مفاهیم اساسی سیستم های اعداد
سیستم اعداد مجموعه ای از قوانین و تکنیک ها برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه ای از کاراکترهای دیجیتال است. تعداد ارقام مورد نیاز برای ثبت یک عدد در سیستم را پایه سیستم اعداد می گویند. پایه سیستم با اعداد درست در زیرنویس نوشته شده است:; ; و غیره.
دو نوع سیستم اعداد وجود دارد:
موقعیتی، زمانی که مقدار هر رقم از یک عدد با موقعیت آن در رکورد شماره تعیین می شود.
غیر موقعیتی، زمانی که مقدار رقم در عدد به جایگاه آن در رکورد عدد بستگی ندارد.
نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی رومی است: اعداد IX، IV، XV و غیره. نمونه ای از سیستم اعداد موقعیتی، سیستم اعشاری است که به صورت روزانه استفاده می شود.
هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:
که در آن S پایه سیستم اعداد است.
ارقام عدد ثبت شده در سیستم عددی داده شده؛
n - تعداد ارقام عدد.
مثال. عدد به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود:
انواع سیستم های اعداد
سیستم اعداد رومی یک سیستم غیر موقعیتی است. برای نوشتن اعداد از حروف الفبای لاتین استفاده می کند. علاوه بر این، حرف I همیشه به معنای یک است، حرف V پنج است، X ده است، L پنجاه است، C صد است، D پانصد است، M است هزار و غیره. مثلا عدد 264 به صورت CCLXIV نوشته می شود. هنگام نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی، مقدار عدد حاصل جمع جبری ارقام موجود در آن است. در این حالت، اعداد در رکورد اعداد، قاعدتاً به ترتیب نزولی از مقادیر خود پیروی می کنند و نوشتن بیش از سه عدد یکسان در کنار هم مجاز نیست. در صورتی که یک رقم با مقدار بزرگ با یک رقم کوچکتر همراه شود، سهم آن در مقدار کل عدد منفی است. نمونه های معمولی که قوانین کلی برای نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی را نشان می دهد در جدول نشان داده شده است.
جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی
|
III |
||||
|
vii |
هشتم |
|||
|
سیزدهم |
Xviii |
نوزدهم |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
نقطه ضعف سیستم رومی عدم وجود قوانین رسمی برای نوشتن اعداد و بر این اساس، عملیات حسابی با اعداد چند رقمی است. به دلیل ناراحتی و پیچیدگی زیاد، سیستم اعداد رومی در حال حاضر در جایی که واقعا راحت است استفاده می‌شود: در ادبیات (شماره‌گذاری فصل)، در کاغذبازی (یک سری پاسپورت، اوراق بهادار، و غیره)، برای اهداف تزئینی روی شماره‌گیر تماشا و در تعدادی از موارد دیگر.
سیستم اعداد اعشاری در حال حاضر معروف ترین و مورد استفاده است. اختراع سیستم اعداد اعشاری متعلق به دستاوردهای اصلی اندیشه بشر است. بدون آن، تکنولوژی مدرن به سختی می توانست وجود داشته باشد، چه رسد به ظهور. دلیل اینکه سیستم اعداد اعشاری به طور کلی پذیرفته شده است، اصلاً ریاضی نیست. مردم به شمردن با نماد اعشاری عادت دارند زیرا 10 انگشت روی دستان خود دارند.
تصویر باستانی ارقام اعشاری (شکل 1) تصادفی نیست: هر رقم با توجه به تعداد گوشه های آن نشان دهنده یک عدد است. به عنوان مثال، 0 - بدون گوشه، 1 - یک گوشه، 2 - دو گوشه، و غیره. نوشتن ارقام اعشاری دستخوش تغییرات قابل توجهی شده است. شکلی که ما استفاده می کنیم در قرن شانزدهم ایجاد شد.
سیستم اعشاری اولین بار در قرن ششم پس از میلاد در هند ظاهر شد. شماره گذاری هندی از نه کاراکتر عددی و صفر برای نشان دادن یک موقعیت خالی استفاده می کند. در نسخه‌های خطی هندی اولیه که به دست ما رسیده است، اعداد به ترتیب معکوس نوشته می‌شدند که مهم‌ترین عدد در سمت راست بود. اما خیلی زود قرار دادن چنین عددی در سمت چپ به یک قانون تبدیل شد. اهمیت ویژه ای به کاراکتر صفر داده شد که برای سیستم نمادگذاری موقعیتی معرفی شد. شماره گذاری هندی، از جمله صفر، تا زمان ما باقی مانده است. در اروپا، روش‌های هندویی حساب اعشاری در آغاز قرن سیزدهم رایج شد. با تشکر از کارهای ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا (فیبوناچی). اروپاییان سیستم اعداد هندی را از اعراب قرض گرفتند و آن را عرب نامیدند. این نام تاریخی نادرست تا به امروز حفظ شده است.
سیستم اعشاری از ده رقم - 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 و همچنین نمادهای "+" و "-" برای نشان دادن علامت یک عدد و یک کاما یا نقطه استفاده می کند. برای جدا کردن قطعات کامل و کسری اعداد.
کامپیوترها از یک سیستم اعداد باینری استفاده می کنند، پایه آن عدد 2 است. برای نوشتن اعداد در این سیستم، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. برخلاف تصور غلط رایج، سیستم اعداد باینری نه توسط مهندسان طراحی کامپیوتر، بلکه اختراع شده است. توسط ریاضیدانان و فیلسوفان بسیار قبل از ظهور رایانه ها، در قرن هفدهم و نوزدهم. اولین بحث منتشر شده در مورد سیستم اعداد باینری متعلق به کشیش اسپانیایی خوان کاراموئل لوبکوویتز (1670) است. توجه کلی به این سیستم توسط مقاله ای توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس که در سال 1703 منتشر شد، جلب شد. این سیستم عملیات دودویی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را توضیح داد. لایب نیتس استفاده از این سیستم را برای محاسبات عملی توصیه نکرد، اما بر اهمیت آن برای تحقیقات نظری تاکید کرد. با گذشت زمان، سیستم اعداد باینری به خوبی شناخته شد و توسعه یافت.
انتخاب یک سیستم باینری برای استفاده در محاسبات با این واقعیت توضیح داده می شود که عناصر الکترونیکی - محرک هایی که یک ریزمدار کامپیوتری را تشکیل می دهند - می توانند تنها در دو حالت عملیاتی باشند.
هر داده و دانشی را می توان با استفاده از یک سیستم کدگذاری باینری ثبت کرد. اگر اصل رمزگذاری و انتقال اطلاعات با استفاده از کد مورس را به خاطر داشته باشید به راحتی قابل درک است. اپراتور تلگراف با استفاده از تنها دو علامت از این الفبا - نقطه و خط تیره - می تواند تقریباً هر متنی را منتقل کند.
