محاسبه فرآیندهای گذرا در مدارهای الکتریکی خطی به روش متغیرهای حالت
این همه کاره ترین روش برای محاسبه مدارها، چه مدارها و چه غیرخطی است. این روش برای محاسبه مدارهای با مرتبه بالا زمانی استفاده می شود که استفاده از سایر روش های محاسبه غیرعملی یا عملاً غیرممکن باشد. روش متغیرهای حالت بر اساس حل معادلات حالت ( مرتبه اول) نوشته شده به شکل کوشی است. برای حل سیستم معادلات مرتبه اول، روش های عددی ایجاد شده است که امکان خودکارسازی محاسبه فرآیندهای گذرا با رایانه را فراهم می کند. بنابراین، روش متغیرهای حالت یکی از محاسبه فرآیندهای گذرا است که در درجه اول بر روی استفاده از رایانه متمرکز است.
برای یک مدار خطی با پارامترهای توده ای ثابت، جریان هر شاخه، ولتاژ بین پایانه ها، بار روی صفحات، خازن و غیره را می توان به عنوان راه حلی برای معادله دیفرانسیل که برای این جریان، ولتاژ، بار تهیه شده است، یافت. و غیره، به استثنای سایر جریان ها و تنش ها از سیستم معادلات کیرشهوف:
با معرفی متغیرها
معادله (1.1) به یک سیستم معادل از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاهش می یابد:
(1.2)
در اینجا، متغیرهایی که متغیرهای حالت نامیده می شوند، متغیر X و مشتقات آن هستند. فرض بر این است که مدار فقط دارای منابع مستقل است و شامل مقاطع القایی و مدارهای خازنی نیست. در غیر این صورت، نوشتن معادلات بسیار دشوارتر می شود.
1. تشکیل معادلات متغیرهای حالت
وضعیت انرژی مدار و در نتیجه فرآیند گذرا در هر مداری با انرژی میدان مغناطیسی ذخیره شده در سلف ها و انرژی میدان الکتریکی ذخیره شده در ظروف تعیین می شود. ذخایر انرژی در عناصر راکتیو تعیین کننده جریان در سلف ها و ولتاژهای خازنی است، به عنوان مثال. آنها حالت انرژی مدار را تعیین می کنند و بنابراین به عنوان متغیرهای حالت مستقل در نظر گرفته می شوند.
هر سیستم معادلاتی که وضعیت یک زنجیره را تعیین کند، معادلات حالت نامیده می شود. جریان در عناصر القایی 
و ولتاژ بین عناصر خازنی 
شرایط اولیه مستقل را نشان می دهد 
زنجیر است و باید شناخته یا محاسبه شود. مقادیر جستجو شده از طریق آنها در طول فرآیند گذرا بیان می شوند.
منابع انرژی عملیاتی معمولاً کمیت های ورودی نامیده می شوند 
، و کمیت های مورد نیاز (جریان و ولتاژ) کمیت های خروجی هستند 
.
برای زنجیر با nجریان های مستقل 
و استرس ها 
باید بیشتر پرسید nشرایط اولیه مستقل روش های حساب ماتریسی برای عملیات با تعداد زیادی متغیر استفاده می شود.
به صورت اختصاری، معادلات دیفرانسیل حالتی که مدار را مطابق با قوانین کیرشهوف توصیف می کند، به صورت ماتریسی نوشته شده است:
, (1.3)
که در آن X بردار ستونی (اندازه n x 1) از متغیرهای حالت دلخواه است. V یک بردار ستون (اندازه m x 1) از تأثیرات خارجی (EMF و جریان منبع) است. A - ماتریس مربع از مرتبه n (اساسی)؛ ب - ماتریس ارتباط بین ورودی های مدار و متغیرهای حالت (اندازه n x m). عناصر این ماتریس ها با توپولوژی و پارامترهای مدار تعیین می شوند 
m تعداد ورودی‌ها و n تعداد متغیرهای حالت است.
برای کمیت های خروجی (اگر جریان در سلف ها و ولتاژهای عناصر خازنی تعیین نشده باشد)، لازم است معادله دیگری به شکل ماتریس اضافه شود:
(1.4)
که در آن Y یک بردار است - ستونی از جریان ها و ولتاژهای مورد نظر در خروجی (اندازه گیری 1 x 1)، 1 تعداد خروجی ها است. ج - ماتریس اتصال متغیرهای حالت با خروجی مدار (n x 1). د - ماتریس اتصال مستقیم ورودی و خروجی مدار (اندازه 1×m). عناصر ماتریس به توپولوژی و مقادیر پارامترهای مدار بستگی دارد 
.
سیستم معادلات ماتریسی
;
(1.5)
را می توان در قالب یک نمودار ساختاری ارائه کرد (شکل 1.3).
1.1. ترسیم معادلات حالت برای یک زنجیره
روش همپوشانی
اجازه دهید بعد از سوئیچینگ نمودار مدار داده شود
فرض می کنیم که متغیرهای حالت داده شده است. مدار در نظر گرفته شده (شکل 2) پس از تعویض با مداری معادل (شکل 3) جایگزین می شود که در آن جریان داده شده 
توسط یک منبع فعلی نشان داده شده است 
، ولتاژ را تنظیم کنید 
منبع ولتاژ 
.
با اعمال روش برهم نهی (جهت های مثبت انتخاب شده)، تنش ها را یادداشت می کنیم 
و جریانات 
(ابتدا عملکرد منبع را در نظر می گیریم 
سپس 
و منابع دیگری که در زنجیره کار می کنند).
