نتیجه قبلاً دریافت شده است!
سیستم های اعداد
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم موقعیتی است، اما سیستم رومی اینطور نیست. در سیستم‌های عددی موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصربه‌فرد بزرگی عدد را تعیین می‌کند. بیایید با استفاده از عدد اعشاری 6372 به عنوان مثال به این نگاه کنیم. بیایید با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ بشماریم:
سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نمایش داد:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری کنیم:
سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + 2 · 10 10 -3.
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
C n س n + C n-1 س n-1 + ... + C 1 س 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
که در آن Ц n یک عدد صحیح در موقعیت است n، Д -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم های اعداد اعداد در سیستم اعداد اعشاری از ارقام زیادی تشکیل شده است (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، در سیستم اعداد هشتگانه - از مجموعه ای از اعداد (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم اعداد باینری - از مجموعه ارقام (0،1)، در سیستم اعداد هگزادسیمال - از مجموعه اعداد (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9، A، B، C، D، E، F)، که در آن A، B، C، D، E، F با اعداد 10،11 مطابقت دارد. اعداد، 12،13،14،15 در سیستم های اعداد مختلف ارائه شده است.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | دی |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | اف |
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری
با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.
مثال 1. عدد 1011101.001 را از نماد دودویی (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125
مثال2. 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
مثال 3 ... عدد AB572.CDF را از پایه هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- تا 15
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.
قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری تبدیل می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای یک SS باینری - بر 2، برای یک SS 8 عددی - بر 8، برای 16-ary - در 16، و غیره) ) تا زمانی که یک باقیمانده کامل، کمتر از CC پایه به دست آید.
مثال 4 ... بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که از شکل مشاهده می شود. 1، عدد 159 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 را می دهد. علاوه بر این، عدد 79 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 را می دهد و به همین ترتیب. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، عدد را در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 ... بنابراین می توانیم بنویسیم:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 ... بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از 8 به دست آید. عدد را در SS octal دریافت می کنیم: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین می توانیم بنویسیم:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 ... عدد 19673 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنید.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی 19673 بر 16، مابقی 4، 12، 13، 9 را به دست آوردیم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.
برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به پایه s، این عدد باید به صورت متوالی در s ضرب شود تا زمانی که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید، در غیر این صورت تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب یک عدد غیرصفر با یک قسمت صحیح باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب به نتیجه اضافه می شوند).
بیایید با مثال موارد فوق را در نظر بگیریم.
مثال 7 ... عدد 0.214 را از اعشاری به SS باینری تبدیل کنید.
| 0.214 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. اگر حاصل ضرب یک عدد غیرصفر با یک قسمت صحیح باشد، آنگاه قسمت صحیح جداگانه (در سمت چپ عدد) نوشته می شود و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر هنگام ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم اعداد باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .
بنابراین می توانیم بنویسیم:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 ... بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری، این عدد به ترتیب در 2 ضرب می شود. در مرحله سوم، 0 شد. بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 ... بیایید عدد 0.214 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد 12 و 11 با اعداد C و B مطابقت دارند. بنابراین، داریم:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
مثال 10 ... تبدیل اعشاری به اعشاری SS 0.512.
| 0.512 | ||
| ایکس | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.728 |
اخذ شده:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 ... تبدیل عدد 159.125 از اعشاری به باینری SS. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به دست می آوریم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 ... تبدیل عدد 19673.214 از اعشاری به SS هگزادسیمال. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به دست می آوریم.
بیایید به یکی از مهمترین موضوعات در علوم کامپیوتر نگاه کنیم -. در برنامه درسی مدرسه، به احتمال زیاد به دلیل کمبود ساعات اختصاص داده شده به آن، نسبتاً "متواضعانه" آشکار می شود. دانش در مورد این موضوع، به ویژه در ترجمه سیستم های اعداد، پیش نیاز ارائه موفقیت آمیز آزمون یکپارچه دولتی و پذیرش در دانشگاه ها در دانشکده های مربوطه می باشد. در زیر به تفصیل مفاهیمی از قبیل سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی، نمونه هایی از این سیستم های اعداد آورده شده است، قوانین تبدیل اعداد اعشاری کامل، کسرهای اعشاری منظم و اعداد اعشاری مختلط به هر سیستم اعداد دیگری، تبدیل اعداد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، تبدیل سیستم های اعداد هشت و هگزادسیمال به یک عدد باینری. سیستم ارائه شده است. در امتحانات، تعداد زیادی از مشکلات در این موضوع وجود دارد. توانایی حل آنها یکی از الزامات متقاضیان است. به زودی: برای هر موضوع از بخش، علاوه بر مطالب تئوری دقیق، تقریباً تمام گزینه های ممکن ارائه خواهد شد. وظایفبرای خودآموزی علاوه بر این، این امکان را خواهید داشت که راه حل های کاملاً آماده و دقیق برای رفع این مشکلات را از سرویس میزبانی فایل به صورت رایگان دانلود کنید و راه های مختلفی برای دریافت پاسخ صحیح را به تصویر بکشید.
