ماتریس A -1 ماتریس معکوس نسبت به ماتریس A نامیده می شود اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد.
هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس آنلاین می‌توانید مکمل‌های جبری، ماتریس A T انتقال یافته، ماتریس متحد و ماتریس معکوس را بیابید. تصمیم گیری مستقیماً در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش در قالب ورد و اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید
دستورالعمل ها. برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را مشخص کرد. بعد، ماتریس A را در کادر محاوره ای جدید پر کنید.
ابعاد ماتریس 2 3 4 5 6 7 8 9 10همچنین به ماتریس معکوس با استفاده از روش جردنو-گاوس مراجعه کنید
الگوریتم یافتن ماتریس معکوسمثال شماره 1. بیایید ماتریس را به شکل زیر بنویسیم:
اضافات جبری
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوس را می توان به صورت زیر نوشت:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
یک مورد خاص: معکوس ماتریس هویت E، ماتریس هویت E است.
در اینجا ما موضوع عملیات روی ماتریس ها را که در قسمت اول آغاز شده است ادامه می دهیم و به چند مثال نگاه می کنیم که در آنها چندین عملیات باید به طور همزمان اعمال شوند.
بالا بردن یک ماتریس به توان.فرض کنید k یک عدد صحیح غیر منفی باشد. برای هر ماتریس مربع $A_(n\times n)$ داریم: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; بار) $$
در این مورد، فرض می کنیم که $A^0=E$، که در آن $E$ ماتریس هویت ترتیب مربوطه است.
مثال شماره 4
با توجه به یک ماتریس $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. ماتریس های $A^2$ و $A^6$ را پیدا کنید.
طبق تعریف، $A^2=A\cdot A$، یعنی. برای پیدا کردن $A^2$ فقط باید ماتریس $A$ را در خودش ضرب کنیم. عملیات ضرب ماتریس در قسمت اول مبحث مورد بحث قرار گرفت، بنابراین در اینجا به سادگی فرآیند حل را بدون توضیحات دقیق یادداشت می کنیم:
$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end (آرایه) \راست )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$
برای یافتن ماتریس $A^6$ دو گزینه داریم. گزینه اول: ادامه ضرب $A^2$ در ماتریس $A$ بی اهمیت است:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
با این حال، می‌توانید با استفاده از خاصیت associativity ضرب ماتریس، مسیر کمی ساده‌تر را انتخاب کنید. بیایید در عبارت $A^6$ پرانتز قرار دهیم:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
اگر حل روش اول به چهار عمل ضرب نیاز دارد، روش دوم فقط به دو عمل نیاز دارد. بنابراین به راه دوم برویم:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(آرایه) \راست)\cdot \چپ(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( آرایه) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$
پاسخ: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
مثال شماره 5
ماتریس های داده شده $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end (آرایه) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (آرایه) \راست)$, $ C=\left(\begin(array) (cccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ راست)$. ماتریس $D=2AB-3C^T+7E$ را پیدا کنید.