از عمل 
:
;
;
از عمل 
:
;
;
از اقدام e:
;
,
و کل جریان 
و تنش
(1.6)
با توجه به اینکه 
و 
گرفتن
یعنی به صورت ماتریسی می توان معادله (1.7) را نوشت
(1.8)
1.2. ترسیم معادلات حالت برای مدار با استفاده از
قوانین کیرشهوف
معادلات (1.7) را نیز می توان از معادلات Kirchhoff با حذف جریان و ولتاژ عناصر مقاومتی بدست آورد. با توجه به قوانین کیرشهوف، معادلات زنجیره (نگاه کنید به شکل 2) را می توان به شکل نوشتاری نوشت.
(1.9)
اجازه دهید معادله اول سیستم را با توجه به حل کنیم 
، سوم، با توجه به اینکه 
، به طور نسبی 
... سپس
(1.10)
متغیرها 
و 
متغیرهای حالت مدار مورد نظر هستند. سمت راست سیستم (1.10) حاوی متغیر است 
,
یک متغیر حالت مستقل نیست. برای حذف آن، معادله دوم سیستم (1.9) را در فرم بازنویسی می کنیم
(1.11)
و در اینجا جایگزین کنید 
.
مقدار فعلی به دست آمده از (1.11)
(1.12)
جایگزینی در سیستم (1.10).
ما سیستم معادلات را در متغیرهای حالت به دست می آوریم 
برای مدار بررسی شده
(1.13)
که در آن X، X، V، A، B با سیستم معادلات (1.7) مطابقت دارد.
اجازه دهید در مثال در نظر گرفته شده برای تعیین جریان مورد نیاز است 
و 
... از این رو 
و 
مقادیر خروجی مدار خواهد بود و باید در فرم نمایش داده شوند 
,
.جاری 
قبلاً به شکل مورد نیاز (1.12) و جریان تعریف شده است 
سپس سیستم دوم معادلات در متغیرهای حالت 
شکل خواهد گرفت
(1.14)
به صورت ماتریسی می توان سیستم معادلات (1.14) را به شکل نوشت
(1.15)
در حالت خاص، اگر متغیرهای خروجی متغیرهای حالت باشند 
سپس ماتریس С به شکل یک ماتریس مورب است و عناصر ماتریس D برابر با صفر هستند.
معادلات حالت در رایانه با روش های عددی حل می شود.
مطالعه مطالب نظری در ادبیات آموزشی:; و به سوالات زیر پاسخ دهید:
1. معمولاً چه متغیرهایی در مدار الکتریکی برای متغیرهای حالت گرفته می شود؟
2. هنگام حل یک مسئله با روش متغیرهای حالت، چند سیستم معادله تشکیل می دهند؟
3. هنگام حل مسئله به روش متغیرهای حالت چه وابستگی هایی در سیستم معادلات اول و دوم برقرار می شود؟
4. کدام یک از دو سیستم معادلات دیفرانسیل جبری است؟
5. برای به دست آوردن معادلات حالت و معادلات پارامترهای خروجی از چه روش هایی استفاده می شود؟
هنگام محاسبه گذرا با روش متغیر حالت، ترتیب زیر توصیه می شود:
1. متغیرهای حالت را انتخاب کنید. در مدارهای پیشنهادی برای محاسبه، اینها ولتاژهای روی عناصر خازنی و جریان های موجود در سیم پیچ های القایی هستند.
2. یک سیستم معادلات دیفرانسیل برای اولین مشتقات متغیرهای حالت بسازید.
برای انجام این کار، مدار پس از تبدیل را با استفاده از قوانین Kirchhoff توصیف کنید و آن را با توجه به مشتقات اولیه متغیرهای حالت و بسته به متغیرها و منابع emf حل کنید. (در طرح های پیشنهادی، منبع emf تنها یک است).
در شکل ماتریسی، این سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه 1 به شکل زیر خواهد بود:
, (8.1)
ستونی از مشتقات کجاست.
ایکس- بردار - ستون متغیرهای حالت.
در مدارهای مرتبه دوم:
- ماتریس مربع ترتیب nتوسط توپولوژی مدار الکتریکی و پارامترهای عناصر آن تعیین می شود. در زنجیره های مرتبه دوم، این ماتریس از مرتبه 2´2 است.
ماتریس یک ماتریس مستطیلی از نظم است که در آن n- ترتیب زنجیره ای
ماتریس - ستون - توسط منابع emf تعیین می شود. و منابع جریان مدار و نامیده می شود بردار مقادیر ورودی.
3. یک سیستم معادلات جبری برای متغیرهای مورد نظر بسازید که به آنها می گویند. تعطیلات آخر هفته... اینها جریان در هر شاخه مدار (به جز جریان) و ولتاژ روی هر عنصر مدار (به جز ولتاژ) هستند. معادلات جبری حاصل، روابط بین متغیرهای خروجی، از یک سو، و متغیرهای حالت و منابع ولتاژ و جریان مدار، از سوی دیگر برقرار می کند. در شکل ماتریسی، این سیستم معادلات جبری دارای فرم است
,
بردار مقادیر خروجی کجاست.
- ماتریس های تعیین شده توسط توپولوژی مدار الکتریکی، پارامترهای عناصر آن و تعداد متغیرهای جستجو شده.
معادلات حالت را می توان هر سیستم معادلاتی نامید که حالت مدار را تعیین می کند. در معنای محدودتر، این یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که با توجه به مشتقات حل شده است.
