تابع غیرمنطقی یک متغیر تابعی است که از یک متغیر و ثابت دلخواه با استفاده از تعداد محدودی از عملیات جمع، تفریق، ضرب (بالا بردن به یک عدد صحیح)، تقسیم و ریشه گرفتن تشکیل می شود. یک تابع غیرمنطقی با یک تابع منطقی تفاوت دارد زیرا تابع غیرمنطقی شامل عملیات استخراج ریشه است.
سه نوع اصلی توابع غیر منطقی وجود دارد که انتگرالهای نامعین آنها به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابد. اینها انتگرال‌هایی هستند که دارای ریشه‌های قدرت‌های اعداد صحیح دلخواه از یک تابع کسری خطی هستند (ریشه‌ها می‌توانند قدرت‌های متفاوتی داشته باشند، اما از یک تابع کسری خطی یکسان). انتگرال یک دوجمله ای دیفرانسیل و انتگرال با جذر یک مثلث مربع.
یادداشت مهم. ریشه ها معانی متعددی دارند!
هنگام محاسبه انتگرال های حاوی ریشه، اغلب با عباراتی از فرم مواجه می شود، جایی که تابعی از متغیر ادغام است. باید در نظر داشت که. یعنی در t > 0 , |t| = t. در تی< 0 , |t| = - t.بنابراین، هنگام محاسبه چنین انتگرال هایی، لازم است موارد t > را جداگانه در نظر بگیرید 0 و تی< 0 . این کار را می توان با نوشتن علائم یا هر جا که لازم باشد انجام داد. با فرض اینکه علامت بالا به حالت t > اشاره دارد 0 ، و پایین تر - به مورد t< 0 . با تحول بیشتر، این علائم، به عنوان یک قاعده، یکدیگر را خنثی می کنند.
رویکرد دوم نیز امکان پذیر است که در آن انتگرال و نتیجه ادغام را می توان به عنوان توابع پیچیده متغیرهای مختلط در نظر گرفت. سپس لازم نیست به علائم در عبارات رادیکال توجه کنید. این رویکرد در صورتی قابل اجرا است که انتگرال، تحلیلی باشد، یعنی تابعی قابل تفکیک از یک متغیر مختلط. در این حالت، هم انتگرال و هم انتگرال آن، توابع چند ارزشی هستند. بنابراین، پس از ادغام، هنگام جایگزینی مقادیر عددی، باید یک شاخه تک مقدار (سطح ریمان) از انتگرال انتخاب شود و برای آن شاخه مربوطه از نتیجه انتگرال گیری انتخاب شود.
غیر منطقی خطی کسری
اینها انتگرال هایی با ریشه های یک تابع خطی کسری هستند:
,
که در آن R یک تابع گویا است، اعداد گویا، m 1، n 1، ...، m s، n s اعداد صحیح هستند، α، β، γ، δ اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی با جایگزینی به انتگرال یک تابع گویا کاهش می یابد:
، که در آن n مخرج مشترک اعداد r 1، ...، r s است.
ریشه ها ممکن است لزوماً از یک تابع کسری خطی نباشند، بلکه از یک تابع خطی نیز می آیند (γ = 0، δ = 1) یا روی متغیر ادغام x (α = 1، β = 0، γ = 0، δ = 1).
در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
,
.
انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل
انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل به شکل زیر هستند:
,
که در آن m، n، p اعداد گویا هستند، a، b اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی در سه حالت به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابند.
1) اگر p یک عدد صحیح باشد. جایگزینی x = t N، که در آن N مخرج مشترک کسرهای m و n است.
2) اگر - یک عدد صحیح. جایگزینی a x n + b = t M، که در آن M مخرج عدد p است.
3) اگر - یک عدد صحیح. جایگزینی a + b x - n = t M، که در آن M مخرج عدد p است.
در موارد دیگر، چنین انتگرال هایی از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شوند.
گاهی اوقات می توان چنین انتگرال هایی را با استفاده از فرمول های کاهش ساده کرد:
;
.
انتگرال های حاوی جذر یک مثلث مربع
این انتگرال ها به شکل زیر هستند:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. برای هر انتگرال چندین روش برای حل آن وجود دارد.
1)
استفاده از تبدیل ها منجر به انتگرال های ساده تر می شود.
2)
جایگزین های مثلثاتی یا هذلولی را اعمال کنید.
3)
جایگزین های اویلر را اعمال کنید.
بیایید این روش ها را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.
1) تبدیل تابع انتگرال
با اعمال فرمول و انجام تبدیل های جبری، تابع انتگرال را به شکل زیر کاهش می دهیم:
,
که در آن φ(x)، ω(x) توابع گویا هستند.
