بازیابی سیگنال محاسبه اطلاعات سیستم

برای محاسبات اطلاعاتی، به عنوان معیار اولیه، از خطای مجاز ریشه میانگین مربع سیستم استفاده می کنیم که از طریق خطای هر گره مشخص می شود. در مورد ما، با فرمول زیر تعیین می شود:

خطای RMS ADC به دلیل نویز کوانتیزاسیون کجاست (خطای کوانتیزاسیون ATC).

خطای بازیابی سیگنال

برای ساده کردن محاسبات، همه این خطاها در ابتدا برابر هستند. بنابراین، از فرمول (1) نتیجه می شود که

مطابق با شرایط مرجع، خطای تبدیل

1 درصد بنابراین

محاسبه عمق بیت ADC

ADC ها سیگنال های آنالوگ را به شکل دیجیتال تبدیل می کنند و دستگاه های پایانی در رابط برای وارد کردن اطلاعات به کامپیوتر هستند. مشخصات اصلی ADC عبارتند از: وضوح، دقت و سرعت. وضوح با عمق بیت و حداکثر محدوده ولتاژ ورودی آنالوگ تعیین می شود.

خطای نسبی ریشه میانگین مربع معرفی شده توسط کوانتیزاسیون ADC با فرمول محاسبه می شود

مقدار rms نویز کوانتیزاسیون کجاست.

مرحله کوانتیزاسیون ADC که توسط محدوده تغییر سیگنال U s تعیین می شود. و تعداد بیت های ADC n.

بنابراین، خطای کوانتیزاسیون ADC

از این عبارت، می توانید حداقل عمق بیت مورد نیاز ADC را تعیین کنید:

مستقر،

بنابراین حداقل عمق بیت ADC برای حل مشکل 6 بیت است. اما از آنجایی که ADC در ماژول ADAM-6024 دارای 16 بیت است، خطای تبدیل واقعی آن برابر با

محاسبه حداکثر خطای بازیابی ممکن

از آنجایی که وظیفه بیان می کند که حداکثر خطای تبدیل 1٪ است، بنابراین برای ارضای این شرط، خطای بازیابی باید کمتر یا مساوی باشد.

بازسازی یک سیگنال پیوسته U(t) با استفاده از روش درونیابی

روش بازیابی درون یابی امروزه بسیار گسترده شده است. این روش برای پردازش سیگنال با استفاده از فناوری رایانه مناسب است. این روش بازیابی مبتنی بر استفاده از چند جمله ای درونیابی لاگرانژ است. به دلایل سهولت اجرای درون یاب ها، معمولاً از یک چند جمله ای بالاتر از مرتبه دوم استفاده می شود که عمدتاً از درون یابی صفر و مرتبه اول (مرحله ای و خطی) استفاده می شود. بازیابی سیگنال با استفاده از درونیابی گام به گام (a) و خطی (b) در شکل 13 نشان داده شده است.

شکل 13. بازسازی سیگنال ها با استفاده از درون یابی مرحله (الف) و خطی (ب).

با درون یابی گام به گام، مقادیر لحظه ای U(kT) سیگنال گسسته U(t) در کل بازه نمونه برداری T ثابت می ماند (شکل 13، a).

درون یابی خطی شامل اتصال بخش هایی از مقادیر مستقیم آنی U(kT) است، همانطور که در شکل 13، b نشان داده شده است.

روش بازیابی درون یابی دارای خطا است که در عمل اغلب از طریق حداکثر مقدار نسبی بیان می شود

سیگنال با روش درون یابی (با درونیابی گام به گام، با خطی) در کجا بازیابی می شود. - محدوده سیگنال گسسته U(t).

دوره نمونه برداری با در نظر گرفتن خطای مجاز از فرمول انتخاب می شود.

برای درون یابی مرحله ای

با درون یابی خطی

با درون یابی سهموی

بیایید دوره نمونه برداری برای یک کانال را طبق Kotelnikov تعیین کنیم:

با توجه به وظیفه پروژه فارغ التحصیلی، فرکانس فرآیندها باید کمتر از 0.1 هرتز باشد. ماژول ورودی/خروجی آنالوگ ADAM-6024 دارای fmax = 10 هرتز (در هر 1 کانال) است. از آنجایی که سیستم توسعه یافته از 4 کانال ورودی آنالوگ استفاده می کند، نرخ نمونه برداری محدود برای هر یک از کانال ها fmax = 2.5 هرتز خواهد بود. سپس نرخ نمونه برداری مورد نیاز برای درونیابی گام به گام خواهد بود:

بنابراین، درون یابی گام به گام برای برآوردن الزامات سیستم در حال توسعه مناسب نیست، زیرا نرخ نمونه برداری برای درونیابی گام به گام به طور قابل توجهی بالاتر از 2.5 هرتز است.

نرخ نمونه برداری برای درونیابی خطی است

نرخ نمونه برداری برای درونیابی سهمی است

مشاهده می شود که نرخ نمونه برداری برای درون یابی خطی و سهموی کمتر از نرخ نمونه برداری محدود مدول در هر کانال است. اما از درونیابی مرتبه دوم و بالاتر عملاً استفاده نمی شود، زیرا اجرای آن پیچیده تر می شود، بنابراین از درون یابی خطی برای بازیابی سیگنال ها استفاده خواهیم کرد.

بازیابی سیگنال به تخمین تعداد معینی از پارامترهای ناشناخته سیگنال مفید کاهش می یابد. ما خود را به در نظر گرفتن مورد تخمین یکی از پارامترهای سیگنال، به عنوان مثال، دامنه محدود می کنیم. AT، برای یک شکل موج معین. در این حالت، نویز افزایشی در نظر گرفته می شود، مانند نویز گاوسی سفید. ما یک سیگنال مفید را در فرم نشان می دهیم

جایی که f(t)تابع شناخته شده زمان است. AT- پارامتر سیگنال

مشکل اینجاست که طبق نمونه پذیرفته شده Yمقدار پارامتر را تعیین کنید ATدر سیگنال مفید ایکس.

