روش های تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر.

ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد موقعیتی به سیستم دیگر: ترجمه اعداد صحیح.

برای تبدیل یک عدد صحیح از یک سیستم اعداد با پایه d1 به دیگری با پایه d2، باید این عدد و ضرایب حاصل را به ترتیب بر پایه d2 سیستم جدید تقسیم کنید تا زمانی که ضریب از پایه d2 کمتر شود. آخرین ضریب بالاترین رقم عدد در سیستم اعداد جدید با پایه d2 است و اعداد بعد از آن باقیمانده های تقسیم هستند که به ترتیب معکوس دریافت آنها نوشته می شود. عملیات حسابی را در سیستم اعدادی که عدد ترجمه شده در آن نوشته شده است انجام دهید.

مثال 1. عدد 11(10) را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

جواب: 11(10)=1011(2).

مثال 2. عدد 122 (10) را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.

جواب: 122(10)=172(8).

مثال 3. عدد 500(10) را به سیستم اعداد هگزا دسیمال تبدیل کنید.

پاسخ: 500(10)=1F4(16).

ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد موقعیتی به سیستم دیگر: ترجمه کسرهای مناسب.

برای تبدیل کسر مناسب از یک سیستم عددی با پایه d1 به سیستمی با پایه d2، لازم است کسر اصلی و قطعات کسری حاصل از آن را در پایه سیستم اعداد جدید d2 ضرب کنیم. کسر صحیح یک عدد در سیستم اعداد جدید با پایه d2 به عنوان قسمت های صحیح حاصل از حاصل از اولی شروع می شود.
اگر ترجمه منجر به کسری به شکل یک سری نامتناهی یا واگرا شود، می‌توان فرآیند را با رسیدن به دقت مورد نیاز تکمیل کرد.

هنگام ترجمه اعداد مختلط، لازم است طبق قوانین ترجمه اعداد صحیح و کسرهای مناسب، اجزای صحیح و کسری را جداگانه به سیستم جدید ترجمه کنید و سپس هر دو نتیجه را در یک عدد مختلط در سیستم اعداد جدید ترکیب کنید.

مثال 1. عدد 0.625(10) را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

پاسخ: 0.625 (10) = 0.101 (2).

مثال 2. عدد 0.6 (10) را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.

پاسخ: 0.6(10)=0.463(8).

مثال 2. عدد 0.7 (10) را به هگزادسیمال تبدیل کنید.

پاسخ: 0.7(10)=0.B333(16).

اعداد باینری، هشت و هگزادسیمال را به اعشار تبدیل کنید.

برای تبدیل عدد سیستم P-ary به اعشاری، باید از فرمول بسط زیر استفاده کنید:
anan-1…a1a0=anPn+ an-1Pn-1+…+ a1P+a0.

مثال 1. عدد 101.11(2) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 101.11(2)= 5.75(10) .

مثال 2. عدد 57.24(8) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 57.24 (8) = 47.3125 (10) .

مثال 3. عدد 7A,84(16) را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

پاسخ: 7A,84(16)= 122.515625(10) .

تبدیل اعداد هشت و هگزادسیمال به باینری و بالعکس.

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هشتگانه به باینری، لازم است هر رقم از این عدد به صورت یک عدد باینری سه رقمی (سه رقمی) نوشته شود.

مثال: عدد 16.24(8) را به صورت باینری بنویسید.

پاسخ: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

برای تبدیل یک عدد باینری به سیستم اعداد هشتی، باید عدد اصلی را به سه گانه در سمت چپ و راست نقطه اعشار تقسیم کنید و هر گروه را به عنوان یک عدد در سیستم اعداد اکتالی نشان دهید. سه گانه های ناقص شدید با صفر تکمیل می شوند.

مثال: عدد 1110.0101(2) را به صورت هشتی بنویسید.

پاسخ: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد هگزادسیمال به باینری، هر رقم از این عدد باید به صورت یک عدد باینری چهار رقمی (تتراد) نوشته شود.

مثال: عدد 7A,7E(16) را در سیستم اعداد باینری بنویسید.


پاسخ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

نکته: صفرهای ناچیز سمت چپ برای اعداد صحیح و در سمت راست برای کسرها ثبت نمی شوند.

