دانشکده ریاضی کوچک. سیستم های اعداد

سیستم اعداد (CC) مجموعه ای از تکنیک ها برای نام گذاری و نوشتن اعداد است. در هر SS از برخی اعداد برای نمایش اعداد استفاده می شود که به آنها اعداد پایه می گویند و بقیه اعداد در نتیجه برخی عملیات روی اعداد پایه به دست می آیند. در دنیای مدرن، رایج ترین نمایش اعداد 0 است. .9.

SS در انتخاب اعداد پایه و قوانین تشکیل اعداد باقی مانده از آنها متفاوت است. به عنوان مثال، در رومی SS، موارد اساسی عبارتند از: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000)، و دیگران. با اعداد پایه جمع و تفریق به دست می آیند. در اس اس رومی، هر علامت عددی معنی یکسانی دارد، یعنی مقدار یک علامت عددی به مکان آن در رکورد شماره بستگی ندارد: 146 –CXLVI.

این SS غیر موقعیتی است. نوشتن اعداد کوچک در آن راحت است. اما انجام عملیات در تعداد زیاد ناخوشایند است.

5.1. سیستم های اعداد موقعیتی

SS موقعیتی در حال حاضر برای نمایش اعداد استفاده می شود. SS زمانی نامیده می شود که مقدار هر رقم (وزن آن) بسته به موقعیت (موقعیت) آن در دنباله ارقام نشان دهنده عدد تغییر کند.

تعداد ارقامی که برای نشان دادن اعداد در SS موقعیتی استفاده می شود، پایه آن نامیده می شود، یعنی اگر از ارقام K استفاده شود، پایه SS K است. عدد در SS موقعیتی را می توان به صورت زیر نشان داد:

موقعیت هایی که به این ترتیب شماره گذاری مجدد می شوند، رقم نامیده می شوند. هر یک از ارقام یکی از مقادیر را می گیرد
.K برای تعیین کمیت هر رقم از یک عدد استفاده می شود. یعنی تعداد k-ary SS را می توان به صورت چند جمله ای نشان داد:

نمونه هایی از سیستم های اعداد موقعیتی:

عملیات حسابی در هر SS موقعیتی طبق قوانین مشابه در SS اعشاری انجام می شود، زیرا همه آنها بر اساس قوانین انجام اقدامات با چند جمله ای های مربوطه هستند. در این مورد، از جداول جمع و ضرب استفاده می شود که برای یک CC مبنا انجام می شود.

جداول جمع و ضرب در SS باینری عبارتند از:

برای نمایش فیزیکی اعداد، عناصری مورد نیاز هستند که بتوانند در یکی از چندین حالت پایدار قرار گیرند. تعداد این حالت ها باید برابر با پایه SS دریافتی باشد، سپس هر حالت رقم مربوطه را از الفبای SS معین نشان می دهد. برای پیاده سازی سیستم SS اعشاری، به عناصری با 10 حالت پایدار نیاز دارید. ساده ترین آنها از نظر اجرای فنی عناصر دو موقعیتی هستند که می توانند در یکی از دو حالت پایدار باشند، به عنوان مثال، یک رله الکترومغناطیسی (حالت های "بسته" - "باز")، یک سطح فرومغناطیسی (مغناطیسی - مغناطیسی شده) یک سوئیچ ترانزیستوری و غیره. یکی از این حالت ها را می توان با عدد –0 و دیگری را با 1 تعیین کرد.

مزایای دیگری در ارتباط با SS باینری وجود دارد. حداکثر ایمنی نویز را در فرآیند انتقال اطلاعات فراهم می کند. انجام عملیات حسابی و منطقی بسیار ساده است. به لطف این، SS باینری به استاندارد در محاسبات مدرن تبدیل شده است.

نقطه ضعف یک CC باینری تعداد زیاد بیت ها در کد باینری است.

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

سیستم های اعداد

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره استفاده می کنیم موقعیتی است، اما سیستم رومی اینطور نیست. در سیستم‌های عددی موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصربه‌فرد بزرگی عدد را تعیین می‌کند. بیایید با استفاده از عدد اعشاری 6372 به عنوان مثال به این نگاه کنیم. بیایید با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ بشماریم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نمایش داد:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 + 2 · 10 10 -3.

