قبولی در امتحان و نه تنها ...

عجیب است که در مدارس در کلاس های علوم کامپیوتر معمولاً سخت ترین و نامناسب ترین راه را برای ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر به دانش آموزان نشان می دهند. این روش شامل تقسیم متوالی عدد اصلی بر پایه و جمع آوری باقی مانده تقسیم به ترتیب معکوس است.

به عنوان مثال، شما باید عدد 810 10 را به سیستم باینری تبدیل کنید:

نتیجه به ترتیب معکوس از پایین به بالا نوشته می شود. معلوم می شود 81010 = 11001010102

اگر شما نیاز به تبدیل اعداد نسبتاً بزرگ به سیستم باینری دارید، نردبان تقسیم به اندازه یک ساختمان چند طبقه است. و چگونه می توانید تمام صفرهایشان را جمع آوری کنید و حتی یک عدد را از دست ندهید؟

برنامه USE در علوم کامپیوتر شامل چندین کار مرتبط با ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر است. به عنوان یک قاعده، این یک تبدیل بین سیستم های 8- و 16-ary و باینری است. اینها بخش های A1، B11 هستند. اما در سایر سیستم های اعداد مانند بخش B7 نیز مشکلاتی وجود دارد.

برای شروع، اجازه دهید دو جدول را یادآوری کنیم که برای کسانی که علوم کامپیوتر را به عنوان حرفه آینده خود انتخاب می کنند، خوب است از روی قلب بدانند.

جدول قدرت های شماره 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

به راحتی با ضرب عدد قبلی در 2 به دست می آید. بنابراین، اگر همه این اعداد را به خاطر نمی آورید، به دست آوردن بقیه در ذهن خود از آنهایی که به یاد می آورید دشوار نیست.

جدول اعداد باینری از 0 تا 15 با نمایش هگزادسیمال:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	آ	ب	سی	D	E	اف

مقادیر گمشده نیز با افزودن 1 به مقادیر شناخته شده به راحتی قابل محاسبه هستند.

ترجمه عدد صحیح

بنابراین، اجازه دهید با تبدیل مستقیم به سیستم باینری شروع کنیم. بیایید همان عدد 810 10 را در نظر بگیریم. ما باید این عدد را به عباراتی معادل توان دو تجزیه کنیم.

1. ما به دنبال نزدیکترین توان دو به 810 هستیم که از آن تجاوز نکند. این 29 = 512 است.
2. با کم کردن 512 از 810، 298 به دست می آید.
3. مراحل 1 و 2 را تکرار کنید تا 1 یا 0 باقی بماند.
4. ما آن را به این صورت دریافت کردیم: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

سپس دو راه وجود دارد، شما می توانید از هر یک از آنها استفاده کنید. چقدر آسان است که در هر سیستم اعدادی، پایه آن همیشه 10 باشد. مربع پایه همیشه 100، مکعب 1000 خواهد بود. یعنی درجه پایه سیستم اعداد 1 (یک) است به اندازه صفر پشتش هست درجه چنده.

روش 1: 1 را با توجه به ارقامی که نشانگر اصطلاحات مشخص شده است مرتب کنید. در مثال ما، اینها 9، 8، 5، 3 و 1 هستند. بقیه مکان ها صفر خواهند بود. بنابراین، نمایش باینری عدد 810 10 = 1100101010 2 را به دست آوردیم. واحدها در مکان های نهم، هشتم، پنجم، سوم و یکم با شمارش از راست به چپ از صفر قرار دارند.

روش 2: بیایید عبارت ها را به صورت توان های دو زیر یکدیگر بنویسیم و با بزرگترین شروع کنیم.

810 =

و حالا بیایید این مراحل را کنار هم بگذاریم، مانند یک فن تا شده: 1100101010.

همین. در طول راه، مشکل "چند واحد در نمایش باینری عدد 810 وجود دارد؟" نیز به سادگی حل می شود.

پاسخ به تعداد اصطلاحات (قدرت دو) در این نمایش است. 810 دارای 5 است.

حالا مثال ساده تر است.

