ماتریس یک جدول مستطیلی از اعداد است. انواع ماتریس ها

ماتریس ریاضی جدولی از عناصر مرتب شده است. اندازه این جدول با توجه به تعداد سطرها و ستون های آن تعیین می شود. در مورد حل ماتریس ها، به آنها تعداد زیادی عملیات گفته می شود که روی همین ماتریس ها انجام می شود. ریاضیدانان بین چند نوع ماتریس تمایز قائل می شوند. برای برخی از آنها قوانین کلی برای تصمیم گیری اعمال می شود، در حالی که برای برخی دیگر چنین نیست. به عنوان مثال، اگر ماتریس ها دارای بعد یکسانی باشند، می توان آنها را جمع کرد و اگر با یکدیگر موافق بودند، می توان آنها را ضرب کرد. یافتن یک عامل تعیین کننده برای حل هر ماتریسی ضروری است. علاوه بر این، ماتریس ها جابجا می شوند و مینورها در آنها یافت می شوند. بنابراین بیایید نگاهی به نحوه حل ماتریس بیندازیم.

روش حل ماتریس

ابتدا ماتریس های داده شده را یادداشت می کنیم. شمارش می کنیم که چند سطر و ستون دارند. اگر تعداد سطرها و ستون ها یکسان باشد، چنین ماتریسی مربع نامیده می شود. اگر هر عنصر از ماتریس معلوم شد صفر است، پس چنین ماتریسی صفر است. کار بعدی که انجام می دهیم این است که قطر اصلی ماتریس را پیدا کنیم. عناصر چنین ماتریسی از گوشه پایین سمت راست به سمت چپ بالا قرار دارند. مورب دوم در ماتریس ثانویه است. اکنون باید ماتریس را جابجا کنید. برای انجام این کار، لازم است عناصر ردیف در هر یک از دو ماتریس با عناصر ستون مربوطه جایگزین شوند. به عنوان مثال، عنصر زیر a21 عنصر a12 خواهد بود یا برعکس. بنابراین، پس از این روش، یک ماتریس کاملا متفاوت باید ظاهر شود.

اگر ماتریس ها دقیقاً همان ابعاد را داشته باشند، می توان آنها را به راحتی اضافه کرد. برای این کار اولین عنصر ماتریس اول a11 را می گیریم و با عنصری مشابه در ماتریس دوم b11 اضافه می کنیم. نتیجه ای را که در همان موقعیت باشد، فقط در یک ماتریس جدید می نویسیم. حالا تمام عناصر دیگر ماتریس را به همین ترتیب اضافه کنید تا زمانی که یک ماتریس کاملا متفاوت به دست آورید. بیایید چند راه دیگر را برای حل ماتریس ها ببینیم.

گزینه های ماتریسی

ما همچنین می توانیم تعیین کنیم که آیا ماتریس ها سازگار هستند یا خیر. برای این کار باید تعداد سطرهای ماتریس اول را با تعداد ستون های ماتریس دوم مقایسه کنیم. اگر مساوی شدند، می توانید آنها را ضرب کنید. برای این کار، عنصر ردیف یک ماتریس را به صورت زوجی در همان عنصر ستون ماتریس دیگر ضرب می کنیم. تنها پس از آن امکان محاسبه مجموع آثار به دست آمده وجود خواهد داشت. بر این اساس عنصر اولیه ماتریس که در نتیجه باید به دست آید برابر با g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 +… + a1m * bn1 خواهد بود. بعد از اینکه همه محصولات اضافه و ضرب شدند، می توانید ماتریس حاصل را پر کنید.

همچنین می‌توان هنگام حل ماتریس‌ها، تعیین‌کننده‌ها و تعیین‌کننده‌ای برای هر کدام پیدا کرد. اگر ماتریس مربع باشد و ابعاد آن 2 در 2 باشد، تعیین کننده را می توان به عنوان تفاوت همه محصولات عناصر مورب اصلی و فرعی پیدا کرد. اگر ماتریس از قبل سه بعدی است، می توان با استفاده از فرمول زیر تعیین کننده را پیدا کرد. D = a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.

برای یافتن مینور یک عنصر معین، باید ستون و ردیفی را که در آن عنصر قرار دارد خط بکشید. سپس تعیین کننده این ماتریس را پیدا کنید. مینور مربوطه خواهد بود. یک روش ماتریس تصمیم مشابه چندین دهه پیش به منظور بهبود قابلیت اطمینان نتیجه با تقسیم مسئله به مسائل فرعی ایجاد شد. بنابراین، اگر ریاضی پایه را بدانید، حل ماتریس ها چندان دشوار نیست.

