استرس کلی در یک نقطه مقاومت مصالح

تنش ها با یک مقدار و جهت عددی مشخص می شوند، یعنی تنش بردار است که در یک زاویه به بخش مورد نظر تمایل دارد.

اجازه دهید در نقطه M از هر بخش از بدن نیروی F بر روی ناحیه کوچک A با زاویه معینی نسبت به آن ناحیه وارد شود (شکل 63، a). با تقسیم این نیروی F بر ناحیه A، تنش متوسط ​​ایجاد شده در نقطه M را پیدا می کنیم (شکل 63، b):

تنش های واقعی در نقطه M هنگام عبور از حد تعیین می شود

کمیت برداری آرتماس گرفت ولتاژ کاملدر نقطه

ولتاژ کامل آررا می توان به اجزاء تجزیه کرد: در امتداد نرمال (عمود) به محل A و مماس بر آن (شکل 63، ج).

جزء تنش نرمال تنش نرمال در یک نقطه معین از بخش نامیده می شود و با حرف یونانی (سیگما) نشان داده می شود. جزء مماسی تنش برشی نامیده می شود و با حرف یونانی (tau) نشان داده می شود.

تنش معمولی که به دور از بخش هدایت می شود، مثبت و آن فشاری که به سمت بخش هدایت می شود منفی در نظر گرفته می شود.

تنش‌های معمولی زمانی ایجاد می‌شوند که تحت تأثیر نیروهای خارجی، ذرات واقع در دو طرف مقطع تمایل به دور شدن از یکدیگر یا نزدیک‌تر شدن به یکدیگر دارند. تنش های برشی زمانی ایجاد می شوند که ذرات تمایل به حرکت نسبت به یکدیگر در صفحه مقطع دارند.

تنش برشی را می توان در امتداد محورهای مختصات به دو جزء تجزیه کرد و (شکل 1.6، ج). شاخص اول در نشان می دهد که کدام محور عمود بر مقطع است، دوم - به موازات کدام محور تنش عمل می کند. اگر جهت تنش برشی در محاسبات مهم نباشد، بدون زیرنویس نشان داده می شود.

بین ولتاژ کل و اجزای آن رابطه وجود دارد

تنشی که در آن تخریب مواد رخ می دهد یا تغییر شکل پلاستیک قابل توجهی رخ می دهد، تنش محدود نامیده می شود.

همانطور که در بالا ذکر شد، نیروهای داخلی که در یک بخش خاص از سمت قسمت پرتاب شده بدن وارد می شوند را می توان به بردار اصلی و ممان اصلی کاهش داد. بیایید موضوع را درست کنیم مدر بخش مورد نظر با بردار نرمال واحد n. در مجاورت این نقطه، منطقه کوچکی را انتخاب می کنیم اف. بردار اصلی نیروهای داخلی وارد بر این سایت با نشان داده می شود پ(عکس. 1 آ). زمانی که اندازه سایت را متناسب با آن کاهش دهید

عکس. 1.ترکیب بردار ولتاژ.
الف) بردار تنش کل ب) بردار تنش های معمولی و مماسی

بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای داخلی کاهش می یابد و ممان اصلی به میزان بیشتری کاهش می یابد. در حد در ما دریافت می کنیم

یک حد مشابه برای لحظه اصلی صفر است. بردار به این صورت معرفی شده است р nتماس گرفت بردار تنش ها در یک نقطهاین بردار نه تنها به نیروهای خارجی وارد بر جسم و مختصات نقطه مورد نظر، بلکه به جهت گیری در فضای سایت نیز بستگی دارد. اف، با بردار مشخص می شود پ. مجموعه تمام بردارهای تنش در یک نقطه مبرای تمام جهت های برداری ممکن پوضعیت استرس را در این مرحله تعیین می کند.

به طور کلی جهت بردار تنش р nبا جهت بردار نرمال منطبق نیست پ. برجستگی بردار n بر روی جهت بردار n تنش نرمال نامیده می شود و برآمدگی بر روی صفحه ای که از نقطه M می گذرد و متعامد بر بردار n است. , — تنش برشی(عکس. 1 ب).

بعد تنش برابر است با نسبت بعد نیرو به بعد مساحت. در سیستم بین المللی واحدهای SI، تنش ها با پاسکال اندازه گیری می شوند: 1 Pa = 1 N/m 2.