برخلاف موارد تشخیص و تشخیص سیگنال ها، در اینجا مجموعه بی نهایتی از مقادیر ممکن از پارامتر وجود دارد. ATو بر این اساس، تعداد بی نهایت فرضیه. روش های در نظر گرفته شده در مورد موقعیت های دو جایگزین و چند جایگزین برای مشکل بازیابی سیگنال نیز قابل استفاده هستند.

اجازه دهید پارامتر را تخمین بزنیم ATروش حداکثر احتمال اگر سیگنال دریافتی در زمان های گسسته نمونه برداری شود، تابع احتمال برای پارامتر ATبرابر خواهد بود

(2.38)

وظیفه یافتن چنین مقدار پارامتری است ATکه تابع احتمال حداکثر است. تابع حداکثر درستنمایی با حداقل مقدار توان در عبارت (2.38) مطابقت دارد.

از حداقل شرط

جایی که مقدار تخمینی پارامتر را بدست می آوریم

(2.39)

با عبور از مثال پیوسته، دریافت می کنیم

(2.40)

روی انجیر 2.3 نمودار یک دستگاه تصمیم گیری را نشان می دهد که عملیات تخمین پارامتر سیگنال را انجام می دهد. دستگاه حاوی یک سیگنال مولد است f(t)، پیوند ضرب کننده MZ، ضرب را انجام می دهد y(t)بر روی f(t)و یکپارچه کننده که محصول را یکپارچه می کند y(t)f(t).

برای ارزیابی دقت بازیابی سیگنال، از معیار انحراف استاندارد استفاده می کنیم. برای این منظور در (2.40) سیگنال دریافتی را به صورت جمع بیان می کنیم y(t) = Bf (t) + (t). سپس 2.40

شکل 2.3 برآوردگر پارامتر ناشناخته

خطای بازیابی

پراکندگی خطا

میانگین محصول نشان دهنده تابع همبستگی نویز است

جایی که برو- چگالی طیفی تداخل. - تابع دلتا؛

بنابراین، مقدار ریشه میانگین مربع خطای بازیابی

مشکل بازیابی سیگنال نیز با روش فیلترینگ بهینه قابل حل است. به طور کلی فرمولاسیون به شرح زیر است. بگذارید نوسانی که در یک بازه زمانی معین گرفته می شود تابعی از سیگنال و نویز باشد:

(2.42)

یک سیگنال ممکن است نه به یک، بلکه به چند پارامتر بستگی داشته باشد و یا خود سیگنال یا پارامتر آن فرآیندهای تصادفی هستند. نوع عملکرد، یعنی فرض بر این است که روش ترکیب سیگنال و نویز و برخی از خصوصیات آماری آنها از قبل مشخص است. بر اساس آنها، لازم است ساختار دستگاه تعیین شود (شکل 1)، که به طور بهینه تصمیم می گیرد که کدام تحقق خود سیگنال یا پارامتر آن در نوسان دریافتی موجود است.

برنج. 2.4 تصمیم گیرنده

به دلیل وجود نویز و ماهیت تصادفی سیگنال، ارزیابی تحقق سیگنال یا پارامتر آن با تحقق واقعی، یعنی. خطاهای فیلترینگ رخ خواهد داد. برای ارزیابی کمی کیفیت فیلتر، معیارهای حداقل خطای ریشه میانگین مربع، معیار حداکثر نسبت سیگنال به نویز، و معیار حداکثر احتمال پسینی بیشتر استفاده می شود. مشکل فیلتر خطی را در نظر بگیرید، و همچنین فرض خواهیم کرد که سیگنال و نویز به صورت افزایشی با هم تعامل دارند، یعنی.

اجازه دهید ابتدا به معیار حداقل میانگین مربعات خطا بپردازیم. ما در نظر می گیریم که سیگنال و نویز فرآیندهای ثابت و عادی و تصادفی با توابع همبستگی شناخته شده هستند

لازم است سیستم را تعیین کرد که از مخلوط دریافتی

با حداقل میانگین مربعات خطا، یک سیگنال مفید را انتخاب می کند. آن ها سیستم بهینه مورد نظر باید مقدار را به حداقل برساند

(2.43)

تعریف ساختار فیلتر ضروری است (شکل 2.4)

هنگامی که ارزیابی در خروجی سیستم باید مقدار سیگنال ورودی را به جلو پیش بینی (پیش بینی) کند، زمانی که کار به انتخاب (صاف کردن) سیگنال از نوسان کاهش می یابد.

یک راه حل دقیق برای این مشکل توسط A. N. Kolmogorov و N. Wiener به دست آمد.

آنها نشان دادند که دستگاه بهینه متعلق به کلاس فیلترهای خطی با پارامترهای ثابت است. بیایید نتایج آنها را نشان دهیم. فرض کنید ورودی یک سیستم خطی قابل تحقق فیزیکی (شکل 2.4) با یک پاسخ ضربه ای

(2.44)

یک فرآیند تصادفی ثابت عمل می کند. در این حالت، فرآیند تصادفی ثابت در خروجی آن توسط رابطه تعیین می شود

(2.45)

با جایگزینی (2.45) به (2.43) عبارت زیر را برای خطای فیلترینگ rms بدست می آوریم:

که پس از تبدیل های ساده به شکل زیر کاهش می یابد:

در اینجا تابع همبستگی متقابل فرآیندها و

الف - تابع همبستگی خودکار یک فرآیند تصادفی

برای تعیین پاسخ ضربه ای فیلتر بهینه که میانگین مربعات خطا را به حداقل می رساند، از روش محاسبه تغییرات زیر استفاده می شود. بگذار:

جایی که پارامتری است که به آن وابسته نیست و یک تابع دلخواه است. در این حالت شرط حداقل میانگین مربعات خطا شکل می گیرد

پس از جایگزینی (8) به (5)، شرط (9) به شکل زیر در می آید:

آخرین رابطه باید برای یک تابع دلخواه برآورده شود، از این رو نتیجه می شود که پاسخ ضربه باید معادله انتگرال فردهولم از نوع اول را برآورده کند.

