شکل بسط شده نوشتن یک عدد چیست؟ شکل گسترده نوشتن یک عدد چیست؟

پایه سیستم اعداد موقعیتی عدد صحیح q است که به توان بالا می رود.

اساس یک سیستم اعداد موقعیتی، دنباله ای از اعداد است که هر کدام از آنها معادل کمی (وزن) یک نماد را بسته به جایگاه آن در کد عددی تعیین می کند.

پایه اعشاری: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – متر ,…

اساس یک سیستم اعداد موقعیتی دلخواه: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – متر, …

پایه در هر سیستمی به عنوان 10 نشان داده می شود، اما مقدار کمی متفاوتی دارد. این نشان می دهد که چند بار مقدار کمی یک رقم زمانی که به موقعیت مجاور منتقل می شود تغییر می کند. بسیاری از سیستم های موقعیتی ممکن است، زیرا هر عددی که کمتر از 2 نباشد را می توان به عنوان پایه سیستم اعداد در نظر گرفت.

نام سیستم اعداد مربوط به پایه آن است (اعشاری، دودویی، کوینری و غیره).

در یک سیستم اعداد با پایه q (q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توانهای متوالی یک عدد هستند q،به عبارت دیگر، qواحدهای هر دسته، واحد دسته بعدی را تشکیل می دهند.

برای نوشتن اعداد در q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q – 1.

بنابراین، پایه یک سیستم اعداد موقعیتی برابر است با تعداد نمادها (علائم) در الفبای آن. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

مثال 1.سیستم اعداد هشتگانه

پایه: q = 8.

حروف الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 و 7.

اعداد: به عنوان مثال 45023.152 8 ; 751,001 8 .

مثال 2.سیستم اعداد پنج برابری .

پایه: q = 5.

حروف الفبا: 0، 1، 2، 3 و 4.

اعداد: به عنوان مثال، 20304 5 ; 324.03 5.

مثال 3.سیستم اعداد هگزادسیمال

پایه: q = 16.

الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F.

در اینجا، تنها ده رقم از شانزده رقم دارای نام پذیرفته شده 0-9 هستند. برای نوشتن بقیه حروف الفبا (10، 11، 12، 13، 14 و 15)، معمولاً از پنج حرف اول الفبای لاتین استفاده می شود.

اعداد: به عنوان مثال، В5С3،1А2 16؛ 355.0FA01 8.

در سیستم اعداد موقعیتی، هر عدد واقعی را می توان به شکل زیر نشان داد:

ق = ±( a n-1× qn –1 + a n-2× qn –2 +…+ آ 0 × q 0 + آ-1× q –1 + آ-2× q –2 +…+ آ –متر × q–m)، (1) یا ±.

اینجا آ -خود شماره؛ q-ریشه;
و من- اعداد متعلق به الفبای یک سیستم عددی معین. پ -تعداد ارقام صحیح؛ تی -تعداد ارقام کسری یک عدد

تجزیه یک عدد طبق فرمول (1) نامیده می شود فرم ورود گسترده . در غیر این صورت به این شکل ضبط گفته می شود چند جمله اییا آرام بخش

مثال 1.عدد اعشاری آ 10 = 5867.91 طبق فرمول (1) به صورت زیر نمایش داده می شود:

آ 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

مثال 2.فرمول (1) برای سیستم اعداد اکتالی به شکل زیر است:

آ 8 = ±( a n-1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ آ 0 × 8 0 + آ–1 × 8 –1 + آ–2×8 –2 +…+ صبح×8 - متر),

جایی که و من- اعداد 0-7.

عدد اکتال A 8 = 7064.3 در شکل (1) به صورت زیر نوشته می شود:

آ 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

مثال 3.عدد پنج برابری آ 5 = 2430.21 مطابق فرمول (1) به صورت زیر نوشته می شود:

آ 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5 اینچ + 0 × 5 درجه + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

با محاسبه این عبارت می توانید معادل اعشاری عدد پنج برابری مشخص شده را بدست آورید: 365.44 10.

