فناوری پایگاه داده چند بعدی STATISTICA تکنیک های اکتشافی چند متغیره فن آوری های تجزیه و تحلیل داده های چند متغیره

نظریه متغیرهای تصادفی، پدیده‌های احتمالی را «در استاتیک» مطالعه می‌کند و آنها را به‌عنوان نتایج ثابت آزمایش‌ها در نظر می‌گیرد. روش‌های نظریه احتمال کلاسیک برای توصیف سیگنال‌هایی که پدیده‌های تصادفی در حال تکامل در زمان را منعکس می‌کنند، کافی نیستند. چنین مسائلی توسط شاخه خاصی از ریاضیات به نام نظریه فرآیندهای تصادفی مورد مطالعه قرار می گیرند.

طبق تعریف، فرآیند تصادفی نوع خاصی از تابع است که با این واقعیت مشخص می شود که در هر لحظه از زمان مقادیری که می گیرد متغیرهای تصادفی هستند.

مجموعه های پیاده سازی

هنگامی که با سیگنال های قطعی سروکار داریم، آنها را با وابستگی های عملکردی یا اسیلوگرام نمایش می دهیم. اگر در مورد فرآیندهای تصادفی صحبت می کنیم، وضعیت پیچیده تر است. با تثبیت مقادیر لحظه ای یک سیگنال تصادفی در یک بازه زمانی مشخص، تنها یک تحقق واحد از یک فرآیند تصادفی بدست می آوریم. یک فرآیند تصادفی مجموعه ای نامتناهی از چنین تحقق هایی است که یک مجموعه آماری را تشکیل می دهد. به عنوان مثال، یک مجموعه مجموعه ای از سیگنال ها است که می تواند به طور همزمان در خروجی ژنراتورهای ولتاژ نویز دقیقاً مشابه مشاهده شود.

اصلاً لازم نیست که اجرای یک فرآیند تصادفی با توابع با رفتار پیچیده و نامنظم در زمان نمایش داده شود. اغلب لازم است فرآیندهای تصادفی را در نظر بگیریم که برای مثال توسط انواع سیگنال های هارمونیک تشکیل شده اند، که در آن یکی از سه پارامتر یک متغیر تصادفی است که در هر پیاده سازی مقدار معینی می گیرد. ماهیت تصادفی چنین سیگنالی در عدم امکان تعیین مقدار این پارامتر از قبل، قبل از آزمایش است.

فرآیندهای تصادفی که توسط تحقق هایی که به تعداد محدودی از پارامترها بستگی دارند تشکیل می شوند معمولاً فرآیندهای تصادفی شبه قطعی نامیده می شوند.

چگالی احتمال فرآیندهای تصادفی

اجازه دهید یک فرآیند تصادفی، ارائه شده توسط مجموعه ای از تحقق ها، یک لحظه دلخواه در زمان باشد. با تثبیت مقادیر به‌دست‌آمده در پیاده‌سازی‌های منفرد، یک مقطع یک‌بعدی از یک فرآیند تصادفی معین را انجام می‌دهیم و یک متغیر تصادفی را مشاهده می‌کنیم. چگالی احتمال آن را چگالی احتمال یک بعدی فرآیند در لحظه‌ی زمان می‌گویند.

طبق تعریف، کمیت احتمال این است که تحقق فرآیند تصادفی در لحظه زمان مقادیری را در بازه زمانی به خود بگیرد.

اطلاعاتی که می توان از چگالی یک بعدی استخراج کرد برای قضاوت در مورد ماهیت توسعه تحقق یک فرآیند تصادفی در زمان کافی نیست. اطلاعات بسیار بیشتری را می توان با داشتن دو بخش از یک فرآیند تصادفی در لحظه های زمانی نامتناسب به دست آورد. محاسبه احتمال یک رویداد که اجرای یک فرآیند تصادفی در یک محله کوچک از یک نقطه و برای - در یک محله کوچک از نقطه اتفاق می افتد.

تعمیم طبیعی بخش بعدی یک فرآیند تصادفی است که منجر به چگالی احتمال بعدی می شود.

چگالی احتمال چند بعدی یک فرآیند تصادفی باید شرایط معمول تحمیل شده بر چگالی احتمال مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را برآورده کند (به بند 6.2 مراجعه کنید). علاوه بر این، مقدار نباید به ترتیبی که آرگومان های آن در آن قرار دارند (شرط تقارن) بستگی داشته باشد.

گاهی اوقات، به جای چگالی احتمال - بعدی، استفاده از تابع مشخصه -بعدی راحت است که با تبدیل فوریه به چگالی مربوطه مربوط می شود:

توصیف خواص فرآیندهای تصادفی با استفاده از چگالی احتمال چند بعدی با ابعاد بالا می تواند بسیار مفصل باشد. با این حال، اغلب در این مسیر با مشکلات جدی ریاضی مواجه می‌شویم.

تابع لحظه ای فرآیندهای تصادفی

جزئیات کمتر، اما، به عنوان یک قاعده، از نظر عملی کاملاً رضایت بخش است، ویژگی های فرآیندهای تصادفی را می توان با محاسبه گشتاورهای آن متغیرهای تصادفی که در مقاطع مقطعی این فرآیندها مشاهده می شود، به دست آورد. از آنجایی که در حالت کلی، این ممان ها به آرگومان های زمانی بستگی دارند، به آنها توابع لحظه ای می گویند.

برای مهندسی رادیویی آماری، سه تابع گشتاور مرتبه پایین‌تر دارای بیشترین اهمیت هستند که انتظارات ریاضی، واریانس و تابع همبستگی نامیده می‌شوند.

ارزش مورد انتظار

مقدار متوسط ​​فرآیند X (t) در زمان جاری است. میانگین گیری در کل مجموعه تحقق فرآیند انجام می شود.

پراکندگی

قضاوت در مورد میزان پراکندگی مقادیر لحظه ای گرفته شده توسط تحقق های فردی در یک بخش ثابت t را نسبت به مقدار متوسط ​​ممکن می کند.

لحظه مرکزی دوبعدی

تابع همبستگی یک فرآیند تصادفی نامیده می شود این تابع لحظه ای درجه ارتباط آماری آن متغیرهای تصادفی را مشخص می کند که هنگام مقایسه فرمول های (6.37)، (6.38) مشاهده می شود، توجه می کنیم که وقتی مقاطع مقطعی با هم ترکیب می شوند، تابع همبستگی است. عددی برابر با واریانس:

فرآیندهای تصادفی ثابت

بنابراین مرسوم است که فرآیندهای تصادفی را فراخوانی می کنند که مشخصات آماری آنها در همه بخش ها یکسان است.