محاسبه ماتریس $D$ را با یافتن نتیجه حاصلضرب $AB$ آغاز می کنیم. ماتریس‌های $A$ و $B$ را می‌توان ضرب کرد، زیرا تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $B$ است. بیایید $F=AB$ را نشان دهیم. در این حالت، ماتریس $F$ دارای سه ستون و سه ردیف خواهد بود. مربع خواهد بود (اگر این نتیجه گیری واضح به نظر نمی رسد، به توضیح ضرب ماتریس در قسمت اول این مبحث مراجعه کنید). بیایید ماتریس $F$ را با محاسبه تمام عناصر آن پیدا کنیم:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \\ end(array) \right)\\ \begin (تراز شده) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9) )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end (تراز شده) $$
بنابراین $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. بیایید جلوتر برویم. ماتریس $C^T$ ماتریس انتقالی برای ماتریس $C$ است، یعنی. $ C^T=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. در مورد ماتریس $E$، این ماتریس هویت است. در این مورد، ترتیب این ماتریس سه است، یعنی. $E=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
اصولاً می‌توانیم قدم به قدم پیش برویم، اما بهتر است بیان باقی‌مانده را به عنوان یک کل در نظر بگیریم، بدون اینکه با اقدامات کمکی حواسمان پرت شود. در واقع فقط عملیات ضرب ماتریس ها در یک عدد و همچنین عملیات جمع و تفریق برای ما باقی می ماند.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \\ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ راست)+7\cdot \left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \راست) $$
بیایید ماتریس های سمت راست تساوی را در اعداد مربوطه ضرب کنیم (یعنی در 2، 3 و 7):
$$ 2\cdot \left(\begin(array) (cccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (cccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 و 26 و -6 \\ -62 و -10 و 14 \\ 46 و 62 و 14 \پایان (آرایه) \راست) -\ چپ (\ آغاز (آرایه) (cccc) -15 و 13 و 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(آرایه) \راست)+\چپ(\شروع(آرایه) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 و 7 \end(آرایه) \راست) $$
بیایید آخرین مراحل را انجام دهیم: تفریق و جمع:
$$ \left(\begin(array) (cccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (آرایه) (cccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (cccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (cccc) -14-(-15)+7 & 0+26-30 و -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 و -10-36+7 و 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 و 62-27 +0 & 14-24+7 \end(آرایه) \راست)= \چپ(\شروع(آرایه) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(آرایه) \راست). $$
مشکل حل شد، $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
پاسخ: $D=\left(\begin(array) (cccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.
مثال شماره 6
اجازه دهید $f(x)=2x^2+3x-9$ و ماتریس $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. مقدار $f(A)$ را بیابید.
اگر $f(x)=2x^2+3x-9$، آنگاه $f(A)$ به عنوان ماتریس درک می شود:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
به این ترتیب چند جمله ای از یک ماتریس تعریف می شود. بنابراین، ما باید ماتریس $A$ را در عبارت $f(A)$ جایگزین کنیم و نتیجه را بدست آوریم. از آنجایی که قبلاً همه اقدامات به تفصیل مورد بحث قرار گرفت، در اینجا به سادگی راه حل را ارائه می دهم. اگر روند انجام عملیات $A^2=A\cdot A$ برای شما نامشخص است، به شما توصیه می کنم در قسمت اول این مبحث به توضیح ضرب ماتریس نگاه کنید.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end (array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(آرایه) \راست)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(آرایه) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 و 5 \end(آرایه) \راست)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \راست) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$
پاسخ: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.
چگونه فرمول های ریاضی را در وب سایت درج کنیم؟
اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.
اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.
دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.
می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:
یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.
ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.
هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.
الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.
عملیات افزایش به توان n را می توان به طور رسمی برای ماتریس های مربع اعمال کرد. برای انجام این کار، n باید یک عدد صحیح باشد. نتیجه این عملیات در جدول آورده شده است. 9.1. می‌توانید عملگر افزایش یک ماتریس m را به توان n به همان روشی که برای یک کمیت اسکالر وارد کنید: با کلیک کردن روی دکمه Raise to Power در پانل ماشین حساب یا با فشار دادن کلید. پس از ظاهر شدن مکان نگهدار، باید مقدار درجه n را در آن وارد کنید.
جدول 9.1. نتایج افزایش یک ماتریس به توان
0 ماتریس هویت بعد ماتریس M
1 خود ماتریس M
1 M -1 - ماتریس معکوس M
2،3،...MM، (MM)M، ...
2, -3, ... M -1 M -1 , (M -1 M -1)M -1 , ...
چند نمونه از افزایش ماتریس ها به توان در فهرست 9.15 نشان داده شده است.