مثال 4.در سیستم اعداد هگزادسیمال ورودی 3 است A.F. 16 یعنی:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

تبدیل اعداد اعشاری به سیستم های اعداد دیگر

تبدیل عدد صحیح

عدد اعشاری کامل ایکسباید به یک سیستم با پایه تبدیل شود q: ایکس = (آ n آ n-1… آ 1 آ 0) q باید ارقام مهم عدد را پیدا کنید: اجازه دهید عدد را به شکل بسط یافته ارائه کنیم و تبدیل یکسان را انجام دهیم:

از اینجا معلوم است که آ 0 باقیمانده هنگام تقسیم یک عدد است ایکسدر هر عدد q. عبارت داخل پرانتز ضریب صحیح این تقسیم است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ایکس 1. با انجام تبدیل های مشابه، به دست می آوریم:

از این رو، آ 1 باقیمانده تقسیم است ایکس 1 در هر q. با ادامه تقسیم با باقی مانده، دنباله ای از ارقام عدد مورد نظر را به دست خواهیم آورد. عدد یکدر این زنجیره از تقسیمات، آخرین ضریب، کوچکتر خواهد بود q.

اجازه دهید قانون حاصل را فرموله کنیم: برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) اساس سیستم اعداد جدید را در سیستم اعداد اعشاری بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را طبق قوانین حساب اعشاری انجام دهید.

2) عدد داده شده و ضرایب ناقص حاصل را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید تا زمانی که یک ضریب ناقص کوچکتر از مقسوم علیه بدست آوریم.

3) ترازهای حاصل را که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت دهید.

4) یک عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین ضریب شروع کنید.

مثال 1.عدد 37 10 را به باینری تبدیل کنید.

برای تعیین ارقام در یک عدد از نمادگرایی استفاده می کنیم: آ 5 آ 4 آ 3 آ 2 آ 1 آ 0

از این رو: 37 10 = l00l0l 2

مثال 2.عدد اعشاری 315 را به سیستم های هشت و هگزادسیمال تبدیل کنید:

به شرح زیر است: 315 10 = 473 8 = 13B 16. به یاد بیاورید که 11 10 = B 16.

کسر اعشاری ایکس < 1 требуется перевести в систему с основанием q: ایکس = (0, آ –1 آ –2 … آ–m+1 آ–m) q باید ارقام مهم عدد را پیدا کنید: آ –1 ,آ –2 , …, آ–m .عدد را به صورت بسط داده شده و ضرب کنید q:

از اینجا معلوم است که آ-1 یک بخش کامل از کار وجود دارد ایکسدر هر عدد q. بیایید نشان دهیم ایکس 1 جزء کسری حاصل ضرب کنید q:

از این رو، آ-2 یک بخش کامل از کار است ایکسهر عدد 1 عدد q. با ادامه ضرب، دنباله ای از اعداد به دست می آید. حالا بیایید یک قانون را تدوین کنیم: برای تبدیل کسر اعشاری به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از حاصل را در پایه سیستم اعداد جدید ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا دقت لازم برای نمایش عدد در سیستم اعداد جدید حاصل شود.

2) قسمت های صحیح حاصل از آثار را که ارقام عدد در سیستم اعداد جدید هستند مطابق با الفبای سیستم اعداد جدید قرار دهید.

3) قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و از قسمت صحیح اولین محصول شروع کنید.

مثال 3.کسر اعشاری 0.1875 را به سیستم های باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید.

در اینجا ستون سمت چپ شامل قسمت صحیح اعداد و ستون سمت راست شامل قسمت کسری است.