ماتریس ها اقدامات روی ماتریس ها ویژگی های عملیات روی ماتریس ها انواع ماتریس ها

ماتریس ها (و بر این اساس، بخش ریاضی - جبر ماتریس)در ریاضیات کاربردی مهم هستند، زیرا به شما امکان می دهند بخش قابل توجهی از مدل های ریاضی اشیاء و فرآیندها را به شکل نسبتاً ساده بنویسید. اصطلاح "ماتریس" به سال 1850 برمی گردد. ماتریس اولین بار در چین باستان و بعدها در بین ریاضیدانان عرب ذکر شد.

ماتریس A = یک دقیقهاز مرتبه m * n نامیده می شود جدول مستطیلی اعداد حاوی m - ردیف و n - ستون.

عناصر ماتریسی یک ij،که i = j را مورب و شکل می نامند مورب اصلی.

برای یک ماتریس مربع (m = n)، مورب اصلی توسط عناصر a 11، a 22، ...، a nn تشکیل می شود.

برابری ماتریس ها

الف = باگر دستورات ماتریس ها باشد آو بیکسان هستند و a ij = b ij (i = 1،2، ...، m؛ j = 1،2، ...، n)

اقدامات روی ماتریس ها

1. جمع ماتریس - عملیات عنصر به عنصر

2. تفریق ماتریس - عملیات عنصر به عنصر

3. حاصل ضرب یک ماتریس توسط یک عدد -عملیات بر حسب عنصر

4. ضرب A * Bماتریس ها طبق قانون سطر در هر ستون(تعداد ستون های ماتریس A باید برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد)

A mk * B kn = C mnبا هر عنصر با ijماتریس ها C mnبرابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف i ماتریس A توسط عناصر مربوطه از ستون j ماتریس B، یعنی.

اجازه دهید عملیات ضرب ماتریس را با استفاده از مثال نشان دهیم

5. قدرت

m> 1 یک عدد صحیح مثبت است. A یک ماتریس مربع است (m = n) یعنی. فقط برای ماتریس های مربع مربوط می شود

6. انتقال ماتریس A. ماتریس جابجا شده با A T یا A نشان داده می شود.

سطرها و ستون ها با هم عوض می شوند

مثال

ویژگی های عملیات ماتریس

(A + B) + C = A + (B + C)

λ (A + B) = λA + λB

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

λ (AB) = (λA) B = A (λB)

A (BC) = (AB) C

(λA) "= λ (A)"

(A + B) "= A" + B "

(AB) "= B" A "

انواع ماتریس ها

1. مستطیل: مترو n- اعداد صحیح مثبت دلخواه

2. مربع: m = n

3. رشته ماتریس: m = 1... به عنوان مثال، (1 3 5 7) - در بسیاری از مسائل عملی، چنین ماتریسی بردار نامیده می شود.

4. ستون ماتریس: n = 1... برای مثال

5. ماتریس مورب: m = nو a ij = 0، اگر من ≠ j... برای مثال

6. ماتریس واحد: m = nو

7. ماتریس صفر: a ij = 0، i = 1،2، ...، m

j = 1،2، ...، n

8. ماتریس مثلثی: همه عناصر زیر قطر اصلی 0 هستند.

9. ماتریس متقارن: m = nو a ij = جی(یعنی عناصر مساوی در مکان های متقارن نسبت به قطر اصلی وجود دارد) و بنابراین A" = A

برای مثال،

10. ماتریس متقارن متقارن: m = nو a ij = -a ji(یعنی عناصر مقابل در مکان هایی متقارن نسبت به قطر اصلی قرار دارند). در نتیجه، صفرهایی در مورب اصلی وجود دارد (از آنجا که برای i = jما داریم a ii = -a ii)

واضح است، A "= - A

11. ماتریس هرمیتی: m = nو a ii = -ã ii (ã جی- پیچیده - مزدوج به یک جی، یعنی اگر A = 3 + 2i، سپس مزدوج مختلط Ã = 3-2i)

این مفهومی است که تمام عملیات ممکن انجام شده با ماتریس ها را تعمیم می دهد. ماتریس ریاضی جدولی از عناصر است. درباره جدولی که در آن مترخطوط و nستون ها می گویند که این ماتریس دارای بعد است متربر روی n.

نمای کلی ماتریس:

برای راه حل های ماتریسیشما باید بدانید که ماتریس چیست و پارامترهای اصلی آن را بدانید. عناصر اصلی ماتریس:

• مورب اصلی از عناصر تشکیل شده است یک 11، یک 22 ... ..یک دقیقه.
• مورب جانبی که از عناصر تشکیل شده است a 1n، a 2n-1 ... ..a m1.