لیست 9.15. نمونه هایی از افزایش یک ماتریس مربع به یک عدد صحیح
برداری آرایه ها
جبر برداری Mathcad شامل یک عملگر تا حدی غیر معمول به نام عملگر برداری است. این عملگر معمولاً برای کار با آرایه ها در نظر گرفته شده است. این به شما امکان می دهد تا یک نوع عملیات را روی تمام عناصر یک آرایه (به عنوان مثال، ماتریس یا بردار) انجام دهید، در نتیجه برنامه نویسی حلقه ها را ساده می کند. به عنوان مثال، گاهی اوقات می خواهید هر عنصر یک بردار را در عنصر مربوط به بردار دیگر ضرب کنید. چنین عملیاتی به طور مستقیم در Mathcad وجود ندارد، اما می توان آن را به راحتی با استفاده از برداری (Listing 9.16) انجام داد. برای این:
· عبارت برداری را همانطور که در خط دوم فهرست نشان داده شده است وارد کنید (توجه داشته باشید که در این شکل نماد ضرب نشان دهنده عملگر حاصل ضرب اسکالر بردارها است).
مکان نما را حرکت دهید تا خطوط ورودی کل عبارتی را که باید بردار شود برجسته کنند (شکل 9.3).
· با کلیک بر روی دکمه Vectorize در پانل Matrix (شکل 9.3) یا با استفاده از ترکیب کلید + عملگر برداری را وارد کنید.
· برای دریافت نتیجه وارد شوید.
برنج. 9.3. عملگر برداری
لیست 9.16. استفاده از برداری برای ضرب عناصر یک بردار
عملگر برداری فقط با بردارها و ماتریس های هم اندازه قابل استفاده است.
اکثر توابع غیر اختصاصی Mathcad برای انجام یک عملیات مشابه بر روی تمام عناصر بردار نیازی به بردارسازی ندارند. برای مثال، آرگومان توابع مثلثاتی، طبق تعریف، یک عدد اسکالر است. اگر سعی کنید سینوس یک کمیت برداری را محاسبه کنید، Mathcad به طور پیش فرض بردار می شود و سینوس هر عنصر را محاسبه می کند و بردار مربوطه را به عنوان نتیجه تولید می کند. یک مثال در فهرست 9.17 نشان داده شده است.
لیست 9.17. برداری برای اکثر توابع Mathcad اختیاری است
عملیات نمادین با ماتریس
تمام عملگرهای ماتریس و برداری که در بالا مورد بحث قرار گرفت را می توان در محاسبات نمادین استفاده کرد. قدرت عملیات نمادین در توانایی انجام آنها نه تنها بر روی اعداد خاص، بلکه بر روی متغیرها نهفته است. برخی از نمونه ها در فهرست 9.18 نشان داده شده است.
لیست 9.18. نمونه هایی از عملیات نمادین بر روی بردارها و ماتریس ها
با خیال راحت از پردازنده نماد به عنوان یک مرجع ریاضی قدرتمند استفاده کنید. به عنوان مثال، زمانی که می خواهید تعریفی را از حوزه جبر خطی به یاد بیاورید (به عنوان مثال، قوانین ضرب و وارونگی ماتریس در خطوط اول فهرست 9.18 نشان داده شده است).
توابع ماتریسی
بیایید توابع داخلی اصلی را که برای آسان‌تر کردن کار با بردارها و ماتریس‌ها طراحی شده‌اند فهرست کنیم. آنها برای ایجاد ماتریس ها، ادغام و انتخاب قسمت های ماتریس، به دست آوردن ویژگی های اساسی ماتریس ها و غیره مورد نیاز هستند.
توابع ایجاد ماتریس
بصری ترین راه برای ایجاد یک ماتریس یا بردار استفاده از اولین دکمه در نوار ابزار Matrix است. با این حال، در بیشتر موارد، به ویژه هنگام برنامه ریزی پروژه های پیچیده، ایجاد آرایه ها با استفاده از توابع داخلی راحت تر است.
تعریف عناصر ماتریس با استفاده از یک تابع
· ماتریس (M,N,f) - ایجاد یک ماتریس به اندازه M*N که هر عنصر i,j از آن f(i,j) است (فهرست 9.19).
o M - تعداد خطوط؛
o N - تعداد ستون ها.
o f (i، j) - تابع.
لیست 9.19. ایجاد یک ماتریس
برای ایجاد ماتریس، دو تابع خاص دیگر وجود دارد که عمدتاً برای ارائه سریع و مؤثر هر گونه وابستگی در قالب نمودارهای سه بعدی (مانند یک سطح یا یک منحنی فضایی) استفاده می شود. همه آرگومان های آنها، به جز اولی (توابع)، اختیاری هستند. بیایید اولین توابع را در نظر بگیریم.