بیایید عدد 63 را به سیستم اعداد 5 اری ترجمه کنیم. نزدیکترین توان 5 به 63 25 (مربع 5) است. مکعب (125) در حال حاضر زیاد خواهد بود. یعنی 63 بین مربع 5 و مکعب قرار دارد. سپس ضریب 5 2 را انتخاب می کنیم. این 2 است.

63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 بدست می آوریم.

و در نهایت، ترجمه های بسیار آسان بین سیستم های اعشاری 8 و 16. از آنجایی که پایه آنها توان دو است، ترجمه به صورت خودکار انجام می شود، به سادگی با جایگزینی ارقام با نمایش دودویی آنها. برای سیستم هشتی، هر رقم با سه رقم باینری و برای سیستم هگزادسیمال با چهار رقم جایگزین می شود. در این مورد، تمام صفرهای ابتدایی، به جز مهم ترین رقم مورد نیاز است.

بیایید عدد 547 8 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

یکی دیگر، به عنوان مثال 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	آ

بیایید عدد 7368 را به سیستم هگزادسیمال ترجمه کنیم. ابتدا اعداد را سه تایی می نویسیم و سپس آنها را از آخر به چهار تقسیم می کنیم: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE. بیایید عدد C25 16 را به سیستم 8-ary تبدیل کنیم. ابتدا اعداد را چهار تا می نویسیم و سپس آنها را از انتها به سه قسمت تقسیم می کنیم: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. اکنون تبدیل مجدد به اعشار را در نظر بگیرید. دشوار نیست، نکته اصلی این است که در محاسبات اشتباه نکنید. عدد را به چند جمله ای با درجه پایه و ضرایب در آنها تجزیه می کنیم. سپس همه چیز را ضرب و جمع می کنیم. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474.

ترجمه اعداد منفی

در اینجا باید در نظر داشته باشید که شماره در یک کد اضافی ارائه می شود. برای ترجمه یک عدد به یک کد اضافی، باید اندازه نهایی عدد را بدانید، یعنی به چه چیزی می خواهیم آن را بنویسیم - به یک بایت، به دو بایت، به چهار. مهم ترین رقم عدد به معنای علامت است. اگر 0 وجود داشته باشد، عدد مثبت و اگر 1 باشد، عدد منفی است. در سمت چپ، عدد با یک بیت علامت پر شده است. ما اعداد بدون علامت را در نظر نمی گیریم، آنها همیشه مثبت هستند و مهم ترین رقم در آنها به عنوان اطلاعات استفاده می شود.

برای تبدیل یک عدد منفی به متمم باینری، باید یک عدد مثبت را به باینری تبدیل کنید، سپس صفرها را به یک و یک ها را به صفر تبدیل کنید. سپس 1 را به نتیجه اضافه کنید.

بنابراین، بیایید عدد -79 را به سیستم باینری ترجمه کنیم. عدد یک بایت ما را می گیرد.

79 را به سیستم باینری ترجمه می کنیم، 79 = 1001111. به اندازه بایت، صفرها را به سمت چپ اضافه می کنیم، 8 بیت، 01001111 می گیریم. 1 را به 0 و 0 را به 1 تغییر می دهیم. 10110000 می گیریم. ما پاسخ 10110001 را دریافت می کنیم. در طول راه، ما به سوال USE "چند واحد در نمایش دودویی عدد -79 وجود دارد؟" پاسخ می دهیم. جواب 4 است.

با افزودن عدد 1 به معکوس عدد، تفاوت بین نمایش‌های +0 = 00000000 و -0 = 11111111 حذف می‌شود. در کد متمم دو، همان 00000000 نوشته می‌شود.

ترجمه اعداد کسری

اعداد کسری به صورت معکوس به تقسیم اعداد صحیح بر پایه ترجمه می شوند که در همان ابتدا در نظر گرفتیم. یعنی با ضرب پی در پی در یک پایه جدید با مجموعه قطعات کامل. اجزای صحیح حاصل از ضرب جمع آوری می شوند، اما در عملیات زیر شرکت نمی کنند. فقط کسرها ضرب می شوند. اگر عدد اصلی بزرگتر از 1 باشد، قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه ترجمه می شوند، سپس به هم چسبانده می شوند.