(10)

این معادله معادله پایه تئوری فیلتراسیون خطی است و معادله وینر هاپف نامیده می شود.

بنابراین، مشکل یافتن یک صاف کننده بهینه یا فیلتر قابل تحقق فیزیکی پیش بینی کننده به حل معادله انتگرال کاهش می یابد (10). این راه حل دارای تعریفی از پیچیدگی است که عمدتاً به دلیل نیاز به تحقق فیزیکی فیلتر بهینه است. در یک مورد خاص، اما از نقطه نظر عملی مهم، در مورد چگالی طیفی کسری منطقی فرآیند ورودی، از (10) می توان عبارت زیر را برای تابع انتقال به دست آورد:

(12)

در این حالت حداقل خطای فیلتر ریشه میانگین مربع برابر است با

(13)

جایی که، (14)

برای یک مورد خاص از صاف کردن یک مخلوط افزودنی از یک فرآیند تصادفی ثابت مستقل و نویز سفید با یک تابع همبستگی

فرمول (11) ساده شده است:

جایی که شاخص + به این معنی است که اگر عبارت در پرانتزهای مربع به کسری های ساده بسط داده شود، فقط آنهایی از آنها که مطابق با قطب های واقع در نیم صفحه بالایی هستند باید در بسط باقی بمانند. همه توابع کسری ساده ، مربوط به قطب ها در نیم صفحه پایین و همچنین کل قسمت باید دور ریخته شود. حداقل ریشه میانگین مربعات خطا برای مورد مورد بررسی را می توان با فرمول محاسبه کرد

با این حال، محاسبات عملی با استفاده از فرمول های بالا دست و پا گیر هستند. اگر الزامات تحقق پذیری فیزیکی (3) بر فیلتر بهینه اعمال نشود، ساده سازی قابل توجهی به دست می آید. در (4) و در فرمول های بعدی راهروی پایینی برابر با . در این حالت به جای معادله (10) معادله انتگرال را بدست می آوریم:

(15)

که حل آن منجر به عبارت زیر برای تابع انتقال یک فیلتر غیرقابل تحقق فیزیکی می شود:

(16)

حداقل خطای ریشه میانگین مربع در این حالت با فرمول (13) محاسبه می شود. برای یک مورد خاص از سیگنال و نویز مستقل از نظر آماری که مقادیر میانگین صفر دارند، فرمول (16) به شکل زیر کاهش می یابد:

اگرچه روابط اخیر با فیلترهای بهینه غیرقابل تحقق فیزیکی مطابقت دارد، اما مفید هستند، زیرا هر فیلتر قابل تحقق فیزیکی نمی تواند میانگین مربعات خطای کوچکتری نسبت به فیلترهای تعریف شده با عبارت (16) بدهد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که تحمیل شرایط امکان سنجی فیزیکی (3) بر روی فیلتر، انتخاب ویژگی فیلتر بهینه را محدود می کند و به همین دلیل، تنها منجر به بدتر شدن نتیجه نهایی می شود.

در پایان، توجه می کنیم که عبارت خطای بازتولید ریشه میانگین مربع شکل خواهد داشت.

که از آن نتیجه می شود که فیلتراسیون ایده آل تنها زمانی امکان پذیر است که ، یعنی زمانی که طیف سیگنال و تداخل با هم همپوشانی ندارند.

اگر یک تابع x(t) که شرایط دیریکله را برآورده می کند و دارای طیفی با فرکانس مرزی است، به صورت دوره ای با یک نقطه گسسته شود، می توان آن را از مجموعه مقادیر آنی آن بدون خطا بازسازی کرد. (ثانیه) (هرتز).

نمایش یک سیگنال با استفاده از نمونه ها. قضیه V.A. Kotelnikov

همانطور که قبلاً گفتیم، هنگام دیجیتالی کردن یک سیگنال، نمونه برداری می شود، در حالی که از نمونه برداری و کمی سازی برای به دست آوردن مقدار سیگنال استفاده می شود. در برخی موارد، زمان های نمونه برداری به طور تصادفی بر روی محور زمان تنظیم می شود و اطلاعات مربوط به شکل موج از بین می رود. از نمونه های تصادفی، ما فقط می توانیم توزیع چگالی احتمال را تعیین کنیم. بنابراین، نمونه های تصادفی اطلاعات آماری در مورد بزرگی سیگنال ورودی به ما می دهند. این بدان معناست که از این طریق می توانیم مقادیر RMS و پیک سیگنال ورودی را اندازه گیری کنیم، محدوده مقادیر پذیرفته شده توسط آن را تعیین کنیم، اما نمی توانیم شکل سیگنال و طیف آن را تعیین کنیم.

در بسیاری از موارد، نمونه های سیگنال در نقاط زمانی مساوی گرفته می شود. سپس تصمیم گیری در مورد تعداد نمونه در واحد زمان بسیار مهم است تا بتوان به اندازه کافی سیگنال پیوسته زمان را توصیف کرد. پاسخ به این سوال توسط قضیه V.A. Kotelnikov داده شده است. در ادبیات فنی خارجی ممکن است با نام دیگری برای این قضیه برخورد کنید که از آن به قضیه نمونه گیری شانون تعبیر می شود.

