, zapisujući ga, počevši od posljednjeg primljenog ostatka.
Napravimo tablicu korespondencije za decimalne, binarne, oktalne i heksadecimalne brojeve od 0 do 20.
Jedinstvena zbirka digitalnih obrazovnih izvora (http://school-collection.edu.ru/) sadrži interaktivnu animaciju "Pretvaranje decimalnog broja u drugi brojevni sustav". Uz njegovu pomoć možete gledati prijevod proizvoljnog cijelog broja od 0 do 512 u pozicijski brojevni sustav, čija baza ne prelazi 16.
U virtualnom laboratoriju "Digitalne vage" koji se nalazi na istom mjestu možete savladati još jednu metodu pretvaranja cijelih decimalnih brojeva u druge brojevne sustave - metodu razlika.
1.1.6. Binarna aritmetika
Binarna aritmetika temelji se na korištenju sljedećih tablica zbrajanja i množenja:
Primjer 8... Tablica binarnog zbrajanja iznimno je jednostavna. Budući da je 1 + 1 = 10, tada 0 ostaje u ovom bitu, a 1 se prenosi na sljedeći bit.
Primjer 9... Operacija množenja izvodi se prema uobičajenoj shemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sustavu, uz uzastopno množenje pomnoženog sa sljedećom znamenkom množitelja.
Dakle, u binarnom sustavu množenje se svodi na pomake množenika i zbrajanja.
1.1.7. "Računalni" brojevni sustavi
U računalnoj tehnologiji koristi se binarni brojevni sustav koji pruža niz prednosti u odnosu na druge sustave:
- binarni brojevi su predstavljeni u računalu koristeći prilično jednostavne tehničke elemente s dva stabilna stanja;
- prezentacija informacija pomoću samo dva stanja je pouzdana i otporna na buku;
- binarna aritmetika je najjednostavnija;
- postoji matematički aparat koji omogućuje logičke transformacije binarnih podataka.
Razmjena informacija između računalnih uređaja vrši se prijenosom binarnih kodova. Zbog njihove velike duljine i vizualne jednoličnosti, osobi je nezgodno koristiti takve kodove. Stoga stručnjaci (programeri, inženjeri) u nekim fazama razvoja, stvaranja, podešavanja računalnih sustava zamjenjuju binarne kodove njihovim ekvivalentnim vrijednostima u oktalnim ili heksadecimalnim brojevnim sustavima. Kao rezultat toga, duljina izvorne riječi smanjuje se za tri ili četiri puta. To čini informacije lakšim za pregled i analizu.
Uz pomoć resursa "Interaktivna knjiga zadataka, odjeljak" Brojevni sustavi "" (http://school-collection.edu.ru/), možete provjeriti koliko ste čvrsto svladali materijal proučavan u ovom odlomku.
Najvažnija stvar
Brojevni sustav je znakovni sustav u kojem se usvajaju određena pravila za pisanje brojeva. Znakovi kojima se zapisuju brojevi nazivaju se brojevima, a njihova kombinacija abeceda brojevnog sustava.
Brojevni sustav naziva se pozicijski ako kvantitativni ekvivalent znamenke u broju ovisi o njezinom položaju u brojevnom zapisu. Baza pozicijskog brojevnog sustava jednaka je broju znamenki koje čine njegovu abecedu.
Osnova pozicijskog brojevnog sustava može biti bilo koji prirodni broj q> 1.
U pozicijskom brojevnom sustavu s osnovom q, bilo koji broj se može predstaviti kao:
Broj;
q - baza brojevnog sustava;
i i - brojevi koji pripadaju abecedi zadanog brojevnog sustava;
n - broj cijelih znamenki broja;
m - broj razlomaka broja;
q i - "težina" i-te kategorije.
Pitanja i zadaci
Kako se prebaciti sa skupljenog oblika pisanja decimalnog broja u njegov prošireni oblik?
Odgovor
Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov sažeti oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u mislima prelazimo na prošireni zapis, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:
1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1.
Prelazak iz skupljenog u prošireno
1. Pogledaj broj koji ti je dat i odredi broj njegovih znamenki.
Primjer:
Napišite 5827 u proširenom obliku.
Pročitajte broj naglas: pet tisuća osamsto dvadeset sedam.
Imajte na umu da ovaj broj ima četiri znamenke. Kao rezultat toga, prošireni obrazac sadržavat će četiri pojma.
2. Prepišite broj kao zbroj njegovih znamenki, ostavljajući razmak između njih kako biste svaku znamenku pomnožili s nekom znamenkom (više o tome kasnije).
Primjer:
5827 prepiši kako slijedi:
3. Znamenke broja nalaze se na određenim pozicijama koje odgovaraju (s desna na lijevo) jedinicama, deseticama, stotinama, tisućama i tako dalje. Odredite naziv pozicije i njegovo značenje za svaku znamenku (s desna na lijevo).
Primjer:
Budući da u ovom broju postoje četiri znamenke, tada morate odrediti nazive četiriju pozicija (s desna na lijevo).
7 odgovara jedinicama (vrijednost = 1 = 10 0).