سیستم های اعداد موقعیتی
سیستم های اعداد غیر موقعیتی- سیستم های عددی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی ندارد.
سیستم های اعداد غیر موقعیتی شامل، به عنوان مثال، رومی هستند، که در آن به جای اعداد، حروف لاتین وجود دارد.
| من | 1 (یک) |
| V | 5 (پنج) |
| ایکس | 10 (ده) |
| L | 50 (پنجاه) |
| سی | 100 (صد) |
| دی | 500 (پانصد) |
| م | 1000 (هزار) |
در اینجا حرف V صرف نظر از مکان آن مخفف 5 است. با این حال، قابل ذکر است که اگرچه سیستم اعداد رومی یک نمونه کلاسیک از سیستم اعداد غیر موقعیتی است، اما کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا عدد کوچکتر قبل از عدد بزرگتر از آن کم می شود:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
سیستم های اعداد موقعیتی
سیستم های اعداد موقعیتی- سیستم های اعداد که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی دارد.
به عنوان مثال، اگر در مورد سیستم اعشاری صحبت کنیم، در عدد 700 عدد 7 به معنای "هفت صد" است، اما همان عدد در عدد 71 به معنای "هفت ده" و در عدد 7020 - "هفت هزار" است.
هر یک سیستم اعداد موقعیتیاو دارد پایه... عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی دو به عنوان مبنا انتخاب می شود. برابر است با تعداد ارقام استفاده شده در این سیستم اعداد.
- برای مثال:
- دودویی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2.
- کواترنر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 4.
- پنج برابر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 5.
- هشتی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 8.
- هگزادسیمال- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 16.
برای حل موفقیت آمیز مسائل در موضوع "سیستم های اعداد"، دانش آموز باید به طور قلب مطابقت اعداد باینری، اعشاری، هشت و هگزادسیمال تا 16 10 را بداند:
| 10 ثانیه بر ثانیه | 2 ثانیه بر ثانیه | 8 ثانیه بر ثانیه | 16 ثانیه بر ثانیه |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | دی |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | اف |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
دانستن اینکه چگونه اعداد در این سیستم های اعداد به دست می آیند مفید است. ممکن است حدس بزنید که در هشت، هگزادسیمال، سه تایی و موارد دیگر سیستم های اعداد موقعیتیهمه چیز مشابه سیستم اعشاری که ما به آن عادت کرده ایم اتفاق می افتد:
یک عدد به عدد اضافه می شود و عدد جدیدی بدست می آید. اگر جای یک ها با پایه سیستم اعداد برابر شود، تعداد ده ها را 1 و غیره افزایش می دهیم.
این "یک انتقال" همان چیزی است که بیشتر دانش آموزان را می ترساند. در واقع، همه چیز بسیار ساده است. انتقال در صورتی اتفاق می افتد که بیت ones برابر شود پایه سیستم اعداد، تعداد ده ها را 1 افزایش می دهیم. بسیاری با یادآوری سیستم اعشاری خوب و قدیمی، فوراً در رقم و در این انتقال گیج می شوند، زیرا اعشاری و مثلاً ده ها باینری چیزهای مختلفی هستند.
از این رو، دانش‌آموزان مدبر هنگام پر کردن، مثلاً جداول صدق، «تکنیک‌های خاص خود» دارند (به‌طور شگفت‌انگیزی... کار می‌کنند) که اولین ستون‌ها (مقادیر متغیرها) آنها در واقع با اعداد باینری به ترتیب صعودی پر می‌شوند. .
به عنوان مثال، بیایید به دریافت اعداد نگاه کنیم سیستم اکتال: به عدد اول (0) 1 اضافه می کنیم، 1 می گیریم. سپس 1 را به 1 اضافه می کنیم، 2 می گیریم و غیره. به 7. اگر یک را به 7 اضافه کنیم، عددی برابر با پایه سیستم اعداد به دست می آید، یعنی. 8. سپس شما باید محل ده ها را یک بار افزایش دهید (ده هشتی می گیریم - 10). علاوه بر این، بدیهی است که اعداد 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101 وجود دارد.