سیستم باینری برای رایانه راحت است، اما برای شخص ناخوشایند است: نوشتن و به خاطر سپردن اعداد طولانی و دشوار است. البته می‌توانید یک عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنید و به این شکل بنویسید، و سپس، زمانی که نیاز به ترجمه آن دارید، اما همه این ترجمه‌ها زمان‌بر هستند. بنابراین، از سیستم های اعداد، مشابه باینری - هشت و هگزادسیمال استفاده می شود. برای نوشتن اعداد در این سیستم ها به ترتیب 8 و 16 رقم مورد نیاز است. در هگزادسیمال، 10 رقم اول رایج است و سپس از حروف لاتین بزرگ استفاده می شود. رقم هگزادسیمال A مربوط به اعشاری 10، هگزادسیمال B - اعشاری 11 و غیره است. استفاده از این سیستم ها با این واقعیت توضیح داده می شود که انتقال به نوشتن یک عدد در هر یک از این سیستم ها از نماد دودویی آن بسیار ساده است. در زیر جدول مطابقت بین اعداد ثبت شده در سیستم های مختلف آورده شده است.
جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف
|
اعشاری |
دودویی |
هشتی |
هگزادسیمال |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
دی http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
قوانینی برای ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. بیایید قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیریم.
1. برای تبدیل یک عدد باینری به اعشاری باید آن را به صورت چندجمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 2 نوشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:
هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:
جدول 4. توان های 2
|
n (درجه) |
|||||||||||
|
1024 |
مثال. عدد را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 نوشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:
هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های هشت راحت است:
جدول 5. توان های 8
|
n (درجه) |
با مطالعه رمزگذاری ها، متوجه شدم که سیستم های اعداد را به خوبی درک نمی کنم. با این وجود، او اغلب از سیستم های 2-، 8-، 10-، 16 استفاده می کرد و یکی را به دیگری ترجمه می کرد، اما همه چیز به صورت خودکار انجام می شد. پس از خواندن بسیاری از نشریات، از فقدان یک مقاله به زبان ساده در مورد چنین مطالب اساسی شگفت زده شدم. به همین دلیل تصمیم گرفتم خودم بنویسم که در آن سعی کردم اصول سیستم های اعداد را به شیوه ای قابل دسترس و منظم توضیح دهم.
معرفی
نشانه گذاریروشی برای نوشتن (نمایش) اعداد است.این یعنی چی؟ به عنوان مثال، شما چندین درخت را در مقابل خود می بینید. وظیفه شما این است که آنها را بشمارید. برای انجام این کار، می توانید - انگشتان خود را خم کنید، بر روی سنگ (یک درخت - یک انگشت / بریدگی) بریدگی ایجاد کنید یا 10 درخت را با یک شی، به عنوان مثال، یک سنگ، مطابقت دهید و برای یک کپی - یک چوب و آنها را بگذارید. همانطور که شما می شمارید روی زمین در مورد اول، شماره به عنوان یک خط از انگشتان یا بریدگی های خم شده نشان داده می شود، در مورد دوم - ترکیبی از سنگ ها و چوب ها، که در آن سنگ ها در سمت چپ و چوب ها در سمت راست قرار دارند.
سیستم های اعداد به موقعیتی و غیر موقعیتی و موقعیتی به نوبه خود به همگن و مختلط تقسیم می شوند.
غیر موضعی- قدیمی ترین، در آن هر رقم از یک عدد دارای مقداری است که به موقعیت (رتبه) آن بستگی ندارد. یعنی اگر 5 خط تیره داشته باشید، این عدد نیز 5 است، زیرا هر خط تیره، صرف نظر از جایگاهش در خط، تنها با 1 یک شی مطابقت دارد.
سیستم موقعیت- معنای هر رقم به موقعیت (رقم) آن در عدد بستگی دارد. به عنوان مثال، سیستم شماره 10 که برای ما آشناست، موقعیتی است. عدد 453 را در نظر بگیرید. عدد 4 نشان دهنده تعداد صدها و مطابق با عدد 400 است، 5 - تعداد ده ها و مشابه مقدار 50 است و 3 - واحدها و مقدار 3. همانطور که می بینید، رقم بزرگتر، مقدار بالاتر است. عدد نهایی را می توان به صورت مجموع 400 + 50 + 3 = 453 نشان داد.
سیستم همگن- برای تمام ارقام (موقعیت) عدد، مجموعه نمادهای مجاز (اعداد) یکسان است. اجازه دهید سیستم 10 را که قبلا ذکر شد به عنوان مثال در نظر بگیریم. هنگام نوشتن یک عدد در یک سیستم دهم یکنواخت، می توانید فقط از یک رقم از 0 تا 9 در هر رقم استفاده کنید، بنابراین عدد 450 مجاز است (رقم اول - 0، 2 - 5، 3 - 4)، و 4F5 نیست، زیرا کاراکتر F بخشی از رقم مجموعه از 0 تا 9 نیست.
سیستم مختلط- در هر رقم (موقعیت) عدد، مجموعه کاراکترهای معتبر (ارقام) ممکن است با مجموعه ارقام دیگر متفاوت باشد. یک مثال بارز سیستم اندازه گیری زمان است. در دسته ثانیه ها و دقیقه ها، 60 کاراکتر مختلف امکان پذیر است (از "00" تا "59")، در دسته ساعت ها - 24 کاراکتر مختلف (از "00" تا "23")، در دسته روزها - 365 و غیره
سیستم های غیر موقعیتی
به محض اینکه مردم شمارش را یاد گرفتند، نیاز به نوشتن اعداد وجود داشت. در ابتدا، همه چیز ساده بود - یک بریدگی یا خط تیره روی یک سطح با یک جسم، به عنوان مثال، یک میوه مطابقت داشت. اینگونه بود که اولین سیستم اعداد - واحد یک - ظاهر شد.سیستم شماره واحد
یک عدد در این سیستم اعداد رشته ای از خط تیره (چوب) است که تعداد آنها برابر با مقدار عدد داده شده است. بنابراین، برداشت 100 خرما برابر با عددی متشکل از 100 داش خواهد بود.اما این سیستم دارای معایب آشکار است - هر چه تعداد آن بزرگتر باشد، رشته چوب طولانی تر است. علاوه بر این، هنگام نوشتن یک عدد به راحتی می توانید با اضافه کردن تصادفی یک چوب اضافی یا برعکس، عدم اضافه کردن آن اشتباه کنید.
برای راحتی، مردم شروع به گروه بندی چوب ها در 3، 5، 10 قطعه کردند. در همان زمان، علامت یا شی معینی با هر گروه مطابقت داشت. در ابتدا از انگشتان برای شمارش استفاده می شد، بنابراین اولین نشانه ها برای گروه های 5 و 10 قطعه ای (واحد) ظاهر شد. همه اینها باعث شد تا سیستم های راحت تری برای ثبت اعداد ایجاد شود.