2 odgovara deseticama (vrijednost = 10 = 10 1).
8 odgovara stotinama (vrijednost = 100 = 10 2).
5 odgovara tisućama (vrijednost = 1000 = 10 3).
4. Pomnožite svaku znamenku zadanog broja s vrijednošću odgovarajuće pozicije.
Primjer:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0
PRORAČUNSKI SUSTAVI I
PRIJENOS BROJA IZ JEDNOG SUSTAVA U DRUGI
Brojevni sustav (CC) - to je način predstavljanja brojeva i odgovarajućih pravila djelovanja na njima.
Brojevni sustavi se dijele na pozicijske i nepozicione
Osnova brojevnog sustava- nazovite broj znamenki koji se koriste za pisanje brojeva
SS abeceda- nazvati sve brojeve (znakove) koji se koriste za pisanje brojeva
Prošireni oblik pisanja broja
Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 + .. a 1 q 1 + a 0 q 0
q - baza
a i - brojevi
n - broj bitova cjelobrojnog dijela
m - broj znamenki razlomka
123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Tablica ekvivalenata brojeva
| q = 10 | q = 16 | q = 12 | q = 8 | q = 5 | q = 4 | q = 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | A | A | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | V | V | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | S | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Abecede u odgovarajućim brojevnim sustavima su podebljane.
Pravilo za pretvaranje broja iz bilo kojeg brojevnog sustava u decimalni
Da biste broj pretvorili u decimalni brojevni sustav, trebate:
1.napišite broj u proširenom obliku
2. Pretvorite sve znamenke u decimalni SS (za SS s q> 10)
3.izračunati vrijednost rezultirajućeg izraza
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10
1BE, 84 16 = 1 ∙ 16 2 + B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10
Riješite primjere:
2) 150 6 = A 10
4) DF 18 = A 10
5) 1AB 16 = A 10
Pravilo za pretvaranje decimalnih cijelih brojeva u druge brojevne sustave:
1. Uzastopno izvoditi dijeljenje s ostatkom zadanog broja i dobivenim nepotpunim kvocijentima na temelju novog SS dok ne dobijemo nepotpuni kvocijent manji od djelitelja.
2. Rezultirajući ostaci, koji su znamenke broja u novom SS-u, dovode ih u sklad s abecedom novog SS-a (za SS s q> 10)
3. Napravite broj u novom SS-u, zapišite sve ostatke, počevši od posljednjeg kvocijenta
| 19 10 = 10011 2 |  |
| 19 10 = 13 16 | |
| 205 10 = CD 16 |  |
Riješite primjere:
1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
Brza binarna pretvorba po stupnju dvojke dekompozicije
Zgodno je broj pretvoriti u binarni SS za neke brojeve na drugi način: razlaganjem na stupnjeve dvojke. Naravno, za to morate znati ove stupnjeve napamet ;-)
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2
Možete preskočiti prošireni oblik pisanja broja. Ako postoji stupanj, onda stavljamo jedan, ako nema stupnja po redu (u našem primjeru, 3 i 2), onda tamo stavljamo 0.
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2
Ova metoda je posebno prikladna za brojeve čija je vrijednost blizu stupnja.
Riješite primjere:
1) 161 10 = A 2
1) 321 10 = A 2
1) 600 10 = A 2
Pravilo za pretvaranje binarnog broja u SS s bazom q = 2 n
1.dati binarni broj, počevši od zareza (cijeli i razlomak), u grupe od n znamenki u svakoj
Osnova pozicijskog brojevnog sustava je cijeli broj q, koji je podignut na stepen.
Osnova pozicijskog brojevnog sustava je niz brojeva, od kojih svaki određuje kvantitativni ekvivalent (težinu) znaka, ovisno o njegovu mjestu u brojevnom kodu.
Decimalna baza: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Osnova proizvoljnog pozicijskog brojevnog sustava: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza je u bilo kojem sustavu prikazana kao 10, ali ima drugačije kvantitativno značenje. Pokazuje koliko se puta mijenja kvantitativna vrijednost znamenke kada se pomakne na susjedni položaj. Mogući su mnogi pozicijski sustavi, budući da se bilo koji broj, ne manji od 2, može uzeti kao baza brojevnog sustava.
Naziv brojevnog sustava odgovara njegovoj bazi (decimalni, binarni, peterostruki itd.).
U radixu q (q-arnog brojevnog sustava), jedinice znamenki su sekvencijalni potenci broja q, drugim riječima, q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije.
Za upisivanje brojeva q-aich numerički sustav je potreban q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q – 1.
Posljedično, baza pozicijskog brojevnog sustava jednaka je broju simbola (znakova) u njegovoj abecedi. Zabilježite broj q v q-ararni brojevni sustav ima oblik 10.
Primjer 1. Oktalni brojevni sustav.
Baza: q = 8.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.
Brojevi: na primjer, 45023.152 8; 751.001 8.
Primjer 2. Peterostruki brojevni sustav .
Baza: q = 5.
Abeceda: 0, 1, 2, 3 i 4.