از این رو: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16

تبدیل اعداد مختلطشامل اجزای صحیح و کسری در دو مرحله انجام می شود. قسمت های صحیح و کسری عدد اصلی به طور جداگانه با استفاده از الگوریتم های مناسب ترجمه می شوند. در ثبت نهایی یک عدد در سیستم اعداد جدید، قسمت صحیح با یک کاما (نقطه) از قسمت کسری جدا می شود.

مبحث "سیستم های اعداد" ارتباط مستقیمی با نظریه اعداد ریاضی دارد. با این حال، به عنوان یک قاعده، در دوره های ریاضی مدرسه مطالعه نمی شود. لزوم مطالعه این مبحث در درس علوم کامپیوتر به این موضوع مربوط می شود که اعداد در حافظه کامپیوتر در سیستم اعداد باینری نمایش داده می شوند و از سیستم های هگزا دسیمال یا اکتال برای نمایش خارجی محتویات حافظه و آدرس های حافظه استفاده می شود. این یکی از مباحث سنتی دوره های علوم کامپیوتر یا برنامه نویسی است. این مبحث به دلیل همجواری با ریاضیات، به آموزش ریاضی اساسی دانش آموزان نیز کمک می کند.

برای دوره علوم کامپیوتر، علاقه اصلی آشنایی با سیستم اعداد باینری است. استفاده از سیستم اعداد باینری در رایانه را می توان از دو جنبه در نظر گرفت: 1) شماره گذاری باینری، 2) حساب باینری، یعنی. انجام محاسبات حسابی روی اعداد باینری

شماره گذاری باینری

دانش آموزان در مبحث "نمایش متن در حافظه کامپیوتر" با شماره گذاری باینری مواجه می شوند. هنگام صحبت در مورد جدول رمزگذاری، معلم باید به دانش آموزان بگوید که کد باینری داخلی یک نماد، شماره سریال آن در سیستم اعداد باینری است. به عنوان مثال، تعداد حرف S در جدول اسکی 83 است. کد باینری هشت بیتی حرف S برابر است با مقدار این عدد در سیستم اعداد باینری: 01010011.

محاسبات باینری

طبق اصل جان فون نویمان، یک کامپیوتر محاسبات را در سیستم اعداد باینری انجام می دهد. در چارچوب دوره پایه، کافی است خود را به در نظر گرفتن محاسبات با اعداد صحیح باینری محدود کنیم. برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی باید قوانین جمع و قوانین ضرب اعداد تک رقمی را بدانید. این قوانین هستند:

اصل جابجایی جمع و ضرب در همه سیستم های عددی کار می کند. تکنیک های انجام محاسبات با اعداد چند رقمی در سیستم دودویی مشابه سیستم اعشاری است. به عبارت دیگر، مراحل جمع، تفریق و ضرب در یک "ستون" و تقسیم بر یک "گوشه" در سیستم دودویی به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود.

بیایید به قوانین تفریق و تقسیم اعداد باینری نگاه کنیم. عمل تفریق معکوس جمع است. از جدول جمع بالا، قوانین تفریق به شرح زیر است:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

در اینجا مثالی از تفریق اعداد چند رقمی آورده شده است:

نتیجه به‌دست‌آمده را می‌توان با اضافه کردن تفاوت با زیرمجموعه بررسی کرد. نتیجه باید یک عدد کاهشی باشد.

تقسیم عمل معکوس ضرب است.
در هر سیستم عددی نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. حاصل تقسیم بر 1 برابر است با سود تقسیمی. تقسیم یک عدد باینری بر 10 2، رقم اعشار را یک مکان به سمت چپ حرکت می دهد، مشابه تقسیم اعشاری بر ده. مثلا:

تقسیم بر 100 نقطه اعشار را 2 مکان به سمت چپ حرکت می دهد و غیره. در دوره ابتدایی، لازم نیست مثال های پیچیده ای از تقسیم اعداد باینری چند رقمی را در نظر بگیرید. اگرچه دانش آموزان توانمند می توانند با آنها کنار بیایند، اما با درک اصول کلی.