انواع اصلی ماتریس ها:

• مربع ماتریسی است که در آن تعداد سطرها = تعداد ستون ها ( m = n).
• صفر - که در آن همه عناصر ماتریس = 0.
• Transpose Matrix - Matrix Vکه از ماتریس اصلی بدست آمد آبا جایگزینی سطرها با ستون ها.
• تک - همه عناصر مورب اصلی = 1، بقیه = 0.
• ماتریس معکوس ماتریسی است که وقتی در ماتریس اصلی ضرب شود، ماتریس هویت ایجاد می شود.

ماتریس می تواند در مورد قطر اصلی و جانبی متقارن باشد. یعنی اگر a 12 = a 21, a 13 = a 31,… .a 23 = a 32…. m-1n = mn-1، سپس ماتریس نسبت به قطر اصلی متقارن است. فقط ماتریس های مربعی می توانند متقارن باشند.

روش های حل ماتریس

تقریبا همه روش های حل ماتریسیتعیین کننده آن را پیدا کنند nمرتبه -ام و اکثر آنها نسبتاً دست و پا گیر هستند. راه‌های منطقی‌تر دیگری برای یافتن تعیین‌کننده مرتبه دوم و سوم وجود دارد.

یافتن تعیین کننده های مرتبه دوم.

برای محاسبه دترمینان یک ماتریس آمرتبه دوم، لازم است حاصل ضرب عناصر قطر ثانویه را از حاصل ضرب عناصر قطر اصلی کم کنید:

روشهای یافتن عوامل درجه سوم.

در زیر قوانینی برای یافتن یک تعیین کننده مرتبه سوم آمده است.

قانون ساده شده مثلث، به عنوان یکی از روش های حل ماتریسرا می توان به این صورت نشان داد:

به عبارت دیگر، حاصل ضرب المان‌هایی در مقدمه اول که با خطوط مستقیم به هم متصل شده‌اند، با علامت «+» گرفته می‌شود. همچنین، برای تعیین کننده 2 - محصولات مربوطه با علامت "-" گرفته می شود، یعنی طبق طرح زیر:

در حل ماتریس ها با قانون ساروس، در سمت راست تعیین کننده، 2 ستون اول اضافه می شود و حاصل ضرب عناصر مربوطه در مورب اصلی و روی مورب های موازی با آن با علامت "+" گرفته می شود. و حاصلضرب عناصر متناظر مورب ضلع و مورب های موازی آن با علامت "-":

تجزیه تعیین کننده توسط سطر یا ستون هنگام حل ماتریس ها.

دترمینان برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر رشته تعیین کننده توسط متمم های جبری آنها. معمولاً سطر / ستونی را انتخاب کنید که در آن صفر وجود دارد. خط یا ستونی که در امتداد آن تجزیه انجام می شود با یک فلش نشان داده می شود.

کاهش دترمینان به شکل مثلثی هنگام حل ماتریس.

در حل ماتریس هابا تقلیل دترمینان به شکل مثلثی، به این صورت عمل می کنند: با استفاده از ساده ترین تبدیل ها روی سطرها یا ستون ها، دترمینان مثلثی می شود و سپس مقدار آن، مطابق با ویژگی های دترمینان، برابر حاصلضرب عناصری خواهد بود که روی مورب اصلی قرار دارند.

قضیه لاپلاس برای حل ماتریس.

هنگام حل ماتریس ها با قضیه لاپلاس، شناخت مستقیم خود قضیه ضروری است. قضیه لاپلاس: اجازه دهید Δ تعیین کننده است nمرتبه ما هر کدام را انتخاب می کنیم کردیف (یا ستون)، ارائه شده است ک≤ n - 1... در این صورت، مجموع محصولات همه خردسالان کترتیب موجود در انتخاب شده است کسطرها (ستون ها) روی متمم جبری آنها برابر با تعیین کننده خواهد بود.

راه حل ماتریس معکوس

توالی اقدامات برای راه حل های ماتریس معکوس:

1. تعیین کنید که آیا یک ماتریس داده شده مربع است یا خیر. اگر پاسخ منفی باشد، مشخص می شود که ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
2. محاسبه مکمل های جبری
3. ما یک ماتریس متحد (متقابل، متصل) می سازیم سی.
4. ما ماتریس معکوس را از مکمل های جبری می سازیم: همه عناصر ماتریس الحاقی سیتقسیم بر تعیین کننده ماتریس اولیه. ماتریس حاصل، ماتریس معکوس مورد نظر نسبت به ماتریس داده شده خواهد بود.
5. ما کار انجام شده را بررسی می کنیم: ماتریس اولیه و ماتریس حاصل را ضرب می کنیم، نتیجه باید ماتریس هویت باشد.