به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

C n س n + C n-1 س n-1 + ... + C 1 س 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

که در آن Ц n یک عدد صحیح در موقعیت است n، Д -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره

چند کلمه در مورد سیستم های اعداد اعداد در سیستم اعداد اعشاری از ارقام زیادی تشکیل شده است (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، در سیستم اعداد هشتگانه - از مجموعه ای از اعداد (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم اعداد باینری - از مجموعه اعداد (0،1)، در سیستم اعداد هگزادسیمال - از مجموعه اعداد (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9، A، B، C، D، E، F)، که در آن A، B، C، D، E، F با اعداد 10،11 مطابقت دارد. اعداد، 12،13،14،15 در سیستم های اعداد مختلف ارائه شده است.

میز 1
نشانه گذاری
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	آ
11	1011	13	ب
12	1100	14	سی
13	1101	15	دی
14	1110	16	E
15	1111	17	اف

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم اعداد اعشاری

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از نماد دودویی (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93.125

مثال2. 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 ... عدد AB572.CDF را از پایه هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- تا 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری تبدیل می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای یک SS باینری - بر 2، برای یک SS 8 عددی - بر 8، برای 16-ary - در 16، و غیره) ) تا زمانی که یک باقیمانده کامل، کمتر از CC پایه به دست آید.

مثال 4 ... بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

همانطور که از شکل مشاهده می شود. 1، عدد 159 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 را می دهد. علاوه بر این، عدد 79 وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 و غیره را می دهد. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، عدد را در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 ... بنابراین می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 ... بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از 8 به دست آید. عدد را در SS octal دریافت می کنیم: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 ... عدد 19673 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنید.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی 19673 بر 16، مابقی 4، 12، 13، 9 را به دست آوردیم. در سیستم هگزادسیمال، عدد 12 مربوط به C و عدد 13 مربوط به D است. بنابراین، ما عدد هگزادسیمال 4CD9 است.

برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به پایه s، این عدد باید به صورت متوالی در s ضرب شود تا زمانی که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید، در غیر این صورت تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر در حین ضرب، عددی با قسمت صحیح متفاوت از صفر به دست آید، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (به ترتیب به نتیجه اضافه می شوند).

بیایید با مثال موارد فوق را در نظر بگیریم.

مثال 7 ... عدد 0.214 را از اعشاری به SS باینری تبدیل کنید.

		0.214
	ایکس	2
0		0.428
	ایکس	2
0		0.856
	ایکس	2
1		0.712
	ایکس	2
1		0.424
	ایکس	2
0		0.848
	ایکس	2
1		0.696
	ایکس	2
1		0.392

همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. اگر حاصل ضرب به عددی غیرصفر با یک قسمت صحیح منجر شود، آنگاه قسمت صحیح جداگانه (در سمت چپ عدد) نوشته می شود و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر هنگام ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. روند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم اعداد باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 ... بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری تبدیل کنیم.

		0.125
	ایکس	2
0		0.25
	ایکس	2
0		0.5
	ایکس	2
1		0.0

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری، این عدد به ترتیب در 2 ضرب می شود. در مرحله سوم، 0 شد. بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 ... بیایید عدد 0.214 را از اعشار به SS هگزادسیمال تبدیل کنیم.

		0.214
	ایکس	16
3		0.424
	ایکس	16
6		0.784
	ایکس	16
12		0.544
	ایکس	16
8		0.704
	ایکس	16
11		0.264
	ایکس	16
4		0.224

به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد 12 و 11 با اعداد C و B مطابقت دارند. بنابراین، داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 ... تبدیل اعشاری به اعشاری SS 0.512.

		0.512
	ایکس	8
4		0.096
	ایکس	8
0		0.768
	ایکس	8
6		0.144
	ایکس	8
1		0.152
	ایکس	8
1		0.216
	ایکس	8
1		0.728

اخذ شده:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 ... تبدیل عدد 159.125 از اعشاری به باینری SS. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به دست می آوریم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 ... تبدیل عدد 19673.214 از اعشاری به SS هگزادسیمال. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. علاوه بر این، با ترکیب این نتایج، به دست می آوریم.

نمایش اعداد و دستورات در کامپیوتر(INFlesson5.doc).

ایده بیان اعداد در ده علامت، دادن آنها، علاوه بر معنی در شکل، همچنین معنی در مکان، آنقدر ساده است که دقیقاً به دلیل همین سادگی است که درک شگفت انگیز بودن آن دشوار است. رسیدن به این روش چقدر دشوار است، نمونه ای از بزرگ ترین نابغه های دانش یونانی، ارشمیدس و آپولونیوس را می بینیم که این ایده از آنها پنهان مانده است.