Brojevi: na primjer, 20304 5; 324,03 5.
Primjer 3. Heksadecimalni brojevni sustav.
Baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest znamenki ima općeprihvaćenu oznaku 0-9. Za pisanje ostalih znakova abecede (10, 11, 12, 13, 14 i 15) obično se koristi prvih pet slova latinice.
Brojevi: na primjer, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
U pozicijskom brojevnom sustavu svaki realni broj može se predstaviti u sljedećem obliku:
A q = ±( a n–1 × q n –1 + a n–2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ili ±.
Ovdje A - sam broj; q - radix;
i ja- brojevi koji pripadaju abecedi zadanog brojevnog sustava; P - broj cijelih znamenki broja; T - broj razlomaka znamenki broja.
Proširivanje broja formulom (1) naziva se prošireni oblik snimanja ... Inače se ovaj oblik zapisa naziva polinom ili trijezan.
Primjer 1. Decimal A 10 = 5867,91 prema formuli (1) prikazan je na sljedeći način:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Primjer 2. Formula (1) za oktalni brojevni sustav je:
A 8 = ± ( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + a – m× 8 - m),
gdje i ja- brojevi 0–7.
Oktalni broj A 8 = 7064,3 u obliku (1) zapisuje se na sljedeći način:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Primjer 3. Broj pet A 5 = 2430,21 prema formuli (1) zapisuje se na sljedeći način:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Procjenom ovog izraza možete dobiti decimalni ekvivalent navedenog peterostrukog broja: 365,44 10.
Primjer 4. Heksadecimalni zapis je 3 AF 16 znači:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
Osnova pozicijskog brojevnog sustava je cijeli broj q, koji je podignut na stepen.
Osnova pozicijskog brojevnog sustava je niz brojeva, od kojih svaki određuje kvantitativni ekvivalent (težinu) znaka, ovisno o njegovu mjestu u brojevnom kodu.
Decimalna baza: ... 10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Osnova proizvoljnog pozicijskog brojevnog sustava: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Baza je u bilo kojem sustavu prikazana kao 10, ali ima drugačije kvantitativno značenje. Pokazuje koliko se puta mijenja kvantitativna vrijednost znamenke kada se pomakne na susjedni položaj. Mogući su mnogi pozicijski sustavi, budući da se bilo koji broj, ne manji od 2, može uzeti kao baza brojevnog sustava.
Naziv brojevnog sustava odgovara njegovoj bazi (decimalni, binarni, peterostruki itd.).
U radixu q (q-arnog brojevnog sustava), jedinice znamenki su sekvencijalni potenci broja q, drugim riječima, q jedinice bilo koje kategorije čine jedinicu sljedeće kategorije.
Za upisivanje brojeva q-aich numerički sustav je potreban q razni znakovi (cifre) koji predstavljaju brojeve 0, 1, ..., q – 1.
Posljedično, baza pozicijskog brojevnog sustava jednaka je broju simbola (znakova) u njegovoj abecedi. Zabilježite broj q v q-ararni brojevni sustav ima oblik 10.
Primjer 1. Oktalni brojevni sustav.
Baza: q = 8.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.
Brojevi: na primjer, 45023.152 8; 751.001 8.
Primjer 2. Peterostruki brojevni sustav .
Baza: q = 5.
Abeceda: 0, 1, 2, 3 i 4.
Brojevi: na primjer, 20304 5; 324,03 5.
Primjer 3. Heksadecimalni brojevni sustav.
Baza: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ovdje samo deset od šesnaest znamenki ima općeprihvaćenu oznaku 0-9. Za pisanje ostalih znakova abecede (10, 11, 12, 13, 14 i 15) obično se koristi prvih pet slova latinice.
Brojevi: na primjer, B5C3.1A2 16; 355.0FA01 8.
U pozicijskom brojevnom sustavu svaki realni broj može se predstaviti u sljedećem obliku:
A q = ±( a n–1 × q n –1 + a n–2 × q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q –m), (1) ili ±.
Ovdje A - sam broj; q - radix;
i ja- brojevi koji pripadaju abecedi zadanog brojevnog sustava; P - broj cijelih znamenki broja; T - broj razlomaka znamenki broja.
Proširivanje broja formulom (1) naziva se prošireni oblik snimanja ... Inače se ovaj oblik zapisa naziva polinom ili trijezan.
Primjer 1. Decimal A 10 = 5867,91 prema formuli (1) prikazan je na sljedeći način:
A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.
Primjer 2. Formula (1) za oktalni brojevni sustav je:
A 8 = ± ( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +… + a – m× 8 - m),
gdje i ja- brojevi 0–7.
Oktalni broj A 8 = 7064,3 u obliku (1) zapisuje se na sljedeći način:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.
Primjer 3. Broj pet A 5 = 2430,21 prema formuli (1) zapisuje se na sljedeći način:
A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 "+ 0 × 5 ° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.
Procjenom ovog izraza možete dobiti decimalni ekvivalent navedenog peterostrukog broja: 365,44 10.
Primjer 4. Heksadecimalni zapis je 3 AF 16 znači:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.