آنها می گویند که یک فرآیند تصادفی به معنای محدود ثابت است. اگر هر یک از چگالی احتمال بعدی آن نسبت به شیفت زمانی ثابت باشد

اگر ما الزامات را محدود کنیم تا انتظارات ریاضی و واریانس فرآیند به زمان بستگی نداشته باشد، و تابع همبستگی فقط به تفاوت بستگی دارد -، در این صورت چنین فرآیند تصادفی به معنای گسترده ای ثابت خواهد بود. روشن است که ایستایی به معنای مضیق، مستلزم ایستایی به معنای وسیع است، اما برعکس نه.

مطابق تعریف، تابع همبستگی یک فرآیند تصادفی ثابت زوج است:

علاوه بر این، مقادیر مطلق این تابع برای هیچ کدام از مقدار آن برای:

روش اثبات به این صورت است: از نابرابری آشکار

به دنبال آن است

از آنجایی که نابرابری (6.41) مستقیماً دنبال می شود.

اغلب استفاده از تابع همبستگی نرمال شده راحت است

برای کدام .

برای تشریح مفهوم فرآیند تصادفی ثابت، دو مثال را در نظر بگیرید.

مثال 6.5. یک فرآیند تصادفی با تحقق شکلی که از قبل شناخته شده است، تشکیل می شود، در حالی که زاویه فاز یک متغیر تصادفی است که به طور یکنواخت در طول بازه توزیع می شود -

از آنجایی که چگالی احتمال زاویه فاز، انتظارات ریاضی از فرآیند است

به طور مشابه، می توانید واریانس را پیدا کنید:

در نهایت تابع همبستگی

بنابراین، این فرآیند تصادفی تمام شرایطی را که برای اطمینان از ایستایی به معنای گسترده لازم است، برآورده می‌کند.

مثال 6.6. یک فرآیند تصادفی دارای درک شکل و علاوه بر آن اعداد داده شده است. - یک متغیر تصادفی با قانون توزیع دلخواه. ارزش مورد انتظار

تنها برای مستقل از زمان خواهد بود.بنابراین در حالت کلی، فرآیند تصادفی در نظر گرفته شده غیر ثابت خواهد بود.

دارایی ارگودیک

یک فرآیند تصادفی ثابت در صورتی ارگودیک نامیده می‌شود که هنگام یافتن توابع گشتاور آن، میانگین‌گیری از یک مجموعه آماری را بتوان با میانگین‌گیری در طول زمان جایگزین کرد. عملیات میانگین گیری بر روی یک پیاده سازی انجام می شود که مدت زمان T از نظر تئوری می تواند به طور دلخواه طولانی باشد.

با نشان دادن میانگین گیری در طول زمان با براکت های زاویه، انتظارات ریاضی یک فرآیند تصادفی ارگودیک را می نویسیم:

که برابر با مولفه ثابت پیاده سازی انتخاب شده است.

پراکندگی یک فرآیند مشابه

از آنجایی که کمیت، توان متوسط ​​تحقق است، و کمیت، قدرت جزء ثابت است، واریانس معنای بصری قدرت جزء نوسانی فرآیند ارگودیک دارد.

تابع همبستگی به روشی مشابه یافت می شود:

یک شرط کافی برای ارگودیسیته یک فرآیند تصادفی ثابت به معنای وسیع، تمایل به صفر تابع همبستگی با افزایش نامحدود در شیفت زمانی است:

در ریاضیات نشان داده شده است که این نیاز را می توان تا حدودی آرام کرد. به نظر می رسد که اگر شرط Slutsky برآورده شود، یک فرآیند تصادفی ارگودیک است:

بنابراین، برابری (6.47) برای یک فرآیند هارمونیک با فاز اولیه تصادفی معتبر است (به مثال 6.5 مراجعه کنید).

اندازه گیری ویژگی های فرآیندهای تصادفی.

اگر یک فرآیند تصادفی ارگودیک باشد، در این صورت تحقق طول کافی آن نماینده «معمولی» یک مجموعه آماری است. با مطالعه تجربی این پیاده سازی، می توانید اطلاعات زیادی را که این فرآیند تصادفی را مشخص می کند، بدست آورید.

دستگاه اندازه گیری چگالی احتمال یک بعدی یک فرآیند تصادفی را می توان به صورت زیر انجام داد. چگالی احتمال یک بعدی یک فرآیند تصادفی ارگودیک مقداری است متناسب با زمان اقامت نسبی تحقق آن در سطح بین فرض کنید دستگاهی با دو ورودی وجود دارد که یکی از آنها با تحقق مورد مطالعه x (t) عرضه شده است. و دیگری یک ولتاژ ثابت مرجع است که سطح آن قابل تنظیم است. در خروجی دستگاه، پالس های ویدئویی مستطیلی با دامنه ثابت ظاهر می شود که ابتدا و انتهای آن با لحظات زمانی تعیین می شود که مقادیر فعلی سیگنال تصادفی با سطح یا با سطح این دستگاه مطابقت دارد. متناسب با چگالی احتمال خواهد بود

هر وسیله اشاره گر به اندازه کافی اینرسی را می توان برای اندازه گیری انتظارات ریاضی از یک فرآیند تصادفی استفاده کرد [نگاه کنید به. فرمول (6.43)].

دستگاهی که واریانس یک فرآیند تصادفی را اندازه گیری می کند، به شرح زیر از (6.44)، باید یک خازن در ورودی داشته باشد که جزء DC را جدا می کند. مراحل بعدی در فرآیند اندازه گیری - مربع و میانگین گیری در طول زمان - با یک ولت متر درجه دوم اینرسی انجام می شود.

اصل عملکرد متر تابع همبستگی (همبستگی سنج) از فرمول (6.45) به دست می آید. در اینجا، مقادیر لحظه ای سیگنال تصادفی پس از فیلتر کردن مؤلفه ثابت، تقسیم به کانال ها، به ضرب کننده وارد می شود و در یکی از کانال ها سیگنال برای مدتی به تأخیر می افتد. برای به دست آوردن مقدار تابع همبستگی، سیگنال خروجی ضریب توسط یک واحد اینرسی پردازش می شود که میانگین گیری را انجام می دهد.

صرف نظر از اندازه

در اینجا، همان عناوین در فرمول (6.26) اتخاذ شده است. عناصر ماتریس همبستگی این فرآیند تصادفی توسط تابع همبستگی نرمال شده تعیین می شوند:

در ادامه، ما اغلب از چگالی گاوسی دو بعدی استفاده خواهیم کرد

یک فرآیند گاوسی ثابت در میان سایر فرآیندهای تصادفی جایگاه انحصاری را اشغال می کند - هر یک از چگالی احتمال چند بعدی آن توسط دو مشخصه تعیین می شود: انتظار ریاضی و تابع همبستگی.

پیش بینی تحلیلی فرآیندهای چند بعدی

روش پارامتر تعمیم یافته

هدف، واقعگرایانه:مطالعه تکنیک های عملی برای پیش بینی وضعیت یک شی چند پارامتری.