سیستم اعشاری مصر باستان
در مصر باستان از نمادهای خاص (اعداد) برای نشان دادن اعداد 1، 10، 10 2، 10 3، 10 4، 10 5، 10 6، 10 7 استفاده می شد. در اینجا به برخی از آنها اشاره می کنیم:چرا به آن اعشاری می گویند؟ همانطور که در بالا گفته شد، مردم شروع به گروه بندی شخصیت ها کردند. در مصر، گروه بندی 10 را انتخاب کردند و عدد "1" را بدون تغییر باقی گذاشتند. در این حالت عدد 10 را پایه سیستم اعداد اعشاری می نامند و هر کاراکتر تا حدی نشان دهنده عدد 10 است.
اعداد در سیستم اعداد مصر باستان به صورت ترکیبی از آنها نوشته می شد
شخصیت هایی که هر کدام بیش از 9 بار تکرار نمی شوند. مقدار کل برابر با مجموع عناصر عدد بود. شایان ذکر است که این روش برای به دست آوردن یک مقدار در هر سیستم اعداد غیر موقعیتی ذاتی است. به عنوان مثال عدد 345 است:
سیستم جنسی بابلی
برخلاف مصری ها، در سیستم بابلی فقط از 2 نماد استفاده می شد: گوه "مستقیم" - برای تعیین واحدها و "خوابیده" - برای ده ها. برای تعیین مقدار یک عدد، باید تصویر عدد را از راست به چپ به ارقام تقسیم کرد. ترشح جدید با ظاهر شدن یک گوه مستقیم بعد از یک دراز کشیده شروع می شود. عدد 32 را به عنوان مثال در نظر می گیریم:
عدد 60 و تمام درجات آن نیز با یک گوه مستقیم به عنوان "1" نشان داده می شود. از این رو، سیستم اعداد بابلی را شش ضلعی می نامیدند.
بابلی ها همه اعداد از 1 تا 59 را در یک سیستم اعشاری غیر موقعیتی و مقادیر بزرگ را در سیستم موقعیتی با پایه 60 می نوشتند. شماره 92:
ضبط عدد مبهم بود، زیرا هیچ رقمی برای نشان دادن صفر وجود نداشت. نمایش عدد 92 می تواند نه تنها به معنای 92 = 60 + 32 باشد، بلکه به عنوان مثال، 3632 = 3600 + 32 باشد. برای تعیین قدر مطلق عدد، یک کاراکتر ویژه برای نشان دادن رقم شش جفت گمشده معرفی شد که مربوط به ظاهر رقم 0 در نماد اعشاری است:
حالا عدد 3632 باید به صورت زیر نوشته شود:
سیستم شمسی بابلی اولین سیستم اعدادی بود که تا حدی بر اساس اصل موقعیت بود. این سیستم شماره گذاری امروزه استفاده می شود، به عنوان مثال، هنگام تعیین زمان - یک ساعت شامل 60 دقیقه، و یک دقیقه شامل 60 ثانیه است.
سیستم رومی
سیستم رومی تفاوت چندانی با سیستم مصری ندارد. برای نشان دادن اعداد 1، 5، 10، 50، 100، 500 و 1000 از حروف بزرگ لاتین I، V، X، L، C، D و M استفاده می کند. یک عدد در سیستم اعداد رومی مجموعه ای از اعداد متوالی است.روش های تعیین مقدار یک عدد:
- مقدار یک عدد برابر است با مجموع مقادیر ارقام آن. به عنوان مثال، عدد 32 در سیستم اعداد رومی XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32 است.
- اگر در سمت چپ رقم بزرگتر عدد کوچکتر باشد، مقدار آن برابر است با تفاوت بین ارقام بزرگتر و کوچکتر. در عین حال، رقم چپ می تواند حداکثر با یک مرتبه بزرگی کمتر از رقم راست باشد: بنابراین، قبل از L (50) و C (100) از "پایین تر"، فقط X (10) می تواند ایستاده باشد. قبل از D (500) و M (1000) - فقط C (100)، قبل از V (5) - فقط I (1)؛ عدد 444 در سیستم اعداد در نظر گرفته شده به صورت CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444 نوشته می شود.
- مقدار برابر است با مجموع مقادیر گروه ها و اعدادی که زیر امتیاز 1 و 2 قرار نمی گیرند.
1) اسلاوی
2) یونانی (یونیایی)
سیستم های اعداد موقعیتی
همانطور که در بالا ذکر شد، اولین پیش نیازها برای ظهور یک سیستم موقعیتی در بابل باستان بوجود آمد. در هندوستان، این سیستم به شکل عدد دهی موقعیتی با استفاده از صفر بود و از هندی ها این سیستم اعداد توسط اعراب به عاریت گرفته شد و اروپایی ها از آنها پذیرفتند. به دلایلی در اروپا نام «عرب» به این سیستم چسبیده بود.سیستم اعداد اعشاری
این یکی از رایج ترین سیستم های اعداد است. این همان چیزی است که وقتی قیمت یک محصول را نام می بریم و شماره اتوبوس را تلفظ می کنیم استفاده می کنیم. در هر رقم (موقعیت) فقط یک رقم در بازه 0 تا 9 قابل استفاده است که پایه سیستم عدد 10 است.به عنوان مثال، عدد 503 را در نظر بگیرید. اگر این عدد در یک سیستم غیر موقعیتی نوشته می شد، مقدار آن 5 + 0 + 3 = 8 می شد. اما ما یک سیستم موقعیتی داریم و بنابراین هر رقم از عدد باید ضرب شود. توسط پایه سیستم، در این مورد عدد "10" به توانی برابر با عدد بیت افزایش می یابد. به نظر می رسد که مقدار 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503 است. برای جلوگیری از سردرگمی هنگام کار با چندین سیستم اعداد همزمان، پایه به عنوان یک مشخص می شود. زیرنویس بنابراین 503 = 503 10.
علاوه بر سیستم اعشاری، سیستم های 2، 8، 16 سزاوار توجه ویژه هستند.
سیستم اعداد باینری
این سیستم عمدتاً در محاسبات استفاده می شود. چرا از دهمی که ما به آن عادت کرده ایم استفاده نکردند؟ اولین ماشین محاسباتی توسط بلز پاسکال ایجاد شد که از سیستم اعشاری در آن استفاده کرد که معلوم شد در ماشین های الکترونیکی مدرن ناخوشایند است زیرا نیاز به تولید دستگاه هایی با قابلیت کار در 10 ایالت بود که قیمت آنها را افزایش داد و نهایی شد. اندازه دستگاه عناصر فعال در سیستم 2 فاقد این کاستی ها هستند. با این وجود، سیستم مورد بحث مدت ها قبل از اختراع رایانه ها ایجاد شد و در تمدن اینکاها "ریشه" دارد، جایی که آنها از کیپو - بافت ها و گره های طناب پیچیده استفاده می کردند.سیستم اعداد موقعیتی باینری دارای پایه 2 است و از 2 کاراکتر (رقم) برای نوشتن عدد استفاده می کند: 0 و 1. فقط یک رقم در هر رقم مجاز است - 0 یا 1.