روش متغیرهای حالت را تجزیه و تحلیل یک زنجیره بر اساس حل معادلات حالت (از درجه اول) می گویند که به شکل کوشی نوشته شده است. بنابراین، روش متغیرهای حالت یکی از روش های محاسبه، اول از همه، فرآیندهای گذرا است. علاوه بر این، فرض بر این است که مدار فقط دارای منابع مستقل است و شامل مقاطع القایی و مدارهای خازنی نیست. در غیر این صورت، نوشتن معادلات بسیار دشوارتر می شود.
برای یک مدار خطی با پارامترهای توده ای ثابت، جریان هر شاخه، ولتاژ بین پایانه های انتخاب شده، بار روی صفحات خازن و غیره همیشه می تواند به عنوان راه حلی برای جریان، ولتاژ، شارژ و غیره کامپایل شود. برای این معادله دیفرانسیل (به عنوان مثال، با حذف سایر جریان ها و ولتاژها از سیستم معادلات Kirchhoff):
با معرفی متغیرها، این معادله به یک سیستم معادل از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاهش می یابد:
در اینجا، متغیرهایی به نام متغیرهای حالت، x و مشتقات آن هستند.
همانطور که می دانید، فرآیند گذرا در هر مدار، به جز پارامترهای آن (مقادیر r، L، C، M) و منابع عملیاتی، با شرایط اولیه مستقل (t = 0) - جریان در عناصر القایی و ولتاژ تعیین می شود. روی عناصر خازنی که باید شناخته یا محاسبه شوند. مقادیر جستجو شده از طریق آنها در طول فرآیند گذرا بیان می شوند. آنها همچنین وضعیت انرژی زنجیره را تعیین می کنند. بنابراین، توصیه می شود که جریان و ولتاژ را به عنوان متغیر حالت انتخاب کنید. منابع عملیاتی را می توان کمیت های ورودی نامید 
، مقادیر جستجو شده خروجی هستند 
... برای مداری با n جریان و ولتاژ مستقل، n شرایط اولیه مستقل بیشتری باید مشخص شود.
به طور خلاصه معادلات دیفرانسیل حالت را به صورت ماتریسی به صورت زیر می نویسیم:
یا کوتاهتر
که در آن X یک ماتریس ستونی (اندازه n x 1) از متغیرهای حالت (بردار متغیرهای حالت) است. F - ماتریس-ستون (اندازه m x 1) جریان های EMF و منبع (اختلال های خارجی). A - ماتریس مربع از مرتبه n (اساسی)؛ ب - ماتریس اندازه n x m (ماتریس ارتباطات). عناصر این ماتریس ها توسط پارامترهای توپولوژی و مدار تعیین می شوند.
برای کمیت های خروجی (اگر جریان القایی و ولتاژ عناصر خازنی تعیین نشده باشد) به صورت ماتریسی، سیستم معادلات جبری شکل دارد.
یا کوتاهتر
که در آن W یک ماتریس ستونی است (به اندازه l x 1). M - ماتریس اتصال (اندازه l x n)؛ N - ماتریس اتصال (اندازه l x m).
عناصر ماتریس به توپولوژی و پارامترهای مدار بستگی دارند. برای معادلات حالت، الگوریتم های تشکیل ماشین بر اساس توپولوژی و مقادیر پارامتر نیز توسعه داده شده است.
معادلات به صورت ماتریسی (14.91) را می توان به عنوان مثال با استفاده از روش برهم نهی تشکیل داد. برای به دست آوردن وابستگی بین مشتقات متغیرهای حالت، یعنی. 
و متغیرهای حالت، و همچنین جریان های EMF و منبع فعال در مدار، فرض می کنیم که متغیرهای حالت داده شده است. مدار مورد بحث، به عنوان مثال در شکل. 14.41، a، ما پس از تعویض با یک معادل جایگزین می کنیم (شکل 14.41.6)، که در آن هر جریان داده شده توسط یک منبع جریان، و هر ولتاژ داده شده توسط یک منبع ولتاژ (EMF) نشان داده می شود. با استفاده از روش برهم نهی (جهت های مثبت انتخاب شده است)، ولتاژها و جریان ها را یادداشت می کنیم (اول، عملکرد منابع، سپس و سپس منابع فعال در مدار را در نظر می گیریم):
از آن به بعد
البته معادلات (93/14) را می توان از معادلات کیرشهوف با حذف جریان و ولتاژ عناصر مقاومتی به دست آورد. با این حال، حل مشترک معادلات Kirchhoff با افزایش تعداد شاخه های زنجیره، بیش از پیش دست و پا گیر می شود.
معادلات حالت را می توان مستقیماً به صورت ماتریسی تشکیل داد.
اگر هیچ منبع جریان و EMF وجود نداشته باشد، یعنی F = 0، سپس معادلات (14.91) ساده شده است.
و فرآیندهای آزاد را در زنجیره مشخص کنید. راه حل را در فرم می نویسیم
که در آن X (0) - ماتریس-ستون مقادیر اولیه متغیرهای حالت؛ - تابع نمایی ماتریسی.
با جایگزینی (14.94) به (14.91c)، مطمئن می شویم که هویت به دست آمده است.
هنگام حل معادله (91/14) به شکل نمایش داده می شود
که در آن Ф (t) تابع ماتریسی زنجیره است. پس از تمایز (14.95)، به دست می آوریم
مقایسه (14.96) با (14.91a)
و با ضرب در، پس از ادغام متوجه می شویم که
که در آن q متغیر یکپارچه سازی یا
این عبارت را در (14.95) جایگزین کنید:
به طور خاص، برای t = 0 ما داریم 
بنابراین، راه حل برای متغیرهای حالت به شکل نوشته شده است
(واکنش زنجیره ای برابر است با مجموع واکنش ها در ورودی صفر و در حالت اولیه صفر).