· CreateSpace (F(یا f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - یک آرایه تودرتو ایجاد می کند که مختصات x-, y- و z منحنی فضایی پارامتری مشخص شده توسط تابع p را نشان می دهد.
- F(t) یک تابع برداری از سه عنصر است که به صورت پارامتریک با توجه به یک آرگومان t تعریف شده است.
- f1 (t), f2 (t)، f3 (t) - توابع اسکالر.
- t0 - حد پایین t (پیش فرض -5)؛
- t1 - حد بالا t (پیش فرض 5)؛
- tgrid - تعداد نقاط شبکه با متغیر t (پیش‌فرض 2o).
- fmap یک تابع برداری از سه آرگومان است که یک تبدیل مختصات را مشخص می کند.
برنج. 9.4. استفاده از تابع CreateSpace با مجموعه ای از پارامترهای مختلف
نمونه ای از استفاده از تابع CreateSpace در شکل نشان داده شده است. 9.4. توجه داشته باشید که برای رسم مارپیچ به کد اضافی به جز تعریف رابطه پارامتری در تابع برداری F نیازی نیست.
تابع ایجاد ماتریس برای یک نمودار سطح سه بعدی دقیقاً به همین روش طراحی شده است، با این تفاوت که تعریف سطح به جای یک متغیر به دو متغیر نیاز دارد. نمونه ای از کاربرد آن در شکل 1 نشان داده شده است. 9.5.
برنج. 9.5. استفاده از تابع CreateMesh با مجموعه‌ای از پارامترها
· CreateMesh(F(یا g، یا f1، f2، f3)، s0، s1، t0، t1، sgrid، tgrid، fmap) - یک آرایه تودرتو ایجاد می کند که مختصات x-، y- و z سطح پارامتری را نشان می دهد. توسط تابع F مشخص شده است.
- F(s,t) یک تابع برداری از سه عنصر است که به صورت پارامتریک با توجه به دو آرگومان s و t تعریف شده است.
- g (s، t) - تابع اسکالر؛
- f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) - توابع اسکالر.
- s0، t0 - محدودیت های پایین آرگومان s، t (پیش فرض -5).
- s1، t1 - محدودیت های بالای آرگومان های s، t (پیش فرض 5)؛
- sgrid، tgrid - تعداد نقاط شبکه بر اساس متغیرهای s و t (پیش‌فرض 20).
- fmap یک تابع برداری سه عنصری از سه آرگومان است که یک تبدیل مختصات را مشخص می کند.
نمونه‌هایی از آرایه‌های تودرتو که توسط توابع CreateMesh و CreateSpace ایجاد می‌شوند در فهرست 9.20 نشان داده شده‌اند. هر ماتریس از سه ماتریس تو در تو که آرایه را تشکیل می دهند به ترتیب مختصات x-، y- و z نقاط روی سطح یا منحنی را مشخص می کند.
لیست 9.20. نتیجه توابع CreateMesh و CreateSpace (شکل 9.4 - 9.5)
ایجاد ماتریس از نوع خاص
در Mathcad، ایجاد ماتریس هایی از نوع خاصی با استفاده از یکی از توابع داخلی آسان است. نمونه هایی از استفاده از این توابع در فهرست 9.21 نشان داده شده است.
· هویت (N) - ماتریس هویت با اندازه N*N.
· diag(v) - ماتریس مورب، که در مورب آن عناصر بردار v قرار دارد.
· geninv(A) - ایجاد یک ماتریس معکوس (در سمت چپ) ماتریس A.
rref (A) - تبدیل ماتریس یا بردار A به شکل گام به گام.
- N - عدد صحیح؛
- v - بردار;
- A ماتریسی از اعداد واقعی است.
اندازه N*M ماتریس A برای تابع geninv باید به گونه ای باشد که N>M باشد.
لیست 9.21. ایجاد ماتریس از نوع خاص