به عنوان مثال عدد 101 است. این عدد مشابه عدد 5 در نماد اعشاری است. برای تبدیل از 2 به 10، لازم است هر رقم از عدد باینری را در پایه "2" افزایش یافته به توان برابر با رقم ضرب کنیم. بنابراین، عدد 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.
خوب، برای ماشین ها، سیستم شماره 2 راحت تر است، اما اغلب می بینیم که از اعداد کامپیوتری در سیستم 10 استفاده می شود. پس چگونه دستگاه تعیین می کند که کاربر کدام عدد را وارد می کند؟ چگونه یک عدد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه می کند، زیرا فقط 2 کاراکتر در اختیار دارد - 0 و 1؟
برای اینکه کامپیوتر با اعداد باینری (کد) کار کند، باید در جایی ذخیره شوند. برای ذخیره هر رقم جداگانه، از یک ماشه استفاده می شود که یک مدار الکترونیکی است. می تواند در 2 حالت باشد که یکی از آنها برابر صفر و دیگری برابر یک است. برای به خاطر سپردن یک عدد جداگانه، از یک رجیستر استفاده می شود - گروهی از محرک ها، که تعداد آنها با تعداد ارقام یک عدد باینری مطابقت دارد. و مجموعه رجیسترها حافظه دسترسی تصادفی است. عدد موجود در رجیستر یک کلمه ماشینی است. عملیات حسابی و منطقی با کلمات توسط یک واحد منطق حسابی (ALU) انجام می شود. برای سهولت دسترسی به رجیسترها، آنها شماره گذاری می شوند. شماره را آدرس ثبت می نامند. به عنوان مثال، اگر نیاز به اضافه کردن 2 عدد دارید، کافی است شماره سلول ها (رجیسترها) که در آنها قرار دارند را نشان دهید و نه خود اعداد را. آدرس ها در سیستم های هشت و هگزادسیمال نوشته می شوند (در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت)، زیرا انتقال از آنها به سیستم باینری و بالعکس بسیار ساده است. برای انتقال از شماره 2 به 8، باید آن را به گروه های 3 رقمی از راست به چپ، و رفتن به 16 - به 4 تقسیم کنید. اگر در سمت چپ ترین گروه ارقام، ارقام کافی وجود نداشت، پس آنها با صفرهایی از سمت چپ پر می شوند که به آنها پیشرو می گویند. بیایید عدد 101100 2 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. در اکتال 101 100 = 54 8 و در هگزا دسیمال 0010 1100 = 2C 16 است. عالی است، اما چرا اعداد اعشاری و حروف را روی صفحه می بینیم؟ وقتی کلیدی را فشار می‌دهید، دنباله خاصی از تکانه‌های الکتریکی به رایانه منتقل می‌شود که هر نماد مربوط به دنباله‌ای از تکانه‌های الکتریکی (صفر و یک) است. برنامه درایور صفحه کلید و صفحه نمایش به جدول کد کاراکترها نگاه می کند (به عنوان مثال، یونیکد، که می تواند 65536 کاراکتر را رمزگذاری کند)، تعیین می کند کد به دست آمده با کدام کاراکتر مطابقت دارد، و آن را روی صفحه نمایش می دهد. بنابراین، متون و اعداد در حافظه کامپیوتر به صورت کد باینری ذخیره می شوند و به صورت برنامه نویسی به تصاویر روی صفحه تبدیل می شوند.
سیستم اعداد هشتگانه
سیستم اعداد هشتم، مانند سیستم باینری، اغلب در فناوری دیجیتال استفاده می شود. پایه 8 است و از اعداد 0 تا 7 برای نشان دادن عدد استفاده می کند.نمونه ای از یک عدد اکتالی: 254. برای تبدیل به سیستم دهم، هر رقم از عدد اصلی باید در 8 n ضرب شود که n عدد رقمی است. معلوم می شود که 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.
سیستم اعداد هگزادسیمال
سیستم هگزادسیمال به طور گسترده در رایانه های مدرن استفاده می شود، به عنوان مثال، رنگ را نشان می دهد: #FFFFFF - سفید. سیستم مورد بررسی دارای پایه 16 است و از اعداد برای نوشتن استفاده می کند: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B. C، D، E، F، جایی که حروف عبارتند از به ترتیب 10، 11، 12، 13، 14، 15.عدد 4F5 16 را به عنوان مثال در نظر می گیریم. برای تبدیل به سیستم هشتگانه - ابتدا عدد هگزا دسیمال را به باینری تبدیل می کنیم و سپس آن را به گروه های 3 رقمی به اکتال تقسیم می کنیم. برای تبدیل یک عدد به 2، هر رقم باید به صورت یک عدد باینری 4 بیتی نمایش داده شود. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. اما در گروه های 1 و 3 جایی وجود ندارد، بنابراین هر کدام را با صفرهای ابتدایی پر می کنیم: 0100 1111 0101. اکنون باید عدد حاصل را به گروه های 3 رقمی از راست به چپ تقسیم کنید: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. بیایید هر گروه باینری را به سیستم هشتگانه ترجمه کنیم، هر بیت را در 2 n ضرب کنیم، جایی که n عدد بیت است: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.
علاوه بر سیستم های اعداد موقعیتی در نظر گرفته شده، موارد دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال:
1) تثلیث
2) کواترنری
3) اثنی عشر
سیستم های موقعیتی به دو دسته همگن و مختلط تقسیم می شوند.
سیستم های اعداد موقعیتی همگن
تعریف ارائه شده در ابتدای مقاله سیستم های همگن را به طور کامل توصیف می کند، بنابراین توضیح لازم نیست.سیستم های اعداد مختلط
به تعریف ارائه شده از قبل، می توانیم قضیه زیر را اضافه کنیم: "اگر P = Q n (P، Q، n اعداد صحیح مثبت هستند، و P و Q پایه هستند)، پس نمایش هر عدد در مخلوط (PQ) - سیستم اعداد به طور یکسان با نوشتن همان عدد در پایه Q منطبق است.بر اساس قضیه، می‌توان قوانین انتقال از سیستم‌های P به Q-ام و بالعکس را تدوین کرد:
- برای انتقال از Q-th به P-ام، باید عدد موجود در سیستم Q-ام را به گروه های n رقمی تقسیم کرد و با رقم سمت راست شروع کرد و هر گروه را با یک رقم در سیستم P-ام جایگزین کرد.