پیر سیمون لاپلاس

با مطالعه روش های نمایش اطلاعات عددی، لازم است با قوانین ترجمه یک نمایش از یک عدد به دیگری آشنا شویم تا سعی کنیم بفهمیم که چرا یک عدد در موقعیت های مختلف باید متفاوت نشان داده شود. بخش ویژه ای از نظریه اعداد "سیستم های اعداد" به روش های نمایش اعداد می پردازد.

مفهوم مهم دیگری معرفی شده است - سیستم اعداد. چرا مورد نیاز است؟ اصلا این چیه؟ سیستم های عددی سیستم های ساخته دست بشر هستند. چنین سیستم هایی نامیده می شوند ساختگی بر خلاف طبیعی سیستم های ایجاد شده توسط طبیعت منظومه های طبیعی (طبیعی) شامل کهکشان ها، منظومه شمسی ما، انسان به عنوان یک کل و غیره است. سیستم های مصنوعی شامل شهرها، کارخانه ها، سیستم آموزشی، زبان های ملی، یعنی هر چیزی که توسط مردم ساخته می شود.

سیستم های مصنوعی را می توان به دو دسته تقسیم کرد

مواد: اتومبیل، هواپیما، خانه، شهر، سد و غیره؛

عمومی یعنی انجمن های مختلف مردم: مجلس، سیستم آموزش عمومی، باشگاه شطرنج و غیره.

اطلاعاتی: زبان های ملی، شبکه کامپیوتری اینترنت، سیستم های اعداد و غیره.

هر سیستم مصنوعی با هدف خاصی ایجاد می شود. می توان ادعا کرد که بهترین سیستم مصنوعی است که دستیابی به هدف ایجاد خود را به بهترین نحو تضمین می کند.

هدف از ایجاد یک سیستم اعداد ایجاد راحت ترین روش برای نوشتن اعداد است. سیستم اعداد به شما اجازه می دهد تا به صورت فشرده نمایش دهید اطلاعات کمی در مورد اشیاء و با استفاده از قوانین نسبتاً ساده آنها را دستکاری کنید.

ما نه عدد طبیعی اول را با کاراکترهای خاص نشان می دهیم:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

همین کار را با تمام اعدادی که در عمل با آنها مواجه می شوید، انجام دهید. تعیین تمام اعدادی که با علائم خاص مواجه می شوند ناخوشایند است. حتی اگر نیازهای ما به شمارش در هزار محدود می شد، لازم بود هزار کاراکتر خاص را حفظ کنیم. به طور طبیعی، برای مدت طولانی مردم شروع به انتخاب یک یا ردیف دیگر از "کلید"، اعداد اساسی کردند و فقط آنها را با علائم خاص نشان می دادند.

سیستم های اعداد اختراع نابغه بشر هستند. برای اینکه امروز به زبان طبیعی دو هزار و هفت است، باید از 16 کاراکتر (بدون در نظر گرفتن فاصله) استفاده کنم. با استفاده از زبان اعداد، می توانید همان چیزی را با چهار کاراکتر به تصویر بکشید. معلوم می شود که اعداد نشان دهنده کدهای کلمات مربوطه هستند، که با این واقعیت نیز تأیید می شود که عدد سال، که در کلمات و اعداد نوشته شده است، توسط ما به همین ترتیب خوانده می شود. اعداد در زبان های طبیعی مختلف به طور متفاوتی تلفظ می شوند و نماد آنها و قوانین انجام عملیات حسابی روی آنها یکسان است.

مفهوم عدد هم برای ریاضیات و هم برای علوم کامپیوتر اساسی است. اما اگر در ریاضیات بیشترین توجه به روش های پردازش اعداد شود، برای علم کامپیوتر نمی توان روش های نمایش اعداد را نادیده گرفت، زیرا آنها هستند که منابع حافظه لازم، سرعت و خطای محاسبات را تعیین می کنند.

1. نشانه گذاری- این راهی برای نمایش اعداد و قوانین مربوط به اقدامات روی اعداد است.

سیستم های اعداد مختلفی که قبلا وجود داشته و در زمان ما مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به غیر موقعیتی و موقعیتی تقسیم کرد.