اطلاعات نظری مختصر:

تغییر در وضعیت سیستم های فنی را می توان به عنوان فرآیندی در نظر گرفت که با تغییر در مجموعه ای از پارامترها مشخص می شود. موقعیت بردار حالت در فضا میزان عملکرد سیستم را تعیین می کند. وضعیت سیستم با یک بردار در فضای k بعدی مشخص می شود، که در آن مختصات فضا k پارامتر سیستم هستند.

پیش بینی وضعیت به کنترل اولیه دوره ای پارامترها کاهش می یابد. تعیین در زمان های t i T 1 نظارت بر تابع حالت

Q = Q [ ] و محاسبه مقادیر تابع حالت Q در بازه زمانی T 2> T 1.

در این حالت، هرچه بردار حالت از سطح فوق العاده مقادیر مجاز درجه عملکرد Q * بیشتر باشد، عملکرد سیستم تشخیص داده شده بالاتر است. هرچه اختلاف * کوچکتر باشد، سطح عملکرد پایین تر است.

استفاده از روش های پیش بینی تحلیلی، منظم بودن تغییرات اجزای فرآیند را در طول زمان فرض می کند.

ایده روش پارامتر تعمیم‌یافته این است که فرآیندی که با مؤلفه‌های زیادی مشخص می‌شود، با یک تابع تک بعدی توصیف می‌شود که مقادیر عددی آن به اجزای کنترل‌شده فرآیند بستگی دارد. چنین تابعی به عنوان یک پارامتر فرآیند تعمیم یافته در نظر گرفته می شود. در این مورد، ممکن است معلوم شود که پارامتر تعمیم یافته معنای فیزیکی خاصی ندارد، بلکه یک عبارت ریاضی است که به طور مصنوعی از اجزای کنترل شده فرآیند پیش بینی شده ساخته شده است.

هنگام تعمیم پارامترهای مشخص کننده درجه عملکرد سیستم های فنی، لازم است وظایف زیر حل شود:

تعیین مقادیر نسبی پارامترهای اولیه؛

ارزیابی اهمیت پارامتر اولیه برای ارزیابی وضعیت جسم.

ساخت یک عبارت ریاضی برای یک پارامتر تعمیم یافته.

تعیین مقادیر نسبی پارامترهای اولیه به دلیل این واقعیت ضروری است که وضعیت یک جسم را می توان با پارامترهایی با ابعاد مختلف مشخص کرد. بنابراین، تمام پارامترهای اولیه نظارت شده باید به یک سیستم محاسبه واحد کاهش یابد که در آن قابل مقایسه باشند. چنین سیستمی سیستم حساب نسبی بدون بعد (نرمال شده) است.

در واقع، برای هر پارامتر، s = 1، 2، ...، k، می توان مقدار مجاز * را انتخاب کرد که با رسیدن به آن شی عملکرد خود را از دست می دهد و مقدار بهینه opt (اغلب برابر با مقدار اسمی n).

اجازه دهید در حین کار شیء شرط برقرار شود. اگر ، کافی است پارامتر محلی را وارد کنید و پس از آن شرط لازم برآورده می شود.

بیایید پارامتر بدون بعد (نرمال شده) را به شکل زیر بنویسیم:

جایی که ، و در ، و در .

بنابراین، با استفاده از عبارت (1)، پارامتر نرمال می شود، و مقدار نرمال شده بدون بعد در طول زمان از 1 به 0 تغییر می کند. از اینجا، با مقدار، می توان درجه عملکرد شی را با این پارامتر قضاوت کرد. از نظر تئوری می تواند باشد، اما این بدان معنی است که در عمل شی غیر قابل استفاده است.

می توانید عبارات نرمال شده مختلفی را مشخص کنید که برای حل مسائل خاص مناسب هستند، به عنوان مثال:

و غیره، کجا - به ترتیب جریان، صفر، حصیر. در انتظار پارامتر S-th.

استفاده از عبارات عادی به فرد امکان می دهد مجموعه ای از کمیت های بدون بعد را به دست آورد که وضعیت یک شی را مشخص می کند. با این حال، از نظر کمی، تغییر یکسان در این مقادیر از نظر میزان تأثیر بر تغییر در عملکرد شی معادل نیست، بنابراین، لازم است پارامترهای اولیه را متمایز کنیم. این فرآیند با استفاده از ضرایب وزنی انجام می شود که مقادیر آنها اهمیت پارامترهای مربوطه را برای ماهیت فیزیکی مشکل مشخص می کند. در این مورد، اجازه دهید پارامترهای شی عوامل وزنی مربوطه ارضای یکی از معیارهای معین، و .

درجه عملکرد یک شی برای مجموعه ای از پارامترهای نظارت شده را می توان با استفاده از یک عبارت تعمیم دهنده تخمین زد

پارامتر تعمیم یافته شی کجاست.

عبارت (2) یک میانگین خطی است. از تعریف پارامتر تعمیم یافته چنین بر می آید که هر چه مقدار و، سهم ترم S-امین (پارامتر) بیشتر باشد.

یک پارامتر تعمیم یافته را می توان با استفاده از یک عبارت فرم تعریف کرد

, (3)

که میانگین غیر خطی است. برای چنین مدلی، این شرط نیز برآورده می شود: سهم بیشتر و بیشتر توسط این اصطلاح ایجاد می شود در قدر

در عمل، سایر اشکال ثبت میانگین غیرخطی نیز استفاده می شود، به عنوان مثال:

, (4)

, (5)

جایی که انتخاب می کند به طوری که (5) بهترین تقریب را به نتایج به دست آمده به صورت تجربی می دهد.

هنگام در نظر گرفتن عبارات برای یک پارامتر تعمیم یافته، فرض بر این بود که علامت تغییر نمی کند، یعنی همیشه. در صورت لزوم در نظر گرفتن علامت، عبارت (2) به شکل تبدیل می شود

, (6)

بنابراین، استفاده از یک پارامتر تعمیم‌یافته این امکان را فراهم می‌کند که مشکل پیش‌بینی وضعیت یک شی چند پارامتری را به پیش‌بینی یک تابع زمان یک‌بعدی کاهش دهیم.

مثال. آزمایشات جسم به مدت 250 ساعت که در آن 6 پارامتر کنترل شده بود، نتایج نشان داده شده در جدول 1 را نشان داد.

میز 1

پس از نرمال کردن مقادیر پارامترها با استفاده از عبارت (1)، جدول به شکل (جدول 2) در می آید.