تحت تأثیر نیروهای خارجی، همراه با ایجاد تنش، تغییر در حجم بدن و شکل آن رخ می دهد، یعنی بدن تغییر شکل می دهد. در این حالت بین حالت اولیه (تغییر شکل) و نهایی (تغییر شکل) بدن تمایز قائل می شود.

اجازه دهید بدن تغییرشکل نیافته را به سیستم مختصات دکارتی مرتبط کنیم Oxyz(شکل 2). موقعیت یک نقطه مدر این سیستم مختصات توسط بردار شعاع تعیین می شود r (x، y، z).در حالت تغییر شکل، نقطه مموضع جدیدی اتخاذ خواهد کرد M/،با بردار شعاع مشخص می شود r" (x، y، z).بردار u=r"rتماس گرفت بردار، جابجایینکته ها م.پیش بینی های برداری تواجزای بردار جابجایی بر روی محورهای مختصات تعیین می شود u(x، y، z)، v(x، y، z)، w(x، y، z)،تفاوت مساوی در مختصات دکارتی یک نقطه بدن بعد و قبل از تغییر شکل.

حرکتی که در آن موقعیت نسبی نقاط بدن تغییر نمی کند با تغییر شکل همراه نیست. در این مورد، آنها می گویند که بدن به عنوان یک کل صلب حرکت می کند (حرکت خطی در فضا یا چرخش نسبت به نقطه ای). از سوی دیگر، تغییر شکل ناشی از تغییر شکل جسم و حجم آن بدون حرکت دادن نقاط آن غیرممکن است.

شکل 2.ترکیب برداری حرکت

تغییر شکل بدن با تغییر در موقعیت نسبی نقاط بدن قبل و بعد از تغییر شکل مشخص می شود. به عنوان مثال، نکته را در نظر بگیرید مو نقطه ای نزدیک به آن N،فاصله بین آنها در حالت تغییر شکل نیافته در امتداد جهت بردار s با (شکل 2) نشان داده می شود. در حالت تغییر شکل نقطه مو نبه موقعیت جدیدی منتقل می شود (امتیاز م"و ن) که فاصله بین آنها با نشان داده می شود اس".حد نسبت

تماس گرفت تغییر شکل خطی نسبیدر نقطه مدر جهت بردار s، شکل 3. در نظر گرفتن سه جهت عمود بر یکدیگر، به عنوان مثال، در امتداد محورهای مختصات اوه، اوهو اوز، ما سه جزء از تغییر شکل های خطی نسبی را به دست می آوریم که تغییر در حجم بدنه در طول فرآیند تغییر شکل را مشخص می کند.

برای توصیف تغییر شکل های مرتبط با تغییر شکل بدن، این نکته را در نظر بگیرید مو دو نقطه نزدیک به آن نو R،در یک حالت تغییر شکل نیافته در جهت دو بردار متعامد متعامد قرار دارد s 1و s 2. ما فواصل بین نقاط را با و (شکل 4) نشان می دهیم. در حالت تغییر شکل، موقعیت نقاط با نشان داده می شود M، N"و R".زاویه بین بخش ها م"ن"و آقای"در حالت کلی با حالت مستقیم متفاوت خواهد بود. در , تغییر زاویه بین دو جهت متعامد به تغییر شکل نامیده می شود تغییر شکل زاویه ایهمانطور که در شکل دیده میشود. شکل 4، تغییر شکل زاویه ای از دو زاویه تشکیل شده است و با چرخش قطعات مرتبط است MN"و آقای""در صفحه ای که بردارها تشکیل می دهند s 1و s 2، نسبت به این بردارها. اگر سه بردار متعامد متعامد در امتداد محورهای مختصات داده شود، سه تغییر شکل زاویه ای وجود دارد، و , که همراه با سه تغییر شکل خطی، و وضعیت تغییر شکل را در یک نقطه به طور کامل تعیین کنید.