- برای انتقال از P به Q ام باید هر رقم از یک عدد در سیستم P را به Q-ام ترجمه کرد و اعداد گمشده را با صفرهای ابتدایی به جز عدد چپ پر کرد تا هر کدام عدد در سیستم با پایه Q از n رقم تشکیل شده است ...
سیستم های اعداد مختلط نیز به عنوان مثال:
1) فاکتوریل
2) فیبوناچی
ترجمه از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
گاهی اوقات لازم است یک عدد را از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر تبدیل کنید، بنابراین ما راه هایی را برای ترجمه بین سیستم های مختلف در نظر خواهیم گرفت.تبدیل به اعشار
یک عدد a 1 a 2 a 3 در پایه b وجود دارد. برای انتقال به سیستم دهم، باید هر رقم عدد را در b n ضرب کرد که n عدد رقم است. بنابراین (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.مثال: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10
تبدیل از اعشار به دیگران
کل قسمت:- ما به طور متوالی تمام قسمت اعشاری را بر پایه سیستمی که به آن ترجمه می کنیم تقسیم می کنیم تا عدد اعشاری صفر شود.
- باقی مانده های حاصل از تقسیم، ارقام عدد مورد نظر است. شماره در سیستم جدید با شروع آخرین باقیمانده ثبت می شود.
- قسمت کسری عدد اعشاری در پایه سیستمی که می خواهید به آن ترجمه کنید ضرب می شود. کل قسمت را جدا می کنیم. به ضرب جزء کسری در پایه سیستم جدید ادامه می دهیم تا برابر 0 شود.
- اعداد در سیستم جدید بخش های کاملی از نتایج ضرب را به ترتیب مربوط به دریافت آنها تشکیل می دهند.
15 \ 8 = 1 ، باقیمانده 7
1 \ 8 = 0، باقیمانده 1
با نوشتن تمام باقیمانده ها از پایین به بالا، عدد نهایی 17 به دست می آید. بنابراین، 15 10 = 17 8.
تبدیل از باینری به اکتال و هگزادسیمال
برای تبدیل به اکتال، عدد باینری را از راست به چپ به گروه‌های 3 رقمی تقسیم می‌کنیم و ارقام انتهایی از دست رفته را با صفرهای ابتدایی پر می‌کنیم. سپس، هر گروه را با ضرب متوالی ارقام در 2 n تبدیل می کنیم، جایی که n عدد بیت است.به عنوان مثال، عدد 1001 2 را در نظر بگیرید: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8
برای تبدیل به هگزادسیمال، عدد باینری را به گروه های 4 رقمی از راست به چپ تقسیم می کنیم، سپس - مشابه تبدیل از 2 به 8.
از سیستم های هشت و هگزادسیمال به باینری تبدیل کنید
تبدیل از هشتی به دودویی - هر رقم از یک عدد اکتالی را با تقسیم بر 2 به یک عدد باینری 3 بیتی تبدیل کنید (برای جزئیات بیشتر در مورد تقسیم، به پاراگراف "تبدیل از اعشار به دیگران" در بالا مراجعه کنید)، اعداد افراطی از دست رفته را پر کنید. با صفرهای ابتداییبه عنوان مثال، عدد 45 8 را در نظر بگیرید: 45 = (100) (101) = 100101 2
تبدیل از 16 به 2 - هر بیت از یک عدد هگزادسیمال را با تقسیم بر 2 به یک عدد باینری 4 بیتی تبدیل می کنیم، ارقام انتهایی گم شده را با صفرهای ابتدایی پر می کنیم.
قسمت کسری هر سیستم عددی را به اعشار تبدیل کنید
تبدیل به همان روشی انجام می شود که برای قطعات کامل انجام می شود، با این تفاوت که ارقام عدد در پایه به توان "-n" ضرب می شوند، جایی که n از 1 شروع می شود.
مثال: 101,011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0)، (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5)، (0 + 0) ، 25 + 0.125) = 5.375 10
قسمت کسری یک سیستم باینری را به 8 و 16 تبدیل کنید
ترجمه قسمت کسری به همان روشی انجام می شود که برای کل قسمت های یک عدد انجام می شود، با این استثنا که تقسیم به گروه های 3 و 4 رقمی به سمت راست نقطه اعشار می رود، اعداد گمشده تکمیل می شوند. با صفر در سمت راستمثال: 1001.01 2 = 001 001، 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0)، (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1)، (0 + 2 + 0) = 11.2 8
قسمت کسری سیستم اعشاری را به قسمت دیگر تبدیل کنید
برای ترجمه قسمت کسری یک عدد به سیستم های اعداد دیگر، باید قسمت صحیح را صفر کنید و شروع به ضرب عدد به دست آمده در پایه سیستمی که می خواهید به آن ترجمه کنید، کنید. اگر در نتیجه ضرب، قطعات صحیح دوباره ظاهر شوند، باید آنها را به صفر برگردانید، زیرا قبلاً مقدار قسمت صحیح حاصل را به خاطر بسپارید (نوشته کنید). عملیات زمانی به پایان می رسد که قسمت کسری به طور کامل ناپدید شود.به عنوان مثال، بیایید 10.625 10 را به باینری تبدیل کنیم:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
با نوشتن تمام باقیمانده ها از بالا به پایین، 10.625 10 = (1010)، (101) = 1010.101 2 دریافت می کنیم.
1. حساب ترتیبی در سیستم های اعداد مختلف.
در زندگی مدرن، ما از سیستم های اعداد موقعیتی استفاده می کنیم، یعنی سیستم هایی که در آنها عدد نشان داده شده با یک عدد به موقعیت عدد در رکورد اعداد بستگی دارد. بنابراین، در ادامه با صرف نظر از اصطلاح «موضعی» فقط درباره آنها صحبت خواهیم کرد.
برای اینکه یاد بگیریم چگونه اعداد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه کنیم، بیایید بفهمیم که چگونه ضبط متوالی اعداد با استفاده از سیستم اعشاری به عنوان مثال انجام می شود.
از آنجایی که ما یک سیستم اعداد اعشاری داریم، 10 کاراکتر (رقم) برای ساخت اعداد داریم. شمارش ترتیبی را شروع می کنیم: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اعداد تمام شده اند. ظرفیت رقم عدد را افزایش می دهیم و بیت کم اهمیت را صفر می کنیم: 10. سپس دوباره کم اهمیت ترین بیت را افزایش می دهیم تا تمام ارقام تمام شوند: 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19. معنی‌دارترین بیت را 1 و کم‌ترین بیت را صفر کنید: 20. وقتی از همه ارقام برای هر دو رقم استفاده می‌کنیم (عدد 99 را می‌گیریم)، دوباره ظرفیت رقم را افزایش می‌دهیم و ارقام موجود را بازنشانی می‌کنیم: 100. و غیره.