نمایش اطلاعات ذخیره شده در حافظه کامپیوتر به شکل دودویی واقعی آن به دلیل تعداد زیاد ارقام بسیار دشوار است. این به ثبت چنین اطلاعاتی بر روی کاغذ یا نمایش آن بر روی صفحه اشاره دارد. برای این منظور، مرسوم است که از سیستم های مختلط باینری-اکتال یا باینری-هگزادسیمال استفاده شود.

یک رابطه ساده بین نمایش باینری و هگزادسیمال یک عدد وجود دارد. هنگام تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، یک رقم هگزادسیمال مربوط به یک کد باینری چهار رقمی است. این مطابقت در جدول باینری-هگزادسیمال منعکس شده است:

جدول هگزادسیمال باینری

این ارتباط بر اساس این واقعیت است که 16 = 2 4 و تعداد ترکیب های چهار رقمی مختلف اعداد 0 و 1 16 است: از 0000 تا 1111. بنابراین تبدیل اعداد از هگزا دسیمال به باینری و بالعکس با تبدیل رسمی با استفاده از جدول باینری-هگزادسیمال انجام می شود..

در اینجا مثالی از تبدیل باینری 32 بیتی به هگزادسیمال آورده شده است:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

اگر یک نمایش هگزادسیمال از اطلاعات داخلی داده شود، تبدیل آن به کد باینری آسان است. مزیت نمایش هگزا دسیمال این است که 4 برابر کوتاهتر از باینری است. برای دانش آموزان توصیه می شود که جدول باینری-هگزادسیمال را حفظ کنند. سپس در واقع برای آنها نمایش هگزا دسیمال معادل باینری خواهد شد.

در سیستم هشت دودویی، هر رقم اکتال مربوط به سه عدد از ارقام باینری است. این سیستم به شما امکان می دهد کد باینری را 3 برابر کاهش دهید.

نشانه گذاری

نشانه گذاری - این راهی برای نمایش اعداد و قوانین مربوطه برای کار بر روی اعداد است. سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به دو دسته تقسیم کرد غیر موضعیو موضعی. علائمی که هنگام نوشتن اعداد استفاده می شود، نامیده می شوند در اعداد

که در سیستم های اعداد غیر موقعیتی معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، سیستم رومی (اعداد رومی) است. در سیستم رومی، از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می شود:

مثال 1.عدد CCXXXII از دویست، سه ده و دو واحد تشکیل شده و برابر با دویست و سی و دو است.

در اعداد رومی، اعداد از چپ به راست به ترتیب نزولی نوشته می شوند. در این حالت مقادیر آنها با هم جمع می شوند. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ و یک عدد بزرگتر در سمت راست نوشته شود، مقادیر آنها کم می شود.

مثال 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

مثال 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

که در سیستم های اعداد موقعیتی مقدار مشخص شده با یک رقم در نماد اعداد به موقعیت آن بستگی دارد. تعداد ارقام استفاده شده را پایه سیستم اعداد موقعیتی می نامند.

سیستم اعداد مورد استفاده در ریاضیات مدرن است سیستم اعشاری موقعیتی. پایه آن ده است، زیرا هر عددی با ده رقم نوشته می شود:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ماهیت موقعیتی این سیستم با استفاده از مثال هر عدد چند رقمی به راحتی قابل درک است. به عنوان مثال، در عدد 333، سه اول به معنای سه صد، دوم - سه ده، سوم - سه یک است.