برای تبدیل یک عدد باینری به سیستم اعداد هگزا دسیمال، باید عدد اصلی را به تتراد در سمت چپ و راست نقطه اعشار تقسیم کنید و هر گروه را به عنوان یک عدد در سیستم اعداد هگزا دسیمال نشان دهید. سه گانه های ناقص شدید با صفر تکمیل می شوند.

مثال: عدد 1111010.0111111(2) را به صورت هگزادسیمال بنویسید.

دستورالعمل

ویدیو های مرتبط

در سیستم شمارشی که ما هر روز از آن استفاده می کنیم، ده رقم وجود دارد - از صفر تا نه. به همین دلیل به آن اعشاری می گویند. اما در محاسبات فنی، به ویژه محاسبات مربوط به کامپیوتر، سایر سیستم های، به طور خاص باینری و هگزادسیمال. بنابراین، شما باید بتوانید ترجمه کنید شمارهاز یکی سیستم هایحساب کردن به دیگری

شما نیاز خواهید داشت

• - یک تکه کاغذ؛
• - مداد یا خودکار؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل

سیستم باینری ساده ترین است. این فقط دو رقم دارد - صفر و یک. هر رقم باینری شماره، که از انتها شروع می شود، با توان دو مطابقت دارد. دو برابر یک، اولی برابر دو، دومی برابر چهار، سومی برابر هشت و غیره.

فرض کنید یک عدد باینری 1010110 به شما داده شده است. واحدهای موجود در آن از انتها در مکان های دوم، سوم، پنجم و هفتم قرار دارند. بنابراین در اعشار این عدد 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86 است.

مسئله معکوس - اعشاری شمارهسیستم. فرض کنید عدد 57 را دارید. برای بدست آوردن رکورد آن باید این عدد را به ترتیب بر 2 تقسیم کنید و باقیمانده تقسیم را یادداشت کنید. عدد باینری از انتها به ابتدا ساخته خواهد شد.
مرحله اول آخرین رقم را به شما می دهد: 57/2 = 28 (باقی مانده 1).
سپس دومی را از آخر دریافت می کنید: 28/2 = 14 (باقی مانده 0).
مراحل بعدی: 14/2 = 7 (بقیه 0)؛
7/2 = 3 (باقی مانده 1)؛
3/2 = 1 (باقی مانده 1)؛
1/2 = 0 (باقی مانده 1).
این آخرین مرحله است زیرا نتیجه تقسیم صفر است. در نتیجه، شما عدد باینری 111001 را دریافت می کنید.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

دومی که در مسائل کامپیوتری استفاده می شود، هگزادسیمال است. نه ده، بلکه شانزده رقم دارد. برای جلوگیری از قراردادهای جدید، ده رقم اول هگزادسیمال سیستم هایبا اعداد معمولی نشان داده می شوند و شش باقیمانده - با حروف لاتین: A، B، C، D، E، F. آنها با نماد اعشاری مطابقت دارند. شماره m از 10 تا 15. برای جلوگیری از سردرگمی، قبل از یک عدد نوشته شده در هگزادسیمال یک علامت # یا نویسه 0x قرار می گیرد.

برای شماره گذاری از هگزادسیمال سیستم های، باید هر یک از ارقام آن را در توان متناظر شانزده ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید. به عنوان مثال، #11A در نماد اعشاری 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282 است.

ترجمه معکوس از اعشار سیستم هایبه هگزادسیمال با همان روش باقیمانده در باینری انجام می شود. به عنوان مثال، عدد 10000 را در نظر بگیرید. با تقسیم آن بر 16 متوالی و نوشتن باقی مانده، به دست می آید:
10000/16 = 625 (باقی مانده 0).
625/16 = 39 (باقيمانده 1).
39/16 = 2 (باقی مانده 7).
2/16 = 0 (باقی مانده 2).
نتیجه محاسبه عدد هگزادسیمال #2710 خواهد بود.
پاسخ خود را بررسی کنید: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

منتقل کردن شمارهاز هگزادسیمال سیستم هایباینری خیلی راحت تره عدد 16 دو است: 16 = 2^4. بنابراین، هر رقم هگزادسیمال را می توان به صورت یک عدد باینری چهار رقمی نوشت. اگر به صورت باینری کمتر از چهار رقم دریافت کردید، صفرها را به ابتدا اضافه کنید.
برای مثال، #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
بررسی کنید که آیا پاسخ شما صحیح است: هر دو شمارهدر نماد اعشاری 8062 هستند.