نوع I
انتگرال فرم:
,
که در آن P n (x) چند جمله ای درجه n است.
چنین انتگرال هایی با روش ضرایب نامعین با استفاده از هویت یافت می شوند:
.
با افتراق این معادله و معادل سازی ضلع چپ و راست، ضرایب A i را پیدا می کنیم.
نوع II
انتگرال فرم:
,
که در آن P m (x) چند جمله ای درجه m است.
جایگزینی t = (x - α) -1این انتگرال به نوع قبلی کاهش می یابد. اگر m ≥ n باشد، آن کسری باید یک قسمت صحیح داشته باشد.
نوع III
در اینجا ما جایگزینی را انجام می دهیم:
.
پس از آن انتگرال به شکل زیر در می آید:
.
در مرحله بعد، ثابت های α، β باید طوری انتخاب شوند که ضرایب t در مخرج صفر شود:
B = 0، B 1 = 0.
سپس انتگرال به مجموع انتگرال های دو نوع تجزیه می شود:
,
,
که با جایگزینی ادغام می شوند:
u 2 = A 1 t 2 + C 1،
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .
2) جانشینی های مثلثاتی و هذلولی
برای انتگرال های فرم، a > 0
,
ما سه جایگزین اصلی داریم:
;
;
;
برای انتگرال ها، a > 0
,
ما جایگزین های زیر را داریم:
;
;
;
و در نهایت برای انتگرال ها الف > 0
,
تعویض ها به شرح زیر است:
;
;
;
3) تعویض های اویلر
همچنین، انتگرال ها را می توان به انتگرال توابع گویا یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، برای > 0;
, برای c > 0 ;
، که در آن x 1 ریشه معادله a x 2 + b x + c = 0 است. اگر این معادله ریشه واقعی داشته باشد.
انتگرال های بیضوی
در نتیجه، انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
که در آن R یک تابع منطقی است، . به چنین انتگرال هایی بیضوی می گویند. به طور کلی، آنها از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با این حال، مواردی وجود دارد که روابط بین ضرایب A، B، C، D، E وجود دارد که در آن چنین انتگرال هایی از طریق توابع ابتدایی بیان می شوند.
در زیر یک مثال مربوط به چند جمله ای های بازتابی آورده شده است. محاسبه چنین انتگرال هایی با استفاده از جایگزین ها انجام می شود:
.
مثال
انتگرال را محاسبه کنید:
.
راه حل
بیایید یک تعویض انجام دهیم.
.
اینجا در x > 0
(u> 0
) علامت بالایی "+" را بگیرید. در x< 0
(u< 0
) - پایین ′- ′.
.
پاسخ
منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.
این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.
از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.
اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».
چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:
در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.
این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.
یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:
یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.
در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.
چهارشنبه 4 جولای 2018
تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.
همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.
روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.
مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.
ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.
اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...
و اکنون من جالب ترین سوال را دارم: خطی که فراتر از آن عناصر یک مولتی مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.
اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.
برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".
یکشنبه 18 مارس 2018
مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.
آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات این کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.
بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.
1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.
2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.
3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.
4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.
مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.
از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ نخواهیم دید، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.
همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.
صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.
نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.
ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.
اوه! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟
ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.
اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،
پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:
من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.
1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.
تابع F(x) متمایز پذیر در بازه معین X فراخوانی می شود ضد مشتق تابع f(x)، یا انتگرال f(x)، اگر برای هر x ∈X برابری زیر برقرار باشد:
F" (x) = f(x). (8.1)
یافتن تمام پاد مشتق ها برای یک تابع معین، آن نامیده می شود ادغام. تابع انتگرال نامعین f(x) در یک بازه معین X مجموعه ای از تمام توابع ضد مشتق برای تابع f(x) است. تعیین -
اگر F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، ∫ f(x)dx = F(x) + C، (8.2)
که در آن C یک ثابت دلخواه است.
جدول انتگرال ها
مستقیماً از تعریف، ویژگی های اصلی انتگرال نامعین و لیستی از انتگرال های جدولی را به دست می آوریم:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) 🔻(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
فهرست انتگرال های جدولی
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0، a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = آرکتان x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
جایگزینی متغیر
برای ادغام بسیاری از توابع، از روش جایگزینی متغیر یا تعویض ها،به شما امکان می دهد انتگرال ها را به شکل جدولی کاهش دهید.