بیایید عدد 0.6752 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

این فرآیند را می توان برای مدت طولانی ادامه داد تا زمانی که تمام صفرهای قسمت کسری را بدست آوریم یا دقت لازم را بدست آوریم. بیایید فعلاً روی علامت ششم توقف کنیم.

معلوم می شود 0.6752 = 0.101011.

اگر عدد 5.6752 بود، در باینری 101.101011 خواهد بود.

تبصره 1

اگر می خواهید یک عدد را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید، بهتر است ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری منتقل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

در فناوری رایانه با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی ایفا می کند. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام ترجمه یک عدد باینری به یک اعشاری، باید عدد باینری را به صورت چند جمله ای نشان داد، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 2 دلار نشان داده می شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

تصمیم گیریبا استفاده از جدول فوق $1$ از درجه پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10) دلار

برای تبدیل یک عدد از هشتی به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

X_8 $ = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

تصمیم گیریبا استفاده از جدول فوق $2$ از درجه پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

تبدیل عدد $FFA2_(16)$ به سیستم اعداد اعشاری.

تصمیم گیریبا استفاده از جدول فوق از توان های پایه $3$ از $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به باینری، باید آن را به طور متوالی بر $2 تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی $1 باشد. یک عدد در سیستم دودویی به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

تصمیم:

شکل 4

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به اکتال، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد را در سیستم اعداد هشتگانه به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس ارائه دهید.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

تصمیم:

شکل 5

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید به ترتیب بر 16 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا برابر با 15 دلار شود. عددی را به صورت هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس بیان کنید.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

تصمیم:

شکل 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

برای تبدیل کسر مناسب از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد تبدیل شده را در پایه سیستمی که قرار است به آن تبدیل شود ضرب کنیم. کسری در سیستم جدید به عنوان بخش های کامل از محصولات ارائه می شود که از اول شروع می شود.

به عنوان مثال: $0.3125_((10))$ در اکتال مانند $0.24_((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری محدود می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسری باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، صفرها را به بالاترین سه گانه اضافه کرد، سپس طبق جدول، هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. 4.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

تصمیم. با استفاده از جدول 4، عدد را از باینری به هشتی ترجمه می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، تتراد ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر تتراد باید با رقم هشتی مربوطه جایگزین شود. جدول 4.

دستورالعمل

ویدیو های مرتبط

در سیستم شمارشی که ما هر روز از آن استفاده می کنیم، ده رقم وجود دارد - از صفر تا نه. به همین دلیل به آن اعشاری می گویند. اما در محاسبات فنی، به ویژه محاسبات مربوط به کامپیوتر، سایر سیستم های، به طور خاص باینری و هگزادسیمال. بنابراین، شما باید بتوانید ترجمه کنید شمارهاز یکی سیستم هایحساب کردن به دیگری

شما نیاز خواهید داشت

• - یک تکه کاغذ؛
• - مداد یا خودکار؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل

سیستم باینری ساده ترین است. این فقط دو رقم دارد - صفر و یک. هر رقم باینری شماره، که از انتها شروع می شود، با توان دو مطابقت دارد. دو برابر یک، اولی برابر دو، دومی برابر چهار، سومی برابر هشت و غیره.

فرض کنید به شما عدد باینری 1010110 داده شده است. واحدهای موجود در آن در مکان های دوم، سوم، پنجم و هفتم از انتهای آن قرار دارند. بنابراین در اعشار این عدد 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86 است.