جدول 2

مدول فن آوری های تجزیه و تحلیل اکتشاف چند بعدی STATISTICA(یکی از ماژول های محصول STATISTICA پیشرفته) طیف وسیعی از فناوری‌های اکتشافی را از تجزیه و تحلیل خوشه‌ای تا روش‌های درخت طبقه‌بندی پیشرفته، همراه با مجموعه عظیمی از ابزارهای تجسم تعاملی برای ساخت مدل‌ها ارائه می‌کند. ماژول شامل:

در ماژول آنالیز خوشه ایمجموعه کاملی از روش‌ها برای تجزیه و تحلیل خوشه‌ای داده‌ها، از جمله روش‌های k-means، خوشه‌بندی سلسله مراتبی و پیوستن دو ورودی پیاده‌سازی شده است. داده ها می توانند هم به شکل اصلی و هم به صورت ماتریسی از فواصل بین اشیاء بیایند. مشاهدات، متغیرها و/یا مشاهدات و متغیرها را می توان با استفاده از معیارهای فاصله مختلف (اقلیدسی، مربع اقلیدسی، بلوک های شهری (منهتن)، چبیشف، قدرت، درصد عدم انطباق و ضریب همبستگی 1 پیرسون) و قوانین مختلف برای ترکیب (پیوند دادن) خوشه بندی کرد. خوشه ها (تک، اتصال کامل، میانگین زوجی بدون وزن و وزن برای گروه ها، بدون وزن، فاصله وزنی بین مراکز، روش وارد و موارد دیگر).

ماتریس های فاصله را می توان برای تجزیه و تحلیل بیشتر در ماژول های دیگر سیستم ذخیره کرد آمار... هنگام انجام تحلیل خوشه‌ای k-means، کاربر کنترل کاملی بر مکان اولیه مراکز خوشه دارد. طرح های تجزیه و تحلیل بسیار بزرگ را می توان اجرا کرد: به عنوان مثال، با پیوندهای سلسله مراتبی (درخت مانند)، می توانید با یک ماتریس 90 هزار فاصله کار کنید. علاوه بر نتایج استاندارد تجزیه و تحلیل خوشه‌ای، این ماژول مجموعه‌ای متنوع از آمار توصیفی و روش‌های تشخیصی پیشرفته را نیز ارائه می‌دهد (طرح ادغام کامل با سطوح آستانه برای خوشه‌بندی سلسله مراتبی، جدول ANOVA برای خوشه‌بندی k-means). اطلاعات مربوط به تعلق اشیا به خوشه ها را می توان به فایل داده اضافه کرد و در تجزیه و تحلیل بیشتر استفاده کرد. قابلیت های گرافیکی ماژول آنالیز خوشه ایشامل دندروگرام های قابل تنظیم، نمودارهای اتصال دو طرفه، نمودارهای الگوهای اتصال، میانگین های خوشه بندی k-means و موارد دیگر است.

مدول تحلیل عاملیشامل طیف گسترده ای از آمار و روش های تحلیل عاملی (و همچنین تحلیل عاملی سلسله مراتبی) با تشخیص های پیشرفته و طیف گسترده ای از نمودارهای اکتشافی و اکتشافی است. در اینجا می توانید تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی و عامل اصلی (عمومی و مایل سلسله مراتبی) را بر روی مجموعه داده های حاوی حداکثر 300 متغیر انجام دهید (مدل های بزرگتر را می توان با استفاده از ماژول کاوش کرد. (SEPATH)).

تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی و طبقه بندی

آمارهمچنین شامل برنامه ای برای تجزیه و تحلیل و طبقه بندی اجزای اصلی است. خروجی های این برنامه مقادیر ویژه (معمولی، تجمعی و نسبی)، بارهای عاملی و ضرایب امتیاز عاملی (که می توان به فایل داده های ورودی اضافه کرد، در پیکتوگراف مشاهده و به صورت تعاملی مجددا کدگذاری کرد) و همچنین برخی آمارهای تخصصی تر می باشد. و تشخیص کاربر دارای روش های زیر برای چرخش فاکتور است: واریماکس، بیکوارتیمکس، کوارتیمکس و اکوی مکس (با توجه به بارهای نرمال شده یا اولیه)، و همچنین چرخش های مایل.

فضای عامل را می توان تکه به تکه به صورت بصری در نمودارهای پراکنده دو بعدی یا سه بعدی با نقاط داده مشخص شده مشاهده کرد. از جمله ابزارهای گرافیکی دیگر - نمودارهای "scree"، انواع مختلف نمودارهای پراکنده، هیستوگرام، نمودار خطی و غیره. پس از تعیین راه حل فاکتوریل، کاربر می تواند ماتریس همبستگی را محاسبه (تولید) کند و با تجزیه و تحلیل همبستگی مدل عاملی را ارزیابی کند. ماتریس همبستگی باقیمانده (یا ماتریس واریانس / کوواریانس باقیمانده). به عنوان ورودی، می توانید از داده های خام و ماتریس های همبستگی استفاده کنید. تحلیل عاملی تاییدی و سایر تحلیل های مرتبط را می توان با استفاده از ماژول انجام داد مدل سازی معادلات ساختاری(SEPATH) از بلوک آمار مدل های خطی و غیرخطی عمومیجایی که یک جادوگر تحلیل عامل تاییدی خاص کاربر را در تمام مراحل ساخت مدل راهنمایی می کند.

این ماژول مجموعه کاملی از روش های تجزیه و تحلیل متعارف (مکمل به روش های تجزیه و تحلیل متعارف ساخته شده در ماژول های دیگر) را پیاده سازی می کند. می توانید هم با فایل های داده خام و هم با ماتریس های همبستگی کار کنید. تمام آمارهای استاندارد همبستگی متعارف (بردارهای ویژه و مقادیر ویژه، ضرایب افزونگی، وزن‌های متعارف، بارها، واریانس‌ها، معیارهای اهمیت برای هر یک از ریشه‌ها و غیره) و همچنین برخی از تشخیص‌های گسترده محاسبه می‌شوند. برای هر مشاهده، مقادیر متغیرهای متعارف را می توان محاسبه کرد، که سپس می توان آنها را روی نمادهای تعبیه شده مشاهده کرد (و همچنین به فایل داده اضافه کرد).

این ماژول شامل طیف گسترده ای از رویه ها برای طراحی و ارزیابی مطالعات نمونه و پرسشنامه است. مانند تمام ماژول های سیستم آمار، مجموعه داده های بسیار بزرگ را می توان در اینجا تجزیه و تحلیل کرد (مقیاس 300 موقعیت را می توان در یک تماس برنامه پردازش کرد).

می توان آمار قابلیت اطمینان را برای همه موقعیت ها در مقیاس محاسبه کرد، زیر مجموعه ها را به صورت تعاملی انتخاب کرد و بین زیرمجموعه های موقعیت ها با استفاده از روش "تقسیم نصف" یا "تقسیم بخش" مقایسه کرد. در یک تماس می توانید پایایی کل مقیاس و زیرمقیاس ها را ارزیابی کنید. با حذف تعاملی موقعیت ها، قابلیت اطمینان مقیاس حاصل بلافاصله بدون دسترسی مجدد به فایل داده محاسبه می شود. با نتایج تجزیه و تحلیل، موارد زیر صادر می شود: ماتریس های همبستگی و آمار توصیفی برای موقعیت ها، آلفای کرونباخ، آلفای استاندارد شده، همبستگی میانگین موقعیت-موقعیت، جدول کامل تحلیل واریانس برای مقیاس، مجموعه کاملی از آمارهای مشترک برای همه موقعیت ها. (شامل ضرایب همبستگی چندگانه)، نیمه پایایی تصحیح شده با تقسیم تضعیف و همبستگی بین دو نیمه.