راه حل سیستم های ماتریسی

برای راه حل های سیستم های ماتریسیمتداول ترین روش مورد استفاده روش گاوسی است.

روش گاوس یک روش استاندارد برای حل سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) است و شامل این واقعیت است که متغیرها به طور متوالی حذف می شوند، یعنی با استفاده از تغییرات اولیه، سیستم معادلات به یک سیستم مثلثی معادل آورده می شود و از آن، به ترتیب، با شروع با دومی (با تعداد)، هر عنصر سیستم را پیدا کنید.

روش گاوسهمه کاره ترین و بهترین ابزار برای یافتن راه حل برای ماتریس ها است. اگر سیستم دارای مجموعه بی‌نهایتی از راه‌حل‌ها باشد یا سیستم ناسازگار باشد، با قانون کرامر و روش ماتریسی قابل حل نیست.

روش گاوس همچنین متضمن حرکات مستقیم (کاهش ماتریس توسعه‌یافته به شکل پلکانی، یعنی به دست آوردن صفرها در زیر مورب اصلی) و معکوس (به‌دست آوردن صفر بر روی قطر اصلی ماتریس توسعه‌یافته) است. حرکت رو به جلو روش گاوس و معکوس آن روش گاوس-جردن است. روش گاوس-جردن با روش گاوس تنها در ترتیب حذف متغیرها متفاوت است.

ماتریس ها در ریاضیات یکی از مهم ترین موضوعات با اهمیت عملی هستند. اغلب سفر به نظریه ماتریس ها با این کلمات آغاز می شود: "ماتریس یک جدول مستطیل شکل است ...". این گشت و گذار را از زاویه ای متفاوت آغاز خواهیم کرد.

دفترچه تلفن در هر اندازه و با هر تعداد داده مشترک چیزی بیش از ماتریس نیست. چنین ماتریس هایی به شکل زیر هستند:

واضح است که همه ما تقریباً هر روز از چنین ماتریس هایی استفاده می کنیم. این ماتریس‌ها در تعداد ردیف‌های مختلف (آنها به‌عنوان دایرکتوری صادر شده توسط شرکت تلفن متفاوت هستند، که ممکن است حاوی هزاران، صدها هزار یا حتی میلیون‌ها ردیف و یک دفترچه یادداشت جدیدی باشد که به تازگی با کمتر از ده ردیف شروع کرده‌اید) و ستون‌ها. (یک دایرکتوری از هر سازمانی که ممکن است شامل ستون هایی مانند موقعیت و شماره دفتر و همان دفترچه آدرس شما باشد که ممکن است هیچ داده ای به جز نام وجود نداشته باشد و بنابراین فقط دو ستون دارد - نام و شماره تلفن).

هر ماتریس را می توان اضافه و ضرب کرد و همچنین می توان عملیات دیگری را بر روی آنها انجام داد، اما نیازی به جمع و ضرب دایرکتوری های تلفن نیست، این هیچ فایده ای ندارد و علاوه بر آن می توانید ذهن خود را به حرکت در آورید.

اما ماتریس های بسیار زیادی را می توان و باید اضافه و ضرب کرد و در نتیجه مسائل مختلف فوری را حل کرد. در زیر نمونه هایی از این ماتریس ها آورده شده است.

ماتریس هایی که در آنها ستون ها خروجی واحدهای یک محصول از یک نوع خاص هستند و ردیف ها سال هایی هستند که خروجی این محصول در آنها ثبت می شود:

می توان ماتریس هایی از این نوع را اضافه کرد که در آنها خروجی محصولات مشابه توسط شرکت های مختلف در نظر گرفته می شود تا داده های خلاصه برای صنعت به دست آید.

یا ماتریس‌هایی که برای مثال از یک ستون تشکیل شده‌اند که در آن ردیف‌ها میانگین هزینه یک نوع محصول خاص است:

ماتریس های دو نوع آخر را می توان ضرب کرد و نتیجه یک ماتریس ردیفی است که شامل هزینه همه انواع محصولات بر اساس سال است.

