>> ماتریس ها

4.1. ماتریس ها. عملیات روی ماتریس ها

یک ماتریس مستطیلی با اندازه mxn مجموعه ای از اعداد mxn است که به شکل یک جدول مستطیلی شامل m ردیف و n ستون مرتب شده اند. ما آن را در فرم می نویسیم

یا به اختصار A = (a i j) (i = ; j = )، اعداد a i j عناصر آن نامیده می شوند. شاخص اول شماره ردیف را نشان می دهد، دومی - شماره ستون را نشان می دهد. A = (a i j) و B = (b i j) با اندازه یکسان اگر عناصر آنها که در یک مکان ایستاده اند به صورت جفتی مساوی باشند، یعنی A = B اگر a i j = b i j برابر باشند.

ماتریسی متشکل از یک سطر یا یک ستون به ترتیب بردار سطر یا بردار ستون نامیده می شود. بردارهای ستونی و بردارهای ردیف را به سادگی بردار می نامند.

ماتریسی متشکل از یک عدد با این عدد مشخص می شود. A با اندازه mxn که همه عناصر آن برابر با صفر هستند، صفر نامیده می شوند و با 0 نشان داده می شوند. عناصر با شاخص های یکسان، عناصر قطر اصلی نامیده می شوند. اگر تعداد سطرها برابر با تعداد ستون ها باشد، یعنی m = n، ماتریس را ماتریس مربعی از مرتبه n می نامند. ماتریس های مربعی که در آنها فقط عناصر قطر اصلی غیر صفر هستند، قطری نامیده می شوند و به صورت زیر نوشته می شوند:

.

اگر تمام عناصر a i i قطر برابر با 1 باشند، آن را واحد می نامند و با حرف E نشان داده می شود:

.

یک ماتریس مربع مثلثی نامیده می شود اگر همه عناصر بالای (یا پایین) مورب اصلی برابر با صفر باشند. جابجایی تبدیلی است که در آن ردیف‌ها و ستون‌ها با حفظ اعدادشان تعویض می‌شوند. جابجایی با یک T در بالا نشان داده می شود.

اگر ردیف‌ها و ستون‌ها را در (4.1) مجدداً مرتب کنیم، دریافت می‌کنیم

,

که با توجه به A جابه‌جا می‌شود. به ویژه هنگام جابجایی بردار ستونی، بردار ردیف به دست می‌آید و بالعکس.

حاصل ضرب A و عدد b ماتریسی است که عناصر آن با ضرب در عدد b از عناصر مربوط به A بدست می آیند: b A = (b a i j).

مجموع A = (a i j) و B = (b i j) با اندازه یکسان را C = (c i j) با همان اندازه می گویند که عناصر آن با فرمول c i j = a i j + b i j تعیین می شود.

حاصلضرب AB با این فرض تعیین می شود که تعداد ستون های A برابر با تعداد ردیف های B باشد.

حاصلضرب AB که در آن A = (a i j) و B = (b j k)، که در آن i = , j= , k= , به ترتیب معین AB داده می شود، C = (c i k) نامیده می شود که عناصر آن توسط قانون زیر:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

به عبارت دیگر، عنصر حاصلضرب AB به این صورت تعریف می شود: عنصر ردیف i و ستون k و C برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر ردیف i و A و عناصر مربوط به ستون k-امین B.

مثال 2.1. حاصل ضرب AB و را پیدا کنید.

راه حل. داریم: A به اندازه 2x3، B به اندازه 3x3، پس حاصلضرب AB = C وجود دارد و عناصر C برابر هستند.

از 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8، از 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5، از 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ،

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6، s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9، s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

، و محصول BA وجود ندارد.

مثال 2.2. این جدول تعداد واحدهای ارسالی روزانه از لبنیات 1 و 2 به فروشگاه های M 1، M 2 و M 3 را نشان می دهد و هزینه تحویل یک واحد محصول از هر لبنیات به فروشگاه M 1 50 den است. واحد، به فروشگاه M 2 - 70، و به M 3 - 130 den. واحدها هزینه حمل و نقل روزانه هر کارخانه را محاسبه کنید.