مجموعه‌ای از نمودارها (از جمله نمودارهای پراکنده داخلی، هیستوگرام، خط و سایر نمودارها) و مجموعه‌ای از رویه‌های تعاملی what-if برای کمک به طراحی مقیاس‌ها وجود دارد. به عنوان مثال، هنگام افزودن تعدادی سؤال به مقیاس، کاربر می تواند پایایی مورد انتظار را محاسبه کند یا تعداد سؤالاتی را که برای دستیابی به پایایی مورد نظر باید به مقیاس اضافه شود، تخمین بزند. علاوه بر این، می توانید تضعیف بین مقیاس فعلی و بعد دیگر (با توجه به قابلیت اطمینان مقیاس فعلی) را اصلاح کنید.

مدول سیستم های آمارشامل کامل ترین پیاده سازی روش های اخیرا توسعه یافته برای ساخت و آزمایش کارآمد است (روش طبقه بندی درختان یک روش قطعی ("تکرار کننده") برای پیش بینی کلاسی است که یک شی به آن تعلق دارد، بر اساس مقادیر متغیرهای پیش بینی کننده برای این شی). درخت‌های طبقه‌بندی را می‌توان بر روی پیش‌بینی‌کننده‌های طبقه‌بندی یا ترتیبی یا مخلوطی از هر دو نوع پیش‌بینی‌کننده با شاخه‌بندی بر روی متغیرهای منفرد یا ترکیب‌های خطی آنها ساخت.

این ماژول همچنین پیاده‌سازی می‌کند: انتخابی بین جستجوی brute-force گزینه‌های انشعاب (مانند بسته‌های THAID و CART) و شاخه‌بندی متمایز. انتخاب بی طرفانه متغیرهای شاخه (مانند بسته QUEST)؛ مشخص کردن صریح قوانین توقف (مانند بسته FACT) یا هرس از برگ درخت تا ریشه آن (مانند بسته CART). برش با کسری از خطاهای طبقه بندی یا تابع انحراف. معیارهای تعمیم یافته خوبی، مجذور کای، جی اسکوئر و شاخص جینی. احتمالات قبلی عضویت در کلاس و هزینه خطاهای طبقه بندی را می توان برابر تعیین کرد، از روی داده ها تخمین زد، یا به صورت دستی تنظیم کرد.

کاربر همچنین می تواند تعدد بررسی متقاطع را در هنگام ساخت درخت و برای ارزیابی خطا، پارامتر SE-rule، حداقل تعداد اشیاء در راس برش، seed برای مولد اعداد تصادفی و پارامتر آلفا برای انتخاب تنظیم کند. از متغیرها گرافیک داخلی به بررسی داده های ورودی و خروجی کمک می کند.

این ماژول شامل پیاده‌سازی کامل روش‌های تحلیل ساده و چند بعدی مکاتبات است، امکان تحلیل جداول با اندازه‌های بسیار بزرگ وجود دارد. این برنامه انواع فایل های داده زیر را می پذیرد: فایل های حاوی متغیرهای طبقه بندی شده، که برای ساخت یک ماتریس احتمالی (طبقه بندی متقابل) استفاده می شود. فایل های داده حاوی جداول فرکانس (یا هر معیار دیگر مطابقت، رابطه، شباهت، بی نظمی و غیره) و متغیرهای کدی که سلول های جدول ورودی را تعریف می کنند (شمارش می کنند). فایل های داده حاوی فرکانس (یا سایر معیارهای انطباق). به عنوان مثال، یک کاربر می تواند به طور مستقیم یک جدول فرکانس ایجاد و تجزیه و تحلیل کند. علاوه بر این، در مورد تجزیه و تحلیل مکاتبات چند متغیره، می توان مستقیماً ماتریس برت را به عنوان ورودی مشخص کرد.

در این فرآیند، برنامه جداول مختلفی از جمله جدول درصد به ردیف، ستون و درصد کل، مقادیر مورد انتظار، تفاوت بین مقادیر مورد انتظار و مشاهده شده، انحرافات استاندارد و مشارکت در آمار مربع کای را محاسبه می کند. همه این آمارها را می توان بر روی هیستوگرام های سه بعدی ترسیم کرد و با استفاده از تکنیک لایه بندی پویا اختصاصی مشاهده کرد.

در ماژول مقادیر ویژه و بردارهای ویژه تعمیم یافته محاسبه می شوند و مجموعه استانداردی از مقادیر تشخیصی شامل مقادیر منفرد، مقادیر ویژه و کسری از اینرسی قابل انتساب به هر اندازه گیری تولید می شود. کاربر می تواند تعداد اندازه گیری ها را انتخاب کند یا یک آستانه برای حداکثر درصد تجمعی اینرسی تعیین کند.

این برنامه مختصات استاندارد را برای نقاط ردیف و نقاط ستون محاسبه می کند. کاربر می تواند بین استانداردسازی بر اساس نمایه ردیف، نمایه ستونی، نمایه ردیف و ستون، یا استانداردسازی متعارف یکی را انتخاب کند. برای هر بعد و برای هر نقطه سطر و نقطه ستون، برنامه مقادیر اینرسی، کیفیت و کسینوس ** 2 را محاسبه می کند. علاوه بر این، کاربر می تواند (در پنجره نتایج) ماتریس های بردارهای منفرد تعمیم یافته را نمایش دهد. مانند هر داده ای از پنجره کاری، این ماتریس ها برای پردازش با استفاده از برنامه های موجود در زبان موجود هستند آماربه عنوان مثال، ویژوال بیسیک برای استفاده از هر روش غیر استاندارد برای محاسبه مختصات.

کاربر می تواند مختصات و آمار مربوط به آن (کیفیت و کسینوس ** 2) را برای نقاط اضافی (-ستون ها یا - خطوط) محاسبه کند و نتایج را با نقاط ردیف اصلی و نقاط ستون مقایسه کند. از نکات اضافی می توان در تحلیل تطبیق چند متغیره استفاده کرد. علاوه بر هیستوگرام های سه بعدی که برای همه جداول قابل محاسبه است، کاربر می تواند نمودار مقدار ویژه، نمودارهای یک، دو و سه بعدی را برای نقاط ردیف و نقاط ستون نمایش دهد. نقاط ردیف و نقاط ستون را می توان به طور همزمان در یک نمودار به همراه هر نقطه اضافی نمایش داد (هر نوع نقطه از یک رنگ متفاوت و نشانگر منحصر به فرد استفاده می کند تا نقاط مختلف به راحتی در نمودارها قابل تشخیص باشند). همه نقاط دارای نشانگر هستند و کاربر می تواند اندازه نشانگر را تنظیم کند.