بیایید سعی کنیم همین کار را در سیستم های 2، 3 و 5 انجام دهیم (برای سیستم 2، 3، و غیره، نام گذاری را وارد خواهیم کرد):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
اگر پایه سیستم اعداد بیش از 10 باشد، باید کاراکترهای اضافی وارد کنیم، مرسوم است که حروف الفبای لاتین را وارد کنید. به عنوان مثال، برای سیستم 12-ary، علاوه بر ده رقم، به دو حرف (s) نیاز داریم:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر.
برای تبدیل یک عدد اعشاری مثبت صحیح به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، باید این عدد را بر پایه تقسیم کنید. ضریب به دست آمده را دوباره بر پایه تقسیم کنید و بیشتر تا زمانی که ضریب از پایه کمتر شود. در نتیجه، ضریب آخر و تمام باقیمانده ها را که از آخر شروع می شوند، در یک خط بنویسید.
مثال 1.تبدیل اعشار 46 به سیستم اعداد باینری.
مثال 2.تبدیل اعشاری 672 به سیستم اعداد اکتال.
مثال 3.عدد اعشاری 934 را به نماد هگزادسیمال تبدیل کنید.
3. تبدیل از هر سیستم عددی به اعشاری.
برای اینکه یاد بگیریم چگونه اعداد را از هر سیستم دیگری به اعشار تبدیل کنیم، بیایید نماد معمول یک عدد اعشاری را تجزیه و تحلیل کنیم.
به عنوان مثال، عدد اعشاری 325 5 واحد، 2 ده و 3 صد است، یعنی.
در سایر سیستم های اعداد نیز وضعیت دقیقاً به همین منوال است، فقط ما نه در 10، 100 و غیره بلکه در درجه پایه سیستم اعداد ضرب خواهیم کرد. برای مثال، عدد سه تایی 1201 را در نظر بگیرید. بیایید ارقام را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری کنیم و عدد خود را به صورت مجموع حاصلضرب یک رقم با سه در درجه رقم عدد نشان دهیم:
این نمایش دهدهی عدد ما است، یعنی.
مثال 4.تبدیل عدد اکتال 511 به نماد اعشاری.
مثال 5.بیایید عدد هگزادسیمال 1151 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم.
4. تبدیل از سیستم باینری به سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16، و غیره).
برای تبدیل یک عدد باینری به عددی با پایه "قدرت دو"، باید دنباله دودویی را بر اساس تعداد ارقام برابر توان از راست به چپ به گروه ها تقسیم کرد و هر گروه را با رقم مربوطه جایگزین کرد. سیستم شماره جدید
به عنوان مثال، 1100001111010110 باینری را به هشتی تبدیل کنید. برای انجام این کار، آن را به گروه های 3 کاراکتری تقسیم می کنیم که از سمت راست شروع می شود (از زمان)، و سپس از جدول مطابقت استفاده می کنیم و هر گروه را با یک رقم جدید جایگزین می کنیم:
نحوه ساخت جدول مکاتبات را در بند 1 یاد گرفتیم.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
آن ها
مثال 6. 1100001111010110 باینری را به عدد هگزادسیمال تبدیل کنید.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | آ |
| 1011 | ب |
| 1100 | سی |
| 1101 | دی |
| 1110 | E |
| 1111 | اف |
5. انتقال از سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16 و غیره) به باینری.
این ترجمه مشابه ترجمه قبلی است که در جهت مخالف انجام شده است: ما هر رقم را با گروهی از ارقام در سیستم باینری از جدول جستجو جایگزین می کنیم.
مثال 7.بیایید عدد هگزادسیمال С3A6 را به یک سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم.
برای انجام این کار، هر رقم از عدد را با یک گروه 4 رقمی (از زمانی که) از جدول مطابقت جایگزین کنید، در صورت لزوم، گروه با صفر در ابتدا را اضافه کنید:
تفسیر روشی درس
اهداف معلم: نشان دادن روش های ادغام دانش از منابع مختلف به دانش آموزان، ایجاد شرایط برای کار مولد در گروه.
اهداف دانش آموزان: برای آشنایی با تاریخچه پیدایش سیستم های اعدادی، یادگیری اصول ساخت انواع سیستم های اعداد و زمینه های استفاده از آنها، کسب مهارت های لازم در کار گروهی با منابع مختلف اطلاعاتی.
در درس ریاضی کلاس پنجم، دانش‌آموزان در حین انجام تکلیف مربوط به تجزیه اعداد چند رقمی سؤالاتی داشتند: «چرا ده‌ها می‌شماریم؟ چرا نمی توانید آن را متفاوت حساب کنید؟ آیا روش های دیگری برای شمارش وجود دارد؟». از معلم خواسته شد تا با جستجو، تجزیه و تحلیل و جمع‌بندی اطلاعات مربوط به این موضوع در طول هفته، کار در گروه‌های کوچکی که از دانش‌آموزان کلاس تشکیل شده‌اند، پاسخ این سؤالات را بیابد. نتایج این کار باید رسمی و در یک هفته در یک درس ریاضی ارائه شود. در پایان کلاس، کلاس به گروه های خلاق زیر تقسیم شد:
- سیستم های اعداد (مفاهیم کلی) - 5 نفر
- سیستم باینری - 7 نفر (این سوال بیشترین علاقه را برانگیخت)
- سیستم هگزاژیمال - 5 نفر
- سیستم اعشاری - 5 نفر
- سایر سیستم های شماره - 3 نفر
- انتقال آنها از یک سیستم به سیستم دیگر - 5 نفر.
در نتیجه فعالیت های جستجوی دانش آموزان، درس زیر به دست آمد:
"اعداد بر جهان حکومت نمی کنند، بلکه نشان می دهند که جهان چگونه اداره می شود"
(و در گوته)
گروهی از دانش آموزان نتایج جستجو و کار تحلیلی را ارائه کردند.
I - مفاهیم کلی
سیستم اعداد مجموعه ای از تکنیک ها برای نشان دادن اعداد است - زبانی که الفبای آن نمادها (اعداد) است و نحو قانونی است که به شما امکان می دهد یک عدد را بدون ابهام فرموله کنید.
عدد یک موجود انتزاعی برای توصیف کمیت است
رقم علامتی است که برای نوشتن اعداد استفاده می شود. اعداد متفاوت هستند، رایج ترین اعداد عربی هستند. اعداد رومی کمتر رایج (در صفحه ساعت یا در نام قرن دیده می شود)
مبنا تعداد ارقام استفاده شده در سیستم اعداد است.
نمونه هایی از اعداد در سیستم های اعداد مختلف:
11001 2 - یک عدد در نماد دودویی
221 3 - عدد در سیستم اعداد سه تایی
31 8 - عدد در نماد هشت
25 10 - عدد در نماد اعشاری
در کتب قدیمی حساب علاوه بر 4 عمل حسابی، پنجمی نیز - شماره گذاری - ذکر شده است. شماره گذاری (حساب مرده) یکی از اولین مشکلاتی بود که در ساخت حساب با آن مواجه شد.