قانون ترجمه از یک سیستم عددی به سیستم دیگر.
1 تبدیل اعداد صحیح اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری.
عدد باید بر تقسیم شود رادیکس جدید... اولین باقیمانده تقسیم، اولین رقم کم اهمیت عدد جدید است. اگر ضریب تقسیم کمتر یا مساوی با پایه جدید باشد، آن (ضریب) باید دوباره به یک پایه جدید تقسیم شود. تقسیم را باید تا زمانی ادامه داد که ضریب کمتر از پایه جدید را بدست آوریم. این مهم ترین رقم عدد جدید است (باید به یاد داشته باشید که برای مثال در سیستم هگزادسیمال حروف بعد از 9 وجود دارد، یعنی اگر در باقیمانده 11 گرفتید، باید آن را به صورت B بنویسید).
مثال ("تقسیم با یک گوشه"): بیایید عدد 173 10 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه کنیم.
بنابراین 173 10 = 255 8
2 تبدیل کسرهای اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری.
عدد باید در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود. رقمی که به کل قسمت منتقل شده است مهم ترین رقم قسمت کسری عدد جدید است. برای به دست آوردن رقم بعدی، قسمت کسری حاصلضرب باید دوباره در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود تا زمانی که انتقال به کل قسمت اتفاق بیفتد. ضرب را ادامه می دهیم تا جزء کسری برابر با صفر شود یا به دقت مشخص شده در مسئله برسیم («... با دقت مثلاً دو رقم اعشار محاسبه کن»).
مثال: بیایید عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.
تبصره 1
اگر می خواهید یک عدد را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر ترجمه کنید، بهتر است ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه کنید، و تنها پس از آن از عدد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری ترجمه کنید.
قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری
در محاسبات، با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی ایفا می کند. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) آمده است.
هنگام تبدیل یک عدد باینری به اعشاری، لازم است عدد دودویی را به شکل یک چند جمله ای نشان دهیم که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه در این مورد نشان داده می شود. 2 دلار، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_2 $ = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
شکل 1. جدول 1
مثال 1
عدد $ 11110101_2 $ تبدیل به نماد اعشاری می شود.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 1 $ درجه پایه $ 2 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
$11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 4 + 1 + 12 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) دلار
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار نشان داده می شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_8 $ = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
شکل 2. جدول 2
مثال 2
عدد 75013_8 $ به نماد اعشاری تبدیل می شود.
راه حل.با استفاده از جدول $ 2 $ درجه پایه $ 8 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
75013_8 دلار = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هگزا دسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان داد که هر عنصر آن به صورت حاصل ضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد $ نمایش داده می شود. 16 $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
شکل 3. جدول 3
مثال 3
عدد $ FFA2_ (16) $ را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 3 $ درجه پایه 8 $، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = (610442 $)
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به باینری، باید به ترتیب بر 2 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با 1 دلار باقی بماند. یک عدد در سیستم دودویی به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 4
عدد $ 22_ (10) $ را به نماد دودویی تبدیل کنید.
راه حل:
شکل 4.
$22_{10} = 10110_2$
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به هشتی، باید آن را به ترتیب بر 8 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باقی بماند. عدد اکتال به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نمایش داده می شود.
مثال 5
عدد $ 571_ (10) $ به نماد هشتی تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 5.
$571_{10} = 1073_8$
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید به ترتیب بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. عدد در سیستم هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 6
عدد $ 7467_ (10) $ به نماد هگزادسیمال تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 6.
7467_ دلار (10) = 1D2B_ (16) دلار
برای تبدیل کسر صحیح از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد مورد تبدیل را به صورت متوالی در پایه سیستمی که باید به آن تبدیل شود ضرب کرد. کسر در سیستم جدید در قالب بخش های کامل از آثار، با شروع از اول ارائه خواهد شد.
به عنوان مثال: $ 0.3125 _ ((10)) $ در octal به نظر می رسد $ 0.24 _ ((8)) $.
در این حالت، زمانی که یک کسر نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری می‌تواند با یک کسر اعشاری نهایی مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این حالت، تعداد ارقام در کسر ارائه شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح کامل می مانند و کسرهای منظم در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم سه گانه ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
شکل 7. جدول 4
مثال 7
عدد 1001011_2 $ را به نماد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل... با استفاده از جدول 4، بیایید عدد را از باینری به هشتی تبدیل کنیم:
$001 001 011_2 = 113_8$
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقم) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم، صفرها را به عدد بالایی اضافه کرد، سپس هر تتراد را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
1. حساب ترتیبی در سیستم های اعداد مختلف.