این قضیه بیان می کند که برای بازیابی بدون خطا سیگنال اصلی از مقادیر نمونه برداری شده آن در فواصل زمانی منظم، نرخ نمونه برداری باید بیش از دو برابر فرکانس بالاترین جزء فرکانس موجود در سیگنال ورودی پیوسته باشد. به بیان دقیق، متن قضیه V.A. Kotelnikov به شرح زیر است:

شرط دیریکله به این معنی است که تابع محدود است، به صورت تکه ای پیوسته است و دارای تعداد محدودی از انتها است.

یکی از ویژگی های سیگنال نمونه برداری شده مطابق با قضیه Kotelnikov این است که می توان آن را با استفاده از یک فیلتر پایین گذر بازیابی کرد. بنابراین، اگر سیگنال x(t) با یک پله گسسته شود به ورودی یک فیلتر ایده آل با حد بالایی انتقال اعمال شود، سپس خروجی یک سیگنال پیوسته x(t) است که بدون خطا بازسازی شده است (شکل)

برنج.. طرح نمونه برداری و بازیابی سیگنال

انتقال چندین سیگنال را از طریق یک خط ارتباطی در نظر بگیرید، برای این کار آنها باید گسسته شوند. این عملیات با استفاده از یک سوئیچ اجرا می شود، سپس اطلاعات از طریق خط ارتباطی منتقل می شود و سپس با دانستن فرکانس سوئیچ، می توانیم آن را در انتهای دیگر خط ارتباطی بازیابی کنیم (شکل). نرخ نظرسنجی سوئیچ باید n باشد که n تعداد مبدل ها است.

قضیه کوتلنیکف امکان تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال را فراهم می کند که برای پردازش بیشتر آن با استفاده از فناوری رایانه ضروری است. انتخاب مرحله نمونه برداری با توجه به Kotelnikov ایمنی در نمایش گسسته سیگنال، تمام اطلاعات مربوط به ترکیب طیفی آن را تضمین می کند. ADC برای تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال استفاده می شود. فرکانس نمونه برداری از ADC مطابق با قضیه Kotelnikov، جایی که فرکانس محدود کننده بالایی سیگنال است.

برنج. انتقال اطلاعات از طریق یک خط ارتباطی

در تبدیل معکوس دیجیتال به آنالوگ، نقش فیلتر پایین گذر توسط تراشه DAC انجام می شود. تعداد بیت های تبدیل های ADC و DAC دقت انتقال دامنه سیگنال را تعیین می کند، زیرا سطوح نمونه برداری از دامنه سیگنال را تعیین کنید. بنابراین، اطلاعات مربوط به سیگنال به صورت نقطه وارد رایانه می شود.

برنج. نمونه برداری سیگنال پس از ADC

به طور معمول، ریز مدارهای ADC در همان بسته با سوئیچ های برای تولید می شوند nکانال ها در عین حال، تعداد دفعات نظرسنجی در گذرنامه تنظیم شده است که می توان از هر دو برای نظرسنجی استفاده کرد nکانال ها و برای نظرسنجی 1 کانال. اطلاعات از طریق یک پورت سریال، به عنوان مثال، در استاندارد RS-232 وارد رایانه می شود.

در این راستا، طراح در هر مورد خاص در مورد استفاده از ریزمدار مورد نیاز با تعداد کانال مورد نیاز، فرکانس نظرسنجی مورد نیاز و تعداد بیت های تبدیل ADC تصمیم می گیرد.

لازم به ذکر است که تکمیل مدار اندازه گیری با فیلتر پایین گذر همیشه راحت نیست؛ علاوه بر این، وجود چنین فیلتری منجر به اعوجاج فاز سیگنال می شود. از این کاستی ها، بازیابی سیگنال با ساده ترین روش درونیابی رایگان است.

با این روش، نقاط به دست آمده به سادگی توسط پاره هایی از خطوط مستقیم به یکدیگر متصل می شوند. بدیهی است که در این حالت مقاطع صاف نزدیک به خطوط مستقیم با خطاهای کوچک ترمیم می شوند و حداکثر خطای ترمیم در مقاطعی با حداکثر انحنا به دست می آید (شکل).

معلوم است که هر منحنی x(t)در برخی زمینه ها می توان قدرت ها را گسترش داد تی،یعنی با یک چند جمله ای توصیف کنید. در ساده‌ترین حالت، تنها با استفاده از عبارت‌های اول بسط، می‌توان مقطع منحنی بین نمونه‌ها را به صورت سهمی نشان داد، سپس خطای درون‌یابی خطی، تفاوت بین این سهمی و وتر آن که نمونه‌های مجاور را به هم متصل می‌کند، خواهد بود. همانطور که می دانید سهمی بیشترین انحراف را از وتر در وسط فاصله درونیابی دارد. t0با قدر مطلق ( دی مدر شکل)

مقدار مشتق دوم فرآیند کجاست x(t)یعنی تخمینی از انحنای آن. از این رو، حداکثر مقدار خطای بازیابی در بخش هایی از منحنی با بیشترین انحنا (در ناحیه حداکثر و حداقل فرآیند نشان داده شده در شکل) مشاهده می شود.