ماتریس ها، تعاریف اولیه

جدول مستطیلی متشکل از اعداد واقع در مترخطوط و nستون نامیده می شود ماتریس mn (یا به سادگی ماتریس ) و به این صورت نوشته می شود:

(1)

در ماتریس (1) اعداد آن نامیده می شوند عناصر (همانطور که در تعیین کننده، شاخص اول نشان دهنده شماره ردیف است، دومین نشان دهنده ستونی است که در تقاطع آن عنصر قرار دارد. من = 1, 2, ..., متر; j = 1, 2, n).

ماتریس نامیده می شود مستطیل شکل ، اگر .

اگر متر = n، سپس ماتریس فراخوانی می شود مربع و عدد n آن است منظم .

تعیین کننده ماتریس مربع A تعیین کننده نامیده می شود که عناصر آن عناصر ماتریس هستند آ... با علامت | نشان داده می شود آ|.

ماتریس مربع نامیده می شود غیر خاص (یا غیر منحط , غیر مفرد ) اگر تعیین کننده آن صفر نباشد و خاص (یا منحط , مفرد ) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

ماتریس ها نامیده می شوند برابر اگر تعداد سطرها و ستون ها یکسان باشد و همه عناصر منطبق یکسان باشند.

ماتریس نامیده می شود خالی اگر همه عناصر آن برابر با صفر باشد. ماتریس صفر با نماد نشان داده می شود 0 یا .

برای مثال،

ماتریس ردیف (یا حروف کوچک ) 1 نامیده می شود n-ماتریس و ستون-ماتریس (یا ستونی ) – متر 1-ماتریس.

ماتریس آ"که از ماتریس به دست می آید آجایگزینی سطرها و ستون ها در آن نامیده می شود جابجا شد با توجه به ماتریس آ... بنابراین، برای ماتریس (1)، ماتریس جابجا شده است

انتقال به عملیات ماتریسی آ"با توجه به ماتریس منتقل شده است آجابجایی ماتریس نامیده می شود آ... برای دقیقه-ماتریس جابجا شده است نانومتر-ماتریس

ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس است آ، به این معنا که

(آ")" = آ .

مثال 1.ماتریس را پیدا کنید آ"با توجه به ماتریس منتقل شده است

و دریابید که آیا تعیین کننده های ماتریس اصلی و جابجا شده برابر هستند یا خیر.

مورب اصلی یک ماتریس مربعی خط فرضی است که عناصر آن را به هم متصل می کند که در آن هر دو شاخص یکسان هستند. این عناصر نامیده می شوند مورب .

ماتریس مربعی که در آن همه عناصر خارج از قطر اصلی برابر با صفر هستند نامیده می شود مورب ... همه عناصر مورب یک ماتریس مورب لزوماً غیر صفر نیستند. در میان آنها ممکن است برابر با صفر باشد.

ماتریس مربعی که در آن عناصر روی قطر اصلی برابر با همان عدد غیر صفر و بقیه برابر با صفر باشند، نامیده می شود. ماتریس اسکالر .

ماتریس واحد ماتریس مورب نامیده می شود که در آن همه عناصر مورب برابر با یک هستند. به عنوان مثال، ماتریس واحد مرتبه سوم ماتریس است

مثال 2.ماتریس های داده شده:

راه حل. بیایید تعیین کننده های این ماتریس ها را محاسبه کنیم. با استفاده از قانون مثلث ها می یابیم

تعیین کننده یک ماتریس بما با فرمول محاسبه می کنیم

ما به راحتی آن را پیدا می کنیم

از این رو ماتریس ها آو غیر مفرد (غیر منحط، غیر مفرد) و ماتریس هستند ب- خاص (منحط، مفرد).

تعیین کننده ماتریس هویت هر مرتبه به وضوح برابر با یک است.

خودتان مسئله ماتریس را حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

مثال 3.ماتریس های داده شده

,

,

مشخص کنید که کدام یک از آنها غیر مفرد هستند (غیر منحط، غیر مفرد).

کاربرد ماتریس ها در مدل سازی ریاضی و اقتصادی

در قالب ماتریس ها، داده های ساختار یافته در مورد یک شی خاص به سادگی و به راحتی ثبت می شوند. مدل‌های ماتریسی نه تنها برای ذخیره این داده‌های ساختاریافته، بلکه برای حل مسائل مختلف با این داده‌ها با استفاده از جبر خطی ایجاد می‌شوند.

بنابراین، مدل ماتریسی شناخته شده اقتصاد، مدل ورودی - ستانده است که توسط اقتصاددان آمریکایی روسی الاصل واسیلی لئونتیف معرفی شده است. این مدل بر این فرض استوار است که کل بخش تولیدی اقتصاد به تقسیم شده است nصنایع پاک هر یک از صنایع تنها از یک نوع و صنایع مختلف محصولات متفاوتی تولید می کنند. به دلیل این تقسیم کار بین صنایع، پیوندهای بین بخشی وجود دارد که معنای آن این است که بخشی از خروجی هر صنعت به عنوان منبع تولید به صنایع دیگر منتقل می شود.