گیاه لبنیات

راه حل. اجازه دهید ماتریسی که در شرایط به ما داده شده است را با A نشان دهیم
ب - ماتریس مشخص کننده هزینه تحویل یک واحد محصول به فروشگاه ها، به عنوان مثال،

,

سپس ماتریس هزینه حمل و نقل به صورت زیر خواهد بود:

.

بنابراین، کارخانه اول روزانه 4750 دنیر برای حمل و نقل هزینه می کند. واحد دوم - 3680 واحد پولی.

مثال 2.3. این شرکت خیاطی مانتوهای زمستانی، مانتوهای نیمه فصل و بارانی تولید می کند. خروجی برنامه ریزی شده برای یک دهه با بردار X = (10، 15، 23) مشخص می شود. چهار نوع پارچه استفاده می شود: T 1، T 2، T 3، T 4. جدول میزان مصرف پارچه (بر حسب متر) برای هر محصول را نشان می دهد. بردار C = (40، 35، 24، 16) هزینه یک متر پارچه از هر نوع را مشخص می کند و بردار P = (5، 3، 2، 2) هزینه حمل یک متر پارچه از هر نوع را مشخص می کند.

	مصرف پارچه
کت زمستان
مانتو نیمه فصل

1. برای تکمیل طرح چند متر از هر نوع پارچه لازم خواهد بود؟

2. هزینه پارچه صرف شده برای دوخت هر نوع محصول را بیابید.

3. هزینه تمام پارچه های مورد نیاز برای تکمیل طرح را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید ماتریسی که در شرایط به ما داده شده را با A نشان دهیم، یعنی:

,

سپس برای یافتن تعداد متر پارچه مورد نیاز برای تکمیل طرح، باید بردار X را در ماتریس A ضرب کنید:

ما هزینه پارچه صرف شده برای دوخت محصولات از هر نوع را با ضرب ماتریس A و بردار C T پیدا می کنیم:

.

هزینه تمام پارچه مورد نیاز برای تکمیل طرح با فرمول تعیین می شود:

در نهایت با احتساب هزینه حمل و نقل، کل مبلغ برابر با هزینه پارچه یعنی 9472 den خواهد بود. واحدها، به علاوه ارزش

X A P T =
.

بنابراین، X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (واحد پول).

ماتریس A -1 ماتریس معکوس نسبت به ماتریس A نامیده می شود اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد.

هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس آنلاین می‌توانید مکمل‌های جبری، ماتریس A T انتقال یافته، ماتریس متحد و ماتریس معکوس را بیابید. تصمیم گیری مستقیماً در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش در قالب ورد و اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید

دستورالعمل ها. برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را مشخص کرد. بعد، ماتریس A را در کادر محاوره ای جدید پر کنید.

بعد ماتریس 2 3 4 5 6 7 8 9 10

همچنین به ماتریس معکوس با استفاده از روش جردنو-گاوس مراجعه کنید

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. یافتن ماتریس جابجا شده A T.
2. تعریف متمم های جبری. هر عنصر ماتریس را با مکمل جبری آن جایگزین کنید.
3. کامپایل یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر از ماتریس حاصل بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.

بعد الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوسمشابه مرحله قبل به جز چند مرحله: ابتدا مکمل های جبری محاسبه می شود و سپس ماتریس همبسته C تعیین می شود.