در ماژول مجموعه کاملی از روش های مقیاس بندی چند بعدی (غیر متریک) اجرا شده است. در اینجا می‌توانید ماتریس‌های شباهت، تفاوت‌ها و همبستگی‌های بین متغیرها را تجزیه و تحلیل کنید و بعد فضای مقیاس‌بندی می‌تواند به 9 برسد. پیکربندی اولیه را می‌توان توسط برنامه محاسبه کرد (با استفاده از تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) یا توسط کاربر مشخص شود. مقدار تنش و ضریب بیگانگی با استفاده از یک روش تکراری خاص به حداقل می رسد.

کاربر توانایی مشاهده تکرارها و نظارت بر تغییرات این مقادیر را دارد. پیکربندی نهایی را می توان در جدول نتایج و همچنین در نمودارهای پراکندگی دو بعدی و سه بعدی در فضای مقیاس با نقاط شی مشخص شده مشاهده کرد. خروجی ها عبارتند از: تنش غیر استاندارد (F)، ضریب تنش کروسکال S و عامل طرد. سطح توافق را می توان با استفاده از نمودارهای شپرد (با "d با یک کلاه" و "d با یک ستاره") ارزیابی کرد. مانند تمام نتایج تجزیه و تحلیل در سیستم آمار، پیکربندی نهایی را می توان به عنوان یک فایل داده ذخیره کرد.

مدول شامل اجرای کامل روش های تجزیه و تحلیل تفکیک گام به گام با استفاده از توابع متمایز است. آمارهمچنین شامل یک ماژول است مدل‌های تحلیل متمایز عمومی (GDA)برای تناسب با طرح‌های ANOVA / ANCOVA مانند متغیرهای وابسته طبقه‌بندی؛ یا برای انجام انواع مختلف تحلیل‌ها (به عنوان مثال، انتخاب بهتر پیش‌بینی‌ها، نمایه‌سازی احتمالات پسین).

این برنامه به شما امکان می دهد تا تجزیه و تحلیل را با گنجاندن یا حذف گام به گام متغیرها انجام دهید یا به بلوک های متغیرهای تعریف شده توسط کاربر وارد شوید. علاوه بر نمودارها و آمارهای متعددی که تابع تقسیم (تمایزکننده) را توصیف می کند، این برنامه همچنین شامل مجموعه بزرگی از ابزارها و آمار برای طبقه بندی مشاهدات قدیمی و جدید (برای ارزیابی کیفیت مدل) است. خروجی ها عبارتند از: آمار لامبدا Wilkes برای هر متغیر، لامبدا خصوصی، آمار F برای گنجاندن (یا حذف)، سطوح معنی داری p، مقادیر تحمل و مجذور ضریب همبستگی چندگانه. این برنامه یک تحلیل متعارف کامل انجام می دهد و همه مقادیر ویژه (به صورت مستقیم و تجمعی)، سطوح اهمیت آنها p، ضرایب تابع متمایز (متعارف) (به صورت مستقیم و استاندارد)، ضرایب ماتریس ساختاری (عامل) را برمی گرداند. بارها)، مقادیر متوسط ​​تابع تفکیک، و وزن های تفکیک کننده برای هر شی (می توانند به طور خودکار به فایل داده اضافه شوند).

پشتیبانی گرافیکی داخلی شامل: هیستوگرام وزن‌های متعارف برای هر گروه (و مشترک در همه گروه‌ها)، نمودار پراکندگی ویژه برای جفت متغیرهای متعارف (که نشان می‌دهد هر مشاهده متعلق به کدام گروه است)، مجموعه بزرگی از نمودارهای طبقه‌بندی شده (چندین) ، به شما امکان می دهد توزیع و روابط بین متغیرهای وابسته را برای گروه های مختلف بررسی کنید (از جمله: نمودارهای متعدد مانند نمودارها، هیستوگرام ها، نمودارهای پراکندگی و نمودارهای احتمال عادی) و موارد دیگر.

در ماژول شما همچنین می توانید توابع طبقه بندی استاندارد برای هر گروه را محاسبه کنید. نتایج طبقه‌بندی موارد را می‌توان بر حسب فواصل ماهالانوبیس، احتمالات پسین و خود نتایج طبقه‌بندی نشان داد و مقادیر تابع متمایز برای موارد منفرد (مقادیر متعارف) را می‌توان بر روی تصاویر کلی و سایر موارد چند بعدی مشاهده کرد. نمودارها مستقیماً از جداول نتایج در دسترس هستند. همه این داده ها را می توان به طور خودکار برای تجزیه و تحلیل بیشتر به فایل داده فعلی اضافه کرد. همچنین می توانید ماتریس طبقه بندی نهایی را نمایش دهید که تعداد و درصد موارد به درستی طبقه بندی شده را نشان می دهد. گزینه‌های مختلفی برای تنظیم احتمالات پیشینی تعلق به کلاس‌ها و همچنین شرایط انتخابی وجود دارد که به شما امکان می‌دهد مشاهدات خاصی را از روش طبقه‌بندی بگنجانید یا حذف کنید (مثلاً کیفیت آن را در یک نمونه جدید بررسی کنید).

مدل‌های تحلیل متمایز عمومی (GDA)

مدول آماری مدل های تجزیه و تحلیل متمایز عمومی (GDA)یک برنامه کاربردی و یک پسوند است مدل های خطی عمومیبرای طبقه بندی وظایف درست مثل ماژول تجزیه و تحلیل تشخیصی GDA اجازه می دهد تا تجزیه و تحلیل متمایز متوالی معمول انجام شود. GDA مشکل تجزیه و تحلیل متمایز را به عنوان یک مورد خاص از مدل خطی عمومی ارائه می دهد و بنابراین فناوری های تحلیلی کاربر جدید بسیار مفیدی را ارائه می دهد.

همانند تجزیه و تحلیل متمایز متداول، GDA به شما امکان می دهد دسته بندی متغیرهای وابسته دلخواه را انتخاب کنید. در تجزیه و تحلیل، گروه هایی از عناصر به عنوان متغیرهای شاخص نوشته می شوند و همه روش های GRM را می توان به راحتی اعمال کرد. طیف گسترده ای از آمارهای باقیمانده GRM و GLM در گفتگوی نتایج GDA موجود است.