شکل 3.ترکیب کرنش خطی

برنج. 4.ترکیب تغییر شکل زاویه ای

وضعیت استرس در یک نقطه. تانسور استرس

بردار استرس p nیک جسم فیزیکی است که طول، جهت و نقطه کاربرد دارد. از این نظر دارای خواص برداری است. با این حال، این شی دارای برخی از خصوصیات است که مشخصه بردارها نیست. به طور خاص، بزرگی و جهت بردار تنش به جهت گیری بردار بستگی دارد nنرمال های یک عنصر سطحی بی نهایت کوچک dFمجموعه تمام جفت های ممکن بردار p, p nدر یک نقطه تعریف می کند حالت تنشدر این نقطه با این حال، برای توصیف کامل حالت تحت فشار در یک نقطه، نیازی به تعیین تعداد نامتناهی جهت برداری نیست. nکافی است بردارهای تنش را در سه ناحیه ابتدایی عمود بر هم تعیین کنیم. تنش های روی نواحی با جهت گیری دلخواه را می توان بر حسب این سه بردار تنش بیان کرد. متعاقباً، مدرس به طور عمدی جهت مختصات را تغییر می دهد. پس محور زمحور طولی تیر، و ایکسو Yمختصات هر نقطه از مقطع آن

بیایید از طریق نقطه ترسیم کنیم مسه صفحه متقابل عمود بردار با بردارهای معمولی که جهت آنها با جهت محورهای مختصات منطبق است. ما سکوهای ابتدایی را با بخش های اضافی موازی با صفحات اصلی تشکیل می دهیم و در فواصل بینهایت کوچک از آنها فاصله می گیریم. dx, dy، dz.در نتیجه در مجاورت نقطه مما یک متوازی الاضلاع بی نهایت کوچک به دست می آوریم که سطح آن توسط مناطق ابتدایی تشکیل شده است dF x =dydz، dF n ==dxdz، dF i =dxdy.بردارهای استرس p x , p y , p z،عملیات در سایت های ابتدایی در شکل نشان داده شده است. 5.

اجازه دهید هر بردار تنش را به اجزایی در امتداد محورهای مختصات تجزیه کنیم (شکل 6). هر سایت یکی دارد ولتاژ معمولی , , , که در آن شاخص جهت بردار نرمال به سایت و دو را نشان می دهد تنش مماسیبا دو شاخص که اولی جهت عمل مولفه تنش و دومی جهت بردار نرمال به محل را نشان می دهد.

برنج. 5.حالت تعادل یک متوازی الاضلاع بینهایت کوچک

شکل 6.اجزای تانسور حالت تنش

مجموعه نه مولفه تنش (سه مولفه در هر سه ناحیه عمود بر یکدیگر) یک جسم فیزیکی معین به نام تانسور استرسدر نقطه تانسور را می توان به صورت یک ماتریس با ترتیب دادن 9 جزء بر این اساس نشان داد:

برای مولفه های تانسور تنش، قانون علامت زیر به طور کلی پذیرفته شده است: یک جزء مثبت در نظر گرفته می شود اگر در ناحیه ای با نرمال خارجی مثبت (یعنی در امتداد یکی از محورهای مختصات هدایت شود)، این جزء به سمت جهت مثبت جهت گیری شود. محور مربوطه در شکل در شکل 6، تمام اجزای تانسور تنش به صورت مثبت نشان داده شده است. در نواحی با نرمال خارجی منفی (صورتهای موازی که در شکل 5 و 6 قابل مشاهده نیستند)، جزء مثبت در جهت مخالف هدایت می شود. تنش های روی سه ناحیه متعامد متعامد با جهت نرمال منفی نیز وضعیت تنش را در یک نقطه مشخص می کند. این تنش ها که اجزای تانسور تنش هستند، مشابه تنش های روی نواحی با نرمال مثبت تعیین می شوند. آنها با نمادهای یکسان مشخص می شوند و جهت مثبتی برخلاف آنچه در شکل نشان داده شده است دارند. 6.

ولتاژشدت عمل نیروهای داخلی در یک نقطه از بدن نامیده می شود، یعنی تنش نیروی داخلی در واحد سطح است. به دلیل ماهیت خود، تنش در سطوح داخلی تماس بین اعضای بدن ایجاد می شود. تنش، و همچنین شدت بار سطح خارجی، بر حسب واحد نیرو در واحد سطح بیان می‌شود: Pa = N/m 2 (MPa = 10 6 N/m 2، kgf/cm 2 = 98066 Pa ≈ 10 5 Pa ، tf/m2 و غیره).