راه های زیادی برای نوشتن اعداد با استفاده از اعداد وجود دارد. این روش ها را می توان به سه گروه تقسیم کرد:
- سیستم های اعداد موقعیتی
- سیستم های اعداد مختلط
- سیستم های اعداد غیر موقعیتی
اسکناس ها نمونه ای از سیستم اعداد مختلط هستند. اکنون در روسیه از سکه ها و اسکناس هایی با ارزش های زیر استفاده می شود: 1kop.، 5kop.، 10kop.، 50kop.، 1RUB.، 2RUB.، 5RUB.، 10RUB.، 50RUB.، 100RUB.، 500RUB.، 1000RUB. 5000 روبل. برای دریافت مقدار مشخصی به روبل، باید از مقدار مشخصی اسکناس با ارزش های مختلف استفاده کنید. فرض کنید ما یک جاروبرقی می خریدیم که قیمت آن 6379 روبل است. برای پرداخت هزینه خرید، به 6 اسکناس 1000 روبلی، 3 اسکناس 100 روبلی، 1 اسکناس پنجاه روبلی، دو ده، یک پنج روبلی و دو سکه 2 روبلی نیاز دارید. اگر تعداد اسکناس ها و سکه ها را بنویسیم که از 100 روبل شروع می شود و با یک کوپک ختم می شود و ارزش های گمشده را با صفر جایگزین می کنیم، عددی را در سیستم اعداد مختلط دریافت می کنیم: در مورد ما - 603121200000.
در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، مقدار یک عدد به موقعیت ارقام در رکورد اعداد بستگی ندارد. اگر اعداد موجود در عدد 603121200000 را با هم مخلوط کنیم، نمی توانیم بفهمیم که یک جاروبرقی چقدر هزینه دارد. در یک سیستم غیر موقعیتی، اعداد را می توان بدون تغییر مقدار دوباره مرتب کرد. نمونه ای از یک سیستم غیر موقعیتی، سیستم رومی است. چنین سیستم هایی بر اساس اصل افزودنی (به انگلیسی add. - sum) ساخته شده اند. معادل کمی یک عدد به عنوان مجموع ارقام تعریف می شود. برای مثال:
در سیستم های اعداد موقعیتی، ترتیب ارقام در رکورد اعداد همیشه مهم است. (25 و 52 اعداد متفاوتی هستند)
هر سیستم شماره ای که برای استفاده عملی در نظر گرفته شده است باید ارائه دهد:
- توانایی نمایش یک عدد در محدوده معینی از اعداد
- ارائه بدون ابهام
- کوتاهی و سادگی ضبط
- سهولت تسلط بر سیستم و همچنین سادگی و راحتی کار با آن
II - سیستم اعداد باینری
سیستم اعداد باینری یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2 است. در این سیستم اعداد اعداد طبیعی با استفاده از دو کاراکتر 1 و 0 نوشته می شوند. عدد در سیستم باینری کمی است. هشت رقم یک بایت است.
سیستم اعداد دودویی توسط ریاضیدانان و فیلسوفان در قرن 17-19 اختراع شد. ریاضیدان برجسته لایب نیتس گفت: "محاسبه با کمک دو تایی... برای علم اساسی است و اکتشافات جدیدی را به وجود می آورد... وقتی اعداد به ساده ترین اصول یعنی 0 و 1 کاهش می یابند، نظم شگفت انگیزی در همه جا ظاهر می شود. " بعدها، سیستم باینری فراموش شد و تنها در سال های 1936-1938، مهندس و ریاضیدان آمریکایی، کلود شانون، کاربرد شگفت انگیزی از سیستم باینری در طراحی مدارهای الکترونیکی یافت.
سیستم باینری در دستگاه های دیجیتال استفاده می شود زیرا ساده ترین است.
مزایای سیستم باینری:
- هرچه مقادیر کمتری در سیستم وجود داشته باشد، تولید عناصر فردی که با این مقادیر کار می کنند آسان تر است. دو عدد به راحتی توسط پدیده های فیزیکی نشان داده می شوند: جریان وجود دارد - جریان وجود ندارد. القای میدان مغناطیسی بیشتر از مقدار آستانه است یا نه و غیره.
- هرچه تعداد حالت های یک عنصر کمتر باشد، ایمنی نویز بالاتری دارد و سریعتر می تواند کار کند.
- محاسبات باینری بسیار ساده است.
- می توان از دستگاه منطق برای انجام عملیات بیتی استفاده کرد
برای تبدیل از باینری به اعشاری از جدول قدرت 2 استفاده کنید.
III - سیستم اعداد هگزاسیمال
در دوران مدرن، از سیستم اعداد جنسی کوچک برای اندازه گیری زمان، زوایا استفاده می شود.
در نمایش زمان از سه موقعیت ساعت، دقیقه، ثانیه استفاده می شود، زیرا برای هر موقعیت باید از 60 رقم استفاده کنید و ما فقط 10 رقم داریم، سپس برای هر موقعیت جنسی کوچک از دو رقم اعشاری استفاده می شود (00، 01، . ..)، موقعیت ها با یک کولون از هم جدا می شوند. h: m: s.
اقدامات در سیستم اعداد جنسی کوچک بر روی دو مشکل را در نظر بگیرید:
- پای باید به مدت 45 دقیقه در فر بپزد. چند ثانیه طول می کشد؟
- شما باید 10 عدد پای را بپزید. چقد طول میکشه؟
برای انجام محاسبات در سیستم اعداد جنسی کوچک، باید جداول جمع و ضرب اعداد سکس را بدانید. هر جدول بسیار بزرگ است، اندازه آن 60 * 60 است، ما به سختی جدول ضرب معمول را به یاد آوردیم، و یادگیری جدول دهه شصت برای ما دشوارتر خواهد بود. چگونه بودن؟ شما می توانید این مشکلات را در نماد اعشاری حل کنید، و سپس نتیجه را به sixagesimal ترجمه کنید.
45 دقیقه = 0 * 3600 + 45 * 60 + 0 = 2700 ثانیه
2700 * 10 = 27000 ثانیه طول می کشد تا 10 پای پخته شود.