GDA ابزارهای قدرتمند مختلفی را برای داده کاوی و تحقیقات کاربردی فراهم می کند. GDA تمام نتایج تجزیه و تحلیل متمایز استاندارد را محاسبه می کند، از جمله ضرایب تابع تفکیک، نتایج تجزیه و تحلیل متعارف (ضرایب استاندارد شده و خام، تست های مرحله ای ریشه های متعارف، و غیره)، آمار طبقه بندی (شامل فاصله Mahalanobis، احتمالات پسین، طبقه بندی مشاهدات در تحلیل های معتبر، ماتریس های طبقه بندی اشتباه و غیره). برای اطلاعات بیشتر در مورد ویژگی های منحصر به فرد GDA

یک فرآیند تصادفی ثابت چند بعدی به عنوان مجموعه ای از فرآیندهای تصادفی بهم پیوسته ثابت و ثابت تعریف می شود. ... چنین فرآیندی معمولاً بسته به زمان به عنوان بردار ستون تصادفی نشان داده می شود:

.

فرآیندهای تصادفی چند بعدی برای توصیف سیستم های چند بعدی (چند کانالی) استفاده می شود. در این بخش، مشکل مدل‌سازی دیجیتالی فرآیندهای تصادفی ثابت چند بعدی عادی را بررسی می‌کنیم. نتیجه حل این مشکل، مانند مورد تک بعدی، الگوریتمی است که امکان شکل‌دهی چند بعدی گسسته از یک فرآیند معین را در یک کامپیوتر دیجیتالی فراهم می‌کند. -فرآيند تصادفي ثابت متوالي بعدي معمولاً در قالب ماتريس همبستگي آن مشخص مي شود.

یا به صورت ماتریس طیفی

جایی که - توابع خودهمبستگی (at) و همبستگی متقابل (at) فرآیندهای تصادفی - تبدیل فوریه. علاوه بر این، از آنجایی که ، عناصر و ماتریس طیفی مزدوج پیچیده هستند،

.

فرآیندهای تصادفی عادی چند بعدی گسسته مشابه فرآیندهای پیوسته با استفاده از همبستگی و ماتریس های طیفی تعریف می شوند (35، 70).

جایی که ، و .

به مصلحت است که مسئله مدلسازی دیجیتالی یک فرآیند تصادفی عادی چند بعدی به صورت زیر فرموله شود. همبستگی یا ماتریس طیفی یک فرآیند تصادفی داده شده است. لازم است الگوریتمی برای شکل‌دهی تحقق‌های گسسته یک فرآیند تصادفی با ویژگی‌های همبستگی (طیفی) مشخص در یک رایانه دیجیتال پیدا شود.

برای حل این مشکل، مانند قبل از ایده شکل دادن به فیلتر خطی استفاده خواهیم کرد. در این مورد، ما در مورد سنتز یک فیلتر شکل دهی چند بعدی صحبت می کنیم.

فیلتر خط اندازه گیری شده به عنوان یک سیستم دینامیکی خطی با ورودی و خروجی تعریف می شود. اگر - اقدام ورودی و پاسخ سیستم است، سپس ارتباط بین ورودی و خروجی فیلتر پیوسته خطی -بعدی با استفاده از ماتریس انتقال به شکل شرح داده شده است.

جایی که و - تصاویر سیگنال های ورودی و خروجی، به ترتیب، به معنای تبدیل لاپلاس. - ماتریس انتقال فیلتر -بعدی، که در آن عناصر توابع انتقال کانال -th ورودی - -th خروجی هستند.

اتصال ورودی-خروجی در فیلترهای خطی گسسته بعدی به روشی مشابه شرح داده شده است:

,

کجا و - تصاویر به معنای تبدیل لاپلاس گسسته سیگنال های ورودی و خروجی. - ماتریس انتقال یک فیلتر گسسته با ابعاد.

بلوک دیاگرام یک فیلتر چند بعدی با استفاده از یک فیلتر دو بعدی به عنوان مثال در شکل نشان داده شده است. 2.9 که بر اساس آن

(2.107)

می بینیم که هر یک از سیگنال های خروجی و مجموع عملگرهای خطی از سیگنال های ورودی و. روابط مشابهی در حالت کلی برقرار است. این شناسایی ماتریس های انتقال است.

اجازه دهید تاثیر در ورودی فیلتر خطی -بعدی یک نویز سفید -بعدی باشد، یعنی یک فرآیند تصادفی با یک ماتریس همبستگی شکل

برای زمان مداوم و

برای زمان گسسته، کجا - تابع دلتا نویز سفید بعدی در اینجا به عنوان مجموعه ای از فرآیندهای تصادفی همبسته مستقل و متقابل تعریف می شود.

می توان نشان داد (به عنوان مثال، نگاه کنید به) که وقتی در معرض نویز سفید قرار می گیرد، ماتریس طیفی فرآیند در خروجی - یک فیلتر ابعادی برای زمان پیوسته و گسسته، به ترتیب، با ماتریس انتقال فیلتر توسط روابط

(2.108)

که در آن نماد نشان دهنده ماتریس انتقال یافته است.

بنابراین، برای به دست آوردن یک فرآیند تصادفی - بعدی با یک ماتریس طیفی معین، باید نویز سفید - بعدی را از فیلتر شکل دهی -بعدی عبور داد که ماتریس انتقال آن معادلات (2.108) را برآورده می کند. برای یافتن ماتریس انتقال برای یک ماتریس طیفی معین، لازم است که ماتریس دوم را به دو عامل شکل (2.108) تقسیم کنیم. این روش فاکتورسازی ماتریس طیفی نامیده می شود. می توان آن را با استفاده از الگوریتم های شناخته شده پیاده سازی کرد.

فیلتر چند متغیره نویز سفید بسیار ساده است: هر جزء یک فرآیند تصادفی در خروجی یک فیلتر ابعادی با ماتریس انتقال با جمع کردن اجزا به دست می آید. فرآیند ورودی، فیلتر شده توسط فیلترهای یک بعدی با توابع انتقال [نگاه کنید به. فرمول (2.107)]. الگوریتم های فیلترینگ یک بعدی در بالا مورد بحث قرار گرفته اند.

با این روش مدل‌سازی، دو روش امکان‌پذیر است: 1) یک ماتریس طیفی معین از یک فرآیند تصادفی پیوسته-بعدی را می‌توان مستقیماً فاکتور گرفت تا ماتریس انتقال یک فیلتر شکل‌دهی پیوسته را به دست آورد و سپس با استفاده از روش‌های دقیق یا تقریبی گسسته‌سازی فیلترهای پیوسته شرح داده شده در بالا، فیلتراسیون چند متغیره نویز سفید مداوم. 2) برای یک ماتریس طیفی معین از یک فرآیند پیوسته بعدی، با استفاده از تبدیل - می توان ماتریس طیفی فرآیند تصادفی گسسته مربوطه را پیدا کرد (به بند 2.3 مراجعه کنید)، سپس با فاکتورسازی، تابع انتقال شکل دهی گسسته را پیدا کرد. فیلتر کنید، و سپس فیلتر چند بعدی نویز سفید گسسته را انجام دهید.