برای نوشتن اعداد در یک سیستم موقعیتی با ریشه nباید داشته باشد الفبااز جانب nشماره معمولا برای این n < 10 используют nاولین اعداد عربی و چه زمانی n> 10 حرف به ده عدد عربی اضافه می شود. در اینجا نمونه هایی از حروف الفبای چندین سیستم آورده شده است:

اگر شما نیاز به نشان دادن پایه سیستمی دارید که یک شماره به آن تعلق دارد، یک زیرنویس به این شماره اختصاص داده می شود. مثلا:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

در یک سیستم اعداد با پایه q (q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توانهای متوالی یک عدد هستند q. qواحدهای هر دسته واحدی از دسته بعدی را تشکیل می دهند. برای نوشتن یک عدد q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q– 1. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

شکل گسترده نوشتن یک عدد

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

چگونه از شکل جمع شده نوشتن یک عدد اعشاری به شکل باز شده آن حرکت کنیم؟

پاسخ

عدد اعشاری 14351.1 را در نظر بگیرید. شکل جمع‌شده نشان‌گذاری آن به قدری آشناست که متوجه نمی‌شویم چگونه در ذهن خود به یک نماد بسط داده می‌شویم، ارقام عدد را در "وزن" ارقام ضرب می‌کنیم و محصولات حاصل را اضافه می‌کنیم:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

انتقال از یک فرم فرو ریخته به یک فرم گسترش یافته

1. به عددی که به شما داده شده نگاه کنید و تعداد ارقام آن را مشخص کنید.

مثال:
5827 را به صورت گسترده بنویسید.

عدد را با صدای بلند بخوانید: پنج هزار و هشتصد و بیست و هفت.

لطفا توجه داشته باشید که این عدد چهار رقمی است. در نتیجه، فرم توسعه یافته شامل چهار عبارت خواهد بود.

2. عدد را به عنوان مجموع ارقامش دوباره بنویسید، و مقداری فاصله بین آنها بگذارید تا هر رقم در یک رقم معین ضرب شود (در ادامه در این مورد بیشتر توضیح خواهیم داد).

مثال:
5827 آن را به این صورت بازنویسی کنید:

3. ارقام یک عدد در موقعیت های خاصی قرار دارند که (از راست به چپ) با واحدها، ده ها، صدها، هزاران و غیره مطابقت دارد. نام موقعیت و معنای آن را برای هر رقم (از راست به چپ) مشخص کنید.

مثال:
از آنجایی که این عدد دارای چهار رقم است، باید نام چهار موقعیت (از راست به چپ) را تعیین کنید.

7 مربوط به یکها است (مقدار = 1 = 10 0).
2 مربوط به ده ها است (مقدار = 10 = 10 1).
8 مربوط به صدها است (مقدار = 100 = 10 2).
5 مربوط به هزاران است (مقدار = 1000 = 10 3).

4. هر رقم یک عدد معین را در مقدار موقعیت مربوط به آن ضرب کنید.

مثال:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0

کلید واژه ها:

• نشانه گذاری
• عدد
• الفبا
• سیستم اعداد موقعیتی
• پایه
• شکل گسترش یافته نوشتن یک عدد
• شکل جمع شده نوشتن یک عدد
• سیستم اعداد باینری
• سیستم اعداد اکتالی
• سیستم اعداد هگزادسیمال

1.1.1. اطلاعات کلی در مورد سیستم های اعداد

برنج. 1.1.
علائمی که برای نوشتن اعداد در سیستم های اعداد مختلف استفاده می شود

در هر سیستم عددی، ارقام برای تعیین اعدادی به نام اعداد گره استفاده می شوند. اعداد باقیمانده (الگوریتمی) در نتیجه برخی عملیات از اعداد گره به دست می آیند.

مثال 1. در میان بابلی ها، اعداد کلیدی 1، 10، 60 بودند. در سیستم اعداد رومی، اعداد کلیدی 1، 5، 10، 50، 100، 500 و 1000 هستند که به ترتیب به I، V، X، L، C، D، M نشان داده می شوند.