مسئله معکوس - اعشاری شمارهسیستم. فرض کنید عدد 57 را دارید. برای بدست آوردن رکورد آن باید این عدد را به ترتیب بر 2 تقسیم کنید و باقیمانده تقسیم را یادداشت کنید. عدد باینری از انتها به ابتدا ساخته خواهد شد.
مرحله اول آخرین رقم را به شما می دهد: 57/2 = 28 (باقی مانده 1).
سپس دومی را از آخر دریافت می کنید: 28/2 = 14 (باقی مانده 0).
مراحل بعدی: 14/2 = 7 (بقیه 0)؛
7/2 = 3 (باقی مانده 1)؛
3/2 = 1 (باقی مانده 1)؛
1/2 = 0 (باقی مانده 1).
این آخرین مرحله است زیرا نتیجه تقسیم صفر است. در نتیجه، شما عدد باینری 111001 را دریافت می کنید.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

دومی که در مسائل کامپیوتری استفاده می شود، هگزادسیمال است. نه ده، بلکه شانزده رقم دارد. برای جلوگیری از قراردادهای جدید، ده رقم اول هگزادسیمال سیستم هایبا اعداد معمولی نشان داده می شوند و شش باقیمانده - با حروف لاتین: A، B، C، D، E، F. آنها با نماد اعشاری مطابقت دارند. شماره m از 10 تا 15. برای جلوگیری از سردرگمی، قبل از یک عدد نوشته شده در هگزادسیمال یک علامت # یا نویسه 0x قرار می گیرد.

ترجمه معکوس از اعشار سیستم هایبه هگزادسیمال با همان روش باقیمانده در باینری انجام می شود. به عنوان مثال، عدد 10000 را در نظر بگیرید. با تقسیم آن بر 16 متوالی و نوشتن باقی مانده، به دست می آید:
10000/16 = 625 (باقی مانده 0).
625/16 = 39 (باقيمانده 1).
39/16 = 2 (باقی مانده 7).
2/16 = 0 (باقی مانده 2).
نتیجه محاسبه عدد هگزادسیمال #2710 خواهد بود.
پاسخ خود را بررسی کنید: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

منتقل کردن شمارهاز هگزادسیمال سیستم هایباینری خیلی راحت تره عدد 16 دو است: 16 = 2^4. بنابراین، هر رقم هگزادسیمال را می توان به صورت یک عدد باینری چهار رقمی نوشت. اگر به صورت باینری کمتر از چهار رقم دریافت کردید، صفرها را به ابتدا اضافه کنید.
برای مثال، #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: هر دو شمارهدر نماد اعشاری 8062 هستند.

برای ترجمه، باید اعداد باینری را به گروه های چهار رقمی تقسیم کنید و از انتها شروع کنید و هر گروه را با یک رقم هگزادسیمال جایگزین کنید.
به عنوان مثال، 11000110101001 به (0011)(0001)(1010)(1001) تبدیل می شود که در هگزادسیمال #31A9 است. صحت پاسخ با تبدیل به نماد اعشاری تأیید می شود: هر دو شمارهبرابر با 12713 است.

توصیه 5: چگونه یک عدد را به باینری تبدیل کنیم

به دلیل استفاده محدود از نمادها، سیستم باینری راحت ترین برای استفاده در رایانه ها و سایر دستگاه های دیجیتال است. فقط دو کاراکتر وجود دارد: 1 و 0، بنابراین این سیستمدر رجیسترها استفاده می شود.

دستورالعمل

باینری موقعیتی است، یعنی. موقعیت هر رقم در عدد مربوط به یک رقم مشخص است که در درجه مربوطه برابر با دو است. درجه از صفر شروع می شود و با حرکت از راست به چپ افزایش می یابد. مثلا، عدد 101 برابر است با 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

عدد اعشاری را تا باینری در نظر بگیرید سیستمروش تقسیم متوالی بر 2. برای ترجمه اعشار عدد 25 در کد باید آن را بر 2 تقسیم کنید تا 0 باقی بماند.باقی مانده های بدست آمده در هر مرحله تقسیم بر روی خط از راست به چپ نوشته می شود، پس از نوشتن آخرین رقم باقیمانده این رقم نهایی خواهد بود.

واگذاری خدمات. این سرویس برای ترجمه اعداد از یک سیستم شماره به سیستم دیگر به صورت آنلاین طراحی شده است. برای انجام این کار، پایه سیستمی را که می خواهید شماره را از آن ترجمه کنید، انتخاب کنید. می توانید هم اعداد صحیح و هم اعداد را با کاما وارد کنید.