در زندگی مدرن، ما از سیستم های اعداد موقعیتی استفاده می کنیم، یعنی سیستم هایی که در آنها عدد نشان داده شده با یک عدد به موقعیت عدد در رکورد اعداد بستگی دارد. بنابراین، در ادامه با صرف نظر از اصطلاح «موضعی» فقط درباره آنها صحبت خواهیم کرد.
برای اینکه یاد بگیریم چگونه اعداد را از یک سیستم به سیستم دیگر ترجمه کنیم، بیایید بفهمیم که چگونه ضبط متوالی اعداد با استفاده از سیستم اعشاری به عنوان مثال انجام می شود.
از آنجایی که ما یک سیستم اعداد اعشاری داریم، 10 کاراکتر (رقم) برای ساخت اعداد داریم. شمارش ترتیبی را شروع می کنیم: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اعداد تمام شده اند. ظرفیت رقم عدد را افزایش می دهیم و بیت کم اهمیت را صفر می کنیم: 10. سپس دوباره کم اهمیت ترین بیت را افزایش می دهیم تا تمام ارقام تمام شوند: 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19. معنی‌دارترین بیت را 1 و کمترین بیت را صفر کنید: 20. وقتی از همه ارقام برای هر دو رقم استفاده می‌کنیم (عدد 99 را می‌گیریم)، دوباره ظرفیت رقم را افزایش می‌دهیم و ارقام موجود را بازنشانی می‌کنیم: 100. و غیره.
بیایید سعی کنیم همین کار را در سیستم های 2، 3 و 5 انجام دهیم (برای سیستم 2، 3 و غیره نماد را وارد می کنیم):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
اگر پایه سیستم اعداد بیش از 10 باشد، باید کاراکترهای اضافی وارد کنیم، مرسوم است که حروف الفبای لاتین را وارد کنید. به عنوان مثال، برای سیستم 12-ary، علاوه بر ده رقم، به دو حرف (s) نیاز داریم:
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. تبدیل از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر.
برای تبدیل یک عدد اعشاری مثبت صحیح به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، باید این عدد را بر پایه تقسیم کنید. ضریب به دست آمده را دوباره بر پایه تقسیم کنید و بیشتر تا زمانی که ضریب از پایه کمتر شود. در نتیجه، ضریب آخر و تمام باقیمانده ها را که از آخر شروع می شوند، در یک خط بنویسید.
مثال 1.تبدیل اعشار 46 به سیستم اعداد باینری.
مثال 2.تبدیل اعشاری 672 به سیستم اعداد اکتال.
مثال 3.عدد اعشاری 934 را به نماد هگزادسیمال تبدیل کنید.
3. تبدیل از هر سیستم عددی به اعشاری.
برای اینکه یاد بگیریم چگونه اعداد را از هر سیستم دیگری به اعشار تبدیل کنیم، بیایید نماد معمول یک عدد اعشاری را تجزیه و تحلیل کنیم.
به عنوان مثال، عدد اعشاری 325 5 واحد، 2 ده و 3 صد است، یعنی.
در سایر سیستم های اعداد نیز وضعیت دقیقاً به همین منوال است، فقط ما نه در 10، 100 و غیره بلکه در درجه پایه سیستم اعداد ضرب خواهیم کرد. برای مثال، عدد سه تایی 1201 را در نظر بگیرید. بیایید ارقام را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری کنیم و عدد خود را به صورت مجموع حاصلضرب یک رقم با سه در درجه رقم عدد نشان دهیم:
این نمایش دهدهی عدد ما است، یعنی.
مثال 4.تبدیل عدد اکتال 511 به نماد اعشاری.
مثال 5.بیایید عدد هگزادسیمال 1151 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم.
4. تبدیل از سیستم باینری به سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16، و غیره).