سیستم های اعداد در انتخاب اعداد گرهی و روش های تولید اعداد الگوریتمی متفاوت هستند. انواع سیستم های اعداد زیر را می توان تشخیص داد:

1. سیستم های یکپارچه؛
2. سیستم های غیر موقعیتی؛
3. سیستم های موقعیتی

ساده ترین و قدیمی ترین سیستم به اصطلاح سیستم اعداد واحد است. فقط از یک علامت برای نوشتن هر عدد استفاده می کند - یک چوب، یک گره، یک شکاف، یک سنگریزه. طول یک عدد در این کدگذاری ارتباط مستقیمی با مقدار آن دارد که این روش را شبیه نمایش هندسی اعداد در قالب قطعه می کند. این سیستم یکپارچه است که در پایه و اساس حساب قرار دارد و دقیقاً همین سیستم است که هنوز دانش آموزان کلاس اولی را به دنیای شمارش معرفی می کند. سیستم های Unary را سیستم های برچسب نیز می گویند.

در سیستم های اعداد غیر موقعیتی، اعداد با جمع کردن اعداد گره تشکیل می شوند.

مثال 2. در سیستم اعداد مصر باستان، اعداد 1، 2، 3، 4، 10، 13، 40 به ترتیب به شرح زیر تعیین می شدند:

همان اعداد در سیستم اعداد رومی به شرح زیر تعیین می شوند: I، II، III، IV، X، XIII، XL. در اینجا اعداد الگوریتمی با جمع و تفریق اعداد کلیدی با در نظر گرفتن قانون زیر به دست می آیند: هر علامت کوچکتری که در سمت راست علامت بزرگتر قرار می گیرد به مقدار آن اضافه می شود و هر علامت کوچکتری که در سمت چپ علامت بزرگتر قرار می گیرد به مقدار آن اضافه می شود. از آن کم می شود.

سیستم اعداد اعشاری، که ما به استفاده از آن در زندگی روزمره عادت کرده ایم، که از دوران کودکی با آن آشنا هستیم، که در آن همه محاسبات خود را انجام می دهیم، نمونه ای از یک سیستم اعداد موقعیتی است. در آن، اعداد الگوریتمی به شرح زیر تشکیل می شود: مقادیر ارقام در "وزن" ارقام مربوطه ضرب می شوند و تمام مقادیر حاصل اضافه می شوند. این را می توان به وضوح در اعداد زبان روسی مشاهده کرد، به عنوان مثال: "سیصد و پنج تا ده هفت".

پایه سیستم اعداد موقعیتی می تواند هر عدد طبیعی q > 1 باشد.

الفبای سیستم اعشاری از اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 تشکیل شده است. .، q-1، که هر کدام را می توان با استفاده از یک کاراکتر منحصر به فرد نوشت. پایین ترین رقم همیشه O است.

مزیت اصلی هر سیستم عددی موقعیتی، سهولت انجام عملیات حسابی و تعداد محدود نمادهای مورد نیاز برای نوشتن هر عددی است.

a 1 - اعداد متعلق به الفبای یک سیستم اعداد معین.

q 1 - "وزن" رقم i.

نوشتن یک عدد با استفاده از فرمول (1) شکل بسط یافته نوشتن نامیده می شود. شکل جمع شده نوشتن یک عدد نمایش آن به شکل ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1 است.

1 در ادامه، فقط اعداد صحیح مثبت در نظر گرفته خواهند شد.

مثال 3.عدد اعشاری 14351.1 را در نظر بگیرید. شکل جمع‌شده نشان‌گذاری آن به قدری آشنا است که متوجه نمی‌شویم چگونه در ذهن خود به یک نماد گسترده می‌رویم، ارقام عدد را در "وزن" ارقام ضرب می‌کنیم و محصولات حاصل را اضافه می‌کنیم:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. سیستم اعداد باینری

سیستم اعداد باینری یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2 است. برای نوشتن اعداد در سیستم اعداد باینری فقط از دو رقم 0 و 1 استفاده می شود.