عدد

ترجمه از سیستم شماره 10 2 8 16. تبدیل به سیستم اعداد 2 10 8 16.
برای اعداد کسری از اعداد اعشاری 2 3 4 5 6 7 8 استفاده کنید.

می توانید اعداد کامل مانند 34 یا اعداد کسری مانند 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.

موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:

راه های نمایش اعداد

دودویی اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.
هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک کاراکتر 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. چنین نمایشی را می توان به روش های مختلف نشان داد، در اینجا فقط کاراکتر "h" بعد از آخرین مورد استفاده می شود. رقم هگزادسیمال به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را هم به صورت 0xA5 و هم 0A5h نشان داد. یک صفر غیر معنی دار (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با یک حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعداد اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، کلمه دوگانه) با یک عدد معمولی نشان داده می شود و علامت نمایش اعشاری (حرف "د") معمولا حذف می شود. بایت مثال‌های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نمادهای باینری و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین ذهنی مقدار هر بیت دشوار است، که گاهی اوقات باید انجام شود.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (جداسازی از کمترین معنی شروع می شود) به صورت یک عدد 0-7 نوشته می شود، در پایان علامت "o" قرار می گیرد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال از این نظر ناخوشایند است که بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

تبدیل اعداد اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به عنوان باقیمانده تقسیم نوشته می شود و با آخرین آن شروع می شود.
تبدیل کسر اعشاری صحیح به PSS دیگر با ضرب تنها قسمت کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که تمام صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که به دقت ترجمه مشخص شده برسد. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از عدد جدید تشکیل می شود که از بالاترین شروع می شود.
ترجمه یک کسر نامناسب طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.

مثال شماره 1.



ترجمه از 2 تا 8 تا 16 سیستم شماره.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین، ترجمه با استفاده از جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).

برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به یک عدد اکتال (هگزادسیمال)، لازم است عدد باینری را از یک کاما به سمت راست و چپ به گروه‌های سه عددی (چهار رقمی برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های افراطی را با صفر تکمیل کنیم. در صورت لزوم هر گروه با رقم هشتی یا هگزادسیمال مربوطه جایگزین می شود.

مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

هنگام تبدیل به هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین یکسان، عدد را به قسمت‌های چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه می شود) به توان مربوط به عدد ترتیبی آن افزایش می یابد. در شماره ترجمه شده در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول دارای عدد 0) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.

مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هشتی به اعشاری. 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

یک بار دیگر الگوریتم ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم

1. از سیستم اعداد اعشاری:
   • عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
   • پس از تقسیم عدد صحیح، باقیمانده را پیدا کنید.
   • تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
2. از سیستم باینری
   • برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، باید مجموع محصولات پایه 2 را با درجه تخلیه مربوطه پیدا کنید.
   • برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
     به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
     به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16

سیستم موقعیتی نامیده می شود.، که اهمیت یا وزن یک رقم به محل آن در عدد بستگی دارد. رابطه بین سیستم ها در یک جدول بیان شده است.
جدول مطابقت سیستم های اعداد:

باینری SS	هگزادسیمال SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	آ
1011	ب
1100	سی
1101	D
1110	E
1111	اف

جدول تبدیل به سیستم اعداد اکتالی

روش های تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر.

ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد موقعیتی به سیستم دیگر: ترجمه اعداد صحیح.

برای تبدیل یک عدد صحیح از یک سیستم اعداد با پایه d1 به دیگری با پایه d2، باید این عدد و ضرایب حاصل را به ترتیب بر پایه d2 سیستم جدید تقسیم کنید تا زمانی که ضریب از پایه d2 کمتر شود. آخرین ضریب بالاترین رقم عدد در سیستم اعداد جدید با پایه d2 است و اعداد بعد از آن باقیمانده های تقسیم هستند که به ترتیب معکوس دریافت آنها نوشته می شود. عملیات حسابی را در سیستم اعدادی که عدد ترجمه شده در آن نوشته شده است انجام دهید.