1. مربع بودن ماتریس را تعیین کنید. اگر نه، پس ماتریس معکوس برای آن وجود ندارد.
2. محاسبه دترمینان ماتریس A. اگر برابر با صفر نباشد جواب را ادامه می دهیم وگرنه ماتریس معکوس وجود ندارد.
3. تعریف متمم های جبری.
4. پر کردن ماتریس اتحاد (متقابل، الحاقی) C.
5. کامپایل یک ماتریس معکوس از اضافات جبری: هر عنصر ماتریس الحاقی C بر تعیین کننده ماتریس اصلی تقسیم می شود. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.
6. آنها یک بررسی انجام می دهند: آنها ماتریس اصلی و حاصل را ضرب می کنند. نتیجه باید یک ماتریس هویت باشد.

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به شکل زیر بنویسیم:

اضافات جبری

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس

اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه کنیم.

1. تعیین کننده یک ماتریس مربع داده شده A را پیدا کنید.
2. ما مکمل های جبری را برای تمام عناصر ماتریس A پیدا می کنیم.
3. اضافات جبری عناصر ردیف را به ستون ها می نویسیم (جابه جایی).
4. هر عنصر ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس A تقسیم می کنیم.

همانطور که می بینیم، عملیات جابجایی را می توان هم در ابتدا، روی ماتریس اصلی و هم در پایان، روی اضافات جبری حاصل اعمال کرد.

یک مورد خاص: معکوس ماتریس هویت E، ماتریس هویت E است.

سال اول ریاضی بالاتر در حال تحصیل ماتریس هاو اقدامات اساسی بر روی آنها. در اینجا ما عملیات اساسی را که می توان با ماتریس ها انجام داد، سیستماتیک می کنیم. آشنایی با ماتریس ها را از کجا شروع کنیم؟ البته، از ساده ترین چیزها - تعاریف، مفاهیم اساسی و عملیات ساده. ما به شما اطمینان می دهیم که ماتریس ها توسط هر کسی که حداقل زمان کمی را به آنها اختصاص دهد قابل درک خواهد بود!

تعریف ماتریس

ماتریسیک جدول مستطیل شکل از عناصر است. خوب، به زبان ساده - جدول اعداد.

به طور معمول، ماتریس ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند. به عنوان مثال، ماتریس آ ، ماتریس ب و غیره ماتریس ها می توانند اندازه های مختلفی داشته باشند: مستطیل، مربع، و همچنین ماتریس های ردیف و ستونی به نام بردار وجود دارد. اندازه ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. به عنوان مثال، بیایید یک ماتریس مستطیل شکل بنویسیم متر بر n ، جایی که متر - تعداد خطوط و n - تعداد ستون ها.

مواردی که برای آنها i=j (a11، a22، .. ) قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند و مورب نامیده می شوند.

با ماتریس ها چه کاری می توانید انجام دهید؟ جمع/ تفریق, ضرب در عدد, بین خودشان تکثیر کنند, جابجا کردن. اکنون در مورد تمام این عملیات اساسی روی ماتریس ها به ترتیب.

عملیات جمع و تفریق ماتریس

اجازه دهید بلافاصله به شما هشدار دهیم که فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید. نتیجه یک ماتریس با همان اندازه خواهد بود. اضافه کردن (یا تفریق) ماتریس ها ساده است - شما فقط باید عناصر مربوطه آنها را اضافه کنید . بیایید یک مثال بزنیم. بیایید جمع دو ماتریس A و B به اندازه دو به دو را انجام دهیم.

تفریق با قیاس، فقط با علامت مخالف انجام می شود.

هر ماتریسی را می توان در یک عدد دلخواه ضرب کرد. برای انجام این، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به عنوان مثال، بیایید ماتریس A را از مثال اول در عدد 5 ضرب کنیم:

عملیات ضرب ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان با هم ضرب کرد. به عنوان مثال، ما دو ماتریس داریم - A و B. فقط در صورتی می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد. در این مورد. هر عنصر از ماتریس حاصل که در ردیف i و ستون j قرار دارد برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مربوطه در ردیف i ضریب اول و ستون j دومین. برای درک این الگوریتم، بیایید نحوه ضرب دو ماتریس مربع را بنویسیم:

و یک مثال با اعداد واقعی. بیایید ماتریس ها را ضرب کنیم:

عملیات انتقال ماتریس

جابجایی ماتریس عملیاتی است که در آن سطرها و ستون های مربوطه با هم تعویض می شوند. به عنوان مثال، اجازه دهید ماتریس A را از مثال اول جابجا کنیم:

تعیین کننده ماتریس

دترمینان یا دترمینان یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. روزی روزگاری مردم با معادلات خطی می آمدند و بعد از آنها باید یک تعیین کننده می آوردند. در پایان، این شما هستید که باید با همه اینها کنار بیایید، بنابراین، آخرین فشار!

دترمینانت یک مشخصه عددی ماتریس مربع است که برای حل بسیاری از مسائل مورد نیاز است.
برای محاسبه تعیین کننده ساده ترین ماتریس مربع، باید تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و فرعی را محاسبه کنید.

تعیین کننده یک ماتریس مرتبه اول، یعنی متشکل از یک عنصر، برابر با این عنصر است.

اگر ماتریس سه در سه باشد چه؟ این سخت تر است، اما شما می توانید آن را مدیریت کنید.

برای چنین ماتریسی، مقدار دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصر قرار گرفته بر روی مثلث هایی با وجهی موازی با قطر اصلی، که حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه و حاصلضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجه مورب ثانویه موازی قرار دارند کم می شود.

خوشبختانه، در عمل به ندرت نیاز به محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های با اندازه های بزرگ است.

در اینجا ما به عملیات اساسی روی ماتریس ها نگاه کردیم. البته، در زندگی واقعی ممکن است هرگز با یک سیستم ماتریسی از معادلات مواجه نشوید، یا برعکس، ممکن است با موارد بسیار پیچیده تری روبرو شوید که واقعاً مجبور هستید مغز خود را درهم بکوبید. برای چنین مواردی است که خدمات دانشجویی حرفه ای وجود دارد. کمک بخواهید، راه حلی با کیفیت و دقیق دریافت کنید، از موفقیت تحصیلی و اوقات فراغت لذت ببرید.

حل ماتریس ها- مفهومی که عملیات روی ماتریس ها را تعمیم می دهد. ماتریس ریاضی جدولی از عناصر است. به یک جدول مشابه با m ردیف و n ستون گفته می شود که ماتریس m در n است.
نمای کلی ماتریس

عناصر اصلی ماتریس:
مورب اصلی. از عناصر a 11، a 22.....a mn تشکیل شده است
مورب جانبی.از عناصر a 1n و 2n-1.....a m1 تشکیل شده است.
قبل از اینکه به حل ماتریس ها بپردازیم، بیایید انواع اصلی ماتریس ها را در نظر بگیریم:
مربع– که در آن تعداد سطرها برابر با تعداد ستون هاست (m=n)
صفر - همه عناصر این ماتریس برابر با 0 هستند.
ماتریس جابجا شده- ماتریس B از ماتریس اصلی A با جایگزینی سطرها با ستون ها به دست می آید.
تنها- همه عناصر مورب اصلی برابر با 1 هستند، بقیه عناصر 0 هستند.
ماتریس معکوس- یک ماتریس، وقتی ضرب شود که در آن ماتریس اصلی منجر به ماتریس هویت می شود.
ماتریس می تواند با توجه به قطرهای اصلی و فرعی متقارن باشد. یعنی اگر 12 = a 21، a 13 = a 31،….a 23 = a 32…. m-1n = mn-1. سپس ماتریس نسبت به قطر اصلی متقارن است. فقط ماتریس های مربع متقارن هستند.
حالا بیایید مستقیماً به این سؤال برویم که چگونه ماتریس ها را حل کنیم.