بر اساس فرمول (1) برای اعداد صحیح باینری می توانیم بنویسیم:

مثلا:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

این شکل نوشتن قانون تبدیل اعداد باینری طبیعی به سیستم اعداد اعشاری را "پیشنهاد" می کند: لازم است مجموع توان های دو مربوط به واحدها را در شکل جمع شده نوشتن یک عدد باینری محاسبه کنیم.

از فرمول (1") قانون تبدیل اعداد اعشاری صحیح به سیستم اعداد باینری را بدست می آوریم.

تقسیم کنیم

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 در 2.

ضریب برابر خواهد بود

a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,

و باقیمانده برابر با 0 خواهد بود.

اجازه دهید دوباره ضریب حاصل را بر 2 تقسیم کنیم، باقیمانده تقسیم برابر با 1 خواهد بود.

اگر این روند تقسیم را ادامه دهیم، در مرحله n ام مجموعه ای از اعداد به دست می آید:

a 0، a 1، a 2، ...، a n-1

که در نمایش دودویی عدد اصلی گنجانده شده و با تقسیم بر 2 به ترتیب با باقیمانده ها منطبق می شوند. هنگام نوشتن عدد اصلی در سیستم اعداد باینری باید در نظر داشت که ما باقی مانده را از تقسیم بر 2 به دست آوردیم. به ترتیب معکوس ترتیب ارقام مربوطه در نمایش دودویی عدد اصلی.

مثال 4. بیایید عدد اعشاری 11 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم. دنباله اقدامات مورد بحث در بالا (الگوریتم ترجمه) را می توان به صورت زیر نشان داد:

با نوشتن باقیمانده های تقسیم در جهت نشان داده شده توسط فلش، به دست می آوریم: 11 10 = 1011 2.

مثال 5. اگر عدد اعشاری به اندازه کافی بزرگ باشد، روش زیر برای نوشتن الگوریتم مورد بحث در بالا راحت تر است:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. سیستم اعداد هشتگانه

سیستم اعداد اکتالی یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه 8 است.برای نوشتن اعداد در سیستم اعداد اکتالی از اعداد زیر استفاده می شود: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7.

بر اساس فرمول (1) برای یک عدد صحیح هشتگانه می توانیم بنویسیم:

به عنوان مثال: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

بنابراین، برای تبدیل یک عدد اکتالی عدد صحیح به سیستم اعداد اعشاری، باید به شکل بسط یافته آن رفته و مقدار عبارت حاصل را محاسبه کنید.

برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به سیستم اعداد هشتگانه، باید عدد داده شده و ضرایب اعداد صحیح حاصل را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که ضریبی برابر با صفر بدست آورید. شماره اصلی در سیستم اعداد جدید با ثبت متوالی موجودی های حاصل، با شروع از آخرین، جمع آوری می شود.

مثال 6. عدد اعشاری 103 را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل می کنیم.

1.1.4. سیستم اعداد هگزادسیمال

پایه: q = 16.

الفبا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F.

در اینجا، فقط ده رقم از شانزده رقم دارای نام پذیرفته شده 0،...، 9 هستند. برای نوشتن اعداد با معادل های کمی اعشاری 10، 11، 12، 13، 14، 15، معمولاً پنج حرف اول الفبای لاتین هستند. استفاده شده.

بنابراین ورودی 3AF16 به این معنی است:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

مثال 7. بیایید عدد اعشاری 154 را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنیم.

1.1.5. قانون تبدیل اعداد اعشاری صحیح به سیستم اعداد با پایه q

برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به یک سیستم عددی با پایه q:

1. عدد داده شده و ضرای صحیح حاصل را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم می کنیم تا زمانی که ضریبی برابر با صفر بدست آوریم.
2. ترازهای حاصل، که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند، باید با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت داشته باشند.
3. یک عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین باقیمانده دریافتی یادداشت کنید.

بیایید جدول تناظر بین اعداد اعشاری، باینری، هشت و هگزادسیمال از 0 تا 20 را ایجاد کنیم.