اگر ما علاقه ای به خطای مطلق نداریم دی م، و ارزش کاهش یافته آن، که در آن x k- حد اندازه گیری، سپس می توانید حداکثر دوره مجاز نمونه برداری را تعیین کنید t cکه در آن خطای بازیابی تجاوز نخواهد کرد گرم متر:

از آنجایی که هر منحنی پیچیده را می توان به تعدادی از اجزای هارمونیک تجزیه کرد، دوره نمونه برداری مورد نیاز برای یک فرآیند سینوسی را تعیین خواهیم کرد. در x(t)=xk sinwtتخمین انحنای فعلی ، و حداکثر مقدار آن است. از این رو دوره نمونه برداری مورد نیاز برای فرآیند سینوسی است

(3)

رابطه (3) اگر برای محاسبه تعداد امتیازها استفاده شود، واضح تر درک می شود پ،در هر دوره تیفرآیند سینوسی:

(4)

این نسبت می دهد:

گرم متر	0,1
n

بنابراین برای بازیابی یک فرآیند سینوسی با حداکثر خطای 1% با نمونه برداری یکنواخت، نیاز به 22 نمونه در هر دوره از فرآیند است، اما برای نمایش با خطای 0.1٪، حداقل 70 نمونه برای هر دوره لازم است. ، و برای گرم متر= 20٪ پنج خواندن در هر دوره کافی است.

بر اساس رابطه (4)، می توان حداقل دوره یا حداکثر فرکانس فرآیند را که می توان با حداکثر خطای داده شده ثبت کرد، محاسبه کرد. گرم متر. داده های مربوط به حداکثر خطاها هنگام استفاده از برخی روش ها و ابزارها در جدول آورده شده است. و نشان می دهد که بدون استفاده از ابزارهای خاص، فقط فرآیندهای بسیار کند (با دوره زمانی 0.2-2 ثانیه) قابل ثبت است.

بیان کننده گرم متراز عبارت (3) یا (4) بدست می آوریم

(5)

یعنی خطای بازیابی پویا گرم متربا مجذور فرکانس فرآیند در حال بازیابی افزایش می یابد.

در عمل، اغلب لازم است که فرآیندهای اساسا غیر سینوسی حاوی اجزای هارمونیک یا اجزای فرکانس بالا نویز، تداخل یا تداخل اندازه گیری شوند. در این موارد خطای دینامیکی بازسازی فرآیند از خوانش‌های گسسته به شدت افزایش می‌یابد که محقق باید همیشه آن را در نظر داشته باشد.

بیایید این ویژگی خطای بازیابی را با استفاده از یک مثال خاص در نظر بگیریم. بنابراین، در جدول نشان داده شده است که هنگام استفاده از ADC با دوره نمونه برداری t c=30 میکروثانیه فرآیند مورد مطالعه با فرکانس f1=500 هرتز قابل بازیابی از گرم متر 1» 0.1 درصد در واقع با توجه به گرم متر 1با فرمول (5) بدست می آوریم

که اغلب می توان آن را یک دقت بازیابی به اندازه کافی بالا در نظر گرفت. با این حال، اگر منحنی این فرآیند علاوه بر این شامل هارمونیک 10 با یک فرکانس باشد f 10\u003d 5000 هرتز و دامنه 0.1 موج اصلی، با یک خطای نسبی بازیابی می شود. گرم متر 10، 100 برابر بزرگتر از گرم متر 1، یعنی برابر با 10٪. درست است، از آنجایی که دامنه این هارمونیک 10 برابر کمتر از دامنه موج اصلی است، مقدار کاهش یافته این خطا تنها خواهد بود. گرم متر 10=1% با این وجود، خطای بازیابی کل فرآیند 10 برابر (!) بیشتر از خطای بازیابی خواهد بود. گرم متر 1= 0.1٪ از فرآیندی که حاوی این جزء فرکانس بالا نیست.

خطای بازیابی برای موج اصلی و هارمونیک های آن سیستماتیک است (همیشه منفی است، شکل را ببینید و منجر به کاهش دامنه بازیابی شده منحنی می شود)، با این حال، اگر جزء فرکانس بالا ناشی از نویز یا تداخل دیگر باشد. و با موج اصلی همزمان نیست، سپس خطای بازیابی تصادفی است و به صورت پراکندگی تصادفی قرائت ها مشاهده می شود.

با ثبت دستی مشاهدات، چنین پراکندگی داده ها بلافاصله مورد توجه آزمایشگر قرار می گیرد و تصمیم مناسبی را در مورد روند آزمایش اتخاذ می کند. پدیده در نظر گرفته شده به ویژه در هنگام ورود خودکار داده ها به رایانه خطرناک است و بر اهمیت فوق العاده تجزیه و تحلیل مترولوژیک خطاهای دینامیکی در این مورد تأکید می کند.

اما با توجه به افزایش مداوم سرعت کامپیوترها، این روش نمونه برداری و بازیابی بسیار جذاب می شود.

5.5 فیلتر کردن سیگنال

عملیات استخراج باند فرکانسی معین از طیف سیگنال را فیلترینگ می گویند. فیلترها به فیلترهای پایین گذر (a)، فیلترهای بالاگذر (b) و فیلترهای باند گذر (c) تقسیم می شوند.

برنج. انواع فیلتر.

فیلترهای پایین گذر (الف)، فیلترهای بالاگذر (ب)، فیلترهای باند (ج)

ساده‌ترین فیلترهای آنالوگ از زنجیره‌های R-C تشکیل شده‌اند؛ برای افزایش شیب، فیلترها چند پیوندی ساخته می‌شوند.

فیلتر دیجیتال به این معنی است که سیگنال x(t)عبور از یک فیلتر ریاضی که مشخصه مورد نظر را پیاده سازی می کند.

5.6 مدولاسیون و تشخیص

تاثیر سیگنال اندازه گیری x(t)به هر سیگنال ثابت مدولاسیون می گویند.