1.1 سیستم های اعداد غیر موقعیتی

مصریان باستان از سیستم های اعداد غیر موقعیتی استفاده می کردند.

یونانیان، رومی ها و برخی دیگر از مردمان دوران باستان. در سیستم‌های اعداد غیر موقعیتی، مقداری که آن (علامت) نشان می‌دهد به موقعیت علامت در نماد اعداد بستگی ندارد.

سیستم اعداد رومی (اعداد رومی) به ما رسیده است که در برخی موارد هنوز در شماره گذاری (قرن، جلد، فصل کتاب) استفاده می شود. در سیستم رومی، از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می شود:

1 5 10 50 100 500 1000

مثلاً عدد CCXXXII حاصل جمع دویست و سه ده و دو واحد و برابر با دویست و سی و دو است.

در اعداد رومی، اعداد از چپ به راست به ترتیب نزولی نوشته می شوند. در این مورد، مقادیر آنها جمع می شود. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ و یک عدد بزرگتر در سمت راست نوشته شده باشد، مقادیر آنها کم می شود.

VI = 5 + 1 = 6 و IV = 5 - 1 = 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی کم و بیش برای انجام جمع و تفریق مناسب بودند، اما برای ضرب و تقسیم اصلاً مناسب نبودند.

1.2 سیستم های اعداد موقعیتی (PSS).

سیستم‌های اعداد موقعیتی از این نظر راحت هستند که به شما امکان می‌دهند اعداد بزرگ دلخواه را با استفاده از تعداد کمی از ارقام بنویسید. الگوریتم های بسیار ساده برای انجام عملیات حسابی روی اعداد مزیت مهم سیستم های اعداد موقعیتی است.

در سیستم‌های عددی موقعیتی، مقداری که با یک رقم در نماد اعداد نشان داده می‌شود به موقعیت آن بستگی دارد.

تعداد ارقام استفاده شده نامیده می شود اساس PSS.

سیستم عددی مورد استفاده در ریاضیات مدرن، سیستم اعشاری موقعیتی است. پایه آن ده است، زیرا هر عددی با ده رقم نوشته می شود:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

بسیاری از ما این نمادها را که از دوران کودکی شناخته شده اند، با مفهوم "تعداد" مرتبط می دانند. با این حال، ما می توانیم از هر نمادی به عنوان عدد استفاده کنیم. و اعداد لازم نیست ده باشند.

اگرچه سیستم اعشاری معمولاً عربی نامیده می شود، اما در قرن پنجم در هند پدید آمد. در اروپا، آنها در مورد این سیستم در قرن دوازدهم از رساله های علمی عربی، که به لاتین ترجمه شد، آموختند. این نام "اعداد عربی" را توضیح می دهد.

نوع موقعیتی سیستم اعشاری برای هر عدد چند رقمی به راحتی قابل درک است. به عنوان مثال، در عدد 333، رقم اول به معنای سیصد، دوم - سه ده، سوم - سه واحد است. همان عدد، بسته به موقعیت در نماد اعداد، مقادیر متفاوتی را نشان می دهد.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

هر عدد اعشاری را می توان به عنوان مجموع حاصل ضرب ارقام تشکیل دهنده آن با توان ده ها نشان داد. همین امر برای کسرهای اعشاری نیز صادق است.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

این به شما امکان می دهد اعداد با پایه نه برابر 10 را به نمایش اعشاری تبدیل کنید.

برای انجام چنین ترجمه ای، لازم است عدد اصلی را به عنوان مجموع حاصل از ارقام عدد با درجات مربوط به پایه یادداشت کنید و مقدار عبارت عددی حاصل را طبق قوانین اعشاری محاسبه کنید. حسابی

1.432.32 5 → A 10.

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2.DF، 4A 16 → A 10

DF، 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +

عدد ده تنها پایه ممکن برای یک سیستم موقعیتی نیست. ریاضیدان معروف روسی NN Luzin اینطور بیان کرد: "مزایای سیستم اعشاری ریاضی نیست، بلکه جانورشناسی است. اگر ما نه ده انگشت، بلکه هشت انگشت داشتیم، آنگاه بشریت از سیستم اکتال استفاده می کرد."

برای نوشتن اعداد در یک سیستم موقعیتی با ریشه n (n- تعیین مبنای MSS) باید داشته باشد الفبااز جانب nارقام معمولا برای این، با n ≤ 10استفاده کنید nاول اعداد عربی و برای n> 10حروف لاتین به ده عدد عربی اضافه می شود.