بیشترین مشکلات در فاکتورسازی ماتریس های طیفی وجود دارد. در حال حاضر، الگوریتم‌هایی برای فاکتورسازی تنها ماتریس‌های طیفی منطقی، یعنی آن دسته از ماتریس‌هایی که عناصر آن‌ها توابع گویا کسری از آرگومان‌ها یا.

اجازه دهید با حذف براهین، یکی از الگوریتم‌های فاکتورسازی ماتریس‌های طیفی منطقی را شرح دهیم.

اجازه دهید یک ماتریس طیفی منطقی داده شود

.

ماتریس را می توان به شکل کاهش داد

با تبدیل های زیر

1. رتبه ماتریس تعیین می شود، سپس یکی از مینورهای مرتبه اصلی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس قرار دارد.

2. ماتریس به یک فرم مورب کاهش می یابد. برای انجام این کار، اولین ردیف ضرب در - به ردیف هفتم ماتریس اضافه می شود،،، سپس اولین ستون ضرب می شود. ماتریس به دست می آید

, (2.109)

که در آن عناصر ماتریس

فرم را داشته باشند

(2.110)

همان تبدیل ها با ماتریس مانند ماتریس اصلی انجام می شود ... ادامه این فرآیند در مرحله ی هفتم، ماتریس مورب را به دست می دهد

به طوری که .

3. ماتریس کمکی را پیدا کنید

که عناصر آن به شرح زیر است:

(2.111)

که از روابط عود مشخص می شود

(2.112)

4. چند جمله ای های کمکی را پیدا کنید

جایی که - صفر چند جمله ای ها که در نیم صفحه پایینی قرار دارند، به تعداد حداکثر چند برابر آنها به حساب می آیند، و مخرج توابع کسری - گویا هستند که عناصر ماتریس هستند:

.

5. با روش در نظر گرفته شده در § 2.9، مورد 2، توابع کسری - گویا

در فرم ارائه شده است

,

که در آن چند جمله ای ها و هیچ صفری در نیم صفحه پایینی ندارند.

این فرآیند فاکتورسازی را به پایان می رساند. ماتریس انتقال نهایی فیلتر شکل دهی به شکل نوشته شده است

(2.113)

در اینجا ما الگوریتمی را برای فاکتورسازی ماتریس های طیفی منطقی فرآیندهای چند بعدی پیوسته توصیف می کنیم. فاکتورسازی ماتریس های طیفی فرآیندهای گسسته به روشی مشابه انجام می شود، فقط به جای ریشه های واقع در نیم صفحه پایین، ریشه های واقع در دایره واحد گرفته می شود.

مثال 1.اجازه دهید یک فرآیند تصادفی متمرکز ثابت دو بعدی پیوسته با یک ماتریس همبستگی داده شود

, (2.114)

برخی از ثابت های مثبت کجا هستند، و .

ماتریس همبستگی مربوط به ماتریس طیفی (2.114) شکل دارد

, (2.115)

جایی که و - لحظه های خودهمبستگی و همبستگی متقابل فرآیندها و به ترتیب؛ - ضریب همبستگی متقابل فرآیندها و لحظه های همزمان زمان. ضرایب و در این مورد عرض (در سطح 0.5) طیف انرژی است و طیف انرژی متقابل فرآیندها و.

برای به دست آوردن ماتریس انتقال فیلتر شکل دهنده، باید ماتریس طیفی (2.114) را فاکتورسازی کرد.

طبق الگوریتم فاکتورسازی بالا، مراحل فاکتورسازی را گام به گام انجام خواهیم داد.

1. در این مورد، رتبه ماتریس طیفی.

2. یک مرحله طول می کشد تا ماتریس مورب شود. با فرمول های (2.109) و (2.110)، به دست می آوریم

.

3. مطابق عبارات (2.111) و (2.112)، ماتریس کمکی به شکل است.

4. در مورد مورد بررسی، فقط باید یک چند جمله ای کمکی پیدا کنید. برای انجام این کار، باید ریشه های مخرج عنصر ماتریس، یعنی ریشه های چند جمله ای را پیدا کنید. این ریشه ها برابرند

از این رو،

.

5. در مرحله نهایی لازم است توابع کسری - گویا فاکتورسازی شوند

در این مورد، ریشه های صورت و مخرج توابع گویا کسری و به راحتی قابل محاسبه است. با استفاده از ریشه هایی که در نیم صفحه بالایی قرار دارند (ریشه هایی با قسمت های خیالی مثبت)، برای متغیر نیز به دست می آوریم:

.

در شکل شکل 2.9 یک بلوک دیاگرام از یک فیلتر شکل دهی دو بعدی را نشان می دهد که در خروجی آن یک فرآیند تصادفی دو بعدی با ویژگی های طیفی مورد نیاز تشکیل می شود اگر نویز سفید روی ورودی فیلتر عمل کند. با جایگزینی فیلتر دوبعدی پیوسته با فیلتر گسسته مربوطه، الگوریتمی برای تولید بر روی یک کامپیوتر دیجیتال تحققات گسسته یک فرآیند عادی تصادفی دو بعدی، به عنوان مثال، تحقق های گسسته دو فرآیند تصادفی معمولی ثابت و ثابت همراه با نمایی به دست می آوریم. توابع همبستگی خودکار و متقابل فرم (2.115).

در رویکرد دیگری برای سنتز فیلتر شکل‌دهی، ابتدا باید ماتریس طیفی فرآیند تصادفی چند بعدی گسسته مربوطه را پیدا کرد. در مثال مورد بررسی، این ماتریس دارای فرم است

و ماتریس ها (2.116).

مثال در نظر گرفته شده نشان می دهد که فاکتورسازی ماتریس های طیفی نسبتا آسان است اگر بتوان به صورت تحلیلی صفرهای چند جمله ای مربوطه را پیدا کرد. هنگام فاکتورگیری ماتریس طیفی یک فرآیند دو بعدی پیوسته، این کار دشواری نبود، زیرا برای تعیین صفرها فقط باید معادلات درجه دوم و دو بعدی را حل کرد. هنگام فاکتورگیری ماتریس طیفی یک فرآیند دو بعدی گسسته، معادلات درجه دوم و یک معادله بازگشتی درجه چهارم وجود داشت که یک راه حل تحلیلی را نیز می پذیرد.

در سایر موارد پیچیده تر، صفرهای چند جمله ای را همیشه نمی توان به صورت تحلیلی یافت. در این موارد برای حل معادلات درجه یک به روش های عددی متوسل می شوند. به طور کلی، فرآیند فاکتورسازی را می توان بر روی یک کامپیوتر دیجیتال به عنوان یک برنامه استاندارد پیاده سازی کرد. برای این منظور، علاوه بر الگوریتمی که در اینجا آورده شده است، می توان از سایر الگوریتم های فاکتورسازی نیز استفاده کرد.

لازم به ذکر است که تمام الگوریتم های موجود برای فاکتورسازی ماتریس های طیفی، به طور کلی، بسیار پر زحمت هستند.