به عنوان یک سیگنال ثابت، به نام حامل، یک نوسان سینوسی را انتخاب کنید

و دنباله ای از پالس ها

استخراج یک جزء متناسب با سیگنال اندازه گیری شده از سیگنال مدوله شده را تشخیص می گویند.

نوسان سینوسی (6) با دامنه، فرکانس و فاز تعیین می شود. همه این مقادیر را می توان تعدیل کرد. در نتیجه، مدولاسیون دامنه AM، مدولاسیون فرکانس FM و مدولاسیون فاز PM را بدست می آوریم.

برنج. انواع مدولاسیون

مدولاسیون را می توان به عنوان ضرب کمیت مدوله شده مشخص کرد y(t)چند برابر کننده 1+mx(t)، جایی که x(t)یک تابع تعدیل کننده است به طوری که، و مترعمق مدولاسیون است و 0

با مدولاسیون دامنه

اگر یک ، عبارت تبدیل می شود

نتیجه این است که نوسان مدوله شده از سه نوسان با فرکانس تشکیل شده است و .

فرکانس را حامل و فرکانس را فرکانس های جانبی می نامند. اگر سیگنال تعدیل کننده یک تابع تناوبی باشد.

سپس سیگنال مدوله شده y(t) خواهد بود

مشاهده می شود که شکل موج مدوله شده از یک فرکانس حامل و دو گروه به نام باندهای جانبی تشکیل شده است.

برای تشخیص، دستکاری معکوس انجام می شود و عملکرد را به یک سری گسترش می دهد.

با مدولاسیون فرکانس، فرکانس سیگنال مدوله شده طبق قانون تغییر می کند

یا اگر، پس

با جایگزینی (7) به (6) و با در نظر گرفتن اینکه فاز آنی انتگرال فرکانس در عبارت (6) است، به دست می آوریم.

در این عبارت - ضریب مدولاسیون فرکانس، بسته به دامنه سیگنال تعدیل کننده.

بیایید این عبارت را به شکل نمایش دهیم

برای مقادیر بزرگ ضریب mg، این عبارت بسیار پیچیده است و می تواند به صورت سری بر حسب توابع بسل بیان شود. برای سادگی، اجازه دهید این را فرض کنیم<<1, тогда

در این رابطه عبارت (8) شکل می گیرد

بنابراین، در میلی گرم<<1 спектр частотно-модулированного сигнала не отличается от спектра АМС. Если условие mг<<1 не выполняется, т.е. имеет место глубокая частотная модуляция, то спектр модулированного сигнала будет содержать не две боковые частоты, а множество частот. Поэтому спектр ЧМ сигнала в общем случае больше спектра АМ сигнала.

تشخیص مشابه سیگنال AM انجام می شود.

در مدولاسیون فاز، سیگنال تعدیل کننده بر نوسانات حامل تأثیر می گذارد

اگر سیگنال تعدیل کننده، پس

ضریب مدولاسیون فاز کجاست که به دامنه سیگنال تعدیل کننده بستگی دارد.

در سیگنال (10) پارامتر اطلاعاتی فاز است ، تبدیل سیگنال (10)

با مقایسه آخرین عبارت و عبارت (9)، می توان نتیجه گرفت که سیگنال های PM و FM یکسان هستند. تفاوت این است که بهره FM به فرکانس سیگنال تعدیل کننده بستگی دارد، در حالی که بهره PM به فرکانس بستگی ندارد.

این شرایط مستلزم معرفی یک تصحیح سیگنال مناسب پس از تشخیص است.

تشخیص مشابه سیگنال های AM و FM انجام می شود، در حالی که یکپارچه سازی برای به دست آوردن فاز ضروری است

اگر یک توالی تناوبی از پالس ها به عنوان سیگنال مدوله شده استفاده شود، آنگاه مدولاسیون پالس را دریافت می کنیم (شکل).

در این حالت، مدولاسیون دامنه پالس (AIM)، مدولاسیون فرکانس پالس (PFM)، مدولاسیون فاز پالس (PFM) و مدولاسیون عرض پالس (PWM) داریم.

اگر AM، FM، PM عمدتا برای سیگنال های آنالوگ استفاده می شود، اگرچه AM برای سیگنال های دیجیتال نیز استفاده می شود، در این صورت مدولاسیون پالس عمدتا برای سیگنال های دیجیتال استفاده می شود.

برنج. انواع پالس مدولاسیون

قضیه کوتلنیکوف فقط برای سیگنالهایی با طیف محدود (متناهی) صادق است. روی انجیر 4.15 برخی از انواع طیف های محدود را نشان می دهد.

با این حال، طیف سیگنال های اطلاعات واقعی بی نهایت است (شکل 4.16). در این مورد، قضیه Kotel'nikov با یک خطا معتبر است.

خطای نمونه برداری با انرژی اجزای طیفی سیگنال که خارج از فرکانس قرار دارند تعیین می شود.
(شکل 4.16).

.

دلیل دوم بروز خطا، ناقص بودن فیلتر پایین گذر بازیابی است.

بدین ترتیب؟ خطای نمونه برداری و بازیابی سیگنال پیوسته به دلایل زیر تعیین می شود:

طیف سیگنال های واقعی محدود نیستند.

پاسخ فرکانسی فیلترهای پایین گذر واقعی ایده آل نیست.

شکل 4.17. نمودار ساختاری فیلتر RC

به عنوان مثال، اگر یک فیلتر RC به عنوان یک فیلتر پایین گذر استفاده شود (شکل 4.17)، سیگنال بازیابی شده در خروجی آن مانند شکل 4.18 خواهد بود.

پاسخ ضربه ای فیلتر RC به صورت زیر است:

.

نتیجه: هر چه بالاتر
و هر چه مشخصات فیلتر پایین گذر به ایده آل نزدیکتر باشد، سیگنال بازیابی شده به سیگنال اصلی نزدیکتر است.