مثال 1. عدد 11(10) را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

جواب: 11(10)=1011(2).

مثال 2. عدد 122 (10) را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.

جواب: 122(10)=172(8).

مثال 3. عدد 500(10) را به سیستم اعداد هگزا دسیمال تبدیل کنید.

پاسخ: 500(10)=1F4(16).

ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد موقعیتی به سیستم دیگر: ترجمه کسرهای مناسب.

برای تبدیل کسر مناسب از یک سیستم عددی با پایه d1 به سیستمی با پایه d2، لازم است کسر اصلی و قطعات کسری حاصل از آن را در پایه سیستم اعداد جدید d2 ضرب کنیم. کسری صحیح یک عدد در سیستم اعداد جدید با پایه d2 به عنوان قسمت های صحیح حاصل از حاصل از اولی شروع می شود.
اگر ترجمه به کسری به شکل یک سری نامتناهی یا واگرا منجر شود، زمانی که به دقت مورد نیاز رسید می‌توان فرآیند را تکمیل کرد.

هنگام ترجمه اعداد مختلط، لازم است طبق قوانین ترجمه اعداد صحیح و کسرهای مناسب، اجزای صحیح و کسری را جداگانه به سیستم جدید ترجمه کنید و سپس هر دو نتیجه را در یک عدد مختلط در سیستم اعداد جدید ترکیب کنید.

مثال 1. عدد 0.625(10) را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

پاسخ: 0.625 (10) = 0.101 (2).

مثال 2. عدد 0.6 (10) را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.

پاسخ: 0.6(10)=0.463(8).

مثال 2. عدد 0.7 (10) را به هگزادسیمال تبدیل کنید.

پاسخ: 0.7(10)=0.B333(16).

اعداد باینری، هشت و هگزادسیمال را به اعشار تبدیل کنید.

برای تبدیل عدد سیستم P-ary به اعشاری، باید از فرمول بسط زیر استفاده کنید:
anan-1…a1a0=anPn+ an-1Pn-1+…+ a1P+a0.

مثال 1. عدد 101.11(2) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 101.11(2)= 5.75(10) .

مثال 2. عدد 57.24(8) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 57.24 (8) = 47.3125 (10) .

مثال 3. عدد 7A,84(16) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 7A,84(16)= 122.515625(10) .

تبدیل اعداد هشت و هگزادسیمال به باینری و بالعکس.

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به باینری، لازم است هر رقم از این عدد به صورت یک عدد باینری سه رقمی (سه رقمی) نوشته شود.

مثال: عدد 16.24(8) را به صورت باینری بنویسید.

پاسخ: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

برای تبدیل یک عدد باینری به سیستم اعداد اکتالی، باید عدد اصلی را به سه تایی در سمت چپ و راست نقطه اعشار تقسیم کنید و هر گروه را به عنوان یک عدد در سیستم اعداد هشتی نشان دهید. سه گانه های ناقص شدید با صفر تکمیل می شوند.

مثال: عدد 1110.0101(2) را به صورت هشتی بنویسید.

پاسخ: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هگزادسیمال به باینری، هر رقم از این عدد باید به صورت یک عدد باینری چهار رقمی (تتراد) نوشته شود.

مثال: عدد 7A,7E(16) را در سیستم اعداد باینری بنویسید.


پاسخ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

نکته: صفرهای ناچیز در سمت چپ برای اعداد صحیح و در سمت راست برای کسرها ثبت نمی شوند.

برای تبدیل یک عدد باینری به سیستم اعداد هگزا دسیمال، باید عدد اصلی را به تتراد در سمت چپ و راست نقطه اعشار تقسیم کنید و هر گروه را به عنوان یک عدد در سیستم اعداد هگزا دسیمال نشان دهید. سه گانه های ناقص شدید با صفر تکمیل می شوند.

مثال: عدد 1111010.0111111(2) را به صورت هگزادسیمال بنویسید.