حجم تولید من- صنعت (اندازه گیری شده توسط واحد اندازه گیری معین) که در طول دوره گزارش تولید شده است، از طریق نشان داده می شود و خروجی کامل نامیده می شود. منصنعت. قرار دادن مسائل در آن راحت است n- ردیف جزء ماتریس.

تعداد واحدهای محصول منصنعتی که باید هزینه شود j- صنعت برای تولید یک واحد از خروجی آن را ضریب هزینه مستقیم می نامند.

دستورالعمل ها

تعداد ستون ها و ردیف ها تنظیم شده است بعد، ابعاد، اندازه ماتریس ها... مثلا، بعد، ابعاد، اندازه yu 5x6 دارای 5 ردیف و 6 ستون است. به طور کلی، بعد، ابعاد، اندازه ماتریس هابه صورت m × n نوشته می شود، که m نشان دهنده تعداد ردیف ها، n - ستون است.

اگر آرایه داشته باشد بعد، ابعاد، اندازه m × n، می توان آن را در یک آرایه n × l ضرب کرد. ابتدا تعداد ستون ها ماتریس هاباید برابر با تعداد خطوط دوم باشد، در غیر این صورت عملیات ضرب تعریف نمی شود.

بعد، ابعاد، اندازه ماتریس هاتعداد معادلات در سیستم و تعداد متغیرها را نشان می دهد. تعداد سطرها با تعداد معادلات یکسان است و هر ستون متغیر مخصوص به خود را دارد. حل یک سیستم معادلات خطی در عملیات روی ماتریس ها "نوشته" می شود. به لطف سیستم ضبط ماتریسی، سیستم های مرتبه بالاتر امکان پذیر است.

اگر تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر باشد، ماتریس مربع است. مورب اصلی و جانبی در آن قابل تشخیص است. اصلی از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می رود، سمت راست - از سمت راست بالا به سمت چپ پایین.

آرایه ها بعد، ابعاد، اندازه m × 1 یا 1 × n بردار هستند. همچنین، هر سطر و هر ستون از یک جدول دلخواه را می توان به عنوان یک بردار نشان داد. برای چنین ماتریس هایی، تمام عملیات بردارها تعریف شده است.

در برنامه نویسی، برای یک جدول مستطیلی، دو شاخص تنظیم می شود که یکی از آنها در کل ردیف و دیگری طول ستون را طی می کند. در این حالت، چرخه برای یک شاخص در داخل چرخه برای دیگری قرار می گیرد که به دلیل آن عبور متوالی کل بعد ماتریس ها.

ماتریس هایک روش کارآمد برای نمایش اطلاعات عددی است. راه حل هر سیستم معادلات خطی را می توان به صورت ماتریس (مستطیلی متشکل از اعداد) نوشت. توانایی ضرب ماتریس یکی از مهم ترین مهارت هایی است که در دوره جبر خطی در آموزش عالی آموزش داده می شود.

شما نیاز خواهید داشت

• ماشین حساب

دستورالعمل ها

برای بررسی این شرایط، ساده ترین راه استفاده از الگوریتم زیر است - بعد ماتریس اول را به صورت (a * b) بنویسید. علاوه بر این، بعد دوم (c * d) است. اگر b = c - ماتریس ها متناسب باشند، می توان آنها را ضرب کرد.

بعد، خود ضرب را انجام دهید. به یاد داشته باشید - وقتی دو ماتریس را ضرب می کنید، یک ماتریس دریافت می کنید. یعنی مسئله ضرب به مسئله یافتن یک جدید با بعد (a * d) کاهش می یابد. در SI، مسئله ضرب ماتریس به صورت زیر است:
void matrixmult (int m1 [n], int m1_row, int m1_col, int m2 [n], int m2_row, int m2_col, int m3 [n], int m3_row, int m3_col)
(برای (int i = 0; i< m3_row; i++)
برای (int j = 0; j< m3_col; j++)
m3 [i] [j] = 0;
برای (int k = 0; k< m2_col; k++)
برای (int i = 0; i< m1_row; i++)
برای (int j = 0; j< m1_col; j++)
m3 [i] [k] + = m1 [i] [j] * m2 [j] [k];
}