در اینجا نمونه هایی از حروف الفبای چندین سیستم آورده شده است:

پایه سیستمی که یک عدد به آن تعلق دارد با زیرنویس آن عدد نشان داده می شود.

1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.

1.3 تبدیل اعداد اعشاری به MSS با پایه نه برابر 10.

1.3.1 ترجمه اعداد صحیح.

پایه سیستم اعداد جدید در سیستم اعشاری بیان می شود

اعداد و کلیه اقدامات بعدی باید در سیستم اعداد اعشاری انجام شود.

تقسیم عدد داده شده و ضرایب ناقص حاصل را بر اساس سیستم اعداد جدید به ترتیب انجام دهید تا زمانی که یک ضریب ناقص کمتر از مقسوم علیه بدست آوریم.

باقی مانده های حاصل که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند، باید با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت داده شوند.

یک عدد در سیستم اعداد جدید بسازید، آن را یادداشت کنید و با ضریب آخر شروع کنید.

1.3.2 ترجمه اعداد کسری.

پایه سیستم اعداد جدید را در سیستم اعشاری بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را در سیستم اعداد اعشاری انجام دهید.

عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از محصولات را بر اساس سیستم اعداد جدید به ترتیب ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا دقت لازم برای نمایش اعداد در سیستم اعداد جدید حاصل شود.

اجزای کامل حاصل از محصولات که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند، با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت دارند.

قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و از کل قسمت حاصل اول شروع کنید.

نمونه هایی از ترجمه اعداد اعشاری خاص در پیوست 1 ارائه شده است.

پیوست 1.

© سایت 2015-2019
تمامی حقوق متعلق به نویسندگان آنها می باشد. این سایت ادعای نویسندگی ندارد، اما استفاده رایگان را فراهم می کند.
تاریخ ایجاد صفحه: 1395/02/16

مفاهیم اساسی سیستم های اعداد

سیستم اعداد مجموعه ای از قوانین و تکنیک ها برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه ای از کاراکترهای دیجیتال است. تعداد ارقام مورد نیاز برای ثبت یک عدد در سیستم را پایه سیستم اعداد می گویند. پایه سیستم با اعداد درست در زیرنویس نوشته شده است:; ; و غیره.

دو نوع سیستم اعداد وجود دارد:

موقعیتی، زمانی که مقدار هر رقم از یک عدد با موقعیت آن در رکورد شماره تعیین می شود.

غیر موقعیتی، زمانی که مقدار رقم در عدد به جایگاه آن در رکورد عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی رومی است: اعداد IX، IV، XV و غیره. نمونه ای از سیستم اعداد موقعیتی، سیستم اعشاری است که به صورت روزانه استفاده می شود.

هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:

که در آن S پایه سیستم اعداد است.

ارقام عدد ثبت شده در سیستم عددی داده شده؛

n - تعداد ارقام عدد.

مثال. عدد به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود:

انواع سیستم های اعداد

سیستم اعداد رومی یک سیستم غیر موقعیتی است. برای نوشتن اعداد از حروف الفبای لاتین استفاده می کند. علاوه بر این، حرف I همیشه به معنی یک است، حرف V پنج است، X ده، L پنجاه، C صد، D پانصد، M هزار و غیره است. مثلا عدد 264 به صورت CCLXIV نوشته می شود. هنگام نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی، مقدار عدد حاصل جمع جبری ارقام موجود در آن است. در این صورت اعداد در رکورد اعداد معمولاً به ترتیب نزولی از مقادیر خود پیروی می کنند و نوشتن بیش از سه عدد یکسان در کنار هم مجاز نیست. در صورتی که یک رقم با مقدار بزرگ با یک رقم کوچکتر همراه شود، سهم آن در مقدار کل عدد منفی است. نمونه های معمولی که قوانین کلی برای نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی را نشان می دهد در جدول نشان داده شده است.

جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی

		III
	vii	هشتم
	سیزدهم	Xviii	نوزدهم	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

نقطه ضعف سیستم رومی عدم وجود قوانین رسمی برای نوشتن اعداد و بر این اساس، عملیات حسابی با اعداد چند رقمی است. به دلیل ناراحتی و پیچیدگی زیاد، سیستم اعداد رومی در حال حاضر در جایی که واقعا راحت است استفاده می‌شود: در ادبیات (شماره‌گذاری فصل)، در کاغذبازی (یک سری پاسپورت، اوراق بهادار، و غیره)، برای اهداف تزئینی روی شماره‌گیر تماشا و در تعدادی از موارد دیگر.