اگر تابع f(z) روی [α,β] پیوسته باشد، تابع z =g(x) مشتق پیوسته و α ≤ g(x) ≤ β دارد، سپس
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz، (8.3)
علاوه بر این، پس از ادغام در سمت راست، جایگزینی z=g(x) باید انجام شود.
برای اثبات آن کافی است انتگرال اصلی را به شکل زیر بنویسید:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
مثلا:
روش ادغام توسط قطعات
فرض کنید u = f(x) و v = g(x) توابعی باشند که پیوسته دارند. سپس با توجه به کار،
d(uv))= udv + vdu یا udv = d(uv) - vdu.
برای عبارت d(uv)، ضد مشتق بدیهی است که uv خواهد بود، بنابراین فرمول برقرار است:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
این فرمول بیانگر قاعده است یکپارچه سازی توسط قطعات. ادغام عبارت udv=uv"dx را به ادغام عبارت vdu=vu"dx هدایت می کند.
اجازه دهید، برای مثال، شما می خواهید ∫xcosx dx را پیدا کنید. اجازه دهید u = x، dv = cosxdx، پس du=dx، v=sinx قرار دهیم. سپس
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
قاعده ادغام توسط قطعات نسبت به جایگزینی متغیرها دامنه محدودتری دارد. اما کلاس های کاملی از انتگرال ها وجود دارد، برای مثال،
∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax و موارد دیگر که دقیقاً با استفاده از ادغام توسط قطعات محاسبه می‌شوند.
انتگرال معین
مفهوم انتگرال معین به شرح زیر معرفی می شود. اجازه دهید یک تابع f(x) در یک بازه تعریف شود. اجازه دهید بخش [a,b] را به تقسیم کنیم nقسمت های نقطه a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. مجموع شکل f(ξ i)Δ x i نامیده می شود جمع انتگرال، و حد آن در λ = maxΔx i → 0، اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود. انتگرال معینتوابع f(x) از آقبل از بو تعیین شده است:
F(ξ i)Δx i (8.5).
تابع f(x) در این حالت فراخوانی می شود قابل ادغام در بازه، اعداد a و b نامیده می شوند حد پایین و بالایی انتگرال.
خواص زیر برای یک انتگرال معین صادق است:
4)، (k = const، k∈R)؛
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
آخرین خاصیت نامیده می شود قضیه ارزش میانگین.
فرض کنید f(x) روی . سپس روی این قطعه یک انتگرال نامعین وجود دارد
∫f(x)dx = F(x) + C
و صورت می گیرد فرمول نیوتن لایب نیتس، اتصال انتگرال معین به انتگرال نامعین:
F(b) - F(a). (8.6)
تفسیر هندسی: انتگرال معین مساحت ذوزنقه منحنی شکل است که از بالا با منحنی y=f(x)، خطوط مستقیم x=a و x=b و پاره ای از محور محدود شده است. گاو نر.
انتگرال های نامناسب
انتگرال با حد نامتناهی و انتگرال توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شوند. مال خودت نیست انتگرال های نادرست از نوع اول -این انتگرال ها در یک بازه بی نهایت هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:
(8.7)
اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود انتگرال نادرست همگرا f(x)در بازه [a,+ ∞)، و تابع f(x) فراخوانی می شود قابل ادغام در یک بازه بی نهایت[a,+ ∞). در غیر این صورت، انتگرال گفته می شود وجود ندارد یا متفاوت است.
انتگرال های نامناسب در بازه های (-∞،b] و (-∞، + ∞) به طور مشابه تعریف می شوند:
اجازه دهید مفهوم انتگرال یک تابع نامحدود را تعریف کنیم. اگر f(x) برای همه مقادیر پیوسته باشد ایکسبخش، به جز نقطه c، که در آن f(x) ناپیوستگی نامتناهی دارد، پس انتگرال نادرست نوع دوم f(x) از a تا bمبلغ نامیده می شود:
اگر این حدود وجود داشته باشد و متناهی باشد. تعیین:
نمونه هایی از محاسبات انتگرال
مثال 3.30.∫dx/(x+2) را محاسبه کنید.
راه حل.بگذارید t = x+2 را نشان دهیم، سپس dx = dt، ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
مثال 3.31. ∫ tgxdx را پیدا کنید.
راه حل.🔻 tgxdx = 🔻sinx/cosxdx = - 🔻dcosx/cosx. بگذارید t=cosx، سپس ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
مثال3.32 . ∫dx/sinx را پیدا کنیدراه حل.
مثال3.33. پیدا کردن .
راه حل. = .
مثال3.34 . ∫arctgxdx را پیدا کنید.