این راه حل را می توان با استفاده از روش عملگر برای محاسبه گذرا، در نظر گرفته شده در بخش به دست آورد.
مقادیر خروجی را می توان با (14.92) پیدا کرد.
اگر وضعیت زنجیره نه در t = 0، بلکه در تعیین شود، در (14.97) جمله اول به صورت زیر نوشته می شود:، و حد پایین انتگرال 0 نیست، بلکه t است.
مشکل اصلی محاسبه در محاسبه تابع نمایی ماتریس نهفته است. یکی از راه ها به شرح زیر است: ابتدا مقادیر ویژه l ماتریس A، یعنی ریشه های معادله را پیدا می کنیم.
که در آن 1 ماتریس واحد مرتبه n است که از معادله تعیین می شود
عناصر ماتریس A کجا هستند.
مقادیر ویژه با ریشه های معادله مشخصه مدار منطبق است.
یک نمایی ماتریسی که آرگومان آن یک ماتریس At مرتبه n است، می تواند با یک عدد متناهی n از جمله ها نمایش داده شود. اگر مقادیر ویژه متفاوت باشد، پس
توابع زمان کجا هستند. 
و غیره.
در نهایت، با تعیین از (14.100)، توسط (14.99) و سپس X (t) توسط (14.97) را پیدا می کنیم.
مثال 14.6. در شکل 1 جریان مدار را تعیین کنید. 14.42 پس از تعویض در.
راه حل. ما جهت های مثبت جریان ها را در عناصر القایی انتخاب می کنیم، یعنی متغیرهای حالت و جریان. شرایط اولیه مستقل:. معادلات مدار دیفرانسیل
با حذف جریان، معادلات مشتقات متغیرهای حالت را به دست می آوریم:
یعنی طبق (14.91)
و ماتریس ستون مقادیر اولیه
بیایید مقادیر ویژه را محاسبه کنیم. توسط (14.98)
جایی که . اگر تعیین کننده اصلی معادلات را با متغیرهای حالت معادل صفر کنیم، همان مقادیر را به دست می آوریم. 
.
ضرایب ak را مطابق (100/14) یعنی از سیستم معادلات پیدا می کنیم.
مقادیر فعلی در لحظه محاسبه می شود 
ثانیه برای بازه زمانی 0 - 0.1 ثانیه، که در پایان آن جریان با حالت پایدار کمتر از 1.5٪ متفاوت است، در جدول آورده شده است. 14.1. در محاسبات، اعداد با 8 رقم و در تمام فرمول های ذکر شده در مثال و جدول نوشته شده است. 14.1 با گرد کردن نشان داده شده است.
جدول 14.1
اگر در بین n مقدار ویژه ماتریس A مضرب q وجود داشته باشد، برای n - q ریشه های مختلف سیستم (14.100) کامپایل می شود و برای مضرب q معادلات پس از محاسبه اولین مشتقات q - 1 با توجه به به دست می آید. هر دو طرف معادله با یک ریشه، یعنی
مبانی> مبانی نظری مهندسی برق
روش متغیر حالت
معادلات حالتشما می توانید هر سیستمی از معادلات را که حالت مدار را تعیین می کند نام ببرید. در معنای محدودتر، این سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که با توجه به مشتقات حل شده است.
روش متغیرهای حالت را تجزیه و تحلیل یک زنجیره بر اساس حل معادلات حالت (از درجه اول) می گویند که به شکل کوشی نوشته شده است. بنابراین، روش متغیرهای حالت یکی از روش های محاسبه، اول از همه، فرآیندهای گذرا است. علاوه بر این، فرض بر این است که مدار فقط دارای منابع مستقل است و شامل مقاطع القایی و مدارهای خازنی نیست. در غیر این صورت، نوشتن معادلات بسیار دشوارتر می شود.
برای یک مدار خطی با پارامترهای توده ای ثابت، جریان هر شاخه، ولتاژ بین پایانه های انتخاب شده، بار روی صفحات خازن و غیره همیشه می تواند به عنوان راه حلی برای جریان، ولتاژ، شارژ و غیره کامپایل شود. برای این معادله دیفرانسیل (به عنوان مثال، با حذف سایر جریان ها و ولتاژها از سیستم معادلات Kirchhoff):
با معرفی متغیرهااین معادله به یک سیستم معادل از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاهش می یابد:
در اینجا متغیرهایی نامیده می شوندمتغیرهای حالت، متغیر x و مشتقات آن هستند.
همانطور که می دانید، فرآیند گذرا در هر مدار، به جز پارامترهای آن (مقادیر r ، L، C، M) و منابع فعال[
e (t) و J (t)]، با شرایط اولیه مستقل (t = 0) تعیین می شود - جریان در عناصر القاییو ولتاژ روی عناصر خازنیشناخته شدن یا محاسبه شدن مقادیر جستجو شده از طریق آنها در طول فرآیند گذرا بیان می شوند. آنها همچنین وضعیت انرژی زنجیره را تعیین می کنند. بنابراین، توصیه می شود که جریان ها را به عنوان متغیرهای حالت انتخاب کنیدو ولتاژ ... منابع عملیاتی را می توان کمیت های ورودی نامید
، مقادیر جستجو شده خروجی هستند
... برای یک زنجیره با n جریان های مستقلو استرس ها باید بیشتر پرسید n شرایط اولیه مستقل
به طور خلاصه معادلات دیفرانسیل حالت را به صورت ماتریسی به صورت زیر می نویسیم:
یا کوتاهتر
که در آن X یک ماتریس ستونی است (به اندازه n x 1) متغیرهای حالت (بردار متغیرهای حالت)؛ F - ماتریس-ستون (اندازه m x 1) جریان های EMF و منبع (اختلال های خارجی). الف - ماتریس مربع ترتیب n (اصلی)؛ ب - ماتریس اندازه n x m (ماتریس ارتباطی). عناصر این ماتریس ها توسط پارامترهای توپولوژی و مدار تعیین می شوند.