27000/60 = 450 (بقیه 0)
450/60 = 7 (باقی مانده 30)
7/60 = 0 (باقی مانده 7) معلوم شد 07:30:00
IV - سیستم اعداد اعشاری
نمایش اعداد با استفاده از اعداد عربی رایج ترین سیستم اعداد موقعیتی است که به آن "سیستم اعداد اعشاری" می گویند. اعشاری نامیده می شود زیرا از ده رقم استفاده می کند: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. سیستم اعداد اعشاری مشهورترین دستاورد ریاضیات هندی است (595). سامانه بیس 10 در مسیرهای کاروانی از هند به بسیاری از مناطق خاورمیانه نفوذ کرد. به تدریج، این سیستم بیشتر و بیشتر در جهان عرب مورد استفاده قرار گرفت، اگرچه سیستم های دیگر در همان زمان مورد استفاده قرار گرفتند. «کتاب چرتکه» اثر لئوناردو پیزا (1202) یکی از منابع نفوذ سیستم شماره گذاری هند و عربی به اروپای غربی بود. این کتاب در آن زمان یک اثر عظیم بود، به صورت چاپی شامل 460 صفحه بود. نویسنده آن با نام فیبوناچی نیز شناخته می شود. کتاب او معرف دایره المعارف ریاضی زمان خود بود. سیستم اعشاری تنها در دوران رنسانس در اروپا رایج شد و به رسمیت شناخته شد.
V - سایر سیستم های اعداد
سیستم اعداد هگزادسیمال - از علائم زیر برای نوشتن اعداد استفاده می شود: 0، 1،2،3،4،5،6،7،8،9، A، B، C، D، E، F.
سیستم اعداد باینری-اعشاری. در چنین سیستمی، هر رقم اعشاری با ترکیب خاصی از ارقام در سیستم باینری کدگذاری می شود. تعیین هر رقم اعشاری را دفترچه یادداشت می گویند. مثال:
125 10 = 000100100101 2-10 (3 تتراد)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
سیستم اعداد پنج برابری - اولین ریاضیدانان می توانستند فقط روی انگشتان یک دست بشمارند و اگر اشیاء بیشتری وجود داشت می گفتند: "پنج + یک" و غیره. گاهی اوقات عدد 20 به عنوان پایه در نظر گرفته می شد - تعداد انگشتان دست و پا. از 307 سیستم عددی مردمان اولیه آمریکا، 146 عدد اعشاری، 106 عدد پنجگانه و اعشاری بودند. در شکل مشخص تر، سیستم پایه 20 در میان مایاها در مکزیک و سلت ها در اروپا وجود داشت.
VI - انتقال از یک سیستم به سیستم دیگر
آیا سیستم های اعداد مرتبط هستند؟ آیا امکان انتقال عدد از یک سیستم به سیستم دیگر وجود دارد؟ دو قانون اساسی برای انتقال از یک سیستم به سیستم دیگر وجود دارد:
تبدیل از هر سیستم دیگر به اعشاری طبق فرمول انجام می شود:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
تبدیل یک عدد از سیستم اعشاری به یک سیستم با هر پایه طبق الگوریتم انجام می شود:
25 10 را به باینری تبدیل کنید
25/2 = 12 (باقی مانده 1)
12/2 = 6 (باقی مانده 0)
6/2 = 3 (باقی مانده 0)
3/2 = 1 (باقی مانده 1)
1/2 = 0 (باقی مانده 1) شماره 11001 2 را دریافت کرد
25 10 به عدد سه تایی تبدیل می شود
25/3 = 8 (باقيمانده 1)
8/3 = 2 (باقيمانده 2)
2/3 = 0 (باقی مانده 2) دریافت 221 3
25 10 را به عدد اکتالی تبدیل کنید
25/8 = 3 (باقيمانده 1)
3/8 = 0 (باقی مانده 3) 31 8 دریافت شد
پس از ارائه نتایج کار گروه های خلاق، تمامی سیستم های اعداد بر اساس معیارهایی که در ابتدا ذکر شد مورد ارزیابی قرار گرفت و همه به این نتیجه رسیدند که در نتیجه پیشرفت تاریخی ریاضیات، راحت ترین سیستم (اعشاری) است. به گسترده ترین تبدیل شده است. در همان زمان، طرفداران سرسخت سیستم باینری وجود داشتند که معتقد بودند این سیستم برای الکترونیک بسیار مهم است.
درس تموم شد syncwine بود.
سیستم شماره - راحت، سریع، کمک می کند، شمارش می کند، یادداشت می کند
«شمارش و محاسبه اساس نظم در سر است» (I. Pestalozzi)
منبع اطلاعات
- D.Ya. استرویک "طرح مختصری از تاریخ ریاضیات" ("علم"، مسکو، 1990).
- N. Ya. ویلنکین، L.P. شیباسوف، ز.ف. شیباسوف "پشت صفحات کتاب درسی ریاضیات" ("روشنگری"، مسکو، 2008).
- A.V. دوروفیوا "صفحات تاریخ در درس های ریاضیات" ("روشنگری"، مسکو، 2007).
- منابع اینترنتی "ویکی پدیا".
ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. اعداد می توانند حداکثر 30 کاراکتر باشند. از نماد برای وارد کردن اعداد کسری استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن ترجمه کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.
شماره اصلی ثبت شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -ام سیستم اعداد.
من می خواهم یک رکورد از شماره در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.
رکورد دریافت کنید
ترجمه های کامل: 1419274
سیستم های اعداد
سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست... ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، و همچنین رومی وجود دارد - این فقط موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. این را با در نظر گرفتن مثال یک عدد به راحتی می توان فهمید.
مثال 1... بیایید عدد 5921 را به صورت اعشاری در نظر بگیریم. با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:
عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را تعیین می کند. مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
مثال 2... عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و راست شماره گذاری کنیم:
عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 0 + 4 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
ساده ترین راه برای انتقال یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که عدد را ابتدا به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه به دست آمده را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری
برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را از صفر شروع کنید (محل سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. عدد بر اساس سیستم اعداد در توان موقعیت این رقم:
1.
عدد 1001101.1101 2 را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
E8F.2D 16 را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0.125 + 0.05078125 = 3727.151
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه ترجمه شوند.
تبدیل قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
قسمت صحیح از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگری با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا کل باقیمانده که کمتر از پایه سیستم اعداد است بدست آید. نتیجه انتقال یک ورودی از موجودی خواهد بود که با آخرین مورد شروع می شود.
3.
تبدیل عدد 273 10 به سیستم اعداد اکتالی.
راه حل: 273/8 = 34 و باقیمانده 1، 34/8 = 4 و باقیمانده 2، 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبات کامل است. رکورد باقیمانده به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8
بیایید ترجمه کسرهای اعشاری صحیح را در سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.
تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
به یاد بیاورید که کسر اعشاری صحیح نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر... برای تبدیل چنین عددی به سیستم اعداد پایه N، باید عدد را به ترتیب در N ضرب کنید تا قسمت کسری صفر شود یا تعداد ارقام مورد نیاز به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با یک قسمت صحیح متفاوت از صفر به دست آید، آنگاه قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.
4.
تبدیل عدد باینری 0.125 10.
راه حل: 0.125 2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25 2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5 2 = 1.0 (1 رقم سوم نتیجه است. ، و از آنجایی که جزء کسری برابر با صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2