راه حل. بیایید با قطعات ادغام کنیم. اجازه دهید u=arctgx، dv=dx را نشان دهیم. سپس du = dx/(x 2 +1)، v=x، از آنجا ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; زیرا
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
مثال3.35 . ∫lnxdx را محاسبه کنید.
راه حل.با اعمال فرمول یکپارچه سازی قطعات، به دست می آوریم:
u=lnx، dv=dx، du=1/x dx، v=x. سپس ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
مثال3.36 . ∫e x sinxdx را محاسبه کنید.
راه حل.اجازه دهید u = e x، dv = sinxdx، سپس du = e x dx، v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx را نشان دهیم. ما همچنین انتگرال ∫e x cosxdx را با قطعات ادغام می کنیم: u = e x، dv = cosxdx، du=e x dx، v=sinx. ما داریم:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. رابطه ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx را به دست آوردیم که از آن 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.
مثال 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x را محاسبه کنید.
راه حل.از آنجایی که dx/x = dlnx، پس J= ∫cos(lnx)d(lnx). با جایگزینی lnx تا t، به جدول انتگرال J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C می رسیم.
مثال 3.38 . J = را محاسبه کنید.
راه حل.با توجه به اینکه = d(lnx)، lnx = t را جایگزین می کنیم. سپس J = 
.
مثال 3.39
. انتگرال J = را محاسبه کنید 
.
راه حل.ما داریم: 
. بنابراین =
=
=. به این صورت وارد می شود: sqrt(tan(x/2)).
و اگر در پنجره نتیجه روی Show stepها در گوشه بالا سمت راست کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.
یافتن انتگرال نامعین یک مشکل بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. حتی ساده ترین مسائل فیزیکی را نمی توان بدون محاسبه چندین انتگرال ساده حل کرد. بنابراین، از سن مدرسه به ما تکنیک ها و روش های حل انتگرال ها آموزش داده می شود؛ جداول متعددی با انتگرال هایی از ساده ترین توابع ارائه شده است. با این حال، با گذشت زمان، همه اینها با خیال راحت فراموش می شوند، یا زمان کافی برای محاسبات نداریم یا نیاز داریم راه حل انتگرال نامعین را پیدا کنیداز یک تابع بسیار پیچیده برای حل این مشکلات، خدمات ما برای شما ضروری خواهد بود و به شما این امکان را می دهد که به صورت آنلاین انتگرال نامشخص را پیدا کنید.
حل انتگرال نامعین
خدمات آنلاین در سایت اینترنتیبه شما امکان می دهد پیدا کنید حل انتگرال آنلاینسریع، رایگان و با کیفیت بالا. می توانید جستجو در جداول انتگرال مورد نیاز را با سرویس ما جایگزین کنید، جایی که با وارد کردن سریع تابع مورد نظر، راه حلی برای انتگرال نامشخص در نسخه جدولی دریافت خواهید کرد. همه سایت های ریاضی قادر به محاسبه سریع و کارآمد انتگرال های نامحدود توابع آنلاین نیستند، به خصوص اگر نیاز به پیدا کردن انتگرال نامعیناز یک تابع پیچیده یا توابعی از این قبیل که در درس عمومی ریاضیات عالی گنجانده نشده است. سایت اینترنتی سایت اینترنتیکمک خواهد کرد حل انتگرال آنلاین و با وظیفه کنار بیایند. با استفاده از راه حل آنلاین انتگرال در وب سایت، همیشه پاسخ دقیق را دریافت خواهید کرد.
حتی اگر می‌خواهید انتگرال را خودتان محاسبه کنید، به لطف خدمات ما، بررسی پاسخ، یافتن اشتباه یا اشتباه تایپی یا اطمینان از اینکه کار بدون نقص انجام شده است برای شما آسان خواهد بود. اگر مشکلی را حل می کنید و باید انتگرال نامعین را به عنوان یک عمل کمکی محاسبه کنید، پس چرا وقت خود را برای این اقداماتی که ممکن است هزاران بار انجام داده اید تلف کنید؟ علاوه بر این، محاسبات اضافی انتگرال ممکن است دلیل یک اشتباه تایپی یا یک خطای کوچک باشد که متعاقباً منجر به پاسخ نادرست شد. فقط از خدمات ما استفاده کنید و پیدا کنید انتگرال نامعین آنلاینبدون هیچ تلاشی برای مشکلات عملی یافتن انتگرالکارکرد برخطاین سرور بسیار مفید است. شما باید تابع داده شده را وارد کنید، دریافت کنید راه حل آنلاین انتگرال نامعینو جواب را با راه حل خود مقایسه کنید.