4.6. کمی سازی پیام خطاهای کوانتیزاسیون

بنابراین نشان داده شده است که انتقال تقریبا هر پیام
را می توان به انتقال خوانش ها یا اعداد آنها تقلیل داد
، با فاصله ای گسسته از یکدیگر پیروی می کنند
. بنابراین پیوسته ( بی پایان) مجموعه ای از مقادیر پیام ممکن
جایگزین می شود نهاییتعداد مقادیر گسسته آن
. با این حال، خود این اعداد دارای مقیاس پیوسته سطوح (مقادیر) هستند، یعنی دوباره به مجموعه پیوسته تعلق دارند. برای کاملا دقیقنمایش چنین اعدادی، به عنوان مثال، به صورت اعشاری (یا باینری)، از لحاظ نظری ضروری است بی پایانتعداد ارقام با این حال، در عمل نیازی به نمایش کاملاً دقیق مقادیر وجود ندارد
، دقیقاً مانند هر عددی به طور کلی.

اول اینکه خود منابع پیام دارای محدوده دینامیکی محدودی هستند و پیام های اصلی را با سطح معینی از اعوجاج و خطا تولید می کنند. این سطح ممکن است بالاتر یا پایین تر باشد، اما نمی توان به وفاداری مطلق دست یافت.

ثانیاً، انتقال پیام ها از طریق کانال های ارتباطی همیشه با وجود انواع تداخل انجام می شود. بنابراین، پیام دریافت شده (تکثیر شده) (ارزیابی پیام).
) همیشه تا حد معینی با انتقال یافته، یعنی در عمل متفاوت است انتقال کاملا دقیق غیرممکن استپیام ها در صورت وجود تداخل در کانال ارتباطی.

در نهایت، پیام ها برای درک و استفاده توسط گیرنده ارسال می شوند. دریافت کنندگان اطلاعات اندام های حسی انسان، محرک ها و غیره هستند. - همچنین دارای وضوح متناهی هستند، یعنی تفاوت جزئی بین آنها مشاهده نمی شود کاملا دقیقو تقریبی مقادیر پیام در حال پخش آستانه حساسیت به اعوجاج نیز می تواند متفاوت باشد، اما همیشه وجود دارد.

با در نظر گرفتن این نکات می توان روند گسسته سازی پیام یعنی ارائه نمونه ها را ادامه داد
کوانتیزاسیون

فرآیند کوانتیزاسیون شامل جایگزینی مجموعه ای پیوسته از مقادیر نمونه است مجموعه گسسته
. بنابراین، مقادیر دقیق اعداد
با مقادیر تقریبی آنها (به نزدیکترین سطح مجاز گرد شده) جایگزین می شوند. فاصله بین سطوح مجاز مجاور یا سطوح کوانتیزاسیون،
تماس گرفت مرحله کوانتیزاسیون.

بین کوانتیزاسیون یکنواخت و غیر یکنواخت تمایز قائل شوید. در بیشتر موارد، کوانتیزاسیون یکنواخت اعمال می شود و بیشتر با جزئیات در نظر گرفته می شود (شکل 4.19)، که در آن مرحله کوانتیزاسیون ثابت است: با این حال، گاهی اوقات یک مزیت خاص توسط کوانتیزه کردن غیر یکنواخت داده می شود که در آن مرحله کوانتیزاسیون انجام می شود متفاوت برای متفاوت (شکل 4.20).

کوانتیزاسیون منجر به تحریف پیام ها می شود. اگر پیام کوانتیزه شده در نتیجه کمی سازی نمونه به دست آمده باشد
، نشان داده شده است , سپس

جایی که - تفاوت بین ارزش واقعی پیام ابتدایی و پیام کوانتیزه شده (نزدیک ترین سطح مجاز) تماس گرفت خطای کوانتیزاسیون یانویز کوانتیزاسیون. نویز کوانتیزاسیون اساساً همان تأثیر تداخل در یک کانال ارتباطی را بر فرآیند انتقال اطلاعات دارد. نویز، و همچنین کوانتیزاسیون، منجر به این واقعیت می شود که برآوردها دریافت شده در سمت دریافت کننده سیستم ارتباطی مقداری با مقدار واقعی متفاوت است .

از آنجایی که کمی سازی پیام ها منجر به خطا و از بین رفتن برخی از اطلاعات می شود، می توان هزینه چنین تلفاتی را تعیین کرد.
و میانگین خطای کوانتیزاسیون:

اغلب، یک تابع درجه دوم از فرم

در این حالت، اندازه گیری خطاهای کوانتیزاسیون، واریانس این خطاها است. برای لباس فرم
کوانتیزاسیون سطح با گام واریانس خطای کوانتیزاسیون به صورت زیر تعریف می شود:

مقدار مطلق خطای کوانتیزاسیون از نصف مرحله کوانتیزه شدن تجاوز نمی کند , و سپس برای تعداد کافی از سطوح کوانتیزاسیون
و سایز کوچک چگالی توزیع احتمال خطاهای کوانتیزاسیون
می توان در بازه + یکنواخت در نظر گرفت … -:

در نتیجه مقدار خطای کوانتیزاسیون توسط رابطه تعیین می شود

و انتخاب مربوط به مرحله کوانتیزاسیون می تواند به طور دلخواه کوچک شود یا به هر مقدار از پیش تعیین شده کاهش یابد.

با توجه به دقت مورد نیاز در ارسال نمونه پیام، می توان همان ملاحظاتی را که در مورد خطاهای نمونه گیری زمانی در نظر گرفت: نویز کوانتیزاسیون یا اعوجاج ناشی از کوانتیزه شدن قابل توجه نیست اگر این اعوجاج کمتر از خطاهای ناشی از نویز و شرایط فنی قابل قبول باشد.