مجموعه یکپارچه منابع آموزشی دیجیتال (http://school-collection.edu.ru/) حاوی یک انیمیشن تعاملی "تبدیل یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر" است. با کمک آن می توانید ترجمه یک عدد صحیح دلخواه از 0 تا 512 را به یک سیستم اعداد موقعیتی مشاهده کنید که پایه آن از 16 تجاوز نمی کند.

در آزمایشگاه مجازی "Digital Scales" واقع در آنجا، می توانید روش دیگری را برای تبدیل اعداد اعشاری صحیح به سیستم های اعداد دیگر بیاموزید - روش تفاوت.

1.1.6. حساب باینری

محاسبات سیستم اعداد باینری بر اساس استفاده از جداول جمع و ضرب زیر است:

مثال 8. جدول جمع دودویی بسیار ساده است. از آنجایی که 1 + 1 = 10، پس 0 در این رقم باقی می ماند و 1 به رقم بعدی منتقل می شود.

مثال 9. عملیات ضرب طبق طرح معمولی که در سیستم اعداد اعشاری استفاده می شود، با ضرب متوالی ضرب در رقم بعدی ضریب انجام می شود.

بنابراین، در سیستم باینری، ضرب به جابجایی ضرب و جمع کاهش می یابد.

1.1.7. سیستم های شماره "رایانه".

فناوری رایانه از یک سیستم اعداد باینری استفاده می کند که مزایایی را نسبت به سایر سیستم ها ارائه می دهد:

• اعداد باینری در یک کامپیوتر با استفاده از عناصر فنی نسبتاً ساده با دو حالت پایدار نمایش داده می شوند.
• ارائه اطلاعات تنها از طریق دو حالت قابل اعتماد و مقاوم در برابر نویز است.
• محاسبات باینری ساده ترین است.
• یک دستگاه ریاضی وجود دارد که تبدیل های منطقی داده های باینری را فراهم می کند.

تبادل اطلاعات بین دستگاه های کامپیوتری با ارسال کدهای باینری انجام می شود. به دلیل طول زیاد و یکنواختی بصری، استفاده از چنین کدهایی برای شخص ناخوشایند است. بنابراین، متخصصان (برنامه نویسان، مهندسان) در برخی از مراحل توسعه، ایجاد و پیکربندی سیستم های کامپیوتری، کدهای باینری را با مقادیر معادل در سیستم های اعداد هشت یا هگزادسیمال جایگزین می کنند. در نتیجه طول کلمه اصلی به ترتیب سه و چهار برابر کاهش می یابد. این باعث می شود اطلاعات برای بررسی و تجزیه و تحلیل راحت تر شود.

با استفاده از منبع "کتاب مسئله تعاملی، بخش "سیستم های اعداد" (http://school-collection.edu.ru/)، می توانید بررسی کنید که چقدر به مطالب مورد مطالعه در این پاراگراف تسلط دارید.

مهم ترین

سیستم اعداد یک سیستم نشانه ای است که در آن قوانین خاصی برای نوشتن اعداد اتخاذ می شود. به علائمی که اعداد با آنها نوشته می شود، رقم و ترکیب آنها را الفبای سیستم اعداد می گویند.

اگر معادل کمی یک رقم در یک عدد به موقعیت آن در نماد عدد بستگی داشته باشد، یک سیستم اعداد را موقعیتی می نامند. پایه یک سیستم اعداد موقعیتی برابر است با تعداد ارقامی که الفبای آن را تشکیل می دهند.

پایه سیستم اعداد موقعیتی می تواند هر عدد طبیعی q > 1 باشد.

در یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه q، هر عددی را می توان به صورت زیر نشان داد:

یک عدد؛

q - پایه سیستم اعداد؛

و i اعداد متعلق به الفبای یک سیستم عددی معین هستند.

n - تعداد ارقام صحیح؛

m - تعداد ارقام کسری عدد؛

q i - "وزن" رقم i.

سوالات و وظایف