اضافه کردن ماتریس

اگر ماتریس ها دارای ابعاد یکسانی باشند، می توانند به صورت جبری اضافه شوند. برای اضافه کردن ماتریس A با ماتریس B، باید عنصر ردیف اول از ستون اول ماتریس A را با اولین عنصر از ردیف اول ماتریس B، عنصر ستون دوم از ردیف اول ماتریس A اضافه کنید. با عنصر ستون دوم از ردیف اول ماتریس B و غیره.
خواص اضافه
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

ضرب ماتریس.

اگر ماتریس ها سازگار باشند، می توان آنها را ضرب کرد. اگر تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد، ماتریس های A و B سازگار در نظر گرفته می شوند.
اگر A به بعد m در n باشد، B از بعد n در k باشد، ماتریس C=A*B به بعد m در k خواهد بود و از عناصر تشکیل شده است.

در جایی که C 11 مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر یک ردیف از ماتریس A و ستونی از ماتریس B است، یعنی عنصر حاصل جمع حاصل ضرب یک عنصر از ستون اول از ردیف اول ماتریس A است. با یک عنصر از ستون اول از ردیف اول ماتریس B، یک عنصر از ستون دوم از ردیف اول ماتریس A با یک عنصر از ستون اول از ماتریس های ردیف دوم B و غیره.
هنگام ضرب، ترتیب ضرب مهم است. A*B برابر با B*A نیست.

پیدا کردن عامل تعیین کننده

هر ماتریس مربعی می تواند یک دترمینان یا یک دترمینان تولید کند. می نویسد det. یا | عناصر ماتریس |
برای ماتریس های ابعاد 2 در 2. تعیین کنید که بین حاصلضرب عناصر اصلی و عناصر قطر ثانویه تفاوت وجود دارد.

برای ماتریس هایی با ابعاد 3 در 3 یا بیشتر. عملیات یافتن تعیین کننده پیچیده تر است.
بیایید مفاهیم را معرفی کنیم:
عنصر جزئی– تعیین کننده ماتریسی است که از ماتریس اصلی با خط زدن ردیف و ستون ماتریس اصلی که این عنصر در آن قرار داشت به دست می آید.
متمم جبریعنصر یک ماتریس حاصل ضرب جزئی این عنصر در -1 به توان مجموع سطر و ستون ماتریس اصلی است که این عنصر در آن قرار داشت.
تعیین کننده هر ماتریس مربعی برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف از ماتریس توسط مکمل های جبری متناظر آنها.

وارونگی ماتریس

وارونگی ماتریس فرآیند یافتن معکوس یک ماتریس است که در ابتدا تعریف آن را بیان کردیم. ماتریس معکوس مانند ماتریس اصلی با اضافه کردن درجه -1 نشان داده می شود.
با استفاده از فرمول ماتریس معکوس را پیدا کنید.
A -1 = A * T x (1/|A|)
جایی که A * T ماتریس جابجا شده متمم های جبری است.

نمونه هایی از حل ماتریس ها را در قالب یک فیلم آموزشی ساختیم

:

اگر می خواهید بفهمید، حتما ببینید.

اینها عملیات اساسی برای حل ماتریس ها هستند. اگر سوال دیگری در مورد دارید نحوه حل ماتریس ها، در نظرات بنویسید

اگر هنوز نمی توانید آن را بفهمید، سعی کنید با یک متخصص تماس بگیرید.

ماتریس ریاضی جدولی از عناصر مرتب شده است. ابعاد این جدول با توجه به تعداد سطرها و ستون های آن مشخص می شود. در مورد حل ماتریس ها، به تعداد زیادی عملیاتی که روی همین ماتریس ها انجام می شود اشاره دارد. ریاضیدانان چندین نوع ماتریس را تشخیص می دهند. برای برخی از آنها، قوانین کلی تصمیم گیری اعمال می شود، در حالی که برای برخی دیگر اینطور نیست. به عنوان مثال، اگر ماتریس ها دارای بعد یکسانی باشند، می توان آنها را جمع کرد و اگر با یکدیگر سازگار بودند، می توان آنها را ضرب کرد. برای حل هر ماتریسی، لازم است یک تعیین کننده پیدا کنید. علاوه بر این، ماتریس ها در معرض جابجایی و یافتن موارد فرعی در آنها هستند. بنابراین بیایید نحوه حل ماتریس ها را بررسی کنیم.