بیایید یک منطقه کوچک را انتخاب کنیم ∆A. اجازه دهید نیروی داخلی وارد بر آن را به صورت ∆\vec(R) نشان دهیم. میانگین کل استرس در این سایت \vec(р) = ∆\vec(R)/∆A است. بیایید حد این نسبت را در ∆A \ به 0 پیدا کنیم. این کشش کامل در این ناحیه (نقطه) بدن خواهد بود.

\textstyle \vec(p) = \lim_(\Delta A \ به 0) (\Delta\vec(R)\over \Delta A)

تنش کل \vec p، مانند برآیند نیروهای داخلی اعمال شده بر یک ناحیه ابتدایی، یک کمیت برداری است و می تواند به دو جزء تجزیه شود: عمود بر ناحیه مورد نظر - تنش نرمال σ nو مماس بر سایت – تنش مماسی \tau_n. اینجا n- عادی به منطقه انتخاب شده.

تنش برشی به نوبه خود می تواند به دو جزء موازی با محورهای مختصات تجزیه شود x، y، مرتبط با مقطع - \tau_(nx)، \tau_(ny). در نام تنش برشی، شاخص اول نشان دهنده نرمال به محل، شاخص دوم نشان دهنده جهت تنش برشی است.

$$\vec(p) = \left[\matrix(\sigma _n \\ \tau _(nx) \\ \tau _(nx)) \راست]$$

توجه داشته باشید که در آینده عمدتاً نه با تنش کل \vec p، بلکه با اجزای آن σ_x,\tau _(xy), \tau _(xz) سروکار خواهیم داشت. به طور کلی دو نوع تنش می تواند در محل ایجاد شود: σ نرمال و مماسی τ .

تانسور استرس

هنگام تجزیه و تحلیل تنش ها در مجاورت نقطه مورد نظر، یک عنصر حجمی بی نهایت کوچک (موازی با اضلاع) dx، dy، dz) که در امتداد هر وجه از آن، به طور کلی، سه تنش وجود دارد، به عنوان مثال، برای یک وجه عمود بر محور x (صفحه x) – σ_x,\tau _(xy),\tau _(xz)

اجزای تنش در امتداد سه وجه عمود بر عنصر، یک سیستم تنش را تشکیل می‌دهند که توسط یک ماتریس خاص توصیف می‌شود. تانسور استرس

$$ T _\sigma = \left[\matrix(
\sigma _x & \tau _(yx) & \tau _(zx) \\
\tau _(xy) & \sigma _y & \tau _(zy) \\ \tau _(xz) & \tau _(yz) & \sigma _z
)\راست]$$

در اینجا ستون اول مولفه های تنش در سایت ها را نشان می دهد،
نرمال به محور x، دوم و سوم - به ترتیب به محور y و z.

هنگام چرخش محورهای مختصاتی که منطبق با حالت عادی به وجه های انتخاب شده است
عنصر، مولفه های استرس تغییر می کند. با چرخاندن عنصر انتخاب شده حول محورهای مختصات، می توانید موقعیتی از عنصر را پیدا کنید که در آن تمام تنش های برشی روی وجوه عنصر برابر با صفر باشد.

ناحیه ای که تنش های برشی روی آن صفر است نامیده می شود پلت فرم اصلی .

ولتاژ معمولی در سایت اصلی نامیده می شود استرس اصلی

نرمال به ناحیه اصلی نامیده می شود محور تنش اصلی .

در هر نقطه، سه سکوی اصلی عمود بر یکدیگر را می توان ترسیم کرد.

هنگام چرخش محورهای مختصات، اجزای تنش تغییر می کند، اما حالت تنش-کرنش بدن (SSS) تغییر نمی کند.

نیروهای داخلی نتیجه وارد کردن نیروهای داخلی اعمال شده به نواحی ابتدایی به مرکز مقطع هستند. تنش معیاری است که توزیع نیروهای داخلی در یک بخش را مشخص می کند.