به عبارت ساده، ماتریس جدید مجموع حاصل از عناصر ردیف ماتریس اول توسط عناصر ستون ماتریس دوم است. اگر عنصری از ماتریس سوم با عدد (1؛ 2) هستید، باید به سادگی اولین ردیف ماتریس اول را در ستون دوم ماتریس دوم ضرب کنید. برای این کار مقدار اولیه را صفر در نظر بگیرید. سپس عنصر اول سطر اول را در عنصر اول ستون دوم ضرب کنید، مقدار را به جمع اضافه کنید. این کار را انجام دهید: عنصر i-امین ردیف اول را در عنصر i-امین ستون دوم ضرب کنید و نتایج را به جمع اضافه کنید تا سطر تمام شود. مقدار کل عنصر مورد نیاز خواهد بود.

بعد از اینکه تمام عناصر ماتریس سوم را پیدا کردید، آن را یادداشت کنید. شما پیدا کرده اید کارماتریس ها

منابع:

• پورتال اصلی ریاضی روسیه در سال 2019
• نحوه پیدا کردن حاصل ضرب ماتریس ها در سال 2019

ماتریس ریاضی یک جدول مرتب شده از عناصر است. بعد، ابعاد، اندازه ماتریس هابا تعداد ردیف های آن m و ستون های n تعیین می شود. راه حل ماتریسی به عنوان مجموعه ای از عملیات تعمیم که بر روی ماتریس ها انجام می شود درک می شود. انواع مختلفی از ماتریس ها وجود دارد که برای برخی از آنها تعدادی عملیات قابل اجرا نیستند. یک عملیات جمع برای ماتریس هایی با ابعاد یکسان وجود دارد. حاصل ضرب دو ماتریس تنها در صورتی یافت می شود که با هم سازگار باشند. برای هرچی ماتریس هاتعیین کننده تعیین می شود. همچنین می توان ماتریس را جابجا کرد و جزئی عناصر آن را تعیین کرد.

دستورالعمل ها

تکالیف را یادداشت کنید. ابعاد آنها را مشخص کنید. برای انجام این کار، تعداد ستون های n و ردیف های m را بشمارید. اگر برای یکی ماتریس ها m = n، ماتریس مربع در نظر گرفته می شود. اگر همه عناصر ماتریس هابرابر با صفر - ماتریس صفر است. قطر اصلی ماتریس ها را تعیین کنید. عناصر آن از گوشه سمت چپ بالا قرار دارند ماتریس هابه سمت راست پایین دوم، مورب معکوس ماتریس هاسمت است.

ماتریس ها را جابجا کنید. برای انجام این کار، در هر ردیف عناصر ستونی را نسبت به مورب اصلی جایگزین کنید. عنصر a21 به عنصر a12 تبدیل می شود ماتریس هاو بالعکس. در نتیجه از هر منبع ماتریس هاشما یک ماتریس انتقال یافته جدید دریافت می کنید.

داده شده را تا کنید ماتریس هااگر بعد m x n یکسان باشند. برای انجام این کار، اولین را انتخاب کنید ماتریس ها a11 و آن را با عنصر مشابه b11 دوم تا کنید ماتریس ها... نتیجه جمع شدن را در یک مکان جدید بنویسید. سپس عناصر a12 و b12 هر دو ماتریس را اضافه کنید. بنابراین، تمام سطرها و ستون های جمع بندی را پر کنید ماتریس ها.

تعیین کنید که آیا داده شده است ماتریس هااستوار. برای انجام این کار، تعداد خطوط n را در خط اول مقایسه کنید ماتریس هاو تعداد ستون ها m ثانیه ماتریس ها... اگر برابر هستند، حاصل ضرب ماتریس را انجام دهید. برای انجام این کار، هر عنصر خط را به صورت جفت در عنصر اول ضرب کنید ماتریس هابه عنصر مربوطه از ستون دوم ماتریس ها... سپس مجموع این محصولات را پیدا کنید. بنابراین، اولین عنصر از نتیجه ماتریس ها g11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 + ... + a1m * bn1. همه محصولات را ضرب و جمع کنید و ماتریس G را پر کنید.

برای هر داده یک تعیین کننده یا تعیین کننده پیدا کنید ماتریس ها... برای ماتریس های دوم - بعد 2 در 2 - تعیین کننده به عنوان حاصلضرب عناصر قطرهای اصلی و فرعی یافت می شود. ماتریس ها... برای سه بعدی ماتریس هاتعیین کننده: D = a11 * a22 * a33 + a13 * a21 * a32 + a12 * a23 * a31 - a21 * a12 * a33 - a13 * a22 * a31 - a11 * a32 * a23.