اگر دوره نمونه برداری

به اندازه‌ای کوچک است که شرط برآورده می‌شود که اجزای مجاور طیف نوسان گسسته‌شده با هم همپوشانی نداشته باشند، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2.5، الف. در این مورد، نشان دادن راهی برای بازگرداندن یک نوسان پیوسته از یک نوسان گسسته آسان است، که شامل عبور سیگنال گسسته از یک فیلتر پایین گذر ایده آل با پهنای باند است (شکل 2.5، b).

برنج. 2.5. طیف نوسان گسسته به شکل دنباله ای از پالس های مدوله شده پاسخ فرکانس فیلتر پایین گذر و طیف سیگنال بازسازی شده

در این حالت، قسمت میانی از طیف سیگنال گسسته (شکل 2.5، ج) انتخاب خواهد شد که تا یک ضریب ثابت، با طیف نوسان پیوسته اصلی منطبق است.

با این حال، اگر نوسان پیوسته اولیه به گونه‌ای باشد که طیف آن با افزایش فرکانس به طور دقیق به صفر نرسد، برای هر انتخاب بازه نمونه‌برداری، اجزای مجاور طیف نوسان گسسته تا حدی همپوشانی خواهند داشت (شکل 2.6، a. ). اگر سیگنالی با چنین طیفی از یک فیلتر پایین گذر ایده آل عبور داده شود، خروجی فیلتر دارای نوسانی است که با سیگنال پیوسته اصلی متفاوت است. این تفاوت نه تنها در این واقعیت است که بخشی از طیف بالاتر از فرکانس است. "قطع" است، بلکه در

که "دم" از اجزای طیفی مجاور بر روی طیف این نوسان قرار گرفته است (شکل 2.6، ب).

ساده ترین و واضح ترین راه برای کاهش خطای نمونه برداری، نمونه برداری مجدد است. با این حال، برای به دست آوردن یک خطای به اندازه کافی کوچک، فرکانس نمونه برداری باید بسیار بالا باشد، به خصوص اگر طیف سیگنال به آرامی کاهش یابد، که در برخی موارد نامطلوب است.

برنج. 2.6. خطاهای نمونه برداری از سیگنال با طیفی که به طور مجانبی کاهش می یابد: a - طیف سیگنال نمونه برداری شده. ب - طیف سیگنال پس از عبور از یک فیلتر پایین گذر ایده آل. ج - طیف سیگنال خطا

برای کاهش خطای نمونه برداری، می توان سیگنال را قبل از نمونه برداری از یک فیلتر پایین گذر با پاسخ فرکانسی نزدیک به مستطیل عبور داد. در این حالت، طیف سیگنال به سرعت کاهش می یابد، تقریباً محدود می شود و نمونه برداری بیشتر تقریباً بدون خطا انجام می شود. خطای حاصل در این مورد با اعوجاج طیف زمانی که سیگنال از فیلتر پایین گذر عبور می کند تعیین می شود. با توجه به این واقعیت که "دم" از اجزای همسایه بر روی طیف سیگنال در حوزه فرکانس قرار نمی گیرد، این خطا تقریباً 2 برابر کمتر از نمونه گیری سیگنال مستقیم است.

اگر سیگنال در حضور نویز باند پهن در ورودی نمونه برداری شود، عبور سیگنال از فیلتر پایین گذر قبل از نمونه برداری، یک اقدام بسیار مفید برای کاهش خطا است. با عبور نویز از فیلتر پایین گذر، پراکندگی نویز کاهش می یابد و خطای نمونه برداری بر این اساس کاهش می یابد.

برنج. 2.7. خطاهای بازیابی سیگنال با ویژگی های فیلتر پایین گذر غیر ایده آل: الف - طیف سیگنال نمونه برداری شده. ب - ویژگی فیلتر پایین گذر؛ ج - طیف سیگنال در خروجی LPF

یکی دیگر از منابع خطا، فیلتر غیر ایده آل در فرآیند بازسازی یک سیگنال پیوسته از یک سیگنال گسسته است. شکل مستطیلی ایده آل پاسخ فرکانسی فیلتر پایین گذر عملاً غیرممکن است. برای صاف کردن سیگنال، معمولاً از فیلترهایی استفاده می شود که یک ویژگی کاهشی یکنواخت دارند (شکل 2.7، ب). اگر یک سیگنال نمونه برداری شده با طیف نشان داده شده در شکل. 2.7، a، سپس در خروجی فیلتر، علاوه بر سیگنال اصلی، که مربوط به بخش مرکزی طیف است، اجزای اضافی ناشی از سرکوب ناقص قسمت‌های جانبی طیف وجود خواهد داشت (شکل 2.7، ج). . در نتیجه، سیگنال بازسازی شده از نظر شکل با سیگنال پیوسته اصلی متفاوت خواهد بود. روش اصلی برخورد با اینها

خطاها افزایش نرخ نمونه برداری است. با این حال، افزایش فرکانس نمونه برداری منجر به پیچیدگی و هزینه دستگاه پردازش سیگنال می شود. بنابراین، در هر مورد خاص، باید به دنبال یک راه حل مصالحه بر اساس ماهیت سیگنال، دقت مورد نیاز در بازیابی آن، ویژگی های فیلتر ضد آلیاژ اعمال شده و سایر عوامل بود. همه اینها به این واقعیت منجر می شود که در دستگاه های واقعی نرخ نمونه برداری نه به شرح زیر از قضیه Kotelnikov بلکه 2-5 برابر بیشتر انتخاب می شود.

برنج. 2.8. سیگنالی با مدت زمان محدود و طیف آن