برای کمیت های خروجی (اگر جریان القایی و ولتاژ عناصر خازنی تعیین نشده باشد) به صورت ماتریسی، سیستم معادلات جبری شکل دارد.
یا کوتاهتر
که در آن W یک ماتریس ستونی است (به اندازه l x 1). م - ماتریس ارتباطی (اندازه l x n ) N - ماتریس اتصال (اندازه l x m ).
عناصر ماتریس به توپولوژی و پارامترهای مدار بستگی دارند. برای معادلات حالت، الگوریتم های تشکیل ماشین بر اساس توپولوژی و مقادیر پارامتر نیز توسعه داده شده است.
معادلات به صورت ماتریسی (14.91) را می توان به عنوان مثال با استفاده از روش برهم نهی تشکیل داد. برای به دست آوردن وابستگی بین مشتقات متغیرهای حالت، یعنی.
و متغیرهای حالتو همچنین جریانهای EMF و منبع که در مدار عمل می کنند، فرض می کنیم که متغیرهای حالت داده شده است. مدار مورد بحث، به عنوان مثال در شکل. 14.41، و پس از تعویض، آن را با یک معادل جایگزین می کنیم (شکل 14.41.6)، که در آن هر جریان داده شدهتوسط یک منبع فعلی نشان داده شده است,
و هر ولتاژ داده شده- منبع ولتاژ (EMF)... با اعمال روش برهم نهی (جهت های مثبت انتخاب شده)، تنش ها را یادداشت می کنیمو جریانات (ابتدا تأثیر منابع را در نظر می گیریمسپس و منابع دیگری که در زنجیره فعالیت می کنند):
از آن به بعد
البته معادلات (93/14) را می توان از معادلات کیرشهوف با حذف جریان و ولتاژ عناصر مقاومتی به دست آورد. با این حال، حل مشترک معادلات Kirchhoff با افزایش تعداد شاخه های زنجیره، بیش از پیش دست و پا گیر می شود.
معادلات حالت را می توان مستقیماً به صورت ماتریسی تشکیل داد.
اگر هیچ منبع جریان و EMF وجود نداشته باشد، یعنی F = 0، سپس معادلات (14.91) ساده شده است.
و فرآیندهای آزاد را در زنجیره مشخص کنید. راه حل را در فرم می نویسیم
که در آن X (0) - ماتریس-ستون مقادیر اولیه متغیرهای حالت؛ - تابع نمایی ماتریسی.
با جایگزینی (14.94) به (14.91c)، مطمئن می شویم که هویت به دست آمده است.
درحل معادله (14.91) را به شکل نمایش می دهیم
جایی که Ф (t ) یک تابع ماتریسی از زنجیره است. پس از تمایز (14.95)، به دست می آوریم
مقایسه (14.96) با (14.91a)
و ضرب در ، پس از ادغام متوجه می شویم که
جایی که q - متغیر ادغام یا
این عبارت را در (14.95) جایگزین کنید:
به طور خاص، برای t = 0 ما داریم
بنابراین، راه حل برای متغیرهای حالت به شکل نوشته شده است
(واکنش زنجیره ای برابر است با مجموع واکنش ها در ورودی صفر و در حالت اولیه صفر).
این راه حل را می توان با استفاده از روش عملگر برای محاسبه گذرا، در نظر گرفته شده در بخش به دست آورد.
مقادیر خروجی را می توان با (14.92) پیدا کرد.
اگر وضعیت زنجیره نه در t = 0، بلکه در تعیین شود، سپس در (14.97) عبارت اول به صورت زیر نوشته می شود:، و حد پایین انتگرال 0 نیست، اماتی .
مشکل اصلی محاسبه در محاسبه تابع نمایی ماتریس نهفته است. یکی از راه ها این است: ابتدا مقادیر ویژه را پیدا می کنیمل ماتریس های A، یعنی ریشه های معادله
که در آن 1 ماتریس هویت سفارش است n که از معادله مشخص می شوند
جایی که - عناصر ماتریس A.
مقادیر ویژه با ریشه ها مطابقت دارندمعادله مشخصه مدار
توان ماتریس که آرگومان آن ماتریس A استتی داشتن نظم n ، را می توان با یک عدد محدود نشان داد n مقررات. اگر مقادیر ویژه متفاوت باشد، پس
جایی که - توابع زمان؛
و غیره.
علاوه بر این، برای تعیینیک سیستم جبری بسازید n معادله
در نهایت با تعریفاز (14.100)، توسط (14.99) پیدا می کنیمو سپس X (t) توسط (14.97).
مثال 14.6. جریان را تعیین کنید در مدار در شکل 14.42 پس از تعویض در.
راه حل. انتخاب جهت های مثبت جریان هادر عناصر استقرایی، یعنی متغیرهای حالت و جریان... شرایط اولیه مستقل:... معادلات مدار دیفرانسیل
حذف جریان ، معادلاتی را برای مشتقات متغیرهای حالت به دست می آوریم:
یعنی طبق (14.91)
و ماتریس ستون مقادیر اولیه
بیایید مقادیر ویژه را محاسبه کنیم. توسط (14.98)
جایی که ... اگر تعیین کننده اصلی معادلات را با متغیرهای حالت معادل صفر کنیم، همان مقادیر را به دست می آوریم.