ترتیب حل ماتریس ها

ابتدا ماتریس های داده شده را یادداشت می کنیم. شمارش می کنیم که چند سطر و ستون دارند. اگر تعداد سطرها و ستون ها یکسان باشد، چنین ماتریسی مربع نامیده می شود. اگر هر عنصر ماتریس برابر با صفر باشد، چنین ماتریسی صفر است. کار بعدی که انجام می دهیم این است که قطر اصلی ماتریس را پیدا کنیم. عناصر چنین ماتریسی از گوشه پایین سمت راست به سمت چپ بالا قرار دارند. مورب دوم در ماتریس یک مورب ثانویه است. اکنون باید ماتریس را جابجا کنید. برای این کار لازم است عناصر ردیف در هر یک از دو ماتریس با عناصر ستون مربوطه جایگزین شوند. برای مثال، عنصر زیر a21 عنصر a12 خواهد بود یا برعکس. بنابراین، پس از این روش یک ماتریس کاملا متفاوت باید ظاهر شود.

اگر ابعاد ماتریس ها دقیقاً یکسان باشد، می توان آنها را به راحتی اضافه کرد. برای این کار اولین عنصر ماتریس اول a11 را می گیریم و با عنصر مشابه ماتریس دوم b11 اضافه می کنیم. آنچه در نتیجه اتفاق می افتد را در همان موقعیت، فقط در یک ماتریس جدید می نویسیم. حالا تمام عناصر دیگر ماتریس را به همین ترتیب اضافه می کنیم تا زمانی که یک ماتریس کاملا متفاوت به دست بیاوریم. بیایید به چند روش دیگر برای حل ماتریس نگاه کنیم.

گزینه هایی برای کار با ماتریس ها

همچنین می توانیم تعیین کنیم که آیا ماتریس ها سازگار هستند یا خیر. برای این کار باید تعداد سطرهای ماتریس اول را با تعداد ستون های ماتریس دوم مقایسه کنیم. اگر مساوی شدند، می توانید آنها را ضرب کنید. برای انجام این کار، یک عنصر ردیفی از یک ماتریس را در یک عنصر ستونی مشابه ماتریس دیگر ضرب می کنیم. فقط پس از این امکان محاسبه مجموع محصولات به دست آمده وجود خواهد داشت. بر این اساس عنصر اولیه ماتریس که در نتیجه باید به دست آید برابر با g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1 خواهد بود. هنگامی که همه محصولات اضافه و ضرب شدند، می توانید ماتریس نهایی را پر کنید.

هنگام حل ماتریس ها، می توانید تعیین کننده و تعیین کننده آنها را نیز برای هر کدام پیدا کنید. اگر ماتریس مربع باشد و دارای ابعاد 2 در 2 باشد، تعیین کننده را می توان به عنوان تفاوت همه محصولات عناصر مورب اصلی و فرعی یافت. اگر ماتریس از قبل سه بعدی است، می توان با استفاده از فرمول زیر تعیین کننده را پیدا کرد. D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

برای یافتن مینور یک عنصر معین، باید ستون و ردیفی را که در آن عنصر قرار دارد خط بکشید. پس از این، تعیین کننده این ماتریس را پیدا کنید. او صغیر مربوطه خواهد بود. یک روش ماتریس تصمیم مشابه چندین دهه پیش به منظور افزایش قابلیت اطمینان نتیجه با تقسیم مسئله به مسائل فرعی ایجاد شد. بنابراین، اگر عملیات ریاضی پایه را بدانید، حل ماتریس ها چندان دشوار نیست.