برای ترجمه، باید اعداد باینری را به گروه های چهار رقمی تقسیم کنید و از انتها شروع کنید و هر گروه را با یک رقم هگزادسیمال جایگزین کنید.
به عنوان مثال، 11000110101001 به (0011)(0001)(1010)(1001) تبدیل می شود که در هگزادسیمال #31A9 است. صحت پاسخ با تبدیل به نماد اعشاری تأیید می شود: هر دو شمارهبرابر با 12713 است.

توصیه 5: چگونه یک عدد را به باینری تبدیل کنیم

به دلیل استفاده محدود از نمادها، سیستم باینری راحت ترین برای استفاده در رایانه ها و سایر دستگاه های دیجیتال است. فقط دو کاراکتر وجود دارد: 1 و 0، بنابراین این سیستمدر رجیسترها استفاده می شود.

دستورالعمل

باینری موقعیتی است، یعنی. موقعیت هر رقم در عدد مربوط به یک رقم مشخص است که در درجه مربوطه برابر با دو است. درجه از صفر شروع می شود و با حرکت از راست به چپ افزایش می یابد. مثلا، عدد 101 برابر است با 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

سیستم های اکتال، هگزادسیمال و اعشاری نیز به طور گسترده ای در بین سیستم های موقعیتی استفاده می شوند. و اگر روش دوم برای دو مورد اول کاربرد بیشتری دارد، هر دو برای ترجمه از قابل استفاده هستند.

عدد اعشاری را تا باینری در نظر بگیرید سیستمروش تقسیم متوالی بر 2. برای ترجمه اعشار عدد 25 اینچ

سلام بازدید کننده سایت ما به مطالعه پروتکل لایه شبکه IP و برای دقیق تر شدن نسخه IPv4 آن ادامه می دهیم. در نگاه اول، موضوع اعداد باینری و سیستم اعداد باینریربطی به پروتکل IP ندارد، اما اگر به یاد داشته باشید که کامپیوترها با صفر و یک کار می کنند، معلوم می شود که سیستم باینری و درک آن اساس اصول اولیه است، ما نیاز داریم آموزش تبدیل اعداد از باینری به اعشاریو بالعکس: اعشاری به باینری. این به ما کمک می کند تا پروتکل IP و همچنین نحوه عملکرد ماسک های شبکه با طول متغیر را بهتر درک کنیم. بیایید شروع کنیم!

اگر به مبحث شبکه های کامپیوتری علاقه دارید می توانید سایر سوابق دروس را مطالعه کنید.

4.4.1 مقدمه

قبل از شروع، شایان ذکر است که چرا یک مهندس شبکه به این موضوع نیاز دارد. اگرچه هنگام صحبت می‌توان به ضرورت آن متقاعد شد، اما می‌توان گفت که ماشین‌حساب‌های IP وجود دارند که کار توزیع آدرس‌های IP، محاسبه زیرشبکه / ماسک‌های شبکه لازم و تعیین شماره شبکه و شماره میزبان در آدرس IP را تسهیل می‌کنند. . این طور است، اما ماشین حساب IP همیشه در دسترس نیست، این دلیل شماره یک است. دلیل شماره دو این است که امتحانات سیسکو به شما ماشین حساب IP نمی دهد و تمام. تبدیل آدرس های IP از اعشاری به باینری را باید روی یک تکه کاغذ انجام دهید، و در مواردی که در امتحان / امتحانات برای دریافت گواهی CCNA این مورد نیاز است، سؤالات کمی وجود ندارد، اگر امتحان به دلیل چنین چیز کوچکی غرق شود شرم آور خواهد بود. و در نهایت، درک سیستم اعداد باینری منجر به درک بهتر اصل عملکرد می شود.

به طور کلی، یک مهندس شبکه الزامی ندارد که بتواند اعداد را از باینری به اعشاری و بالعکس در ذهن خود ترجمه کند. علاوه بر این ، به ندرت کسی می داند که چگونه این کار را در ذهن خود انجام دهد ، عمدتاً معلمان دوره های مختلف در شبکه های رایانه ای به این دسته تعلق دارند ، زیرا آنها دائماً هر روز با این موضوع روبرو می شوند. اما با یک تکه کاغذ و یک خودکار، باید نحوه ترجمه را یاد بگیرید.

4.4.2 ارقام و اعداد اعشاری، ارقام در اعداد

بیایید ساده شروع کنیم و در مورد ارقام و اعداد باینری صحبت کنیم، می دانید که اعداد و اعداد دو چیز متفاوت هستند. رقم یک نماد ویژه برای تعیین است و عدد یک نماد انتزاعی است که به معنای یک مقدار است. مثلاً برای اینکه بنویسیم پنج انگشت در دست داریم می توانیم از اعداد رومی و عربی استفاده کنیم: V و 5. در این صورت پنج هم عدد است و هم عدد. و مثلا برای نوشتن عدد 20 از دو رقم 2 و 0 استفاده می کنیم.

در کل در سیستم اعداد اعشاری ده رقم یا ده کاراکتر داریم (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) که با ترکیب آنها می توانیم اعداد مختلفی بنویسیم. هنگام استفاده از سیستم اعداد اعشاری از چه اصولی پیروی می کنیم؟ بله، همه چیز بسیار ساده است، ما ده را به یک درجه یا آن درجه می آوریم، مثلاً عدد 321 را می گیریم. چگونه می توان آن را متفاوت نوشت، اما به این صورت: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . بنابراین، معلوم می شود که عدد 321 نشان دهنده سه رقم است:

1. عدد 3 به معنای مهم ترین رقم است یا در این حالت رقم صدها است و در غیر این صورت عدد آنهاست.
2. عدد 2 در محل ده ها قرار دارد، ما دو ده داریم.
3. عدد یک کم اهمیت ترین رقم است.

یعنی در این مدخل، دُس فقط یک دُس نیست، بلکه دو ده یا دو ده در ده است. سه گانه فقط سه برابر نیست، بلکه سه برابر صد است. چنین وابستگی به نظر می رسد: واحد هر رقم بعدی ده برابر بیشتر از واحد قبلی است، زیرا آنچه 300 است سه برابر صد است. یک انحراف در مورد سیستم اعداد اعشاری برای آسان‌تر کردن درک دودویی مورد نیاز بود.

4.4.3 ارقام و اعداد باینری و علامت گذاری آنها

در سیستم اعداد باینری فقط دو رقم وجود دارد: 0 و 1. بنابراین، نوشتن یک عدد به صورت دودویی اغلب بسیار بزرگتر از اعشاری است. به استثنای اعداد 0 و 1، صفر در باینری برابر با صفر در اعشار است و برای یک نیز به همین صورت است. گاهی اوقات برای اینکه اشتباه نشود که عدد در کدام سیستم اعداد نوشته شده است، از زیرشاخص هایی استفاده می شود: 267 10، 10100 12، 4712 8. عدد موجود در زیرشاخص سیستم اعداد را نشان می دهد.

کاراکترهای 0b و &(امپرسند) را می توان برای نوشتن اعداد باینری استفاده کرد: 0b10111، &111. اگر در سیستم اعداد اعشاری برای تلفظ عدد 245 از این ساختار استفاده کنیم: دویست و چهل و پنج، سپس در سیستم اعداد دودویی برای نامگذاری عدد، باید عدد را از هر رقم تلفظ کنیم، به عنوان مثال، عدد 1100 در سیستم اعداد باینری نباید به صورت هزارصد تلفظ شود، بلکه باید یک، یک، صفر، صفر تلفظ شود. بیایید به اعداد 0 تا 10 در نماد دودویی نگاه کنیم:

من فکر می کنم منطق باید تا الان مشخص باشد. اگر در سیستم اعداد اعشاری برای هر رقم ده گزینه در دسترس داشتیم (از 0 تا 9 شامل)، پس در سیستم اعداد باینری در هر یک از ارقام یک عدد باینری فقط دو گزینه داریم: 0 یا 1.

برای کار با آدرس های IP و ماسک های زیر شبکه، اعداد طبیعی در سیستم باینری برای ما کافی است، اگرچه سیستم باینری امکان نوشتن اعداد کسری و منفی را به ما می دهد، اما ما به این نیاز نداریم.

4.4.4 تبدیل اعداد از اعشار به باینری

بیایید در آن بهتر شویم، چگونه یک عدد را از اعشار به باینری تبدیل کنیم. و در اینجا همه چیز در واقع بسیار بسیار ساده است ، اگرچه توضیح آن با کلمات دشوار است ، بنابراین فوراً خواهم گفت مثال تبدیل اعداد از اعشار به باینری. بیایید عدد 61 را در نظر بگیریم، برای تبدیل به سیستم باینری، باید این عدد را بر دو تقسیم کنیم و ببینیم در باقی مانده تقسیم چه اتفاقی می افتد. و نتیجه تقسیم دوباره بر دو تقسیم می شود. در این حالت، 61 سود تقسیمی است، ما همیشه یک دو را به عنوان مقسوم‌کننده خواهیم داشت و ضریب (نتیجه تقسیم) را دوباره بر دو تقسیم می‌کنیم، تقسیم را ادامه می‌دهیم تا ضریب 1 شود، این آخرین واحد چپ‌ترین رقم خواهد بود. . شکل زیر این موضوع را نشان می دهد.

در عین حال توجه داشته باشید که عدد 61 101111 نیست، بلکه 111101 است، یعنی نتیجه را از آخر می نویسیم. معنی خاصی در تقسیم بر دو در مورد آخر وجود ندارد، زیرا در این مورد از تقسیم عدد صحیح استفاده می شود و با این رویکرد مانند شکل 4.4.2 معلوم می شود.

این سریعترین راه برای تبدیل یک عدد از باینری به اعشاری نیست. ما چندین شتاب دهنده داریم. به عنوان مثال، عدد 7 در سیستم باینری به عنوان 111، عدد 3 به عنوان 11، و عدد 255 به عنوان 11111111 نوشته می شود. همه این موارد به طرز فجیعی ساده هستند. واقعیت این است که اعداد 8 و 4 و 256 توان های دو هستند و اعداد 7 و 3 و 255 یک عدد کمتر از این اعداد هستند. بنابراین برای عددی که یک عدد کمتر از عددی برابر با توان دو است، یک قانون ساده اعمال می‌شود: در سیستم دودویی، چنین عدد اعشاری به صورت تعداد واحدهای برابر با توان دو نوشته می‌شود. مثلاً عدد 256 دو ​​به توان هشتم است، بنابراین 255 به صورت 11111111 و عدد 8 دو به توان سوم است و این به ما می گوید که 7 در سیستم باینری به صورت 111 نوشته می شود. خوب، درک کنید، نحوه نوشتن 256، 4 و 8 به صورت باینری نیز دشوار نیست، فقط یکی را اضافه کنید: 256 = 11111111 + 1 = 100000000. 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
شما می توانید هر یک از نتایج خود را در یک ماشین حساب بررسی کنید، و در ابتدا بهتر است این کار را انجام دهید.

همانطور که می بینید، ما هنوز نحوه اشتراک گذاری را فراموش نکرده ایم. و اکنون می توانیم ادامه دهیم.

4.4.5 تبدیل اعداد از باینری به اعشاری

تبدیل اعداد از سیستم باینری بسیار ساده تر از تبدیل اعداد از اعشار به باینری است. به عنوان نمونه ترجمه از عدد 11110 استفاده می کنیم. به پلاک زیر توجه کنید، قدرتی را نشان می دهد که باید یک دو را بلند کنید تا در نهایت یک عدد اعشاری به دست آورید.

برای به دست آوردن یک اعشار از این عدد دودویی، باید هر عدد از رقم را در دو در توان ضرب کنید، و سپس نتایج ضرب را اضافه کنید، نشان دادن آن آسان تر است:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

بیایید ماشین حساب را باز کنیم و مطمئن شویم که 30 در اعشار 11110 در باینری است.

می بینیم که همه چیز به درستی انجام شده است. از مثال می توان دریافت که تبدیل یک عدد از دودویی به اعشاری بسیار ساده تر از تبدیل مجدد است. برای کار با اطمینان، فقط باید قدرت های دو تا 2 8 را به خاطر بسپارید. برای وضوح، جدولی ارائه می کنم.

ما به چیز بیشتری نیاز نداریم، زیرا حداکثر تعداد ممکن که می توان در یک بایت نوشت (8 بیت یا هشت مقدار باینری) 255 است، یعنی در هر اکتت آدرس IP یا ماسک زیر شبکه IPv4، حداکثر مقدار ممکن است. 255. فیلدهایی وجود دارد که در آنها مقادیر بزرگتر از 255 وجود دارد، اما ما نیازی به محاسبه آنها نداریم.

4.4.6 جمع، تفریق، ضرب اعداد باینری و سایر عملیات با اعداد باینری

بیایید اکنون نگاه کنیم عملیاتی که می توان روی اعداد باینری انجام داد. بیایید با عملیات ساده حسابی شروع کنیم و سپس به عملیات جبر بولی بپردازیم.

اضافه دودویی

افزودن اعداد باینری چندان سخت نیست: 1+0 =1; 1+1=0 (بعداً توضیح خواهم داد). 0+0=0. اینها نمونه های ساده ای بودند که در آن فقط یک رقم استفاده شده بود، بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که تعداد ارقام بیش از یک است.
101 + 1101 در اعشار 5 + 13 = 18 است. بیایید در یک ستون بشماریم.

نتیجه با رنگ نارنجی مشخص شده است، ماشین حساب می گوید که ما درست محاسبه کردیم، می توانید آن را بررسی کنید. حالا بیایید ببینیم چرا این اتفاق افتاد، زیرا در ابتدا نوشتم که 1 + 1 = 0، اما این برای مواردی است که فقط یک رقم داریم، برای مواردی که بیش از یک رقم وجود دارد، 1 + 1 = 10 (یا دو) به صورت اعشاری)، که منطقی است.

سپس نگاه کنید چه اتفاقی می‌افتد، ما اعداد را از راست به چپ جمع می‌کنیم:

1. 1+1=10، صفر بنویسید و یک به بیت بعدی می رود.

2. در رقم بعدی 0+0+1=1 به دست می آید (این واحد از نتیجه جمع در مرحله 1 به دست ما رسیده است).

4. در اینجا ما یک واحد فقط برای عدد دوم داریم، اما به اینجا منتقل شده است، بنابراین 0 + 1 + 1 = 10.

5. همه چیز را به هم بچسبانید: 10|0|1|0.

اگر تنبلی در یک ستون است، پس بیایید اینطور بشماریم: 101011 + 11011 یا 43 + 27 = 70. اینجا چه کار می توانیم بکنیم، اما بیایید نگاه کنیم، زیرا هیچ کس ما را از ایجاد تبدیل منع نمی کند، و مجموع از تغییر تغییر نمی کند. مکان‌های عبارات، برای سیستم اعداد باینری نیز این قانون اعمال می‌شود.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

می توانید با ماشین حساب بررسی کنید، 1000110 در باینری 70 در اعشار است.

تفریق اعداد باینری

مثالی برای تفریق اعداد تک رقمی در سیستم اعداد باینری، ما در مورد اعداد منفی صحبت نکردیم، بنابراین 0-1 را در نظر نمی گیریم: 1 - 0 = 1. 0 - 0 = 0; 1 - 1 = 0. اگر بیش از یک رقم وجود داشته باشد، پس همه چیز نیز ساده است، حتی هیچ ستون و ترفندی لازم نیست: 110111 - 1000، این همان 55 - 8 است. در نتیجه، 101111 به دست می آید. ضربان قلب متوقف شد، واحد رقم سوم از کجا می آید (شماره از چپ به راست و از صفر شروع می شود)؟ بله، همه چیز ساده است! رقم دوم عدد 110111 0 و رقم اول 1 است (اگر فرض کنیم شماره گذاری ارقام از 0 شروع شده و از چپ به راست می رود) اما واحد رقم چهارم با جمع دو واحد به دست می آید. از رقم سوم (نوعی دو مجازی به دست می آید) و از این دو جدا می کنیم یک را که در رقم صفر عدد 1000 است، اما 2 - 1 = 1، خوب، 1 یک رقم معتبر در باینری است. سیستم شماره

ضرب اعداد باینری

برای ما باقی مانده است که ضرب اعداد باینری را در نظر بگیریم که با جابجایی یک بیت به چپ اجرا می شود.. اما ابتدا به نتایج حاصل از ضرب تک رقمی نگاه می کنیم: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. در واقع، همه چیز ساده است، حالا بیایید به چیز پیچیده تر نگاه کنیم. بیایید اعداد 101001 (41) و 1100 (12) را در نظر بگیریم. در یک ستون ضرب خواهیم کرد.

اگر از جدول مشخص نیست که چگونه اتفاق افتاده است، سعی می کنم با کلمات توضیح دهم:

1. ضرب کردن اعداد باینری در یک ستون راحت است، بنابراین عامل دوم را زیر عامل اول می نویسیم، اگر اعداد تعداد ارقام متفاوتی داشته باشند، اگر عدد بزرگتر در بالا باشد راحت تر خواهد بود.
2. گام بعدی این است که تمام ارقام عدد اول را در کمترین رقم عدد دوم ضرب کنیم. حاصل ضرب را در زیر می نویسیم؛ در این صورت باید آن را یادداشت کرد تا در زیر هر رقم مربوطه، حاصل ضرب نوشته شود.
3. اکنون باید تمام ارقام عدد اول را در رقم بعدی عدد دوم ضرب کنیم و نتیجه را یک خط دیگر در زیر بنویسیم، اما این نتیجه باید یک رقم به سمت چپ منتقل شود، اگر به جدول نگاه کنید، سپس این دومین دنباله صفر از بالا است.
4. شما باید همین کار را برای ارقام بعدی انجام دهید، هر بار یک رقم را به سمت چپ حرکت دهید، و اگر به جدول نگاه کنید، می توانید آن یک سلول را به سمت چپ بگویید.
5. ما چهار عدد دودویی گرفتیم که حالا باید آنها را جمع کنیم و نتیجه را بگیریم. علاوه بر این که اخیراً در نظر گرفتیم، مشکلات نباید ایجاد شود.

به طور کلی، عملیات ضرب چندان دشوار نیست، فقط باید کمی تمرین کنید.

عملیات جبر بولی

در جبر بولی دو مفهوم بسیار مهم وجود دارد: درست (درست) و نادرست (نادرست) که معادل آنها صفر و یک در سیستم اعداد باینری است. عملگرهای جبر بولی تعداد عملگرهای موجود را بر روی این مقادیر گسترش می دهند، بیایید نگاهی به آنها بیندازیم.

عملیات "Logical AND" یا AND

عملیات "Logical AND" یا AND معادل ضرب اعداد باینری یک بیتی است.

1 و 1 = 1; 1 و 0 = 1; 0 و 0 = 0; 0 و 1 = 0.

نتیجه "Logical AND" تنها در صورتی یک خواهد بود که هر دو مقدار برابر با یک باشند، در سایر موارد صفر خواهد بود.

عملیات Logical OR یا OR

عملیات Logical OR یا OR طبق اصل زیر عمل می کند: اگر حداقل یک مقدار برابر با یک باشد، نتیجه یک خواهد بود.

1 یا 1 = 1; 1 یا 0 = 1; 0 یا 1 = 1; 0 یا 0 = 0.

عملیات XOR

عمل XOR یا XOR تنها در صورتی نتیجه یک را به ما می دهد که یکی از عملوندها برابر با یک و دومی برابر با صفر باشد. اگر هر دو عملوند صفر باشند، صفر و حتی اگر هر دو عملوند برابر با یک باشند، نتیجه صفر خواهد بود.

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 باشد (بالاخره 10 رقم و 26 حرف لاتین). اعداد نباید از 30 کاراکتر تجاوز کنند. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید، وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت ورود" کلیک کنید.

شماره اصلی ثبت شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم یک رکورد از یک عدد در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

یک ورودی دریافت کنید

نقل و انتقالات انجام شده: 1237200

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، و همچنین سیستم رومی وجود دارد - این فقط موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به مثال برخی از اعداد درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به صورت زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 26 +7 10 -3 .

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

ساده ترین راه برای انتقال یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم اعداد دیگر این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه به دست آمده را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با شروع از صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. تبدیل عدد 1001101.1101 2 به سیستم اعداد اعشاری.
تصمیم: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. تبدیل عدد E8F.2D 16 به سیستم اعداد اعشاری.
تصمیم: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه ترجمه شوند.

تبدیل قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

قسمت صحیح از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگری با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح که کمتر از پایه سیستم اعداد است بدست آید. نتیجه انتقال یک رکورد از باقیمانده ها خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.

3. تبدیل عدد 273 10 به سیستم اعداد اکتالی.
تصمیم: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1، 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2، 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد باقی مانده به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. پس ترجمه صحیح است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

بیایید ترجمه کسرهای اعشاری صحیح را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از یک سیستم اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب است عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به طور مداوم در N ضرب کنید تا زمانی که قسمت کسری صفر شود یا تعداد ارقام مورد نیاز به دست آید. اگر در حین ضرب عددی با یک جزء صحیح غیر از صفر به دست آید ، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود ، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. تبدیل عدد 0.125 10 به سیستم اعداد باینری.
تصمیم: 0.125 2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که اولین رقم نتیجه خواهد بود)، 0.25 2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5 2 = 1.0 (1 رقم سوم نتیجه است. ، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2