.
ضرایب ak را مطابق (100/14) یعنی از سیستم معادلات پیدا می کنیم.
مقادیر فعلی در لحظه محاسبه می شود
ثانیه برای بازه زمانی 0 - 0.1 ثانیه، که در پایان آن جریان با حالت پایدار متفاوت است.کمتر از 1.5% در جدول آورده شده است. 14.1. در محاسبات، اعداد با 8 رقم و در تمام فرمول های ذکر شده در مثال و جدول نوشته شده است. 14.1 با گرد کردن نشان داده شده است.
جدول 14.1
0,005 |
0,010 |
0,015 |
0,020 |
0,025 |
0,030 |
0,035 |
0,040 |
0,045 |
0,050 |
|
1,079 |
1,213 |
1,343 |
1,455 |
1,550 |
1,628 |
1,692 |
1,746 |
1,790 |
1,827 |
|
0,055 |
0,060 |
0,065 |
0,070 |
0,075 |
0,080 |
0,085 |
0,090 |
0,095 |
0,100 |
|
، سپس برای n - q ریشه های مختلف سیستم (14.100) کامپایل شده است و برای مضرب q معادلات پس از محاسبه اولین مشتقات q - 1 با توجه به به دست می آید.از دو طرف معادله با ریشه، یعنی 
اگر فقط یک منبع EMF (یا جریان) در مدار عمل کند که نشان دهنده یک واحد پرش 1 است ( t)، یعنی F (t) = 1 (t ، و شرایط اولیه صفر است، سپس جواب (14.97) را می توان به شکل نوشت
برای مقادیر خروجی مطابق با (14.92a) بدست می آوریم اینها توابع انتقال زنجیره h (t) خواهند بود. توابع گذرا ضربه ای k (t ) توسط (14.84) یا (14.85) تعیین می شوند.یک راه کلی تر برای محاسبه یک تابع نمایی ماتریسی، نمایش آن توسط یک سری نامتناهی است اما سری برای t بزرگ به آرامی همگرا می شود. هنگامی که به تعداد محدودی از عبارت ها محدود می شود، محاسبه به ضرب و جمع ماتریس کاهش می یابد. چنین عملیاتی در نرم افزار کامپیوتر است. روش شناخته شده ای برای محاسبه تابع نمایی ماتریسی بر اساس معیار سیلورست وجود دارد. معادلات حالت مدارها که ترتیب آنها بیش از دو یا سه است، نه با روش های تحلیلی، بلکه با روش های عددی ساده تر حل می شوند، که امکان خودکارسازی محاسبه را در صورت استفاده از رایانه فراهم می کند. |
روش متغیر حالت (که روش فضای حالت نیز نامیده می شود) بر اساس دو معادله نوشته شده به صورت ماتریسی است.
ساختار معادله اول با این واقعیت مشخص می شود که ماتریس مشتقات بار اول متغیرهای حالت را با ماتریس های خود متغیرهای حالت و تأثیرات خارجی و که به عنوان e در نظر گرفته می شوند، مرتبط می کند. و غیره با. و جریان های منبع
معادله دوم ساختار جبری دارد و ماتریس مقادیر خروجی y را با ماتریس متغیرهای حالت و تأثیرات خارجی و.
با تعریف متغیرهای حالت، به ویژگی های زیر توجه می کنیم
1. به عنوان متغیرهای حالت در مدارهای الکتریکی، جریان در سلف ها و ولتاژهای خازن ها باید انتخاب شود و نه در همه اندوکتانس ها و نه در همه ظرفیت ها، بلکه فقط برای ظرفیت های مستقل، یعنی آنهایی که نظم کلی سیستم را تعیین می کنند. معادلات دیفرانسیل مدار
2. معادلات دیفرانسیل زنجیره با توجه به متغیرهای حالت به صورت متعارف نوشته می شوند، یعنی با توجه به اولین مشتقات متغیرهای حالت با توجه به زمان حل شده نشان داده می شوند.
توجه داشته باشید که تنها زمانی که متغیرهای حالت k در اندوکتانس‌های مستقل و ولتاژهای خازن‌های مستقل به عنوان متغیر حالت انتخاب شوند، اولین معادله روش متغیر حالت ساختار فوق را خواهد داشت.
اگر جریان در شاخه‌های دارای خازن یا جریان در شاخه‌های دارای مقاومت و همچنین ولتاژ روی سلف یا ولتاژ روی مقاومت به عنوان متغیر حالت انتخاب شوند، اولین معادله روش متغیرهای حالت را می‌توان به صورت متعارف نیز نشان داد، یعنی: با توجه به مشتقات اولین بار این مقادیر حل شده است. با این حال، ساختار سمت راست آنها با تعریف ارائه شده در بالا مطابقت ندارد، زیرا آنها همچنین شامل ماتریس اولین مشتقات تأثیرات خارجی هستند.
3. تعداد متغیرهای حالت برابر است با ترتیب سیستم معادلات دیفرانسیل مدار الکتریکی مورد بررسی.
4. انتخاب حالت جریانها و ولتاژها به عنوان متغیر نیز راحت است زیرا این کمیت ها طبق قوانین کموتاسیون (§ 13-1) در لحظه تغییر ناگهانی تغییر نمی کنند، یعنی یکسان هستند. برای لحظه های زمان
5. متغیرهای حالت به این دلیل نامیده می شوند که در هر لحظه از زمان حالت انرژی مدار الکتریکی را تنظیم می کنند، زیرا دومی با مجموع عبارات تعیین می شود.