سیستم اعداد اعشاری در حال حاضر معروف ترین و مورد استفاده ترین است. اختراع سیستم اعداد اعشاری متعلق به دستاوردهای اصلی اندیشه بشر است. بدون آن، تکنولوژی مدرن به سختی می توانست وجود داشته باشد، چه رسد به ظهور. دلیل اینکه سیستم اعداد اعشاری به طور کلی پذیرفته شده است، اصلاً ریاضی نیست. مردم به شمردن با نماد اعشاری عادت دارند زیرا 10 انگشت روی دستان خود دارند.

تصویر باستانی ارقام اعشاری (شکل 1) تصادفی نیست: هر رقم با توجه به تعداد گوشه های آن نشان دهنده یک عدد است. به عنوان مثال، 0 - بدون گوشه، 1 - یک گوشه، 2 - دو گوشه، و غیره. نوشتن ارقام اعشاری دستخوش تغییرات قابل توجهی شده است. شکلی که ما استفاده می کنیم در قرن شانزدهم ایجاد شد.

سیستم اعشاری اولین بار در قرن ششم پس از میلاد در هند ظاهر شد. شماره گذاری هندی از نه کاراکتر عددی و صفر برای نشان دادن یک موقعیت خالی استفاده می کند. در نسخه‌های خطی هندی اولیه که به دست ما رسیده است، اعداد به ترتیب معکوس نوشته می‌شدند که مهم‌ترین عدد در سمت راست بود. اما خیلی زود قرار دادن چنین عددی در سمت چپ به یک قانون تبدیل شد. اهمیت ویژه ای به کاراکتر صفر داده شد که برای سیستم نمادگذاری موقعیتی معرفی شد. شماره گذاری هندی، از جمله صفر، تا زمان ما باقی مانده است. در اروپا، روش‌های هندویی حساب اعشاری در آغاز قرن سیزدهم رایج شد. با تشکر از کارهای ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا (فیبوناچی). اروپاییان سیستم اعداد هندی را از اعراب قرض گرفتند و آن را عرب نامیدند. این نام تاریخی نادرست تا به امروز حفظ شده است.

سیستم اعشاری از ده رقم - 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 و همچنین نمادهای "+" و "-" برای نشان دادن علامت یک عدد و یک کاما یا نقطه استفاده می کند. برای جدا کردن قطعات کامل و کسری اعداد.

کامپیوترها از یک سیستم اعداد باینری استفاده می کنند، پایه آن عدد 2 است. برای نوشتن اعداد در این سیستم، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. برخلاف تصور غلط رایج، سیستم اعداد باینری نه توسط مهندسان طراحی کامپیوتر، بلکه اختراع شده است. توسط ریاضیدانان و فیلسوفان بسیار قبل از ظهور رایانه ها، در قرن هفدهم و نوزدهم. اولین بحث منتشر شده در مورد سیستم اعداد باینری متعلق به کشیش اسپانیایی خوان کاراموئل لوبکوویتز (1670) است. توجه کلی به این سیستم توسط مقاله ای توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس که در سال 1703 منتشر شد، جلب شد. لایب نیتس استفاده از این سیستم را برای محاسبات عملی توصیه نکرد، اما بر اهمیت آن برای تحقیقات نظری تاکید کرد. با گذشت زمان، سیستم اعداد باینری به خوبی شناخته شد و توسعه یافت.

انتخاب یک سیستم باینری برای استفاده در محاسبات با این واقعیت توضیح داده می شود که عناصر الکترونیکی - محرک هایی که ریزمدارهای کامپیوتری را تشکیل می دهند - می توانند تنها در دو حالت عملیاتی باشند.

هر داده و دانشی را می توان با استفاده از یک سیستم کدگذاری باینری ثبت کرد. اگر اصل رمزگذاری و انتقال اطلاعات با استفاده از کد مورس را به خاطر داشته باشید به راحتی قابل درک است. اپراتور تلگراف با استفاده از تنها دو علامت از این الفبا - نقطه و خط تیره - می تواند تقریباً هر متنی را منتقل کند.

سیستم باینری برای رایانه راحت است، اما برای شخص ناخوشایند است: نوشتن و به خاطر سپردن اعداد طولانی و دشوار است. البته می‌توانید یک عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنید و به این شکل بنویسید، و سپس، زمانی که نیاز به ترجمه آن دارید، اما همه این ترجمه‌ها زمان‌بر هستند. بنابراین، از سیستم های اعداد، مشابه باینری - هشت و هگزادسیمال استفاده می شود. برای نوشتن اعداد در این سیستم ها به ترتیب 8 و 16 رقم مورد نیاز است. در هگزادسیمال، 10 رقم اول رایج است و سپس از حروف لاتین بزرگ استفاده می شود. رقم هگزادسیمال A مربوط به اعشاری 10، هگزادسیمال B - اعشاری 11 و غیره است. استفاده از این سیستم ها با این واقعیت توضیح داده می شود که انتقال به نوشتن یک عدد در هر یک از این سیستم ها از نماد دودویی آن بسیار ساده است. در زیر جدول مطابقت بین اعداد ثبت شده در سیستم های مختلف آورده شده است.

جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف

اعشاری	دودویی	هشتی	هگزادسیمال
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		دی http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

قوانینی برای ترجمه اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. بیایید قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیریم.

1. برای تبدیل یک عدد باینری به اعشاری باید آن را به صورت چندجمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 2 نوشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 4. توان های 2

n (درجه)
											1024

مثال. عدد را به نماد اعشاری تبدیل کنید.

2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به اعشاری باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 نوشت و بر اساس قوانین اعشاری محاسبه کرد. حسابی:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های هشت راحت است:

جدول 5. توان های 8

n (درجه)

بیایید به یکی از مهمترین موضوعات در علوم کامپیوتر نگاه کنیم -. در برنامه درسی مدرسه، به احتمال زیاد به دلیل کمبود ساعات اختصاص داده شده به آن، به طور "متواضع" آشکار می شود. دانش در مورد این موضوع، به ویژه در ترجمه سیستم های اعداد، پیش نیاز ارائه موفقیت آمیز آزمون یکپارچه دولتی و پذیرش در دانشگاه ها در دانشکده های مربوطه می باشد. در زیر به تفصیل مفاهیمی از قبیل سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی، نمونه هایی از این سیستم های اعداد آورده شده است، قوانین تبدیل اعداد اعشاری کامل، کسرهای اعشاری منظم و اعداد اعشاری مختلط به هر سیستم اعداد دیگری، تبدیل اعداد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، تبدیل سیستم های اعداد هشت و هگزادسیمال به یک عدد باینری. سیستم ارائه شده است. در امتحانات، تعداد زیادی از مشکلات در این موضوع وجود دارد. توانایی حل آنها یکی از الزامات متقاضیان است. به زودی: برای هر موضوع از بخش، علاوه بر مطالب تئوری دقیق، تقریباً تمام گزینه های ممکن ارائه خواهد شد. وظایفبرای خودآموزی علاوه بر این، شما این فرصت را خواهید داشت که راه حل های کاملاً آماده و دقیق برای این مشکلات را از سرویس میزبانی فایل به صورت رایگان دانلود کنید و راه های مختلفی برای دریافت پاسخ صحیح را به تصویر بکشید.

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی- سیستم های عددی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی ندارد.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی شامل، به عنوان مثال، رومی هستند، که در آن به جای اعداد، حروف لاتین وجود دارد.

من	1 (یک)
V	5 (پنج)
ایکس	10 (ده)
L	50 (پنجاه)
سی	100 (صد)
دی	500 (پانصد)
م	1000 (هزار)

در اینجا حرف V صرف نظر از مکان آن مخفف 5 است. با این حال، قابل ذکر است که اگرچه سیستم اعداد رومی یک نمونه کلاسیک از سیستم اعداد غیر موقعیتی است، اما کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا عدد کوچکتر قبل از عدد بزرگتر از آن کم می شود:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد موقعیتی- سیستم های اعداد که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی دارد.

به عنوان مثال، اگر در مورد سیستم اعشاری صحبت کنیم، در عدد 700 عدد 7 به معنای "هفت صد" است، اما همان عدد در عدد 71 به معنای "هفت ده" و در عدد 7020 - "هفت هزار" است.

هر یک سیستم اعداد موقعیتیاو دارد پایه... عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی دو به عنوان مبنا انتخاب می شود. برابر است با تعداد ارقام استفاده شده در این سیستم اعداد.

برای مثال:
• دودویی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2.
• کواترنر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 4.
• پنج برابر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 5.
• هشتی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 8.
• هگزادسیمال- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 16.

برای حل موفقیت آمیز مسائل در موضوع "سیستم های اعداد"، دانش آموز باید به طور قلب مطابقت اعداد باینری، اعشاری، هشت و هگزادسیمال تا 16 10 را بداند:

10 ثانیه بر ثانیه	2 ثانیه بر ثانیه	8 ثانیه بر ثانیه	16 ثانیه بر ثانیه
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	آ
11	1011	13	ب
12	1100	14	سی
13	1101	15	دی
14	1110	16	E
15	1111	17	اف
16	10000	20	10

دانستن اینکه چگونه اعداد در این سیستم های اعداد به دست می آیند مفید است. ممکن است حدس بزنید که در هشت، هگزادسیمال، سه تایی و موارد دیگر سیستم های اعداد موقعیتیهمه چیز مشابه سیستم اعشاری که ما به آن عادت کرده ایم اتفاق می افتد:

یک عدد به عدد اضافه می شود و عدد جدیدی بدست می آید. اگر جای یک ها با پایه سیستم اعداد برابر شود، تعداد ده ها را 1 و غیره افزایش می دهیم.

این "یک انتقال" همان چیزی است که بیشتر دانش آموزان را می ترساند. در واقع، همه چیز بسیار ساده است. انتقال در صورتی اتفاق می افتد که بیت ones برابر شود پایه سیستم اعداد، تعداد ده ها را 1 افزایش می دهیم. بسیاری با یادآوری سیستم اعشاری خوب و قدیمی، فوراً در رقم و در این انتقال گیج می شوند، زیرا اعشاری و مثلاً ده ها باینری چیزهای مختلفی هستند.

از این رو، دانش‌آموزان مدبر هنگام پر کردن، مثلاً جداول صدق، «تکنیک‌های خاص خود» دارند (به‌طور شگفت‌انگیزی... کار می‌کنند) که اولین ستون‌ها (مقادیر متغیرها) آن‌ها در واقع با اعداد باینری به ترتیب صعودی پر می‌شوند. .

به عنوان مثال، بیایید به دریافت اعداد نگاه کنیم سیستم اکتال: به عدد اول (0) 1 اضافه می کنیم، 1 می گیریم. سپس 1 را به 1 اضافه می کنیم، 2 می گیریم و غیره. به 7. اگر یک را به 7 اضافه کنیم، عددی برابر با پایه سیستم اعداد به دست می آید، یعنی. 8. سپس شما باید محل ده ها را یک بار افزایش دهید (ده هشتی می گیریم - 10). علاوه بر این، بدیهی است که اعداد 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101 وجود دارد.

قانون ترجمه از یک سیستم عددی به سیستم دیگر.

1 تبدیل اعداد صحیح اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری.

عدد باید بر تقسیم شود رادیکس جدید... اولین باقیمانده تقسیم، اولین رقم کم اهمیت عدد جدید است. اگر ضریب تقسیم کمتر یا مساوی با پایه جدید باشد، آن (ضریب) باید دوباره به یک پایه جدید تقسیم شود. تقسیم را باید تا زمانی ادامه داد که ضریب کمتر از پایه جدید را بدست آوریم. این مهم ترین رقم عدد جدید است (باید به یاد داشته باشید که مثلاً در سیستم هگزادسیمال، حروف بعد از 9 وجود دارد، یعنی اگر در باقیمانده 11 به دست آورید، باید آن را به صورت B بنویسید).

مثال ("تقسیم با یک گوشه"): بیایید عدد 173 10 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه کنیم.

بنابراین 173 10 = 255 8

2 تبدیل کسرهای اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری.

عدد باید در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود. رقمی که به کل قسمت منتقل شده است مهم ترین رقم قسمت کسری عدد جدید است. برای به دست آوردن رقم بعدی، بخش کسری حاصلضرب باید دوباره در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود تا زمانی که انتقال به کل قسمت اتفاق بیفتد. ضرب را ادامه می دهیم تا جزء کسری برابر با صفر شود یا به دقت مشخص شده در مسئله برسیم («... با دقت مثلاً دو رقم اعشار محاسبه کن»).

مثال: بیایید عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.