منابع:

• ماتریس نحوه حل

ماتریس هامجموعه ای از سطرها و ستون ها هستند که در محل تلاقی آنها عناصر ماتریسی قرار دارند. ماتریس هابه طور گسترده ای برای حل معادلات مختلف استفاده می شود. یکی از عملیات جبری اساسی روی ماتریس ها جمع ماتریس است. چگونه ماتریس اضافه کنیم؟

دستورالعمل ها

فقط ماتریس های یک بعدی را می توان تا کرد. اگر یکی دارای m ردیف و n ستون باشد، ماتریس دیگر نیز باید m ردیف و n ستون داشته باشد. مطمئن شوید که ماتریس هایی که قرار است روی هم چیده شوند یکنواخت باشند.

اگر ماتریس های ارائه شده هم اندازه باشند، یعنی یک عملیات جمع جبری را قبول کنند، پس ماتریس هم اندازه است. برای ساختن آن باید تمام عناصر دو را که در یک مکان هستند به صورت جفت اضافه کنید.اولین ماتریس که در سطر اول و ستون اول قرار دارد را بگیرید. آن را در همان مکان به عنصر ماتریس دوم اضافه کنید. دریافتی را در عنصر ردیف اول ستون ماتریس کل وارد کنید. این عمل را با تمام عناصر تکرار کنید.

افزودن سه یا چند ماتریس به جمع دو ماتریس کاهش می یابد. به عنوان مثال، برای یافتن مجموع ماتریس های A + B + C، ابتدا مجموع ماتریس های A و B را پیدا کنید، سپس ماتریس C را به دست آورید.

ویدیو های مرتبط

در نگاه اول، ماتریس های نامفهوم در واقع چندان پیچیده نیستند. آنها کاربرد عملی گسترده ای در اقتصاد و حسابداری پیدا می کنند. ماتریس ها مانند جداول به نظر می رسند، هر ستون و سطر حاوی یک عدد، تابع یا هر مقدار دیگری است. انواع مختلفی از ماتریس ها وجود دارد.

دستورالعمل ها

برای یادگیری یک ماتریس، خود را با مفاهیم اولیه آن آشنا کنید. عناصر تعیین کننده ماتریس مورب های آن - و کناری هستند. اصلی از عنصر ردیف اول، ستون اول شروع می شود و تا عنصر آخرین ستون، ردیف آخر ادامه می یابد (یعنی از چپ به راست می رود). مورب کناری در سطر اول، اما در ستون آخر، برعکس شروع می شود و تا عنصری که مختصات ستون اول و ردیف آخر را دارد (از راست به چپ می رود) ادامه می یابد.

برای اینکه به سراغ تعاریف بعدی و عملیات جبری روی ماتریس ها بروید، انواع ماتریس ها را مطالعه کنید. ساده ترین آنها مربع، واحد، صفر و معکوس هستند. تعداد ستون ها و ردیف ها یکسان است. ماتریس انتقال یافته، بیایید آن را B بنامیم، از ماتریس A با جایگزینی ستون ها با ردیف ها به دست می آید. در یکی، تمام عناصر مورب اصلی یک هستند و بقیه صفر هستند. و در صفر، حتی عناصر قطرها نیز صفر هستند. ماتریس معکوس، ماتریس است که در آن ماتریس اصلی به شکل واحد می آید.

همچنین، ماتریس می تواند در مورد محورهای اصلی یا جانبی متقارن باشد. یعنی عنصر با مختصات a (1; 2)، که در آن 1 شماره ردیف و 2 ستون است، برابر با a (2; 1) است. A (3; 1) = A (1; 3) و غیره. ماتریس های سازگار آنهایی هستند که تعداد ستون های یکی با تعداد ردیف های دیگری برابر است (این ماتریس ها را می توان ضرب کرد).

اقدامات اصلی که می توان با ماتریس ها انجام داد جمع، ضرب و یافتن تعیین کننده است. اگر اندازه ماتریس ها یکسان باشد، یعنی تعداد سطرها و ستون ها یکسان باشد، می توان آنها را اضافه کرد. لازم است عناصری را که در همان مکان‌ها در ماتریس‌ها قرار دارند اضافه کنید، یعنی یک (m; n) را با (m; n) اضافه کنید، جایی که m و n مختصات مربوط به ستون و ردیف هستند. هنگام اضافه کردن ماتریس ها، قانون اصلی جمع حسابی معمولی اعمال می شود - وقتی مکان عبارات تغییر می کند، مجموع تغییر نمی کند. بنابراین، اگر به جای یک عنصر ساده a