6. نمایش معادلات به صورت متعارف هنگام حل آنها در رایانه های آنالوگ و برای برنامه نویسی هنگام حل آنها در رایانه های دیجیتال بسیار راحت است. بنابراین، چنین نمایشی هنگام حل این معادلات با کمک فن آوری رایانه ای مدرن بسیار مهم است.
اجازه دهید با مثال مدار در شکل را نشان دهیم. 14-14 چگونه معادلات متغیر حالت ساخته می شوند.
ابتدا سیستمی از معادلات دیفرانسیل مربوط به اولین معادله ماتریسی روش را بدست می آوریم و سپس آن را به صورت ماتریسی یادداشت می کنیم. الگوریتم کامپایل این معادلات برای هر مدار الکتریکی به شرح زیر است. اول، معادلات بر اساس قوانین Kirchhoff یا با روش جریان حلقه نوشته شده است. سپس متغیرهای حالت انتخاب شده و با تفکیک معادلات اصلی و حذف سایر متغیرها به دست می‌آیند.
معادلات روش متغیرهای حالت یافت می شود. این الگوریتم بسیار شبیه به الگوریتمی است که در روش کلاسیک برای محاسبه فرآیندهای گذرا برای به دست آوردن یک معادله دیفرانسیل حاصل با توجه به یکی از متغیرها استفاده می شود.
در موارد خاص که مدارهای خازنی در مدار وجود نداشته باشد، یعنی مدارهایی که تمام شاخه های آنها دارای ظرفیت هستند و گره هایی با انشعابات متصل وجود نداشته باشد که در هر یک از آنها سلف قرار گرفته باشد، می توان الگوریتم دیگری را نیز نشان داد. بدون پرداختن به آن، فقط توجه می کنیم که بر اساس جایگزینی ظروف با منابع امولسیون است. و غیره، سلف ها - منابع جریان و کاربرد روش برهم نهی.
برای زنجیره انجیر. 14-14 طبق قوانین کیرشهوف
(14-36)
با تعیین از معادله اول، جایگزینی به معادله سوم، جایگزینی و ارائه معادله دیفرانسیل حاصله به صورت متعارف با توجه به:
با حل معادله دوم (14-36) با توجه به، جایگزینی مطابق با معادله اول (14-36) و جایگزینی، به دست می آید:
با جمع ترم (14-38) با ضرب در معادله (14-37) و تعیین از نتیجه به دست آمده، به دست می آید:
اجازه دهید معادلات (14-39) و (14-37) را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:
(14-4 درجه)
جایی که برای زنجیره در نظر گرفته شده داریم:
(14-42a)
در حالت کلی اولین معادله روش متغیرهای حالت به صورت ماتریسی به صورت نوشته شده است
(14-43)
ماتریس های A و B در مدارهای خطی فقط به پارامترهای مدار بستگی دارند، یعنی مقادیر ثابتی هستند. در این حالت A یک ماتریس مربعی مرتبه است و به آن ماتریس اصلی زنجیره می گویند، ماتریس B به طور کلی مستطیل شکل است، اندازه را ماتریس اتصال بین ورودی زنجیره و متغیرهای حالت می گویند، ماتریس ها ستون هستند. ماتریس ها یا بردارهای متغیرهای حالت (اندازه و اختلالات خارجی (اندازه)
در مثال مورد بررسی، ماتریس B مربع مرتبه دوم است، زیرا تعداد متغیرهای حالت برابر با تعداد اغتشاشات خارجی است.
بیایید به سراغ کامپایل معادله دوم روش برویم، هر یک از مقادیر را می توان به عنوان خروجی انتخاب کرد. برای مثال، سه کمیت را به عنوان خروجی در نظر بگیرید
مقادیر آنها را می توان بر حسب متغیرهای حالت و اغتشاشات خارجی مستقیماً از معادلات نوشت (14 36)
(14-44)
یا به صورت ماتریسی
یا به اختصار
(14-46)
جایی که برای زنجیره در نظر گرفته شده است
و در حالت کلی معادله دوم روش متغیرهای حالت
ماتریس های C و D فقط به پارامترهای مدار بستگی دارند. در حالت کلی، اینها ماتریس های مستطیلی با اندازه های متناظر هستند و C ماتریس اتصال متغیرهای حالت با خروجی مدار، ماتریس اتصال مستقیم ورودی و خروجی مدار (یا سیستم) نامیده می شود.
برای تعدادی از سیستم های فیزیکی، D یک ماتریس صفر است و جمله دوم در (14-48) ناپدید می شود، زیرا هیچ یک مستقیم وجود ندارد. ارتباط بین ورودی و خروجی سیستم
اگر به عنوان مثال، جریان i و ولتاژ را به عنوان متغیرهای حالت در نظر بگیریم و معادلات دیفرانسیل را برای آنها به صورت متعارف نشان دهیم، آنگاه (با حذف تمام تبدیل های میانی) اولین معادلات روش به صورت ماتریسی به شکل زیر خواهد بود:
بنابراین، در واقع اولین معادله روش متغیرهای حالت، تنها در صورتی به صورت ماتریسی شکل (14-43) خواهد داشت که حالت جریان و ولتاژ به عنوان متغیر انتخاب شود.
با عبور از حل معادله دیفرانسیل ماتریس (14-43)، ابتدا توجه می کنیم که اگر ماتریس پایه مربعی مرتبه A مورب باشد، به ویژه ساده می شود. سپس تمام معادلات دیفرانسیل خطی (14-43) جدا می شوند، یعنی مشتقات متغیرهای حالت هر کدام فقط به متغیر حالت خود بستگی دارند.