بیایید فرض کنیم که ولتاژ هر ناحیه ابتدایی را می دانیم. سپس می توانیم بنویسیم:

نیروی طولی در سایت dA: dN = σ z dA
نیروی برشی در امتداد محور x: dQ x = \tau (zx) dA
نیروی برشی در امتداد محور y: dQ y = \tau (zy) dA
گشتاورهای ابتدایی حول محورهای x، y، z: $$\begin(array)(lcr) dM _x = σ _z dA \cdot y \\ dM _y = σ _z dA \cdot x \\ dM _z = dM _k = \ tau _(zy) dA \cdot x - \tau _(zx) dA \cdot y \end(آرایه)$$

پس از انجام یکپارچه سازی در سطح مقطع، به دست می آوریم:

یعنی هر نیروی درونی نتیجه کل اعمال تنش ها در کل سطح مقطع بدنه است.

اندازه گیری شدت نیروهای داخلی توزیع شده بر روی مقاطع، تنش-نیروها در واحد سطح مقطع است. اجازه دهید نقطه ای را در همسایگی انتخاب کنیم بمنطقه کوچک Δ اف(شکل 3.1). اجازه دهید Δ آر- حاصل نیروهای داخلی وارد بر این ناحیه. سپس مقدار میانگین نیروهای داخلی در واحد سطح Δ افسایت مورد نظر برابر خواهد بود با:

برنج. 3.1. میانگین ولتاژ سایت

اندازه پمترتماس گرفت ولتاژ متوسط. میانگین شدت نیروهای داخلی را مشخص می کند. با کاهش ابعاد مساحت، در حدی که به دست می آوریم

اندازه پاسترس واقعی یا به سادگی استرس در یک نقطه معین در یک بخش معین نامیده می شود.

واحد تنش پاسکال است، 1 Pa = 1 N/m2. از آنجایی که مقادیر واقعی تنش در اعداد بسیار بزرگ بیان می شوند، باید از مقادیر واحدهای متعدد استفاده کرد، به عنوان مثال MPa (مگا پاسکال) 1 MPa = 10 6 N/m 2.

تنش ها مانند نیروها کمیت های برداری هستند. در هر نقطه از بخش بدن ولتاژ کامل پرا می توان به دو جزء تجزیه کرد (شکل 3.2):

1) جزء نرمال به صفحه مقطع. این جزء نامیده می شود ولتاژ معمولیو تعیین شده است σ ;

2) یک جزء خوابیده (در صفحه مقطع. این جزء تعیین شده است τ و نامیده می شود تنش برشی. تنش مماسی بسته به نیروهای عامل می تواند هر جهتی در صفحه مقطع داشته باشد. برای راحتی τ در قالب دو جزء در جهت محورهای مختصات ارائه شده است. تعیین ولتاژ پذیرفته شده در شکل نشان داده شده است. 3.2

ولتاژ معمولی دارای شاخصی است که نشان می دهد این ولتاژ با کدام محور مختصات موازی است. تنش نرمال کششی مثبت و تنش نرمال فشاری منفی در نظر گرفته می شود.. تعیین تنش های مماسی دارای دو شاخص است: اولی نشان می دهد که نرمال نسبت به ناحیه عمل تنش معین با کدام محور موازی است و دومی نشان می دهد که خود تنش با کدام محور موازی است. تجزیه تنش کل به نرمال و مماسی معنای فیزیکی خاصی دارد. تنش معمولی زمانی رخ می دهد که ذرات یک ماده تمایل به دور شدن از یکدیگر یا برعکس نزدیک شدن دارند. تنش های مماسی با جابجایی ذرات ماده در امتداد صفحه مقطع همراه است.

برنج. 3.2. تجزیه بردار ولتاژ کل

اگر به صورت ذهنی یک عنصر را به شکل یک مکعب بینهایت کوچک در اطراف نقطه ای از بدن برش دهید، تنش های نشان داده شده در شکل 1 به طور کلی در امتداد لبه های آن اعمال می شود. 3.3. مجموع تنش‌های وارده به تمام نواحی ابتدایی که می‌توان از هر نقطه‌ای از بدن عبور دادتماس گرفت حالت تحت فشار در یک نقطه مشخص.

اجازه دهید مجموع گشتاورهای تمام نیروهای بنیادی وارد بر عنصر (شکل 3.3) را نسبت به محورهای مختصات، به عنوان مثال، برای محور محاسبه کنیم. ایکسبا در نظر گرفتن تعادل عنصر، داریم: