یاد سالهای خوش مدرسه می افتیم. پیشگامان درس ریاضیات، با شروع مطالعه ریشه ها، اول از همه با ریشه دوم آشنا شدند. ما هم همین راه را خواهیم رفت.

مثال 1

انتگرال نامعین را پیدا کنید

با تجزیه و تحلیل انتگرال، به این نتیجه غم انگیز می رسید که اصلاً شبیه انتگرال های جدول نیست. حالا اگر این همه خوبی در صورت حساب بود، ساده بود. یا هیچ ریشه ای در پایین وجود نخواهد داشت. یا چند جمله ای. هیچ یک روشهای ادغام کسرهاکمکی هم نکن چه باید کرد؟

راه اصلی برای حل انتگرال های غیر منطقی تغییر متغیر است که ما را از همه ریشه های انتگرال نجات می دهد.

توجه داشته باشید که این جایگزینی کمی عجیب است، اجرای فنی آن با روش جایگزینی "کلاسیک" که در درس مورد بحث قرار گرفته است متفاوت است. روش جایگزینی در انتگرال نامعین.

در این مثال، شما باید جایگزین کنید ایکس = تی 2، یعنی به جای "x" در زیر ریشه خواهیم داشت تی 2. چرا تعویض دقیقا اینجوریه؟ زیرا، و در نتیجه جایگزینی، ریشه از بین می رود.

اگر در انتگرال به جای جذر جذر داشتیم، جایگزینی را انجام می دادیم. اگر من آنجا بودم این کار را می کردند و غیره.

باشه، مال ما تبدیل میشه چه اتفاقی برای چند جمله ای می افتد؟ هیچ مشکلی وجود ندارد: اگر، پس .

باقی مانده است که بفهمیم دیفرانسیل به چه چیزی تبدیل خواهد شد. این کار به این صورت انجام می شود:

ما جایگزین خود را می گیریم و ما دیفرانسیل ها را در هر دو قسمت آویزان می کنیم:

(تا حد امکان با جزئیات بیشتر می نویسیم).

راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

.

بیایید جایگزین کنیم: .

.

(1) ما تعویض را پس از تعویض انجام می دهیم (چگونه، چه چیزی و کجا قبلاً در نظر گرفته شده است).

(2) ثابت را از انتگرال خارج کنید. صورت و مخرج را کاهش دهید تی.

(3) انتگرال حاصل جدولی است، با انتخاب مربع آن را برای ادغام آماده می کنیم.

(4) با استفاده از فرمول روی جدول ادغام می کنیم

.

(5) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. چگونه انجام می شود؟ ما به یاد می آوریم که از چه چیزی رقصیدیم: اگر، پس.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

به نحوی اتفاق افتاد که در مثال های 1، 2 یک عدد برهنه با یک دیفرانسیل وجود دارد. بیایید وضعیت را درست کنیم.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید

تجزیه و تحلیل اولیه انتگرال دوباره نشان می دهد که هیچ راه آسانی وجود ندارد. بنابراین، شما باید از شر ریشه خلاص شوید.

جایگزین کنیم:.

مطابق ALL عبارت زیر ریشه را نشان می دهد... جایگزینی از نمونه های قبلی در اینجا مناسب نیست (به طور دقیق تر، می توان آن را انجام داد، اما ما را از ریشه خلاص نمی کند).

ما دیفرانسیل ها را به هر دو قسمت متصل می کنیم:

با مرتب شدن شمارنده با مخرج چه کنیم؟

ما جایگزین خود را می گیریم و از آن بیان می کنیم:.

اگر پس از آن.

(1) ما تعویض را مطابق با تعویض انجام شده انجام می دهیم.

(2) شانه زدن شمارنده. من ترجیح دادم ثابت را خارج از علامت انتگرال قرار ندهم (شما می توانید این کار را انجام دهید، اشتباه نمی شود)

(3) ما شمارنده را به مقدار گسترش می دهیم. یک بار دیگر اکیداً توصیه می کنیم که پاراگراف اول درس را بخوانید ادغام برخی کسرها... ترفندهای زیادی با بسط شمارنده به یک مجموع در انتگرال های غیر منطقی وجود خواهد داشت، کار کردن با این تکنیک بسیار مهم است.

(4) جمله صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

(5) ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در انتگرال دوم، یک مربع را برای ادغام بعدی روی جدول انتخاب می کنیم.

(6) ما روی میز ادغام می کنیم. انتگرال اول بسیار ساده است، در دومی از فرمول جدولی لگاریتم بالا استفاده می کنیم .

(7) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. اگر ما جایگزینی انجام دادیم، پس برگشت:.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، اگر نمونه های قبلی را با دقت کار نکردید، اشتباه کنید! راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

انتگرال با چند همانریشه هایی مانند

و غیره. و اگر در integrand ریشه ها چه باید کرد ناهمسان?

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بنابراین بازپرداخت برای شمارندگان برهنه آمده است. وقتی با چنین انتگرالی روبرو می شوید، معمولاً ترسناک می شود. اما ترس ها بیهوده است، پس از ایجاد یک جایگزین مناسب، انتگرال ساده تر می شود. چالش ایجاد یک جایگزین موفق برای خلاص شدن از شر همه ریشه ها به یکباره است.

هنگامی که ریشه های مختلف داده می شود، راحت است که به یک طرح راه حل خاص پایبند باشید.

ابتدا انتگرال را روی پیش نویس می نویسیم و تمام ریشه ها را به شکل زیر نشان می دهیم:

ما علاقه مند خواهیم شد مخرج هادرجه:

هیچ راه جهانی برای حل معادلات غیر منطقی وجود ندارد، زیرا کلاس آنها از نظر تعداد متفاوت است. این مقاله انواع مشخصه معادلات با جایگزینی را با استفاده از روش ادغام برجسته می کند.

برای استفاده از روش انتگرال گیری مستقیم، لازم است انتگرال های نامعین از نوع ∫ k x + b p d x محاسبه شوند که p کسر گویا، k و b ضرایب واقعی هستند.

مثال 1

پادمشتق های تابع y = 1 3 x - 1 3 را بیابید و محاسبه کنید.

راه حل

طبق قانون ادغام، لازم است فرمول ∫ f (kx + b) dx = 1 k F (kx + b) + C اعمال شود و جدول ضد مشتقات نشان می دهد که یک راه حل آماده برای این تابع وجود دارد. . ما آن را دریافت می کنیم

∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

پاسخ:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C.

مواردی وجود دارد که می توانید از روش آوردن زیر علامت دیفرانسیل استفاده کنید. این با اصل یافتن انتگرال های نامعین شکل ∫ f "(x) · (f (x)) p d x حل می شود، زمانی که مقدار p یک کسری گویا در نظر گرفته می شود.

مثال 2

انتگرال نامعین ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x را بیابید.

راه حل

توجه داشته باشید که d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. سپس لازم است با استفاده از جداول ضد مشتقات، زیر علامت دیفرانسیل جمع آوری شود.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

پاسخ:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C.

حل انتگرال های نامعین فرمولی به شکل ∫ d x x 2 + p x + q را ارائه می دهد که در آن p و q ضرایب واقعی هستند. سپس لازم است یک مربع کامل از زیر ریشه انتخاب شود. ما آن را دریافت می کنیم

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

با استفاده از فرمول موجود در جدول انتگرال های نامعین، به دست می آوریم:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

سپس انتگرال محاسبه می شود:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

مثال 3

انتگرال نامعین شکل ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 را بیابید.

راه حل

برای محاسبه، باید عدد 2 را بیرون بیاورید و آن را در مقابل رادیکال قرار دهید:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

یک مربع کامل در عبارت رادیکال انتخاب کنید. ما آن را دریافت می کنیم

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

سپس یک انتگرال نامعین از شکل 1 2 ∫ dxx 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ dxx + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

پاسخ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

ادغام توابع غیر منطقی به روشی مشابه انجام می شود. قابل استفاده برای توابع فرم y = 1 - x 2 + p x + q.

مثال 4

انتگرال نامعین ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 را پیدا کنید.

راه حل

ابتدا باید مربع مخرج عبارت را از زیر ریشه استخراج کنید.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

انتگرال جدولی به شکل ∫ dxa 2 - x 2 = arc sin xa + C است، سپس دریافت می کنیم که ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = arc sin x - 2 3 + C

پاسخ:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C.

فرآیند یافتن پاد مشتق‌های توابع غیرمنطقی به شکل y = M x + N x 2 + px + q، که در آن M، N، p، q موجود ضرایب واقعی هستند و شبیه به ادغام ساده‌ترین کسرهای نوع سوم این دگرگونی چند مرحله دارد:

جمع کردن دیفرانسیل زیر ریشه، برجسته کردن مربع کامل عبارت زیر ریشه، با استفاده از فرمول های جدولی.

مثال 5

ضد مشتقات y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 را پیدا کنید.

راه حل

از این شرط داریم که d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) dx و x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2، سپس (x + 2) dx = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx.

انتگرال را محاسبه کنید: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

پاسخ:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

جستجوی انتگرال های نامعین تابع ∫ x m (a + b x n) p d x با استفاده از روش جایگزینی انجام می شود.

برای حل آن، باید متغیرهای جدیدی را معرفی کنید:

1. وقتی عدد p یک عدد صحیح است، x = z N، و N مخرج مشترک m، n است.
2. وقتی m + 1 n یک عدد صحیح است، a + b x n = z N و N مخرج p است.
3. وقتی m + 1 n + p یک عدد صحیح است، باید متغیر a x - n + b = z N را وارد کنید و N مخرج p است.

مثال 6

انتگرال معین ∫ 1 x 2 x - 9 d x را بیابید.

راه حل

دریافت می کنیم که ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. بنابراین m = - 1، n = 1، p = - 1 2، سپس m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 یک عدد صحیح است. می توانید یک متغیر جدید از فرم را وارد کنید - 9 + 2 x = z 2. بیان x تا z ضروری است. در خروجی ها، ما آن را دریافت می کنیم

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

لازم است در انتگرال داده شده جایگزینی انجام شود. ما آن را داریم

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

پاسخ:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C.

برای ساده سازی حل معادلات غیر منطقی از روش های انتگرال گیری پایه استفاده می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

انتگرال های مختلط

این مقاله مبحث انتگرال های نامعین را کامل می کند و شامل انتگرال هایی است که به نظر من بسیار دشوار است. این درس به درخواست مکرر بازدیدکنندگانی که آرزوهای خود را بیان کردند ایجاد شد که نمونه های دشوارتر نیز در سایت تجزیه و تحلیل شدند.

فرض بر این است که خواننده این متن به خوبی آماده است و می داند که چگونه تکنیک های اساسی یکپارچه سازی را به کار گیرد. آدمک ها و افرادی که خیلی به انتگرال ها اطمینان ندارند باید به اولین درس مراجعه کنند - انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها، جایی که می توانید به صورت عملی از ابتدا به موضوع مسلط شوید. دانش آموزان با تجربه تر می توانند با تکنیک ها و روش های ادغام که هنوز در مقالات من با آنها برخورد نشده است آشنا شوند.

چه انتگرال هایی در نظر گرفته خواهند شد؟

ابتدا انتگرال هایی را با ریشه در نظر می گیریم که برای حل آنها به طور متوالی از آنها استفاده می کنیم جایگزینی متغیرو یکپارچه سازی توسط قطعات... یعنی در یک مثال دو تکنیک به طور همزمان با هم ترکیب شده اند. و حتی بیشتر.

سپس با یک جالب و اصلی آشنا می شویم روش کاهش انتگرال به خودش... انتگرال های کمی به این شکل حل نمی شوند.

شماره سوم برنامه به انتگرال کسری های مختلط می رسد که در مقالات قبلی از گیشه عبور کردند.

چهارم، انتگرال های اضافی توابع مثلثاتی تحلیل خواهند شد. به طور خاص، روش هایی وجود دارد که از جایگزینی مثلثاتی جهانی زمان بر جلوگیری می کند.

(2) در انتگرال، صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم می کنیم.

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در آخرین انتگرال بلافاصله تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم.

(4) انتگرال های باقی مانده را بگیرید. توجه داشته باشید که از پرانتز می توان در لگاریتم استفاده کرد، نه مدول.

(5) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم و از جایگزینی مستقیم "te" بیان می کنیم:

دانش آموزان مازوخیست می توانند پاسخ را متمایز کنند و انتگرال اصلی را همانطور که من انجام دادم بدست آورند. نه، نه، من چک را به معنای درست انجام دادم =)

همانطور که می بینید، در مسیر حل، حتی بیش از دو روش حل باید مورد استفاده قرار می گرفت، بنابراین، برای مقابله با چنین انتگرال هایی، به مهارت های یکپارچه سازی مطمئن و نه کوچکترین تجربه نیاز است.

در عمل، البته، ریشه دوم رایج تر است، در اینجا سه ​​مثال برای یک راه حل مستقل وجود دارد:

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این نمونه ها از یک نوع هستند، بنابراین راه حل کامل در پایان مقاله فقط برای مثال 2، در مثال های 3-4 - یک پاسخ خواهد بود. فکر می کنم در ابتدای راه حل ها از کدام جایگزین استفاده کنیم واضح است. چرا نمونه هایی از همین نوع را انتخاب کردم؟ آنها اغلب در نقش خود ملاقات می کنند. اغلب، شاید، فقط چیزی شبیه به .

اما نه همیشه، زمانی که ریشه یک تابع خطی در زیر توابع متقاطع، سینوس، کسینوس، توان و سایر توابع یافت می شود، چندین روش باید به طور همزمان اعمال شود. در تعدادی از موارد می توان "به راحتی پیاده شد"، یعنی بلافاصله پس از تعویض، یک انتگرال ساده به دست می آید که می توان آن را به صورت ابتدایی گرفت. ساده ترین کار ارائه شده در بالا، مثال 4 است که در آن، پس از جایگزینی، یک انتگرال نسبتا ساده به دست می آید.

با تقلیل انتگرال به خودش

یک روش مبتکرانه و زیبا. بیایید بلافاصله به کلاسیک های این ژانر نگاهی بیندازیم:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک دوجمله ای مربعی زیر ریشه وجود دارد، و هنگام تلاش برای ادغام این مثال، کتری می تواند ساعت ها آسیب ببیند. چنین انتگرالی تکه تکه گرفته می شود و به خود تقلیل می یابد. در اصل، سخت نیست. اگر می دانید چگونه.

اجازه دهید انتگرال مورد نظر را با یک حرف لاتین نشان دهیم و راه حل را شروع کنیم:

ما قطعه به قطعه ادغام می کنیم:

(1) یک تابع انتگرال برای تقسیم ترم آماده کنید.

(2) انتگرال را بر ترم تقسیم می کنیم. شاید همه متوجه نشوند، من با جزئیات بیشتری خواهم نوشت:

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(4) آخرین انتگرال را بگیرید (لگاریتم "طولانی").

اکنون به همان ابتدای راه حل نگاه می کنیم:

و در پایان:

چی شد؟ در نتیجه دستکاری های ما، انتگرال به خودش کاهش یافته است!

ابتدا و انتها را با هم برابر می کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ حرکت کنید:

و دوس را به سمت راست حمل می کنیم. در نتیجه:

ثابت، به طور دقیق، باید قبلا اضافه می شد، اما آن را در پایان اضافه می کرد. اکیداً توصیه می کنم آنچه را که در اینجا سخت است بخوانید:

توجه داشته باشید: به طور دقیق تر، مرحله نهایی راه حل به این صورت است:

به این ترتیب:

ثابت را می توان دوباره طراحی کرد. چرا می توانید دوباره تعیین کنید؟ چون هنوز قبول میکنه هرمقادیر، و از این نظر هیچ تفاوتی بین ثابت و.
در نتیجه:

یک ترفند طراحی مجدد ثابت مشابه به طور گسترده در مورد استفاده قرار می گیرد معادلات دیفرانسیل... و در آنجا سختگیر خواهم بود. و در اینجا چنین آزادی فقط برای اینکه شما را با چیزهای غیرضروری اشتباه نگیرم و روی روش ادغام تمرکز کنم مجاز است.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک انتگرال معمولی دیگر برای یک راه حل مستقل. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. تفاوت با جواب مثال قبل خواهد بود!

اگر یک مثلث مربع زیر ریشه مربع وجود داشته باشد، در هر صورت راه حل به دو مثال تحلیل شده کاهش می یابد.

به عنوان مثال، انتگرال را در نظر بگیرید ... تنها کاری که باید انجام دهید این است که از قبل انجام دهید مربع کامل را انتخاب کنید:
.
علاوه بر این، یک جایگزینی خطی انجام می شود که "بدون هیچ عواقبی" کنار گذاشته می شود:
، منجر به یک انتگرال می شود. یک چیز آشنا، درست است؟

یا چنین مثالی با یک دوجمله ای مربعی:
یک مربع کامل را انتخاب کنید:
و پس از جایگزینی خطی، یک انتگرال به دست می آوریم که آن نیز مطابق الگوریتم در نظر گرفته شده حل می شود.

دو مثال معمولی دیگر از چگونگی کاهش یک انتگرال به خود را در نظر بگیرید:
- انتگرال توان ضرب در سینوس.
آیا انتگرال توان در کسینوس ضرب می شود.

در انتگرال های فهرست شده بر اساس قطعات، باید دو بار قبلاً ادغام کنیم:

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید

انتگرال برابر با سینوس است.

ما دو بار توسط قطعات ادغام می کنیم و انتگرال را به خودش کاهش می دهیم:

در نتیجه ادغام مضاعف توسط قطعات، انتگرال به خود کاهش می یابد. ابتدا و انتهای راه حل را با هم برابر می کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ حرکت کنید و انتگرال ما را بیان کنید:

آماده. در طول مسیر، توصیه می شود سمت راست را شانه کنید، یعنی. نما را خارج از پرانتز قرار دهید و در پرانتز سینوس و کسینوس را به ترتیب "زیبا" ترتیب دهید.

حالا بیایید به ابتدای مثال یا بهتر است بگوییم به ادغام بر اساس قطعات برگردیم:

زیرا ما غرفه‌دار را تعیین کرده‌ایم. این سوال پیش می آید که دقیقاً نشانگر همیشه باید با؟ لازم نیست. در واقع در انتگرال در نظر گرفته شده است اساسا فرقی نمی کنه، برای چه چیزی مشخص شود، می توان از راه دیگر رفت:

چرا این امکان وجود دارد؟ از آنجایی که توان به خود تبدیل می شود (هم در حین تمایز و هم در حین ادغام)، سینوس و کسینوس متقابلاً به یکدیگر تبدیل می شوند (دوباره، هم در حین تمایز و هم در حین ادغام).

یعنی می توانید یک تابع مثلثاتی نیز تعیین کنید. اما، در مثال در نظر گرفته شده، این کمتر منطقی است، زیرا کسری ظاهر می شود. در صورت تمایل می توانید سعی کنید این مثال را به روش دوم حل کنید، پاسخ ها باید یکسان باشد.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. قبل از تصمیم گیری، به این فکر کنید که در این مورد چه چیزی برای تعیین تابع توان یا مثلثاتی سودآورتر است؟ راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

و البته به خاطر داشته باشید که اکثر پاسخ های این درس به اندازه کافی آسان هستند که تفکیک شوند!

نمونه ها سخت ترین نبودند. در عمل، انتگرال ها رایج تر هستند، جایی که ثابت هم در توان و هم در آرگومان تابع مثلثاتی است، به عنوان مثال:. بسیاری از مردم باید در چنین انتگرالی گم شوند و من خودم اغلب گیج می شوم. واقعیت این است که احتمال ظاهر شدن کسری در محلول زیاد است و از دست دادن چیزی با بی توجهی بسیار آسان است. علاوه بر این، احتمال خطا در علائم زیاد است، توجه داشته باشید که توان دارای علامت منفی است و این مشکل اضافی را ایجاد می کند.

در مرحله نهایی، اغلب چیزی شبیه به موارد زیر ظاهر می شود:

حتی در پایان راه حل، شما باید بسیار مراقب باشید و با شایستگی با کسری برخورد کنید:

ادغام کسرهای مرکب

کم کم داریم به خط استوای درس نزدیک می شویم و شروع به در نظر گرفتن انتگرال کسری می کنیم. باز هم، همه آنها فوق العاده پیچیده نیستند، فقط به یک دلیل یا آن مثالها در مقالات دیگر کمی "خارج از موضوع" بودند.

ادامه موضوع ریشه ها

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در مخرج زیر ریشه، مثلث مربع به علاوه خارج از ریشه "ضمیمه" به شکل "x" است. یک انتگرال از این نوع با استفاده از یک جایگزین استاندارد حل می شود.

ما تصمیم گرفتیم:

جایگزینی ساده است:

ما به زندگی پس از جایگزینی نگاه می کنیم:

(1) پس از جایگزینی، اصطلاحات زیر ریشه را به یک مخرج مشترک می آوریم.
(2) از زیر ریشه بیرون می آوریم.
(3) صورت و مخرج را کاهش دهید. در همان زمان، در زیر ریشه، من شرایط را به ترتیبی راحت مرتب کردم. با کمی تجربه، مراحل (1)، (2) را می توان با انجام اعمال نظر به صورت شفاهی نادیده گرفت.
(4) انتگرال حاصل، همانطور که از درس به یاد دارید ادغام برخی کسرها، حل کرد با روش انتخاب مربع کامل... یک مربع کامل انتخاب کنید.
(5) ادغام یک لگاریتم معمولی "طولانی" دریافت می کنیم.
(6) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. اگر در ابتدا، سپس بازگشت:.
(7) عمل نهایی با هدف مدل موی نتیجه انجام می شود: در زیر ریشه، مجدداً شرایط را به یک مخرج مشترک می آوریم و آنها را از زیر ریشه خارج می کنیم.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. در اینجا یک ثابت به Lonely X اضافه شده است و جایگزینی تقریباً یکسان است:

تنها کاری که باید انجام شود، بیان "x" از جایگزین است:

حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

گاهی اوقات در چنین انتگرالی ممکن است یک دوجمله ای مربع زیر ریشه وجود داشته باشد، این راه حل را تغییر نمی دهد، حتی ساده تر خواهد بود. تفاوت را احساس کنید:

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل ها و پاسخ های مختصر در پایان درس. لازم به ذکر است که مثال 11 دقیقا می باشد انتگرال دو جمله ای، که روش حل آن در درس در نظر گرفته شد انتگرال توابع غیر منطقی.

انتگرال یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر با درجه 2

(چند جمله ای در مخرج)

شکل انتگرال نادرتر است، اما، با این وجود، در مثال های عملی با آن مواجه می شویم.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید

اما برگردیم به مثال با شماره خوش شانس 13 (راستش درست حدس زدم). این انتگرال نیز از دسته مواردی است که اگر ندانید چگونه آن را حل کنید، می توانید تا حد زیادی خود را عذاب دهید.

راه حل با یک تبدیل مصنوعی شروع می شود:

من فکر می کنم همه قبلاً می دانند که چگونه صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم کنند.

انتگرال حاصل قطعه به قطعه گرفته می شود:

برای یک انتگرال از فرم (یک عدد طبیعی است)، عود کنندهفرمول کاهش مدرک:
، جایی که - انتگرال یک درجه پایین تر.

اجازه دهید اعتبار این فرمول را برای انتگرال حل شده بررسی کنیم.
در این مورد:،، از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، پاسخ ها یکسان است.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. محلول نمونه از فرمول فوق دو بار متوالی استفاده می کند.

اگر زیر مدرک وجود دارد تجزیه ناپذیرمثلث مربع، سپس با انتخاب یک مربع کامل، راه حل به یک دو جمله ای کاهش می یابد، به عنوان مثال:

اگر یک چند جمله ای اضافی در صورتگر وجود داشته باشد چه؟ در این حالت از روش ضرایب تعریف نشده استفاده می شود و انتگرال به مجموع کسرها بسط می یابد. اما در عمل من از چنین مثالی هرگز ملاقات نکردند، بنابراین من از این مورد در مقاله صرف نظر کردم انتگرال های یک تابع گویا کسری، اکنون از آن می گذرم. اگر چنین انتگرالی هنوز رخ می دهد، به کتاب درسی مراجعه کنید - همه چیز در آنجا ساده است. گنجاندن مطالبی (حتی ساده) را مناسب نمی دانم که احتمال ملاقات با آنها به صفر می رسد.

ادغام توابع مثلثاتی پیچیده

برای بیشتر نمونه‌ها، صفت «مشکل» دوباره تا حد زیادی مشروط است. بیایید با مماس ها و کوتانژانت ها در درجات بالا شروع کنیم. از نقطه نظر روش‌هایی که برای حل مماس و کتانژانت استفاده می‌شود، تقریباً یکسان هستند، بنابراین من بیشتر در مورد مماس صحبت خواهم کرد، به این معنی که روش نشان داده شده برای حل انتگرال برای کتانژانت نیز معتبر است.

در درس بالا نگاه کردیم جایگزینی مثلثاتی جهانیبرای حل نوع خاصی از انتگرال های توابع مثلثاتی. نقطه ضعف جایگزینی مثلثاتی جهانی این است که هنگام استفاده از آن، اغلب انتگرال های دست و پا گیر با محاسبات دشوار به وجود می آیند. و در برخی موارد، می توان از جایگزینی مثلثاتی جهانی جلوگیری کرد!

مثال متعارف دیگری را در نظر بگیرید، انتگرال وحدت تقسیم بر سینوس:

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در اینجا می توانید از جایگزینی مثلثاتی عمومی استفاده کنید و پاسخ را دریافت کنید، اما راه منطقی تری وجود دارد. من یک راه حل کامل با نظرات برای هر مرحله ارائه خواهم کرد:

(1) از فرمول مثلثاتی سینوسی زاویه دوتایی استفاده می کنیم.
(2) ما یک تبدیل مصنوعی انجام می دهیم: در مخرج تقسیم و ضرب در.
(3) طبق فرمول معروف در مخرج، کسر را به مماس تبدیل می کنیم.
(4) تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(5) انتگرال را بگیرید.

چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 18

انتگرال نامعین را پیدا کنید

نکته: اولین قدم استفاده از فرمول ریخته گری است و مراحل مشابه مثال قبل را با دقت انجام دهید.

مثال 19

انتگرال نامعین را پیدا کنید

خوب، این یک مثال بسیار ساده است.

راه حل ها و پاسخ ها را در پایان درس کامل کنید.

من فکر می کنم اکنون هیچ کس با انتگرال ها مشکلی نخواهد داشت:
و غیره.

ایده پشت این روش چیست؟ ایده این است که فقط مماس ها و مشتق مماس در انتگرال را با استفاده از تبدیل ها، فرمول های مثلثاتی سازماندهی کنیم. یعنی ما در مورد جایگزینی صحبت می کنیم: ... در مثال‌های 17-19، ما در واقع این جایگزینی را اعمال کردیم، اما انتگرال‌ها به قدری ساده بودند که موضوع با یک عمل معادل در نظر گرفته شد - قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

استدلال مشابهی، همانطور که قبلاً ذکر کردم، می تواند برای کوتانژانت نیز انجام شود.

همچنین یک پیش نیاز رسمی برای اعمال جایگزینی فوق وجود دارد:

مجموع توان های کسینوس و سینوس یک عدد صحیح منفی زوج است، مثلا:

برای یک انتگرال - یک عدد صحیح منفی EVEN.

! توجه داشته باشید : اگر انتگرال حاوی ONLY یک سینوس یا فقط یک کسینوس باشد، انتگرال نیز برای یک درجه فرد منفی گرفته می شود (ساده ترین موارد در مثال های شماره 17، 18 است).

برای این قانون چند کار معنادارتر را در نظر بگیرید:

مثال 20

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مجموع درجات سینوس و کسینوس: 2 - 6 = -4 یک عدد صحیح زوج است، به این معنی که انتگرال را می توان به مماس و مشتق آن کاهش داد:

(1) مخرج را تبدیل کنید.
(2) طبق فرمول معروف به دست می آوریم.
(3) مخرج را تبدیل کنید.
(4) ما از فرمول استفاده می کنیم .
(5) تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار می دهیم.
(6) ما جایگزینی را انجام می دهیم. دانش آموزان با تجربه تر ممکن است جایگزینی را انجام ندهند، اما باز هم بهتر است مماس را با یک حرف جایگزین کنید - خطر سردرگمی کمتری وجود دارد.

مثال 21

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

صبر کنید، دور قهرمانی شروع می شود =)

غالباً در انتگرال یک "Hodgepodge" وجود دارد:

مثال 22

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این انتگرال در ابتدا حاوی یک مماس است که بلافاصله یک فکر آشنا را برمی انگیزد:

دگرگونی مصنوعی در همان ابتدا و بقیه مراحل را بدون نظر می گذارم، زیرا همه چیز قبلاً در بالا گفته شده است.

چند مثال خلاقانه برای حل خود:

مثال 23

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 24

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بله، در آنها، البته، می توانید درجات سینوس، کسینوس را کاهش دهید، از جایگزینی مثلثاتی جهانی استفاده کنید، اما راه حل اگر از طریق مماس ها انجام شود بسیار کارآمدتر و کوتاه تر خواهد بود. راه حل و پاسخ کامل در پایان درس

تابع غیر منطقی یک متغیر تابعی است که از یک متغیر و ثابت های دلخواه با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع، تفریق، ضرب (بالا بردن به یک عدد صحیح)، تقسیم و استخراج ریشه ها تشکیل می شود. یک تابع غیر منطقی با یک تابع منطقی تفاوت دارد زیرا تابع غیرمنطقی شامل عملیات استخراج ریشه است.

سه نوع اصلی از توابع غیر منطقی وجود دارد که انتگرالهای نامعین آنها به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابد. اینها انتگرال هایی هستند که ریشه های درجات اعداد صحیح دلخواه از یک تابع کسری خطی را شامل می شوند (ریشه ها می توانند درجات مختلفی داشته باشند، اما از یک تابع کسری خطی یکسان). انتگرال های دو جمله ای دیفرانسیل و انتگرال های با جذر سه جمله ای مربع.

یادداشت مهم. ریشه ها مبهم است!

هنگام محاسبه انتگرال های حاوی ریشه، عباراتی از شکل، که در آن تابعی از متغیر ادغام است، اغلب مواجه می شوند. باید در نظر داشت که. یعنی برای t> 0, | t | = t... در تی< 0, | t | = - t.بنابراین، هنگام محاسبه چنین انتگرال هایی، لازم است موارد t> را جداگانه در نظر بگیرید 0 و تی< 0 ... این کار را می توان با نوشتن علائم یا در صورت لزوم انجام داد. با فرض اینکه علامت بالا به حالت t> اشاره دارد 0 ، و پایین تر - به مورد t< 0 ... با تغییر بیشتر، این علائم، به عنوان یک قاعده، یکدیگر را خنثی می کنند.

رویکرد دوم نیز امکان پذیر است که در آن می توان انتگرال و نتیجه ادغام را به عنوان توابع پیچیده متغیرهای مختلط در نظر گرفت. سپس شما نمی توانید علائم را در عبارات رادیکال دنبال کنید. این رویکرد در صورتی قابل اجرا است که انتگرال، تحلیلی باشد، یعنی تابعی قابل تفکیک از یک متغیر مختلط. در این حالت، هم انتگرال و هم انتگرال آن، توابع چند ارزشی هستند. بنابراین، پس از ادغام، هنگام جایگزینی مقادیر عددی، لازم است یک شاخه تک مقداری (سطح ریمان) از انتگرال انتخاب شود و برای آن شاخه مربوطه از نتیجه انتگرال گیری انتخاب شود.

غیر منطقی خطی کسری

اینها انتگرال هایی با ریشه های تابع کسری خطی یکسان هستند:
,
که در آن R یک تابع گویا است، اعداد گویا، m 1، n 1، ...، m s، n s اعداد صحیح هستند، α، β، γ، δ اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی با جایگزینی به انتگرال یک تابع گویا کاهش می یابد:
، که در آن n مخرج مشترک اعداد r 1، ...، r s است.

ممکن است ریشه ها لزوما از یک تابع کسری خطی نباشند، بلکه از یک تابع خطی نیز باشند (γ = 0، δ = 1، یا روی متغیر ادغام x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
, .

انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل

انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل عبارتند از:
,
که در آن m، n، p اعداد گویا هستند، a، b اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی در سه حالت به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابند.

1) اگر p یک عدد صحیح باشد. جایگزینی x = t N، که در آن N مخرج مشترک کسرهای m و n است.
2) اگر - کل. جایگزینی a x n + b = t M، که در آن M مخرج p است.
3) اگر - کل. جایگزینی a + b x - n = t M، که در آن M مخرج p است.

در موارد دیگر، چنین انتگرال هایی بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند.

گاهی اوقات می توان چنین انتگرال هایی را با استفاده از فرمول های کاهش ساده کرد:
;
.

انتگرال های حاوی جذر یک مثلث مربع

این انتگرال ها به شکل زیر هستند:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. چندین روش حل برای هر یک از این انتگرال ها وجود دارد.
1) با کمک تبدیل ها به انتگرال های ساده تری منتهی شوید.
2) جایگزین های مثلثاتی یا هذلولی را اعمال کنید.
3) جایگزین های اویلر را اعمال کنید.

بیایید نگاهی دقیق تر به این روش ها بیندازیم.

1) تبدیل انتگرال

با اعمال فرمول و انجام تبدیل های جبری، انتگرال را به شکل زیر می آوریم:
,
که در آن φ (x)، ω (x) توابع گویا هستند.

نوع I

انتگرال فرم:
,
که در آن P n (x) چند جمله ای درجه n است.

چنین انتگرال هایی با روش ضرایب تعریف نشده با استفاده از هویت یافت می شوند:

.
با افتراق این معادله و معادل سازی ضلع چپ و راست، ضرایب A i را پیدا می کنیم.

نوع دوم

انتگرال فرم:
,
که در آن P m (x) چند جمله ای درجه m است.

جایگزینی t = (x - α) -1این انتگرال به نوع قبلی کاهش می یابد. اگر m ≥ n باشد، کل قسمت کسر باید انتخاب شود.

نوع III

در اینجا ما جایگزین را انجام می دهیم:
.
سپس انتگرال به شکل زیر در می آید:
.
علاوه بر این، ثابت‌های α، β باید طوری انتخاب شوند که ضرایب t در مخرج ناپدید شوند:
B = 0، B 1 = 0.
سپس انتگرال به مجموع انتگرال های دو نوع تجزیه می شود:
,
,
که با جایگزینی ادغام می شوند:
u 2 = A 1 t 2 + C 1،
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) جانشینی های مثلثاتی و هذلولی

برای انتگرال های فرم، a > 0 ,
ما سه جایگزین اصلی داریم:
;
;
;

برای انتگرال ها، a > 0 ,
ما جایگزین های زیر را داریم:
;
;
;

و در نهایت برای انتگرال ها الف > 0 ,
تعویض ها به شرح زیر است:
;
;
;

3) تعویض های اویلر

همچنین، انتگرال ها را می توان به انتگرال توابع گویا یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، برای a> 0;
، برای c> 0;
، که در آن x 1 ریشه معادله a x 2 + b x + c = 0 است. اگر این معادله ریشه واقعی داشته باشد.

انتگرال های بیضوی

در پایان، انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. به چنین انتگرال هایی بیضوی می گویند. به طور کلی، آنها بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با این حال، مواردی وجود دارد که روابط بین ضرایب A، B، C، D، E وجود دارد که در آن چنین انتگرال هایی بر حسب توابع ابتدایی بیان می شوند.

در زیر یک مثال مربوط به چند جمله ای های برگشتی آورده شده است. محاسبه چنین انتگرال هایی با استفاده از جایگزین ها انجام می شود:
.

مثال

انتگرال را محاسبه کنید:
.

راه حل

تعویض می کنیم.

.
اینجا، برای x> 0 (u> 0 ) علامت بالایی "+" را می گیریم. برای x< 0 (u< 0 ) - پایین " - ".

.

پاسخ

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

این بخش روش ادغام توابع گویا را در نظر می گیرد. 7.1. اطلاعات مختصر در مورد توابع گویا ساده ترین تابع گویا یک چند جمله ای درجه ti ام است، یعنی: تابعی از شکل که در آن ثابت های واقعی هستند و a0 Φ 0. چند جمله ای Qn (x) که ضریب a0 = 1 برای آن کاهش یافته نامیده می شود. اگر Qn (b) = 0 باشد، یک عدد واقعی b، ریشه چند جمله‌ای Qn (z) نامیده می‌شود. مشخص است که هر چند جمله‌ای Qn (x) با ضرایب واقعی به طور منحصربه‌فردی به عوامل واقعی به شکلی که p، q هستند، تجزیه می‌شوند. ضرایب واقعی و عوامل درجه دوم ریشه واقعی ندارند و بنابراین به عوامل خطی واقعی تجزیه ناپذیرند. با ترکیب عوامل یکسان (در صورت وجود) و برای سادگی، چند جمله‌ای Qn (x) کاهش می‌یابد، می‌توانیم فاکتورگیری آن را به شکلی بنویسیم که اعداد طبیعی هستند. از آنجایی که درجه چند جمله‌ای Qn (x) برابر n است، مجموع همه توان‌های a, / 3, ..., A که با مجموع دو برابر شده همه توان‌های ui, ..., q اضافه می‌شود برابر است با n: ریشه a چند جمله ای را ساده یا منفرد می نامند، اگر a = 1 باشد، و چند جمله ای را اگر a> 1 می نامند. عدد a را تعدد ریشه a می گویند. همین امر در مورد سایر ریشه های چند جمله ای نیز صادق است. یک تابع گویا f (x) یا یک کسر گویا نسبت دو چند جمله ای است و فرض می شود که چند جمله ای Pm (x) و Qn (x) هیچ عامل مشترکی ندارند. کسری گویا درست نامیده می شود که درجه چند جمله ای در صورت کوچکتر از درجه چند جمله ای در مخرج باشد، یعنی. اگر mn کسر گویا را نادرست می نامند و در این صورت با تقسیم صورت بر مخرج بر اساس قاعده تقسیم چندجمله ای می توان آن را به شکلی نشان داد که چند جمله ای وجود دارد و ^^ یک کسر گویا منتظم است. . مثال 1. کسر گویا کسری نامنظم است. با تقسیم بر "گوشه"، در نتیجه خواهیم داشت. اینجا. و کسر منظم تعریف. ساده ترین کسرها (یا ابتدایی) کسرهای گویا از چهار نوع زیر هستند: جایی که اعداد حقیقی هستند، k عددی طبیعی بزرگتر یا مساوی با 2 است، و مثلث مربع x2 + px + q هیچ ریشه واقعی ندارد، به طوری که - 2 _2 ممیز آن است در جبر قضیه زیر ثابت می شود. قضیه 3. کسر گویا منتظم با ضرایب واقعی که مخرج آن Qn (x) دارای شکل است به روشی منحصر به فرد به مجموع کسرهای ابتدایی بر اساس قاعده ادغام توابع گویا اطلاعات مختصری در مورد توابع گویا ادغام ابتدایی تجزیه می شود. کسری حالت کلی ادغام توابع غیر منطقی اولین جایگزینی اویلر جایگزینی دوم اویلر جایگزینی سوم اویلر در این بسط - برخی از ثابت های واقعی که برخی از آنها ممکن است برابر با صفر باشند. برای یافتن این ثابت‌ها، سمت راست تساوی (I) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابد و سپس ضرایب در توان‌های مشابه x در اعداد سمت چپ و راست برابر می‌شوند. این سیستم معادلات خطی را به دست می دهد که از آنها ثابت های مورد نظر پیدا می شود. ... این روش یافتن ثابت های مجهول را روش ضرایب تعریف نشده می نامند. گاهی اوقات استفاده از روش دیگری برای یافتن ثابت های مجهول راحت تر است، که شامل این واقعیت است که پس از معادل سازی اعداد، هویتی با توجه به x به دست می آید که در آن مقادیری به آرگومان x اختصاص داده می شود، به عنوان مثال، مقادیر ریشه ها که در نتیجه آن معادلاتی برای یافتن ثابت ها به دست می آید. اگر مخرج Q "(x) فقط ریشه های ساده واقعی داشته باشد، بسیار راحت است. مثال 2. یک کسر گویا را به کسرهای ساده تجزیه کنید این کسر منظم است. مخرج را به ضریب خورده تجزیه می کنیم: از آنجایی که ریشه های مخرج واقعی و متفاوت است، پس بر اساس فرمول (1) تجزیه کسر به عناصر ابتدایی به صورت مجهولات به ضریب A خواهد بود. 2؟ ، C به دو صورت یافت می شود. راه اول. معادل سازی ضرایب در توان های یکسان x، یعنی. در (ترم آزاد)، و در سمت چپ و راست هویت، یک سیستم خطی از معادلات برای یافتن ضرایب مجهول A، B، C به دست می‌آوریم: این سیستم یک راه‌حل منحصربه‌فرد دارد C راه دوم. Tek از آنجایی که ریشه های مخرج stv در i 0 پاره می شوند، 2 = 2A می گیریم، از آنجا A * 1; r i 1، -1 * -B را می گیریم، از آنجا 5 * 1; x i 2، 2 = 2C می گیریم. از آنجا С »1، و تجزیه مورد نیاز به شکل 3 است. کسرهای غیر ابتدایی را بسط می دهیم، کسر گویا 4 چند جمله ای ایستاده در enayewle را به عواملی تجزیه می کنیم:. مخرج دو ریشه دوگانه متفاوت دارد: x \ = 0 کثرت 3. بنابراین، بسط این کسر ساده ترین نیست. با کاهش سمت راست به یک مخرج مشترک، روش اول را پیدا می کنیم. معادل سازی ضرایب در توان های یکسان x در سمت چپ و راست آخرین هویت. ما یک سیستم معادلات خطی به دست می آوریم این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بسط مورد نیاز روش دوم خواهد بود. در هویت حاصل، با تنظیم x = 0، 1 a A2، یا A2 = 1 به دست می آوریم. فیلد * gay x = -1، ما -3 i B)، یا Bj i -3 را دریافت می کنیم. هنگام جایگزینی مقادیر یافت شده ضرایب A \ و B) a، هویت شکل یا با فرض x = 0 و سپس x = -I به خود می گیرد. دریافتیم که = 0، B2 = 0 و. بنابراین B ​​\ = 0. بنابراین، دوباره مثال 4 را به دست می آوریم. کسر گویا را به کسرهای ساده بسط می دهیم. 4 مخرج کسری ریشه واقعی ندارد، زیرا تابع x2 + 1 برای هیچ مقدار واقعی x از بین نمی رود. بنابراین، بسط به ساده‌ترین کسرها باید شکل یا را داشته باشد. با معادل کردن ضرایب در توان های شیناک x در سمت چپ و راست آخرین تساوی، از جایی که می یابیم، خواهیم داشت و بنابراین، باید توجه داشت که در برخی موارد با عمل می توان بسط به کسرهای ساده را سریعتر و آسان تر به دست آورد. به گونه ای دیگر، بدون استفاده از روش ضرایب نامشخص. به عنوان مثال، برای به دست آوردن بسط کسری در مثال 3، می توانید در صورت حساب Zx2 جمع و تفریق کنید و مانند زیر تقسیم را انجام دهید. 7.2. ادغام کسرهای ابتدایی. همانطور که در بالا ذکر شد، هر کسر گویا نامنظم را می توان به عنوان مجموع یک چند جمله ای معین و یک کسر گویا با قاعده (§7) نشان داد و این نمایش منحصر به فرد است. ادغام یک چند جمله ای دشوار نیست، بنابراین ما موضوع انتگرال گیری یک کسر گویا با قاعده را بررسی خواهیم کرد. از آنجایی که هر کسر گویا منتظم را می توان به صورت مجموع ساده ترین کسرها نشان داد، ادغام آن به ادغام ساده ترین کسرها کاهش می یابد. اکنون به مسئله ادغام آنها می پردازیم. III. برای یافتن انتگرال ساده‌ترین کسری از نوع سوم، مجذور کامل دوجمله‌ای را از مثلث مربع انتخاب می‌کنیم: از جمله دوم، آن را برابر a2 قرار می‌دهیم، در آنجا و سپس یک جایگزین می‌کنیم. سپس، با در نظر گرفتن خصوصیات خطی انتگرال، متوجه می شویم: مثال 5. انتگرال 4 را بیابید انتگرال ساده ترین کسری از نوع سوم است، زیرا مثلث مربع x1 + Ax + 6 هیچ ریشه واقعی ندارد (تمایز آن برابر است با منفی: و عدد شامل یک چند جمله ای درجه اول است بنابراین به این صورت عمل می کنیم: 1) یک مربع کامل در مخرج 2 انتخاب می کنیم) یک انتگرال * را جایگزین می کنیم (اینجا 3) تا انتگرال را پیدا کنیم. ساده ترین کسری از نوع چهارم را مانند بالا قرار می دهیم. سپس انتگرال سمت راست را به دست می آوریم، آن را با A نشان می دهیم و آن را به صورت زیر تبدیل می کنیم: انتگرال سمت راست را با قطعات ادغام می کنیم، از کجا یا ادغام توابع گویا اطلاعات مختصری در مورد توابع گویا یکپارچه سازی ساده کسری حالت کلی ادغام توابع غیرمنطقی اول جایگزینی اویلر دوم جایگزینی اویلر جایگزینی سوم اویلر ما به اصطلاح فرمول بازگشتی را به دست آورده ایم که به ما امکان می دهد Jk انتگرال را برای هر k = 2, 3 پیدا کنیم. ... در واقع، J انتگرال جدولی است: با تنظیم در فرمول تکرارشونده، Knowing را پیدا می کنیم و A = 3 را تنظیم می کنیم، می توانیم به راحتی Jj را پیدا کنیم، و غیره. در نتیجه نهایی، با جایگزین کردن همه جا به جای t و a عبارت آنها بر حسب x و ضرایب p و q، برای انتگرال اولیه عبارت آن بر حسب x و اعداد M، AH، p، q به دست می‌آید. مثال 8. انتگرال نیتی «تابع انتگرال پذیر ساده ترین کسری از نوع چهارم است، زیرا ممیز مثلث مربع منفی است، یعنی، از این رو، مخرج هیچ ریشه واقعی ندارد و صورت یک چند جمله ای درجه 1 است. 1) مربع کامل را در مخرج اختصاص دهید 2) جایگزینی را انجام دهید: انتگرال به شکل زیر است: با فرض فرمول تکراری * = 2، a3 = 1. خواهیم داشت و بنابراین انتگرال مورد نیاز برابر است. متغیر x، در نهایت 7.3 می گیریم. مورد کلی از نتایج pp. یک قضیه مهم بلافاصله از 1 و 2 این بخش به دست می آید. قضیه! 4. یک انتگرال نامعین از هر تابع گویا همیشه وجود دارد (در بازه هایی که مخرج کسری Qn (x) Φ 0) و برحسب تعداد محدودی از توابع ابتدایی بیان می شود، یعنی یک مجموع جبری است. کسرهای گویا، لگاریتم های طبیعی و کانتانژانت ها. بنابراین برای یافتن انتگرال نامعین یک تابع گویا کسری باید به صورت زیر عمل کرد: 1) اگر کسر گویا نادرست است، پس از تقسیم صورت بر مخرج، کل جزء انتخاب می شود، یعنی این تابع به صورت نمایش داده می شود. مجموع یک چند جمله ای و یک کسر گویا منتظم. 2) سپس مخرج کسر صحیح به دست آمده به حاصل ضرب عوامل خطی و درجه دوم تجزیه می شود. 3) این کسر منظم به مجموع ساده ترین کسرها تجزیه می شود. 4) با استفاده از خطی بودن انتگرال و فرمول های مورد 2، انتگرال های هر عبارت به طور جداگانه یافت می شود. مثال 7. انتگرال М را بیابید چون مخرج چند جمله ای مرحله سوم است، انتگرال کسری نامنظم است. کل جزء را در آن جدا می کنیم: بنابراین خواهیم داشت. مخرج کسری منتظم دارای فی از ریشه های واقعی متفاوت است: و بنابراین، بسط آن به کسرهای ساده به شکلی است که از این می یابیم. با دادن مقادیر آرگومان x برابر با ریشه های مخرج، از این هویت درمی یابیم که: در نتیجه، انتگرال مورد نیاز برابر با مثال 8 خواهد بود. انتگرال را بیابید 4 انتگرال یک کسری منظم است که مخرج آن دارای دو ریشه واقعی متفاوت: х - О از تعدد 1 و х = 1 از تعدد 3، بنابراین، بسط انتگرال به ساده‌ترین کسرها به شکلی است که سمت راست این برابری را به مخرج مشترک می‌آورد و هر دو طرف را باطل می‌کند. برابری با این مخرج، یا را می گیریم. ضرایب را در همان درجه x در سمت چپ و راست این هویت برابر می کنیم: از اینجا می یابیم. با جایگزینی مقادیر یافت شده ضرایب در بسط، Integrating خواهیم داشت، پیدا می کنیم: مثال 9. انتگرال را بیابید 4 مخرج کسری ریشه واقعی ندارد. بنابراین، بسط به ساده ترین کسرهای انتگرال به شکل Hence یا معادل کردن ضرایب در توان های یکسان x در سمت چپ و راست این هویت است، ما از کجا خواهیم یافت و بنابراین، Remark. در مثال داده شده، انتگرال را می توان به صورت مجموع کسرهای ابتدایی به روش ساده تری نشان داد، یعنی در صورت شمار کسر، دوجمله ای را در مخرج انتخاب می کنیم و سپس تقسیم ترم به ترم را انجام می دهیم: § 8. ادغام توابع غیر منطقی تابع شکل ثابت های واقعی و مثال 1، تابع تابعی از متغیرهای z و y است، زیرا هم رابطه یک چند جمله ای درجه سوم و هم یک چند جمله ای درجه پنجم و هم را نشان می دهد. تابع سرخدار نیست. در صورتی که متغیرها به نوبه خود توابعی از متغیر x باشند: تابع] تابع گویا از توابع مثال نامیده می شود. تابع یک تابع گویا از r و خط 3 پودیکولو است. تابع شکل تابعی از x و رادیکال y / r1 + 1 نیست، بلکه تابع گویا از توابع است، همانطور که از مثال‌ها نشان می‌دهد، انتگرال‌های توابع غیرمنطقی است. همیشه بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. به عنوان مثال، انتگرال هایی که اغلب در برنامه ها یافت می شوند، بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. این انتگرال ها به ترتیب انتگرال های بیضوی نوع اول و دوم نامیده می شوند. اجازه دهید مواردی را در نظر بگیریم که ادغام توابع غیرمنطقی را می توان با استفاده از برخی جانشین ها به ادغام توابع گویا کاهش داد. 1. فرض کنید لازم است انتگرال را پیدا کنید که در آن R (x, y) تابعی منطقی از آرگومان های x و y آن است. m £ 2 - عدد طبیعی؛ a، 6، c، d ثابت های واقعی هستند که شرط ad - bc> 0 را برآورده می کنند (برای ad - be = 0 ضرایب a و b متناسب با ضرایب c و d هستند و بنابراین این نسبت به x بستگی ندارد؛ بنابراین ، در این حالت انتگرال تابعی منطقی از متغیر x خواهد بود که ادغام آن قبلاً در نظر گرفته شد). اجازه دهید در این انتگرال با تنظیم کردن تغییری در متغیر ایجاد کنیم بنابراین، متغیر x را بر حسب متغیر جدید بیان می‌کنیم. x = - یک تابع گویا از t داریم. بعلاوه، یا، پس از ساده سازی، می یابیم که در آن A1 (t) یک تابع گویا از * است، زیرا تابع گویا یک تابع گویا، و همچنین حاصلضرب توابع گویا، توابع گویا هستند. ما می دانیم که چگونه توابع منطقی را ادغام کنیم. اجازه دهید سپس انتگرال مورد نیاز برابر با At خواهد بود. انتگرال IVIT 4 تابع انتگرال * یک تابع منطقی از است. بنابراین، t = سپس ادغام توابع گویا اطلاعات مختصری در مورد توابع گویا ادغام کسرهای ابتدایی حالت کلی ادغام توابع غیر منطقی اول جایگزینی اویلر دوم جایگزینی اویلر سوم جایگزینی اویلر بنابراین، Primar 5 را به دست می آوریم. انتگرال را پیدا کنید که تابع قابل نمایش است به شکل 1 _ 1_ که از آن می توان دریافت که تابعی عقلانی است از: با در نظر گرفتن این موضوع قرار داده ایم. در نتیجه، 2. intefps از فرم را در نظر بگیرید که در آن تابع subintephalic به گونه ای است که با جایگزینی رادیکال \ / ax2 + bx + c در آن با y، تابع R (x) y) - منطقی با توجه به هر دو آرگومان x و y این انتگرال با جایگزینی اویلر به یک انتگرال از یک تابع منطقی یک متغیر دیگر کاهش می یابد. 8.1. اولین جایگزینی اویلر ضریب a> 0 را بگذارید. ما x را به عنوان یک تابع گویا از و بنابراین، می‌یابیم. بنابراین، جایی که Remark را خواهیم داشت. اولین جایگزینی اویلر را می توان به شکل مثال 6 نیز در نظر گرفت. انتگرال را پیدا کنید بنابراین جایگزینی dx اویلر را خواهیم داشت، نشان دهید که Y 8.2. جایگزینی دوم اویلر: بگذارید مثلث ax2 + bx + c دارای ریشه های واقعی λ] و x2 باشد (ضریب ممکن است هر علامتی داشته باشد). در این مورد، فرض می‌کنیم که از آن زمان به‌دست می‌آییم چون x، dxn y / ax2 + be + c به صورت عقلانی بر حسب t بیان می‌شوند، انتگرال اصلی به انتگرال یک تابع گویا کاهش می‌یابد، یعنی جایی که مشکل. با استفاده از اولین جایگزینی اویلر، نشان دهید که تابعی منطقی از t است. مثال 7. Neyti انتگرال تابع dx M] - x1 ریشه های واقعی متفاوتی دارد. بنابراین، ما جایگزین دوم را برای اویلر اعمال می کنیم. ما 8.3 می گیریم. پست سوم اویلر ضریب c> 0 را بگذارید. متغیر را با تنظیم تغییر دهید. توجه داشته باشید که اولین و دومین جایگزینی اویلر برای کاهش انتگرال به انتگرال یک تابع گویا کافی است. در واقع، اگر متمایز b2 -4ac> 0 باشد، آنگاه ریشه های تبر سه جملهی مربع + bx + c واقعی هستند و در این مورد جایگزینی اویلر دوم قابل اعمال است. اگر علامت سه جمله ای ax2 + bx + c با علامت ضریب a منطبق باشد و از آنجایی که سه جمله ای باید مثبت باشد، a> 0. در این حالت، اولین جایگزینی اویلر قابل اعمال است. برای یافتن انتگرال هایی از نوع ذکر شده در بالا، همیشه توصیه نمی شود از جایگزین های اویلر استفاده کنید، زیرا برای آنها می توان روش های دیگری از ادغام را پیدا کرد که سریعتر به هدف منجر شود. بیایید برخی از این انتگرال ها را در نظر بگیریم. 1. برای پیدا کردن انتگرال های فرم، مربع بلند را از مربع سه جمله ای انتخاب کنید: که در آن جا، یک جایگزین انجام دهید و به جایی برسید که ضرایب a و P دارای علائم متفاوت هستند یا هر دو مثبت هستند. برای، و همچنین برای a> 0 و انتگرال به لگاریتم کاهش می یابد، اگر، از سوی دیگر، به آرکسینوس. در imtegrel 4 را پیدا کنید پس چیزی شبیه به آن. با فرض اینکه Prmmar 9 را دریافت کنیم. با قرار دادن x -، 2 خواهیم داشت. یک انتگرال شکل از مورد 1 به صورت زیر به انتگرال y کاهش می یابد. با توجه به اینکه مشتق () "= 2، آن را در صورتگر انتخاب می کنیم: 4 مشتق عبارت رادیکال را در صورتگر آشکار می کنیم. از آنجا که (x، با در نظر گرفتن نتیجه مثال 9، 3 خواهیم داشت. انتگرالهای شکلی که در آن P" (x) چند جمله ای درجه n-ام است، می توان با روش ضرایب تعریف نشده پیدا کرد، که به شرح زیر است: فرض کنید که برابری مثال 10 را دارد. انتگرال قدرتمند که در آن Qn-i (s) ) یک چند جمله ای از (n - 1) درجه -ام با ضرایب تعریف نشده است: برای یافتن ضرایب مجهول | هر دو طرف (1) را متمایز می کنیم: سپس سمت راست برابری (2) به مخرج مشترکی برابر با مخرج سمت چپ یعنی هر دو طرف آن چند جمله ای درجه n هستند. با تساوی ضرایب در توان های یکسان x در سمت چپ و راست (3)، n + 1 معادله به دست می آوریم که از آنها می توانیم ضرایب مورد نیاز j4 * را پیدا کنید (fc = 0,1,2, ..., n با جایگزینی مقادیر آنها در سمت راست (1) و پیدا کردن انتگرال + с، به جواب می رسیم. این انتگرال مثال 11. انتگرال را پیدا کنید اجازه دهید هر دو مناسبت برابری را از هم متمایز کنیم، خواهیم داشت. با معادل سازی ضرایب در توان های یکسان x، به سیستم معادلاتی می رسیم که از آن می یابیم = سپس انتگرال را در سمت راست برابری (4) می یابیم: در نتیجه انتگرال مورد نیاز برابر خواهد بود.