اجازه دهید ابتدا حل معادله دیفرانسیل ماتریس ناهمگن خطی (14-43) را با روش عملگر در نظر بگیریم. برای انجام این کار، آن را مطابق لاپلاس تبدیل می کنیم:
علاوه بر این، ماتریس ستونی از مقادیر اولیه متغیرهای حالت، یعنی.
(14-53)
که در لحظه تغییر ناگهانی تغییر نمی کنند، داده شده و برابر با مقادیر خود در لحظه هستند
بیایید بازنویسی کنیم (14-51):
ماتریس ترتیب واحد کجاست
برای بدست آوردن ماتریسی از تصاویر متغیرهای حالت، هر دو طرف (14-54) سمت چپ را در ماتریس معکوس ضرب می کنیم.
با بازگشت به نسخه اصلی با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس، دریافت می کنیم:
از روش عملگر مشخص است که
بر اساس قیاس، با نوشتن تبدیل لاپلاس معکوس به شکل ماتریس، خواهیم داشت:
ماتریس انتقال وضعیت سیستم کجاست که در غیر این صورت بنیادی نامیده می شود.
بنابراین، اصل عبارت اول را در سمت راست می یابیم (14-56)
ماتریس معکوس با تقسیم ماتریس مرتبط یا متقابل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تعیین می شود:
جایی که معادله
(14-61)
معادله مشخصه مدار مورد بررسی است.
اصل عبارت دوم در سمت راست (14-56) با استفاده از قضیه کانولوشن به صورت ماتریس یافت می شود.
اگر قرار دهیم
سپس بر اساس (14-62) - (14-64)
و حل کلی معادله ماتریس ناهمگن دیفرانسیل (14-43) بر اساس (14-56)، (14-59) و (14-65) به شکل زیر خواهد بود:
(14-66)
عبارت اول در سمت راست (14-66) مقادیر متغیرهای حالت یا واکنش مدار را در ورودی صفر نشان می دهد، به عبارت دیگر، نشان دهنده اولین جزء فرآیندهای آزاد در مدار است. به دلیل مقادیر اولیه غیر صفر متغیرهای حالت مدار، و بنابراین راه حلی برای معادله است. جمله دوم جزء واکنش زنجیره ای در حالت صفر زنجیره است.
حالت صفر یک مدار زمانی است که مقادیر اولیه همه متغیرهای حالت برابر با صفر باشد. به عبارت دیگر، جمله دوم (14-66) مجموع طی یک واکنش اجباری زنجیره ای است که تحت تأثیر تأثیرات خارجی و جزء دوم فرآیندهای آزاد ایجاد می شود.
برابری (14-66) به این معنی است که واکنش زنجیره برابر با مجموع واکنش ها در ورودی صفر و حالت صفر است.
بر اساس (14-48) و (14-66) برای مقادیر خروجی که داریم.
اگر وضعیت زنجیره نه در لحظه، بلکه در لحظه مشخص شود، برابری های (14-66) و (14-67) تعمیم می یابند:
(14-68)
مثال 14-5. برای مدار انشعاب مرتبه دوم، معادلات حالت نوشته می شود
با شرایط اولیه غیر صفر و با یک منبع واحد از e. و غیره با.
متغیرهای حالت را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید معادلات حالت را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم
اجازه دهید ابتدا اولین اجزای آزاد متغیرهای حالت را در ورودی صفر پیدا کنیم برای این کار، ماتریس را می سازیم.
برای یافتن ماتریس الحاقی یا متقابل، هر عنصر در ماتریس قبلی را با مکمل جبری آن جایگزین کنید. ماتریس را بدست می آوریم.
ما آن را جابجا می کنیم و ماتریس مرتبط یا متقابل را پیدا می کنیم:
تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید
بر اساس (14-60)، معکوس ماتریس خواهد بود:
بیایید آن را تحت تبدیل لاپلاس معکوس قرار دهیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که برای این امر لازم است هر یک از عناصر آن را تحت تبدیل لاپلاس معکوس قرار دهیم. بر اساس (14-73) ماتریس انتقال وضعیت مدار را بدست می آوریم
برای مثال،
برای ماتریس انتقال وضعیت سیستم، به دست می آوریم:
برای اولین مؤلفه های رایگان متغیرهای حالت، خواهیم داشت
با جمع بندی نتایج به دست آمده، مقادیر مورد نظر متغیرهای حالت را پیدا می کنیم:
از آنجایی که حل معادله (43-14) در بالا به دست آمده و با فرمول (66-14) به دست آمده است، پس برای بررسی صحت جواب (66-14) و محاسبه ماتریس متغیرهای حالت با استفاده از آن، ابتدا می توان مستقیما (14-66) را به (14-43) جایگزین کنید مطمئن شوید که دومی به هویت تبدیل می شود. برای انجام این کار، فقط باید ابتدا با تفکیک (14-66) محاسبه کنید. در این صورت به دست می آوریم:
اکنون به راحتی می توان مستقیماً تأیید کرد که (14-66) در واقع حل معادله دیفرانسیل ماتریس است.
توجه داشته باشید که ماتریس انتقال وضعیت سیستم em به ما این امکان را می دهد که در فضای حالت، یعنی در فضایی که تعداد ابعاد آن برابر با تعداد اجزای بردار متغیرهای حالت است، جابجایی شروع را پیدا کنیم. از یک موقعیت اولیه (در یا در) و بردار حاوی اطلاعات مهمی است، زیرا به طور همزمان همه متغیرهای حالت، یعنی توابع زمان را توصیف می کند.