برای تبدیل یک عدد باینری به عددی با پایه "قدرت دو"، باید دنباله دودویی را بر اساس تعداد ارقام برابر توان از راست به چپ به گروه ها تقسیم کرد و هر گروه را با رقم مربوطه جایگزین کرد. سیستم شماره جدید
به عنوان مثال، 1100001111010110 باینری را به هشتی تبدیل کنید. برای انجام این کار، آن را به گروه های 3 کاراکتری تقسیم می کنیم که از سمت راست شروع می شود (از زمان)، و سپس از جدول مطابقت استفاده می کنیم و هر گروه را با یک رقم جدید جایگزین می کنیم:
نحوه ساخت جدول مکاتبات را در بند 1 یاد گرفتیم.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
آن ها
مثال 6. 1100001111010110 باینری را به عدد هگزادسیمال تبدیل کنید.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | آ |
| 1011 | ب |
| 1100 | سی |
| 1101 | دی |
| 1110 | E |
| 1111 | اف |
5. انتقال از سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16 و غیره) به باینری.
این ترجمه مشابه ترجمه قبلی است که در جهت مخالف انجام شده است: ما هر رقم را با گروهی از ارقام در سیستم باینری از جدول جستجو جایگزین می کنیم.
مثال 7.بیایید عدد هگزادسیمال С3A6 را به یک سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم.
برای انجام این کار، هر رقم از عدد را با یک گروه 4 رقمی (از زمانی که) از جدول مطابقت جایگزین کنید، در صورت لزوم، گروه با صفر در ابتدا را اضافه کنید:
تبصره 1
اگر می خواهید یک عدد را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر ترجمه کنید، بهتر است ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه کنید، و تنها پس از آن از عدد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری ترجمه کنید.
قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری
در محاسبات، با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی ایفا می کند. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) آمده است.
هنگام تبدیل یک عدد باینری به اعشاری، لازم است عدد دودویی را به شکل یک چند جمله ای نشان دهیم که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه در این مورد نشان داده می شود. 2 دلار، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_2 $ = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
شکل 1. جدول 1
مثال 1
عدد $ 11110101_2 $ تبدیل به نماد اعشاری می شود.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 1 $ درجه پایه $ 2 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
$11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 + 4 + 1 + 12 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) دلار
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار نشان داده می شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
X_8 $ = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
شکل 2. جدول 2
مثال 2
عدد 75013_8 $ به نماد اعشاری تبدیل می شود.
راه حل.با استفاده از جدول $ 2 $ درجه پایه $ 8 $، عدد را به شکل چند جمله ای نشان می دهیم:
75013_8 دلار = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هگزا دسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان داد که هر عنصر آن به صورت حاصل ضرب رقم عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد $ نمایش داده می شود. 16 $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
شکل 3. جدول 3
مثال 3
عدد $ FFA2_ (16) $ را به نماد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل.با استفاده از جدول فوق 3 $ درجه پایه 8 $، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = (610442 $)
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به باینری، باید به ترتیب بر 2 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با 1 دلار باقی بماند. یک عدد در سیستم دودویی به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 4
عدد $ 22_ (10) $ را به نماد دودویی تبدیل کنید.
راه حل:
شکل 4.
$22_{10} = 10110_2$
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به هشتی، باید آن را به ترتیب بر 8 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باقی بماند. عدد اکتال به صورت دنباله ای از ارقام حاصل آخرین تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نمایش داده می شود.
مثال 5
عدد $ 571_ (10) $ به نماد هشتی تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 5.
$571_{10} = 1073_8$
- برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید به ترتیب بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. عدد در سیستم هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.
مثال 6
عدد $ 7467_ (10) $ به نماد هگزادسیمال تبدیل می شود.
راه حل:
شکل 6.
7467_ دلار (10) = 1D2B_ (16) دلار
برای تبدیل کسر صحیح از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد مورد تبدیل را به صورت متوالی در پایه سیستمی که باید به آن تبدیل شود ضرب کرد. کسر در سیستم جدید در قالب بخش های کامل از آثار، با شروع از اول ارائه خواهد شد.
به عنوان مثال: $ 0.3125 _ ((10)) $ در octal به نظر می رسد $ 0.24 _ ((8)) $.
در این حالت، زمانی که یک کسر نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری می‌تواند با یک کسر اعشاری نهایی مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این حالت، تعداد ارقام در کسر ارائه شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح کامل می مانند و کسرهای منظم در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.
قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم سه گانه ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
شکل 7. جدول 4
مثال 7
عدد 1001011_2 $ را به نماد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل... با استفاده از جدول 4، بیایید عدد را از باینری به هشتی تبدیل کنیم:
$001 001 011_2 = 113_8$
- برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقم) تقسیم کرد، با کمترین بیت شروع شود، در صورت لزوم، صفرها را به عدد بالایی اضافه کرد، سپس هر تتراد را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. به جدول 4.
